福建省三明第一中学2025-2026学年高二上学期1月月考数学试题

2025-2026学年高二年级数学上学期月考试卷 (考试时间：120分钟 试卷满分：150分) 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：湘教版2019版选择性必修一第一章~第三章。 第Ⅰ卷(选择题 共58分) 1、 单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1.已知等差数列满足，则等于(   ) A．9 B．6 C．3 D．2 2．设定点，动点P满足条件（m为常数，且），则点P的轨迹是（    ） A．椭圆 B．线段 C．不存在 D．椭圆或线段 3.已知数列中，，，则(   ) A．1 B． C． D． 4.一百零八塔，位于宁夏吴忠青铜峡市，是始建于西夏时期的喇嘛式实心塔群，是中国现存最大且排列最整齐的喇嘛塔群之一．一百零八塔，因塔群的塔数而得名，塔群随山势凿石分阶而建，由下而上逐层增高，依山势自上而下各层的塔数分别为1，3，3，5，5，7，…，若该数列从第5项开始成等差数列，则该塔群共有（    ）． A．10层 B．11层 C．12层 D．13层 5.已知点，．若直线与线段相交，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6.抛物线的准线与双曲线的两条渐近线所围成的三角形的面积等于（   ） A．2 B． C． D．4 7.定义“等方差数列”：如果一个数列从第二项起，每一项的平方与它的前一项的平方的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫作等方差数列，这个常数叫作该数列的方公差．设是由正数组成的等方差数列，且方公差为4，，则数列的前24项和为（    ） A． B．3 C． D．6 8.设是椭圆的上顶点，若上的任意一点都满足，则的离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多项选择题(本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9.已知直线，，则（    ） A．恒过点 B．若，则 C．若，则 D．当时，不经过第三象限 10.已知椭圆M：的左右焦点分别为，左右顶点分别为，P是椭圆上异于的任意一点，则下列说法正确的是（    ） A．周长为 B．面积最大值为 C．存在点P满足： D．若面积为，则点P横坐标为 11.已知双曲线的左焦点为，为右支上的动点，过作的一条渐近线的垂线，垂足为，为坐标原点，当最小时，，，成等差数列，则下列说法正确的是（    ） A．若的虚轴长为2，则到的一条渐近线的距离为2 B．的离心率为 C．若的焦距为2，则到的两条渐近线的距离之积小于 D．若的焦距为10，当最小时，则的周长为 第Ⅱ卷(非选择题 共92分) 三、填空题：(本题共3小题，每小题5分，共15分) 12.过点(，－)，且与椭圆有相同焦点的椭圆的标准方程为_______． 13.已知双曲线的左、右焦点分别为，，是上一点，且，，则的离心率为 . 14.已知椭圆的左、右焦点分别为、，点在椭圆上，且满足，则的值是 ． 4、 解答题(本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸) 15.（13分）设等比数列的前项和为，且，． (1)求的通项公式；(2)若，求数列的前项和． 16.（15分)已知直线，点． (1)证明：对任意实数，直线都经过一个定点； (2)设为直线经过的定点，为线段的中点，求直线的方程． 17.（15分）已知抛物线：的焦点为，点在抛物线上，且. (1)求抛物线的标准方程； (2)直线与抛物线交于，两点，若线段的中点为，求直线的方程． 18.（17分）已知双曲线的方程为，离心率为2，右顶点为. (1)求双曲线的标准方程； (2)过的直线与双曲线的一支交于、两点，求的取值范围. 19.（17分）已知椭圆，过点且与轴平行的直线与椭圆恰有一个公共点，过点且与轴平行的直线被椭圆截得的线段长为. (1)求椭圆的标准方程； (2)设过点的动直线与椭圆交于两点，为轴上的一点，设直线和的斜率分别为和，若为定值，求点的坐标. 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 $ 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C A D C A C C C BD BD 题号 11 答案 BCD 1．C 【分析】利用等差中项即可求解. 【详解】由等差数列可知：， 故选：C. 2．A 【分析】利用椭圆的定义即可判断. 【详解】因为，所以，即， 所以点P的轨迹是以为焦点的椭圆． 故选：A 【点睛】本题考查了椭圆的定义，理解定义是解题的关键，属于基础题. 3．D 【分析】由题目所给的递推公式可得周期，从而可得答案. 【详解】因为，， 所以，，， 所以是以3为周期的数列， 所以. 故选：D. 4．C 【分析】设该数列为，塔群共有n层，则数列为1，3，3，5，5，7，…，该数列从第5项开始成等差数列，根据题意结合等差数求和公式可得，从而可求出的值 【详解】根据题意，设该数列为，塔群共有n层， 即数列有n项，数列为1，3，3，5，5，7，…， 则． 该数列从第5项开始成等差数列，且，，则其公差， 则有， 又，则有， 即，解得或（舍去），则． 故选：C． 5．A 【分析】直线l过定点，且与线段相交，利用数形结合法，求出的斜率，从而得出l的斜率的取值范围，即可得解. 【详解】设直线过定点，则直线可写成， 令，解得. 直线必过定点． ，． 直线与线段相交， 由图象知，或，解得或， 则实数的取值范围是． 故选：A. 6．C 【分析】先求出抛物线的准线与双曲线的两条渐近线方程，然后求出其交点坐标，确定三角形底边和对应的高，利用面积公式求出三角形的面积． 【详解】解：抛物线的准线为， 双曲线的两条渐近线方程分别为：，， 设准线与这两条渐近线的交点分别为,则 则, 则准线与两条渐近线所围成的三角形的面积为 故选：C． 7．C 【分析】根据等方差数列的定义，结合等差数列的通项公式，运用裂项相消法进行求解即可. 【详解】因为是方公差为4的等方差数列，所以，， ∴，∴， ∴ ， 故选：C． 8．C 【分析】设，由，根据两点间的距离公式表示出 ，分类讨论求出的最大值，再构建齐次不等式，解出即可． 【详解】设，由，因为 ，，所以 ， 因为，当，即 时，，即 ，符合题意，由可得，即 ； 当，即时， ，即，化简得， ，显然该不等式不成立． 故选：C． 【点睛】本题解题关键是如何求出的最大值，利用二次函数求指定区间上的最值，要根据定义域讨论函数的单调性从而确定最值． 9．BD 【分析】对于选项A，将直线的方程化为，再由可求得定点； 对于选项B，通过斜率相等可以求解； 对于选项C，通过斜率之积等于可以求解； 对于选项D，将直线化为斜截式，再根据斜率和截距建立不等式可以求解. 【详解】直线，则， 由，得，所以恒过定点，所以A错误； 由可得：，所以，B正确； 由可得：，，所以C错误； 由，当时，，不过第三象限； 当时，，不过第三象限，只需要，解得， 所以的取值范围为，所以D正确； 故选：BD. 10．BD 【分析】根据椭圆的定义判断A，利用椭圆的性质可得面积最大值判断B，求出当是短轴端点时的后可判断C，由三角形面积求得点坐标后可判断D． 【详解】由题意，，，短轴一个端点， 由题知，故周长为，故A错误； 利用椭圆的性质可知面积最大值为，故B正确； 因为，所以，从而，而是椭圆上任一点时，当是短轴端点时最大，因此不存在点满足，故C错误； 因为，， 则，，故D正确． 故选：BD． 11．BCD 【分析】设出双曲线的右焦点，根据双曲线的定义以及题意得到，，对A，写出双曲线的一条渐近线方程利用点到直线的距离即可求解；对B，根据离心率的公式即可求解；对C，根据双曲线的焦距以及离心率，求出双曲线的方程，设出点的坐标，表示出到的两条渐近线的距离，再根据点在双曲线上即可求解，对D，根据题意可得，在中利用余弦定理求出，即可求解. 【详解】解：设双曲线的右焦点为， 则， ， 故当最小时，即取得最小值， 故当三点共线时最小， 设双曲线的一条渐近线为：， 故， 即， ， 又，，成等差数列， 故, 即， 即， 又， 将代入得：. 对A，若的虚轴长为2，则， 设双曲线的一条渐近线为：， 则到的一条渐近线的距离为，故A错误； 对B，由上述可知：， 即， 即，故B正确； 对C，若的焦距为2，则， 由得：， 故双曲线的方程为：， 双曲线的渐近线方程为：， 即， 设， 则到两条渐近线的距离分别为： ， ， 又在双曲线上， 故， 即， 到两条渐近线的距离之积为：， 故C正确； 对D，若的焦距为10，则， 由得：， 则的周长为：， 又， ， 在中，由余弦定理得：, 即， 故， 故，故D正确. 故选：BCD. 【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是利用双曲线的定义，再根据最小时，，，成等差数列，找到的关系式，以及由，得到. 12． 【分析】由题设条件设出椭圆方程，再列出关于a2与b2的方程组即可作答. 【详解】所求椭圆与椭圆的焦点相同，则其焦点在y轴上，半焦距c有c2=25-9=16， 设它的标准方程为 (a＞b＞0)，于是得a2-b2=16， 又点(，－)在所求椭圆上，即， 联立两个方程得，即，解得b2=4，则a2=20， 所以所求椭圆的标准方程为. 故答案为： 13． 【分析】根据根据双曲线的定义、标准方程可得离心率. 【详解】因为双曲线， 所以，解得，即 故双曲线，所以，即 所以的离心率. 故答案为：. 14． 【分析】结合椭圆的定义，利用余弦定理求夹角余弦值，即可求数量积. 【详解】由椭圆方程可得：，    由余弦定理得： ， 又因为，所以， 所以， 故答案为： 15．(1) (2) 【分析】（1）结合题干条件求解基本量，利用等比数列的通项公式求解即可； （2）分组求和即可得解. 【详解】（1）设数列的公比为，则 解得，． 故． （2）由（1）可得． 则 ． 16．(1) ；(2) 【分析】(1)先计算定点为，设椭圆的方程为，根据条件计算得到答案. (2)计算圆心到直线的距离为得到证明， ，计算得到答案. 【详解】（1）由， 得， 则由，解得 设椭圆的方程为，则，解得 所以椭圆的方程为 （2）因为点在椭圆上运动，所以， 从而圆心到直线的距离. 所以直线与圆恒相交，又直线被圆截得的弦长为 由于，所以，则， 即直线l被圆截得的弦长的取值范围是 【点睛】本题考查了直线过定点，椭圆方程，弦长的取值范围，意在考查学生的计算能力和综合应用能力. 17．(1) (2) 【分析】（1）根据焦半径公式得，求得，即可求解方程； （2）由点差法化为，根据中点坐标可得直线斜率从而求出直线方程． 【详解】（1）因为点在抛物线上，所以 又因为，解得，故抛物线的标准方程为； （2）设，则 ，所以，化为 又因为的中点为，所以， 则 ，故直线的斜率为，所以直线的方程为 整理得． 18．(1) (2) 【分析】(1)根据题意建立的方程组即可求解; (2)利用韦达定理确定的取值范围，再建立之间的等量关系即可求解. 【详解】（1）由离心率又,所以， 又右顶点为，所以，所以， 故双曲线的标准方程为. （2）设直线的方程为，设， 则由得， 因为直线与双曲线一支交于、两点， 所以 ，解得， 因此 ， 因为，所以， 所以，所以， 故. 19．(1) (2) 【分析】（1）根据题意得到椭圆的下顶点为和椭圆过点求解； （2）设点坐标为，当直线斜率存在时，设其方程为，与联立，由，结合韦达定理求解；当直线斜率不存在时验证即可. 【详解】（1）解：由题意，椭圆的下顶点为，故. 由对称性，椭圆过点，代入椭圆方程有， 解得：. 故椭圆的标准方程为：. （2）设点坐标为. 当直线斜率存在时，设其方程为，与联立得： . 设，则. ， ， ， 为定值，即与无关，则，此时. 经检验，当直线斜率不存在时也满足，故点坐标为. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $