专题19.3二次根式的加法与减法（寒假衔接讲义）（4大知识点预习+ 8大分层题型精练+巩固练习）2025-2026学年人教版八年级数学下学期

19.3二次根式的加法与减法 知识点1：同类二次根式 1.定义：几个二次根式化成最简二次根式后，若被开方数相同，则这几个二次根式叫做同类二次根式（可合并二次根式）。 2.识别关键：先将所有二次根式化为最简形式，再比较被开方数是否一致（与根号外的系数无关）。 知识点2：二次根式的加减法则 1.核心法则：二次根式加减时，先将每个二次根式化成最简二次根式，再把同类二次根式的系数相加，被开方数和根指数保持不变。 2.运算步骤：一“化”（化为最简二次根式）、二“找”（找出同类二次根式）、三“合”（合并同类二次根式）。 3.注意：被开方数不同的最简二次根式不能合并，需保留在结果中。 知识点3：二次根式的混合运算 1.运算顺序：与实数混合运算一致，先乘方，再乘除，最后加减；有括号先算括号内的，同级运算从左到右进行。 2.运算依据：有理数的运算律（交换律、结合律、分配律）、乘法公式（平方差公式、完全平方公式）在二次根式混合运算中仍适用。 知识点4：二次根式的化简求值 1.基本思路：先化简代数式（包括二次根式的加减、混合运算），再代入字母的值计算（代入前需确保字母取值使二次根式有意义）。 2.常用技巧：整体代换（如利用、的值求代数式的值）、分母有理化（化简含根式的分母）。 【基础必考题型】 【题型1】同类二次根式的识别与应用 1.核心知识点： 同类二次根式的定义（化简后被开方数相同）； 最简二次根式的化简方法。 2.解题方法技巧： 先将每个选项化为最简二次根式（如，）； 对比最简形式的被开方数，相同则为同类二次根式（如与是同类二次根式）。 【例题1】.（25-26八年级上·全国·课后作业）下列二次根式中，能与进行合并的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了同类二次根式，解决本题的关键是熟练掌握相关的知识点. 先化简成最简二次根式，被开方数相同则为同类二次根式. 【详解】解：A、被开方数不同，不是同类二次根式，选项说法错误，不符合题意； B、被开方数不同，不是同类二次根式，选项说法错误，不符合题意； C、被开方数相同，是同类二次根式，选项说法正确，符合题意； D、被开方数不同，不是同类二次根式，选项说法错误，不符合题意； 故选：C． 【变式题1-1】.（25-26八年级上·上海闵行·月考）下列各式中，与是同类二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式的化简，同类二次根式的定义． 同类二次根式需化简后根号内的数相同，比较各选项化简后与的根号内的数是否一致． 【详解】解：A：，根号内3，与不是同类二次根式； B：，无根号，与不是同类二次根式； C：，根号内2，与不是同类二次根式； D：，根号内5，与是同类二次根式； 故选：D． 【变式题1-2】.（25-26九年级上·四川遂宁·月考）下列二次根式，不能与合并的是（） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查同类二次根式， 最简二次根式， 掌握知识点是解题的关键． 先将化简为，然后检查各选项化简后是否含有，若不含则不能合并，即可解答． 【详解】解：∵， ∴与合并的二次根式必须化简后含有． 对于A∶，含有，可合并． 对于B∶，含有，可合并． 对于C∶，含有，不含有，不可合并． 对于D∶，含有，可合并． 故选：C． 【变式题1-3】.（25-26八年级上·陕西西安·月考）已知最简二次根式与是同类二次根式，则a的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了同类二次根式的定义，化简二次根式，先将化简为最简二次根式，再根据被开方数相同的最简二次根式叫做同类二次根式可得关于a的方程，解方程即可得到答案． 【详解】解：， ∵最简二次根式与是同类二次根式， ∴， ∴， 故答案为：． 【题型2】二次根式的加减及混合运算 1.核心知识点： 二次根式的加减法则（化→找→合）； 最简二次根式的化简。 2.解题方法技巧： 分步化简每个二次根式（如，）； 合并同类二次根式（系数相加，被开方数不变，如）； 保留非同类二次根式（如无法合并，直接作为结果）。 【例题2】.（25-26九年级上·甘肃天水·期末）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查二次根式的减法． 根据运算法则计算即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 【变式题2-1】.（25-26八年级上·山西太原·月考）计算的结果是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，根据平方差公式计算即可求解． 【详解】解： ． 故答案为：． 【变式题2-2】.（25-26八年级上·河南郑州·月考）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，立方根，算术平方根，化简绝对值，乘方运算，完全平方公式，平方差公式，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先运算乘方，算术平方根，立方根，以及化简绝对值，再运算乘法，最后运算加减法，即可作答． （2）根据完全平方公式，平方差公式进行展开，再运算加减法，即可作答． 【详解】（1）解： ； （2）解： 【变式题2-3】.（25-26八年级上·江苏苏州·月考）计算： (1)． (2)． (3)． (4)． 【答案】(1)10 (2) (3) (4) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，解题的关键是熟练掌握运算法则． （1）分别计算绝对值，有理数乘方，算术平方根，再计算加减； （2）先化简二次根式，再计算加减； （3）先计算括号内二次根式的加法，再计算乘除； （4）先计算二次根式的乘法，再进行加减计算． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 【培优高频题型】 【题型3】二次根式与乘法公式的混合运算 1.核心知识点： 平方差公式、完全平方公式； 二次根式的混合运算顺序。 2.解题方法技巧： 观察式子结构，优先应用乘法公式简化运算（如）； 再进行加减运算（如）。 【例题3】.（25-26八年级上·陕西宝鸡·月考）计算： 【答案】 【分析】根据完全平方公式和平方差公式进行计算即可． 本题考查了二次根式的混合运算，乘法公式，正确的计算是解题的关键． 【详解】解： ． 【变式题3-1】.（25-26九年级上·河南洛阳·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法法则和乘法公式是解决问题的关键． （1）先把各二次根式化为最简二次根式，然后合并同类二次根式即可； （2）先利用平方差公式和完全平方公式计算，然后合并即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 【变式题3-2】.（25-26八年级上·湖南长沙·月考）2025年“数字中国”建设峰会讨论了多种数据加密方式，若以下运算为数据加密方式：，那么的值为（   ） A．1 B．4 C．－2 D．9 【答案】B 【分析】根据定义的运算，先利用平方差公式简化表达式，再代入数值计算. 本题考查了二次根式的计算，掌握运算法则是解题关键． 【详解】解：∵ , 且 , ∴ . 代入 : ∴ ， 故选：B． 【变式题3-3】.（25-26九年级上·四川攀枝花·月考）在中，令，，则． (1)化简：． (2)推广： ．（只填结果） 【答案】(1)1 (2) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，观察式子找到规律是解题的关键． （1）仔细阅读，发现规律，然后仿照规律计算即可求解； （2）根据规律写出结果，找出部分互为相反数的特点，然后计算即可． 【详解】（1）解：∵， ，， ∴ ； （2）解：∵， ∴， ∴ ， 故答案为：． 【题型4】分母有理化的化简与应用 1.核心知识点: 分母有理化的定义（消去分母中根号的变形）； 有理化因式的识别（与分母相乘不含根号的式子）。 2.解题方法技巧: 单根式分母：同乘自身（如）； 二根式和差分母：同乘共轭因式（如）； 化简后合并同类二次根式或代入求值。 【例题4】.（25-26八年级上·河南郑州·月考）阅读并解答：已知，求代数式的值． 小熙根据二次根式的性质：，联想到了如下解法： 由得，则，即，， 把作为整体，得：．请运用上述方法解决下列问题： 已知，求代数式的值． 【答案】 【分析】本题考查了分母有理化、完全平方公式、求代数式的值，理解题意是解题的关键． 根据分母有理化得到，再仿照题目的方法解决问题即可． 【详解】解：， 得， 则， 即， ∴， ∴． 【变式题4-1】.（25-26八年级上·辽宁沈阳·期中）观察下列等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； …… (1)第个等式：______． (2)根据以上规律，计算的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了数字类规律探索，分母有理化，二次根式的混合运算，掌握相关知识是解题的关键． （1）找出规律后，根据运算法则进行运算即可； （2）根据（1）中的规律把原式变形为，即可求解． 【详解】（1）解：第个等式：； 故答案为： （2）解： 【变式题4-2】.（24-25八年级上·贵州铜仁·期末）小星在解决问题：已知，求的值，他是这样分析与解答的： ， ． ，即． ． 请你根据小星的分析过程，解决如下问题： (1)填空：_______；_______； (2)计算：； (3)若，求的值． 【答案】(1)； (2) (3) 【分析】本题考查分母有理化，二次根式的混合运算，代数式求值，完全平方公式的应用. （1）根据分母有理化法则计算； （2）根据分母有理化法则把各个二次根式化简，根据裂项相消法计算即可； （3）仿照题干作答即可． 【详解】（1）解：； ． 故答案为：；． （2）解：∵， ∴ ； （3）解：∵， ∴， ∴，即， ， ． 【变式题4-3】.（25-26八年级上·山东济南·期中）阅读下列材料，然后回答问题： 材料一：在进行二次根式的化简与运算时，我们有时会碰上如一样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：，以上这种化简的步骤叫做分母有理化． 材料二：学习数学，最重要的是学习数学思想，其中一种数学思想叫做换元的思想．它可以简化我们的计算，比如我们熟悉的下面这个题：已知，求．我们可以把和分别看作是一个整体，令，则．这样，我们不用求出a，b就可以得到最后的结果． (1)计算：； (2)若m是正整数，，，则： ① ， （用含m的代数式表示）； ②若，求m的值： (3)若，则的值是 ． 【答案】(1) (2)①1，；② (3)8 【分析】本题考查分母有理化，二次根式的混合运算，熟练掌握分母有理化和整体思想是解题的关键： （1）利用分母有理化进行计算即可； （2）①根据二次根式的运算法则进行计算即可；②整体代入法，列出方程进行求解即可； （3）用换元法进行求解即可． 【详解】（1）解：； （2）解：①， ； ②∵， ∴， 解得； （3）设，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∵， ∴， ∴， 故答案为：8． 【题型5】二次根式的整数与小数部分求解 1.核心知识点: 无理数的整数部分（不大于该数的最大整数）与小数部分（原数减整数部分）定义； 二次根式的估值方法（夹逼法）。 2.解题方法技巧: 估值确定整数部分：找到相邻完全平方数（如，则整数部分为2）； 计算小数部分：小数部分=原数-整数部分（如小数部分为）； 代入代数式时，利用平方消去根号简化计算。 【例题5】.（24-25八年级上·宁夏中卫·期中）我们知道，是一个无理数，将这个数减去整数部分，差就是小数部分．即的整数部分是1，小数部分是 ，请回答以下问题： (1)的小数部分是 ； (2)若 的小数部分a， 求的值 【答案】(1) (2)2 【分析】本题考查了无理数的估算，平方差公式的计算，已知字母的值求代数式的值，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据，得出，即可知道的小数部分， （2）与（1）同理得，则，然后代入进行计算，即可作答． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴的小数部分是； （2）解：∵， ∴， 则的小数部分是， 即， 则． 【变式题5-1】.（24-25八年级下·湖南湘西·月考）规定用表示一个实数的整数部分，例如，，，并且规定一个实数减去它的整数部分表示这个实数的小数部分，按此规定解答问题： (1)＝______，的小数部分为_____； (2)已知，分别是的整数部分和小数部分，求的值． 【答案】(1) (2)40 【分析】本题考查了二次根式的混合运算和无理数的估算，正确进行无理数的大小的估算是解题的关键． （1）估算出无理数的范围，从而得到无理数的整数部分和小数部分； （2）根据二次根式的混合运算化简，估算出无理数的范围，得到无理数的整数部分和小数部分，将、的值代入求解即可． 【详解】（1）解：∵， ， ， ∴的小数部分为， 故答案为：； （2）解： ． 【变式题5-2】.（25-26八年级上·山东枣庄·期中）阅读下面的文字，解答问题：大家都知道是无理数，而且，即，无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部地写出来，因为的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分．于是小明用来表示的小数部分，又例如：，即，的整数部分为2，小数部分为．请解答： (1)的整数部分为________，小数部分为________； (2)设的整数部分为，小数部分为，求的值． 【答案】(1)2， (2)4 【分析】本题考查无理数的估算，二次根式的计算，熟练掌握二次根式的计算法则，是解题的关键： （1）夹逼法求出的整数部分和小数部分即可； （2）夹逼法求出整数部分和小数部分，再利用二次根式的法则进行计算即可． 【详解】（1）解：， ∴， ∴的整数部分为2，小数部分为； 故答案为：2，； （2）∵， ∴， ∴， ∴，， ∴． 【变式题5-3】.（24-25七年级下·广西柳州·期中）阅读下面的文字，解答问题： 大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部地写出来，于是小明用来表示的小数部分，你同意小明的表示方法吗？事实上，小明的表示方法是有道理，因为的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分． 又例如：，即， 的整数部分为2，小数部分为． 请解答： (1)的整数部分是_____，小数部分是_____； (2)若的整数部分是，小数部分为，，求的值． 【答案】(1)4， (2)3或13 【分析】本题考查二次根式估值，绝对值计算，二次根式混合计算等． （1）根据题意可得，继而得到本题答案； （2）由题意得，，，再将字母的值代入式子的值计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴的整数部分是4， ∴小数部分是， 故答案为：4，； （2）解：， 的整数部分，小数部分，， 当时，， ， ， ， ； 当时，， ， ， ， ； ∴或13． 【压轴素养题型】 【题型6】分子有理化的化简与大小比较 1.核心知识点: 分子有理化的定义（消去分子中根号的变形）； 二次根式大小比较的转化思路。 2.解题方法技巧: 分子有理化步骤：同乘分子的共轭因式（如）； 大小比较：分子为1时，分母越大值越小（如，故）。 【例题6】.（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）阅读理解下列材料，并解决相应的问题． ［材料一］两个含有二次根式且非零的代数式相乘，如果它们的积不含二次根式，那么这两个代数式互为有理化因式．例：，，我们称和互为有理化因式，和互为有理化因式． （1）的有理化因式是 （写出一个即可），的有理化因式是 （写出一个即可）； ［材料二］如果一个代数式的分母中含有二次根式，通常可将分子、分母同乘分母的有理化因式，使分母中不含根号，这种变形叫做分母有理化． （2）请利用分母有理化化简计算：． ［材料三］与分母有理化类似，将代数式分子、分母同乘分子的有理化因式，从而消去分子中的根式，这种变形叫做分子有理化．比如：． （3）试利用分子有理化比较和的大小．并说明理由． 【答案】（1）（答案不唯一），（答案不唯一）；（2）；（3） 【分析】本题考查分母有理化，估算无理数的大小及规律探索问题，熟练掌握分母有理化的步骤及方法是解题的关键． （1）根据有理化因式的定义即可求得答案； （2）根据分母有理化计算即可； （3）利用分母有理化得到，，然后比较大小即可． 【详解】解：（1）的有理化因式是（答案不唯一）， 的有理化因式是（答案不唯一）， 故答案为：（答案不唯一），（答案不唯一）； （2） ； （3）， ， ， ， ． 【变式题6-1】.（24-25八年级上·甘肃白银·期中）阅读下面材料： 我们在学习二次根式时，熟悉的是分母有理化以及应用，其实，还有一个方法叫做“分子有理化”，与分母有理化类似，分母和分子都乘以分子的有理化因式，从而消掉分子中的根式比如：，分子有理化可以用来比较某些二次根式的大小，也可以用来处理一些二次根式的最值问题．例如：比较和的大小可以先将它们分子有理化如下：，，因为，所以．再例如：求的最大值．做法如下： 解：由，可知，而，当时，分母有最小值2，所以y的最大值是2． 解决下述问题： (1)由材料可知，； (2)比较和的大小； (3)式子的最大值是________． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查二次根式的混合运算，分子有理化，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据分子有理化的方法进行求解即可； （2）模仿题干过程，进行整理，即可作答． （3）模仿题干过程，进行整理，即可作答． 【详解】（1）解：， 故答案为：． （2）解：依题意，， ∴，， ∵， ∴ ∴； （3）解：， ∵， ∴由，可知， 则 当时，分母有最小值， ∴的最大值是． 【变式题6-2】.（24-25八年级下·北京·期中）阅读下面材料： 我们知道把分母中的根号化去叫分母有理化，例如：． 类似的把分子中的根号化去就是分子有理化，例如：． 请根据上述材料，解决下列问题： (1)把下列各式分子有理化： ①_____； ②_____； (2)利用分子有理化的方法，比较和的大小，并说明理由； (3)当_____时，代数式有最_____值（填“大”或“小”）为_____． 【答案】(1)①；②； (2)，理由见解析 (3)1，大，． 【分析】本题考查了二次根式的混合运算、二次根式有意义的条件，熟练掌握分母有理化是解题的关键． （1）根据阅读材料中的方法进行分子有理化即可； （2）先根据阅读材料中的方法进行分子有理化，然后再比较即可； （2）先根据阅读材料中的方法进行分子有理化，然后确定最值即可解答． 【详解】（1）解：① ； ②． 故答案为：，． （2）解：，理由如下： 由， ， 又∵， ∴． ∴． （3）解： ， ∵， ∴， ∴当时，有最大值，即有最大值． 故答案为：1，大，． 【变式题6-3】.（25-26八年级上·贵州贵阳·月考）【方法总结】如何比较两个数的大小，我们常采用作差或作商的方法，其实有时候用“平方法”来比较大小也会取得很好的效果．例如，比较和的大小，我们可以把和分别平方．，，则，，，． 请利用“平方法”解决下面问题： (1)比较，的大小， （填写“”“”或“”）． (2)猜想和之间的大小，并说明理由． 【拓展延伸】当然除了“平方法”外，分子有理化可以用来比较某些二次根式的大小．例如，比较和的大小，可以先将它们分子有理化如下： ，，，． (3)根据材料，请选择合适的方法比较与的大小，写出具体比较过程． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了利用平方法和分子有理化比较实数的大小． ()模仿题干中的“平方法”比较大小即可； ()模仿题干中的“平方法”比较大小即可； ()可利用分子有理化比较大小即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴，， ∵， ∴ ∵，， ∴； （2）∵，， ∴， ， ∵ ∴， 即：， ∵，， ∴； （3）∵， ， 又∵， ∴， ∴． 【题型7】二次根式的化简求值（整体思想） 1.核心知识点： 二次根式的混合运算； 整体代换求代数式的值。 2.解题方法技巧： 先化简已知条件（如，，则，）； 将所求代数式变形为含整体的形式（如）； 代入整体值计算（如）。 【例题7】.（24-25八年级下·湖北咸宁·月考）请阅读下列材料： 问题：已知，求代数式的值． 小明根据二次根式的性质：，联想到了以下的解题方法： 由得，则，即，∴．把作为整体，得：． 请回答下列问题： (1)已知，求代数式的值． (2)已知，求代数式的值． (3)已知，求代数式的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（）根据题例解答即可； （）由已知求出，再利用完全平方公式可得，进而即可求解； （）由已知得，进而可得，把代数式转化为，代入即可求解； 本题考查了二次根式的化简求值，完全平方公式的运用，正确对所求式子进行变形是解题的关键． 【详解】（1）解：∵ ∴， ∴，即， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴ ． 【变式题7-1】.（25-26八年级上·江西景德镇·期中）在解决问题“已知，求的值”时，红华是这样分析与解答的： ∵ ∴ ∴，即， ∴ ∴ ∴ 请根据红华的分析过程，解决下列问题： (1)化简：． (2)若，求的值． (3)已知，求代数式的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了分母有理化，完全平方公式，平方差公式． （）进行分母有理化即可求解； （）仿照题例即可求解； （）仿照题例即可求解． 【详解】（1）解： ； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：∵， ∴， ∴ ∴， ∴， ∴ ． 【变式题7-2】.（25-26八年级上·湖南常德·期中） “双剑合璧，天下无敌”，意思是两人合在一起，取长补短，威力无比．在二次根式中也有这种相辅相成的“对子”，像、、（），两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．例如与，与，与等都是互为有理化因式． 在进行二次根式计算时，利用有理化因式可以化去分母中的根号，例如： ；． 解答下列问题： (1)与________互为有理化因式，将分母有理化得________，可以化简为________． (2)已知有理数、满足，求、的值． (3)若，求的值． 【答案】(1)；； (2)， (3) 【分析】本题主要考查了分母有理化、二次根式的混合运算、平方差公式等知识点，掌握二次根式的混合运算法则是解题的关键． （1）根据平方差公式、分母有理化进行解答即可； （2）先对等式左边进行分母有理化，然后求解即可； （3）先将分母有理化，得到，然后将其代入式子计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴与互为有理化因式； ； ； 故答案为：；；； （2）解： ， ， ∴， 解得， ∴，； （3）解：∵， ∴ ． 【变式题7-3】.（25-26八年级上·四川·期中）恒等变形是代数求值的一个重要方法，利用恒等变形，可以把无理数运算转化为有理数运算，可以把次数较高的代数式转化为次数较低的代数式． 【阅读材料】当时，求． 方法：将条件变形，两边同时平方得：， 所以移项得：，两边同时乘x得：， 原式 【类比应用】（1）已知，求的值． 【深入思考】（2）已知，求的值． 【拓展延伸】（3）已知，求的值． 【答案】（1）8；（2）；（3） 【分析】本题主要考查了二次根式的化简求值，分母有理化，正确理解题意是解题的关键． （1）先分母有理化得到，则，再利用完全平方公式即可得到答案； （2）先得到，则可求出，，进而把所求式子变形得，进一步变形得到，据此可得答案； （3）先分母有理化求出，从而得，两边平方得， 即，得出， 再把所求式子的分母变形为，从而求出分母值；进一步把分子可变形为 ，从而求出分子值，据此代值计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴； （2）∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∴ ； （3）∵， ∴ ， ∴， 两边平方得， 即， ∴， ∴， ， ∴ ． 【题型8】二次根式的新定义运算（素养导向） 1.核心知识点： 二次根式的加减与混合运算； 新定义运算规则的理解与应用。 2.解题方法技巧： 解读新定义（如“”：时为，时为）； 按定义代入二次根式，先化简再运算（如）。 【例题8】.（24-25八年级下·福建福州·期中）定义：我们将与称为一对“对偶式”． 因为，所以构造“对偶式”，再将其相乘可以有效的将和中的“”去掉，于是我们学习过的二次根式除法可以这样计算：如．像这样，通过分子、分母同乘以一个式子把分母中的根号化去或把根号中的分母化去，叫做分母有理化． 根据以上材料，理解定义并运用材料提供的方法，解答以下问题： (1)请直接写出的对偶式_____； (2)已知，，求的值； 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的分母有理化、二次根式的乘法与加减法，熟练掌握二次根式的分母有理化是解题关键． （1）根据对偶式的定义即可得； （2）先将分母有理化，再求出的值，然后代入计算即可得． 【详解】（1）解：的对偶式为， 故答案为：． （2）解：∵， ， ∴， ， ， ∴ ． 【变式题8-1】.（24-25八年级下·河南周口·月考）定义：任意两个数、，按规则扩充得到一个新数，称所得的新数为“如意数”． (1)若，，求出、的“如意数”； (2)已知，且、的“如意数”，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是新定义运算，二次根式的运算，完全平方公式， （1）根据题目中所给的运算规则可得“如意数”c； （2）先有理化可得，根据题目中所给的运算规则可得，问题即可得解． 【详解】（1） （2）∵， ，的“如意数”， ∴， ∴， 即：． 【变式题8-2】.（25-26八年级上·山东济南·期中）按要求进行二次根式的有关计算： (1)阅读：小芳同学在研究化简中发现： 首先把化为，由于，，即：，， 所以：， 应用：__________，__________． (2)阅读：； 应用：①若，求的值； ②解方程． (3)阅读：已知，，试比较，的大小；不好直接比较，可用如下方法： ，，因，且，都是正数，故． 应用：比较大小：__________，__________． 【答案】(1)， (2)①；② (3)， 【分析】（）根据小芳同学的计算方法解答即可； （）①先对进行分母有理化得，即得，进而得到，再代入代数式计算即可求解；②先化简方程，再解方程求出的值即可； （）根据阅读材料的方法解答即可； 本题考查了二次根式的化简及求值，解一元一次方程，掌握二次根式的性质及运算法则是解题的关键． 【详解】（1）解：， ， 故答案为：，； （2）解：①∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； ②∵， ∴， ∴， ∴， 即； （3）解：，， ∵， ∴； ， ∵， ∴， 故答案为：，． 【变式题8-3】.（25-26八年级上·上海徐汇·月考）阅读材料： 已知为非负实数，，当且仅当“”时，等号成立． 这个结论就是著名的“均值不等式”，“均值不等式”在一类最值问题中有着广泛的应用．例：已知，求代数式的最小值． 解：令，则由，得． 当且仅当，即时，代数式取到最小值，最小值为4． 根据以上材料解答下列问题： (1)已知，则当___________时，代数式取到最小值，最小值为___________． (2)用篱笆围一个面积为的矩形花园，则当这个矩形花园的长、宽各为多少时，所用的篱笆最短？最短的篱笆的长度是多少米？ (3)已知，则自变量取何值时，函数取到最大值？最大值为多少？ (4)若为任意实数，代数式的值为m，则m的取值范围为___________． 【答案】(1)， (2)长和宽均为10米时，所用的篱笆最短，最短的篱笆的长度是40米 (3)当时，函数取到最大值，最大值为 (4) 【分析】本题主要考查不等式的性质，函数，分式的性质，分母有理化及完全平方公式，解题的关键是理解题意； （1）根据题中所给方法进行求解即可； （2）设这个矩形的长为x米，则宽为米，（），由题意得：所用篱笆的长度为米，然后根据题中所给方法进行求解即可； （3）由题意易得，然后根据题中所给方法可知代数式的最小值为，然后问题可求解； （4）由题意可分：当时，当时，当时，然后根据题中所给方法可分类进行求解． 【详解】（1）解：由，得， 当且仅当，即时，代数式取到最小值，最小值为； 故答案为：，． （2）解：设这个矩形的长为x米，则宽为米，（），由题意得： 所用篱笆的长度为米， 由，得， 当且仅当，即时，代数式取到最小值，最小值为20； ∴宽为米，所用篱笆的长度为米， 答：长和宽均为10米时，所用的篱笆最短，最短的篱笆的长度是40米 （3）解：∵， ∴由，得， 当且仅当，即时，代数式取到最小值，最小值为6， ∴代数式的最小值为， ∴函数的最大值为； ∴当时，函数取到最大值，最大值为； （4）解：由题意可分：当时，则； 当时，则， 由，得， 当且仅当，即时，代数式取到最小值，最小值为， ∴的最大值为， 当时，则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 当且仅当，即时，代数式取到最大值，最大值为， ∴的最小值为， 综上所述：m的取值范围为． 易错点 1.识别同类二次根式时，未将二次根式化为最简形式就直接对比被开方数（如误将与当作非同类二次根式）； 2.二次根式加减运算时，将非同类二次根式强行合并（如误算为）； 3.混合运算中忽略运算顺序或乘法公式的应用，导致计算繁琐或出错（如误算为，遗漏中间项）。 重点 1.掌握同类二次根式的识别方法（先化简，再看被开方数）； 2.熟练运用二次根式加减法则（化→找→合）进行基础运算； 3.掌握二次根式混合运算的顺序和乘法公式的灵活应用； 4.学会化简求值的基本思路和整体代换技巧。 难点 1.含字母的二次根式化简（需结合字母取值范围判断符号）； 2.二次根式混合运算中乘法公式与运算律的综合应用； 3.实际应用问题中数学模型的建立与最值求解； 4.探究规律题中从特例归纳一般结论的推理过程。 【对应练习题】 一、单选题 1．下列二次根式与是同类二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查同类二次根式的概念。关键在于将各选项化简为最简二次根式后，判断其被开方数是否与相同，只有D选项化简后为，符合题意． 同类二次根式需化简后比较被开方数，化简为，与被开方数相同． 【详解】解：∵， ∴与的被开方数均为3， 故与是同类二次根式． 故选：D． 2．最简二次根式与是同类二次根式，则的值为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】本题考查同类二次根式的概念，解题的关键是利用“同类二次根式的被开方数相同”这一性质列方程求解． 根据同类二次根式的定义，令两个最简二次根式的被开方数相等，列方程求解并验证． 【详解】解：因为最简二次根式与是同类二次根式， 所以同类二次根式的被开方数相同，可得方程：， 解得：， 验证：当时，，均为最简二次根式且被开方数相同，符合题意． 故选：B． 3．下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了二次根式的性质，二次根式的加减乘除，根据二次根式的性质和二次根式的加减乘除运算法则逐项求解判断即可． 【详解】解：A、，故A错误； B、，故B错误； C、，故C错误； D、，故D正确． 故选：D． 4．已知矩形的长为，面积为，要在这个矩形上剪下一个正方形，则所剪下的正方形的最大面积是（    ） A．30 B．40 C．50 D．60 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式的应用．先根据矩形面积和长求出宽，再比较长和宽的大小，确定正方形的最大边长，进而计算面积，即可作答． 【详解】解：∵矩形的长为，面积为， ∴矩形的宽为 ， ∵ ， ，且 ∴， ∴正方形的最大边长为， ∴正方形的最大面积为 ， 故选：D 5．满足不等式的整数m的个数是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】此题考查了无理数的估算，完全平方公式，二次根式的性质，首先利用完全平方公式得到，然后利用二次根式的性质化简得到，然后计算其近似值，确定整数m的范围． 【详解】解：∵ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴； ∵， ∴， ∴； ∴整数m的值为1或2或3，共3个． 故选：B． 二、填空题 6． ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的计算，掌握二次根式的加减运算法则是解题的关键．根据二次根式的减法运算法则求解即可． 【详解】解：． 故答案为：． 7．若n为正整数，且满足估算，则n的值为 ． 【答案】20 【分析】本题考查二次根式的混合运算，无理数的估算．先计算二次根式的混合运算，再估算该运算结果的范围，从而确定n的值． 【详解】解：， ∵， ∴， 即， ∴． 故答案为：20． 8．当时，式子的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式的化简求值以及二次根式的运算，先对式子进行化简，然后将的值代入即可． 【详解】解： ， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为： ． 9．观察下列各式： ，，， 请利用你所发现的规律， 计算， 其结果为 ． 【答案】 【分析】本题考查了数字类规律探索，二次根式的应用，根据已知规律，每个根式可化为的形式，然后求和，利用裂项相消法计算即可得出结果，正确得出规律是解此题的关键． 【详解】解：由规律可知，，其中从开始， 故 ， 故答案为：． 10．已知，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查二次根式有意义的条件，化简求值，根据二次根式的被开方数非负，确定的值，进而求出的值，然后代入表达式化简计算． 【详解】解：∵， ∴且， 解得． ∴． 则 ，， ∴， ∴ ， 故答案为：． 三、解答题 11．计算： (1)； (2)． (3)； (4)解方程：． 【答案】(1) (2) (3) (4)或 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，负整数指数幂，平方根的性质． （1）利用平方差公式和完全平方公式计算； （2）根据二次根式的乘除法则运算； （3）先根据负整数指数幂、二次根式的性质化简，再计算即可； （4）整理得到，再根据平方根的性质求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ; （4）解： 或， 或． 12．二次根式的除法运算通常可以采用化去分母中的根号的方法来进行．例如，．数学上将这种把分母中的根号去掉的过程称作“分母有理化”，请你探索“分母有理化”的方法，并把下列各式分母有理化： (1)； (2)； (3)（）． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查二次根式化简，掌握分母有理化的方法是解题的关键． （1）先把分母化成最简二次根式，然后分子分母同乘以分母的有理化因式，化简即可； （2）分子分母直接乘以分母的有理化因式，化简即可； （3）先把分母化成最简二次根式，然后分子分母同乘以分母的有理化因式，化简即可． 【详解】（1）解：． （2）解：． （3）解：， ， 故． 13．若，则称x和y是关于3的平衡数． (1)与 是关于3的平衡数；与 是关于3的平衡数； (2)已知m为整数，若，请说明与是关于3的平衡数； (3)已知为整数，a和b是关于3的平衡数，则 ． 【答案】(1)； (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了实数的新定义以及二次根式的加减混合运算的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据若，则称x和y是关于3的平衡数，直接列式作答即可； （2）先得，根据题意结果为，可求出，再结合“3的平衡数”的定义进行分析，即可作答． （3）先得，则，再根据，可求出，即可作答． 【详解】（1）解：由题意得，， ∴3与是关于3的平衡数； ∵， ∴与是关于3的平衡数， 故答案为：0，； （2）解：由题意得， ∴和， 解得， ∴ ， ∴二者是关于3的平衡数； （3）解：∵与是关于3的平衡数， ∴ ， 由题意得， ， 又∵， ∴，， ∴， ∴ 解得， ∴ ， ∴， 故答案为：． 14．在学习二次根式运算时，小明根据学习有理数运算积累的活动经验，类比探究了二次根式的运算规律， 特例； 特例； (1)特例3：________（填写一个符合上述运算特征的式子）； (2)求证：（，且n为整数）； (3)如果的小数部分是0.1，那么整数部分为_____． 【答案】(1) (2)见解析 (3)5 【分析】本题考查二次根式的性质，数字类规律探究，根据题干信息，得到（，且n为整数），是解题的关键： （1）仿照题干给出的特例，作答即可； （2）根据二次根式的性质进行化简即可； （3）利用规律先化简，再进行计算即可． 【详解】（1）解：由题意，； （2）证明：∵，且n为整数， ∴ ， ； （3）解： ， ∵的小数部分是0.1 ∴， ∴， ∴的整数部分为． 15．观察下列等式，解答后面的问题： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； …… (1)根据以上的规律，写出第8个等式________________； (2)利用上面的规律比较大小：________（填＞、＜或＝）； (3)计算：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查二次根式的混合运算， （1）根据平方差公式计算，即可得出规律； （2）根据题意给出规律，比较它们倒数的大小即可求出答案； （3）根据题意给出的规律进行化简后即可求出答案． 【详解】（1）解：根据题意：第8个等式， 故答案为：； （2）解：∵， ， ∵， ∴， ∴； 故答案为：； （3）解：∵ ∴原式 ． 学科网（北京）股份有限公司 $ 19.3二次根式的加法与减法 知识点1：同类二次根式 1.定义：几个二次根式化成最简二次根式后，若被开方数相同，则这几个二次根式叫做同类二次根式（可合并二次根式）。 2.识别关键：先将所有二次根式化为最简形式，再比较被开方数是否一致（与根号外的系数无关）。 知识点2：二次根式的加减法则 1.核心法则：二次根式加减时，先将每个二次根式化成最简二次根式，再把同类二次根式的系数相加，被开方数和根指数保持不变。 2.运算步骤：一“化”（化为最简二次根式）、二“找”（找出同类二次根式）、三“合”（合并同类二次根式）。 3.注意：被开方数不同的最简二次根式不能合并，需保留在结果中。 知识点3：二次根式的混合运算 1.运算顺序：与实数混合运算一致，先乘方，再乘除，最后加减；有括号先算括号内的，同级运算从左到右进行。 2.运算依据：有理数的运算律（交换律、结合律、分配律）、乘法公式（平方差公式、完全平方公式）在二次根式混合运算中仍适用。 知识点4：二次根式的化简求值 1.基本思路：先化简代数式（包括二次根式的加减、混合运算），再代入字母的值计算（代入前需确保字母取值使二次根式有意义）。 2.常用技巧：整体代换（如利用、的值求代数式的值）、分母有理化（化简含根式的分母）。 【基础必考题型】 【题型1】同类二次根式的识别与应用 1.核心知识点： 同类二次根式的定义（化简后被开方数相同）； 最简二次根式的化简方法。 2.解题方法技巧： 先将每个选项化为最简二次根式（如，）； 对比最简形式的被开方数，相同则为同类二次根式（如与是同类二次根式）。 【例题1】.（25-26八年级上·全国·课后作业）下列二次根式中，能与进行合并的是（   ） A． B． C． D． 【变式题1-1】.（25-26八年级上·上海闵行·月考）下列各式中，与是同类二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【变式题1-2】.（25-26九年级上·四川遂宁·月考）下列二次根式，不能与合并的是（） A． B． C． D． 【变式题1-3】.（25-26八年级上·陕西西安·月考）已知最简二次根式与是同类二次根式，则a的值为 ． 【题型2】二次根式的加减及混合运算 1.核心知识点： 二次根式的加减法则（化→找→合）； 最简二次根式的化简。 2.解题方法技巧： 分步化简每个二次根式（如，）； 合并同类二次根式（系数相加，被开方数不变，如）； 保留非同类二次根式（如无法合并，直接作为结果）。 【例题2】.（25-26九年级上·甘肃天水·期末）计算： ． 【变式题2-1】.（25-26八年级上·山西太原·月考）计算的结果是 ． 【变式题2-2】.（25-26八年级上·河南郑州·月考）计算： (1)； (2)． 【变式题2-3】.（25-26八年级上·江苏苏州·月考）计算： (1)． (2)． (3)． (4)． 【培优高频题型】 【题型3】二次根式与乘法公式的混合运算 1.核心知识点： 平方差公式、完全平方公式； 二次根式的混合运算顺序。 2.解题方法技巧： 观察式子结构，优先应用乘法公式简化运算（如）； 再进行加减运算（如）。 【例题3】.（25-26八年级上·陕西宝鸡·月考）计算： 【变式题3-1】.（25-26九年级上·河南洛阳·期中）计算： (1)； (2)． 【变式题3-2】.（25-26八年级上·湖南长沙·月考）2025年“数字中国”建设峰会讨论了多种数据加密方式，若以下运算为数据加密方式：，那么的值为（   ） A．1 B．4 C．－2 D．9 【变式题3-3】.（25-26九年级上·四川攀枝花·月考）在中，令，，则． (1)化简：． (2)推广： ．（只填结果） 【题型4】分母有理化的化简与应用 1.核心知识点: 分母有理化的定义（消去分母中根号的变形）； 有理化因式的识别（与分母相乘不含根号的式子）。 2.解题方法技巧: 单根式分母：同乘自身（如）； 二根式和差分母：同乘共轭因式（如）； 化简后合并同类二次根式或代入求值。 【例题4】.（25-26八年级上·河南郑州·月考）阅读并解答：已知，求代数式的值． 小熙根据二次根式的性质：，联想到了如下解法： 由得，则，即，， 把作为整体，得：．请运用上述方法解决下列问题： 已知，求代数式的值． 【变式题4-1】.（25-26八年级上·辽宁沈阳·期中）观察下列等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； …… (1)第个等式：______． (2)根据以上规律，计算的值． 【变式题4-2】.（24-25八年级上·贵州铜仁·期末）小星在解决问题：已知，求的值，他是这样分析与解答的： ， ． ，即． ． 请你根据小星的分析过程，解决如下问题： (1)填空：_______；_______； (2)计算：； (3)若，求的值． 【变式题4-3】.（25-26八年级上·山东济南·期中）阅读下列材料，然后回答问题： 材料一：在进行二次根式的化简与运算时，我们有时会碰上如一样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：，以上这种化简的步骤叫做分母有理化． 材料二：学习数学，最重要的是学习数学思想，其中一种数学思想叫做换元的思想．它可以简化我们的计算，比如我们熟悉的下面这个题：已知，求．我们可以把和分别看作是一个整体，令，则．这样，我们不用求出a，b就可以得到最后的结果． (1)计算：； (2)若m是正整数，，，则： ① ， （用含m的代数式表示）； ②若，求m的值： (3)若，则的值是 ． 【题型5】二次根式的整数与小数部分求解 1.核心知识点: 无理数的整数部分（不大于该数的最大整数）与小数部分（原数减整数部分）定义； 二次根式的估值方法（夹逼法）。 2.解题方法技巧: 估值确定整数部分：找到相邻完全平方数（如，则整数部分为2）； 计算小数部分：小数部分=原数-整数部分（如小数部分为）； 代入代数式时，利用平方消去根号简化计算。 【例题5】.（24-25八年级上·宁夏中卫·期中）我们知道，是一个无理数，将这个数减去整数部分，差就是小数部分．即的整数部分是1，小数部分是 ，请回答以下问题： (1)的小数部分是 ； (2)若 的小数部分a， 求的值 【变式题5-1】.（24-25八年级下·湖南湘西·月考）规定用表示一个实数的整数部分，例如，，，并且规定一个实数减去它的整数部分表示这个实数的小数部分，按此规定解答问题： (1)＝______，的小数部分为_____； (2)已知，分别是的整数部分和小数部分，求的值． 【变式题5-2】.（25-26八年级上·山东枣庄·期中）阅读下面的文字，解答问题：大家都知道是无理数，而且，即，无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部地写出来，因为的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分．于是小明用来表示的小数部分，又例如：，即，的整数部分为2，小数部分为．请解答： (1)的整数部分为________，小数部分为________； (2)设的整数部分为，小数部分为，求的值． 【变式题5-3】.（24-25七年级下·广西柳州·期中）阅读下面的文字，解答问题： 大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部地写出来，于是小明用来表示的小数部分，你同意小明的表示方法吗？事实上，小明的表示方法是有道理，因为的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分． 又例如：，即， 的整数部分为2，小数部分为． 请解答： (1)的整数部分是_____，小数部分是_____； (2)若的整数部分是，小数部分为，，求的值． 【压轴素养题型】 【题型6】分子有理化的化简与大小比较 1.核心知识点: 分子有理化的定义（消去分子中根号的变形）； 二次根式大小比较的转化思路。 2.解题方法技巧: 分子有理化步骤：同乘分子的共轭因式（如）； 大小比较：分子为1时，分母越大值越小（如，故）。 【例题6】.（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）阅读理解下列材料，并解决相应的问题． ［材料一］两个含有二次根式且非零的代数式相乘，如果它们的积不含二次根式，那么这两个代数式互为有理化因式．例：，，我们称和互为有理化因式，和互为有理化因式． （1）的有理化因式是 （写出一个即可），的有理化因式是 （写出一个即可）； ［材料二］如果一个代数式的分母中含有二次根式，通常可将分子、分母同乘分母的有理化因式，使分母中不含根号，这种变形叫做分母有理化． （2）请利用分母有理化化简计算：． ［材料三］与分母有理化类似，将代数式分子、分母同乘分子的有理化因式，从而消去分子中的根式，这种变形叫做分子有理化．比如：． （3）试利用分子有理化比较和的大小．并说明理由． 【变式题6-1】.（24-25八年级上·甘肃白银·期中）阅读下面材料： 我们在学习二次根式时，熟悉的是分母有理化以及应用，其实，还有一个方法叫做“分子有理化”，与分母有理化类似，分母和分子都乘以分子的有理化因式，从而消掉分子中的根式比如：，分子有理化可以用来比较某些二次根式的大小，也可以用来处理一些二次根式的最值问题．例如：比较和的大小可以先将它们分子有理化如下：，，因为，所以．再例如：求的最大值．做法如下： 解：由，可知，而，当时，分母有最小值2，所以y的最大值是2． 解决下述问题： (1)由材料可知，； (2)比较和的大小； (3)式子的最大值是________． 【变式题6-2】.（24-25八年级下·北京·期中）阅读下面材料： 我们知道把分母中的根号化去叫分母有理化，例如：． 类似的把分子中的根号化去就是分子有理化，例如：． 请根据上述材料，解决下列问题： (1)把下列各式分子有理化： ①_____； ②_____； (2)利用分子有理化的方法，比较和的大小，并说明理由； (3)当_____时，代数式有最_____值（填“大”或“小”）为_____． 【变式题6-3】.（25-26八年级上·贵州贵阳·月考）【方法总结】如何比较两个数的大小，我们常采用作差或作商的方法，其实有时候用“平方法”来比较大小也会取得很好的效果．例如，比较和的大小，我们可以把和分别平方．，，则，，，． 请利用“平方法”解决下面问题： (1)比较，的大小， （填写“”“”或“”）． (2)猜想和之间的大小，并说明理由． 【拓展延伸】当然除了“平方法”外，分子有理化可以用来比较某些二次根式的大小．例如，比较和的大小，可以先将它们分子有理化如下： ，，，． (3)根据材料，请选择合适的方法比较与的大小，写出具体比较过程． 【题型7】二次根式的化简求值（整体思想） 1.核心知识点： 二次根式的混合运算； 整体代换求代数式的值。 2.解题方法技巧： 先化简已知条件（如，，则，）； 将所求代数式变形为含整体的形式（如）； 代入整体值计算（如）。 【例题7】.（24-25八年级下·湖北咸宁·月考）请阅读下列材料： 问题：已知，求代数式的值． 小明根据二次根式的性质：，联想到了以下的解题方法： 由得，则，即，∴．把作为整体，得：． 请回答下列问题： (1)已知，求代数式的值． (2)已知，求代数式的值． (3)已知，求代数式的值． 【变式题7-1】.（25-26八年级上·江西景德镇·期中）在解决问题“已知，求的值”时，红华是这样分析与解答的： ∵ ∴ ∴，即， ∴ ∴ ∴ 请根据红华的分析过程，解决下列问题： (1)化简：． (2)若，求的值． (3)已知，求代数式的值． 【变式题7-2】.（25-26八年级上·湖南常德·期中） “双剑合璧，天下无敌”，意思是两人合在一起，取长补短，威力无比．在二次根式中也有这种相辅相成的“对子”，像、、（），两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．例如与，与，与等都是互为有理化因式． 在进行二次根式计算时，利用有理化因式可以化去分母中的根号，例如： ；． 解答下列问题： (1)与________互为有理化因式，将分母有理化得________，可以化简为________． (2)已知有理数、满足，求、的值． (3)若，求的值． 【变式题7-3】.（25-26八年级上·四川·期中）恒等变形是代数求值的一个重要方法，利用恒等变形，可以把无理数运算转化为有理数运算，可以把次数较高的代数式转化为次数较低的代数式． 【阅读材料】当时，求． 方法：将条件变形，两边同时平方得：， 所以移项得：，两边同时乘x得：， 原式 【类比应用】（1）已知，求的值． 【深入思考】（2）已知，求的值． 【拓展延伸】（3）已知，求的值． 【题型8】二次根式的新定义运算（素养导向） 1.核心知识点： 二次根式的加减与混合运算； 新定义运算规则的理解与应用。 2.解题方法技巧： 解读新定义（如“”：时为，时为）； 按定义代入二次根式，先化简再运算（如）。 【例题8】.（24-25八年级下·福建福州·期中）定义：我们将与称为一对“对偶式”． 因为，所以构造“对偶式”，再将其相乘可以有效的将和中的“”去掉，于是我们学习过的二次根式除法可以这样计算：如．像这样，通过分子、分母同乘以一个式子把分母中的根号化去或把根号中的分母化去，叫做分母有理化． 根据以上材料，理解定义并运用材料提供的方法，解答以下问题： (1)请直接写出的对偶式_____； (2)已知，，求的值； 【变式题8-1】.（24-25八年级下·河南周口·月考）定义：任意两个数、，按规则扩充得到一个新数，称所得的新数为“如意数”． (1)若，，求出、的“如意数”； (2)已知，且、的“如意数”，求的值． 【变式题8-2】.（25-26八年级上·山东济南·期中）按要求进行二次根式的有关计算： (1)阅读：小芳同学在研究化简中发现： 首先把化为，由于，，即：，， 所以：， 应用：__________，__________． (2)阅读：； 应用：①若，求的值； ②解方程． (3)阅读：已知，，试比较，的大小；不好直接比较，可用如下方法： ，，因，且，都是正数，故． 应用：比较大小：__________，__________． 【变式题8-3】.（25-26八年级上·上海徐汇·月考）阅读材料： 已知为非负实数，，当且仅当“”时，等号成立． 这个结论就是著名的“均值不等式”，“均值不等式”在一类最值问题中有着广泛的应用．例：已知，求代数式的最小值． 解：令，则由，得． 当且仅当，即时，代数式取到最小值，最小值为4． 根据以上材料解答下列问题： (1)已知，则当___________时，代数式取到最小值，最小值为___________． (2)用篱笆围一个面积为的矩形花园，则当这个矩形花园的长、宽各为多少时，所用的篱笆最短？最短的篱笆的长度是多少米？ (3)已知，则自变量取何值时，函数取到最大值？最大值为多少？ (4)若为任意实数，代数式的值为m，则m的取值范围为___________． 易错点 1.识别同类二次根式时，未将二次根式化为最简形式就直接对比被开方数（如误将与当作非同类二次根式）； 2.二次根式加减运算时，将非同类二次根式强行合并（如误算为）； 3.混合运算中忽略运算顺序或乘法公式的应用，导致计算繁琐或出错（如误算为，遗漏中间项）。 重点 1.掌握同类二次根式的识别方法（先化简，再看被开方数）； 2.熟练运用二次根式加减法则（化→找→合）进行基础运算； 3.掌握二次根式混合运算的顺序和乘法公式的灵活应用； 4.学会化简求值的基本思路和整体代换技巧。 难点 1.含字母的二次根式化简（需结合字母取值范围判断符号）； 2.二次根式混合运算中乘法公式与运算律的综合应用； 3.实际应用问题中数学模型的建立与最值求解； 4.探究规律题中从特例归纳一般结论的推理过程。 【对应练习题】 一、单选题 1．下列二次根式与是同类二次根式的是（    ） A． B． C． D． 2．最简二次根式与是同类二次根式，则的值为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 3．下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 4．已知矩形的长为，面积为，要在这个矩形上剪下一个正方形，则所剪下的正方形的最大面积是（    ） A．30 B．40 C．50 D．60 5．满足不等式的整数m的个数是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 二、填空题 6． ． 7．若n为正整数，且满足估算，则n的值为 ． 8．当时，式子的值是 ． 9．观察下列各式： ，，， 请利用你所发现的规律， 计算， 其结果为 ． 10．已知，则的值为 ． 三、解答题 11．计算： (1)； (2)． (3)； (4)解方程：． 12．二次根式的除法运算通常可以采用化去分母中的根号的方法来进行．例如，．数学上将这种把分母中的根号去掉的过程称作“分母有理化”，请你探索“分母有理化”的方法，并把下列各式分母有理化： (1)； (2)； (3)（）． 13．若，则称x和y是关于3的平衡数． (1)与 是关于3的平衡数；与 是关于3的平衡数； (2)已知m为整数，若，请说明与是关于3的平衡数； (3)已知为整数，a和b是关于3的平衡数，则 ． 14．在学习二次根式运算时，小明根据学习有理数运算积累的活动经验，类比探究了二次根式的运算规律， 特例； 特例； (1)特例3：________（填写一个符合上述运算特征的式子）； (2)求证：（，且n为整数）； (3)如果的小数部分是0.1，那么整数部分为_____． 15．观察下列等式，解答后面的问题： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； …… (1)根据以上的规律，写出第8个等式________________； (2)利用上面的规律比较大小：________（填＞、＜或＝）； (3)计算：． 学科网（北京）股份有限公司 $