19.3二次根式的加法和减法寒假预习讲义 2025-2026学年人教版数学八年级下学期（3知识点+9题型解读+27巩固提升）.docx

19.3二次根式的加法和减法寒假预习讲义（人教版） （3知识点+9题型解读+27巩固提升） 1预习目标 1. 能够正确进行简单的二次根式加减法的运算. 2. 通过整式加减法运算与二次根式加减法运算的比较体会类比思想 3. 通过二次根式加减法运算培养学生运算能力 02知识点梳理 知识点1同类二次根式 1．定义：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式就叫做同类二次根式． 重点提醒（1）判断几个二次根式是否是同类二次根式，必须先将二次根式化成最简二次根式，再看被开方数是否相同；（2）几个二次根式是否是同类二次根式，只与被开方数及根指数有关，而与根号外的因式无关． 2．合并同类二次根式 合并同类二次根式，只把系数相加减，根指数和被开方数不变．（合并同类二次根式的方法与整式加减运算中的合并同类项类似） 重点提醒（1）根号外面的因式就是这个根式的系数；（2）二次根式的系数是带分数的要变成假分数的形式． 知识点2二次根式的加减 二次根式的加减实质就是合并同类二次根式，即先把各个二次根式化成最简二次根式，再把其中的同类二次根式进行合并．对于没有合并的二次根式，仍要写到结果中． 重点提醒（1）在进行二次根式的加减运算时，整式加减运算中的交换律、结合律及去括号、添括号法则仍然适用． （2）二次根式加减运算的步骤： （1）将每个二次根式都化简成为最简二次根式； （2）判断哪些二次根式是同类二次根式，把同类的二次根式结合为一组； （3）合并同类二次根式． 知识点3二次根式的混合运算 二次根式的混合运算是对二次根式的乘除及加减运算法则的综合运用． 要点提示 （1）二次根式的混合运算顺序与实数中的运算顺序一样，先乘方，后乘除，最后算加减，有括号要先算括号里面的； （2）在实数运算和整式运算中的运算律和乘法公式在二次根式的运算中仍然适用； （3）二次根式混合运算的结果要写成最简形式． 03题型解读 题型解读1同类二次根式 例1．下列二次根式中，与是同类二次根式的是（    ）． A． B． C． D． 变式1．若最简二次根式与最简二次根式是同类二次根式，则 ． 变式2．已知，求下列各式的值： (1)； (2) 题型解读2二次根式的加减运算 例2．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 变式1．计算 变式2．计算： 题型解读3二次根式的混合运算 例3．计算：（    ） A．1 B．2 C． D．3 变式1．计算的结果是 ． 变式2．计算： (1)； (2) 题型解读4分母有理化 例4．下列二次根式中，与 互为有理化因式的是（     ） A． B． C． D． 变式1．已知，，则代数式 ． 变式2．计算： (1)； (2)． 题型解读5已知字母的值，化简求值 例5．已知．则的值为（　　） A．11 B．19 C．17 D．20 变式1．已知，则= 变式2．已知 ，． (1)求的值； (2)求的值． 题型解读6已知条件式，化简求值 例6．已知等式成立，化简的结果为（   ） A． B． C． D．4 变式1．如果正数满足，那么的值是 ． 变式2．已知，． (1)求和的值； (2)求代数式的值． 题型解读7比较二次根式的大小 例7．下列各式正确的是（   ） A． B． C． D． 变式1．比较大小： （填“”“”或“”）． 变式2．比较下列各组中两个数的大小： (1)和； (2)和； (3)和． 题型解读8二次根式的应用 例8．若，则的值为（） A．4 B． C．2 D． 变式1．若一个长方形的长为，宽为，则这个长方形的面积为 ． 变式2．某校有一块形状为正方形的绿地（如图），其边长为米．现在要在正方形绿地内修建四个大小、形状相同的长方形花坛，每个花坛的长为米、宽为米，除去修建花坛的地方，其它地方全部修建成通道，求通道的总面积． 题型解读9复合二次根式的化简 例9．下列二次根式中，不是同类二次根式的是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 变式1．化简的结果为 ． 变式2．【阅读材料】小明在学习二次根式时，发现一些含根号的式子可以化成另一个式子的平方，如：； ． 【类比归纳】 (1)小华仿照小明的方法将化成了，则__________，__________． (2)请运用小明的方法化简． 04巩固提升 一、单选题 1．下列二次根式中，属于同类二次根式的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 2．下列计算正确的是（） A． B． C． D． 3．计算的结果是（   ） A． B． C． D． 4．估计的值应在（   ） A．0到1 B．1到2 C．2到3 D．3到4 5．当时，代数式 （      ） A．2020 B．2021 C．2022 D．2023 6．已知、为实数，且，求的值为（    ） A．2 B．3 C．5 D．13 7．数学老师给出了以下四个代数式：①，②，③，④，且告知．小兴发现：若重新排列顺序后，4个代数式就变成一列从小到大顺序变化的代数式，则下列排序正确的是（   ） A．①②③④ B．④②③① C．①④③② D．③②①④ 8．为打造“家门口的好去处”，某市园林部门计划将三块小绿地整合成一个如图所示的长方形公园．已知正方形和正方形的面积分别为：，，则该公园的总面积为（   ） A． B． C． D． 9．已知，则（   ） A． B． C． D．2a∴ 二、填空题 10．已知最简二次根式与可以合并，则x的值是 ． 11．计算： ． 12．我国古代的《洛书》记载了世界最早的幻方--九宫格．如图，若要使每一横、竖、斜对角的3个实数相乘得到相同的结果，则的值为 ． 2 1 3 13．化简： ． 14．已知，则 ． 15．已知，，则的值为 ． 16．的相反数是 ，绝对值是 ． 17．小静设计了一个长方形，已知长方形的长为，宽为．她又想设计一个与这个长方形面积相等的圆，则这个圆的半径为 ． 18． ． 三、解答题 19．二次根式与最简二次根式是同类二次根式，是8的立方根． (1)求的平方根： (2)若，求的值． 20．计算： 21．计算： (1) (2) 22．计算：． 23．已知，求的值 24．（1）计算：； （2） 若从下列代数式，，中选择一个进行求值； ， 25．某工厂欲将一块面积为的正方形场地改建成面积为的长方形场地，且其长、宽之比为．如果打算回收围建原正方形场地的铁栅栏，用于建设新长方形场地的围墙，那么这些铁栅栏是否够用？ 26．如图，学校准备制作一块长方形宣传栏，用于展示校园文化．已知宣传栏的长为，宽为．为了突出重点内容，工作人员需要在宣传栏中划出一块长为、宽为的小长方形区域制作主题海报（即图中阴影部分），其余区域用于张贴学生作品． (1)计算长方形宣传栏的周长（结果化为最简二次根式）； (2)求用于张贴学生作品的面积． 27．阅读材料： 小颖在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如，善于思考的小颖进行了以下探索： 设（其中x，y，m，n均为正整数），则有， ∴，．这样小颖就找到了一种把部分的式子化为平方式的方法． 请你仿照小颖的方法探索并解决下列问题： (1)当x，y，m，n均为正整数且时，请用含m，n的式子分别表示x，y： ______，______； (2)若，且x，m，n均为正整数，求x的值； (3)①填空：______； ②化简：． 学科网（北京）股份有限公司 $ 19.3二次根式的加法和减法寒假预习讲义（人教版） （3知识点+9题型解读+27巩固提升） 1预习目标 1. 能够正确进行简单的二次根式加减法的运算. 2. 通过整式加减法运算与二次根式加减法运算的比较体会类比思想 3. 通过二次根式加减法运算培养学生运算能力 02知识点梳理 知识点1同类二次根式 1．定义：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式就叫做同类二次根式． 重点提醒（1）判断几个二次根式是否是同类二次根式，必须先将二次根式化成最简二次根式，再看被开方数是否相同；（2）几个二次根式是否是同类二次根式，只与被开方数及根指数有关，而与根号外的因式无关． 2．合并同类二次根式 合并同类二次根式，只把系数相加减，根指数和被开方数不变．（合并同类二次根式的方法与整式加减运算中的合并同类项类似） 重点提醒（1）根号外面的因式就是这个根式的系数；（2）二次根式的系数是带分数的要变成假分数的形式． 知识点2二次根式的加减 二次根式的加减实质就是合并同类二次根式，即先把各个二次根式化成最简二次根式，再把其中的同类二次根式进行合并．对于没有合并的二次根式，仍要写到结果中． 重点提醒（1）在进行二次根式的加减运算时，整式加减运算中的交换律、结合律及去括号、添括号法则仍然适用． （2）二次根式加减运算的步骤： （1）将每个二次根式都化简成为最简二次根式； （2）判断哪些二次根式是同类二次根式，把同类的二次根式结合为一组； （3）合并同类二次根式． 知识点3二次根式的混合运算 二次根式的混合运算是对二次根式的乘除及加减运算法则的综合运用． 要点提示 （1）二次根式的混合运算顺序与实数中的运算顺序一样，先乘方，后乘除，最后算加减，有括号要先算括号里面的； （2）在实数运算和整式运算中的运算律和乘法公式在二次根式的运算中仍然适用； （3）二次根式混合运算的结果要写成最简形式． 03题型解读 题型解读1同类二次根式 例1．下列二次根式中，与是同类二次根式的是（    ）． A． B． C． D． 变式1．若最简二次根式与最简二次根式是同类二次根式，则 ． 变式2．已知，求下列各式的值： (1)； (2) 题型解读2二次根式的加减运算 例2．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 变式1．计算 变式2．计算： 题型解读3二次根式的混合运算 例3．计算：（    ） A．1 B．2 C． D．3 变式1．计算的结果是 ． 变式2．计算： (1)； (2) 题型解读4分母有理化 例4．下列二次根式中，与 互为有理化因式的是（     ） A． B． C． D． 变式1．已知，，则代数式 ． 变式2．计算： (1)； (2)． 题型解读5已知字母的值，化简求值 例5．已知．则的值为（　　） A．11 B．19 C．17 D．20 变式1．已知，则= 变式2．已知 ，． (1)求的值； (2)求的值． 题型解读6已知条件式，化简求值 例6．已知等式成立，化简的结果为（   ） A． B． C． D．4 变式1．如果正数满足，那么的值是 ． 变式2．已知，． (1)求和的值； (2)求代数式的值． 题型解读7比较二次根式的大小 例7．下列各式正确的是（   ） A． B． C． D． 变式1．比较大小： （填“”“”或“”）． 变式2．比较下列各组中两个数的大小： (1)和； (2)和； (3)和． 题型解读8二次根式的应用 例8．若，则的值为（） A．4 B． C．2 D． 变式1．若一个长方形的长为，宽为，则这个长方形的面积为 ． 变式2．某校有一块形状为正方形的绿地（如图），其边长为米．现在要在正方形绿地内修建四个大小、形状相同的长方形花坛，每个花坛的长为米、宽为米，除去修建花坛的地方，其它地方全部修建成通道，求通道的总面积． 题型解读9复合二次根式的化简 例9．下列二次根式中，不是同类二次根式的是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 变式1．化简的结果为 ． 变式2．【阅读材料】小明在学习二次根式时，发现一些含根号的式子可以化成另一个式子的平方，如：； ． 【类比归纳】 (1)小华仿照小明的方法将化成了，则__________，__________． (2)请运用小明的方法化简． 04巩固提升 一、单选题 1．下列二次根式中，属于同类二次根式的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 2．下列计算正确的是（） A． B． C． D． 3．计算的结果是（   ） A． B． C． D． 4．估计的值应在（   ） A．0到1 B．1到2 C．2到3 D．3到4 5．当时，代数式 （      ） A．2020 B．2021 C．2022 D．2023 6．已知、为实数，且，求的值为（    ） A．2 B．3 C．5 D．13 7．数学老师给出了以下四个代数式：①，②，③，④，且告知．小兴发现：若重新排列顺序后，4个代数式就变成一列从小到大顺序变化的代数式，则下列排序正确的是（   ） A．①②③④ B．④②③① C．①④③② D．③②①④ 8．为打造“家门口的好去处”，某市园林部门计划将三块小绿地整合成一个如图所示的长方形公园．已知正方形和正方形的面积分别为：，，则该公园的总面积为（   ） A． B． C． D． 9．已知，则（   ） A． B． C． D．2a∴ 二、填空题 10．已知最简二次根式与可以合并，则x的值是 ． 11．计算： ． 12．我国古代的《洛书》记载了世界最早的幻方--九宫格．如图，若要使每一横、竖、斜对角的3个实数相乘得到相同的结果，则的值为 ． 2 1 3 13．化简： ． 14．已知，则 ． 15．已知，，则的值为 ． 16．的相反数是 ，绝对值是 ． 17．小静设计了一个长方形，已知长方形的长为，宽为．她又想设计一个与这个长方形面积相等的圆，则这个圆的半径为 ． 18． ． 三、解答题 19．二次根式与最简二次根式是同类二次根式，是8的立方根． (1)求的平方根： (2)若，求的值． 20．计算： 21．计算： (1) (2) 22．计算：． 23．已知，求的值 24．（1）计算：； （2） 若从下列代数式，，中选择一个进行求值； ， 25．某工厂欲将一块面积为的正方形场地改建成面积为的长方形场地，且其长、宽之比为．如果打算回收围建原正方形场地的铁栅栏，用于建设新长方形场地的围墙，那么这些铁栅栏是否够用？ 26．如图，学校准备制作一块长方形宣传栏，用于展示校园文化．已知宣传栏的长为，宽为．为了突出重点内容，工作人员需要在宣传栏中划出一块长为、宽为的小长方形区域制作主题海报（即图中阴影部分），其余区域用于张贴学生作品． (1)计算长方形宣传栏的周长（结果化为最简二次根式）； (2)求用于张贴学生作品的面积． 27．阅读材料： 小颖在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如，善于思考的小颖进行了以下探索： 设（其中x，y，m，n均为正整数），则有， ∴，．这样小颖就找到了一种把部分的式子化为平方式的方法． 请你仿照小颖的方法探索并解决下列问题： (1)当x，y，m，n均为正整数且时，请用含m，n的式子分别表示x，y： ______，______； (2)若，且x，m，n均为正整数，求x的值； (3)①填空：______； ②化简：． 学科网（北京）股份有限公司 $