内蒙古呼和浩特市2025-2026学年高三上学期期末考试数学试题

高三年级 数学 注意事项： 1.考生务必将自己的姓名、准考证号填涂在试卷和答题卡的规定位置。 2.考生要将答案写在答题卡上，在试卷上答题一律无效。考试结束后，把答题卡 交回。 3.本试卷满分150分，考试时间120分钟。 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符 合题目要求的。 1.已知集合A={1,2,3},B={xx2-3x+2=0}.则A∩B A.{1 B.{2 C.{1,3 D.{1,2} 2.若复数：=3-4i,则三= d A. c-+ n.- 3.向量a=(2,1),乙=(1，-2)，c=(k,2),若(a-b)⊥c,则k的值是 A.4 B.-4 C.6 D.-6 4.“x>1”是“x3+4x2+x-6>0”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 5.抛物线)2=8x的焦点和椭圆 3)+三1的一个焦点重合，则n号 A.2√7 B.28 C.4 D.16 6.正方形ABCD的边长为1，取正方形各边的中点A,、B,、C、D,作第二个正方形 A,B,C,D,然后再取正方形A,B,C,D,各边中点A2、B2、C2、D,作第三个正方形，依此方 法一直继续下去，则前10个正方形的面积和为 A2 B.2- 210 c.2- D.2- 28 7.为了得到函数y=log(2x+2)的图象，只需将y=log2x的图象上所有的点 A,向左平移2个单位长度，再把所得各点的横坐标变为原来的)倍（纵坐标不变） 高三年级数学第1页共4页 B.向右平移2个单位长度，再把所得各点的横坐标变为原来的。倍（纵坐标不变） C.向左平移2个单位长度，再把所得各点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变） D.向右平移2个单位长度，再把所得各点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变） 8.已知首项为3的数列{an}的前n项和为S.,若anS。1+2=an(Sn+2),则a6= A.3 B号 c D.-2 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符 合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.已知圆C:x2+y2-2x=0,直线y=2x+b,则 A.圆C的圆心坐标为(2,0) B.直线l的方向向量和a=(1,2)共线 C.当直线与圆C相切时，b=-2+√5或b=-2-√5 D.当b=-2时，1与圆C的相交弦长度为2 10.下列说法正确的有 A.样本数据1,1,2,3,5,8的40%分位数为2 B.设样本数据2、…、xo的平均数为x,则函数∫(x)=。∑(x-}取到 最小值时x=x C.在独立性检验中，随机变量X的观测值越大，“认为两个分类变量有关”这种判 断犯错误的概率越大 D.在一组样本数据(x,y),(x2,y2),…,(x,y,Xn≥2，x1、x2…x不全相等)的散 点图中，若所有样本点(x,yi=1,2…,n)都在直线y=2x+1上，则这组 样本数据的样本相关系数为1 11.已知正四面体P-ABC的棱长为2，下列说法正确的是 A.此正四面体的表面积为3√3 B.此正四面体外接球的表面积为6π C.此正四面体内任意一点到四个面的距离之和为定值 D。从此四面体6条陵中取2条这2条棱垂直的概路为} 高三年级数学第2页共4页 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知x∈0,7 7 inx=25则an= 1B.设随机变量专的概率分布为P=)4Dk=1、2,34、5,则 P(E=3)= 720√1-x2,-1≤x≤1 14.已知A(-e,0),B(e,0),点P在函数f(x)= In x202 的图象上，则 x,x>1 △PAB面积的最大值为 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.(13分)某班组织竞赛活动，规定比赛需要从6道备选题中随机抽取3道题目进行作 答。假设在6道备选题中，甲正确完成每道题的概率都是号且每道题正确完成与否 互不影响，乙能正确完成其中4道题且另外2道题不能完成. (1)求甲正确完成其中2道题的概率： (2)设随机变量X表示乙正确完成题目的个数，求X的分布列及数学期望E(X), 16.(15分)已知奇函数f(x)和偶函数g(x)满足f(x)+g(x)=e. (1)求证：f'(x)=g(x)≥ (2)求()=g)-的最小值， 17.(15分)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,2 a cosA=bcos C+c cos B. (1)求A: (2)若a=3,在AB边上存在一点D.使得而=号丽，连接CD,若△ACD的面积为 3W3 2 ∠B4C的平分线交CD于点E,求需的值， 18.(17分)在平面直角坐标系中，让任意一点A绕一固定点旋转一个定角，变成另一 点A',如此产生的变换称为平面上的旋转变换，已知点A(a,b)绕原点逆时针旋 转9后得点A'ab,且旋转变换的表达式为=ac0s9-bsin9,曲线的旋转变 b'=asin0+bcose 换也如此， (1)将点A1,1)绕原点逆时针旋转3开得到点A,求点A”坐标： 高三年级数学第3页共4页 (2)已知曲线C:y=绕原点逆时针旋转平得到曲线C. (i)求曲线C的方程； (ⅱ)P为曲线C'上一点，P不在x轴上，过P作PB⊥PC交曲线C'于B,C两点， 求证：BC与曲线C'在P点处的切线垂直. 19.(17分)如图，在三棱锥A-BCD中，已知BD⊥CD,BC⊥AD,且BC=4,AD=1. (1)若BD=CD,AC=3,求证：BD⊥AC: (2)在(1)的条件下，求二面角A-BC-D的余弦值： (3)若AB+AC=4√2，求二面角A-BC-D余 弦值的最小值. 高三年级数学第4页共4页 0田同二湖不子业顶里应则双子秀有合来 一、单选题 2 3 4 5 6 7 8 D D A B c B 二、多选题 9 10 11 BCD ABD BC 三、填空题 2 10 14.2026 四、解答题 15.(1)设Y是甲正确完成题目的个数 则Pw=2)=cGr9-号 .4分 (2)X的所有可能取值为1,2,3 P(X=1)= 205 6分 P(X=2)= CC_12_3 8分 Cg205 P(X=3)= Ci= 41 205 10分 X的分布列为 X 1 2 3 1 ? 3 5 5 5 11分 1 3 1 E(0=1x写+2×兮+3×写2 13分 5 M 4 (注：数学期望也可以用超几何分布的期望公式，N=6,M仁4，n=3,则E(X)=n =3×=2) 6 16.(1)在f(x)+g(x)=e中，用-x代替x,可得 f(-x)+g(-x)=e 分 由f(x)是奇函数，g(x)是偶函数可得，f(-x)=-f(x),g(-x)=g(x) 上式可化为-f(x)+g(x)=e 2分 又f(x)+g(x)=e 两式相减可得f)=e-e : a3分 两式相加可得g)=e+e 4分 2 故f)=e+e =8(x) 5分 e',e>0.e+er≥2 7分 当且仅当e=e,即x=0时“=”成立 8e2号 8分 (2))'te 2 2 h'(x)=e'-e 2 9分 令)=.则r6=“e-1=g闲- 10分 2 由(1)得g(x)≥1，则x∈(-0，+o),1(x)20 ∴.h'(x)在(-o,+oo)上单调递增 11分 又h'(0)=0 12分 ∴.x∈(-o,0),h'(x)<0,h(x)单调递减，x∈(0，+o),'(x)>0,h(x)单调递增14分 故h(x)的最小值为h(O)=1 15分 17.(1)方法一：由射影定理得a=bcosC+ccos B ∴.2cosA=1 1 CosA=2 3分 又A∈(0，π)A= 6分 3 方法二：由正弦定理a 6 =-c 得 sin A sin B sin C ..2sin Acos A=sin BcosC+sin Ccos B=sin(B+C)=sin A 又sinA≠0，则cosA= 2 3分 又A∈(0，π)A= 3 6分 方法三：由余弦定理得2 b2+c2-a2 b0+b2-c2+a2+c2-b 一+C 2be 2ab 2ac ab2+ac2-a 2a2 bc 2a 8+c2-d=5即cosA- 1 3分 2bc 2 又Ae(0,π)A= 3 6分 2 (2)由SAcn=SM知SCa= 5 3 4 24 .bc=9 8分 a2=b2+c2-2bccos A=b2+c2-9=9 .b2+c2=18 .(b-c)2=0,∴.b=c=3 11分 ..AC=3,AD=2 在A4CE中 CE AC sin∠CAE sin∠AEC 在△MDE中 ED AD sin∠DAE sin∠AED 又sin∠CAE=sin∠DAE,sin∠AEC=sin∠AED 13分 :CE=4C-3 ED AD 2 15分 CE 上AC.4E.sin (注：也可以 6AC3 ED SAADE 24D-AE.sin 6 18.(1)由题得 3 a'=cos2π-sin2π=- 4 4 22 3 322-0 b'=sin2π+cos二π= 4 22 .(-√2,0) 4分 3 (2)①设点（化y)是曲线C上任意一点，逆时针旋转二π得点(x',y) 3 4 2 2 3 y'=xsin2π+ycos2π= 4“2- 2” 6分 、、、x少，=x+” 7分 √2 把x，兰代入C的方程中可得-= 2,2 √2y'-x 化简得2-=2：y严 =1 22 曲线C的方程为 x2 y2 -=1 22 9分 ②方法一：设P(x,%)在曲线C上，则x后-后=2 曲线C在P点处的切线斜率为k。=立（乃，≠0） 若直线PB的斜率不存在，则B(xo,-yo),C(-xo,o) kc=-业 Xo kCk=-业.名=一1此时BC与曲线在P点处的切线垂直1分 Xo yo 若直线PB的斜率存在，设I:y-yo=k(x-xo) x2-y2=2 化简得(1-k2)x2+(2k2x。-2)x-k2x6+2xy。-y后-2=0 y-yo=k(x-xo) 即1-k2)x2+(2k2x0-2o)x-k2x+2%-x6=0 1-k2≠0且△=(2k2x0-2y)》2-40-k2)(-k2x6+2xy0-x6)>0 1-k2≠0且y0≠x0 由+。= 2k2x0-2得， 1-k2 ,=-2-2-=-x,+2-五=-（k2+D+2 1-k2 1-k2 1-k2 =kx,-)+%=+-2施-k2+-2 1-k2 1-k2 13分 同理可得， Xc (k2+1Dx。+2kyg -( 1-k2 -k2+。-2 -( 1-k2 15分 k=-=-2+-2海-2+，+2施=k2+y=-五 xc-xg(k2+10x+2y+(k2+1)x。-26(k2+10x0 Xo 此时kc·k。=-业.=-】此时BC与曲线在P点处的切线垂直 Xo Yo 综上，BC与曲线在P点处的切线垂直. …17分 方法二：设P(x,)在曲线C上，则x-y后=2 曲线C在P点处的切线斜率为k。=(,≠0) 设lac:a(x-xo)+b0y-yo)=1① 则x2-y2=2可化为[x-x)+x-【心y-6)+=2 展开得(x-x)2+x后+2x(x-x)-0y-%)》2-y6-2y0y-%)-2=0 即(x-x)2+2x(x-x)-0y-%)》2-2y0y-y)=0② 11分 ①②联立可得， (x-x)P+2x(x-x)[a(x-x)+b0-y%】-0-y%)2-2y0-y)[a(x-x)+b心-ya月=0 化简得1+2by0-)2+(2ay6-2bx)x-)0y-yo)-(1+2ax)x-x)》2=0 若x-=0,则B(-6C(-xo),kC=-当 Xo C·k,=-业.上=-1此时BC与曲线在P点处的切线垂直…l3分 Xo yo 若x-x。≠0，同时除以(x-x)2可得， 0+2by-+2@,-26r)2-0+2a)=0 15分 (x-x。) ,PB⊥PC .kmekrc=-(1+2axg)=-1 1+2byo