专题1.1 二次根式及性质（高效培优讲义）数学浙教版八年级新教材下册

专题1.1 二次根式及性质 教学目标 1.理解二次根式的定义，掌握被开方数非负的核心条件，能判断一个代数式是否为二次根式，会求简单二次根式中字母的取值范围。 2.掌握二次根式的核心性质，能运用性质进行简单化简和求值。 教学重难点 1.重点 (1)二次根式的定义及被开方数非负的条件，能准确判断二次根式、求字母取值范围 (2)二次根式两个核心性质的理解和简单应用（化简、求值） 2.难点 (1)理解二次根式的性质; (2)复杂情境下二次根式中字母取值范围的求解（如分母含二次根式），以及性质的灵活运用。 知识点01 二次根式的定义及有意义的条件 1.定义：一般地，我们把形如 的式子的式子叫做二次根式，称为 称为二次根号．如都是二次根式。 【总结】二次根式满足条件： （1） 必须含有二次根号 （2） 被开方数必须是非负数 2.有意义的条件 ①单个二次根式：被开方数a≥0。 ②多个二次根式：所有被开方数均≥0。 ③含分母：被开方数≥0且分母≠0 【即学即练】 1．下列各式中，一定是二次根式的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式的定义，形如的式子叫二次根式，根据定义逐项分析即可． 【详解】解：A．∵，∴不是二次根式，故此选项不符合题意；     B．∵的根指数是3，∴不是二次根式，故此选项不符合题意；     C．∵，∴是二次根式，故此选项符合题意； D．当即时，不是二次根式，故此选项不符合题意；     故选：C． 2．若代数式有意义，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，根据二次根式有意义的条件，被开方数必须大于或等于零，可得关于的不等式，解不等式即可得到的取值范围． 【详解】解： 有意义， ， 解得：． 故答案为：． 3．已知是正整数，则自然数的最小值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二次根式的性质以及结果为整数可确定的值． 【详解】解：∵是正整数，是整数， ∴的最小值是． 故选：． 【点睛】本题考查了二次根式的定义，熟练掌握二次根式的定义是解题的关键． 知识点02 二次根式性质 （1） 双重非负性≥0, a≥0: (主要用于字母的求值) （2）回归性: (主要用于二次根式的计算) （3）转化性： 【即学即练】 1． ． 【答案】 【分析】题目主要考查二次根式的大小比较，绝对值的化简，根据题意得出，然后化简绝对值即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 2．实数a，b在数轴上的位置如图所示，则化简 ． 【答案】 【分析】本题考查数轴的应用，二次根式的化简，绝对值的化简，根据数轴判断字母的符号是解题关键． 根据数轴可知，，，据此进行化简即可． 【详解】解：根据数轴可知，，，则， ∴． 故答案为： 3．已知，化简： ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的性质，先去根号，得到绝对值后，再结合的取值范围确定化简后每个绝对值的值，最后进行有理数运算． 【详解】， ， ，， ∴原式． 故答案为：． 题型01二次根式的识别 【典例1】下列各式不是二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了二次根式的定义，正确掌握二次根式的定义是解题关键． 根据二次根式的概念，形如的式子是二次根式，逐一判断即可得到答案． 【详解】解：A、是二次根式，不合题意； B、中，故不是二次根式，符合题意； C、，则是二次根式，不合题意； D、是二次根式，不合题意； 故选：B． 【变式1】下列各式一定是二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式的定义，熟练掌握二次根式的基本形式是解题的关键． 根据二次根式的定义（形如，的式子），逐一分析各选项是否满足条件． 【详解】解：A、的根指数为3，不是二次根式，不符合题意； B、，根指数为2，且，故，被开方数恒正，一定是二次根式，符合题意 C、的被开方数为负数，不是二次根式，不符合题意； D、，当时，无意义或为负数，故不一定是二次根式，不符合题意； 故选：B． 【变式2】下列式子中，不一定是二次根式的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是二次根式的定义，准确把握“被开方数非负”是解题的关键．根据二次根式的定义，需判断被开方数是否恒大于等于：通过分析各选项被开方数的取值范围，得出只有选项的被开方数不恒非负，进而确定其不一定是二次根式． 【详解】解：二次根式定义要求被开方数， ：，被开方数，总是二次根式； ：中，故总是二次根式； ：，当时，，无意义，不一定是二次根式； ：中，故总是二次根式． 故选：． 【变式3】下列各式中一定是二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是二次根式的定义，根据二次根式的概念，形如的式子是二次根式，依据定义即可判断． 【详解】解：A、∵，∴不是二次根式，故此选项错误； B、根指数是3，不是二次根式，故此选项错误； C、∵，∴是二次根式，故此选项正确； D、当时，不是二次根式，故此选项错误； 故选：C． 题型02 求二次根式的值 【典例2】当时，二次根式的值是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查二次根式的计算，掌握算理是解决问题的关键．将代入计算即可． 【详解】解：当时， ． 故选：B． 【变式1】当时，二次根式的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查求二次根式的值，将代入二次根式 中，计算被开方数的值，再求其算术平方根． 【详解】当时， ， 故选：C． 【变式2】当时，二次根式的值是 ． 【答案】2 【分析】本题考查了二次根式的性质，把代入计算，然后根据二次根式的性质化简即可． 【详解】解：把代入，得 ． 故答案为：2． 【变式3】当时，二次根式的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的性质，理解二次根式的性质是解题关键． 将代入，进而根据二次根式的性质化简，即可求解． 【详解】解：当时，， 故答案为：． 题型03求二次根式中参数 【典例3】当 时，二次根式的值为0． 【答案】2 【分析】本题主要考查的求二次根式中的参数，属于基础题型．理解二次根式的概念是解题的关键．当二次根式的被开方数为零时，则二次根式的值为零． 【详解】解：根据题意可得：，解得：． 故答案为：2． 【变式1】若是一个整数，则正整数m的最小值是 ． 【答案】3 【分析】本题考查二次根式的化简，化简二次根式后判断是个平方数是求解本题的关键．得出是一个平方数，进而求解即可． 【详解】解：∵是一个整数， ∴是一个平方数， ∴的最小值是3． 故答案为：3． 【变式2】已知是整数，则满足条件的最小正整数的值为 ． 【答案】1 【分析】本题主要考查二次根式的运算．根据题意可得是完全平方数，即可求解． 【详解】解：∵是整数， ∴是完全平方数， ∴满足条件的最小正整数的值为1，此时，满足条件． 故答案为：1 【变式3】若是整数，则正整数的最小值是 ． 【答案】7 【分析】本题主要考查了二次根式的化简，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键．先将化简，再根据其为整数的条件，确定正整数的最小值． 【详解】解：． 因为是整数， 所以必须是整数．则为完全平方数，正整数的最小值为． 故答案为：． 题型03 二次根式有意义的条件 【典例3】若有意义，则x的取值范围为 ． 【答案】且 【分析】本题考查二次根式和分式有意义的条件，熟练掌握二次根式和分式的概念是关键． 分式有意义的条件是分母不为零，二次根式则要求被开方数非负，结合在一起解不等式组即可． 【详解】解：∵有意义， ∴， 解得且， 故答案为：且． 【变式1】若 在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，根据二次根式有意义的条件，被开方数必须大于或等于零，即可求解． 【详解】解：由题意，得， 解得． 故答案为：． 【变式2】函数 的自变量x的取值范围是 ． 【答案】且 【分析】本题考查分式和二次根式有意义的条件；根据分式分母不为零和二次根式被开方数非负的条件求解. 【详解】解：∵， 解得：， ∵， 解得：， 故自变量的取值范围是且. 【变式3】在函数中，自变量的取值范围是 ． 【答案】且 【分析】本题主要考查了求自变量的取值范围，二次根式和分式有意义的条件，二次根式有意义的条件是被开方数大于等于0，分式有意义的条件是分母不为0，据此列式求解即可． 【详解】解：由题意得，， ∴且， 故答案为：且． 题型04 利用二次根式的性质化简 【典例4】计算： ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了二次根式的性质，掌握二次根式的性质：是解题的关键． 利用二次根式的性质，将原式转化为绝对值表达式，再根据内部表达式的符号进行化简即可． 【详解】解：根据二次根式的性质可得：， ∵， ∴， ∴，即． 故答案为：． 【变式1】若，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查二次根式化简及绝对值的性质．根据算术平方根的性质和绝对值的定义，结合条件 进行化简． 【详解】解：∵ ，且已知 ， ∴， ∴． 故答案为：． 【变式2】化简：当时， ． 【答案】 【分析】本题考查了根据二次根式的性质化简．由条件且平方根内表达式非负，推出且，再将平方根内的表达式分解为平方因子和非平方因子进行化简，即可求解． 【详解】解：∵，且为实数， ∴， ∵和， ∴，即， ∵， ∴且． ∴． 故答案为：． 【变式3】化简： ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的化简，掌握二次根式的性质是解题的关键． 根据绝对值的性质和二次根式的性质，分别化简各项后计算． 【详解】解：， ，， 原式 ， 故答案为：． 题型05 复合二次根式的化简 【典例5】先阅读下面的解题过程，然后再解答： 形如的化简，只要我们找到两个数a，b，使，，使得，，那么便有： . 例如：化简：. 解：首先把化为，这里，， 因为，， 即，， 所以== 根据上述例题的方法化简： 【答案】 【分析】直接利用完全平方公式化简求出答案. 【详解】解：首先把化为，这里，， 因为， 即，， 所以== 故答案为. 【点睛】此题主要考查了二次根式的化简，正确应用完全平方公式是解题的关键. 【变式1】化简＝ 【答案】 【分析】将原式化为，再利用二次根式的性质化简即可． 【详解】解： = = = = 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次根式的性质与化简，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【变式2】【阅读材料】小明在学习二次根式时，发现一些含根号的式子可以化成另一个式子的平方，如：； ． 【类比归纳】 (1)小华仿照小明的方法将化成了，则__________，__________． (2)请运用小明的方法化简． 【答案】(1)3； (2) 【分析】本题主要考查了二次根式的性质和完全平方公式的使用，解题的关键在于能够准确读懂题意． （1）将4看成是，则，由此求解即可； （2）将7看成是，则，由此求解即可． 【详解】（1）解： ， ∴； ∴； （2）解： ． 【变式3】先阅读再求值． 在计算的过程中，小明和小莉的计算结果不一样． 小明的计算过程如下： ＝ ＝ ＝ ＝ 小莉的计算过程如下： ＝ ＝ ＝ ＝ (1)请判断小明与小莉谁的计算结果正确，并说明理由； (2)计算：． 【答案】(1)小莉的化简结果正确，见解析 (2) 【分析】本题考查了复合二次根式的化简，熟练掌握二次根式的性质是解答本题的关键． （1）根据二次根式的性质结合小明与小莉谁的计算过程分析即可； （2）仿照小莉的解答过程求解即可． 【详解】（1）小莉的化简结果正确，理由如下： （2）原式 1．若在实数范围内有意义，则x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次根式有意义的条件，平方根在实数范围内有意义的条件是被开方数非负，据此即可求得答案． 【详解】解：∵在实数范围内有意义， ∴， ∴， 故选：D． 2．下列各式中，一定是二次根式的是(   ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式的定义，根据被开方数必须非负逐一分析各选项即可求解． 【详解】解：∵ 二次根式要求被开方数是非负数． 对于A：被开方数为，不符合； 对于B：根指数为3，是三次根式，不是二次根式； 对于C：∵，∴，恒成立，故一定是二次根式； 对于D：当时，，被开方数为负，不是二次根式． ∴ 只有C一定是二次根式． 故选：C． 3．下列各式中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式的性质，解题的关键是掌握及的运算规则． 根据二次根式的性质分别化简各选项，注意算术平方根的结果为非负数，平方运算的符号规则． 【详解】解：A、，此选项不符合题意； B、，此选项符合题意； C、，此选项不符合题意； D、，此选项不符合题意． 故选：B． 4．已知实数a、b在数轴上对应点的位置如图所示：试化简：（    ） A．2a B．0 C． D．2b 【答案】C 【分析】本题考查了实数与数轴、算术平方根．由数轴得，，再利用算术平方根的性质化简式子即可． 【详解】解：由数轴得，，， ∴， ∴ ； 故选：C． 5．请写出一个的值 ，使在实数范围内有意义． 【答案】5（大于或等于5的实数均可） 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，二次根式有意义的条件是被开方数必须非负，由此列出不等式求出x的取值范围即可得到答案． 【详解】解：∵式子在实数范围内有意义， ∴， ∴， ∴符合题意的x的值可以为5； 故答案为：5（大于或等于5的实数均可）． 6．若 ，则的值为 ． 【答案】 【分析】此题考查二次根式的非负性，根据非负数的性质，若两个非负数的和为零，则每个非负数均为零． 【详解】解：因为 且 ，且 ， 所以 且 ， 解得 ，， 因此 ， 故答案为：． 7．等式成立的条件是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式有意义，根据，得出，再解得，即可作答． 【详解】解：∵， ∴且， ∴且， ∴， 故答案为：． 8．计算： ； ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的性质，熟悉掌握运算法则是解题的关键． 利用运算法则运算求解即可． 【详解】解：； 故答案为：；． 9．若是正整数，则满足条件n的最小正整数值为 ． 【答案】2 【分析】本题考查了二次根式的性质，先化简，再结合是正整数，故是正整数，即可求出满足条件的n的最小正整数值． 【详解】解：依题意，， ∵是正整数， ∴是正整数， ∴满足条件的n的最小正整数值是， 故答案为：2． 10．计算： (1) (2) 【答案】(1)0.3 (2) 【分析】本题考查了二次根式的性质，掌握是解题的关键． （1）根据二次根式的性质，直接计算0.3的平方的算术平方根； （2）先利用平方的非负性化简根号内的数，再根据，去掉绝对值符号得到结果． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 11．计算：． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的性质，化简绝对值，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先根据二次根式的性质进行化简，以及化简绝对值，再运算加减法，即可作答． 【详解】解： ． 1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题1.1 二次根式及性质 教学目标 1.理解二次根式的定义，掌握被开方数非负的核心条件，能判断一个代数式是否为二次根式，会求简单二次根式中字母的取值范围。 2.掌握二次根式的核心性质，能运用性质进行简单化简和求值。 教学重难点 1.重点 (1)二次根式的定义及被开方数非负的条件，能准确判断二次根式、求字母取值范围 (2)二次根式两个核心性质的理解和简单应用（化简、求值） 2.难点 (1)理解二次根式的性质; (2)复杂情境下二次根式中字母取值范围的求解（如分母含二次根式），以及性质的灵活运用。 知识点01 二次根式的定义及有意义的条件 1.定义：一般地，我们把形如 的式子的式子叫做二次根式，称为 称为二次根号．如都是二次根式。 【总结】二次根式满足条件： （1） 必须含有二次根号 （2） 被开方数必须是非负数 2.有意义的条件 ①单个二次根式：被开方数a≥0。 ②多个二次根式：所有被开方数均≥0。 ③含分母：被开方数≥0且分母≠0 【即学即练】 1．下列各式中，一定是二次根式的是（　　） A． B． C． D． 2．若代数式有意义，则实数的取值范围是 ． 3．已知是正整数，则自然数的最小值为（　　） A． B． C． D． 知识点02 二次根式性质 （1） 双重非负性≥0, a≥0: (主要用于字母的求值) （2）回归性: (主要用于二次根式的计算) （3）转化性： 【即学即练】 1． ． 2．实数a，b在数轴上的位置如图所示，则化简 ． 3．已知，化简： ． 题型01二次根式的识别 【典例1】下列各式不是二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【变式1】下列各式一定是二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】下列式子中，不一定是二次根式的是（ ） A． B． C． D． 【变式3】下列各式中一定是二次根式的是（   ） A． B． C． D． 题型02 求二次根式的值 【典例2】当时，二次根式的值是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式1】当时，二次根式的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式2】当时，二次根式的值是 ． 【变式3】当时，二次根式的值为 ． 题型03求二次根式中参数 【典例3】当 时，二次根式的值为0． 【变式1】若是一个整数，则正整数m的最小值是 ． 【变式2】已知是整数，则满足条件的最小正整数的值为 ． 【变式3】若是整数，则正整数的最小值是 ． 题型03 二次根式有意义的条件 【典例3】若有意义，则x的取值范围为 ． 【变式1】若 在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是 ． 【变式2】函数 的自变量x的取值范围是 ． 【变式3】在函数中，自变量的取值范围是 ． 题型04 利用二次根式的性质化简 【典例4】计算： ． 【变式1】若，则 ． 【变式2】化简：当时， ． 【变式3】化简： ． 题型05 复合二次根式的化简 【典例5】先阅读下面的解题过程，然后再解答： 形如的化简，只要我们找到两个数a，b，使，，使得，，那么便有： . 例如：化简：. 解：首先把化为，这里，， 因为，， 即，， 所以== 根据上述例题的方法化简： 【变式1】化简＝ 【变式2】【阅读材料】小明在学习二次根式时，发现一些含根号的式子可以化成另一个式子的平方，如：； ． 【类比归纳】 (1)小华仿照小明的方法将化成了，则__________，__________． (2)请运用小明的方法化简． 【变式3】先阅读再求值． 在计算的过程中，小明和小莉的计算结果不一样． 小明的计算过程如下： ＝ ＝ ＝ ＝ 小莉的计算过程如下： ＝ ＝ ＝ ＝ (1)请判断小明与小莉谁的计算结果正确，并说明理由； (2)计算：． 1．若在实数范围内有意义，则x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．下列各式中，一定是二次根式的是(   ) A． B． C． D． 3．下列各式中，正确的是（    ） A． B． C． D． 4．已知实数a、b在数轴上对应点的位置如图所示：试化简：（    ） A．2a B．0 C． D．2b 5．请写出一个的值 ，使在实数范围内有意义． 6．若 ，则的值为 ． 7．等式成立的条件是 ． 8．计算： ； ． 9．若是正整数，则满足条件n的最小正整数值为 ． 10．计算： (1) (2) 11．计算：． 1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $