2 第二单元 第6讲 分式方程及其应用-【练客中考】2026年新疆新中考数学精讲册PPT

该初中数学中考复习课件聚焦“分式方程及其应用”核心考点，对接新疆中考说明，明确其在方程(组)与不等式(组)单元中占10-18分，其中分式方程考查4分。系统梳理概念、解法步骤、增根与无解区别，归纳购买、工程、行程等常考应用题型，备考针对性强。 课件亮点在于“知识点精讲+中考真题拓展”模式，如2024新疆行程问题真题，示范通过时间差等量关系列方程，培养数学思维与模型意识。强调解题规范（去分母、验根等）及易错点分析（增根与无解区别），帮助学生掌握得分技巧，教师可依此高效规划复习，提升冲刺效果。

《精讲册》 数学 第二单元 方程(组)与不等式(组)(10～18分) 第6讲　分式方程及其应用(2024.8，4分) 目录 01 知识精讲练 新疆5年中考真题及拓展 02 分式方程及其解法 知识精讲练 概念 分母中含① 　的方程叫作分式方程 解分式方程 的一般步骤 口诀：一化、二解、三检验、四写根 增根 使得原分式方程的分母(或最简公分母)为③　 的根 未知数 0 最简公分母 返回目录 返回目录 【易错提示】分式方程的增根与无解的区别： (1)分式方程的增根是去分母后的整式方程的根，也是使分式方程的最简公分母为0的根； (2)分式方程无解，可能是解为增根，也可能是去分母后的整式方程无解 请注意 返回目录 返回目录 1. 已知关于x的分式方程－＝1. (1)若m＝，则该分式方程的解是____________； (2)若该分式方程的解是x＝，则m＝_____； (3)若该分式方程有增根，则m＝______； (4)若该分式方程无解，则m＝________； (5)若该分式方程的解是非负数，则m的取值范围是_________________. x＝－2 4 2 2或1 m＞1且m≠2 返回目录 返回目录 分式方程的实际应用 列分式方程解实际问题的一般步骤 【温馨提示】双检验： (1)检验是否为分式方程的解； (2)检验是否符合题意 返回目录 返回目录 常考类型及关系式 购买问题 基本关系式：＝数量； 常用等量关系：－＝数量差(变化后的商品单价小于商品原单价) 返回目录 返回目录 常考类型及关系式 工程 问题 基本关系式：＝工作时间； 常用等量关系： 特别地，有时工作总量可以看作单位“1”，这时，＝工作效率 . 返回目录 返回目录 常考类型及关系式 行程 问题 基本关系式：＝时间； 常用等量关系：－＝时间差 返回目录 返回目录 2. 【购买问题】(2025乌鲁木齐5月测评)端午节期间，某商家推出“优惠酬宾”活动，决定每袋粽子降价2元销售. 细心的小夏发现，降价后用240元可以比降价前多购买10袋，求：每袋粽子的原价是多少元？设每袋粽子的原价是x元，所列方程正确的是(　　) A. －＝10 B. －＝10 C. －＝10 D. －＝10 C 返回目录 返回目录 新疆5年中考真题及拓展 解分式方程 答题规范 　 (2025威海节选)解分式方程： －1＝. 第一步：去分母 解：__________________________________________________________ 第二步：解方程 ______________________________________________________________ 方程两边同乘2x－1，得x－2－2x＋1＝－1，　 解得x＝0， 2 3 4 1 返回目录 返回目录 答题规范 第三步：验根 ______________________________________________________________ 第四步：得出方程的解 ______________________________________________________________ 检验：当x＝0时，2x－1≠0，　 ∴原分式方程的解为x＝0. 2 3 4 1 返回目录 返回目录 1. (2025浙江)解分式方程：－＝0. 解：方程两边同乘(x＋1)(x－1)，得3(x－1)－(x＋1)＝0， 解得x＝2， 检验：当x＝2时，(x＋1)(x－1)≠0， ∴原分式方程的解为x＝2. 1 2 3 4 返回目录 返回目录 分式方程的实际应用(2024.8) 2. 【行程问题】(2024新疆8题)某校九年级学生去距学校20 km的科技馆研学，一部分学生乘甲车先出发，5 min后其余学生再乘乙车出发，结果同时到达. 已知乙车的速度是甲车速度的1.2倍，设甲车的速度为x km/h，根据题意可列方程(　　) A. －＝5 B. －＝5 C. －＝ D. －＝ D 1 2 3 4 返回目录 返回目录 2 3 4 1 3. 【跨学科·物理】(2025乌鲁木齐新市区一模)在物理学中，物质的密度ρ等于由物质组成的物体的质量m与它的体积V之比，即ρ＝. 知A，B两个物体的密度之比为3 ∶1，当物体A的质量是200 g，物体B的质量是600 g时，物体B的体积比物体A的体积大24 cm3. 如果设物体A的体积是x cm3，那么根据题意列方程为(　　) A. 3×＝ B. 3×＝ C. ＝3× D. ＝3× D 返回目录 返回目录 4. 【工程问题】 (2025山西)我国自主研发的HGCZ－2000型快速换轨车，采用先进的自动化技术，能精准高效地完成更换铁路钢轨的任务. 一辆该型号快速换轨车每小时更换钢轨的公里数是一个工作队人工更换钢轨的2倍，它更换116公里钢轨比一个工作队人工更换80公里钢轨所用时间少22小时. 求一辆该型号快速换轨车每小时更换钢轨多少公里. 2 3 4 1 返回目录 返回目录 解：设一辆该型号快速换轨车每小时更换钢轨x公里. 根据题意，得－＝22， 解得x＝2， 经检验，x＝2是原方程的解，且符合题意. 答：一辆该型号快速换轨车每小时更换钢轨2公里. 2 3 4 1 返回目录 返回目录 解方程(组)及方程(组)的应用 ——见《二轮重难题型培优》P3－4 返回目录 返回目录 请完成《课后提升练》P11－12习题 返回目录 返回目录 温馨提示 本课件由陕西炼书客图书策划有限公司出品，仅限教学使用。 本课件所有权和著作权归本公司所有， 任何人不得以非法形式进行销售或传播，违者必究！ 1 单元学习十一 9.1 9.1.1　简单随机抽样.pptx 9.1　随机抽样 9.1.1　简单随机抽样 　 第九章　统计　单元学习十一　随机抽样 [单元整体设计]　统计学是通过收集数据和分析数据来认识未知现象的一门科学，它可以为人们制定决策提供依据.本章通过一些典型的案例，使学生经历较为系统的数据处理全过程.在此过程中，进一步学习数据收集和整理的方法、数据直观图表的表示方法、数据统计特征的刻画方法；通过具体实例，感悟在实际生活中进行科学决策的必要性和可能性；体会统计思维与确定性思维的差异、归纳推断与演绎证明的差异；通过实际操作、计算机模拟等活动，积累数据分析的经验.通过本章学习，提升数据分析、数学建模和数学运算的核心素养.基于此，本章共分两个单元整体设计：随机抽样，用样本估计总体，学习计划8课时(含章末). 统计的研究对象是数据，如何收集数据获得研究对象是统计研究的重要内容，也是统计学习最先需要学习的内容.本单元主要学习数据收集的方法和途径，先介绍简单随机抽样和分层随机抽样两种抽样方法，再简单介绍获取数据的一些基本途径.学习计划2课时. 本单元内容重点是简单随机抽样，分层随机抽样，样本与总体的关系.难点是根据实际问题的特点，设计恰当的抽样方法解决问题；样本与总体的关系.在研究的过程中，提升数据分析、数学建模的核心素养. 学习目标 1.了解获取数据的途径，了解总体、样本、样本量的概念， 了解数据的随机性. 2.通过实例，了解随机抽样的含义及其解决问题的过程. 3.掌握两种简单的随机抽样方法：抽签法、随机数法. 4.会计算样本均值，了解样本与总体的关系，培养数学抽象 核心素养. 任务一　全面调查和抽样调查 1 任务二　简单随机抽样 2 任务三　两种简单随机抽样的方法 3 课时分层评价 6 任务四　总体平均数和样本平均数 4 内容索引 随堂评价 5 任务一　全面调查和抽样调查 返回 (阅读教材P173，完成问题1) 问题1.一天，爸爸叫儿子去买一包糖.临出门前，爸爸嘱咐儿子要买甜的.儿子拿着钱出门了，过了好一会儿，儿子才回到家. “糖都甜吗？”爸爸问. “都甜.” “你这么肯定？” 儿子把糖递过来，兴奋地说：“我每颗都尝过啦.” 在这则笑话中，儿子采用的是什么调查方式？这种调查方式好不好？适宜采用什么方法调查？ 提示：普查；不好；抽样调查. 问题导思 新知构建 调查方式 全面调查 抽样调查 定义 对________调查对象都进行调查的方法，称为全面调查，又称普查 根据一定目的，从总体中抽取________个体进行调查，并以此为依据对总体的情况作出______和______的调查方法 相关概念 总体：在一个调查中，我们把调查对象的______称为总体 个体：组成总体的________调查对象称为个体 样本：我们把从总体中抽取的________个体称为样本 样本容量：样本中包含的________称为样本容量，简称样本量 每一个 一部分 估计 推断 全体 每一个 那部分 个体数 (1)全面调查的优点是精确，缺点是不宜操作，需要耗费巨大的人力、物力.(2)抽样调查的优点是花费少，效率高，易操作，缺点是不够精确. 微提醒 (多选)在一次数学课堂上，陈老师请四位同学举出生活中运用全面调查或抽样调查的例子. 小凉：为了了解玉米种子的发芽情况，采用抽样调查. 小爽：为了了解全班同学是否给父母洗过脚，采用全面调查. 小夏：为了了解某批东风导弹的射程，采用全面调查. 小天：为了了解全国中学生安全自救知识的掌握情况，采用抽样调查. 你认为以上四位同学所列举的事例的调查方式正确的是 A.小凉 B.小爽 C.小夏 D.小天 √ 典例 1 √ √ 了解玉米种子的发芽情况，是具有破坏性的调查，因而适合抽样调查；了解全班同学是否给父母洗过脚，调查的对象比较少，容易调查，因而适合全面调查；了解某批东风导弹的射程是具有破坏性的调查，因而适合抽样调查；了解全国中学生安全自救知识的掌握情况，人数太多，不适合全面调查，应用抽样调查.故四位同学所列举的事例的调查方式错误的是小夏，其他都正确.故选ABD. 规律方法 　　一般地，如果调查的对象比较少，容易调查，适合普查，如果调查的对象较多或者具有破坏性，适合抽样调查. 对点练1.下列调查方式，你认为最合适的是 A.了解一批真空包装食品的质量，采用抽样调查方式 B.旅客上飞机前的安检，采用抽样调查方式 C.了解北京居民“建党百年庆祝大会”期间的出行方式，采用全面调查 方式 D.日光灯管厂要检测一批灯管的使用寿命，采用全面调查方式 √ 对于A，了解一批真空包装食品的质量，采用抽样调查方式，故A正确；对于B，旅客上飞机前的安检，应采用全面调查方式，故B错误；对于C，了解北京居民“建党百年庆祝大会”期间的出行方式，应采用抽样调查方式，故C错误；对于D，日光灯管厂要检测一批灯管的使用寿命，由于调查带有破坏性，故应采用抽样调查方式，故D错误.故选A. 返回 任务二　简单随机抽样 返回 (阅读教材P174，完成问题2) 问题2.假设口袋中有红色和白色共1 000个小球，除颜色外，小球的大小、质地完全相同.你能通过抽样调查的方式估计袋中红球所占的比例吗？ 提示：我们可以从袋中随机地摸出一个球，记录颜色后放回，摇匀后再摸出一个球，如此重复，即可用红球出现的频率估计出红球的比例.也可以采用不放回地摸球去估计红球的比例. 问题导思 新知构建 放回简单随机抽样 不放回简单随机抽样 一般地，设一个总体含有N(N为正整数)个个体，从中______抽取n(1≤n＜N)个个体作为样本 如果抽取是放回的，且每次抽取时总体内的各个个体被抽到的概率都______，我们把这样的抽样方法叫做放回简单随机抽样 如果抽取是不放回的，且每次抽取时总体内______________________被抽到的概率都相等，我们把这样的抽样方法叫做不放回简单随机抽样 简单随机抽样：______简单随机抽样和________简单随机抽样统称为简单随机抽样.通过简单随机抽样获得的样本称为简单随机样本 逐个 相等 未进入样本的各个个体 放回 不放回 简单随机抽样中样本容量是有限的. 微提醒 (1)(多选)下列抽样中，是简单随机抽样的是 A.从无数个个体中抽取50个个体作为样本 B.仓库中有1万个玩具，从中一次性抽取100个进行质量检查 C.一彩民选号，从装有36个大小、形状都相同的号签的盒子中不放回地逐个抽出6个号签 D.箱子里共有100个零件，从中选出10个零件进行质量检验，在抽样操作中，从中任意取出1个零件进行质量检验后，再把它放回箱子里 √ 典例 2 √ A项不是简单随机抽样，因为简单随机抽样要求被抽取的样本总体的个数是有限的；B项不是简单随机抽样，虽然“一次性抽取”和“逐个抽取”不影响个体被抽到的可能性，但简单随机抽样要求的是“逐个抽取”；C项是简单随机抽样，因为总体中的个体数是有限的，并且是从总体中逐个进行抽取的，是不放回、等可能的抽样；D项是简单随机抽样，因为它是有放回抽样.故选CD. (2)在简单随机抽样中，某一个个体被抽到的可能性 A.与第几次抽样有关，第一次抽到的可能性大一些 B.与第几次抽样无关，每次抽到的可能性都相等 C.与第几次抽样有关，最后一次抽到的可能性要大些 D.与第几次抽样无关，每次都是等可能的抽取，但各次抽取的可能性不一样 √ 在简单随机抽样中，每一个个体被抽到的可能性都相等，与第几次抽样无关，故A、C、D不正确，B正确.故选B. 规律方法 简单随机抽样必须具备的三个特点 1.被抽取样本的总体中的个体数N是有限的. 2.抽取的样本是从总体中逐个抽取的. 3.简单随机抽样是一种等可能的抽样. 如果三个特征有一个不满足，就不是简单随机抽样. 对点练2.(1)下面的抽样方法为简单随机抽样的是 A.某工厂的质检员从一袋30个螺母中逐个不放回取出5个进行质量检测 B.某商品的市场调查员为了了解该商品某日在某超市的销售情况，在超市出口处随机向10个顾客询问是否购买了该商品 C.某班级有4个小组，每组共有12个同学，班主任指定每组坐在第一张桌子的8位同学为班干部 D.教练员从10名乒乓球运动员中选出2名成绩优秀的去参加国际比赛 √ 由简单随机抽样的定义知A是简单随机抽样；B不是，被抽取的样本的总体个数不确定；C不是，班主任的指定不能保证班级里的每一个学生被抽取的可能性一样；D不是，因为参加比赛要选优秀的，所以10名运动员被抽取的可能性不同.故选A. (2)从总体容量为N的一批零件中，通过简单随机抽样抽取一个容量为30的样本，若每个零件被抽到的可能性为0.25，则N的值为 A.120 B.200 C.150 D.100 √ 因为从含有N个个体的总体中通过简单随机抽样抽取一个容量为30的样本时，每个个体被抽到的可能性为，所以＝0.25，从而有N＝120.故选A. 返回 任务三　两种简单随机抽样的方法 返回 (阅读教材P175，完成问题3) 问题3.学校要从我班选取5人参加某项活动，如何选取？要从全校学生中选5人，还可以采用上述方法吗？ 提示：抽签；不可以，人数太多. 问题导思 1.抽签法具体的操作步骤 (1)确定总体容量N并编号； (2)制签并放入不透明容器中； (3)充分搅拌均匀； (4)不放回地逐个抽取n次，得到容量为n的样本. 2.随机数法 把总体的N个个体依次编号，例如按0，1，2，…，N－1编号，然后利用随机数工具产生0～N－1范围内的整数随机数，产生的随机数是几就是选几号个体，直到抽足样本所需要的数量. 新知构建 (1)当总体个数较少时采用抽签法. (2)产生随机数的方式有多种：①用随机试验生成随机数；②用信息技术生成随机数：(ⅰ)用计算器生成随机数，(ⅱ)用电子表格软件生成随机数，(ⅲ)用R统计软件生成随机数. (3)如果生成的随机数有重复，可以剔除重复的编号并重新产生随机数，直到产生的不同编号个数等于样本所需要的数量. 微提醒 某大型赛事前期，组委会在网上公开招募志愿者.某高校共有50名志愿者被选中，暑假期间，该校欲从这50名志愿者中选取10人组成志愿服务小组，请分别用抽签法和随机数法设计抽样方案. 解：抽签法： (1)将50名志愿者编号，号码分别是1，2，…，50. (2)将号码分别写在外观、质地等无差别的小纸片上作为号签. (3)将小纸片放入一个不透明的盒里，充分搅匀. (4)从盒中不放回地逐个抽取10个号签，使与号签上编号相同的志愿者进入样本，组成志愿服务小组. 典例 3 随机数法： (1)将50名志愿者编号，号码为01，02，03，…，50. (2)准备10个大小、质地均匀的小球，小球上分别写上数字0，1，2，…，9. (3)把小球放入一个不透明的容器中，搅拌均匀，从容器中有放回地抽取2次，并把第一次、第二次抽到的小球上的数字分别作为十位、个位数字，这样就生成了一个随机数，如果这个随机数在1～50范围内，就代表了对应编号的志愿者被抽中，否则舍弃编号. (4)重复抽取随机数，直到抽中10名志愿者为止. 规律方法 1.一个抽样试验能否用抽签法，关键看两点：一是制签是否方便；二是个体之间差异不明显.一般地，当样本容量和总体容量较小时，可用抽签法. 2.当总体容量较大、样本容量不大时，用随机数法抽取样本较好. 对点练3.(1)抽签法确保样本具有代表性的关键是 A.制签 B.搅拌均匀 C.逐一抽取 D.抽取不放回 √ 若样本具有很好的代表性，则每一个个体被抽取的机会相等，故需要对号签搅拌均匀.故选B. (2)使用简单随机抽样从1 000件产品中抽出50件进行某项检查，合适的抽样方法是 A.抽签法 B.随机数法 C.随机抽样法 D.以上都不对 √ 由于总体相对较大，样本量较小，故采用随机数法较为合适.故选B. 返回 任务四　总体平均数和样本平均数 返回 (阅读教材P178，完成问题4) 问题4.某校高一新生有3 000人，一家具厂要为高一年级制作课桌椅，他们事先想了解全体高一年级学生的平均身高，以便设定可调节课桌椅的标准高度.你能设计一种方案得到高一学生的平均身高吗？ 提示：利用简单随机抽样，抽取500人，然后计算出这500名同学的平均身高，从而估计所有高一新生的大致平均身高. 问题导思 1.总体均值：一般地，总体中有N个个体，它们的变量值分别为Y1，Y2，…，YN，则称＝＝ Yi为总体均值，又称__________. 如果总体的N个变量值中，不同的值共有k(k≤N)个，不妨记为Y1，Y2，…，Yk，其中Yi出现的频数为fi(i＝1，2，…，k)，则总体均值还可以写成加权平均数的形式＝ fiYi. 2.样本均值：如果从总体中抽取一个容量为n的样本，它们的变量值分别为y1，y2，…，yn，则称＝＝ yi为样本均值，又称样本平均数. 新知构建 总体平均数 (1)在简单随机抽样中，常用样本平均数.(2)平均数会受每一个数的影响，尤其是最大值、最小值.很多情况下，为了避免过于极端的值影响结果太大，会去掉最小值与最大值后，再计算平均数. 微提醒 塑料袋使用方便快捷，但是我们更应该关注它对环境的潜在危害.为了解某市所有家庭每年丢弃塑料袋个数的情况，统计人员采用了科学的方法，随机抽取了200户家庭，对他们某日丢弃塑料袋的个数进行了统计，结果如下表： 典例 4 每户丢弃塑料袋的个数 1 2 3 4 5 6 家庭/户 15 60 65 35 20 5 (1)求当日这200户家庭平均每户丢弃塑料袋的个数； 解：当日这200户家庭平均每户丢弃塑料袋的个数为×(1×15＋2×60＋3×65＋4×35＋5×20＋6×5)＝×600＝3. (2)假设该市现有家庭100万户，据此估计全市所有家庭每年(以365天计算)丢弃塑料袋的总个数. 解：全市所有家庭每年丢弃塑料袋的总个数为3×365×100＝109 500万. 每户丢弃塑料袋的个数 1 2 3 4 5 6 家庭/户 15 60 65 35 20 5 对点练4.(1)某市欲了解全市60 000户居民的月用水量，通过简单随机抽样的方法从中抽取了200户进行调查，得到其月用水量的平均数为10吨，则可以推测全市居民月用水量的平均数 A.一定为10吨 B.高于10吨 C.低于10吨 D.约为10吨 √ 根据样本平均数估计总体平均数，可以推测全市居民月用水量的平均数约为10吨. (2)从一个篮球训练营中抽取10名学员进行投篮比赛，每人投10次，统计出该10名学员投篮投中的次数，4名学员投中5次，3名学员投中6次，2名学员投中7次，1名学员投中8次.估计该训练营的学员投篮投中的比例为___. 0.6 10名学员投篮投中的平均次数为＝6，所以估计该训练营的学员投篮投中的比例为＝0.6. 返回 课堂小结 任务再现 (1)全面调查和抽样调查.(2)简单随机抽样.(3)抽签法、随机数法.(4)用样本平均数估计总体平均数 方法提炼 数据分析 易错警示 在简单随机抽样中，每个个体被抽取的可能性是相等的 随堂评价 返回 1.下列情况中，适合用全面调查的是 A.检查某人血液中的血脂含量 B.调查某地区的空气质量状况 C.乘客上飞机前的安检 D.调查某市市民对垃圾分类处理的意识 √ 2.下列问题中最适合用简单随机抽样方法的是 A.某学校有学生1 320人，卫生部门为了了解学生身体发育情况，准备从中抽取一个容量为300的样本 B.为了准备省政协会议，某政协委员计划从1 135个村庄中抽取50个进行收入调查 C.从全班30名学生中，任意选取5名进行家访 D.为了解某地区癌症的发病情况，从该地区的5 000人中抽取200人进行 统计 √ 对于A，不同年级的学生身体发育情况差别较大，不宜用简单随机抽样，故A不是；对于B，总体容量较大，并且各村庄间存在人口、地域、发展等方面的差异，不宜用简单随机抽样，故B不是；对于C，总体容量较小，个体之间无明显差异，适宜用简单随机抽样；对于D，总体容量较大，不同年龄的人癌症的发病情况不同，不宜用简单随机抽样，故D不是.故选C. 3.炎炎夏日，冰淇淋成为许多消费者的必购食品，现用简单随机抽样的方法检测某品牌冰淇淋是否符合食品安全标准，若从21个冰淇淋中逐个抽取一个容量为3的样本，则其中某一个体A“第一次被抽到”的可能性与“第二个被抽到”的可能性分别是 A.， B.， C.， D.， √ 在抽样过程中，个体A每一次被抽中的概率是相等的，因为总共有21个个体，所以个体A“第一次被抽到”的可能性与“第二次被抽到”的可能性均为.故选B. 4.(双空题)某单位开展“党员在线学习”活动，并统计了某党员2025年5月份的学习得分情况，下表是随机抽取的该党员七天学习得分的情况： 则所抽取的样本(七天学习得分)的平均数为____； 据此可以估计该党员5月份学习得分的平均数为____. 日期 5月2日 5月6日 5月13日 5月15日 5月16日 5月19日 5月21日 得分(分) 35 26 15 20 30 25 17 24 24 所抽取的样本的平均数为×(35＋26＋15＋20＋30＋25＋17)＝24，据此可以估计该党员5月份学习得分的平均数为24. 返回 课时分层评价 返回 1.交警在某一路口随机抽查司机是否酒驾，这种抽查是 A.简单随机抽样 B.抽签法 C.随机数法 D.以上都不对 √ 因为不知道总体的情况(包括总体的个数)，所以不属于随机抽样，故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2.有甲、乙两箱篮球，其中甲箱里有27个，乙箱里有9个，现从这两箱篮球中随机抽取4个篮球，从甲箱中抽3个，从乙箱中抽1个，则下列说法不正确的是 A.总体是36个篮球 B.样本是4个篮球 C.样本容量是4 D.每个篮球被抽到的可能性不同 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 依题意，总体是36个篮球，样本是4个篮球，样本容量是4，选项A、B、C正确；从甲箱中抽3个，则甲箱中每个篮球被抽到的概率为＝，从乙箱中抽1个，则乙箱中每个篮球被抽到的概率为.故每个篮球被抽到的可能性相同，选项D不正确.故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3.在哈尔滨市2025年第一次市模考试中，三所学校高三年级的参考人数分别为500，800，700.经计算得三所学校高三年级数学成绩的平均数分别为92，105，100，则三所学校学生数学成绩的总平均数为 A.98 B.100 C.101 D.102 √ 由题意可知，三所学校高三年级的参考总人数为500＋800＋700＝2 000，所以三所学校学生数学成绩的总平均数为×92＋×105＋×100＝100.故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 4.某班对八校联考成绩进行分析，利用随机数法抽取样本时，先将70名同学按01，02，03，…，70进行编号，然后通过电子表格软件生成如下随机数，则依次选出的第7个个体的编号是 29，78，64，56，07，82，52，42，07，44，38，15，51 A.07 B.44 C.15 D.51 √ 符合条件的前7个个体编号是29，64，56，07，52，42，44，故选出的第7个个体的编号是44.故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 5.(多选)下列抽样方法为简单随机抽样的是 A.从平面直角坐标系中抽取5个点作为样本 B.某饮料公司从仓库中的1 000箱饮料中不放回地逐个抽取20箱进行质量检验 C.某连队从120名战士中挑选出50名最优秀的战士去参加抢险救灾任务 D.从10个手机中不放回地随机抽取2个进行质量检验(假设10个手机已编号) √ √ 对于A，平面直角坐标系中有无数个点，这与简单随机抽样中要求总体中的个体数有限不相符，故A不符合题意；对于C，50名战士是最优秀的，不符合简单随机抽样的等可能性，故C不符合题意.故选BD. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 6.(多选)下列抽样试验中，适合用抽签法的是 A.从同型号的10台智能手机中抽取3台作为商场促销的奖品 B.某大学为了支援西部教育事业，从报名的18名志愿者中选取6名组成志愿小组 C.从甲、乙两厂生产的50件衣服中抽取6件进行质量检验 D.为了调查某工厂生产的某种产品的尺寸是否合格，从500件该种产品中抽取10件进行检验 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 对于A，同型号的智能手机没有明显的差异，且数量较少，适合用抽签法；对于B，总体中的个体之间没有明显的差异，且数量较少，适合用抽签法，对于C，甲、乙两厂生产的衣服质量可能差别较大，不适合用抽签法；对于D，总体容量较大，不适合用抽签法.故选AB. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 7.某工厂共有n名工人，为了调查工人的健康情况，从中随机抽取20名工人作为调查对象.若每位工人被抽到的可能性为，则n＝_____. 100 因为该工厂共有n名工人，随机抽取20名，所以每名工人被抽到的可能性为，所以＝，解得n＝100. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 8.从总体容量为N的一批零件中使用简单随机抽样的方法抽取一个容量为40的样本，若某个零件在第2次抽取时被抽到的可能性为1％，则N＝_____. 100 简单随机抽样中，每个个体被抽到的可能性相等，即＝1％，解得N＝100. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 9.某中学为了了解学生是否规范佩戴胸卡，随机抽取了部分学生，结果发现150名学生中有60名学生规范佩戴胸卡.学校调查了该校所有学生，发现有500名学生规范佩戴胸卡.则估计该中学共有_______名学生. 1 250 设该中学共有n名学生，依题意得：＝，解得n＝1 250.所以估计该中学共有1 250名学生. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10.(13分)某班进行个人投篮比赛，受污损的下表记录了在规定时间内投入n个球的人数分布情况，同时，已知进球3个或3个以上的人平均每人投进3.5个球，进球4个或4个以下的人平均每人投进2.5个球，则投进3个球和4个球的人数各为多少？ 进球数n 0 1 2 3 4 5 投进n个球的人数 1 2 7     2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解：设投进3个球的人数为a，投进4个球的人数为b， 则 即 故投进3个球的人数为9， 投进4个球的人数为3. 进球数n 0 1 2 3 4 5 投进n个球的人数 1 2 7     2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 11.某校在一次作业检查中，对高一(6)班61位同学的作业进行抽样调查，先采用抽签法从中剔除一个人，再从余下的60人中随机抽取6人，下列说法正确的是 A.这种抽样方法对于被剔除的个体是不公平的，因为他们失去了被抽到的机会 B.每个人被抽到的机会不相等 C.每个人在整个抽样过程中被抽到的机会相等，因为每个人被剔除的可能性相等，所以不被剔除的机会也是相等的 D.因为采用了两步进行抽样，所以无法判断每个人被抽到的可能性是多少 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由于第一次剔除时采用抽签法，对每个人来说可能性相等，然后随机抽取6人对每个人来说机会也是均等的，所以每个人被抽到的可能性都是相等的.故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 12.有4万个不小于70的两位数，从中随机抽取了3 000个数据，统计如下： 根据表格中的信息，估计这4万个数据的平均数约为 A.92.16 B.85.23 C.84.73 D.77.97 √ 数据x 70≤x≤79 80≤x≤89 90≤x≤99 个数 800 1 300 900 平均数 78.1 85 91.9 这3 000个数据的平均数为＝85.23.用样本平均数估计总体平均数，可知这4万个数据的平均数约为85.23.故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 13.一位学生在计算20个数据的平均数时，错把68输成86，那么由此求出的平均数与实际平均数的差为_____. 0.9 设20个数分别为x1，x2，…，x20，且x20就是输错的数据，则求出的平均数为＝，实际平均数＝，所以求出的平均数与实际平均数的差－＝＝0.9. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 14.(15分)某公司要检验在一个时间段内生产的节能灯的质量是否达标，现从500个节能灯中抽取10个进行检验. (1)利用随机数法抽取样本时，应如何操作？ 解：第一步：将500个节能灯编号，分别为001，002，…，500； 第二步，准备10个大小、质地相同的小球，小球上分别写上数字0，1，2，…，9，把它们放入一个不透明的袋中，搅拌均匀； 第三步，从袋中有放回地抽取3次，并把第一、二、三次抽到的数字分别作为百、十、个位数，这样就生成了一个三位随机数； 第四步，若这个随机数在1～500范围内，则代表对应编号的节能灯被抽中，否则舍弃编号； 第五步，重复抽取随机数，直到抽足样本所需要的数量. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)用随机试验生成的部分随机数如下所示： 162　277　943　949　545　654　821 737　932　654　873　520　964　384 263　491　648　642　175　331　572 555　068　877　047　447 据此写出应抽取的节能灯的编号. 解：应抽取的节能灯的编号为162，277，384，263，491，175，331，068，047，447. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 15.(5分)(多选)某班有52名学生，其中有31名男生和21名女生.年级主任随机询问了该班5名男生和5名女生在某次物理测验中的成绩，得到5名男生的成绩分别为86，94，88，92，90；5名女生的成绩分别为88，93，93，88，93，则 A.本次抽样的样本量是10 B.可以估计该班男生成绩的平均数大于该班女生成绩的平均数 C.可以估计该班男生成绩的平均数小于该班女生成绩的平均数 D.可以据此估计该班本次物理测验的平均分 √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 A项明显正确.计算样本中5名男生成绩的平均数＝×(86＋94＋88＋92＋90)＝90；5名女生成绩的平均数＝×(88＋93＋93＋88＋93)＝91.可见样本中5名男生成绩的平均数小于5名女生成绩的平均数，据此估计班级总体情况知C正确，B不正确；可以计算10个样本的平均数，据此估计总体的平均数，故D正确.故选ACD. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 16.(17分)学校对王老师与张老师的工作态度、教学成绩及业务学习三个方面做了一个初步的评估，成绩(单位：分)如下表所示：   工作态度 教学成绩 业务学习 王老师 98 95 96 张老师 90 99 98 (1)如果以工作态度、教学成绩及业务学习三个方面的平均分来计算他们的成绩，并以此作为评优的依据，你认为谁会被评为优秀？ 解：王老师的平均分：≈96.3(分). 张老师的平均分：≈95.7(分). 王老师的平均分较高，王老师被评为优秀. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)如果以20％，60％，20％作为三项成绩的比例来计算他们的成绩，结果又会如何？ 解：王老师的平均分：98×20％＋95×60％＋96×20％＝95.8(分).张老师的平均分：90×20％＋99×60％＋98×20％＝97(分).故张老师的平均分较高，张老师被评为优秀.   工作态度 教学成绩 业务学习 王老师 98 95 96 张老师 90 99 98 返回 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 谢 谢 观 看 ！ 第 九 章 　 统 计 返回 2 单元学习十一 9.1 9.1.2 9.1.3　获取数据的途径.pptx 9.1　随机抽样 9.1.2　分层随机抽样 9.1.3　获取数据的途径 　 第九章　统计　单元学习十一　随机抽样 学习目标 1.通过实例，了解分层随机抽样的特点和适用范围. 2.了解分层随机抽样的必要性，掌握各层样本量按比例分配 的方法. 3.结合具体实例，掌握分层随机抽样的样本均值.能根据实际 问题的特点，选取适当的抽样方法；并能理解简单随机抽 样与分层随机抽样的异同点. 4.知道获取数据的基本途径(调查、试验、观察、查询)，培养 数学抽象及数据分析的核心素养. 任务一　分层随机抽样的概念 1 任务二　分层随机抽样的设计与应用 2 任务三　用分层随机抽样样本的平均数估计总体 的平均数 3 课时分层评价 6 任务四　获取数据的基本途径 4 内容索引 随堂评价 5 任务一　分层随机抽样的概念 返回 (阅读教材P181—182，完成问题1) 问题1.某市为调查中小学生的近视情况，在全市范围内分别对小学生、初中生、高中生三个群体抽样，进而了解中小学生的总体情况和三个群体近视情况的差异大小. (1)上述问题中样本总体有什么特征？ 提示：此总体包含小学生、初中生、高中生三个群体，在年龄、体质等方面存在着明显的差异. 问题导思 (2)若采用抽签法会出现什么结果？ 提示：抽取的样本可能集中于某一个群体，不具有代表性. (3)为使抽取的样本更合理，更有代表性，有更好的抽样方法解决该问题吗？ 提示：有，可分不同群体抽取. 1.分层随机抽样的定义：一般地，按一个或多个变量把总体划分成若干个子总体，每个个体属于且仅属于一个子总体，在每个子总体中独立地进行__________抽样，再把所有子总体中抽取的样本__________作为总样本，这样的抽样方法称为______________，每一个子总体称为____. 2.比例分配：在分层随机抽样中，如果每层________都与层的大小成比例，那么称这种样本量的分配方式为比例分配. 新知构建 简单随机 合在一起 分层随机抽样 层 样本量 (1)某政府机关在编人员共100人，其中副处级以上干部10人，一般干部70人，工人20人，上级部门为了了解该机关对政府机构改革的意见，要从中抽取20人，用下列哪种方法最合适 A.抽签法 B.随机数法 C.简单随机抽样 D.分层随机抽样 √ 典例 1 总体由差异明显的三部分构成，应选用分层随机抽样.故选D. (2)分层随机抽样适合的总体是 A.总体容量较多 B.样本量较多 C.总体中个体有差异 D.任何总体 √ 当总体中个体有差异，采用分层随机抽样.故选C. 规律方法 分层随机抽样的前提和遵循的两条原则 1.前提：分层随机抽样的总体按一个或多个变量把总体划分成若干个子总体，并且每一个个体属于且仅属于一个子总体，而层内个体间差异较小. 2.遵循的两条原则 (1)每层的各个个体互不交叉，即遵循不重复、不遗漏的原则. (2)每层样本量与每层个体数量的比等于抽样比. 对点练1.下列问题中，最适合用分层随机抽样抽取样本的是 A.从10名同学中抽取3人参加座谈会 B.某高速公路有300个太阳能标志灯，其中进口的有30个，联合研制的有75个，国产的有195个，为了掌握每个标志灯的使用情况，要从中抽取一个容量为20的样本 C.从1 000名工人中，抽取100名调查上班途中所用时间 D.从生产流水线上，抽取样本检查产品质量 √ A中总体的个体无明显差异且个数较少，适合用简单随机抽样；C和D中总体的个体无明显差异，不适合用分层随机抽样；B中总体的个体差异明显，适合用分层随机抽样.故选B. 返回 任务二　分层随机抽样的设计与应用 返回 (阅读教材P181—182，完成问题2) 问题2.某城市有210家百货商店，其中大型商店20家、中型商店40家、小型商店150家，为了掌握各商店的营业情况，计划抽取一个容量为21的样本，按照分层随机抽样的方法你能写出抽样过程吗？ 提示：①样本容量与总体中的个体数的比值为＝； ②确定要抽取的各种商店的数目：大型商店为20×＝2(家)，中型商店为40×＝4(家)，小型商店为150×＝15(家)； ③采用简单随机抽样的方法在各层中分别抽取大型商店2家、中型商店4家、小型商店15家，这样便得到了所要抽取的样本. 问题导思 分层随机抽样的步骤 新知构建 (1)某田径队有男运动员56人，女运动员42人，若采用分层随机抽样的方法在这支田径队中抽取28人进行体质测试，则抽取男运动员的人 数为 A.16 B.14 C.12 D.10 √ 典例 2 男运动员56人，女运动员42人，则男运动员占总体的比例为＝，则抽取男运动员的人数为28×＝16. (2)某学校有在职人员160人，其中行政人员有16人，教师有112人，后勤人员有32人.教育部门为了了解在职人员对学校机构改革的意见，要从中抽取一个容量为20的样本，应怎样进行抽样，并写出具体过程. 用分层随机抽样来抽取样本，步骤如下： 第一步，分层，按工作性质将学校在职人员分为三层：行政人员、教师、后勤人员； 第二步，确定抽样比，样本量与总体的个体数的比为＝； 第三步，确定分别从每层中抽取的人数，从行政人员中抽取16×＝2(人)；从教师中抽取112×＝14(人)；从后勤人员中抽取32×＝4(人)； 第四步，采用简单随机抽样的方法，抽取行政人员2人，教师14人，后勤人员4人； 第五步，把抽取的个体组合在一起构成所需样本. 规律方法 进行分层随机抽样的相关计算时，常用到的两个关系： 1.＝. 2.总体中某两层的个体数之比等于样本中这两层抽取的个体数 之比. 对点练2.某市电视台准备在该电视台举办的《我爱背唐诗》前三届参加总决赛的120名选手(假设每位选手只参加其中一届总决赛)中随机抽取24名参加一个唐诗交流会，若按前三届参加总决赛的人数比例分层随机抽样，则第一届抽取6人；若按性别比例分层随机抽样，则女选手抽取15人.则下列结论错误的是 A.样本量是24 B.第二届与第三届参加总决赛的选手共有90人 C.120名选手中男选手有50人 D.第一届参加总决赛的女选手最多有30人 √ 对于A，由样本量定义，可知样本量为24，故A正确；对于B，第一届参加总决赛的选手有×120＝30(人)，则第二届与第三届参加总决赛的选手共有120－30＝90(人)，故B正确；对于C，参加总决赛的女选手共有×120＝75(人)，则参加总决赛的男选手有120－75＝45(人)，故C错误；对于D，由B知第一届参加总决赛的选手共30人，则第一届参加总决赛的女选手最多有30人，D正确.故选C. 返回 任务三　用分层随机抽样样本的平均数估计总体的平均数 返回 (阅读教材P182—183，完成问题3) 问题3.在分层随机抽样中，如果层数分为2层，第1层和第2层包含的个体数分别为M和N，抽取的样本量分别为m和n，我们用X1，X2，…，XM表示第1层各个个体的变量值，用x1，x2，…，xm表示第1层样本的各个个体的变量值；用Y1，Y2，…，YN表示第2层各个个体的变量值，用y1，y2，…，yn表示第2层样本的各个个体的变量值，则第1层的总体平均数和样本平均数和第2层的总体平均数和样本平均数该如何计算？ 提示：＝＝Xi， ＝＝ xi，＝＝ Yi，＝＝ yi. 问题导思 分层随机抽样中的总体平均数与样本平均数 1.在分层随机抽样中，如果总体分为2层，两层包含的个体数分别为M，N，两层抽取的样本量分别为m，n，两层的样本平均数分别为，，两层 的总体平均数分别为，，则样本平均数＝，总体平 均数＝. 2.在比例分配的分层随机抽样中，我们可以直接用样本平均数估计总体平均数.即＋＝＋. 新知构建 (1)某校高一年级有女生504人，男生596人.学校想通过抽样的方法估计高一年级全体学生的平均体重，从高一女生和男生中分别随机抽取50人和60人，经计算这50名女生的平均体重为49 kg，60名男生的平均体重为57 kg.依据以上条件，估计该校高一年级全体学生的平均体重最合理的计算方法为 A. B.×49＋×57 C.×49＋×57 D.×49＋×57 √ 典例 3 由题意得高一年级学生的总人数为504＋596＝1 100.从高一年级的女生和男生中分别随机抽取50人和60人，没有按照性别比例分配的方式进行抽样，不能直接用样本平均数估计总体平均数，需要按照女生和男生在总人数中的比例计算总体的平均体重，即×49＋×57，即D选项最合理. (2)已知样本x1，x2，…，xn的平均数为，样本y1，y2，…，ym的平均数为≠).若样本x1，x2，…，xn，y1，y2，…，ym的平均数z＝a ＋(1－a)，其中＜a＜1，则n，m(n，m∈N*)的大小关系为 A.n＝m B.n≤m C.n＞m D.n＜m √ 因为样本x1，x2，…，xn的平均数为，样本y1，y2，…，ym的平均数为≠)，所以这m＋n个数的平均数为：＝＋＝a ＋(1－a)，所以a＝.因为＜a＜1，所以＜＜1，因为n，m∈N*，所以m＋n＜2n，所以n＞m.故选C. 规律方法 样本的平均数和各层的样本平均数的关系 ＝＋＝＋. 对点练3.高二年级有男生490人，女生510人，按男生、女生进行分层随机抽样，得到男生、女生的平均身高分别为170.2 cm和160.8 cm.则下列论述错误的是 A.若各层按比例分配抽取样本量为100的样本，可以用×170.2＋×160.8≈165.4(cm)来估计总体均值 B.若从男生、女生中抽取的样本量分别为30和70，可以用×170.2＋×160.8≈163.6(cm)来估计总体均值 C.若从男生、女生中抽取的样本量分别为30和70，则总体的均值为×170.2＋×160.8≈163.6(cm) D.如果仅根据男生、女生的样本均值，无法计算出总体的均值 √ 由分层随机抽样的概念可得样本平均值为×170.2＋×160.8≈ 165.4(cm)，由此可以估计总体平均值约为165.4 cm，故A正确；由平均数的计算公式可得，样本平均值为×170.2＋×160.8≈ 163.6 (cm)，由此可以估计总体平均值约为163.6 cm，故B正确；由B可知，163.6为样本平均值，我们可以由此估计出总体平均值，而不是确定的总体平均值，故C错误；如果仅根据男生、女生的样本均值，可以估计出总体的均值，不能计算出准确的总体均值，故D正确.故选C. 返回 任务四　获取数据的基本途径 返回 (阅读教材P186—187，完成问题4) 问题4.我们日常中有哪些获取数据的方法和途径呢？ 提示：通过调查获取数据，通过试验获取数据，通过观察获取数据，通过查询获得数据等. 问题导思 获取数据的基本途径 新知构建 获取数据的基本途径 适用类型 注意问题 通过调查获取数据 对于有限总体问题，一般通过抽样调查或普查的方法获取数据 要充分有效地利用背景信息选择或创建更好的抽样方法，并有效避免抽样过程中的人为错误 通过试验获取数据 没有现存的数据可以查询 严格控制试验环境，通过精心的设计安排试验，以提高数据质量　 获取数据的基本途径 适用类型 注意问题 通过观察获取数据 自然现象 借助专业测量设备通过长久的持续观察获取数据 通过查询获得数据 众多专家研究过，其收集的数据有所存储 必须根据问题背景知识“清洗”数据，去伪存真 为了研究近年我国高等教育发展状况，小明需要获取近年来我国大学生入学人数的相关数据，他获取这些数据的途径最好是 A.通过调查获取数据 B.通过试验获取数据 C.通过观察获取数据 D.通过查询获得数据 √ 典例 4 因为近年来我国大学生入学人数的相关数据有所存储，所以小明获取这些数据的途径最好是通过查询获得数据.故选D. 规律方法 选择获取数据的途径的依据 　　选择获取数据的途径主要是根据所要研究问题的类型，以及获取数据的难易程度.有的数据可以有多种获取途径，有的数据只能通过一种途径获取，选择合适的方法和途径能够更好地提高数据的可靠性. 对点练4.“中国天眼”为500米口径球面射电望远镜(Five-hundred-meter Aperture Spherical radio Telescope，简称FAST)，是具有我国自主知识产权、世界最大单口径、最灵敏的射电望远镜.建造“中国天眼”的目的是 A.通过调查获取数据 B.通过试验获取数据 C.通过观察获取数据 D.通过查询获得数据 √ “中国天眼”主要是通过观察获取数据.故选C. 返回 课堂小结 任务再现 (1)分层随机抽样的定义.(2)分层随机抽样的步骤.(3)用分层随机抽样样本的平均数估计总体的平均数.(4)获取数据的基本途径 方法提炼 数据分析 易错警示 在分层随机抽样中，每个个体被抽到的可能性相等，与层数及分层无关，每一层的抽样一般采用简单随机抽样 随堂评价 返回 1.粮食安全是每一个国家必须高度关注的问题，在现有条件下，降雨量对粮食生产的影响是非常大的，某次降雨之后该地气象台播报说本次降雨量是该地有气象记录以来最大的一次，气象台获取这些数据的途径是 A.通过调查获取数据 B.通过试验获取数据 C.通过观察获取数据 D.通过查询获得数据 √ 该地的气象记录和本次的降雨量数据都是通过观察获取的.故选C. 2.某校高三年级有男生500人，女生400人，为了解该年级学生的体重状况，从男生中随机抽取25人，从女生中随机抽取20人进行调查.这种抽样方法是 A.分层随机抽样 B.抽签法 C.随机数法 D.其他随机抽样 √ 从男生500人中抽取25人，从女生400人中抽取20人，抽取的比例相同，因此用的是分层随机抽样.故选A. 3.某校高二有重点班学生400人，普通班学生800人，为调查总体学生数学成绩的平均值，按比例分配进行分层随机抽样，从重点班抽出20人，从普通班抽出40人，通过计算重点班平均成绩为125分，普通班平均成绩为95分，则高二总体的数学成绩平均值约为 A.110 B.125 C.95 D.105 √ 由样本平均数估计总体平均数可知，总体的数学成绩平均值约为＝105.故选D. 4.某工厂甲、乙、丙三个车间生产了同一种产品，数量分别为120件，80件，60件.为了解它们的产品质量是否存在显著差异，用分层随机抽样方法抽取了一个容量为n的样本进行调查，其中从丙车间的产品中抽取了3件，则n＝____. 13 因为＝，所以n＝13. 返回 课时分层评价 返回 1.某校有高一学生400人，高二高生380人，高三学生220人，现教育局督导组用按比例分配分层随机抽样的方法抽取50名学生进行问卷调查，则下列判断正确的是 A.高一学生被抽到的可能性最大 B.高二学生被抽到的可能性最大 C.高三学生被抽到的可能性最大 D.每位学生被抽到的可能性相等 √ 根据按比例分配分层随机抽样的性质，每个个体被抽到的可能性是相等的.故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2.某学校高一、高二、高三分别有600人、500人、700人，现采用分层随机抽样的方法从该校三个年级中抽取18人参加全市主题研学活动，则应从高三抽取 A.5人 B.6人 C.7人 D.8人 √ 采用分层随机抽样的方法从该校三个年级中抽取18人，已知高一、高二、高三分别有600人、500人、700人，则应从高三抽取的人数为18×＝7.故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3.某房地产公司为了解小区业主对平层户型与复式户型的满意度，采用按比例分配的分层随机抽样的方法对该小区的业主进行问卷调查.20位已购买平层户型的业主满意度平均分为8，30位已购买复式户型的业主满意度平均分为9.则用样本平均数估计该小区业主对户型结构满意度的平均分为 A.8.4 B.8.5 C.8.6 D.8.7 √ 估计该小区业主对户型结构满意度的平均分为×8＋×9＝8.6.故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 4.某企业生产A，B，C三种型号电子产品，产品数量之比为3∶5∶7，采用按比例分配的分层随机抽样的方法抽出容量为n的样本，其中B型产品30件，则样本容量n等于 A.100 B.120 C.150 D.90 √ 由按比例分配的分层随机抽样可知，＝，解得n＝90.故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 5.某企业有3个分厂生产同一种电子产品，第一、二、三分厂的产量之比为1∶2∶1，用比例分配的分层随机抽样的方法从3个分厂生产的电子产品中共抽取100件进行使用寿命的测试，由所得的测试结果算得从第一、二、三分厂取出的产品的平均使用寿命分别为980 h，1 020 h，1 032 h，则抽取的100件产品的平均使用寿命为 A.1 013 h B.1 014 h C.1 016 h D.1 022 h √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 法一：由比例分配的分层随机抽样的知识可知，从第一、二、三分厂抽取的电子产品数量分别为25件，50件，25件，则抽取的100件产品的平均使用寿命为×(980×25＋1 020×50＋1 032×25)＝1 013(h).故选A. 法二：因为第一、二、三分厂的产量之比为1∶2∶1，所以可以根据各层抽取数量所占的比例计算抽取的100件产品的平均使用寿命为×980＋×1 020＋×1 032＝1 013(h).故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 6.(多选)已知某地区有小学生120 000人，初中生75 000人，高中生55 000人，当地教育部门为了了解本地区中小学生的近视率，对小学生、初中生、高中生进行按比例分配的分层随机抽样，抽取一个容量为2 000的样本，得到小学生，初中生，高中生的近视率分别为30％，70％，80％，下列说法中正确的有 A.从高中生中抽取了440人 B.每名学生被抽到的概率为 C.估计该地区中小学生总体的平均近视率为60％ D.估计高中生的近视人数约为44 000 √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由题意得，抽样比为＝，故B正确；从高中生中抽取了55 000×＝440(人)，故A正确；高中生近视人数约为55 000×80％＝44 000(人)，故D正确；学生总人数为250 000人，小学生占比为＝，同理，初中生、高中生分别占比为，，在样本中，小学生、初中生和高中生分别抽取960人，600人和440人，则近视人数为960×30％＋600×70％＋440×80％＝1 060(人)，所以估计该地区中小学生总体的平均近视率为＝53％，故C错误.故选ABD. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 7.一个总体分为A，B两层，用比例分配的分层随机抽样方法从总体中抽取一个容量为20的样本，已知B层中每个个体被抽到的概率都是，则总体中的个体数为_____. 240 因为用比例分配的分层随机抽样方法从总体中抽取一个容量为20的样本.由B层中每个个体被抽到的概率都是，可知在抽样过程中每个个体被抽到的概率是，所以总体中的个体数为20÷＝240. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 8.某车间生产A，B，C三种不同型号的产品，产量之比为5∶k∶3，为检验产品的质量，现用分层随机抽样的方法抽取一个容量为120的样本进行检验，已知B种型号的产品共抽取了24件，则C种型号的产品抽取的件数为_____. 36 由题意，得＝，所以k＝2，所以C种型号的产品抽取的件数为120×＝36. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 9.高一某班有男生28人，女生21人，现用按比例分配的分层随机抽样的方法从该班全体同学中抽取出一个容量为7的样本，已知抽出的男生的平均身高为176 cm，抽出的女生的平均身高为162 cm，估计该班全体同学的平均身高是_____cm. 170 根据题意，抽出的男生人数为7×＝4，女生人数为7×＝3，所以该班全体同学平均身高的估计值为×(176×4＋162×3)＝170(cm). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10.(13分)某高级中学共有学生3 000名，各年级男、女生的人数如表： 年级 高一 高二 高三 女生 487 x y 男生 513 560 z 已知高二年级女生比高一年级女生多53人. (1)高二年级有多少名女生？ 解：由x－487＝53，解得x＝540，所以高二年级有540名女生. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)现对各年级用比例分配的分层随机抽样的方法从全校抽取300名学生，应从高三年级抽取多少名学生？ 解：高三年级人数为y＋z＝3 000－(487＋513＋540＋560)＝900， 所以×300＝90，故应从高三年级抽取90名学生. 年级 高一 高二 高三 女生 487 x y 男生 513 560 z 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 11.唐代以来，牡丹之盛，莫过于洛阳，以“洛阳牡丹甲天下”的美名流传于世.唐朝诗人刘禹锡的诗句“唯有牡丹真国色，花开时节动京城”正是对牡丹的赞颂.已知根据花瓣层次的多少可将牡丹分为单瓣类、重瓣类、千瓣类三类，现有牡丹花n朵，千瓣类比单瓣类多30朵，采用分层随机抽样从中选出12朵牡丹进行观察研究，其中单瓣类有4朵，重瓣类有2朵，千瓣类有6朵，则n＝ A.360 B.270 C.240 D.180 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 根据分层随机抽样的特点，设单瓣类、重瓣类、千瓣类牡丹的朵数分别为4x，2x，6x.由题意可得6x－4x＝30，解得x＝15，所以n＝4x＋2x＋6x＝12x＝12×15＝180.故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 12.某高中学校为了促进学生个体的全面发展，针对学生发展要求，开设了富有地方特色的“泥塑”与“剪纸”两个社团.已知报名参加这两个社团的学生共有800人，按照要求每人只能参加一个社团，各年级参加社团的人数情况如表： 其中x∶y∶z＝5∶3∶2，且“泥塑”社团的人数占两个社团总人数的.为了了 解学生对两个社团活动的满意程度，从中抽取一个容量为50的样本进行调查，则从“剪纸”社团的高二年级学生中应抽取的人数为 A.4 B.6 C.9 D.10 √ 年级 高一 高二 高三 泥塑 a b c 剪纸 x y z 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因为“泥塑”社团的人数占总人数为，所以“剪纸”社团的人数占总人数的，人数为800×＝320.因为“剪纸”社团中高二年级人数所占的比例为＝＝，所以“剪纸”社团中高二年级人数为320×＝96.所以从“剪纸”社团的高二年级学生抽取的人数为96×＝6.故选B. 年级 高一 高二 高三 泥塑 a b c 剪纸 x y z 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 13.某学校高一、高二、高三三个年级共有学生3 500人，其中高三学生数是高一学生数的两倍，高二学生人数比高一学生人数多300，现在按的比例分配分层随机抽样，则应抽取高一学生人数为____. 8 设高一学生人数为x，则高二学生人数为x＋300，高三学生人数为2x，所以有x＋x＋300＋2x＝3 500，解得x＝800.故高一学生人数为800，因此应抽取高一学生人数为800×＝8. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 14.(15分)为了对某课题进行研究，分别从A，B，C三所高校中用分层随机抽样法抽取若干名教授组成研究小组，其中高校A有m名教授，高校B有72名教授，高校C有n名教授(其中0＜m≤72≤n). (1)若A，B两所高校中共抽取3名教授，B，C两所高校中共抽取5名教授，求m，n； 解：因为0＜m≤72≤n，A，B两所高校中共抽取3名教授，B，C两所高校中共抽取5名教授，所以高校B中抽取2名教授，高校A中抽取1名教授，高校C中抽取3名教授，所以＝＝，解得m＝36，n＝108. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)若高校B中抽取的教授人数是高校A和C中抽取的教授总人数的，求三所高校教授的总人数. 解：因为高校B中抽取的教授人数是高校A和C中抽取的教授总人数的，所以＝72，解得m＋n＝108，所以三所高校教授的总人数为m＋n＋72＝180. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 15.(5分)小张去年承包了村里的鱼塘养殖黑鱼，计划今年年初出售成年黑鱼.小张第一天从鱼塘里捞出200条成年黑鱼，称得共重500斤，将这些鱼做上标记后重新放回鱼塘，第二天又从鱼塘里捞出200条成年黑鱼，发现带有标记的黑鱼有8条，已知目前市场上一斤黑鱼价格是18元，则可估计该鱼塘今年能产生的效益约为 A.188 000元 B.205 000元 C.220 000元 D.225 000元 √ 设鱼塘里有n条成年黑鱼，则＝，则n＝5 000，估计可产生的效益为×5 000×18＝225 000(元).故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 16.(17分)某企业五月中旬生产A，B，C三种产品共3 000件，根据分层随机抽样的结果，该企业统计员制作了如表： 由于不小心，表格中A，C产品的有关数据已被污染，统计员只记得A产品的样本容量比C产品的样本容量多10，请你根据以上信息补全表格中的 数据. 解：根据题意，可设A产品的数量为m件，样本容量为n，则C产品的数量为(1 700－m)件，样本容量为n－10. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 根据分层随机抽样的特点可得＝＝，解得m＝900，n＝90. 故补全后的表格如表： 产品类型 A B C 产品数量/件 900 1 300 800 样本容量 90 130 80 返回 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 谢 谢 观 看 ！ 第 九 章 　 统 计 返回 3 单元学习十二 9.2 9.2.1 第1课时　频率分布直方图.pptx 9.2　用样本估计总体 9.2.1　总体取值规律的估计 第1课时　频率分布直方图 　 第九章　统计　单元学习十二　用样本估计总体 [单元整体设计]　用样本估计总体是统计的基本思想.本单元内容体现了对数据分析方法学习的螺旋上升，即在初中学习用样本的平均数和方差估计总体的平均数和方差的基础上进一步学习数据统计特征的刻画方法，并用样本的统计特征估计总体的统计特征，包括总体取值规律的估计、总体百分位数的估计、总体集中趋势的估计和总体离散程度的估计，进一步体会样本估计总体的思想和方法.学习计划5课时. 本单元内容重点是频率分布直方图，百分位数，分层随机抽样总样本方差的计算.难点是统计图的选择，分层随机抽样总样本方差的计算，样本与总体的关系.在研究的过程中，提升数据分析、数学运算、数学建模的核心素养. 学习目标 1.掌握频率分布表的作法以及频率分布直方图的画法. 2.掌握用频率分布直方图估计总体. 任务一　画频率分布直方图 1 任务二　频率分布直方图中的计算 2 任务三　频率分布直方图的应用 3 随堂评价 4 内容索引 课时分层评价 5 任务一　画频率分布直方图 返回 (阅读教材P193—195，完成问题1、2、3) 假如通过抽样调查，获得100位居民的月均用水量数据如下(单位：t)： 9.0　13.6　14.9　5.9　4.0　7.1　6.4　5.4　19.4　2.0 2.2　8.6　13.8　5.4　10.2　4.9　6.8　14.0　2.0　10.5 2.1　5.7　5.1　16.8　6.0　11.1　1.3　11.2　7.7　4.9 2.3　10.0　16.7　12.0　12.4　7.8　5.2　13.6　2.6　22.4 3.6　7.1　8.8　25.6　3.2　18.3　5.1　2.0　3.0　12.0 22.2　10.8　5.5　2.0　24.3　9.9　3.6　5.6　4.4　7.9 5.1　24.5　6.4　7.5　4.7　20.5　5.5　15.7　2.6　5.7 5.5　6.0　16.0　2.4　9.5　3.7　17.0　3.8　4.1　2.3 5.3　7.8　8.1　4.3　13.3　6.8　1.3　7.0　4.9　1.8 7.1　28.0　10.2　13.8　17.9　10.1　5.5　4.6　3.2　21.6 问题导思 问题1.上述100个数据中的最大值和最小值分别是多少？由此说明样本数据的变化范围是什么？ 提示：最大值是28.0 t，最小值是1.3 t，样本数据的变化范围为26.7 t. 问题2.样本数据中的最大值和最小值的差称为极差，如果将上述100个数据按组距为3进行分组，那么这些数据共分为多少组？ 提示：26.7÷3＝8.9.因此可以将数据分为9组. 问题3.以组距为3进行分组，上述100个数据共分为9组，各组数据的取值范围可以如何设定？ 提示：[1.2，4.2)，[4.2，7.2)，…，[25.2，28.2]. 1.总体取值规律的估计 常选择频率分布表和________________来整理和表示数据，进而估计总体的分布规律. 新知构建 频率分布直方图 2.频率分布直方图的画法 最大值与最小值 不小于k的最小整数 左闭右开 分组 频数累计 频数 频率 合计 样本量 各小长方形 的面积 频率分布直方图的纵轴表示，频数分布直方图的纵轴表示频数. 微提醒 从某校高三学生中抽取50名参加数学竞赛，成绩分组(单位：分)及各组的频数如下： [40，50)，2；[50，60)，3；[60，70)，10；[70，80)，15；[80，90)，12；[90，100]，8. (1)列出样本的频率分布表(含累积频率)； 解：频率分布表如下： 典例 1 成绩分组 频数 频率 累积频率 [40，50) 2 0.04 0.04 [50，60) 3 0.06 0.1 [60，70) 10 0.2 0.3 成绩分组 频数 频率 累积频率 [70，80) 15 0.3 0.6 [80，90) 12 0.24 0.84 [90，100] 8 0.16 1.00 合计 50 1.00   (2)画出频率分布直方图； 解：频率分布直方图如图所示. (3)估计成绩在[60，90)分的学生比例. 解：学生成绩在[60，90)分的频率为0.2＋0.3＋0.24＝0.74＝74％，所以估计成绩在[60，90)分的学生比例为74％. 规律方法 1.在列频率分布表时，极差、组距、组数的关系 (1)若为整数，则＝组数. (2)若不为整数，则的整数部分＋1＝组数. 规律方法 2.绘制频率分布直方图的注意点 (1)各组频率的和等于1，因此，各小矩形的面积的和也等于1. (2)横轴表示样本数据，纵轴表示，这样每一组的频率可以用该组的组距为底、为高的小矩形的面积表示. (3)画频率分布直方图的关键是确定矩形的高，一般地，频率分布直方图中两坐标轴上的单位长度不一致. 对点练1.为加强对中学生实践创新能力和团队精神的培养，促进教育教学改革，某市教育局将举办全市学生创新知识竞赛.某校举行选拔赛，共有200名学生参加，为了解学生的成绩情况，从中抽取了50名学生的成绩(得分均为整数，满分为100分)进行统计，得到以下频率分布表： 分组 频数 频率 [60，70) a 0.26 [70，80) 15 c [80，90) 18 0.36 [90，100] b d 合计 50 e (1)求a，b，c，d，e的值； 解：根据题意，知成绩在[60，70)内的频数a＝50×0.26＝13，成绩在[90，100]内的频数b＝50－13－15－18＝4，成绩在[70，80)内的频率c＝＝0.30，成绩在[90，100]内的频率d＝＝0.08，频率之和e＝1. 分组 频数 频率 [60，70) a 0.26 [70，80) 15 c [80，90) 18 0.36 [90，100] b d 合计 50 e (2)画出频率分布直方图 . 解：作出频率分布直方图，如图所示. 返回 任务二　频率分布直方图中的计算 返回 角度1　求频率分布直方图的纵坐标 从某校随机抽取100名学生，获得了他们一周课外阅读时间(单位：小时)的数据，整理得到频数分布表和频率分布直方图如下： 典例 2 组号 分组 频数 1 [0，2) 6 2 [2，4) 8 3 [4，6) 17 4 [6，8) 22 5 [8，10) 25 6 [10，12) 12 7 [12，14) 6 8 [14，16) 2 9 [16，18] 2 合计 100 (1)试估计该校该周课外阅读时间少于12小时的学生所占的比例； 解：根据频数分布表知，100名学生中一周课外阅读时间不少于12小时的学生共有6＋2＋2＝10(名)，所以样本中的学生一周课外阅读时间少于12小时的频率是1－＝0.9. 故估计该校该周课外阅读时间少于12小时的学生所占的比例为0.9. 组号 分组 频数 1 [0，2) 6 2 [2，4) 8 3 [4，6) 17 4 [6，8) 22 5 [8，10) 25 6 [10，12) 12 7 [12，14) 6 8 [14，16) 2 9 [16，18] 2 合计 100 (2)求a，b的值. 解：一周课外阅读时间落在[4，6)内的有17人，频率为0.17，所以a＝＝＝0.085. 课外阅读时间落在[8，10)内的有25人，频率为0.25， 所以b＝＝＝0.125. 角度2　求频率和频数 (1)在一次高二数学单元评估中，共有500名同学参加测试，经过评估，这500名学生的得分(单位：分)都在[40，90]内，其得分的频率分布直方图如图，则得分在[40，60)内的学生人数为 A.150 B.200 C.250 D.300 √ 典例 3 由频率分布直方图，知(a＋0.035＋0.030＋0.020＋0.010)×10＝1，解得a＝0.005，所以得分在[40，60)内的频率为(0.005＋0.035)×10＝0.4，故得分在[40，60)内的学生人数为500×0.4＝200.故选B. (2)(双空题)从某小学随机抽取100名学生，将他们的身高(单位：cm)数据绘制成频率分布直方图如图所示，由图中数据可知a＝________.若要从身高在[120，130)，[130，140)，[140，150]这三组内的学生中，用分层随机抽样的方法选取18名学生参加一项活动，则从身高在[140，150]内的学生中抽取的人数为___. 0.030 3 易知10×(0.005＋0.035＋a＋0.020＋0.010) ＝1，解得a＝0.030.由题中的频率分布直 方图可知，身高在[120，130)，[130， 140)，[140，150]这三组内的学生总人 数为100×10×(0.030＋0.020＋0.010)＝ 60，其中身高在[140，150]内的学生人 数为100×10×0.010＝10，所以从身高在[140，150]内的学生中抽取的人数为×10＝3. 规律方法 解决与频率分布直方图有关的计算问题的方法 　　由频率分布直方图进行相关计算时，需掌握下列关系式： 1.小长方形的面积＝组距×＝频率. 2.各小长方形的面积之和等于1. 规律方法 3.＝频率，此关系式的变形为＝样本容量，样本容量×频率＝频数. 4.在频率分布直方图中，各小长方形的面积之比等于频率之比，各小长方形的高度之比也等于频率之比. 对点练2.(1)某地区为了解学生课余时间的读书情况，随机抽取了n名学生进行调查，根据调查得到的学生日均课余读书时间绘制成如图所示的频率分布直方图，已知抽取的样本中日均课余读书时间低于10分钟的有10人，则n，p的值分别为 A.200，0.015 B.100，0.010 C.100，0.015 D.1 000，0.010 √ 利用频率之和为1可得，p×10＝1－(0.018＋0.022＋0.025＋0.020＋0.005)×10＝0.1，解得p＝0.010，根据频率、频数、样本容量之间的关系可得，＝0.1，解得n＝100.故选B. (2)如图所示为某企业员工年龄(岁)的频率分布直方图，从左到右依次为第一组、第二组、……、第五组，若第五组的员工有80人，则第二组的员工人数为 A.140 B.240 C.280 D.320 √ 由已知得5(a＋0.06＋0.04＋0.02＋0.01)＝1，所以a＝0.07.因为第五组的员工人数为80，所以第二组的员工人数为80×＝280.故选C. 返回 任务三　频率分布直方图的应用 返回 某市政府为了鼓励居民节约用水，计划调整居民生活用水收费方案，拟定一个合理的月用水量标准x(单位：吨)，一位居民的月用水量不超过x的部分按平价收费，超出x的部分按议价收费，为了了解居民的用水情况，通过抽样，获得了某年100位居民每人的月均用水量(单位：吨)，将数据按照[0，0.5)，[0.5，1)，…，[4，4.5]分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图. 典例 4 (1)求a的值； 解：由频率分布直方图知，月均用水量在[0，0.5)内的频率为0.08×0.5＝0.04. 同理，在[0.5，1)，[1.5，2)，[2，2.5)，[3，3.5)，[3.5，4)，[4，4.5]内的频率分别为0.08，0.20，0.26，0.06，0.04，0.02，则0.04＋0.08＋0.5×a＋0.20＋0.26＋0.5×a＋0.06＋0.04＋0.02＝1，解得a＝0.30. (2)设该市有50万居民，估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数； 解：由(1)得，100位居民中月均用水量不低于3吨的频率为0.06＋0.04＋0.02＝0.12. 用样本估计总体，所以估计全市50万居民中月均用水量不低于3吨的人数为500 000×0.12＝60 000. (3)若该市政府希望使80％的居民每月的用水量不超过标准x(单位：吨)，求x的值.(结果保留三位小数) 解：因为前6组的频率之和为0.04＋0.08＋0.15＋0.20＋0.26＋0.15＝0.88＞0.80，而前5组的频率之和为0.04＋0.08＋0.15＋0.20＋0.26＝0.73＜0.80，所以2.5＜x＜3. 由0.3×(x－2.5)＝0.80－0.73，解得x≈2.733. 规律方法 　　频率分布直方图反映了样本在各个范围内取值的可能性，由抽样的代表性利用样本在某一范围内的频率，可近似地估计总体在这一范围内的频率. 对点练3.某企业在招聘考试成绩中随机抽取了100名应聘者的笔试成绩(单位：分)，按成绩分组得到频率分布表： 组号 分组 频数 频率 第1组 [160，165) 5 0.05 第2组 [165，170) ① 0.35 第3组 [170，175) 30 ② 第4组 [175，180) 20 0.20 第5组 [180，185] 10 0.10 合计 100 1.00 (1)请求出频率分布表中①②处的数据，并画出相应的频率分布直方图； 解：由题意可知，第2组的频数为0.35×100＝35，第3组的频率为＝0.30，故①处为35，②处为0.30.频率分布直方图如图所示. (2)该企业决定用分层随机抽样的方法在笔试成绩高的第3，4，5组中抽取6名应聘者进入第二轮面试，求在第3，4，5组中应各抽取多少名应聘者. 解：因为第3，4，5组共有60名应聘者，所以用分层随机抽样的方法在60名应聘者中抽取6名应聘者的抽样比为＝，故在第3组中应抽取30×＝3名应聘者，在第4组中应抽取20×＝2名应聘者，在第5组中应抽取10×＝1名应聘者. 返回 课堂小结 任务再现 (1)频率分布直方图的画法.(2)数率分布直方图中的计算.(3)频率分布直方图的应用 方法提炼 图形识别、数据分析 易错警示 频率分布直方图中小矩形的高以及小矩形的面积代表的意义理解不清 随堂评价 返回 1.一个频数分布表(样本容量为30)不小心被损坏了一部分，只记得样本中数据在[20，60)内的频率为0.8，则样本在[40，60)内的数据的个数为 A.14 B.15 C.16 D.17 √ 因为样本中数据在[20，60)内的频率为0.8，所以样本中数据在[20，60)内的频数为30×0.8＝24，所以样本在[40，60)内的数据个数为24－4－5＝15.故选B. 2.某校根据学生情况将物理考试成绩进行赋分，目的是为了更好地对新高考改革中不同选科学生的考试成绩进行横向对比，经过对全校300名学生的成绩统计，可得到如图所示的频率分布直方图，则这些同学物理成绩大于等于60分的人数为 A.270 B.240 C.180 D.150 √ 10＝1，解得m＝0.005，故物理成绩大于等于60分的人数为300×＝240.故选B. 3.在样本的频率分布直方图中，共有5个小长方形，已知中间一个小长方形的面积是其余4个小长方形面积之和的，且中间一组的频数为10，则样本量是____. 40 设中间的小长方形的面积为S，则S＝(1－S)，解得S＝，即中间一组的频率为.又中间一组的频数为10，所以样本量＝＝＝40. 4.为贯彻五育并举的教育方针，某校对全体高一年级学生进行了体能测试，并将成绩(单位：分)分为6组：[40，50)，[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]，得到如图所示的频率分布直方图，已知高一年级共有750名同学参加测试，则成绩达标(不低于60分)的学生人数为______. 600 成绩不低于60分的频率为1－10×(0.005＋0.015)＝0.8，则成绩达标的学生人数为750×0.8＝600. 返回 课时分层评价 返回 1.对于频率分布直方图，下列说法中正确的是 A.小长方形的高表示取某数的频率 B.小长方形的高表示该组个体在样本中出现的频数 C.小长方形的高表示该组个体在样本中出现的频率与组距的比 D.小长方形的高表示该组个体在样本中出现的频数与组距的比 √ 在频率分布直方图中，各小长方形的面积表示相应各组的频率，小长方形的高表示该组个体在样本中出现的频率与组距的比.故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2.如图所示是容量为100的样本数据的频率分布直方图，则样本数据落在[15，20]内的频数为 A.20 B.30 C.40 D.50 √ 样本数据落在[15，20]内的频数为100×[1－5×(0.04＋0.1)]＝30.故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3.采用简单随机抽样抽到一个容量为20的样本，将数据分组后，各组的频数如下表： 已知样本数据在区间[20，40)内的频率为0.35，则样本数据在区间[50，60)内的频率为 A.0.70 B.0.50 C.0.25 D.0.20 √ 分组 [10，20) [20，30) [30，40) [40，50) [50，60) [60，70] 频数 2 3 x 5 y 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由题意得＝0.35，解得x＝4，则y＝20－2－3－4－5－2＝4，故所求的频率为＝0.20.故选D. 分组 [10，20) [20，30) [30，40) [40，50) [50，60) [60，70] 频数 2 3 x 5 y 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 4.某学校组织高一学生参加数学测试，并对学生的成绩(单位：分)进行了整理，制成了如图所示的频率分布直方图，其中数据的分组依次为[20，40)，[40，60)，[60，80)，[80，100].若成绩高于60分的人数是350，则高一学生的人数为 A.1 000 B.750 C.500 D.250 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由频率分布直方图得，成绩高于60分的频率为(0.020＋0.015)×20＝0.7，所以高一学生的人数为＝500.故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 5.随机抽查了某校100名高三学生的视力情况，得到的频率分布直方图如图所示.由于不慎将部分数据丢失，但知道后5组的频数之和为64.设这100名学生中视力在4.6到4.8之间的学生人数为a，各组中频率最大的为0.34，则a的值为 A.64 B.54 C.48 D.27 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 前两组的频数之和为100×0.1×(0.5＋1.1)＝16，第四组的频数为100×0.34＝34.又后五组的频数之和为64，所以前三组的频数之和为100－64＝36，故第三组的频数为36－16＝20，因此a＝20＋34＝54.故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 6.(多选)某学校为了调查学生某次研学活动中的消费支出情况，抽出了一个容量为n的样本，其频率分布直方图如图 所示，其中支出在50元到60元之间的学生有 60人，则 A.样本中消费支出在50元到60元之间的频率 为0.3 B.样本中消费支出不少于40元的人数为132 C.n的值为200 D.若该校有2 000名学生参加研学，则约有20人的消费支出在20元到30元之间 √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 根据频率分布直方图各小长方形的面积之 和为1可得支出在50元到60元之间的频率为 1－10×(0.01＋0.024＋0.036)＝0.3，故A正 确；易得n＝＝200，故C正确；消费支出 不少于40元的人数为200×(0.036×10＋0.3) ＝132，故B正确；根据题中频率分布直方图可知消费支出在20元到30元之间的频率为0.1，故若有2 000名学生参加研学，则消费支出在20元到30元之间的约为2 000×0.1＝200(人)，故D错误.故选ABC. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 7.某校为了了解学生的身高状况，现抽取200名学生测量身高(单位：cm)，其中身高最大值为186，最小值为152，根据身高数据绘制频率分布直方图，且第一组为[151.5，156.5)，则组数为___. 7 第一组为[151.5，156.5)；第二组为[156.5，161.5)；第三组为[161.5，166.5)；第四组为[166.5，171.5)；第五组为[171.5，176.5)；第六组为[176.5，181.5)；第七组为[181.5，186.5).所以组数为7. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 8.在抽查某产品尺寸的过程中，将其尺寸分成若干个组，[a，b)是其中一组，该组的频率为0.3，在频率分布直方图上该组对应的小矩形的高度为0.06，则｜a－b｜＝___. 5 在频率分布直方图中，小矩形的高＝频率÷组距，即｜a－b｜＝＝5. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 9.为了解某地居民的月收入情况，一个社会调查机构调查了20 000人，并根据所得数据画出样本的频率分布直方图如图所示(最后一组包含两端值，其他组包含最小值，不包含最大值).现按月收入分层，用分层随机抽样的方法在这20 000人中抽出200人进一步调查，则应从月收入(单位：元)在[3 000，4 000)内的人中抽取_____人. 40 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 月收入在[3 000，4 000)内的频率为1－(0.000 10＋0.000 25×2＋0.000 15＋0.000 05)×1 000＝0.2，故应从月收入在[3 000，4 000)内的人中抽取200×0.2＝40(人). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10.(13分)为了了解九年级学生中女生的身高(单位：cm)情况，某中学对九年级部分女生身高进行了一次测量，将所得数据整理后列出频率分布表如下表所示： 分组 频数 频率 [145.5，149.5) 1 0.02 [149.5，153.5) 4 0.08 [153.5，157.5) 20 0.40 [157.5，161.5) 15 0.30 [161.5，165.5) 8 0.16 [165.5，169.5] m n 合计 M N 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (1)求m，n，M，N的值； 解：法一：N＝1.00，n＝1－(0.02＋0.08＋0.40＋0.30＋0.16)＝0.04，＝，解得m＝2，M＝1＋4＋20＋15＋8＋2＝50. 法二：M＝＝50，m＝50－(1＋4＋20＋15＋8)＝2，N＝1.00，n＝＝＝0.04. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)画出频率分布直方图； 解：画出频率分布直方图如图所示. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (3)全体女生中身高在哪组范围内的人数最多？估计九年级学生中女生的身高在161.5 cm以上的频率. 解：由频率分布直方图知，样本中身高在[153.5，157.5)范围内的人数最多，且身高在161.5 cm以上的频率为0.16＋0.04＝0.20. 由此可估计全体女生中身高在[153.5，157.5)范围内的人数最多，九年级学生中女生的身高在161.5 cm以上的频率约为0.20. 分组 频数 频率 [145.5，149.5) 1 0.02 [149.5，153.5) 4 0.08 [153.5，157.5) 20 0.40 [157.5，161.5) 15 0.30 [161.5，165.5) 8 0.16 [165.5，169.5] m n 合计 M N 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 11.为普及冬奥知识，某校在各班选拔部分学生进行冬奥知识竞赛(满分100分).根据参赛学生的成绩(单位：分)，得到如图所示的频率分布直方图.若要对成绩排名前40％的学生进行奖励，则获奖学生的最低成绩可 能为 A.65分 B.75分 C.85分 D.95分 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 根据频率分布直方图可知，成绩在[90，100]内的频率为0.018×10＝0.18，成绩在[80，90)内的频率为0.044×10＝0.44.因为0.18＜0.4，0.18＋0.44＞0.4，所以估计成绩排名在前40％的学生的最低分数在[80，90)内，所以获奖学生的最低成绩可能为85分.故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 12.某工厂对一批产品进行了抽样检测.如图是根据抽样检测后的产品净重(单位：克)数据绘制的频率分布直方图，其中产品净重的范围是[96，106]，样本数据分组为[96，98)，[98，100)，[100，102)，[102，104)，[104，106]，已知样本中产品净重小于100克的个数是36，则样本中净重大于或等于98克并且小于104克的产品个数是____. 90 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因为样本中产品净重小于100克的频率为(0.050＋0.100)×2＝0.3，频数为36，所以样本容量为＝120.因为样本中净重大于或等于98克并且小于104克的产品的频率为(0.100＋0.150＋0.125)×2＝0.75，所以样本中净重大于或等于98克并且小于104克的产品个数为120×0.75＝90. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 13.为了普及环保知识，增强环保意识，某企业安排300名员工参加环保知识测试，按年龄分组：第1组为[25，30)，第2组为[30，35)，第3组为[35，40)，第4组为[40，45)，第5组为[45，50]，得到的频率分布直方图如图所示.现在要从第1，3，4组中用分层随机抽样的方法抽取16人，则在第4组中抽取的人数为___. 6 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 根据频率分布直方图得，第1，3，4组的频率之比为1∶4∶3，所以用分层随机抽样的方法抽取16人时，在第4组抽取的人数为16×＝6. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 14.(15分)某幼儿园根据部分同年龄段女童的身高数据绘制了如图所示的频率分布直方图，其中身高的范围是[96，106](单位：厘米)，样本数据分组为[96，98)[98，100)，[100，102)， [102，104)，[104，106]. (1)求出x的值； 解：由题意得(0.050＋0.100＋0.150＋0.125 ＋x)×2＝1，解得x＝0.075. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)已知样本中身高小于100厘米的人数是36， 求出总样本量N的数值； 解：设身高小于100厘米的频率为p1， 则p1＝(0.050＋0.100)×2＝0.300. 而p1＝，故N＝＝＝120. (3)根据频率分布直方图提供的数据及(2)中的条件，求出样本中身高位于[98，104)内的人数. 解：身高位于[98，104)内的频率p2＝(0.100＋0.150＋0.125)×2＝0.750，身高位于[98，104)内的人数n＝p2N＝0.750×120＝90. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 15.(5分)(双空题)某学校随机抽取部分新生调查其上学所需时间(单位：分钟)，并将所得数据绘制成频率分布直方图(如图)，其中，上学所需时间的范围是[0，100]，样本数据分组为[0，20)，[20，40)，[40，60)，[60，80)，[80，100].则 (1)图中的x＝__________； 0.012 5 由频率分布直方图知20x＝1－20×(0.025＋0.006 5＋0.003＋0.003)，解得x＝0.012 5. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)若上学所需时间不少于1小时的学生可申请在学校住宿，则该校600名新生中估计有____名学生可以申请住宿. 72 上学时间不少于1小时的学生的频率为0.003×2×20＝0.12，因此估计有0.12×600＝72(名)学生可以申请住宿. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 16.(17分)为了了解某工厂生产的产品情 况，从该工厂生产的产品中随机抽取一 个容量为20的样本，测量它们的尺寸(单 位：mm)，并将所得的尺寸数据按照 [92，94)，[94，96)，[96，98)，[98， 100)，[100，102)，[102，104)，[104， 106]分为七级，其频率分布直方图如图所示. (1)求图中x的值； 解：由(0.02＋0.04＋0.06＋0.07＋0.09＋0.10＋x)×2＝1，解得x＝0.12. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)根据频率分布直方图，估计200件该产品中尺寸在[98，100)内的数量； 解：估计200件该产品中尺寸在[98，100)内的有200×0.09×2＝36(件). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (3)记产品尺寸在[98，102)内的为优等品，每件可获利5元，在[92，94)内的为不合格品，每件亏损2元，其余的为合格品，每件可获利3元.已知每台机器每个月生产3 000件产品.用样本的频率代替总体在各组的频率，若一台机器一个月生产的产品所获得的利润未达到11 000元，则需要对该工厂的设备实施升级改造.试判断是否需要对该工厂设备实施升级改造. 解：由题意可得，一台机器一个月生产的3 000件产品中优等品有3 000×(0.18＋0.20)＝1 140(件)，不合格品有3 000×0.04＝120(件)，合格品有3 000－1 140－120＝1 740(件)，所以这台机器一个月生产的产品所获得的利润为1 140×5＋1 740×3－120×2＝10 680(元). 因为10 680＜11 000，所以需要对该工厂的设备实施升级改造. 返回 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 谢 谢 观 看 ！ 第 九 章 　 统 计 返回 4 单元学习十二 9.2 9.2.1 第2课时　条形图、扇形图与折线图.pptx 9.2　用样本估计总体 9.2.1　总体取值规律的估计 第2课时　条形图、扇形图与折线图 　 第九章　统计　单元学习十二　用样本估计总体 学习目标 1.会读图表，能识别出统计图表中的信息. 2.能对统计图表中的信息进行组合，给出与问题背景相关的 解读. 3.会根据实际问题的特点，选择恰当的统计图表对数据进行 可视化描述. 任务一　条形图 1 任务二　扇形图 2 任务三　折线图 3 随堂评价 4 内容索引 课时分层评价 5 任务一　条形图 返回 (多选)如图所示的是某超市一年中各月份的收入与支出(单位：万元)情况的条形统计图.已知利润为收入与支出的差，即利润＝收入－支出，则下列说法不正确的是 A.利润最高的月份是2月份，且 2月份的利润为40万元 B.利润最低的月份是5月份，且 5月份的利润为10万元 C.收入最少的月份，利润也最少 D.收入最少的月份，支出也最少 √ 典例 1 √ √ 利润最高的月份是3月份和10月份，且3月份和10月份的利润均为15万元，故A说法错误；利润最低的月份是8月份，且8月份的利润为5万元，故B说法错误；收入最少的月份是5月份，但利润最少的月份是8月份，故C说法错误；收入最少的月份是5月份，支出最少的月份也是5月份，故D说法正确.故选ABC. 规律方法 　　条形图是一种以长方形的长度为变量的统计图，通常用横轴(横轴上的数字)表示样本类别(样本值)，用纵轴上的单位长度表示一定的数量.条形图主要用来比较两个或两个以上类别(只有一个变量)的样本，通常用于较小的数据分析. 对点练1.小李同学一周的总开支分布如表所示，一周的食品开支如图所示，则小李同学一周的蔬菜开支占总开支的 A.33％ B.20％ C.42％ D.60％ √ 项目 占比 日常 15％ 娱乐 5％ 食品 60％ 通信 5％ 其他 15％ 由条形图知，小李同学一周的蔬菜开支占食品开支的＝，而一周的食品开支占总开支的60％，所以小李同学一周的蔬菜开支占总开支的×60％＝20％.故选B. 项目 占比 日常 15％ 娱乐 5％ 食品 60％ 通信 5％ 其他 15％ 返回 任务二　扇形图 返回 某公司在各个项目中总投资500万元，如图是几类项目的投资占比情况，已知在1万元以上的项目投资中，少于3万元的项目投资占，那么不少于3万元的项目投资共有 A.56万元 B.65万元 C.91万元 D.147万元 √ 典例 2 由题图可知，1万元以上的项目投资占1－0.46－0.33＝0.21＝21％，则投资1万元以上的资金共500×0.21＝105(万元).又在1万元以上的项目投资中，少于3万元的项目投资占，则不少于3万元的项目投资占1－＝.故不少于3万元的项目投资为105×＝65(万元).故选B. 规律方法 　　扇形统计图表示总体的各部分之间的百分比关系，但不同总量下的扇形统计图，其不同的百分比不可以作为比较的依据. 对点练2.某冷链运输研究机构对某地的冷链运输需求量(单位：吨)进行了统计，得到如图所示的扇形图，其中乳制品的冷链运输需求量为108吨，则下列结论正确的是 A.乳制品在冷链运输需求量中的占比为8％ B.水产品的冷链运输需求量为502吨 C.蔬菜的冷链运输需求量比乳制品的冷链运输需求 量多210吨 D.这五类食品的冷链运输需求量的中位数为378 √ 乳制品在冷链运输需求量中的占比为1－28％－27％－ 18％－21％＝6％，故A不正确；水产品的冷链运输需 求量为108÷6％×28％＝504(吨)，故B不正确；蔬菜的 冷链运输需求量为108÷6％×18％＝324(吨)，比乳制 品的冷链运输需求量多324－108＝216(吨)，故C不正确； 肉制品的冷链运输需求量为108÷6％×27％＝486(吨)，水果的冷链运输需求量为108÷6％×21％＝378(吨)，则五类食品的冷链运输需求量由小到大依次为108，324，378，486，504，所以中位数为378，故D正确.故选D. 返回 任务三　折线图 返回 (1)(多选)某地区农民工人均月收入增长率如图①，并将人均月收入绘制成如图②所示的不完整的条形统计图. 根据以上统计图，以 下说法正确的是 A.2025年农民工人均 月收入的增长率是10％ B.2025年农民工人均 月收入是2 205元 C.2024年农民工的人均月收入比2023年的低 D.从2021年到2025年的这五年中，2025年农民工人均月收入最高 √ 典例 3 √ √ 对于A，由题图①知2025年农民工人均月收入的增长率是10％，故A正确；对于B，由题图②知2023年农民工人均月收入是2 205元，故B正确；对于C，2024年农民工人均月收入的增长率为20％＞0，故C错误；对于D，由题图②知从2021年到2025年的这五年中，2025年农民工人均月收入最高，则D正确.故选ABD. (2)汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1 L汽油行驶的路程，如图所示的是甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况.下列叙述中正确 的是 A.消耗1 L汽油，乙汽车最多可行驶5 km B.当三辆车以相同速度行驶相同的路程时， 甲汽车消耗的汽油最多 C.甲汽车以80 km/h的速度行驶1 h，消耗 10 L汽油 D.某城市机动车最高限速80 km/h，相同条件下，在该市用丙汽车比用乙汽车更省油 √ 对于A，由题图可知，当速度大于40 km/h 时，乙汽车的燃油效率大于5 km/L，所以 当速度大于40 km/h时，消耗1 L汽油，乙 汽车的行驶路程大于5 km，故A错误；对 于B，由题图可知当速度相同时，甲汽车 的燃油效率最高，即当速度相同时，消耗 1 L汽油，甲汽车行驶的路程最远，所以当三辆车以相同速度行驶相同的路程时，甲汽车消耗的汽油最少，故B错误； 对于C，由题图可知当速度为80 km/h时， 甲汽车的燃油效率为10 km/L，即甲汽车 行驶10 km时，耗油1 L，故甲汽车以 80 km/h的速度行驶1 h的路程为80 km，消 耗的汽油为8 L，故C错误；对于D，由题 图可知，当速度小于80 km/h时，丙汽车 的燃油效率大于乙汽车的燃油效率，所以用丙汽车比用乙汽车更省油，故D正确.故选D. 规律方法 折线图的读图方法 1.读折线图时，要看清楚直角坐标系中横、纵坐标表示的意义，要明确图中的值及其单位. 2.在折线图中，由折线的上升、下降可分析统计数量的增、减变化情况.从陡峭程度上，可分析数据间相对增长、下降的幅度. 对点练3.(多选)PM2.5是空气质量的一个重要指标，我国PM2.5标准采用世卫组织设定的最宽限值，即PM2.5日均值在35 μg/m3以下时空气质量为一级，在35 μg/m3～75 μg/m3时空气质量为二级，在75 μg/m3以上时空气质量为超标.如图是某地11月1日到10日PM2.5日均值(单位：μg/m3)的统计数据，则下列叙述正确的是 A.这10天中有4天空气质量为一级 B.这10天中PM2.5日均值最高的是11月5日 C.从5日到9日，PM2.5日均值逐渐降低 D.这10天的PM2.5日均值最低的是11月4日 √ √ √ 由图表可知，选项A、B、C正确；对于选项D，这10天的PM2.5日均值最低是11月9日，故D错误.故选ABC. 返回 随堂评价 返回 1.某校高一(1)班王伟、张诚、赵磊三名同学六次英语测试的成绩及班级平均分如图所示，则下列说法错误的是 A.王伟同学的英语成绩始终高于班级 平均水平 B.张诚同学的英语成绩始终高于班级 平均水平 C.赵磊同学的英语成绩低于班级平均水平，但与班级平均分的差距逐步 缩小 D.赵磊同学的英语成绩波动上升 √ 根据折线图可知，王伟同学的英语成绩始终高于班级平均分，张诚同学的英语成绩在班级平均分附近波动，赵磊同学的英语成绩低于班级平均分，但与班级平均分的差距逐渐减小，波动上升.故选B. 2.为践行生态文明的理念，某学校全体师生于3月12日开展植树活动，购买了樟树、银杏、桂花、梧桐四种树苗共计800棵，比例如图所示，高一年级师生、高二年级师生、高三年级师生参加植树活动的人数之比为4∶3∶3，若每种树苗均按各年级师生参加植树的人数比例进行分配，则高二年级师生应分得桂花树苗的数量为 A.30棵 B.50棵 C.72棵 D.80棵 √ 高二年级师生应分得树苗800×＝240(棵)，所以高二年级师生应分得桂花树苗240×30％＝72(棵).故选C. 3.(多选)某商场开通三种平台销售商品，五一期间通过平台一、平台二、平台三消费的人数分别为2 000，1 500，2 500.该商场为了解消费者对各平台销售方式的满意程度，用分层随机抽样的方法抽取了6％的顾客进行满意度调查，得到的数据如图所示，则下列说法正确的是 A.样本中对平台一满意的消费者人数为36 B.总体中对平台二满意的消费者人数约为300 C.若样本中对平台三满意的消费者人数为120， 则m＝50％ D.样本中对平台一和平台二满意的消费者的 总人数为54 √ √ √ 样本中对平台一满意的人数为2 000×6％×30％＝36，故A正确；总体中对平台二满意的人数约为1 500×20％＝300，故B正确；若样本中对平台三满意的消费者人数为120，则平台三的满意率为＝80％，所以m＝80％，故C错误；样本中对平台一和平台二满意的总人数为2 000×6％×30％＋1 500×6％×20％＝36＋18＝54，故D正确.故选ABD. 4.(多选)空气质量指数AQI是反映空气质量状况的指数，AQI指数的值越小，表明空气质量越好，AQI指数不超过50，空气质量为“优”，AQI指数大于50且不超过100，空气质量为“良”，AQI指数大于100，空气质量为“污染”.某市2025年空气质量指数(AQI)的月折线图如图所示，则下列关于该市2025年空气质量的叙述正确的是 A.全年平均AQI指数对应的空气质 量为“优”或“良” B.每月都至少有一天空气质量为 “优” C.2月、8月、9月和12月均出现污染天气 D.空气质量为“污染”的天数最多的月份是2月 √ √ √ 对于A，该市2025年每个月的平均 AQI指数都小于100，故全年的平均 AQI指数也小于100，对应的空气质 量为“优”或“良”，故A正确； 对于B，每个月的AQI指数的最小 值都不超过50，故B正确；对于C，2月、8月、9月和12月的AQI指数的最大值超过了100，故C正确；对于D，从折线图只能知道2月的AQI指数的最大值最大，不能说明2月的空气质量为“污染”的天数最多，故D不正确.故选ABC. 返回 课时分层评价 返回 1.甲、乙两所学校的男、女生比例如图所示，已知甲校学生总数为1 500，乙校学生总数为1 000，下列结论错误的是 A.甲校女生比乙校女生多 B.乙校男生比甲校男生少 C.乙校女生比甲校男生少 D.甲校女生比乙校男生少 √ 根据统计图可知甲校男生和女生的人数均为750，乙校男生人数为400，女生人数为600，所以甲校女生比乙校女生多，故A正确；乙校男生比甲校男生少，故B正确；乙校女生比甲校男生少，故C正确；甲校女生比乙校男生多，故D错误.故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2.某校为了让学生度过一个充实的假期生活，要求每名学生都制订一份假期学习计划.已知该校高一年级有400人，占全校人数的，高三年级人数占全校人数的，为调查学生计划的完成情况，用按比例分配的分层随机抽样的方法从全校的学生中抽取10％作为样本，将结果绘制成如图所示的统计图，则样本中高三年级完成计划的人数为 A.80 B.90 C.9 D.8 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由题意得全校人数为＝1 200，样本容量为1 200×10％＝120，样本中高三年级有120×＝20人.由题图可知，样本中高三年级假期学习计划的完成率为40％，故样本中高三年级完成计划的人数为20×40％＝8.故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3.某市四区夜市的摊位数和食品摊位比例分别如图①、图②所示，为提升夜市消费品质，现用分层随机抽样的方法抽取6％的摊位进行调查分析，则抽取的样本容量与A区被抽取的食品摊位数分别为 A.210，24 B.210，27 C.252，24 D.252，27 √ 根据分层随机抽样的原则知，抽取的样本容量为(1 000＋800＋1 000＋1 400)×6％＝252；A区被抽取的食品摊位数为1 000×6％×0.45＝27.故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 4.某地自2020年起实行湖长制，境内湖泊水质不断提升.为了解治理成效，环境监测部门每年在该地所有湖泊中随机选取80个进行水质调查，得到数据如图所示，并且五年来，该地通过退耕还湖，湖泊总量由160个增加至200个.下列说法不正确的是 A.该地水质差湖泊总量逐年递减 B.该地水质好湖泊总量逐年递增 C.该地平均每年新增10个湖泊 D.该地平均每年新增至少45个水 质好湖泊 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 根据题图中湖泊总量折线图可 得，从2020年到2024年，该地 平均每年新增的湖泊个数为 ＝10，故C正确；根据题 图中水质差的湖泊数的折线图可 得，该地水质差湖泊的总量前3 年分别为×160＝150，×172＝86，×190＝≈90，故A错误； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 根据题图中水质好的湖泊数的折 线图可得，该地水质好湖泊的总 量分别为×160＝10，×172 ＝86，×190≈100，×193≈ 140，×200＝200，该地水质 好湖泊的总量逐年递增，故B正确；从2020年到2024年，该地平均每年新增水质好湖泊数量为＝47.5＞45，故D正确.故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 5.(多选)某人根据2025年1月至2025年11月期间每月跑步的里程(单位：×104米)的数据绘制了如图的折线图.根据该折线图，下列结论正确的是 A.月跑步里程逐月增加 B.月跑步里程最大值出现在10月 C.月跑步里程最小值出现在8月 D.8月到9月跑步里程增加得最多 √ √ 2月跑步里程比1月的小，8月跑步里程比7月的小，11月跑步里程比10月的小，故A错误；月跑步里程10月最大，故B正确；月跑步里程2月最小，故C错误；由折线统计图可知D正确.故选BD. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 6.(多选)某地认真贯彻落实党的二十大精神和各项宏观调控政策，经济运行平稳增长，民生保障持续加强，惠民富民成效显著，城填居民收入稳步增长，收入结构稳中趋优.据当地统计局公布的数 据，绘制出8月份至12月份当地的人均月收入增长 率统计图与人均月收入统计图.现给出如下信息， 正确的有 A.10月份人均月收入增长率为2％ B.11月份人均月收入约为1 442元 C.12月份人均月收入有所下降 D.从图上可知该地10月份至12月份这三个月与8 月份相比人均月收入均得到提高 √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 对于A，10月份人均月收入增长率为2％，故A正确；对于B，11月份人均月收入约为1 428×(1＋1％)≈1 442(元)，故B正确；对于C，12月份人均月收入低于10月和11月，但高于8月和9月，选项中没有说明和哪个数据比较后下降了，故C错误；对于D，从题图可知该地10月份至12月份这三个月与8月份相比人均月收入均得到提高，故D正确.故选ABD. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 7.如图是根据某中学为地震灾区捐款的情况而制作的统计图.已知该校在校学生为3 000人，根据统计图计算该校共捐款__________元. 37 770 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 根据统计图，得高一年级人数为3 000×32％＝960，捐款960×15＝14 400(元)；高二年级人数为3 000×33％＝990，捐款990×13＝12 870(元)；高三年级人数为3 000×35％＝1 050，捐款1 050×10＝10 500(元)，所以该校学生共捐款14 400＋12 870＋10 500＝37 770(元). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 8.如图所示是某校高一年级学生到校方式的条形统计图，根据图形可得出骑自行车人数占高一年级学生总人数的百分比为______. 30％ 该校高一年级学生总数为60＋90＋150＝300，骑自行车人数为90，骑自行车人数占高一年级学生总数的百分比为×100％＝30％. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 9.(双空题)某市为了了解学生的视力变化情况，从全市九年级学生中随机抽取了1 500名学生，统计了每个人连续三年的视力检查情况，根据视力在4.9以下的人数制成折线统计图，并对导致视力下降的主要因素进行调查，制成扇形图.图中D所在扇形的圆心角度数为______.若2025年全市共有30 000名九年级学生，则估计视力在4.9以下的学生有__________名. 54° 16 000 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 D所在扇形的圆心角度数为360°×(1－40％－25％－20％)＝54°.估计2025年视力在4.9以下的学生有30 000×＝16 000名. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10.(13分)为了丰富校园文化生活，某校计划在午间校园广播台播放“百家讲坛”的部分内容.为了解学生的喜好，抽取若干名学生进行问卷调查(每人只选一项内容)，整理调查结果， 绘制统计图如图所示. 请根据统计图提供的信息回答以下 问题： (1)求抽取的学生数； 解：从统计图上可以看出，抽取的 学生有20＋10＋30＋15＋30＋38＋64＋42＋6＋45＝300(人). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)若该校有3 000名学生，估计喜欢收听《品三国》的学生人数； 解：喜欢收听《品三国》的男生有64人，女生有42人，共有106人，占所抽取总人数的比例为. 由于该校有3 000名学生，因此可 以估计喜欢收听《品三国》的学生 有×3 000＝1 060(人). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (3)估计该校喜欢收听评《红楼梦》的女生人数占全校学生人数的百分比. 解：该校喜欢收听评《红楼梦》的女生人数约占学校学生人数的百分比为×100％＝15％. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 11.南丁格尔玫瑰图是由近代护理学和护士教育创始人南丁格尔设计的，图中每个扇形圆心角都是相等的，半径长短表示数量大小.某机构统计了近几年中国知识付费用户数量(单位：亿人次)，并绘制成南丁格尔玫瑰图(如图所示)，根据此图，以下说法正确的是 A.2018年至2025年，知识付费用户数量先增加后 减少 B.2018年至2025年，知识付费用户数量逐年增加 量2025年最多 C.2018年至2025年，知识付费用户数量的逐年增加量逐年递增 D.2025年知识付费用户数量超过2018年知识付费用户数量的10倍 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 对于A，由题图可知，2018年至2025年，知识付 费用户数量逐年增加，故A错误；对于B、C，知 识付费用户数量的逐年增加量分别为：2019年， 0.96－0.48＝0.48；2020年，1.88－0.96＝0.92； 2021年，2.95－1.88＝1.07；2022年，3.56－2.95 ＝0.61；2023年，4.15－3.56＝0.59；2024年，4.77－4.15＝0.62；2025年，5.27－4.77＝0.5，则知识付费用户数量逐年增加量2021年最多，知识付费用户数量的逐年增加量不是逐年递增，故B，C错误；对于D，由5.27＞10×0.48，则2025年知识付费用户数量超过2018年知识付费用户数量的10倍，故D正确.故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 12.某省新高考中选考科目采用赋分制，具体转换规则和步骤如下：第一步，按照考生原始分从高到低按成绩比例划定A，B，C，D，E共五个等级(见表)；第二步，将A至E五个等级内的考生原始分，依照等比例转换法则，分别对应转换到100～86，85～71，70～56，55～41和40～30五个分数段，从而将考生的等级转换成了等级分. 赋分公式：＝，计算出来的X经过四舍五入后即为赋分成绩. 某次考试，化学成绩A等级的原始最高分为98分，最低分为63分.学生甲化学原始成绩为76分，则该学生的化学赋分分数为 A.85 B.88 C.91 D.95 √ 等级 A B C D E 比例 15％ 35％ 35％ 13％ 2％ 赋分区间 100～86 85～71 70～56 55～41 40～30 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由题意，该学生的化学赋分分数为X则＝＝，所以35X＝13×100＋86×22⇒X≈91.故选C. 等级 A B C D E 比例 15％ 35％ 35％ 13％ 2％ 赋分区间 100～86 85～71 70～56 55～41 40～30 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 13.某省30年来，各项事业取得令人瞩目的成就，以2025年为例，全省社会固定资产总投资约为3 730亿元，其中包括中央项目、省属项目、地(市)属项目、县(市)属项目和其他项目.图①，图②分别是这五个项目的投资额不完整的条形统计图和扇形统计图，请完成下列问题 (1)地(市)属项目投资额为_____亿元； 830 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因为全省社会固定资产总投资约为3 730亿元，所以地(市)属项目投资额为3 730－(200＋530＋670＋1 500)＝830(亿元). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)在图②中，县(市)属项目部分所占百分比为m％、对应的圆心角为β，则m＝____，β＝______.(m，β均取整数) 18 65° 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由条形图可以看出县(市)属项目部分总投资为670亿元，所以县(市)属项目部分所占百分比为m％＝×100％≈18％，即m＝18，对应的圆心角为β＝360°×0.18≈65°. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 14.(15分)如图是根据某市3月1日至3月10日的最低气温(单位： ℃)的情况绘制的折线统计图，试根据折线统计图反映的信息，绘制该市3月1日到10日最低气温(单位： ℃)的扇形统计图和条形统计图. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解：该城市3月1日至10日的最低气温(单位： ℃)情况如表： 日期 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 最低气温(℃) －3 －2 0 －1 1 2 0 －1 2 2 其中最低气温为－3 ℃的有1天，占10％，最低气温为－2 ℃的有1天，占10％，最低气温为－1 ℃的有2天，占20％，最低气温为0 ℃的有2天，占20％，最低气温为1 ℃的有1天，占10％，最低气温为2 ℃的有3天，占30％，扇形统计图如图所示. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 条形统计图如图所示. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 15.(5分)(多选)百年大计，教育为本.“十四 五”规划纲要中，教育作为一个专章被提出. 2021年3月1日中华人民共和国教育部发布 《2020年全国教育事业统计主要结果》，其 中关于高中阶段教育(含普通高中、中等职业 学校及其他适龄教育机构)近六年的在校规模 与毛入学率情况图及2020年高中阶段教育在校生结构饼 图如图①②所示.(说明：高中阶段毛入学率＝在校生规 模÷适龄青少年总人数×100％) 根据图中信息，下列论断正确的有 A.近六年，高中阶段在校生规模与毛入学率均持续增长 B.近六年，高中阶段在校生规模的平均值超过4 000万人 C.2019年，未接受高中阶段教育的适龄青少年不足420万 D.2020年，普通高中的在校生超过2 470万人 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 对于A，由条形图可知，2018年高中阶段在校生人数比2017年降低了，故A错误；对于B，近六年高中阶段在校生规模的平均值为4 000＋×(38－30－29－65－5＋128)≈4 006.167(万人)，又4 006.167＞4 000，故B正确； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 对于C，2019年未接受高中教育的人数为－3 995≈469(万人)，超过420万人，故C错误；对于D，2020年普通高中的在校生人数为4 128×60.1％＝2 480.928(万人)，又2 480.928＞2 470，故D正确.故选BD. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 16.(17分)某市为了增强学生体质，全面实施“学生饮用奶”营养工程.某品牌牛奶供应商提供了原味、草莓味、菠萝味、香橙味、核桃味五种口味的牛奶供学生饮用.某中学为了了解学生对不同口味牛奶的喜好，对全校订购牛奶的学生进行了随机调查(每盒各种口味牛奶的体积相同)，绘制了如下两张不完整的人数统计图： 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (1)本次被调查的学生有多少名(样本容量)？ 解：根据喜好核桃味的学生数，得本次被调查的学生数(样本容量)为10÷5％＝200(名). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)补全上面的条形统计图①，并计算出喜好菠萝味牛奶的学生人数在扇形统计图②中所占圆心角的度数； 解：喜好香橙味牛奶的学生数 是200－38－62－50－10＝40， 补全条形图如图， 喜好菠萝味牛奶的学生人数为50， 在扇形统计图中所占圆心角的度数为×360° ＝90°. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (3)该校共有1 200名学生订购了该品牌的牛奶，牛奶供应商每天只为每名订购牛奶的学生配送一盒牛奶.以调查结果作为依据，要使学生每天都喝到自己喜好的口味的牛奶，牛奶供应商每天送往该校的牛奶中，草莓味要比原味的多送多少盒？ 解：草莓味要比原味多送的盒数是×＝144(盒). 返回 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 谢 谢 观 看 ！ 第 九 章 　 统 计 返回 5 单元学习十二 9.2 9.2.2　总体百分位数的估计.pptx 9.2　用样本估计总体 9.2.2　总体百分位数的估计 　 第九章　统计　单元学习十二　用样本估计总体 学习目标 1.结合实例，能用样本估计百分位数. 2.理解百分位数的统计含义，培养数据分析的核心素养. 任务一　百分位数的概念 1 任务二　由样本数据求百分位数 2 任务三　由频数(频率)分布表求百分位数 3 课时分层评价 6 任务四　由频率分布直方图求百分位数 4 内容索引 随堂评价 5 任务一　百分位数的概念 返回 (阅读教材P202—203，完成问题) 问题.“全班有25％的人数学成绩低于83分”这句话是什么意思？ 提示：这句话的意思是全班数学成绩小于83分的人数不少于全班人数的25％，大于或等于83分的人数不少于1－25％＝75％. 问题导思 1.一般地，一组数据的第p百分位数是这样一个值，它使得这组数据中至少有_____的数据____________这个值，且至少有(100－p)％的数据大于或等于这个值. 2.计算一组n个数据的第p百分位数的步骤 第1步，按__________排列原始数据. 第2步，计算i＝________. 第3步，若___不是整数，而大于i的比邻整数为j，则第p百分位数为第j项数据；若i是整数，则第p百分位数为第i项与第(i＋1)项数据的________. 新知构建 p％ 小于或等于 从小到大 n×p％ i 平均数 3.四分位数 25％，50％，75％这三个分位数把一组由小到大排列后的数据分成四等份，因此称为__________，其中第25百分位数也称为第一四分位数或下四分位数，第75百分位数也称为第三四分位数或上四分位数. 四分位数 中位数是第50百分位数. 微提醒 已知15个不同数据的第25百分位数是9，则下列说法正确的是 A.把15个数据中一定有4个数小于9 B.把这15个数据从小到大排列后，9是第4个数据 C.把这15个数据从小到大排列后，9是第4个数据和第5个数据的平均数 D.把这15个数据从小到大排列后，9是第3个数据和第4个数据的平均数 √ 典例 1 因为15个不同数据的第25百分位数是9，而15×25％＝3.75，所以这15个数据从小到大排列后，9是第4个数据.故选B. 规律方法 百分位数特点 1.第0百分位数是数据中最小的数，第100百分位数是数据中最大的数. 2.一组数据的第p百分位数可能在这组数据中，也可能不在这组数据中 3.一组数据的某些百分位数可能是同一个数. 对点练1.下列关于百分位数的说法中，正确的是 A.百分位数一定是数据中的某一项 B.恰好有k％的数据比第k百分位数小 C.某样本的第k百分位数一定是总体的第k百分位数 D.一组数据中不同的百分位数可能相等 √ 对于A，百分位数的计算结果可能是数据中的某一项，也可能是某两个数据的平均数，故A错误；对于B，由百分位数的定义可知，至少有k％的数据小于或等于第k百分位数，故B错误；对于C，样本的第k百分位数和总体的第k百分位数不一定是同一个数据，故C错误；对于D，根据百分位数的定义，可知一组数据中不同的百分位数可能相等，故D正确.故选D. 返回 任务二　由样本数据求百分位数 返回 (1)根据某地区气象局发布的气象数据，未来十天内该地区每天的最高温度(单位：℃)分别为31，29，24，27，26，25，24，26，26，23，则这组数据的第40百分位数为 A.27 B.26.5 C.25.5 D.25 √ 典例 2 先将这些数据按照从小到大的顺序进行排列，可得23，24，24，25，26，26，26，27，29，31.又10×40％＝4，所以该组数据的第40百分位数为排序后的第4个数和第5个数的平均数，即＝25.5，故选C. (2)按从小到大的顺序排列的9个数据为10，16，25，33，39，43，m，65，70，若这组数据的第一四分位数与第三四分位数和是73，则m＝ A.40 B.45 C.48 D.62 √ 9×25％＝2.25，所以第一四分位数为25，9×75％＝6.75，所以第三四分位数为m，则25＋m＝73，所以m＝48.故选C. 规律方法 总体百分位数估计需要注意的两个问题 1.总体百分位数估计的基础是样本百分位数的计算，因此计算准确是关键. 2.由于样本量比较少，因此对总体的估计可能存在误差，因此对总体百分位数的估计一般是估计值而非精确值. 对点练2.考察某校高二年级男生的身高，随机抽取40名高二男生，实测身高数据(单位：cm)如下： 171　163　163　166　166　168　168　160 168　165　171　169　167　169　151　168 170　160　168　174　165　168　174　159 167　156　157　164　169　180　176　157 162　161　158　164　163　163　167　161 请估计该校高二年级男生身高的第25，50，75百分位数. 解：把这40名男生的身高数据按从小到大排序，可得 151　156　157　157　158　159　160　160 161　161　162　163　163　163　163　164 164　165　165　166　166　167　167　167 168　168　168　168　168　168　169　169 169　170　171　171　174　174　176　180 由25％×40＝10，50％×40＝20，75％×40＝30，可知样本数据的第25百分位数为＝161.5，第50百分位数为＝166，第75百分位数为＝168.5. 据此可估计该校高二年级男生身高的第25，50，75百分位数分别约为161.5，166和168.5. 返回 任务三　由频数(频率)分布表求百分位数 返回 某工厂有工人1 000名，其中250名工人参加过短期培训(称为A类工人)，另外750名工人参加过长期培训(称为B类工人).现用分层随机抽样方法(按A类、B类分两层)从该工厂的工人中共抽查100名工人，调查他们的生产能力(生产能力指一天加工的零件数). (1)从A类工人中和B类工人中各应抽查多少人？ 解：由已知可得，抽样比k＝＝， 故从A类工人中应抽查250×＝25(人)， 从B类工人中应抽查750×＝75(人). 典例 3 (2)从A类工人中的抽查结果和从B类工人中的抽查结果分别如下表1和表2. 表1 表2 先确定x，y的值，再分别计算A类工人和B类工人生产能力的样本数据的60％分位数(保留两位小数). 生产能力分组 [100，110) [110，120) [120，130) [130，140) [140，150] 人数 4 8 x 5 3 生产能力分组 [110，120) [120，130) [130，140) [140，150] 人数 6 y 36 18 解：由题意知4＋8＋x＋5＋3＝25，得x＝5， 6＋y＋36＋18＝75，得y＝15. A类工人生产能力频率分布表为 由频率分布表可知，A类工人生产能力在120以下的所占比例为16％＋32％＝48％， A类工人生产能力在130以下的所占比例为48％＋20％＝68％. 因此，60％分位数一定位于[120，130)内. 由120＋10×＝126， 故可以估计A类工人生产能力的样本数据的60％分位数为126. 生产能力分组 [100，110) [110，120) [120，130) [130，140) [140，150] 频率 0.16 0.32 0.20 0.20 0.12 B类工人生产能力频率分布表为 由频率分布表可知，B类工人生产能力在130以下的所占比例为8％＋20％＝28％， B类工人生产能力在140以下的所占比例为28％＋48％＝76％. 因此，60％分位数一定位于[130，140)内. 由130＋10×≈136.67， 故可以估计B类工人生产能力的样本数据的60％分位数约为136.67. 生产能力分组 [110，120) [120，130) [130，140) [140，150] 频率 0.08 0.20 0.48 0.24 规律方法 由频率(频数)分布表求百分位数的方法 1.确定p％分位数所在区间[a，b)(并计算小于a的所有数据的频率fa和小于b的所有数据的频率fb)，即p％∈(fa，fb). 2.计算p％分位数为a＋×(其中b－a为组距，fb－fa为数据落在[a，b)内的频率). 对点练3.从某校随机抽取100名学生，获得了他们一周课外阅读时间(单位：小时)的数据，整理得到数据分组及频率分布表如下： 排号 分组 频数 频率 1 [0，2) 6 0.06 2 [2，4) 8 0.08 3 [4，6) 17 b 4 [6，8) 22 0.22 5 [8，10) 25 0.25 6 [10，12) 12 0.12 7 [12，14) a 0.06 8 [14，16) 2 0.02 9 [16，18] 2 0.02 合计 100 1 (1)求频率分布表中a，b的值； 解：a＝0.06×100＝6，b＝＝0.17. (2)计算50％分位数，并估计是否有50％的学生的阅读时间达到7.68小时. 解：阅读时间小于6小时的所占比例是0.06＋0.08＋0.17＝0.31， 阅读时间小于8小时的所占比例是0.06＋0.08＋0.17＋0.22＝0.53， 所以50％分位数在[6，8)内， 所以50％分位数约为6＋2×≈7.73. 因为7.73＞7.68， 所以估计有50％的学生的阅读时间达到7.68小时. 返回 任务四　由频率分布直方图求百分位数 返回 某市举行中学生诗词大赛，分初赛和复赛两个阶段进行.规定：初赛成绩大于90分的具有参加复赛的资格.某校 有800名学生参加了初赛，所有学生的成绩(单 位：分)均在区间[30，150]内，其频率分布直 方图如图.估计初赛成绩的第80百分位数. 解：由题图得，(0.002 5＋0.007 5＋0.007 5＋ a＋0.012 5＋0.005 0)×20＝1，所以a＝0.015 0. 初赛成绩在110分以下的频率为(0.002 5＋0.007 5＋0.007 5＋0.015 0)×20＝0.65，初赛成绩在130分以下的频率为0.65＋0.012 5×20＝0.90，所以初赛成绩的第80百分位数一定在[110，130)内. 由110＋×20＝122，可估计初赛成绩的第80百分位数是122. 典例 4 规律方法 由频率分布直方图求百分位数的思路 1.频率分布直方图中p％分位数表示左侧小矩形的面积之和等于p％的分点值. 2.由频率分布直方图求百分位数的方法与由频率分布表求百分位数的方法相同. 3.根据一组数据的直方图来估计这组数据的p％分位数时，直方图的分组越多，组距越小，样本数据的信息损失越少，估计效果越好. 对点练4.为了解学生周末的学习时间(单位：小时)，高一年级某班班主任对本班40名学生某周末的学习时间进行了 调查，将所得数据整理后绘制出如图所示 的频率分布直方图. (1)求该班学生中周末的学习时间不少于20 小时的人数； 解：由题图可知，该班学生周末的学习时间不少于20小时的频率为(0.030＋0.015)×5＝0.225， 则该班学生周末的学习时间不少于20小时的人数为40×0.225＝9. (2)估计这40名学生周末学习时间的25％分位数； 解：周末学习时间在5小时以下的频率为 0.020×5＝0.1＜0.25，周末学习时间在10 小时以下的频率为0.1＋0.040×5＝0.3＞ 0.25， 所以25％分位数在区间[5，10)内，由5＋ 5×＝8.75，可以估计这40名学生周末学习时间的25％分位数为8.75. (3)如果用该班学生周末的学习时间作为样本去推断该校高一年级全体学生周末的学习时间，是否合理？说明理由. 解：不合理，样本的选择只选在高一某班，不具有代表性. 返回 课堂小结 任务再现 (1)第p百分位数.(2)四分位数.(3)用数据、表格、直方图求百分位数 方法提炼 数据分析、数形结合 易错警示 求第p百分位数时，应先将数据从小到大排列 随堂评价 返回 1.已知100个数据的75％分位数是9.3，则下列说法正确的是 A.这100个数据中最多有75个数小于或等于9.3 B.把这100个数据从小到大排列后，9.3是第75个数据 C.把这100个数据从小到大排列后，9.3是第75个数据和第76个数据的平 均数 D.把这100个数据从小到大排列后，9.3是第75个数据和第74个数据的平 均数 √ 因为100×75％＝75为整数，所以第75个数据和第76个数据的平均数为75％分位数，是9.3，则C正确，其他选项均不正确.故选C. 2.样本数据2，0，2，4，0，6，0，8的88％分位数为 A.5 B.6 C.7 D.8 √ 8个样本数据从小到大排序为0，0，0，2，2，4，6，8，又8×88％＝7.04，故其88％分位数为第8个数据，即8.故选D. 3.某校举办了一次知识竞赛，满分10分，有10名学生代表班级参加比赛，已知学生得分均为整数，比赛结束后统计这10名学生的得分情况如图所示，则这10名学生成绩的80％分位数是_____. 8.5 10名学生的成绩从小到大排序为3，6，6，6，6，6，7，8，9，10，所以80％分位数是＝8.5. 4.为进一步提升物业管理和服务质量，某小区随机抽取100户居民开展了年度幸福指数测评活动，将其测评得分(均为整数)分成六组：[40，50)，[50，60)，…，[90，100]，并绘制成如图所示的频率分布直方图，由此估计此次测评中居民幸福指数的第75百分位数为_____. 82 (0.01＋0.015×2＋a＋0.025＋0.005)×10＝1，所以a＝0.03，测评得分落在[40，80)内的频率为(0.01＋0.015×2＋0.03)×10＝0.7，落在[40，90)内的频率为(0.01＋0.015×2＋0.03＋0.025)×10＝0.95.设第75百分位数为x，由0.7＋(x－80)×0.025＝0.75，解得x＝82，故第75百分位数为82. 返回 课时分层评价 返回 1.若某次考试小明的成绩是所有成绩的第95百分位数，则 A.小明得了95分 B.小明答对了95％的试题 C.至少有95％的参加考试者的分数小于等于小明的分数 D.小明排名在第95名 √ 由百分位数的概念知选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2.某校高三年级一共有1 200名同学参加数学测验，已知所有学生成绩的第80百分位数是103分，则成绩不低于103分的人数至少为 A.220 B.240 C.250 D.300 √ 1 200×80％＝960，所以成绩低于103分的学生最多有960人，所以成绩不低于103分的学生至少有1 200－960＝240人.故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3.参加数学竞赛决赛的15人的成绩为56，70，72，78，79，80，81，83，84，86，88，90，91，94，98，则这15人成绩的70％分位数是 A.86 B.87 C.88 D.89 √ 因为15×70％＝10.5，所以这15人的70％分位数为第11个数，即88.故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 4.若数据22，24，32，33，35，28，56，x的第65百分位数为35，则x的取值可以是 A.20 B.25 C.30 D.35 √ 将除x外的数据按从小到大的顺序排列，可得22，24，28，32，33，35，56，因为8×65％＝5.2，所以第65百分位数为排序后第6个数，故x≥35.故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 5.某棉纺厂为了了解一批棉花的质量，从中随机抽取了100根棉花纤维的长度(棉花纤维的长度是棉花质量的重要指标)，所得数据都在区间[5，40]中，其频率分布直方图如图所示，估计棉花纤维的长度的样本数据的80％分位数是 A.29 mm B.29.5 mm C.30 mm D.30.5 mm √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 棉花纤维的长度在30 mm以下的比例为(0.01＋0.01＋0.04＋0.06＋0.05)×5＝0.85＝85％，在25 mm以下的比例为85％－25％＝60％，因此80％分位数一定位于[25，30)内，由25＋5×＝29，可以估计棉花纤维的长度的样本数据的80％分位数是29 mm.故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 6.(多选)某校高一(1)班某次测试数学成绩累积频数分布折线图如图所示，则下列说法正确的是 A.没有人的成绩在30～40分这组内 B.第50百分位数位于60～70分这组内 C.第25百分位数位于40～50分这组内 D.第75百分位数位于70～80分这组内 √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由题图知没有人的成绩在30～40分这组内，故A正确；由40×50％＝20，取第20、21项数据的平均数，所以第50百分位数位于60～70分这组内，故B正确；由40×25％＝10，取第10、11项数据的平均数，所以第25百分位数位于40～50分这组内，故C正确；由40×75％＝30，取第30、31项数据的平均数，所以第75百分位数位于60～70分这组内，故D不正确.故选ABC. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 7.已知一组数按从小到大的顺序排列：24，30，36，38，40，50，52，54，57，60.则这组数据的第30百分位数为____. 37 10×30％＝3，所以第30百分位数为＝37. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 8.在共有100名学生参加的某项测试中，小张的成绩排名是第75名，小李的成绩是第75百分位数，则他们两人中成绩较好的是______. 小李 因为小李成绩的百分位数为75，所以约有75名学生的成绩比小李低，即小李的排名大约为第25名.因为小张的成绩排名是第75名，所以小李成绩较好. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 9.某年级120名学生在一次百米测试中，成绩全部介于13秒与18秒之间，将测试结果分成5组：[13，14)，[14，15)，[15，16)，[16，17)，[17，18]，得到如图所示的频率分布直方图，如果从左到右的5个小矩形的面积之比为1∶3∶7∶6∶3，那么成绩的第70百分位数约为______秒. 16.5 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 设成绩的第70百分位数为x，因为＝0.55，＝0.85，所以x∈[16，17)，所以0.55＋×＝0.70，解得x＝16.5. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10.(13分)某大学艺术专业400名学生参加某次测评，根据男女学生人数比例，使用分层随机抽样的方法从中随机抽取了100名学生，记录他们的分数，将数据分成7组：[20，30)，[30，40)，…， [80，90]，并整理得到频率分布直方图： (1)估计总体400名学生中分数小于70的人数； 解：根据频率分布直方图可知，样本中分数 不小于70的频率为(0.02＋0.04)×10＝0.6，所以样本中分数小于70的频率为1－0.6＝0.4. 所以总体400名学生中分数小于70的人数约为400×0.4＝160. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)已知样本中分数小于40的学生有5人，试估计总体中分数在区间[40，50)内的人数； 解：根据题意，样本中分数不小于50的频率为(0.01＋0.02＋0.04＋0.02)×10＝0.9，分数在区间[40，50)内的人数为100－100×0.9－5＝5. 所以总体中分数在区间[40，50)内的人数估计为400×＝20. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (3)根据该大学规定，把15％的学生划定为不及格，利用(2)中的数据，确定本次测试的及格分数线. 解：由(2)可知，分数小于50的频率为＝0.1，分数小于60的频率为0.1＋0.1＝0.2，所以分数的第15百分位数在[50，60)内，由50＋10×＝55，则本次考试的及格分数线为55分. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 11.已知甲、乙两组数据(已按从小到大的顺序排列)：甲组：27，28，39，40，m，50；乙组：24，n，34，43，48，52.若这两组数据的30％分位数、80％分位数分别相等，则＝ A. B. C. D. √ 因为30％×6＝1.8，大于1.8的比邻整数为2，所以30％分位数为n＝28，80％×6＝4.8，大于4.8的比邻整数为5，所以80％分位数为m＝48，所以＝＝.故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 12.若一组数据：4，2，1，4，5的第p百分位数是4，则p的取值范围是 A.(40，80] B.[40，80) C.[40，80] D.(40，80) √ 1，2，4，4，5的第p百分位数是4，则5×p％∈(2，4)，所以p∈(40，80).故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 13.小明班上有15名女生，其身高(单位：cm)的第25百分位数为155，后来转走了一位身高为165 cm的女生，则班上女生身高的第25百分位数______(填“变大”“变小”或“不变”). 不变 当班上有15名女生时，由15×25％＝3.75，可知身高的第25百分位数是第4项数据，当转走1人，剩下14人时，由14×25％＝3.5，可知身高的第25百分位数是第4项数据，所以班上女生身高的第25百分位数不变. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 14.(15分)从某珍珠公司生产的产品中任意抽取12颗珍珠，得到它们的质量(单位：g)如下： 7.9，9.0，8.9，8.6，8.4，8.5，8.5，8.5，9.9，7.8，8.3，8.0. (1)分别求出这组数据的第25，75，95百分位数； 解：将所有数据按从小到大的顺序排列为7.8，7.9，8.0，8.3，8.4，8.5，8.5，8.5，8.6，8.9，9.0，9.9. 由12×25％＝3，12×75％＝9，12×95％＝11.4，可得第25百分位数是＝8.15，第75百分位数是＝8.75，第95百分位数是第12个数据，为9.9. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)请你找出珍珠质量较小的前15％的珍珠质量； 解：由12×15％＝1.8，可得第15百分位数是第2个数据，为7.9，即珍珠质量较小的前15％的珍珠有2个，它们的质量分别为7.8 g，7.9 g. (3)若用第25，50，95百分位数把公司生产的珍珠划分为次品、合格品、优等品和特优品，依照这个样本的数据，给出该公司珍珠等级的划分标准. 解：由(1)可知样本数据的第25百分位数是8.15，第95百分位数是9.9，第50百分位数为＝8.5， 所以质量小于或等于8.15 g的珍珠为次品，质量大于8.15 g且小于或等于8.5 g的珍珠为合格品，质量大于8.5 g且小于或等于9.9 g的珍珠为优等品，质量大于9.9 g的珍珠为特优品. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 15.(5分)(多选)甲、乙两人在一次射击比赛中各射靶5次，两人成绩的条形统计图如图所示，则 A.甲的成绩的平均数小于乙的成绩的平均数 B.甲的成绩的平均数等于乙的成绩的平均数 C.甲的成绩的第80百分位数等于乙的成绩的 第80百分位数 D.甲的成绩的极差等于乙的成绩的极差 √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由题图可得，＝＝6，＝＝6，故A错误，B正确；甲的成绩的第80百分位数是＝7.5，乙的成绩的第80百分位数是＝7.5，所以二者相等，故C正确；甲的成绩的极差为4，乙的成绩的极差也为4，故D正确.故选BCD. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 16.(17分)某市政府为了减少水资源的浪费，计划通过阶梯式水价制度鼓励居民节约用水，即确定一户居民月均用水量标准x(单位：t)，用水量不超过x的部分按平价收费，超出x的部分按议价收费.现通过简单随机抽样获得了100户居民用户的月均用水量数据(单位：t)，并将数据按照[0，4)，[4，8)，…，[16，20]分成5组，制成了如图所示的频率分布直方图. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (1)设该市共有20万居民用户，试估计全市居民用户月均用水量不高于12 t的用户数； 解：由频率分布直方图可得(a＋0.06＋0.11＋ a＋0.02)×4＝1，解得a＝0.03. 居民用户月均用水量不超过12 t的频率为(0.03 ＋0.06＋0.11)×4＝0.80， 所以估计全市20万居民用户中月均用水量不高于12 t的用户数为20×0.80＝16(万). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)若该市政府希望使85％的居民用户月均用水量不超过标准x t，试估计x的值(精确到0.01)； 解：由频率分布直方图知，居民用户月均用水 量不超过12 t的频率为0.80， 月均用水量不超过16 t的频率为0.92，则85％ 的居民用户月均用水量不超过的标准x∈[12， 16)，故0.80＋0.03(x－12)＝0.85，解得x≈13.67，即x的值为13.67. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (3)假设该市最终确定三级阶梯价制如下： 小明家上个月需支付水费共28元，试求小明家上个月的用水量. 解：因为19.6＝14×1.4＜28＜14×1.4＋(20－14)×2.1＝32.2，所以小明家上个月的用水量达到第二阶梯收费. 设小明家上个月的用水量为m t，由28＝14×1.4＋(m－14)×2.1，得m＝18，所以小明家上个月的用水量为18 t. 级差 水量基数x(单位：t) 水费价格(元/t) 第一阶梯 x≤14 1.4 第二阶梯 14＜x≤20 2.1 第三阶梯 x＞20 2.8 返回 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 谢 谢 观 看 ！ 第 九 章 　 统 计 返回 6 单元学习十二 9.2 9.2.3　总体集中趋势的估计.pptx 9.2　用样本估计总体 9.2.3　总体集中趋势的估计 　 第九章　统计　单元学习十二　用样本估计总体 学习目标 1.会求样本数据的众数、中位数、平均数. 2.理解用样本的数字特征、频率分布直方图估计总体的集中 趋势，培养数据分析的核心素养. 任务一　众数、中位数、平均数 1 任务二　用样本的集中趋势估计总体 2 随堂评价 3 课时分层评价 4 内容索引 任务一　众数、中位数、平均数 返回 (阅读教材P205—209，完成问题) 问题.在初中的学习中我们已经了解到，平均数、中位数和众数等都是刻画“中心位置”的量，它们从不同角度刻画了一组数据的集中趋势，那么什么是众数、中位数呢？ 提示：众数就是在一组数中出现次数最多的数；中位数就是将一组数按照从小到大的顺序排列，位于中间位置的数，如果中间位置有两个，则为这两个数的平均数. 问题导思 众数、中位数和平均数的含义及体现 新知构建 特征量 含义 在频率分布直方图中的体现 众数 出现次数______的数据 取最高的小长方形底边中点的________ 中位数 将数据按从大到小或从小到大的顺序依次排列，处在________位置的一个数据(或最中间两个数据的________) 把频率分布直方图划分为左右两个面积相等的部分，分界线与x轴交点的横坐标 平均数 样本数据的算术平均数 每个小长方形的面积与小长方形底边中点的横坐标的乘积之和 最多 横坐标 最中间 平均数 1.一组数据的众数一定存在且唯一吗？举例说明. 提示：一组数据的众数不一定存在，也不一定是唯一的.例如：1，2，3，4，5，6没有众数，1，2，2，3，4，4，5的众数是2和4. 2.若改变一组数据中的一个数，则这组数据的平均数、中位数、众数会如何？ 提示：若改变一组数据中的一个数，则这组数据的平均数一定会改变，而中位数与众数可能改变，也可能不变. 微思考 角度1　样本数据中的平均数、中位数和众数 在一次中学生田径运动会上，参加男子跳高的17名运动员的成绩如表所示： 分别求出这些运动员成绩的众数、中位数与平均数. 解：在这17个数据中，1.75出现了4次，出现的次数最多，即这组数据的众数是1.75. 典例 1 成绩(单位：m) 1.50 1.60 1.65 1.70 1.75 1.80 1.85 1.90 人数 2 3 2 3 4 1 1 1 题表里的17个数据可看成是按从小到大的顺序排列的，其中第9个数据1.70是最中间的一个数据，即这组数据的中位数是1.70. 这组数据的平均数是＝×(1.50×2＋1.60×3＋1.65×2＋1.70×3＋1.75×4＋1.80×1＋1.85×1＋1.90×1)＝≈1.69. 故17名运动员成绩的众数、中位数、平均数依次为1.75 m，1.70 m，1.69 m. 成绩(单位：m) 1.50 1.60 1.65 1.70 1.75 1.80 1.85 1.90 人数 2 3 2 3 4 1 1 1 规律方法 平均数、中位数、众数的计算方法 　　平均数一般是根据公式来计算的；计算中位数时，可先将这组数据按从小到大或从大到小的顺序排列，再根据相关数据的总数是奇数还是偶数而定；众数是看出现次数最多的数. 对点练1.某学习小组在一次数学测验中，得100分的有1人，得95分的有1人，得90分的有2人，得85分的有4人，得80分和75分的各1人，则该小组数学成绩的平均数、众数、中位数分别为 A.85，85，85 B.87，85，86 C.87，85，85 D.87，85，90 √ 平均数为＝87，众数为85，中位数为85.故选C. 角度2　频率分布直方图中的平均数、中位数和众数 某校从参加高二年级学业水平测试的学生中抽出80名学生，其数学成绩(均为整数)的频率分布直方图如图所示. (1)求这次测试中数学成绩的众数； 解：由题图知，这次测试中数学成绩的众数为＝75(分). 典例 2 (2)求这次测试中数学成绩的中位数(结果保留一位小数)； 解：设中位数为x，由于前三个小矩形的 面积之和为(0.005＋0.015＋0.020)×10＝ 0.4，第四个小矩形的面积为0.030×10＝ 0.3，0.3＋0.4＝0.7＞0.5， 因此0.1＝0.030×(x－70)，解得x≈73.3， 故这次测试中数学成绩的中位数约为73.3分. (3)求这次测试中数学成绩的平均数(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表). 解：这次测试中数学成绩的平均数为 ×0.005×10＋×0.015×10＋ ×0.020×10＋×0.030×10＋ ×0.025×10＋×0.005×10＝72(分). 规律方法 众数、中位数、平均数与频率分布直方图的关系 众数 众数可以用最高小长方形底边的中点的横坐标近似代替 中位数 在频率分布直方图中，中位数左边和右边的小长方形的面积的和相等，由此可以估计中位数的值，但是有偏差 平均数 ①平均数可以用每个小长方形的面积与小长方形底边中点的横坐标的乘积之和近似代替； ②平均数是频率分布直方图的重心，是频率分布直方图的平衡点 对点练2.已知某学校初中部、高中部的在校学生人数之比为9∶11，该校为了解学生的课下阅读时间，用分层随机抽样的方法在初中部、高中部的在校学生中抽取了100名学生，调查了他们的课下阅读时间，并根据调查结果绘制了如图所示的频率分布直方图. (1)计算在抽取的100名学生中，初中部、高 中部的人数各是多少； 解：在抽取的100名学生中，初中部的人数 为100×＝45，高中部的人数为100×＝55. (2)根据频率分布直方图，估计学生课下阅读时间的中位数和平均数(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表). 解：设学生课下阅读时间的中位数为m h， 则0.05＋0.30＋(m－2)×0.40＝0.5，解得m ＝2.375，故学生课下阅读时间的中位数为 2.375 h. 设学生课下阅读时间的平均数为n h，则n＝0.5×0.05＋1.5×0.30＋2.5×0.40＋3.5×0.20＋4.5×0.05＝2.4，故学生课下阅读时间的平均数为2.4 h. 返回 任务二　用样本的集中趋势估计总体 返回 某校在一次考试中，甲、乙两班学生的数学成绩统计如表所示. 综合平均数、众数与中位数评估这两个班的成绩. 解：甲班成绩的平均数是 ＝79.6(分)， 乙班成绩的平均数是 ＝80.2(分) 从平均数看成绩较好的班是乙班. 典例 3 分数 50 60 70 80 90 100 甲班人数 1 6 12 11 15 5 乙班人数 3 5 15 3 13 11 甲班成绩的众数为90分，乙班成绩的众数为70分，从众数看成绩较好的班是甲班. 由题表可知，甲班的第25个和第26个成绩都是80分，所以中位数是80分.同理，乙班成绩的中位数也是80分，但是甲班成绩在中位数以上(含中位数)的学生有31人，占全班学生的62％，乙班成绩在中位数以上(含中位数)的学生有27人，占全班学生的54％，所以从中位数看成绩较好的班是甲班. 综合平均数、众数与中位数可知成绩较好的是甲班. 分数 50 60 70 80 90 100 甲班人数 1 6 12 11 15 5 乙班人数 3 5 15 3 13 11 规律方法 众数、中位数、平均数的意义 1.样本的众数、中位数和平均数常用来表示样本数据的“中心值”，其中众数和中位数容易计算，不受少数几个极端值的影响，但只能表达样本数据中的少量信息，平均数代表了数据更多的信息，但受样本中每个数据的影响，越极端的数据对平均数的影响也越大. 2.当一组数据中有不少数据重复出现时，其众数往往更能反映问题，当一组数据中个别数据较大时，可用中位数描述其集中趋势. 对点练3.甲、乙两人在相同条件下各射击10次，每次射击的成绩情况如图所示. (1)请填写下表：   平均数 中位数 命中9环及9环以上的次数 甲 7     乙       解：由题图可知.甲射击的成绩为2，4，6，8，7，7，8，9，9，10.乙射击的成绩为9，5，7，8，7，6，8，6，7，7.甲命中环数的中位数是＝7.5，命中9环及9环以上的次数是3. 乙命中环数的平均数是×(9＋5＋7＋8＋7＋6＋8＋6＋7＋7)＝7，中位数是7，命中9环及9环以上的次数是1. 故完成表格：   平均数 中位数 命中9环及9环以上的次数 甲 7 7.5 3 乙 7 7 1 (2)①由平均数和中位数相结合看，谁的射击成绩较好？ 解：由(1)知，甲、乙两人命中环数的平均数相同，甲命中环数的中位数比乙大，所以甲的射击成绩较好. ②由平均数和命中9环及9环以上的次数相结合看，谁的射击成绩较好？ 解：由(1)知，甲、乙两人命中环数的平均数相同，甲命中9环及9环以上的次数比乙多，所以甲的射击成绩较好. ③从折线图中两人射击命中环数的走势看，谁更有潜力？ 解：由(1)知，从题中的折线图看，在后半部分，甲命中环数呈上升趋势，故甲更有潜力. 返回 课堂小结 任务再现 (1)中位数、众数、平均数的计算.(2)频率分布直方图中的中位数、众数、平均数 方法提炼 数据分析统计 易错警示 求中位数时需先把一组数据按从小到大(或从大到小)的顺序排列，再找中间位置的数或中间两数的平均数 随堂评价 返回 1.某校举行演讲比赛，9位评委分别给出对某位选手的原始评分，评定该选手的成绩时，从9个原始评分中去掉一个最低分和一个最高分，得到7个有效评分，则这7个有效评分与9个原始评分相比，不变的数字特征是 A.平均数 B.众数 C.中位数 D.极差 √ 无论是7个有效评分，还是9个原始评分，中间位置的评分不变，所以不变的数字特征为中位数.故选C. 2.为了解某地区老年人体育运动的情况，随机抽取了200名老年人进行调查，根据调查结果绘制了日均体育运动时间(单位：分钟)的频率分布直方图，如图所示，则日均体育运动时间的众数和中位数的估计值分别是 A.35，35 B.40，35 C.30，30 D.35，30 √ 由频率分布直方图可得第四组的频率最大，故众数的估计值为35.前三组的频率之和为10×(0.01＋0.018＋0.022)＝0.5，故中位数的估计值为30.故选D. 3.如果将一组数据5，4，6，5，4，13，5依次重复写10次，会得到70个数组成的一组新数据，关于这组新据的中位数、众数、平均数，下列说法正确的是 A.中位数和众数都是5 B.众数是10 C.中位数是4 D.中位数、平均数都是5 √ 将这组数据按从小到大的顺序排列为4，4，5，5，5，6，13，处于中间位置的数是5，每个数字重复写10次，5依然处于中间位置，所以新数据的中位数是5，新数据中出现次数最多的数是5，出现了30次，所以众数为5，故A正确，B、C错误.新数据的平均数为＝6，故D错误.故选A. 4.某校举办《中国梦》主题演讲比赛，五位评委给某位参赛选手的评分(单位：分)分别为84，84，86，m，87，若这组数据的平均数为85，则这组数据的中位数为_____. 84 依题意得，84＋84＋86＋m＋87＝5×85，解得m＝84.这组数据从小到大依次为84，84，84，86，87，所以这组数据的中位数为84. 返回 课时分层评价 返回 1.样本数据12，13，10，9，14，12，19，10，19，18的中位数为 A.12 B.12.5 C.13 D.13.5 √ 样本数据从小到大排列为9，10，10，12，12，13，14，18，19，19，所以样本数据的中位数为＝12.5.故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2.已知一组数据x1，x2，x3，x4，x5的平均数是2，那么另一组数据2x1－3，2x2－3，2x3－3，2x4－3，2x5－3的平均数为 A.1 B.2 C.3 D.4 √ 因为一组数据x1，x2，x3，x4，x5的平均数是2，所以另一组数据2x1－3，2x2－3，2x3－3，2x4－3，2x5－3的平均数为2×2－3＝1.故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3.下面是某实验中学某班第一小组5位同学的立定跳远、跳绳、800 m跑的成绩折线图(如图所示)，则这5位同学立定跳远的中位数，跳绳的平均数，800 m跑的众数分别是 A.1.98，131，3.88 B.1.87，130，3.88 C.1.98，130，3.88 D.1.98，130，3.65 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由图中数据，可得立定跳远的中位数为1.98，跳绳的平均数为×[＋＋＋＋(130＋1)]＝×130×5＝130，800 m跑的众数为3.88.故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 4.如图，是根据某班学生在一次数学考试中的成绩画出的频率分布直方图，记由该直方图得到的数学考试成绩的众数、中位数和平均数分别为a，b，c，则 A.b＞c＞a B.a＞b＞c C.＞b D.＞c √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由频率分布直方图可知：众数a＝＝75； 中位数应落在区间[70，80)内，则有0.004×10 ＋0.018×10＋0.04×(b－70)＝0.5，解得b＝ 77；平均数c＝0.004×10×＋0.018×10 ×＋0.04×10×＋0.032×10× ＋0.006×10×＝2.2＋11.7＋30＋27.2＋5.7＝76.8.所以b＞c＞a.故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 5.(多选)如图所示，下列频率分布直方图显示了三种不同的分布形态，图①形成对称形态，图②形成“右拖尾”形态，图③形成“左拖尾”形态，根据所给图作出以下判断，正确的是 A.图①的平均数＝中位数＝众数 B.图②的平均数＜众数＜中位数 C.图②的众数＜中位数＜平均数 D.图③的平均数＜中位数＜众数 √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 题图①是对称的，所以平均数＝中位数＝众数，故A正确；题图②右拖尾众数最小，平均数大于中位数，故B错误，C正确；题图③左拖尾众数最大，平均数小于中位数，故D正确.故选ACD. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 6.(多选)为了了解上、下班时段的交通情况，某调查小组抽取了12辆机动车行驶的时速，得到了如下数据(单位：km/h). 则下列说法正确的是 A.上班时段的众数是28 B.下班时段的中位数是28 C.上班时段的75％分位数是32.5 D.下班时段的平均车速是28.17 √ √ √ 上班时段 30 33 18 27 32 40 26 28 21 28 35 20 下班时段 27 19 32 29 36 29 30 22 25 16 17 30 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 上班时段中，28出现了2次，其余数据各出现1次，故众数为28，故A正确；上班时段的车速由小到大排列为18，20，21，26，27，28，28，30，32，33，35，40，而12×75％＝9，故上班时段的75％分位数为＝32.5，故C正确；下班时段的车速由小到大排列为16，17，19，22，25，27，29，29，30，30，32，36，故下班时段的车速的中位数为＝28，故B正确；而下班时段的平均车速为 ＝26，故D错误.故选ABC. 上班时段 30 33 18 27 32 40 26 28 21 28 35 20 下班时段 27 19 32 29 36 29 30 22 25 16 17 30 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 7.某医院急救中心随机抽取20位病人等待急诊的时间记录如表： 用上述分组资料计算出病人平均等待时间的估计值＝_____. 等待时间 [0，5) [5，10) [10，15) [15，20) [20，25] 频数 4 8 5 2 1 9.5 ＝(2.5×4＋7.5×8＋12.5×5＋17.5×2＋22.5×1)＝9.5. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 8.已知一组数据按从小到大排列为－1，0，4，x，6，15，且这组数据的中位数是5，那么这组数据的众数是____，平均数是____. 6 5 因为中位数是5，所以＝5，即x＝6.所以该组数据的众数是6，平均数是＝5. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 9.某学校为了解师生党史的学习情况，用分层随机抽样的方式从4 600名师生中抽取200名师生进行党史知识测试，得到如图所示的频率分布直方图，其中分组的区间为[40，50)，[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]，则200名师生测试成绩的中位数是______(结果保留整数部分). 72 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由频率分布直方图知前三组频率之和为10×(0.01＋0.015＋0.02)＝0.45＜0.5，前四组频率之和为10×(0.01＋0.015＋0.02＋0.03)＝0.75＞0.5，所以中位数在第四组.设中位数为m，则0.45＋×0.03＝0.5，解得m≈72. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10.(13分)甲、乙、丙三个厂家在广告中都声称，他们生产的同一品牌节能灯在正确使用的情况下，使用寿命都不低于8年.后来质量检测部门对他们的产品进行抽查，各抽查的8个产品使用寿命的统计结果如下(单位：年)： 甲厂：6，6，6，8，8，9，9，12； 乙厂：6，7，7，7，9，10，10，12； 丙厂：6，8，8，8，9，9，10，10. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (1)把以上三组数据的平均数、众数、中位数填入下表：   平均数 众数 中位数 甲厂       乙厂       丙厂       解：甲厂：8，6，8；乙厂：8.5，7，8；丙厂：8.5，8，8.5. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)估计这三个厂家的推销广告分别利用了哪一种统计量； 解：甲厂利用了平均数或中位数；乙厂利用了平均数或中位数；丙厂利用了平均数或众数或中位数. (3)如果你是顾客，应该选哪个厂家的节能灯？为什么？ 解：选丙厂的节能灯.因为无论从哪种统计量来看，与其他两个厂家相比，丙厂水平都比较高或持平. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 11.如图是2023年11月中国的10个城市地铁运营里程(单位：公里)及运营线路条数的统计图，下列判断正确的是 A.这10个城市中北京的地铁运 营里程最长且运营线路条数最多 B.这10个城市地铁运营里程的 中位数是516公里 C.这10个城市地铁运营线路条 数的平均数为15.4条 D.这10个城市地铁运营线路条数的极差是12 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 对于A，北京的地铁运营线路 条数最多，而运营里程最长的 是上海，故A错误；对于B， 地铁运营里程的中位数是 ＝537.3(公里)，故B错 误；对于C，地铁运营线路条数的平均数为＝15.4(条)，故C正确；对于D，地铁运营线路条数的极差是27－8＝19，故D错误.故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 12.(多选)为提高学生的消防安全意识，某学校组织一次消防安全知识竞赛，已知该校高一、高二、高三三个年级的人数之比为1∶2∶3，根据各年级人数采用分层抽样随机抽取了样本容量为n的部分考生成绩，并作出如图所示的频率分布直方图，成绩前10％的学生授予“安全标兵”称号，已知成绩落在区间[50，60)的人数为24，则 A.n＝150 B.估计样本中高三年级的人数为75 C.估计安全知识竞赛考生的平均分为73 D.估计成绩84分以上的学生将获得“安全 标兵”称号 √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因为10×(x＋0.03＋0.04＋0.01＋0.004)＝1， 解得x＝0.016，则n＝＝150，故A正确； 估计样本中高三年级人数为150×＝ 75，故B正确；该校考生成绩的平均分估 计值为55×0.16＋65×0.3＋75×0.4＋85× 0.1＋95×0.04＝70.6，故C错误；考生成绩的第90百分位数为80＋×10＝84，故D正确.故选ABD. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 13.(双空题)某单位统计职工十天行走步数(单位：百步)得到频率分布直方图如图，由频率分布直方图估计该单位职工一天行走步数的中位数为125百步，则a＝______，b＝______.(结果保留三位小数) 0.012 0.010 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由20×(0.002＋0.006＋0.008)＋15a＝0.5，解得a＝0.012.由20×(0.002＋0.006＋0.008＋0.012＋b＋0.008＋0.002＋0.002)＝1，解得b＝0.010. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 14.(15分)某校高一年级举行了一次数学竞赛，为了解本次竞赛学生的成绩情况，从中抽取了部分学生的分数(得分取正整数，满分为100)作为样本(样本容量为n)进行统计，按照[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]的分组作出频率分布直方图(如图所示)，已知得分在[50，60)，[90，100]内的频数分别为8，2. (1)求样本容量n和频率分布直方图中的x，y 的值； 解：由题意可知，样本容量n＝＝50， y＝＝0.004，x＝0.1－0.016－0.040－ 0.010－0.004＝0.030. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)估计本次竞赛学生成绩的众数、中位数、平均数. 解：由题中频率分布直方图可知，本次竞赛 学生成绩的众数约为75. 设中位数为m，所以×10＜0.5 ＜(0.016＋0.030＋0.040)×10，则m∈[70，80)， 所以(0.016＋0.030)×10＋(m－70)×0.040 ＝0.5， 解得m＝71，即本次竞赛学生成绩的中位数约为71. 本次竞赛学生成绩的平均数约为55×0.16＋65×0.3＋75×0.4＋85×0.1＋95×0.04＝70.6. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 15.(5分)已知一组数据丢失了其中一个，剩下的六个数据分别是4，4，7，4，8，10，若这组数据的平均数与众数的和是中位数的2倍，则丢失数据的所有可能值组成的集合为______________. {－9，5，33} 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 设丢失的数据为x，则这七个数据的平均数为，众数是4.因为这组数据的平均数与众数的和是中位数的2倍，若x≤4，则中位数为4，此时＋4＝2×4，解得x＝－9；若4＜x＜7，则中位数为x，此时＋4＝2x，解得x＝5；若x≥7，则中位数为7，此时＋4＝2×7，解得x＝33.综上可知，丢失数据的所有可能的取值为－9，5，33，其构成的集合为{－9，5，33}. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 16.(17分)随着移动互联网的发展，与餐饮美食相关的手机软件层出不穷，现从某市使用A和B两款订餐软件的商家中分别随机抽取100个，对它们的“平均送达时间”进 行统计，得到频率分 布直方图如图所示(同 一组中的数据用该组 区间的中点值为代表). (1)使用A款订餐软件的商家中“平均送达时间” 不超过30分钟的商家有多少个？ 解：使用A款订餐软件的商家中“平均送达时间”不超过30分钟的商家共有100×(0.006＋0.034)×10＝40(个). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)试估计该市使用A款订餐软件的商家的“平均送达时间”的众数和中位数(结果保留一位小数)； 解：依题图可得，使用 A款订餐软件的商家中 “平均送达时间”的众 数为55 min， 由频率分布直方图可知中位数在[30，40)内， 设中位数为x min，则×10＋×0.012＝0.5，解得x≈38.3. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (3)如果以“平均送达时间”的平均数作为决策依据，从A和B两款订餐软件中选择一款订餐， 你会选择哪款？ 解：使用A款订餐软件 的商家中“平均送达时 间”的平均数为15× 0.06＋25×0.34＋35×0.12＋45×0.04＋55×0.4 ＋65×0.04＝40 min， 使用B款订餐软件的商家中“平均送达时间”的平均数为15×0.04＋25×0.2＋35×0.56＋45×0.14＋55×0.04＋65×0.02＝35 min， 因为40＞35，所以选择B款订餐软件订餐. 返回 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 谢 谢 观 看 ！ 第 九 章 　 统 计 返回 7 单元学习十二 9.2 9.2.4　总体离散程度的估计.pptx 9.2　用样本估计总体 9.2.4　总体离散程度的估计 　 第九章　统计　单元学习十二　用样本估计总体 学习目标 1.理解方差、标准差的含义，会计算方差和标准差. 2.掌握求分层随机抽样总样本的平均数及方差的方法，培养 数学运算及数据分析的核心素养. 任务一　方差、标准差 1 任务二　用样本的离散程度估计总体 2 任务三　分层随机抽样中的方差和标准差 3 随堂评价 4 内容索引 课时分层评价 5 任务一　方差、标准差 返回 (阅读教材P211—213，完成问题) 问题.有两位射击运动员在一次射击测试中各射靶10次，每次命中的环数如下： 甲：7　8　7　9　5　4　9　10　7　4 乙：9　5　7　8　7　6　8　6 　7 　7 如果你是教练，你应当如何对两位运动员的射击情况作出评价？ 提示：通过甲、乙两人射击的平均成绩及方差或标准差的大小进行综合评价. 问题导思 1.总体方差和标准差 (1)总体方差和标准差：如果总体中所有个体的变量值分别为Y1，Y2，…， YN，总体平均数为，则称S2＝_____________为总体方差，S＝_____为总体标准差. (2)总体方差的加权形式：如果总体的N个变量值中，不同的值共有k(k≤N)个，不妨记为Y1，Y2，…，Yk，其中Yi出现的频数为fi(i＝1，2，…，k)，则 总体方差为S2＝______________. 新知构建 (Yi－)2 fi(Yi－)2 2.样本方差和标准差 如果一个样本中个体的变量值分别为y1，y2，…，yn，样本平均数为，则 称s2＝____________为样本方差，s＝_____为样本标准差. 3.标准差的意义 标准差刻画了数据的__________或__________，标准差越大，数据的离散程度越____；标准差越小，数据的离散程度越____. (yi－)2 离散程度 波动幅度 大 小 方差公式也可变形为s2＝. 微提醒 某度假酒店为了了解会员对酒店的满意度，从中抽取了50名会员进行调查，把会员对酒店的“住宿满意度”与“餐饮满意度”都分成五个评分等级：1分(很不满意)；2分(不满意)；3分(一般)；4分(满意)；5分(很满意)，其统计结果如表所示. 典例 1 住宿 满意度 餐饮满意度 1 2 3 4 5 1 1 1 2 1 0 2 2 1 3 2 1 3 1 2 5 3 4 4 0 3 5 4 3 5 0 0 1 2 3 (1)求“住宿满意度”分数的平均数； 解：由题意得“住宿满意度”分数的平均数为 ＝3.16. 住宿 满意度 餐饮满意度 1 2 3 4 5 1 1 1 2 1 0 2 2 1 3 2 1 3 1 2 5 3 4 4 0 3 5 4 3 5 0 0 1 2 3 (2)求“住宿满意度”为3分时的5个“餐饮满意度”分数的人数的方差和标准差. 解：当“住宿满意度”为3分时，5个“餐饮满意度”分数的人数的平均数为＝3， 所以所求的方差为 ＝2，所以所求的标准差为. 规律方法 1.标准差、方差描述了一组数据围绕其平均数的波动幅度. 2.标准差、方差的取值范围：[0，＋∞).标准差、方差为0时，样本各数据相等，表明数据没有波动，数据没有离散性. 3.方差和标准差的算法 (1)求n个数据的平均数； (2)求每个数据与平均数的差xi－(i＝1，2，…，n)； (3)求xi－(i＝1，2，…，n)的平方值； (4)求上一步中n个平方值的平均值，即为方差； (5)求方差的算术平方根，即为标准差. 规律方法 4.如果一组数据x1，x2，…，xn的方差为s2，那么x1＋a，x2＋a，…，xn＋a的方差仍为s2；mx1，mx2，…，mxn的方差为m2s2；mx1＋a，mx2＋a，…，mxn＋a的方差为m2s2. 对点练1.(双空题)已知一组数据x1，x2，…，xn的平均数＝3，方差s2＝6，则另外一组数据3x1＋2，3x2＋2，…，3xn＋2的平均数为____，方差为_____. 11 54 由题意，数据3x1＋2，3x2＋2，…，3xn＋2的平均数为3＋2＝11，方差为32×s2＝54. 返回 任务二　用样本的离散程度估计总体 返回 学校为了了解高三学生的地理、历史学习情况，从500名学生中抽取了100名学生，统计他们的地理、历史成绩如下表： 典例 2 历史成绩 地理成绩 [80，100] [60，80) [40，60) [80，100] 8 m 9 [60，80) 9 n 9 [40，60) 8 15 7 已知历史成绩在[80，100]内的学生占30％. (1)求m，n的值； 解：由历史成绩在[80，100]内的学生占30％，可知＝0.3，解得m＝13，所以n＝100－8－9－8－13－15－9－9－7＝22. 历史成绩 地理成绩 [80，100] [60，80) [40，60) [80，100] 8 m 9 [60，80) 9 n 9 [40，60) 8 15 7 (2)请根据抽出的100名学生的地理、历史成绩，填写地理、历史成绩的频数分布表： 根据频数分布表中的数据分别估计高三学生地理和历史成绩的平均数及方差(同一组数据用该组区间的中点值作代表)，并判断哪个学科的成绩更 稳定. 地理成绩 [80，100] [60，80) [40，60) 频数       历史成绩 [80，100] [60，80) [40，60) 频数       解：地理、历史成绩的频数分布表如下： 则＝＝70， ＝×[25×(90－70)2＋50×(70－70)2＋25×(50－70)2]＝200， ＝＝70， 地理成绩 [80，100] [60，80) [40，60) 频数 25 50 25 历史成绩 [80，100] [60，80] [40，60] 频数 30 40 30 ＝×[30×(90－70)2＋40×(70－70)2＋30×(50－70)2]＝240， 所以＝，＜， 所以地理学科的成绩更稳定. 规律方法 　　在实际问题中，仅靠平均数不能完全反映问题，还要研究方差，方差描述了数据相对平均数的离散程度.在平均数相同的情况下，方差越大，离散程度越大，数据波动性越大，稳定性越差；方差越小，数据越集中，越稳定. 对点练2.在一个文艺比赛中，由8名专业人士和8名观众代表各组成一个评委小组，给参赛选手打分.下面是两组评委对同一名选手的打分： (1)每一个小组内评委打分的相似程度是不同的，我们可以用方差来进行刻画，请计算每一个小组打分的方差； 小组A 42 45 50 47 49 53 51 47 小组B 53 36 71 49 46 65 62 58 解：小组A打分的平均数是×(42＋45＋50＋47＋49＋53＋51＋47)＝48，方差＝×[(42－48)2＋(45－48)2＋(50－48)2＋(47－48)2＋(49－48)2＋(53－48)2＋(51－48)2＋(47－48)2]＝.小组B打分的平均数是×(53＋36＋71＋49＋46＋65＋62＋58)＝55，方差＝×[(53－55)2＋(36－55)2＋(71－55)2＋(49－55)2＋(46－55)2＋(65－55)2＋(62－55)2＋(58－55)2]＝112.即小组A打分的方差＝，小组B打分的方差＝112. 小组A 42 45 50 47 49 53 51 47 小组B 53 36 71 49 46 65 62 58 (2)你能根据方差判断出小组A与小组B中哪一个更像是由专业人士组成的吗？请说明理由. 解：由(1)可知＜，所以小组B的打分数据波动较大.由于专业人士给分更符合专业规则，相似程度更高，所以小组A更像是由专业人士组成的. 小组A 42 45 50 47 49 53 51 47 小组B 53 36 71 49 46 65 62 58 返回 任务三　分层随机抽样中的方差和标准差 返回 (1)某单位为了解职工体重情况，采用分层随机抽样的方法从800名职工中抽取了一个容量为80的样本.其中，男性平均体重为64千克，方差为151，女性平均体重为56千克，方差为159，男女人数之比为5∶3，则估计该单位职工体重的方差为 A.166 B.167 C.168 D.169 √ 典例 3 样本中职工的平均体重＝×64＋×56＝61，则样本中职工体重的方差s2＝×[151＋(64－61)2]＋×[159＋(56－61)2]＝169.故估计该单位职工体重的方差为169.故选D. (2)已知某省只有二、三、四线城市，其数量之比为1∶3∶6，2025年8月份调查得知该省所有城市的房产均价为1.2万元/平方米，方差为20，二、三、四线城市的房产均价分别为2.4万元/平方米，1.8万元/平方米，0.8万元/平方米，三、四线城市房价的方差分别为10，8，则该省二线城市房价的方差为________. 118.52 设该省二线城市房价的方差为s2，由题意可知，20＝×[s2＋(2.4－1.2)2]＋×[10＋(1.8－1.2)2]＋×[8＋(0.8－1.2)2]，解得s2＝118.52，即该省二线城市房价的方差为118.52. 规律方法 分层随机抽样的方差 　　设样本中不同层的平均数分别为，，…，，方差分别为，，…，，相应的权重分别为w1，w2，…，wn，则这个样本的方差为s2＝ wi[＋(－)2](为总样本的平均数). 对点练3.某校为了解该校高三年级学生的物理成绩，从某次高三年级物理测试的试卷中随机抽取12名男生和8名女生的测试试卷，其中12名男生的物理成绩(单位：分)为72，68，72，76，80，76，72，80，88，68，72，76. (1)求这12名男生物理成绩的平均分与方差； 解：12名男生物理成绩的平均分＝×(68×2＋72×4＋76×3＋80×2＋88)＝75， 方差＝×[(68－75)2×2＋(72－75)2×4＋(76－75)2×3＋(80－75)2×2＋(88－75)2]＝. (2)经计算得这8名女生物理成绩的平均分＝70，方差＝23，求这20名学生物理成绩的平均分与方差. 解：20名学生物理成绩的平均分＝＋＝＝73， 方差s2＝[＋(－)2]＋[＋(－)2] ＝＝33. 返回 课堂小结 任务再现 (1)方差、标准差的计算与应用.(2)用样本的离散程度估计总体.(3)分层随机抽样的方差和标准差 方法提炼 数据统计、数据分析 易错警示 方差、标准差易混淆 随堂评价 返回 1.若数据x1，x2，…，x9的方差为2，则数据2x1，2x2…，2x9的方差为 A.2 B.4 C.6 D.8 √ 数据x1，x2，…，x9的方差s2＝2，则数据2x1，2x2，…，2x9的方差为22s2＝8.故选D. 2.已知一个样本由三个4，三个6和四个5组成，则这个样本的标准差s＝ A. B. C. D. √ 样本的平均数＝＝5，方差s2＝＝，则标准差s＝＝.故选C. 3.甲、乙、丙三名学生在一项集训中的40次测试分数都在[50，100]内，将他们的测试分数分别绘制成频率分布直方图，如图所示，记甲、乙、丙的分数标准差分别为s1，s2，s3，则它们的大小关系为 A.s1＞s2＞s3 B.s1＞s3＞s2 C.s3＞s1＞s2 D.s3＞s2＞s1 √ 比较三个频率分布直方图知，甲为“双峰”直方图，两端数据最多，最分散，方差最大；乙为“单峰”直方图，数据最集中，方差最小；丙为“单峰”直方图，但数据分布相对均匀，方差介于甲、乙之间.综上可知s1＞s3＞s2.故选B. 4.一次竞赛活动中，评委分为专家评委(10人)和大众评委(40人)两组.某位青年教师参加比赛的得分情况如下：专家评委组的平均分为9分，方差为0.02，大众评委组的平均分为8.5分，方差为0.02，则该教师本次比赛得分的方差是______. 0.06 该教师本次比赛得分的平均数为＝8.6，故该教师本次比赛得分的方差为×[0.02＋(9－8.6)2]＋×[0.02＋(8.5－8.6)2]＝0.06. 返回 课时分层评价 返回 1.甲、乙两位同学的5次数学学业水平模拟考试成绩的方差分别为10.2和14.3，则以下结论比较合理的是 A.甲的成绩比乙的稳定 B.乙的成绩比甲的稳定 C.甲、乙的成绩稳定性无差异 D.甲的成绩的标准差比乙的大 √ 因为10.2＜14.3，所以甲的成绩的标准差比乙的小，所以甲的成绩比乙的稳定.故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2.某校5名教师在“学习强国”平台上的当日积分依次为43，49，50，52，56，则这5个数据的方差为 A.50 B.20 C.40 D.18 √ ＝＝50，s2＝×[(43－50)2＋(49－50)2＋(50－50)2＋(52－50)2＋(56－50)2]＝18.故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3.已知样本数据x1，x2，…，x100的平均数和标准差均为4，则数据－x1－1，－x2－1，…，－x100－1的平均数与标准差分别为 A.－5，4 B.－5，16 C.4，16 D.4，4 √ 因为样本数据x1，x2，…，x100的标准差为4，所以样本数据x1，x2，…，x100的方差为16.因为样本数据x1，x2，…，x100的平均数为4，方差为16，所以数据－x1－1，－x2－1，…，－x100－1的平均数为－4－1＝－5，方差为(－1)2×16＝16，所以－x1－1，－x2－1，…，－x100－1的标准差为4.故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 4.在高一期中考试中，甲、乙两个班的数学成绩统计如下表： 其中＝，则两个班数学成绩的方差为 A.3 B.2 C.2.6 D.2.5 √ 班级 人数 平均分数 方差 甲 20 2 乙 30 3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由题意可知两个班的数学成绩平均数为＝＝，则两个班数学成绩的方差为s2＝[2＋(－)2]＋[3＋(－)2]＝×2＋×3＝2.6.故选C. 班级 人数 平均分数 方差 甲 20 2 乙 30 3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 5.(多选)在一次歌手大赛上，七位评委为歌手打出的分数如下：9.4，8.4，9.4，9.9，9.6，9.4，9.7，去掉一个最高分和一个最低分后，则下列结论正确的是 A.所剩数据的平均数是9.4 B.所剩数据的平均数是9.5 C.所剩数据的方差是0.016 D.所剩数据的方差是0.04 √ √ 所剩数据为9.4，9.4，9.6，9.4，9.7，故＝＝9.5，s2＝×[(9.4－9.5)2×3＋(9.6－9.5)2＋(9.7－9.5)2]＝×(0.12×4＋0.22)＝0.016.故选BC. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 6.(多选)某分层随机抽样中，第一层样本量为45，平均数为4，方差为2；第二层样本量为35，平均数为8，方差为1；第三层样本量为10，平均数为6，方差为3.则下列叙述正确的是 A.第1、2层所有数据的均值为5.75 B.第1、2层所有数据的方差约为1.50 C.第1、2、3层所有数据的均值约为7.68 D.第1、2、3层所有数据的方差约为5.23 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 对于A，第1、2层所有数据的均值为×4＋×8＝5.75，故A正确.对于B，第1、2层所有数据的方差为×[2＋(5.75－4)2]＋×[1＋(5.75－8)2]＝5.5，故B错误.对于C，第1、2、3层所有数据的均值为×4＋×8＋×6＝≈5.78，故C错误.对于D，第1、2、3层所有数据的方差为×＋×＋×＝≈5.23，故D正确.故选AD. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 7.现有10个数，其平均数是4，且这10个数的平方和是200，那么这组数的标准差是___. 2 由题意知＝4，＋＋…＋＝200， s＝＝ ＝＝2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 8.小李连续五天晨练所花时间(单位：分钟)分别为x，y，30，29，31，已知这组数据的平均数为30，方差为2，则｜x－y｜的值为____. 4 由(x＋y＋30＋29＋31)＝30得x＋y＝60①.由[(x－30)2＋(y－30)2＋0＋1＋1]＝2，得(x－30)2＋(y－30)2＝8②，联立①②，解得故｜x－y｜＝4. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 9.已知一组数据x1，x2，…，x10的方差为4，若数据a＋bx1，a＋bx2，…，a＋bx10(a，b∈R)的方差为36，则b＝__________. 3或－3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 设数据x1，x2…，x10的平均数为，方差为s2，则＝，s2＝[(x1－)2＋(x2－)2＋…＋(x10－)2]＝4.设数据a＋bx1，a＋bx2，…，a＋bx10的平均数为，方差为，则＝＝a＋b ，＝[(a＋bx1－)2＋(a＋bx2－)2＋…＋(a＋bx10－)2]＝[(bx1－b )2＋(bx2－b )2＋…＋(bx10－b )2]＝b2s2＝4b2＝36，所以b＝3或b＝－3. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10.(13分)某学校统计教师职称及年龄，中级职称教师的人数为50，其年龄的平均数为38岁，方差是2，高级职称的教师中，3人58岁，5人40岁，2人38岁，求该校中级职称和高级职称所有教师年龄的平均数和方差.(结果保留一位小数) 解：由题意可知高级职称教师的年龄的平均数为＝45(岁)， 方差为×[3×(58－45)2＋5×(40－45)2＋2×(38－45)2]＝73， 所以该校中级职称和高级职称所有教师年龄的平均数为×38＋×45≈39.2(岁)，该校中级职称和高级职称所有教师年龄的方差是×[2＋(38－39.2)2]＋×[73＋(45－39.2)2]≈20.6. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 11.某高校为宣扬中华文化，举办了“论语吟唱”的比赛，在比赛中，由A，B两个评委小组(各9人)给参赛选手打分.根据两个评委小组对同一名选手的打分绘制成如图所示的折线图，则下列说法正确的是 A.B组打分的极差小于A组打分的极差 B.B组打分的中位数为75 C.A组的意见相对一致 D.A组打分的众数为50 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 对于A，B组打分的极差大于A组打分的极差，故A错误；对于B，将B组打分的分值按照从小到大排列为36，55，58，62，66，68，68，70，75，所以中位数为66，故B错误；对于C，A组打分的分值比较均匀，波动更小，故A组意见相对一致，故C正确；对于D，A组打分的分值为42，47，45，46，50，47，55，50，47，众数为47，故D错误.故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 12.(多选)在跳水比赛中，裁判给分计算运动员成绩规则如下：有7位裁判，对某选手一次跳水的给分均不相同，去掉一个最高分和一个最低分后，下列说法正确的是 A.剩下5位裁判给分的平均值一定变大 B.剩下5位裁判给分的极差一定变小 C.剩下5位裁判给分的中位数一定变大 D.剩下5位裁判给分的方差一定变小 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 设7位裁判对每位选手给分分别为x1＜x2＜…＜x7.对于A，若7位裁判分别给分为1，2，3，4，5，6，7分，则原来的平均值和去掉一个最高分和一个最低分后的平均值都是4.不变，故A错误；对于B，由x7＞x6，x2＞x1⇒x7＋x2＞x6＋x1，所以x7－x1＞x6－x2，故B正确；对于C，去掉一个最高分和一个最低分前的中位数是x4，去掉一个最高分和一个最低分后的中位数是x4，故C错误；对于D，由题意，极差变小，数据更稳定，所以方差变小，故D正确.故选BD. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 13.某学校共有学生2 000人，其中高一800人，高二、高三各600人，学校对学生在暑假期间每天的读书时间做了调查统计，全体学生每天的读书时间的平均数为＝3，方差为s2＝1.966，其中高一学生、高二学生、高三学生每天读书时间的平均数分别为＝2.7，＝3.1，＝3.3，又已知三个年级学生每天读书时间的方差分别为＝1，＝2，，则高三学生每天读书时间的方差＝___. 3 由题意可得，1.966＝×[1＋(2.7－3)2]＋×[2＋(3.1－3)2]＋×[＋(3.3－3)2]，解得＝3. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 14.(15分)某厂为比较甲、乙两种工艺对橡胶产品伸缩率的处理效应，进行10次配对试验，每次配对试验选用材质相同的两个橡胶产品，随机地选其中一个用甲工艺处理，另一个用乙工艺处理，测量处理后的橡胶产品的伸缩率，甲、乙两种工艺处理后的橡胶产品的伸缩率分别记为xi，yi，试验结果如下： 试验序号i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 伸缩率xi 545 533 551 522 575 544 541 568 596 548 伸缩率yi 536 527 543 530 560 533 522 550 576 536 记zi＝xi－yi，z1，z2，…，z10的样本平均数为，样本方差为s2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (1)求，s2； 解：由题意可知，zi＝xi－yi(i＝1，2，…，10)的值分别为9，6，8，－8，15，11，19，18，20，12， 所以＝zi＝×(9＋6＋8－8＋15＋11＋19＋18＋20＋12)＝11， s2＝×[(9－11)2＋(6－11)2＋(8－11)2＋(－8－11)2＋(15－11)2＋0＋(19－11)2＋(18－11)2＋(20－11)2＋(12－11)2] ＝61. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)判断甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率是否有显著提高(如果≥2，则认为甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率有显著提高，否则不认为有显著提高). 解：由(1)知：＝11，2＝2＝， 故有≥2 ， 所以认为甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率有显著提高. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 15.(5分)(多选)在发生公共卫生事件期间，有专业机构认为该事件在一段时间内没有发生大规模群体感染的标志为“连续10天，每天新增疑似病例不超过7人”.以下为过去10日甲、乙、丙、丁四地新增疑似病例的数据 信息. 甲地：中位数为2，极差为5； 乙地：平均数为2，众数为2； 丙地：平均数为1，方差大于0； 丁地：平均数为2，方差为3. 则四地中，一定没有发生大规模群体感染的是 A.甲地 B.乙地 C.丙地 D.丁地 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因为甲地中位数为2，极差为5，所以甲地过去10天每天新增疑似病例不超过2＋5＝7(人)，故甲地符合要求.根据乙、丙两地疑似病例平均数可算出10天疑似病例总人数，可推断最多一天疑似病例可能超过7人，由此不能断定一定没有发生大规模群体感染，故乙丙两地不符合要求；若丁地过去10天每天新增疑似病例数满足平均数为2，且至少有一天新增疑似病例超过7人，则必有方差s2＞×(8－2)2＝3.6＞3，与方差为3矛盾，故丁地符合要求.故选AD. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 16.(17分)滨海盐碱地是我国盐碱地的主要类型之一，如何利用更有效的方法改造这些宝贵的土地资源，成为摆在我们面前的世界级难题.对盐碱的治理方法，研究人员在长期的实践中获得了两种成本差异不大，且能降低滨海盐碱地30～60 cm土壤层可溶性盐含量的技术，为了对比两种技术治理盐碱的效果，科研人员在同一区域采集了12个土壤样本，平均分成A，B两组，测得A组土壤可溶性盐含量数据样本平均数＝0.82，方差＝0.029 3，B组土壤可溶性盐含量数据样本平均数＝0.83，方差＝0.169 7.用技术1对A组土壤进行可溶性盐改良试验，用技术2对B组土壤进行可溶性盐改良试验，分别获得改良后土壤可溶性盐含量数据如下： A组y1 0.66 0.68 0.69 0.71 0.72 0.74 B组y2 0.46 0.48 0.49 0.49 0.51 0.54 改良后A组、B组土壤可溶性盐含量数据样本平均数分别为和，样本方差分别记为和. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (1)求，，； 解：＝(0.66＋0.68＋0.69＋0.71＋0.72＋0.74)＝0.70，＝[(0.66－0.70)2＋(0.68－0.70)2＋(0.69－0.70)2＋(0.71－0.70)2＋(0.72－0.70)2＋(0.74－0.70)2]＝0.000 7. ＝(0.46＋0.48＋0.49＋0.49＋0.51＋0.54)＝0.495，＝[(0.46－0.495)2＋(0.48－0.495)2＋(0.49－0.495)2＋(0.49－0.495)2＋(0.51－0.495)2＋(0.54－0.495)2]＝0.000 625. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)应用技术1与技术2对土壤进行可溶性盐改良试验后，土壤可溶性盐含量是否有显著降低？(若－＞2，i＝1，2，则认为技术能显著降低土壤可溶性盐含量，否则不认为能显著降低.) 解：当i＝1时，｜－｜2＝0.014 4，＝0.02. 因为0.014 4＜0.02，所以｜－｜＜2，所以应用技术1后，土壤可溶性盐含量没有显著降低. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 当i＝2时，｜－｜2＝0.112 225，＝0.113 55. 因为0.112 225＜0.113 55，所以｜－｜＜2，所以应用技术2后，土壤可溶性盐含量没有显著降低.故应用技术1和技术2后，土壤可溶性盐含量没有显著降低. 返回 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 谢 谢 观 看 ！ 第 九 章 　 统 计 返回 8 章末综合提升.pptx 章末综合提升 　 第九章　统计 体系构建 1 分层探究 提升能力 2 考教衔接 3 内容索引 单元检测卷 4 体系构建 返回 返回 分层探究 提升能力 返回 探究点一　抽样方法的应用 (1)某校有700名高一学生，400名高二学生，400名高三学生，高一数学兴趣小组欲采用按比例分配的分层随机抽样的方法在全校抽取15名学生进行某项调查，则下列说法正确的是 A.高三每一个学生被抽到的概率最大 B.高三每一个学生被抽到的概率最小 C.高一每一个学生被抽到的概率最大 D.每位学生被抽到的概率相等 √ 典例 1 由题意知，抽样比例为＝，所以15人中，高一要抽7人，高二要抽4人，高三要抽4人，故高一每位学生被抽到的概率为＝，高二每位学生被抽到的概率为＝，高三每位学生被抽到的概率为＝，在比例分配的分层随机抽样中，每个个体被抽到的概率相等，故每位学生被抽到的概率相等.故选D. (2)(多选)航海模型项目在我国已开展四十余年，深受青少年的喜爱.该项目整合国防、科技、工程、艺术、物理、数学等知识，主要通过让参赛选手制作、遥控各类船只、舰艇等模型航行，普及船艇知识，探究海洋奥秘，助力培养未来海洋强国的建设者.某学校为了解学生对航海模型项目的喜爱程度，用比例分配的分层随机抽样法从学校高一、高二、高三年级所有学生中抽取部分学生做抽样调查.已知该学校高一、高二、高三年级学生人数的比例如图所示，若抽取的样本中高三年级学生有32人，则下列说法正确的是 A.该校高一学生人数是2 000 B.样本中高二学生人数是28 C.样本中高三学生人数比高一学生人数多12 D.该校学生总人数是8 000 √ √ 由题图可知高三年级学生人数占总人数的40％，抽取的样本中高三年级学生有32人，则抽取的学生总人数为＝80，则样本中高一学生人数为80×25％＝20，样本中高二学生人数为80×35％＝28，从而样本中高三学生人数比高一学生人数多32－20＝12.因为从该校所有学生中抽取的学生总人数是80，但抽取的比例不知道，所以该校高一学生人数和该校学生总人数求不出来，故A、D错误，B、C正确，故选BC. 规律方法 两种抽样方法比较 对点练1.一个单位有职工800人，其中具有高级职称的160人，具有中级职称的320人，具有初级职称的200人，其余人员120人.为了解职工收入情况，决定采用分层随机抽样的方法，从中抽取容量为40的样本.则从上述各层中依次抽取的人数分别是 A.12，24，15，9 B.9，12，12，7 C.8，15，12，5 D.8，16，10，6 √ 因为抽样比为＝，所以各层中依次抽取的人数分别是＝8，＝16，＝10，＝6.故选D. 探究点二　用样本的取值规律估计总体的取值规律 某社区80名居民参加消防安全知识竞赛，竞赛后对其成绩(满分100分)进行统计，将数据按[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]分为4组，其频率分布直方图如图所示. (1)求直方图中a的值； 解：依题意得，10×(0.01＋0.02＋0.03 ＋a)＝1，解得a＝0.04. 典例 2 (2)试估计这80名居民竞赛成绩的平均分；(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表) 解：这80名居民竞赛成绩的平均分＝65×0.1＋75×0.2＋85×0.4＋95×0.3＝84. (3)该社区准备对本次安全知识竞赛成绩较差的20％居民开展消防安全知识讲座，则需要参加讲座的居民的分数不超过多少. 解：由频率分布直方图可得，第一组的频率为 0.01×10＝0.1， 前两组的频率之和为(0.01＋0.02)×10＝0.3. 设需要参加讲座的居民的分数不超过x， 则x∈[70，80). 0.02×(x－70)＋0.1＝0.2，解得x＝75. 故需要参加讲座的居民的分数不超过75. 规律方法 与频率分布直方图有关问题的常见类型及解题策略 1.已知频率分布直方图中的部分数据，求其他数据，可利用频率和等于1求解. 2.已知频率分布直方图，求某范围内的数据，可利用图形及某范围相关数据结合求解. 对点练2.某行业主管部门为了解本行业中小企业的生产情况，随机调查了100个企业，得到这些企业第一季度相对于前一年第一季度产值增长率y的频数分布表. (1)分别估计这类企业中产值增长率不低于40％的企业比例、产值负增长的企业比例； 解：根据产值增长率频数分布表得，所调查的100个企业中产值增长率不低于40％的企业频率为＝0.21.产值负增长的企业频率为＝0.02. 用样本频率分布估计总体分布，得这类企业中产值增长率不低于40％的企业比例为21％，产值负增长的企业比例为2％. y的分组 [－0.20，0) [0，0.20) [0.20，0.40) [0.40，0.60) [0.60，0.80] 企业数 2 24 53 14 7 (2)求这类企业产值增长率的平均数与标准差的估计值(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表).(精确到0.01) 附：≈8.602. 解：＝×(－0.10×2＋0.10×24＋0.30×53＋0.50×14＋0.70×7)＝0.30， s2＝ni＝×[×2＋×24＋02×53＋0.202×14＋0.402×7]＝0.029 6，其中yi对应的企业数为ni； s＝＝0.02×≈0.17. 所以，这类企业产值增长率的平均数与标准差的估计值分别为30％，0.17. 探究点三　样本的百分位数 文明城市是反映城市整体文明水平的综合性荣誉称号，作为普通市民，既是文明城市的最大受益者，更是文明城市的主要创造者，某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩(满分100分，成绩均为不低于40分的整数)分成六段：，，…，，得到如图所示的频率分布直方图. 典例 3 (1)求频率分布直方图中a的值； 解：由频率分布直方图中各小矩形的面积之和为1， 得×10＝1， 所以a＝0.030. (2)求样本成绩的第75百分位数. 解：成绩落在内的频率为(0.005＋0.010＋0.020＋0.030)×10＝0.65， 落在内的频率为(0.005＋0.010＋0.020＋0.030＋0.025)×10＝0.9， 则样本成绩的第75百分位数为m∈[80，90)，由0.65＋×0.025＝0.75，得m＝84， 所以样本成绩的第75百分位数为84. 规律方法 1.四分位数：第25百分位数，第50百分位数，第75百分位数，这三个分位数把一组由小到大排列后的数据分成四等份，因此称为四分位数. 2.由频率分布直方图求百分位数时，一般采用方程的思想，设出第p百分位数，根据其意义列出方程求解. 对点练3.(1)某地区想实行阶梯电价，经调查发现，该地区居民用电量信息如下： 如果要求约70％的居民用电在第一阶梯内，约20％的居民用电在第二阶梯内，可确定第二阶梯电价的用电量/(kW·h)范围为 A. B. C. D. √ 百分位数 50％分位数 70％分位数 80％分位数 90％分位数 用电量/(kW·h) 160 176 215 230 因为约70％的居民用电在第一阶梯内，约20％的居民用电在第二阶梯内，所以由表中数据可得，第二阶梯电价的用电量/(kW·h)范围为.故选C. 百分位数 50％分位数 70％分位数 80％分位数 90％分位数 用电量/(kW·h) 160 176 215 230 (2)一个小商店从一家食品有限公司购进一批袋装白糖，抽取其中21袋白糖，每袋白糖的标准质量是500 g，为了了解这些白糖的质量情况，称出各袋白糖的质量(单位：g)如下： 486　495　496　498　499　493　493 498　484　497　504　489　495　503 499　503　509　498　487　500　508 估计这批袋装白糖的第75百分位数是_____. 500 将样本数据按从小到大排列为 484　486　487　489　493　493　495 495　496　497　498　498　498　4$