2 题型二 与圆有关的证明与计算-【练客中考】2026年新疆新中考数学二轮重难题型培优PPT

该初中数学中考复习课件聚焦“与圆有关的证明与计算”核心考点，对接中考必考要求，梳理近三年新疆中考真题（2024.22等）及模拟题，按圆的性质、切线性质、切线判定三大类型分类，分析考点权重，归纳证明线段相等、计算长度等常考题型，体现备考针对性。 课件亮点在于“真题解析+逆向思维+规范步骤”模式，如2024中考真题通过设角倒角证BC=CE，培养推理意识与几何直观，提供相似三角形、勾股定理等突破方法，帮助学生掌握解题技巧，教师可依此制定冲刺计划，提升复习效率与得分率。

《二轮重难题型培优》 数学 第二部分 新疆重难题型攻关 题型二　与圆有关的证明与计算(必考) 与圆性质有关的证明与计算 (2024.22) 　 (2025乌鲁木齐校级模拟)如图，四边形ABCD内接于☉O❶ ，对角线AC，BD交于点E，AC为☉O的直径❷ ，∠BCA＝2∠ACD ❸ . (1)求证：BC＝CE； ❶对角互补； ❷∠ABC＝∠ADC＝90°； ❸＝2. (1)逆向分析：BC与CE共三角形⇨证等腰，尝试找等角⇨利用倒角可证等角； ∴∠CBE＝∠ABC－∠ABD＝90°－α， ∴∠CEB＝180°－(∠CBE＋∠BCA)＝180°－(90°－α＋2α)＝90° －α， ∴∠CBE＝∠CEB，∴BC＝CE. 证明：设∠ACD＝α， 则∠BCA＝2∠ACD＝2α， ∴∠ABD＝∠ACD＝α. ∵AC为☉O的直径，∴∠ABC＝90°， (2)若☉O的半径为，BC＝4，求线段DC的长. (2)逆向分析：①求DC的长，利用勾股定理，需知AD，AC(由半径可求)的长； ②利用△BCE∽△ADE⇨＝⇨＝，可设AD＝x，则BE＝； ③由BC＝CE⇨过点C作CT⊥BE于点T⇨△ECT∽△ACD⇨＝，即＝⇨x(即AD)的值⇨由勾股定理即可求得DC的长. 解：如图，过点C作CT⊥BE于点T， ∵☉O的半径为，∴AC＝5，设AD＝x， 由(1)可知BC＝CE＝4，∴ET＝BE，∠ECT＝∠BCA， AE＝AC－CE＝5－4＝1. ∵∠BCE＝∠ADE，∠BEC＝∠AED，∴△BCE∽△ADE， ∴＝，即＝，∴BE＝，∴ET＝BE＝. ∵AC为☉O的直径，CT⊥BE，∴∠ADC＝∠ETC＝90°， ∵∠ECT＝∠BCA，∠BCA＝2∠ACD，∴∠ECT＝∠ACD，∴△ECT∽△ACD， ∴＝，即＝，解得x＝(负值已舍)， 经检验，x＝是分式方程的解， ∴AD＝x＝， 在Rt△ACD中，AD＝，AC＝5， 由勾股定理，得DC＝＝. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1.如图，三角形ABC内接于☉O，AB＝AC，连接BO并延长交AC于点E，交☉O于点D，连接AO，AD，CD. (1)求证：AO∥CD； 证明：如解图，延长AO交BC于点F. ∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB， ∴＝，即点A为的中点. ∵AO是☉O的半径，∴AF⊥BC，∴∠AFB＝90°. ∵BD是☉O的直径，∴∠BCD＝90°，∴AO∥CD. 解图 (2)若CD＝6，tan∠OAB＝，求AE的长. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 解：由(1)易得OF＝CD＝3.∵tan∠OAB＝＝， ∴设BF＝x，则AF＝2x，∴OA＝OB＝2x－3. ∵BF2＋OF2＝OB2，∴x2＋32＝(2x－3)2， 解得x＝4或x＝0(舍去)，∴BF＝4，AF＝8，OA＝5， ∴AC＝AB＝＝＝4. ∵AO∥CD，∴△AOE∽△CDE， ∴＝＝，∴AE＝AC＝. 2.如图，在△ABC中，D是AB上一点，以BD为直径作☉O，且点C在☉O上，☉O与AC相交于点E，F为☉O上一点，点F与点C在直线AB的两侧，连接BF，CF，DF，ED，CF与BD相交于点G，∠CFD＝∠A. (1)求证：DA＝DE； 证明：∵∠CBD＋∠CED＝180°， ∠DEA＋∠CED＝180°，∴∠CBD＝∠DEA， ∵∠CFD＝∠A，且∠CFD＝∠CBD＝∠DEA， ∴∠A＝∠DEA，∴DA＝DE. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 (2)若点F是的中点，cos∠DEA＝，FD＝5， 求FG和AD的长. 解：如解图，连接CD，作CL⊥BD于点L，则∠BLC＝90°，∵BD是☉O的直径，∴∠BFD＝∠BCD＝90°， ∵点F是的中点，∴＝， ∴FB＝FD＝5，∴BD＝＝10， 由(1)得∠A＝∠CFD＝∠CBD＝∠DEA， ∴＝＝cos∠CBD＝cos∠DEA＝，AC＝BC， ∴BC＝BD＝×10＝8，AL＝BL， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 解图 ∴BL＝BC＝×8＝，CD＝＝＝6， ∴AB＝2BL＝2×＝，∴AD＝AB－BD＝－10＝. ∵∠CBG＝∠CFD，∠BCG＝∠FCD， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 ∴△BCG∽△FCD，∴＝，∴CG·FC＝BC·CD＝8×6＝48， ∵∠FBG＝∠FCB，∠GFB＝∠BFC， ∴△GFB∽△BFC，∴＝，∴FG·FC＝FB2＝(5)2＝50， ∴CG·FC＋FG·FC＝FC·(CG＋FG)＝FC2＝48＋50＝98， ∴FC＝7或－7(不符合题意，舍去)， ∴7FG＝50，∴FG＝，∴FG的长是，AD的长是. 解图 3.如图，AB为☉O的直径，AE是☉O的弦，＝，DF⊥AB于点H，交☉O于点F，连接BD，EF，EF交AB于点G. (1)求证：∠B＝∠E； 证明：∵AB为☉O的直径，且DF⊥AB于点H， ∴＝， ∴∠B＝∠E. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 (2)若BH＝3，BD＝5，求EF的长. 解：如解图，连接OD，AD，AD交EF于点M， 设☉O的半径为r，∴OB＝OA＝OD＝r，AB＝2r. ∵DF⊥AB，BH＝3，BD＝5， ∴在Rt△BDH中，DH＝＝4， ∴FH＝DH＝4，∴在Rt△ODH中，OD＝r，OH＝OB－BH＝r－3，DH＝4， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 解图 由勾股定理，得OD2＝OH2＋DH2，即r2＝(r－3)2＋42， 解得r＝，∴AB＝2r＝， 由题意知＝，∴∠F＝∠BDH. 在△FHG和△DHB中，， ∴△FHG≌△DHB(ASA)，∴FG＝BD＝5，GH＝BH＝3， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 解图 ∴AG＝AB－GH－BH＝－3－3＝. ∵AB为☉O的直径，∴∠ADB＝90°，即AD⊥BD. ∵∠F＝∠BDH，∴EF∥BD，∴AD⊥EF， 易得AE＝AG，∴GM＝EM，即GE＝2GM. ∵EF∥BD，∴△AGM∽△ABD， ∴＝，即＝，∴GM＝， ∴GE＝2GM＝，∴EF＝GE＋FG＝＋5＝. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 解图 与切线性质有关的证明与计算(2022.22) 　 (2025北京)如图，过点P作☉O的两条切线，切点分别为A，B，连接OA，OB❶，OP，取OP的中点C，连接AC❷，并延长，交☉O于点D，连接BD. (1)求证：∠ADB＝∠AOP； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 ❶∠PAO＝∠PBO＝90°； ❷PC＝OC＝AC. (1)逆向分析：要证∠ADB＝∠AOP，需证∠AOB＝2∠AOP(结合切线长定理、角平分线的性质即可求证)； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 证明：∵AP，BP分别切☉O于点A，B， ∴OP平分∠AOB， ∴∠AOP＝∠AOB. 又∵∠ADB＝∠AOB， ∴∠ADB＝∠AOP. (2)延长OP交DB的延长线于点E.若AP＝10，tan∠AOP＝，求DE的长. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 (2)逆向分析：①利用AP＝10，tan∠AOP＝⇨AC，AO，OP的长； ②求DE的长，DE在△ECD中⇨可求证△ACO∽△ECD⇨＝⇨需计算CD的长度； ③求CD的长⇨AD－AC＝CD，而AC已知，则求AD的长⇨尝试延长AO交☉O于点F，连接DF，证明△PAO∽△FDA⇨＝⇨AD的长⇨CD的长. 解：如图，延长AO交☉O于点F，连接DF，则∠ADF＝90°， ∵AP，BP分别切☉O于点A，B，∴PA⊥OA. ∵C为OP的中点，∴PC＝OC，∴AC＝OC＝OP. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 又∵AP＝10，tan∠AOP＝＝， ∴AO＝＝20，OP＝＝＝10， ∴AC＝OC＝OP＝5，AF＝2AO＝40. ∵AC＝OC，∴∠CAO＝∠AOC. 又∵∠PAO＝∠ADF＝90°， ∴△PAO∽△FDA， ∴＝， ∴DA＝×40＝16，∴CD＝DA－AC＝11. ∵∠AOP＝∠ADB，∠ACO＝∠ECD， ∴△ACO∽△ECD， ∴＝， ∴DE＝×20＝44. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 4.如图，△ABC内接于☉O，AB为☉O的直径，过点C的直线与☉O相切，与BA的延长线交于点D，点F为上一点，且＝，连接BF并延长交DC的延长线于点E. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 (1)求证：DE⊥BE； 证明：如解图，连接OC. ∵＝， ∴∠EBC＝∠ABC. ∵OB＝OC， ∴∠OCB＝∠ABC， ∴∠OCB＝∠EBC，∴OC∥BE. ∵ED为☉O的切线，∴OC⊥DE，∴DE⊥BE. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 解图 (2)若DC＝EC，DA＝2，求BE的长. 解：∵DC＝EC， ∴设EC＝3a，则DC＝5a，∴DE＝8a， 设☉O的半径为r，则AB＝2r，OD＝DA＋OA＝2＋r，DB＝2＋2r， 由(1)可知，OC∥BE，∴△DCO∽△DEB， ∴＝＝，∴＝， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 ∴r＝3，∴☉O的半径为3，∴AB＝6，DB＝8. ∴＝，∴BE＝. 5.如图，△ABD内接于☉O，AB为☉O的直径，直线DE与☉O相切于点D，割线AC⊥DE于点E，且交☉O于点F，连接DF. (1)求证：AD平分∠BAC； 证明：如解图，连接OD. ∵直线DE与☉O相切于点D，AC⊥DE， ∴∠ODE＝∠DEA＝90°， ∴∠ODE＋∠DEA＝180°，∴OD∥AC， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 解图 ∴∠ODA＝∠DAC. ∵OA＝OD，∴∠OAD＝∠ODA， ∴∠DAC＝∠OAD，∴AD平分∠BAC. (2)若DF＝3，AB＝5，求EF的长. 解：∵AC⊥DE于点E，AB是☉O的直径， ∴∠DEF＝∠ADB＝90°. ∵∠EFD＋∠AFD＝180°，∠AFD＋∠DBA＝180°， ∴∠EFD＝∠DBA，∴△EFD∽△DBA， ∴＝，∴DB·DF＝EF·AB， 由(1)知，∠FAD＝∠DAB， ∴DF＝DB，∴DF2＝EF·AB. ∵DF＝3，AB＝5，∴9＝5EF，∴EF＝. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 6.(2025乌鲁木齐适应性测试)如图，AB是☉O的直径，点D在圆上，过点A作☉O的切线AC，且AC＝AD，连接CD，线段CD交☉O于点F，交AB于点E，连接BD，AF. (1)求证：AF＝EF； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 证明：如解图，连接BF，则∠ABF＝∠ADC. ∵AB是☉O的直径，AC与☉O相切于点A， ∴AC⊥AB，∴∠CAB＝∠AFB＝90°， ∴∠FAC＋∠FAB＝90°，∠ABF＋∠FAB＝90°， ∴∠FAC＝∠ABF＝∠ADC.∵AC＝AD，∴∠C＝∠ADC， ∴∠FAC＝∠C.∵∠FAE＋∠FAC＝90°，∠FEA＋∠C＝90°， ∴∠FAE＝∠FEA，∴AF＝EF. 解图 (2)若sinC＝，OE＝，求CD的长. 解：如解图，连接OF，则OF＝OA＝OB， ∴∠OFA＝∠FAE＝∠FEA. ∵∠OAF＝∠FAE，∴△OAF∽△FAE， ∴＝，∴AF2＝OA·AE. ∵＝sin∠ABF＝sin∠ADC＝sinC＝， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 解图 ∴AB＝3AF＝2OA，∴AF＝OA.∵OE＝， ∴AE＝OA－，∴(OA)2＝OA(OA－)， 解得OA＝或OA＝0(不符合题意，舍去)， ∴AB＝2OA＝9，OF＝OA＝，CF＝AF＝EF＝×＝3，AE＝－＝2， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 ∴CE＝2CF＝6，∴AC＝＝＝4， FB＝＝＝6. ∵∠ADC＝∠OBF，∠C＝∠ADC，∠OFB＝∠OBF，∴∠C＝∠OFB，∴△ADC∽△OBF，∴＝，∴CD＝＝＝. 与切线判定有关的证明与计算 (2025.22，2023.22，2021.22) 　 (2024兰州)如图，△ABC内接于☉O，AB为☉O的直径，点D为☉O上一点❶，BC＝BD ❷，延长BA至E，使得∠ADE＝∠CBA❸. (1)求证：ED是☉O的 切线； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 ❶∠ACB＝∠ADB＝90°； ❷Rt△BCA≌Rt△BDA； ❸∠ADE＝∠ABD. (1)逆向分析：ED是☉O的切线⇨证OD⊥DE(连接OD)⇨利用全等+倒角+等边对等角可证； 证明：如解图，连接OD，∴OB＝OD，∴∠DBA＝∠BDO， ∵AB为☉O的直径，∴∠BCA＝∠BDA＝90°， 在Rt△BCA和Rt△BDA中，， ∴Rt△BCA≌Rt△BDA(HL)，∴∠CBA＝∠DBA. ∵∠ADE＝∠CBA，∠DBA＝∠BDO，∴∠ADE＝∠BDO. ∵∠BDO＋∠ADO＝∠BDA＝90°， ∴∠ADE＋∠ADO＝90°，即ED⊥OD. ∵OD为☉O的半径，∴ED是☉O的切线. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 (2)若BO＝4，tan∠CBA＝，求ED的长. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 (2)正向分析：①BO＝4⇨BE＝8＋AE； ②tan∠CBA＝，结合∠CBA＝∠DBA⇨tan∠DBA＝＝； ③由角度关系可证△EAD∽△EDB⇨比例关系⇨ED即可求解. 解：∵BO＝4，∴AB＝2BO＝8， ∴EB＝AE＋AB＝AE＋8. ∵tan∠CBA＝，∠CBA＝∠DBA，∴tan∠DBA＝， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 在Rt△ABD中，tan∠DBA＝＝，∴设AD＝a，则BD＝2a. ∵∠ADE＝∠DBA，∠E＝∠E，∴△EAD∽△EDB， ∴＝＝，即＝＝， ∴AE＝ED，2ED＝AE＋8，∴2ED＝ED＋8.∴ED＝. 7.如图，△ABC内接于☉O，AB为☉O的直径，DA和☉O相交于点F，AC平分∠DAB，且CD⊥DA，连接BF交AC于点P. (1)求证：CD是☉O的切线； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 ∴∠DAC＝∠OCA， ∴OC∥AD.∵CD⊥DA，∴OC⊥CD. ∵OC为☉O的半径，∴CD是☉O的切线. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 证明：如图，连接OC. ∵OA＝OC， ∴∠OAC＝∠OCA. ∵AC平分∠DAB， ∴∠OAC＝∠DAC， (2)若AC＝2，BC＝2，求CD的长. 解：如解图，设OC交BF于点H， ∵AB为☉O的直径，∴∠ACB＝90°， ∴AB＝＝＝2. ∵CD⊥DA，∴∠ADC＝90°，∴∠ADC＝∠ACB. ∵∠DAC＝∠CAB，∴△ADC∽△ACB， ∴＝＝，∴＝，∴CD＝. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 解图 8.如图，△ABC内接于☉O，AB为☉O的直径，点D在AB的延长线上，连接CD，过点O作OE⊥BC于点E，交CD于点F，且∠CBD＝∠ACD. (1)求证：CD是☉O的切线； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 ∴∠A＝∠ACO，∴∠ACO＝∠BCD. ∵AB为☉O的直径，∴∠ACB＝90°， ∴∠ACO＋∠BCO＝90°，∴∠BCD＋∠BCO＝90°， ∴∠OCD＝90°，∴OC⊥CD. ∵OC是☉O的半径， ∴CD是☉O的切线. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 证明：如图，连接OC.∵∠CBD＝∠ACD， ∴∠A＋∠ACB＝∠ACB＋∠BCD，∴∠A＝∠BCD. ∵OA＝OC， (2)若AC＝8，EF＝1，求sin∠ADC的值. 解：∵OE⊥BC于点E，∴CE＝BE. ∵AO＝OB，∴OE＝AC＝×8＝4， ∴OF＝OE＋EF＝5. ∵OF⊥CE，OC⊥CF，∴∠OCF＝∠CEO＝∠CEF＝90°， ∴∠OCE＋∠COE＝∠OCE＋∠ECF＝90°， ∴∠COE＝∠ECF，∴△OCE∽△CFE，∴＝， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 ∴CE＝＝＝2，∴BC＝2CE＝4， ∴AB＝＝4，∴OA＝OB＝OC＝2. ∵∠ACB＝∠OEB＝90°， ∴OF∥AC，∴△OFD∽△ACD， ∴＝，∴＝，∴BD＝， ∴sin∠ADC＝＝＝. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 9.如图，△ABC内接于☉O，AB为☉O的直径，点P是BA延长线上一点，点E是的中点，连接PC并延长交OE的延长线于点D，OE交BC于点F，已知DC＝DF. (1)求证：PC是☉O的切线； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 ∴∠DCF＝∠DFC， ∵∠BFO＝∠DFC，∴∠DCF＝∠BFO， ∴∠B＋∠DCF＝90°. ∵OC＝OB，∴∠B＝∠BCO， ∴∠DCF＋∠BCO＝90°，即∠DCO＝90°. ∵OC是☉O的半径，∴PC是☉O的切线. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 证明：如图，连接OC.∵点E是的中点， ∴＝，∴OD⊥AB，∴∠B＋∠BFO＝90°. ∵DC＝DF， (2)若tan∠OBF＝，DE＝1，求PA的长. 解：∵tan∠OBF＝＝， ∴设OF＝x，则OB＝2x，∴OE＝OB＝OC＝2x， ∴EF＝x，∴DC＝DF＝1＋x，OD＝2x＋1. ∵DC2＋OC2＝OD2， ∴(x＋1)2＋(2x)2＝(2x＋1)2， 解得x＝2或x＝0(不符合题意，舍去)， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 ∴OA＝OC＝4，OD＝5，DC＝DF＝3. ∵∠OCP＝∠OCD＝∠POD＝90°， ∴∠P＋∠POC＝∠POC＋∠DOC＝90°， ∴∠P＝∠DOC，∴△OCD∽△PCO， ∴＝，∴＝，∴PC＝， ∴OP＝＝， ∴PA＝OP－OA＝－4＝. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 温馨提示 本课件由陕西炼书客图书策划有限公司出品，仅限教学使用。 本课件所有权和著作权归本公司所有， 任何人不得以非法形式进行销售或传播，违者必究！ $