精品解析：安徽省六安市舒城县部分学校联考2025-2026学年九年级上学期1月月考数学试题

安徽省六安市舒城县部分学校联考2025-2026学年九年级上学期 1月月考数学试题 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列函数中，是的反比例函数的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的定义，根据反比例函数的定义即可得出答案，掌握反比例函数的定义是解题的关键． 【详解】解：A、是的反比例函数，故选项不符合题意； B、由，可得，是的反比例函数，故选项符合题意； C、是的反比例函数，故选项不符合题意； D、函数式不是反比例函数，故选项不符合题意； 故选：． 2. 如果将抛物线向上平移1个单位，那么所得抛物线对应的函数关系式是（） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象的平移，根据抛物线的平移规律：上加下减，左加右减解答即可． 【详解】解：将抛物线向上平移1个单位，那么所得抛物线对应的函数关系式是 故选：A． 3. 已知点是上的黄金分割点（），若，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据黄金分割比可直接列式求解． 【详解】根据黄金分割点概念可得：， ∵， ∴， 故选C． 【点睛】本题主要考查黄金分割比，熟练掌握黄金分割比是解题的关键． 4. 如图,AB是⊙O的直径,弦CD⊥AB,垂足为E,如果AB="20,CD=16," 那么线段OE的长为【　　】 A. 10 B. 8 C. 6 D. 4 【答案】C 【解析】 【详解】解：如图，连接OD， ∵弦CD⊥AB，垂足为E ∴CE=DE=， ∵OA是半径 ∴OA=， 在Rt△ODA中，OD=OA=10，DE=8， ， 故选C． 5. 如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为1．若点，，都在格点上，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查利用网格求三角形面积，勾股定理，锐角三角函数，作于点，利用勾股定理得到、，结合等面积法，进而得到，最后利用余弦定义求解，即可解题． 【详解】解：作于点， 由图知，，， ， ， 即，解得， ， 的值为， 故选：B． 6. 如图，是边上一点，且．若，，则的度数（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质、三角形的内角和定理，先证明得到，再利用三角形的内角和定理求解即可． 【详解】解：∵， ∴，又， ∴， ∴， ∵，，， ∴， 解得， 故选：A． 7. ，已知，，面积为10，那么另一个三角形面积为（ ） A. 15 B. C. 12 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的性质，利用相似三角形的性质得出两三角形的面积比，进而求出即可． 【详解】解：∵，，， ∴， 面积为10， ， 故选：B． 8. 如图，是电线杆的一根拉线，米，，则的长为（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．根据正弦函数的定义得，由此可得出答案． 【详解】解：在中，米，， ， （米）． 故选：B． 9. 如图，在中，对角线与相交于点O，在的延长线上取一点E，连接交于点F．已知，则的长等于（　　） A. 1 B. C. 2 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了平行四边形的性质、相似三角形的判定与性质等知识．解此题的关键是准确作出辅助线，合理应用数形结合思想解题． 取的中点M，连接，根据平行四边形的性质以及三角形的中位线的性质得到，，，再根据，即可得到结论． 【详解】解：取的中点M，连接， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴，，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 解得： 故选：B． 10. 从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度(单位：)与小球运动时间(单位：)之间的函数关系如图所示．下列结论：①小球在空中经过的路程是；②小球抛出3秒后，速度越来越快；③小球抛出3秒时速度为0；④小球的高度时，．其中正确的是( ) A. ①④ B. ①② C. ②③④ D. ②③ 【答案】D 【解析】 【分析】根据函数的图象中的信息判断即可． 【详解】①由图象知小球在空中达到的最大高度是；故①错误； ②小球抛出3秒后，速度越来越快；故②正确； ③小球抛出3秒时达到最高点即速度为0；故③正确； ④设函数解析式为：， 把代入得，解得， ∴函数解析式为， 把代入解析式得，， 解得：或， ∴小球的高度时，或，故④错误； 故选D． 【点睛】本题考查了二次函数的应用，解此题的关键是正确的理解题意 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 11. 教练对小明推铅球的录像进行技术分析，建立平面直角坐标系（如图），发现铅球与地面的高度和运动员出手点的水平距离之间的函数关系为，由此可知铅球的落地点与运动员出手点的水平距离是________m． 【答案】10 【解析】 【分析】根据铅球落地时，高度，实际问题可理解为当时，求的值即可； 【详解】 当时，得： ， 解得：，（舍去） 即铅球的落地点与运动员出手点的水平距离是 故答案为：10 【点睛】本题考查了二次函数的应用，利用时求出的值是解题关键． 12. 在Rt△ABC 中，∠C是直角，sinA=，则cosB=__________ 【答案】 【解析】 【分析】由题意直接运用直角三角形的边角间关系进行分析计算即可求解得出结论. 【详解】解：如图， 解：在Rt△ABC中， ∵∠C是直角， ∴， 又∵, ∴. 【点睛】本题考查直角三角形的边角关系，熟练掌握正弦和余弦所对应的边角关系是解题的关键. 13. 如图，在中，，则的长度为_____． 【答案】6 【解析】 【分析】本题主要考查了解直角三角形，根据余弦的定义可得据此计算求解即可． 【详解】解：∵在中，， ∴， 故答案为：6． 14. 如图，点P是函数图象上的一点，过点P作轴于点A，若点B是的中点，且，则________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的的几何意义，先由题意得出，再由反比例函数的的几何意义即可得解． 【详解】解：∵点B是的中点，且， ∴， ∵点P是函数图象上一点，过点P作轴于点A， ∴， ∵反比例函数图象在第一象限，， ∴， 故答案为：． 三、解答题：本题共9小题，共90分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 如图，在ABC中，D为AC边上一点，∠DBC＝∠A，如果BC＝，AC＝3，求CD长． 【答案】2 【解析】 【分析】根据题意，结合图形中公共角，推出，从而利用相似三角形的对应边成比例列出式子进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴，即， 解得2， 故CD长为2． 【点睛】本题考查的是相似三角形的判定与性质，熟练掌握并运用相似三角形的判定与性质是解决本题的关键． 16. 已知抛物线与直线的一个交点的横坐标是2 （1）求a的值； （2）请在所给的坐标系中，画出函数与的图象，并根据图象，直接写出时x的取值范围 【答案】（1）a=-1；（2）图见解析，-1≤x≤2 【解析】 【分析】（1）把交点的横坐标2代入直线解析式求出交点坐标，再代入抛物线解析式计算即可求出a的值； （2）利用描点法作出抛物线图象和一次函数的图象，然后找出抛物线在直线上方部分的x的取值范围即可． 【详解】（1）x=2时，y2=2+1=3， 所以，交点的坐标为（2，3）， 把交点坐标代入抛物线得，a（2-1）2+4=3， 解得a=-1； （2）函数图象如图所示， y1≥y2时，x的取值范围为：-1≤x≤2． ． 【点睛】本题考查了二次函数图象，一次函数图象，一次函数图象上点的坐标特征，利用函数图象及函数值的大小确定自变量的取值范围，求出横坐标为2的交点坐标是解题的关键，也是本题突破口． 17. 某商场购进一批单价为元的商品，在商场试销发现：每天销售量（件）与销售单价（元件）之间满足如图所示的函数关系： （1）求与之间的函数关系式； （2）写出每天的利润与销售单价之间的函数关系式；售价定为多少时，才能使每天的利润最大？每天的最大利润是多少？ 【答案】（1） （2）；140元；1600元 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的应用和二次函数的性质，理解题意是解决本题的关键． （1）设函数关系式为，将和代入求解即可； （2）由题意可得，每件的利润为，再列出二次函数的解析式并根据二次函数的性质求解即可． 【小问1详解】 解：由题意，设， 图象过，， ， ，， ； 【小问2详解】 解：由（1）得，销售量， 每件的利润为， ， ， 当时，为最大值， 售价定为元时，才能使每天的利润最大，最大为元． 18. 如图1，筒车是我国古代利用水力驱动的灌溉工具，唐代陈廷章在《水轮赋》中写到：“破浪于川湄”，“斡流于波面”，“多寄临川之郡”，描述了筒车的工作原理和应用场景．如图2，筒车盛水桶的运动轨迹是以轴心为圆心的圆．已知圆心在水面上方，被水面截得的弦长为米，的直径米，若是运动轨道的最低点（劣弧的中点），求点到水面的距离． 【答案】米 【解析】 【分析】本题考查垂径定理、勾股定理，求得是解答的关键．连接交于D，连接，利用垂径定理的逆定理得到，米，在中，由勾股定理得，进而求得即可． 【详解】解：连接交于D，连接， 由题意，米，米， ∵是劣弧的中点， ∴， ∴米， 在中，由勾股定理得， ∴米， ∴（米）， 答：点到水面的距离为米． 19. 在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，建立如图所示的平面直角坐标系，是格点三角形（顶点在网格线的交点上）． （1）作出关于原点O成中心对称的，并写出点的坐标； （2）把向上平移4个单位长度得到，作出． 【答案】（1）图见解析，点的坐标为 （2）图见解析 【解析】 【分析】本题考查画中心对称图形，图形的平移： （1）通过作图得出A，B，C关于原点O的对称点，顺次连接即可得，根据点在坐标系中的位置，写出坐标即可； （2）将的顶点分别向上平移4个单位长度，得到对应点，顺次连接可得． 【小问1详解】 解：如下图所示，点的坐标为； 【小问2详解】 解：如下图所示． 20. 由我国完全自主设计、自主建造的首艘国产航母于2018年5月成功完成第一次海上试验任务．如图，航母由西向东航行，到达处时，测得小岛位于它的北偏东方向，且与航母相距80海里，再航行一段时间后到达B处，测得小岛位于它的北偏东方向．如果航母继续航行至小岛的正南方向的处，求还需航行的距离的长． （参考数据：，，，，，） 【答案】还需要航行的距离的长为20.4海里． 【解析】 【分析】根据题意得：∠ACD=70°，∠BCD=37°，AC=80海里，在直角三角形ACD中，由三角函数得出CD=27.2海里，在直角三角形BCD中，得出BD，即可得出答案． 【详解】解：由题知：，，． 在中，， ， （海里）． 在中，， ， （海里）． 答：还需要航行的距离的长为20.4海里． 【点睛】此题考查了解直角三角形的应用-方向角问题，三角函数的应用；求出CD的长度是解决问题的关键． 21. 如图，点是正方形的边延长线上一点，连接，过顶点作，垂足为，分别交于，交于． （1）求证：． （2）若点为的中点，求的值． 【答案】（1）证明见解析； （2）． 【解析】 【分析】本题考查正方形的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质，掌握三角形相似和全等的判定条件是解题关键． （1）根据正方形性质得、，由推导出，再通过证明，从而证明； （2）设，结合中点及全等得各线段长，用勾股定理算出，再通过直角三角形正弦函数求，由正方形对边平行证得，利用相似比得，最终算出的比值． 【小问1详解】 证明：根据正方形的性质，可知，， ∵， ∴， ∵，， ∴， 在与中， ， ∴， ∴． 【小问2详解】 设， ∵为的中点， ∴，， 由（）可知：， ∴， ∴由勾股定理可知：， ∵在和，， ∴， ∵在正方形中，，则， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴． 22. 如图，已知抛物线经过两点． （1）求抛物线的解析式和顶点坐标； （2）当时，直接写出的取值范围； （3）点为抛物线上一点，若，求出此时点的坐标． 【答案】（1）， （2） （3）点的坐标为或 【解析】 【分析】（1）由题意，根据抛物线的交点式表示解析式，再将交点式转化为顶点式即可得到答案； （2）由抛物线的图象与性质可知，当时，在对称轴处取最小值，再比较当与时的函数值即可得到的取值范围； （3）由平面直角坐标系中三角形面积得到，解方程得或，分类将其代入抛物线解析式解一元二次方程即可得到答案． 【小问1详解】 解：抛物线经过两点， 抛物线解析式为， 则抛物线的顶点坐标为； 【小问2详解】 解：由（1）知，抛物线的解析式为， 抛物线开口向上，对称轴为， 当时，在对称轴处取最小值，则； 当时，；当时，； 当时，的取值范围是； 【小问3详解】 解：如图所示： ， ， ， ， ， 解得或， 当时，代入抛物线的解析式为，得， 解得或， 则此时点的坐标为或； 当时，代入抛物线的解析式为，得， 此方程无解； 综上所述，点的坐标为或． 【点睛】本题考查二次函数综合，涉及求二次函数解析式、二次函数图象与性质、求函数值的范围、平面直角坐标系中三角形面积、直接开平方法解一元二次方程，熟记二次函数图象与性质，数形结合是解决问题的关键． 23. 我们把由不平行于底边的直线截等腰三角形的两腰所得的四边形称为 “准等腰梯形 ”．如图 1 ，四边形即为“准等腰梯形 ”，其中. （1）在图 1 所示的“准等腰梯形 ” 中，选择一个合适的顶点引一条直线将四边形 分割成一个等腰梯形和一个三角形或分割成一个等腰三角形和一个梯形 （画出一种示意图即可）； （2）如图 2，在“准等腰梯形 ” 中， ，E 为边 上一点，若，，求证： （3）如图 3 ，在由不平行于 的直线截 所得的四边形 中，与的平分线交于点 E，若，则四边形 是否为“准等腰梯形”？ 请说明理由． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3）是，理由见解析 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质的运用，平行线的性质的运用角平分线的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，解答时运用等腰三角形的性质求解是关键． （1）过点A作交于点E，则和四边形就是所求作的图形； （2）由，，就可以得出，就可以得出，就可以得出结论； （3）作于F，于G，于H，由角平分线的性质就可以得出，就可以得出，就可以得出，从而得出而得出结论． 【小问1详解】 解：如图，过点A作交于点E， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； ∵，不平行， ∴四边形梯形． ∴和四边形就是所求作的图形； 【小问2详解】 证明：∵， ∴． ∵， ∴ ∴， ∴； 【小问3详解】 解：四边形是“准等腰梯形”． 理由：作于F，于G，于H， ∵平分，平分， ∴． 在和中 ， ∴； ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． ∴四边形是“准等腰梯形”． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 安徽省六安市舒城县部分学校联考2025-2026学年九年级上学期 1月月考数学试题 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列函数中，是的反比例函数的是（　　） A. B. C. D. 2. 如果将抛物线向上平移1个单位，那么所得抛物线对应的函数关系式是（） A. B. C. D. 3. 已知点是上的黄金分割点（），若，则等于（ ） A. B. C. D. 4. 如图,AB是⊙O的直径,弦CD⊥AB,垂足为E,如果AB="20,CD=16," 那么线段OE的长为【　　】 A. 10 B. 8 C. 6 D. 4 5. 如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为1．若点，，都在格点上，则的值为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，是边上一点，且．若，，则的度数（ ） A. B. C. D. 7. ，已知，，面积为10，那么另一个三角形的面积为（ ） A 15 B. C. 12 D. 8. 如图，是电线杆的一根拉线，米，，则的长为（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 9. 如图，在中，对角线与相交于点O，在的延长线上取一点E，连接交于点F．已知，则的长等于（　　） A. 1 B. C. 2 D. 3 10. 从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度(单位：)与小球运动时间(单位：)之间的函数关系如图所示．下列结论：①小球在空中经过的路程是；②小球抛出3秒后，速度越来越快；③小球抛出3秒时速度为0；④小球的高度时，．其中正确的是( ) A ①④ B. ①② C. ②③④ D. ②③ 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 11. 教练对小明推铅球的录像进行技术分析，建立平面直角坐标系（如图），发现铅球与地面的高度和运动员出手点的水平距离之间的函数关系为，由此可知铅球的落地点与运动员出手点的水平距离是________m． 12. 在Rt△ABC 中，∠C是直角，sinA=，则cosB=__________ 13. 如图，在中，，则的长度为_____． 14. 如图，点P是函数图象上的一点，过点P作轴于点A，若点B是的中点，且，则________． 三、解答题：本题共9小题，共90分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 如图，在ABC中，D为AC边上一点，∠DBC＝∠A，如果BC＝，AC＝3，求CD的长． 16. 已知抛物线与直线的一个交点的横坐标是2 （1）求a的值； （2）请在所给坐标系中，画出函数与的图象，并根据图象，直接写出时x的取值范围 17. 某商场购进一批单价为元的商品，在商场试销发现：每天销售量（件）与销售单价（元件）之间满足如图所示的函数关系： （1）求与之间的函数关系式； （2）写出每天的利润与销售单价之间的函数关系式；售价定为多少时，才能使每天的利润最大？每天的最大利润是多少？ 18. 如图1，筒车是我国古代利用水力驱动的灌溉工具，唐代陈廷章在《水轮赋》中写到：“破浪于川湄”，“斡流于波面”，“多寄临川之郡”，描述了筒车的工作原理和应用场景．如图2，筒车盛水桶的运动轨迹是以轴心为圆心的圆．已知圆心在水面上方，被水面截得的弦长为米，的直径米，若是运动轨道的最低点（劣弧的中点），求点到水面的距离． 19. 在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，建立如图所示的平面直角坐标系，是格点三角形（顶点在网格线的交点上）． （1）作出关于原点O成中心对称的，并写出点的坐标； （2）把向上平移4个单位长度得到，作出． 20. 由我国完全自主设计、自主建造的首艘国产航母于2018年5月成功完成第一次海上试验任务．如图，航母由西向东航行，到达处时，测得小岛位于它的北偏东方向，且与航母相距80海里，再航行一段时间后到达B处，测得小岛位于它的北偏东方向．如果航母继续航行至小岛的正南方向的处，求还需航行的距离的长． （参考数据：，，，，，） 21. 如图，点是正方形的边延长线上一点，连接，过顶点作，垂足为，分别交于，交于． （1）求证：． （2）若点为的中点，求的值． 22. 如图，已知抛物线经过两点． （1）求抛物线的解析式和顶点坐标； （2）当时，直接写出取值范围； （3）点为抛物线上一点，若，求出此时点的坐标． 23. 我们把由不平行于底边的直线截等腰三角形的两腰所得的四边形称为 “准等腰梯形 ”．如图 1 ，四边形即为“准等腰梯形 ”，其中. （1）在图 1 所示的“准等腰梯形 ” 中，选择一个合适的顶点引一条直线将四边形 分割成一个等腰梯形和一个三角形或分割成一个等腰三角形和一个梯形 （画出一种示意图即可）； （2）如图 2，在“准等腰梯形 ” 中， ，E 边 上一点，若，，求证： （3）如图 3 ，在由不平行于 的直线截 所得的四边形 中，与的平分线交于点 E，若，则四边形 是否为“准等腰梯形”？ 请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $