第五章 一元一次方程之一元一次方程的应用（13大考点）2025-2026学年北师大版数学七年级上册期末复习专项训练

第五章 一元一次方程之一元一次方程的应用 考点01 数字问题 ………………………………………………………………………………………… 1 考点02 积分问题 ………………………………………………………………………………………… 5 考点03 和差倍分问题 …………………………………………………………………………………… 8 考点04 古代问题 ………………………………………………………………………………………… 10 考点05 工程问题 ………………………………………………………………………………………… 13 考点06 配套问题 ………………………………………………………………………………………… 18 考点07 收费问题 ………………………………………………………………………………………… 21 考点08 行程问题 ………………………………………………………………………………………… 27 考点09 几何问题 ………………………………………………………………………………………… 34 考点10 方案问题 ………………………………………………………………………………………… 37 考点11 营销问题 ………………………………………………………………………………………… 43 考点12 日历问题 ………………………………………………………………………………………… 50 考点13 动点问题 ………………………………………………………………………………………… 54 提升训练 …………………………………………………………………………………………………… 66 地 城 考点01 数字问题 一、解答题 1．（25-26七年级上·全国·课后作业）三个数的比是，并且它们的和是84，求这三个数中最大的数． 【答案】48 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，解答本题的关键是设出未知数，找到等量关系，利用方程思想求解．设这三个数为、、，根据等量关系：三个数之和为84，可得出方程，解出即可． 【详解】解：∵三个数的比是， 设这三个数为、、， 由题意得：， 解得：， 所以这三个数中最大的数是． 2．（25-26七年级上·全国·课后作业）一个数的倍与这个数的的和等于，求这个数． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，设这个数为 ，根据题意列出方程，然后解方程求出的值即可，读懂题意，找出等量关系，列出方程是解题的关键． 【详解】解：设这个数为， 根据题意得，， 解得：， 答：这个数是． 3．（25-26七年级上·全国·课后作业）有五个连续的整数，设其中最小的数为n． (1)请写出这五个数的和． (2)这五个数各是什么数时，它们的和等于300？ 【答案】(1) (2)58，59，60，61，62 【分析】本题考查整式加减及解方程． （1）表示出这五个连续整数，再求和即可； （2）根据题意得出方程，解方程求最小数n，即可求解． 【详解】（1）解：设其中最小的数为n，则五个连续整数为， ∴它们的和为． （2）解：根据题意可得， ， ， ∴五个数为58，59，60，61，62． 4．（25-26七年级上·广东广州·期中）观察下面三行数： ，4，，16，， ，5，，17，， ，8，，32，． (1)第一行的第7个数为________； (2)取每一行的第个数（为正整数），这三个数的和能否是？若能，求出的值；若不能，请说明理由． 【答案】(1) (2)能， 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，有理数的乘方运算，以及规律型：数字的变化类，根据已知得出规律，运用规律是解答此题的关键． （1）根据题意得到第一行数的规律是：后面一个数是前一个数的倍，即可解题； （2）观察数据可得，同位置的第二行数比第一行数大1，同位置的第三行数是第一行数的2倍，则设第一行的第个数为x，则第二行的第个数为，第三行的第个数为，根据题意有，再解方程求出，再由第一行的第n个数是即可求解． 【详解】（1）解：第一行数的规律是：后面一个数是前一个数的倍，即，，，…， 所以第一行的第n个数是． 所以第一行的第7个数为， 故答案为：； （2）解：能，理由如下： 观察数据可得，同位置的第二行数比第一行数大1，同位置的第三行数是第一行数的2倍， 设第一行的第个数为x，则第二行的第个数为，第三行的第个数为， 根据题意有， 解得， ， ， n的值为5． 5．（25-26七年级上·福建厦门·期中）幻方的历史很悠久，传说中最早出现在夏禹时代的“洛书”，用今天的数学符号翻译出来，就是一个三阶幻方，即将若干个数组成一个正方形数阵，任意一行、一列及对角线上的数字之和都相等．如图1，就是一个三阶幻方，由1，2，3，4，5，6，7，8，9九个数字组成的一个三行三列的矩阵（如图），其对角线、横行、纵向的和都为15． (1)请你选取一组数据构造一个三阶幻方，填入到如图2的方格中，使得每行、每列、每条对角线上的三个数之和都等于21； (2)数阵是由幻方演化出来的另一种数字图．将连续的奇数排列成数阵（如图3），回答以下两个问题： ①在图3的数阵中，位于第行的中间的数是_____（填空，要化简结果） ②用十字框随机框出图3的数阵里的5个数，十字框中的五数之和能等于650吗？若能，写出这5个数；如不能，请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)①；②不能，理由见解析 【分析】本题考查了数字类规律探索，一元一次方程的应用，正确得出规律是解此题的关键． （1）根据每行、每列、每条对角线上的三个数之和都等于21，填入合适的数即可； （2）①根据第1行中间的数是，第2行中间的数是，第3行中间的数是，第4行中间的数是，即可得解；②设十字框中最中间的一个数为，根据题意列出一元一次方程，解方程即可得解． 【详解】（1）解：如图： （2）解：①由图可得：第1行中间的数是， 第2行中间的数是 第3行中间的数是， 第4行中间的数是， …， ∴位于第行的中间的数是； ②不能，理由如下： 设十字框中最中间的一个数为， 由题意可得：， 解得：， ∵十字框内的数均为奇数，而得出的的数均为偶数， ∴十字框中的五个数字之和不能等于． 地 城 考点02 积分问题 一、解答题 1．（25-26七年级上·全国·课后作业）李明是学校的篮球小明星，一场篮球比赛中，他一人得了21分．如果他只投进了2分球和3分球，且投进的2分球比3分球多3个，那么他投进了多少个2分球？多少个3分球？ 【答案】他投进了6个2分球，3个3分球． 【分析】本题考查了列二元一次方程组解实际问题的运用，二元一次方程组的解法的运用，准确列出方程组是解题的关键． 根据题干信息列出数量关系式，即可求得． 【详解】解：设他投进了个2分球，个3分球． 根据题意，得解得 答：他投进了6个2分球，3个3分球． 2．（25-26七年级上·全国·课后作业）某小区组织了篮球比赛，比赛分初赛阶段和决赛阶段．在初赛阶段中，每队有10场比赛，每场比赛都要分出胜负．积分规则如下：胜1场积2分，负1场积1分，积分超过15分才能获得决赛资格． (1)若甲队在初赛阶段获得4场胜利，问：甲队是否有资格参加决赛？请说明理由， (2)已知乙队在初赛阶段的积分为18分，求乙队在初赛阶段胜、负的场数． 【答案】(1)甲队没有资格参加决赛，理由见解析 (2)乙队在初赛阶段胜8场，负2场 【分析】本题主要考查一元一次方程的应用，解题的关键是理解题意，找到题目蕴含的数量关系，并据此列出方程求解． （1）用胜的场数×胜场积分+负的场数×负场积分列式计算可得； （2）设乙队在初赛阶段胜场，则负了场，根据以上数量关系列出方程，解之可得． 【详解】（1）解：甲队没有资格参加决赛，理由如下： 甲队积分为（分），， 所以甲队没有资格参加决赛． （2）解：设乙队在初赛阶段胜x场，则负场． 由题意，得， 解得， 所以． 故乙队在初赛阶段胜8场，负2场． 3．（25-26七年级上·全国·课后作业）某足球协会举办了一次足球比赛，其中得分规则及奖励方案如下表： 规则 胜一场 平一场 负一场 积分/分 3 1 0 人均奖金/元 1500 700 0 当队比赛完12场时，共积20分，并且没有负场． (1)队胜、平各几场？ (2)每赛1场，队每名队员均获得出场费500元，那么比赛完12场后，队的每名队员所得奖金与出场费共多少元？ 【答案】(1)队胜4场，平8场． (2)队的每名队员所得奖金与出场费共17600元． 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，本题中根据总场数和总积分不变，设队胜x场，解决问题的关键是列出方程求解． （1）设A队胜x场，则平了场，根据总积分为20分列出方程即可求解； （2）根据（1）中求得胜场数和平场数计算每名队员的奖金和出场费的总和即可解题． 【详解】（1）解：设队胜场，则平场． 根据题意，得， 解得， 则． 故队胜4场，平8场． （2）解：（元）． 故队的每名队员所得奖金与出场费共17600元． 4．（25-26七年级上·陕西西安·月考）12月4日为全国法制宣传日．某中学组织学生参加法制知识竞赛，共设30道题，答对一道题得4分，不答或答错一道题扣2分．若小明答对了x道题． (1)小明的得分是________分；（用含x的代数式表示） (2)小明考完后说：“这次竞赛我一定能拿到100分．”请通过计算说明小明有没有可能拿到100分？ 【答案】(1) (2) 没有可能 【分析】本题考查了列代数式及一元一次方程的实际应用，解题的关键是根据得分规则列出代数式，再通过方程求解并判断合理性． （1）根据答对得分减去不答或答错扣分，列出含的代数式； （2）根据得分列方程，求解后判断其是否为整数且不超过总题数． 【详解】（1）解：答对道题，则不答或答错道题，得分是分． 故答案为：． （2）解：假设能拿到100分，则 （不是整数） 需为整数， 小明不可能拿到100分． 答：小明没有可能拿到100分． 5．（24-25七年级上·全国·期末）为响应河南省“2024全民阅读”系列活动，某校开展“书香校园”文学阅读与知识竞赛活动．知识竞赛为百分制，共设20道选择题，各题分值相同，每题必答． A，B，C三位参赛者得分情况如下表所示，求参赛者C答对的题数． 参赛者 答对题数 答错题数 得分 A 20 0 100 B 19 1 94 C 58 【答案】参赛者C答对的题数为13 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，先根据题意求出答对一道题得5分，错一道扣1分，再设参赛者C答对的题数为x，列出方程进行求解即可． 【详解】解：由参赛者A可得，答对一题得（分）， 结合参赛者B可得，答错一题扣（分）. 设参赛者C答对的题数为x， 根据题意，得， 解得：． 答：参赛者C答对的题数为13． 地 城 考点03 和差倍分问题 一、解答题 1．（25-26七年级上·广东汕头·月考）工业园区某机械厂的一个车间主要负责生产螺丝和螺母，该车间有工人人，其中女工人人数比男工人人数的倍少人，问该车间有男工人、女工人各多少人？ 【答案】男工人人，女工人人 【分析】本题考查了一元一次方程的应用．设男工人数为人，则女工人数为人，根据女工人数与男工人数的关系及总人数列出方程求解，即可． 【详解】解：设男工人数为人，则女工人数为人， 根据总人数为46人，得方程， 化简得， 移项得， 解得， 则女工人数为人． 答：男工人14人，女工人32人． 2．（25-26七年级上·河南周口·月考）某工厂第一车间有工人180人，第二车间有工人120人，从第一车间调多少人到第二车间后，两个车间的工人数相等？ 【答案】从第一车间调30人到第二车间后，两个车间工人数相等 【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，设从第一车间调x人到第二车间后，两个车间的工人数相等，则第一车间的人数为人，第二车间的人数为人，再根据两个车间的人数相等建立方程求解即可． 【详解】解：设从第一车间调x人到第二车间，后，两个车间的工人数相等， 由题意得，， 解得， 答：从第一车间调30人到第二车间后，两个车间工人数相等． 3．（25-26七年级上·全国·课后作业）某钢厂预计今年的钢产量为230万吨，比去年减少．那么去年的钢产量是多少万吨？（结果保留两位小数） 【答案】 【分析】此题考查了列一元一次方程解应用题，解题的关键是审题，找到题目中的数量关系．根据题意，今年钢产量比去年减少，即今年产量是去年的，设去年产量为万吨，列出方程求解即可． 【详解】解：设去年的钢产量为万吨，则今年产量为． 根据题意可得， 解得：， 答：去年的钢产量是万吨． 4．（25-26七年级上·江苏常州·月考）元旦将至，学校组织学生进行元旦文艺汇演的节目排练，其中大合唱《大中华》节目中，七年级人数占该节目人数的一半，如果再增加6名七年级学生，那么七年级人数就占该节目总人数的，求大合唱《大中华》节目中原来七年级的表演人数． 【答案】6 【分析】本题考查了一元一次方程的应用． 设原来节目总人数为t人，则七年级人数为人；增加6名七年级学生后，七年级人数为人，总人数为人，根据七年级人数占总人数列出方程求解． 【详解】解：设大合唱节目原来总人数为t人，则原来七年级人数为人， 增加6名七年级学生后，七年级人数为人，总人数为人， 由题意，， 解得， 所以原来总人数人，七年级人数为人． 答：原来七年级的表演人数为6人． 5．（25-26六年级上·上海闵行·月考）已知某数的等于与的和的倒数，那么这个数是多少？ 【答案】这个数是 【分析】本题主要考查了列一元一次方程解决实际问题，解题的关键是掌握解一元一次方程的步骤． 假设这个数为，根据题意得，列出方程求解即可． 【详解】解：假设这个数为，根据题意得， ， 解得 ∴这个数是． 6．（23-24七年级上·陕西西安·开学考试）有一包糖果，其中奶糖占，再放入16块水果糖后，奶糖就占，那这堆糖中有奶糖多少块？ 【答案】这堆糖中奶糖有9块 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，根据等量关系列出方程是解题的关键．设这堆糖有x块，根据奶糖的数量不变，列出方程，解方程即可． 【详解】解：设这堆糖有x块， 根据题意得：， 解得：， （块）， 答：这堆糖中奶糖有9块． 地 城 考点04 古代问题 一、解答题 1．（25-26七年级上·海南·期中）《九章算术》记载了一道以绳测井的题，其大意是：用绳子测量井的深度，绳子的三分之一比井深多四尺；绳子的四分之一比井深多一尺，问绳子和井深各多少尺？ 【答案】绳长36尺，井深8尺 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确建立方程是解题关键．设绳子长尺，根据两种测量方式下井深相等建立方程，解方程求出的值，再代入求出井深，由此即可得． 【详解】解：设绳子长尺， 由题意得：， 解得：， 则井深为（尺）． 答：绳长36尺，井深8尺． 2．（24-25六年级上·上海宝山·期末）某数学兴趣小组研究我国古代《算法统宗》里这样一首诗：我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空．诗中后两句的意思是：如果每一间客房住7人，那么有7人无房可住；如果每一间客房住9人，那么就空出一间房．求：该店有客房多少间？房客多少人？ 【答案】客房有8间，房客有63人 【分析】本题属于一元一次方程的应用问题，得到题目中的等量关系是解题的关键． 设该店有客房x间，根据题意列出方程，求得x的值即可解答． 【详解】解：设客房有间， 根据题意可得：， 解得； 则房客有（人）； 答：客房有8间，房客有63人． 3．（25-26七年级上·河南信阳·开学考试） 求碗问题 今有妇人河上荡杯，津吏问曰：“杯何以多？”妇人曰：“家有客．”津吏曰：“客几何？”妇人曰：“二人共饭，三人共羹，四人共肉，凡用桮六十五，不知客几何？” ——出自《孙子算经》 上文大概意思是：有人看到一位妇女在河边洗碗，就问她：“怎么这么多碗？”妇女回答：“家里请人吃饭．”又问她：“有多少客人啊？”妇女回答：“吃饭的时候，两个人共用一个饭碗，三个人共用一个汤碗，四个人共用一个肉碗，一共用了六十五个碗，不知道有多少位客人？” 我们学过很多解决问题的方法，比如：画图、列表尝试、列式计算、列方程等．请你选择一种方法试一试，看看到底有多少位客人用餐． 【答案】有60位客人用餐． 【分析】本题考查了一元一次方程的应用以及数学常识，解题的关键是找准等量关系，正确列出一元一次方程． 设来了位客人，则共使用个饭碗，个汤碗，个肉碗，根据共用了65个碗，即可得出关于的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】解：设来了位客人，则共使用个饭碗，个汤碗，个肉碗， 依题意得：， 解得：． 有60位客人用餐． 4．（25-26七年级上·江苏宿迁·期中）我国很多经典古籍中记载了“河图洛书”，它是中国重要的文化遗产．图1“洛书”中用实心点或空心点的个数表示数字．观察图1中的每一组点所对应的数字，回答下列问题： (1)根据“洛书”，图2中______，______； (2)根据图2所填数字，我们不难发现：方格中每一行、每一列、每条对角线上的三个数之和都相等．若图3符合“洛书”的规律，每一行、每一列以及两条对角线上的数字之和都相等，求c的值． 【答案】(1)5，6； (2) 【分析】本题考查了数字类规律，一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． （1）根据“洛书”中的点，找出，的值； （2）根据第二行及对角线上的三个数的和相等，可求出第三行第一个方格中的数为7，再根据第三行及第三列上的三个数的和相等，可列出关于的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】（1）解：根据“洛书”，图2中，． 故答案为：5，6； （2）解：第三行第一个方格中的数为， 根据题意得：， 解得． 答：的值为． 5．（25-26七年级上·北京西城·期中）《九章算术》中记载有一道关于“盈不足术”的经典问题，其原文表述如下：“今有共买鸡，人出九，盈一十一；人出六，不足十六．问：人数、鸡价各几何？”译文为：有若干人一起买一只鸡，若每人出9钱，则多出11钱；若每人出6钱，则还差16钱．求买鸡的人数、一只鸡的价格各是多少？ 【答案】买鸡的人数为9人，一只鸡的价格为70钱 【分析】本题主要考查了列一元一次方程解决实际问题，解题的关键是找出等量关系，列出方程求解． 设买鸡的人数为人，根据两种购买方式，列出方程求解即可． 【详解】解：设买鸡的人数为人，根据题意得， ， 解得， ， ∴买鸡的人数为9人，一只鸡的价格为70钱． 地 城 考点05 工程问题 一、解答题 1．（25-26七年级上·全国·课后作业）已知某水池有甲、乙两个进水管．单独开放甲管，可以将空水池注满；单独开放乙管，可以将空水池注满．如果先打开甲管对空水池注水，再打开乙管同时注水，那么注满水池还需多少小时？ 【答案】8小时 【分析】此题考查了列一元一次方程解应用题，解题的关键是审题，找到题目中的数量关系． 设水池总容量为1，甲管注水速率为每小时，乙管注水速率为每小时，设注满剩余水池还需小时，根据题意列出方程求解即可． 【详解】解：设水池总容量为1， 甲管注水速率为每小时，乙管注水速率为每小时， 设注满剩余水池还需小时， 则， 解得：， 答：注满水池还需8小时． 2．（25-26七年级上·全国·课后作业）一项工程，甲单独做需要9天完成，乙单独做需要12天完成．甲、乙两人合做3天后，甲有其他任务，剩下的工程由乙单独完成．那么，乙还需要几天才能完成全部工程？ 【答案】乙还需要5天才能完成全部工程 【分析】此题考查了列一元一次方程解应用题，解题的关键是审题，找到题目中的数量关系． 设乙还需要x天完成全部工程，工作总量为单位1，根据“甲、乙合作3天的工作量乙单独完成的工作量工作总量”建立方程求解． 【详解】解：设乙还需要x天完成全部工程，工作总量为单位1， 甲的工作效率为，乙的工作效率为， 根据题意，得方程：， 解得． 答：乙还需要5天才能完成全部工程． 3．（25-26七年级上·吉林长春·期中）今年年初，新民大街历史文化街区保护提升活化利用工程启动，新民大街历史文化街区全长1445米，施工团队在修建了80天后，为加快建设脚步，抢抓工期，施工团队决定提升修建速度，每天修建长度是原来的1.5倍，共用140天完成全部任务，求原来每天施工长度． 【答案】8.5米 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，解决本题的关键是根据题意建立等量关系列方程． 设原来每天施工长度为x米，根据总天数列方程求解即可． 【详解】解：设原来每天施工长度为x米， 则提升修建速度后每天修建长度为米， ∴， 即，解得， ∴原来每天施工长度为8.5米． 4．（24-25六年级上·上海·月考）为更好地完成某市民健身步道改造任务，甲乙两个施工队合作施工．已知甲单独施工9天可以完成，乙单独施工6天可以完成．现在甲先单独施工1天，再由甲、乙合作施工2天，余下的工作由乙单独完成，那么乙队还需要施工多少天才可以完成任务？ 【答案】 2 【分析】本题主要考查一元一次方程的运用，理解数量关系，正确列式求解是关键． 设乙队还需要施工天才可以完成任务，由此列方程求解即可． 【详解】解：设乙队还需要施工天才可以完成任务， ∴， 解得，， ∴乙队还需要施工天才可以完成任务． 5．（24-25七年级上·江苏连云港·开学考试）工程队修一段公路，第一天修了全长的，第二天修了全长的850米，第三天修了全长的，三天正好修完．这段公路全长多少米？ 【答案】这段公路全长米． 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，先设这段公路全长米，根据第一天修了全长的，第三天修了全长的，得出第一天修了全长的，第三天修了全长的，又因为三天正好修完，故列式，再进行计算，即可作答． 【详解】解：设这段公路全长米， 则第一天修了全长的，第三天修了全长的， 依题意，， 解得， ∴这段公路全长米． 6．（25-26六年级上·黑龙江哈尔滨·期中）“告别百年隐患，守护城市安全”初冬的哈尔滨中央大街，地下管网改造一片繁忙．现有甲乙两个工程队，需要对一小区进行改造，甲工程队单独完成这一项工程需要20天，乙工程队单独完成这项工程所需的时间比甲工程队多． (1)求乙队单独完成这项工程需要多少天？ (2)现在若甲工程队先做5天，剩余部分再由甲乙两队合作，还需要多少天才能完成？ (3)原计划由乙工程队单独完成这项工程，乙工程队工作几天后接到通知要缩短工期，后期工程由甲、乙两工程队合作完成，若甲工程队工作的总天数是乙工程队工作的总天数的，乙工程队每天施工费是甲工程队每天施工费的，最后甲、乙两队施工费共计7万元，求甲、乙工程队每天施工费多少万元？ 【答案】(1)30天 (2)9天 (3)甲队0.4万元，乙队0.2万元 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，找准等量关系，正确的列出方程是解题的关键： （1）根据乙工程队单独完成这项工程所需的时间比甲工程队多，列式计算即可； （2）设还需要天完成，根据总量等于各劳动分量之和，列出方程进行求解即可； （3）设乙工程队工作的天数为天，则甲工程队工作的天数为天，列出方程求出每个工程队的施工天数，再设甲工程队每天施工费为万元，根据甲、乙两队施工费共计7万元，列出方程进行求解即可． 【详解】（1）解：根据题意可得：（天）， 答：乙队单独完成这项工程需要30天． （2）解：设还需要天完成，依题意，得：， 解得：， 答：还需要9天才能完成； （3）解：设乙工程队工作的天数为天，则甲工程队工作的天数为天， 依题意，得：，解得， 所以， 设甲工程队每天施工费为万元，则乙工程队每天施工费为万元， 依题意，得：， 解得：， 所以． 答：甲队每天的施工费为0.4万元，乙队每天的施工费为0.2万元． 7．（25-26七年级上·黑龙江绥化·期中）甲组的4名工人3月份完成的总工作量比此月人均定额的4倍多20件，乙组的5名工人3月份完成的总工作量比此月人均定额的6倍少20件．如果甲组工人此月人均实际完成的工作量比乙组的少2件，那么此月人均定额是多少件？ 【答案】55 【分析】本题主要考查一元一次方程的应用，解此题的关键在于根据题意设出未知数，找到题中相等关系列出方程，然后求解即可. 设此月人均定额为x件，甲组人均工作量为，乙组人均工作量为，根据甲组工人此月人均实际完成的工作量比乙组的少2件得到关于x的一元一次方程，然后求解方程即可. 【详解】解：设此月人均定额为x件， 解得：． 答：此月人均定额是件． 8．（25-26七年级上·重庆璧山·期中）某水稻实验基地防治病害虫有无人机喷洒和人工打药两种方式．在一次作业中，一架无人机工作2小时和一名工人工作6小时，共完成了320亩的打药任务（不重复作业），通过测量对比发现无人机每小时作业的面积恰好是人工的5倍． (1)请问一名工人和一架无人机每小时各完成多少亩？ (2)一架无人机和一名工人共同作业8小时能否完成1000亩的打药任务？请说明理由． 【答案】(1)一名工人每小时完成20亩,一架无人机每小时完成100亩 (2)不能完成，见解析 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，熟练掌握解方程是理解题的关键． （1）设一名工人每小时完成x亩,一架无人机每小时亩，根据题意，得，解方程即可． （2）计算一架无人机和一名工人共同作业8小时完成的总工作量，与1000亩比较，解答即可． 【详解】（1）解：设一名工人每小时完成x亩,一架无人机每小时亩，由题意得： ， 解得， ， 即一名工人每小时完成20亩,一架无人机每小时完成100亩； （2）解：不能完成，理由如下： 一架无人机和一名工人共同作业8小时完成的工作量为： ， 故不能完成任务． 地 城 考点06 配套问题 一、解答题 1．（24-25七年级下·福建泉州·月考）有一批生产桌椅的木料，已知一块木料可以生产桌子2张或椅子5把，现有39块木料，如何分配可使生产的桌子和椅子恰好配套（一张桌子配4把椅子）？ 【答案】应该用15块木料生产桌子，用24块木料生产椅子 【分析】此题重点考查一元一次方程的应用，正确地用代数式表示生产桌子的数量和生产椅子的数量是解题的关键．设用x块木料生产桌子，则用块木料生产椅子，生产桌子张，生产椅子把，根据椅子的数量是桌子数量的4倍列方程得，解方程求出x的值，再求出代数式的值即可． 【详解】解：设用x块木料生产桌子，则用块木料生产椅子， 根据题意得， 解得， ∴， 答：应该用15块木料生产桌子，用24块木料生产椅子． 2．（24-25七年级下·吉林长春·期末）某车间有工人人，每人每天可生产个螺母或个螺杆，已知一个螺杆和两个螺母配套为了使生产出来的螺母、螺杆刚好配套，应安排多少人生产螺母？ 【答案】应安排人生产螺母 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 设应安排人生产螺母，则安排人生产螺杆，利用生产螺母的总数量是生产螺杆总数量的倍，可列出关于的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】解：设应安排人生产螺母，则安排人生产螺杆， 根据题意得：， 解得：． 答：应安排人生产螺母． 3．（25-26七年级上·陕西榆林·月考）近年来，随着全民健身公共服务体系的不断完善，把“健身房”建在市民身边，让体育更好地融入生活．某工厂需要生产一批太空漫步器（如图），每套设备由一个支架和三套脚踏板组装而成．工厂共有55名工人，每人每天可以生产42个支架或72套脚踏板．应如何分配工人才能使每天生产的支架和脚踏板恰好配套？ 【答案】20名工人生产支架，35名工人生产脚踏板才能使每天生产的支架和脚踏板恰好配套 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用．设名工人生产支架，则名工人生产脚踏板，根据题意列出方程，即可求解． 【详解】解：设名工人生产支架，则名工人生产脚踏板， 由题意得：， ， ， 解得：， （名）． 答：20名工人生产支架，35名工人生产脚踏板才能使每天生产的支架和脚踏板恰好配套． 4．（25-26七年级上·广东汕头·月考）一条生产线上有台机器，已知一台机器一天可以生产支笔套或支笔芯，如果一支笔套需要支笔芯配成一套，学校准备批发套奖励学生． (1)若生产线每天生产的笔芯和笔套恰好配套，应分别安排多少台机器制作笔芯和笔套？ (2)已知一支笔芯元，一支笔套元，学校一共需要准备多少钱？ 【答案】(1)应安排台机器制作笔套，台机器制作笔芯 (2)学校一共需要准备元 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，有理数的混合运算的应用； （1）设安排台机器制作笔套，则安排台机器制作笔芯，根据题意建立方程，解方程，即可求解． （2）直接计算套所需的笔套和笔芯数量，再根据单价求总成本，即可求解． 【详解】（1）解：设安排台机器制作笔套，则安排台机器制作笔芯， 每台机器制作笔套每天生产支，总笔套产量为支， 每台机器制作笔芯每天生产支，总笔芯产量为支， 由于一支笔套需要支笔芯配套，故笔芯产量应为笔套产量的倍， ， 解得： ， 答：应安排台机器制作笔套，台机器制作笔芯； （2）学校需要套，每套包括支笔套和支笔芯， 需要笔套支，笔芯支， 笔套单价元，笔芯单价元， 总成本元， 答：学校一共需要准备元． 5．（25-26七年级上·甘肃武威·月考）一套仪器由一个A部件和三个B部件构成．用1立方米钢材可做40个A部件或240个B部件．现要用6立方米钢材制作这种仪器，应用多少钢材做A部件，多少钢材做B部件，才能恰好配成这种仪器？ 最多能制成多少台仪器？ 【答案】应用4立方米钢材做A部件，2立方米钢材做B部件，最多能制成160台仪器． 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，理解题意，找到等量关系并列出方程是解题的关键；设用立方米钢材做A部件，根据等量关系列出方程即可． 【详解】解：设用立方米钢材做A部件，则立方米钢材做B部件， 由题意得：， 解得：， ， ； 答：应用4立方米钢材做A部件，2立方米钢材做B部件，最多能制成160台仪器． 6．（25-26八年级上·广东深圳·期末）某家具厂计划生产一批方桌（一张方桌有1个桌面，4条桌腿），按照设计要求，的木材可做50个桌面或300条桌腿．如果现有的木材． (1)怎样分配生产桌面和桌腿使用的木材，使桌面、桌腿刚好配套？ (2)这些木材最多能生产多少张方桌？ 【答案】(1)用的木材做桌面，的木材做桌腿 (2)300张 【分析】此题考查了二元一次方程组的实际应用，正确理解题意中的配套关系：桌腿的数量是桌面数量的4倍是解题的关键． （1）设有的木材生产桌面，的木材生产桌腿，根据配套关系列二元一次方程组解答． （2）在（1）问的分配方案下，桌面和桌腿恰好配套，木材得到最充分的利用，此时生产的方桌数量即为最多，然后根据的木材可做50个桌面求解即可． 【详解】（1）设有的木材生产桌面，的木材生产桌腿， 根据题意，得， 解得 故用的木材做桌面，的木材做桌腿． （2）由（1）可知，当用的木材生产桌面时，生产的桌面和桌腿刚好配套，此时能生产的方桌数量最多。 最多能生产的方桌为（张）， 所以这些木材最多可做方桌300张． 地 城 考点07 收费问题 一、解答题 1．（25-26七年级上·陕西榆林·月考）某街道对于商铺用电规定：每月总用电量不超过50度时，按每度元收费；每月总用电量超过50度时，不超过50度的部分按每度元收费，超过50度的部分按每度元收费．该街道某商铺在八月份的总电费是元，那么该商铺八月份的用电量是多少度？ 【答案】该商铺八月份的用电量是75度． 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，根据题意得出该商铺八月份的用电量超过50度．设该商铺八月份的用电量是度，然后列出方程求解即可． 【详解】解：该商铺在八月份的总电费是元， ∵（元）， ∴元元， ∴该商铺八月份的用电量超过50度． 设该商铺八月份的用电量是度， 根据题意得，， 解得． 答：该商铺八月份的用电量是75度． 2．（25-26七年级上·全国·课后作业）某市为鼓励市民节约用水，增强节水意识，决定对居民用水实行“阶梯收费”办法．规定：每户每月不超过月用水标准部分的水价为2.5元/吨，超过月用水标准部分的水价为3.5元/吨．该市小明家5月用水量为12吨，交水费32元． (1)请判断小明家5月用水是否超过标准用水量． (2)该市规定的每户月用水标准量是多少吨？ 【答案】(1)超过 (2)10吨 【分析】此题考查了列一元一次方程解应用题，解题的关键是审题，找到题目中的数量关系． （1）计算出若用水量未超过标准时的水费为元，实际水费32元大于30元，因此用水量超过标准． （2）设月用水标准量为吨，根据阶梯收费规则，列方程求解． 【详解】（1）解：∵若用水量未超过标准，则水费为（元）， 而实际水费为32元，， ∴小明家5月用水超过标准用水量． 答：超过． （2）解：设该市规定的每户月用水标准量是吨． 由（1）知用水超过标准， ∴用水12吨中，标准部分为吨，超过部分为吨． 根据题意，水费为． 解得：． 答：该市规定的每户月用水标准量是10吨． 3．（25-26八年级上·内蒙古包头·期中）为了鼓励市民节约用水，某市采用分档计费的方式计算水费．下表是家庭人口不超过4人时户年用水量及分档计费标准： 计费档 户年用水量 单价/（元/） 第一档 5 第二档 7 第三档 9 (1)当时，写出水费（单位：元）与之间的关系式； (2)某户一年用水量是，求该户这一年的水费； (3)某户去年一年的水费是1820元，求该户去年一年的用水量． 【答案】(1) (2)该户这一年的水费是元 (3)该户去年一年的用水量是 【分析】本题考查了列代数式，已知字母的值求代数式的值，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）理解题意，根据用水量及分档计费标准且结合进行列式化简，即可作答． （2）结合（1），得当时，，故代入进行计算，即可作答． （3）先充分分析题意，得出水费在第三档，再结合第三档的计费方式进行列式计算，即可作答． 【详解】（1）解：依题意，当时，； （2）解：由（1）得当时， 当时，， 答：该户这一年的水费是1040元； （3）解：依题意，；； ∵ ∴水费在第三档， 当时，可知， 令，即， 解得， 答：该户去年一年的用水量是． 4．（25-26七年级上·江苏南通·月考）目前南通市民用天然气价格分为三个档次，费用跟每年每户用气量有关，具体如下： 收费标准 级别 每年每户用气量(单位：立方米) 气价(单位：元/立方米) 第一档 400及以下 第二档 超过400但不超过800的部分 第三档 超过800的部分 (1)若小王家全年用气量为立方米，则需要缴纳的费用是多少元？ (2)若小王家全年缴纳的费用为元，则全年用气量是多少立方米？ (3)最新政策：如果家庭人口超过4人，则可以申请“多人口家庭”，审核通过后，每户每增加1人，每年各档用气量基数分别增加50立方米(如某户有5口人，即该户第一档年用气量为及以下，第二档年用气量为超过但不超过的部分，第三档年用气量为超过的部分)，小李家有6口人，若全年用气量为立方米，则审核通过后，小李家全年缴纳的费用比政策出台之前能节省多少元？ 【答案】(1)元 (2)立方米 (3)元 【分析】本题考查的是分段计费的问题，同时考查有理数的混合运算，一元一次方程的应用，理解分段计费的区间，理解超过部分的含义是解本题的关键． （1）分两部分计费，400立方米的部分的单价为每立方米元，超过部分立方米的单价为每立方米元，再利用单价乘以数量即可； （2）先判断小王家全年用气量大于400立方米，小于800立方米，设全年用气量为立方米，列出相应方程再求解即可； （3）先按老政策计算小李一家应缴费为2812元，再按新政策，小李一家应缴费为2724元，从而可得答案． 【详解】（1）解：用气量立方米立方米， 前立方米按第一档气价元立方米计费，超过部分立方米按第二档气价元立方米计费． 费用元 答：需要缴纳的费用是元 （2）解：当用气量为立方米时，费用元 当用气量为立方米时，费用元 而， 用气量在立方米到立方米之间． 设全年用气量为立方米，则 ． 答：全年用气量是立方米． （3）解：政策出台前：用气量立方米立方米， 费用元 政策后：家庭人口人，超过人，增加人数为人，每增加人，各档基数增加立方米， 第一档基数变为立方米，第二档基数变为立方米， ∵全年用气量立方米，， 费用元 节省费用元 答：审核通过后，小李家全年缴纳的费用比政策出之前能节省元． 5．（25-26八年级上·福建宁德·期中）我市居民生活用气实行阶梯气价，按年度用气量计算，价格如下： 计费档 年用气量x（立方米） 单价（元/立方米） 第一档 第二档 第三档 (1)当时，求出用气总费用（元）与年用气量（立方米）之间的关系式； (2)小明家去年全年用气的总费用为元，求他家去年的总用气量； (3)今年小明家新增加了一台燃气热水器，爸爸发现如果继续按当前习惯用气，他家年末用气量将达到立方米．为了节省气费他考虑了两种方案： 方案：通过行为节约，将全年总用气量控制在立方米整； 方案：安装一个节能设备，可节省的用气量，设备费用为元． 请通过计算，比较方案、方案所需的总支出（气费+设备费），并为小明爸爸选择一个经济的方案． 【答案】(1) (2)立方米 (3)方案更经济，理由见解析 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． （1）根据总价=单价数量，结合居民生活用气实行阶梯气价表，即可列出关系式； （2）先根据（1）的关系式，分别求出当时、时所需的用气总费用，再判断小明家的总费用属于第二档，将代入第二档关系式中即可求解； （3）先计算方案所需的总费用，然后计算方案全年用气费用加上设备的总费用，进行比较即可求解． 【详解】（1）解：当时，； 当时，； 即：； （2）解：当时，（元）， 当时，（元）， ， 将代入中， 得：， 解得：， 即小明家去年的总用气量为立方米； （3）解：方案：当时，代入中， 得：（元）， 方案：节省的用气量后，全年得用气量为， 当时，代入中， 得：（元）， 总费用为：（元）， ， 方案更经济． 6．（25-26七年级上·江苏泰州·期中）滴滴快车是一种便捷的出行工具，计价规则如下表，请回答下列问题： 计费项目 里程费 时长费 远途费 单价 2元/公里 0.5元/分钟 0.5元/公里 注：车费由里程费、时长费、远途费三部分构成，其中里程费按行车的实际里程计算；时长费按行车的实际时间计算；远途费的收取方式为：行车里程10公里以内（含10公里）不收远途费，超过10公里的，超出部分每公里收0.5元． (1)若小东乘坐滴滴快车，行车里程为15公里，行车时间为20分钟，则需付车费 元． (2)若小明乘坐滴滴快车，行车里程为公里，行车时间为分钟，则小明应付车费多少元？（用含、的代数式表示，并化简．） (3)小王与小张各自乘坐滴滴快车，行车里程分别为9公里与12公里，如果下车时两人所付车费相同，那么这两辆滴滴快车的行车时间相差多少分钟？ 【答案】(1) (2)当时，车费为元；当 时，车费为元 (3)这两辆滴滴快车的行车时间相差 14 分钟 【分析】本题基于滴滴快车的计价规则，计算车费时需要分里程是否超过10公里考虑远途费． （1）根据车费由里程费、时长费、远途费三部分组成进行计算即可； （2）分和两种情况进行讨论用代数式表示并化简即可； （3）设小王行车时间为分，小张行车时间为分，根据他们的所付车费相同，列出方程，即可求解． 【详解】（1）解：（元）， 故答案为； （2）当时，小明应付车费：元 当时，小明应付车费： 元， 答：当时，车费为元；当 时，车费为元． （3）设小王行车时间为分，小张行车时间为分，依题意有 整理得 答：这两辆滴滴快车的行车时间相差分． 地 城 考点08 行程问题 一、解答题 1．（25-26七年级上·江苏常州·月考）周末小明和小亮约定，两人沿恐龙园和青枫公园之间的同一条路线骑行，这条路线的总路程为．小明骑自行车从青枫公园出发，平均速度为；小亮骑自行车从恐龙园出发，平均速度是小明的倍．两人同时出发，相向而行，经过多少时间相遇？ 【答案】经过小时相遇． 【分析】本题考查了一元一次方程的应用． 两人相向而行，相遇时间等于总路程除以速度之和．小亮的速度是小明的倍，先求出小亮的速度，再求相对速度，最后计算时间． 【详解】解：小明速度为，小亮速度为， 两人相向而行，相对速度为， 总路程为， 设相遇时间为t小时，则， 解得， 所以，相遇时间为小时． 2．（25-26七年级上·广西崇左·月考）某中学学生步行到郊外旅行，七年级（1）班学生组成前队，步行速度为，七年级（2）班的学生组成后队，速度为．前队出发后，后队才出发，后队追上前队需要多长时间？ 【答案】 【分析】本题考查一元一次方程的应用，解题的关键是明确题意，找出等量关系，列出相应的方程． 由题意可知两队相差的距离为4千米，设后队追上前队需要，列方程即可解答． 【详解】解：设后队追上前队需要， 由题意，得， 解得， 所以后队追上前队需要． 3．（25-26七年级下·全国·课后作业）我国高速铁路飞速发展，为了解“复兴号”列车的长度和行驶速度，小明所在的学习小组开展了一次课外探究活动．他们分工合作，在一架长的铁路桥附近进行了观察、测量和计算：“复兴号”列车从开始上桥到完全过桥的时间约为，列车完全在桥上的时间约为．你能根据该小组同学获得的数据，求出“复兴号”列车过桥时的速度和列车的长度吗？ 【答案】速度为，车长为 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．设此列高铁的车长为，利用，结合该列高铁的速度不变，即可得出x的一元一次方程，解之即可求出此列高铁的车长，再将其代入中即可求出此列高铁的车速． 【详解】解：设此列高铁的车长为， 依题意得： 解得： 答：“复兴号”列车过桥时的速度为，车长为． 4．（25-26七年级上·全国·课后作业）一艘轮船在两码头之间匀速航行．已知水流的速度是，轮船顺水航行所需的时间是，逆水航行所需的时间是．求这两个码头之间的路程． 【答案】 【分析】此题考查了列一元一次方程解应用题，解题的关键是审题，找到题目中的数量关系．设船在静水中的速度为．根据顺水航行和逆水航行的速度关系，列出方程求解． 【详解】解：设船在静水中的速度为． 水流速度为，顺水航行时间为，逆水航行时间为， 顺水航行时，船速为，逆水航行时，船速为， 由于路程相同，得方程：， 解得：， 代入求路程：， 答：两个码头之间的路程是． 5．（25-26七年级上·江苏常州·月考）从2004年4月18日零时起，全国铁路实施第五次大面积提速，从重庆到广安的某次列车提速前的运行时刻表如下： 区间 起始时刻 终到时刻 重庆—广安 08：00 10：00 该次列车现在提速后，每小时比提速前快20千米，终到时刻提前到9：30，那么重庆与广安相距多少千米？ 【答案】重庆与广安相距120千米． 【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，设该次列车提速前的速度为，则提速后的速度为，根据路程等于速度乘以时间建立方程求解即可． 【详解】解：设该次列车提速前的速度为，则提速后的速度为， 由题意得，， 解得， ∴， 答：重庆与广安相距120千米． 6．（25-26六年级上·上海闵行·月考）已知A、B两城相距120公里，甲、乙、丙三人从A城出发去往B城，甲骑车速度为15公里/小时，乙、丙的步行速度都为5公里/小时． (1)乙和丙要比甲提前多久步行出发，才能三人同时到达B城？ (2)甲、乙、丙同时从城出发，丙步行，甲骑车带乙行至D处，乙下车向B城步行，甲骑车返回迎接丙，在C点与丙相遇，再带丙到B城，结果三人同时到B城，问乙步行了多少公里？ 【答案】(1)16小时 (2)40公里 【分析】本题考查了方程的应用，比的应用，理解题意正确列出方程是解题的关键． （1）根据题意，列出时间差的算式求解即可； （2）设甲骑车带乙到D处所行驶的时间为t小时，此时甲乙行驶了公里，表示出相关线段的长度以及每人行驶的时间，然后根据时间相等列出方程求解即可． 【详解】（1）解：（小时） ∴乙和丙要比甲提前16小时步行出发； （2）解：设甲骑车带乙到D处所行驶的时间为t小时，此时甲乙行驶了公里， 则乙应步行的距离为公里，到达B城需要的时间为小时； 由于甲丙的速度比为，t小时丙行驶了公里，甲丙间相距公里，甲骑车返回迎接丙，在C点与丙相遇，由相遇时甲丙路程的比等于速度的比，甲行驶的路程是丙行驶的路程的3倍，则丙行驶的路程为公里， 所以丙从出发到C点一共行驶的路程为公里，行驶的时间为小时，剩下的路程为甲丙骑车的路程公里，需要的时间为小时； 由于三人同时到达终点B城，则， 解得：， 则乙步行的路程为（公里）； 答：乙步行的路程为40公里． 7．（25-26七年级上·江苏盐城·月考）妈妈从家出发步行去乘火车，时小明发现妈妈忘记带手机，立即骑车追赶，已知妈妈每分钟步行60米，小明每分钟骑行240米，如果火车站距家1800米，那么小明能在妈妈到达火车站前追上她吗？如果能，何时追上？如果不能请说明理由． 【答案】能追上，在追上她 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，理解题意，找出数量关系是解题关键．设小明出发分钟可以追上妈妈，根据题意列方程，求得小明出发分钟可以追上妈妈，此时妈妈步行了分钟，再根据妈妈步行到火车站需要30分钟，即可得出答案． 【详解】解：设小明出发分钟可以追上妈妈， 由题意得：， 解得：， 即小明出发分钟可以追上妈妈， 此时妈妈步行了分钟， 分钟，即妈妈步行到火车站需要30分钟， 因为20分钟30分钟， 所以小明能在妈妈到达火车站前追上她，且在追上她． 8．（25-26七年级上·浙江宁波·期中）如图，分别为数轴上的两个点，点 表示的数为，点表示的数为．一只电子蚂蚁从点出发，以每秒个单位长度的速度向左运动，同时另一只电子蚂蚁从点出发，以每秒个单位长度的速度向右运动，经过多长时间这两只电子蚂蚁在数轴上相距个单位长度？ 【答案】经过秒或秒这两只电子蚂蚁在数轴上相距个单位长度 【分析】本题考查数轴上两点之间距离的表示方法、一元一次方程等知识，数形结合，列出一元一次方程求解是解决问题的关键． 根据题意，分为相遇前和相遇后两种情况，利用时间路程速度列一元一次方程求解即可得到答案． 【详解】解：根据题意，分相遇前和相遇后两种情况： 设运动秒相遇， 则点表示的数为，点表示的数为， 当两只电子蚂蚁相遇前在数轴上相距个单位长度时， ， ， 解得； 当两只电子蚂蚁相遇后在数轴上相距个单位长度时， ， ， 解得； 综上所述，经过秒或秒这两只电子蚂蚁在数轴上相距个单位长度． 9．（25-26七年级上·湖北黄冈·期中）在餐厅开始给学生打餐时，已经有名学生在餐厅外排队等候．打餐开始后，仍有学生继续前来排队等候打餐．设学生按固定的速度增加，每个售饭窗口打餐的速度也是固定的，且是学生增加速度的．若开设5个售饭窗口，则需要40分钟才可将排队等候的学生全部打完餐．根据学校作息时间安排，现要求20分钟将排队等候的学生全部打完餐，以便后来到餐厅的学生随到随打．问需要同时开放几个售饭窗口？ 【答案】6个 【分析】本题考查了一元一次方程在实际问题中的应用． 解题的关键是设定合适的变量，根据原有学生数+新增学生数=打餐窗口处理的学生数这一相等关系建立方程，进而求解需要开放的售饭窗口数量． 【详解】设每个售饭窗口每分钟可打餐人，则学生每分钟增加人，依题意可列方程： 可得： 又设20分钟打完餐需开放个售饭窗口，可列方程为： 可得： 答：需要同时开放6个售饭窗口． 10．（25-26七年级上·全国·课后作业）如图，折线是一条公路的示意图，，甲骑摩托车从A地沿这条公路到B地，速度为，乙骑自行车从C地沿这条公路到B地，速度为，两人同时出发，结果甲比乙早到6分钟．求这条公路的长． 【答案】 【分析】此题主要考查了一元一次方程的应用，首先设这条公路的长为，由题意得等量关系：乙骑自行车行驶的时间分钟甲骑摩托车从地沿这条公路到地的时间，根据等量关系列出方程即可，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程． 【详解】解：设这条公路的长为． 由题意，得， 解得：． 故这条公路的长． 11．（25-26七年级上·河南郑州·月考）一列慢车和一列快车分别从A、B两站相对开出，快车和慢车速度的比是，慢车先从A站开出27千米，快车才从B站开出．相遇时快车和B站的距离比慢车和A站的距离多32千米，A、B两站相距多少千米？ 【答案】A、B两站相距558千米 【分析】本题考查的是方程的应用，设快车速度为， 则慢车速度为， 设相遇时快车走了t小时，根据相遇时快车和B站的距离比慢车和A站的距离多32千米列方程求出，再列算式求出结论． 【详解】解：设快车速度为，则慢车速度为， 设相遇时快车走了t小时， 相遇时快车走的总路程为；相遇时慢车走的总路程为， 由题意得： 解得：， ∴总路程为相遇时快车与B站的距离加上慢车与A站的距离， 即 ， 答：A、B两站相距558千米． 12．（25-26七年级上·广西南宁·月考）已知：在一条东西向的双轨铁路上迎面驶来一快一慢两列火车，快车长（单位长度），慢车长（单位长度），设正在行驶途中的某一时刻，如图，以两车之间的某点O为原点，取向右方向为正方向画数轴，此时快车头在数轴上表示的数是，慢车头在数轴上表示的数是．若快车以6个单位长度/秒的速度向右匀速继续行驶，同时慢车以2个单位长度/秒的速度向左匀速继续行驶，且与互为相反数，且设运动的时间为． (1)______，______； (2)从此时刻开始算起，问再行驶多少秒钟两列火车行驶到车头相距8个单位长度？ (3)从此时刻开始算起，问再行驶多少秒钟有？ 【答案】(1)，16 (2)或 (3) 【分析】本题考查了两点的距离、数轴、绝对值的非负性，熟练掌握行程问题的等量关系，根据数形结合的思想理解和解决问题是解题的关键． （1）根据非负数的性质即可求出； （2）根据路程、速度和时间的关系，列式计算即可求解； （3）根据点表示的数和绝对值的几何意义可以表示出，代入计算即可求解； 【详解】（1）解： 与互为相反数， ． （2）解：由题意，点表示的数分别是： 、， ， 解得或， 则再行驶2秒或4秒，两列火车行驶到车头相距8个单位长度． （3）解：由题意， 即或， 解得或（舍去）， 则再行驶4秒有． 地 城 考点09 几何问题 一、解答题 1．（25-26七年级上·陕西西安·月考）某工厂要锻造一个直径为、高为的圆柱形实心毛坯、需截取一段直径为的圆柱形实心钢材作为原材料，如图，那么这段原材料的高应为多少？（列方程解答；锻造前后钢材体积不变） 【答案】 【分析】本题考查的是一元一次方程的应用，由锻造前后钢材体积不变建立方程求解即可． 【详解】解：根据题意，得． 解得． 答：需截取直径为的圆柱形钢材的高应为． 2．（25-26七年级上·陕西榆林·月考）如图，是将一个大长方形平均分成上下两个长方形，再将上面这个长方形平均分成两份，将下面这个长方形平均分成三份，若图中阴影部分的面积为，求这个大长方形的面积．（列方程解答） 【答案】这个大长方形的面积是． 【分析】本题考查了一元一次方程的应用．设这个大长方形的面积是，根据题意列出方程，求解即可． 【详解】解：设这个大长方形的面积是， ， 解得：． 答：这个大长方形的面积是． 3．（25-26七年级上·全国·课后作业）某养鸡场准备在一处空地上修建一个长方形鸡舍．该鸡舍的一边靠墙（墙足够长），其他三边用长的丝网围成，且长比宽多．那么这个长方形鸡舍的长和宽分别是多少米？ 【答案】长是14米，宽是11米或宽为10米，长为13米 【分析】此题考查了列一元一次方程解应用题，解题的关键是审题，找到题目中的数量关系． 设鸡舍的宽为x米，则长为米，分两种情况列出方程求解． 【详解】解：设鸡舍的宽为x米，则长为米． ①当长方形的长与墙平行时，由题意得， 解得：． 所以宽为11米，长为14米． ②当长方形的宽与墙平行时，由题意得， 解得：， ， 所以宽为10米，长为13米． 答：这个长方形鸡舍的长是14米，宽是11米或宽为10米，长为13米． 4．（25-26七年级上·江苏泰州·期中）如图所示是一个长方形． (1)根据图中尺寸大小，用含的代数式表示阴影部分的面积； (2)若阴影部分的面积为30，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了列代数式，一元一次方程的应用，正确理解题意是解题的关键． （1）阴影部分的面积等于两直角边分别为6和12的三角形面积减去两直角边分别为和的三角形面积，据此求解即可； （2）根据（1）所求列出方程求解即可． 【详解】（1）解：由题意得， ； （2）解：由题意得，， 解得． 5．（2025七年级上·全国·专题练习）如图，几张大小不相等的正方形纸片A，B，…，I，无重叠地铺满了一块长方形纸片．已知正方形纸片E的边长为7，求其余各正方形纸片的边长． 【答案】正方形A，B，C，D，F，G，H，I的边长分别为18，15，14，4，8，10，1，9． 【分析】考查一元一次方程的应用；利用最小的正方形的边长表示出其余正方形的边长是解决本题的难点；利用最大正方形的边长相等得到等量关系是解决本题的关键．可从中间最小的正方形的边长入手思考，表示出其余正方形的边长，根据的边长相等列式求解即可． 【详解】解：设中间正方形的边长为，则的边长为，的边长为的边长，的边长为的边长，的边长为的边长，的边长为的边长，的边长为的边长，的边长的边长的边长，或者的边长的边长的边长， ， 解得， ；；；；；；； 答：正方形A，B，C，D，F，G，H，I的边长分别为18，15，14，4，8，10，1，9． 地 城 考点10 方案问题 一、解答题 1．（25-26七年级上·全国·课后作业）一位商人来到一座新城市，想租一套房子，房东的条件是先交2000元（退租后不返还），每月租金1200元；房东的条件是每月租金1400元． (1)这位商人想在这座城市住半年，则租哪个房东的房子划算？ (2)当这位商人住多少个月时，租两个房东的房子所需租金一样？ 【答案】(1)住半年时，租房东的房子划算 (2)当这位商人住10个月时，租两个房东的房子所需租金一样 【分析】分别计算住半年时,房东的租金并比较； 设住的月数为未知数，根据租金一样列一元一次方程求解． 【详解】解：（1）如果住半年，交给房东的租金是（元）； 交给房东的租金是（元）． 因为，所以住半年时，租房东的房子划算． 故答案为：住半年时，租房东的房子划算． （2）设当这位商人住个月时，租两个房东的房子所需租金一样． 根据题意，得，解得． 故当这位商人住10个月时，租两个房东的房子所需租金一样． 故答案为：当这位商人住10个月时，租两个房东的房子所需租金一样． 【点睛】本题考查了一元一次方程的实际应用（收费问题），解题关键是根据不同房东的收费模式，准确列出租金的表达式，再通过计算或列方程求解． 2．（24-25七年级上·全国·期末）某体育用品店出售某品牌的篮球和羽毛球．已知羽毛球的标价为每个5元，篮球的标价为每个40元．节假日期间，为了让利顾客，该店推出两种优惠方案： 甲方案：篮球和羽毛球都按标价打九折出售． 乙方案：买一个篮球送一个羽毛球． 某顾客现要购买40个篮球和a个羽毛球． (1)当时，分别计算按甲、乙两种方案购买，该顾客需付款多少元？ (2)购买羽毛球多少个时，两种方案的收费相同？ 【答案】(1)甲方案1890元，乙方案1900元 (2)购买羽毛球80个时，两种方案的收费相同 【分析】该题考查了一元一次方程的应用和有理数混合运算的应用，解题的关键是理解题意． （1）分别根据甲方案和乙方案的优惠解答即可； （2）根据“两种方案的收费相同”列出方程求解即可． 【详解】（1）解：甲方案需付款：； 乙方案需付款：； （2）解：， 解得：， 答：购买羽毛球80个时，两种方案的收费相同． 3．（25-26七年级上·湖南长沙·月考）已知某超市酸奶的定价为20元/箱，玻璃杯的定价为5元/个，该超市推出了两种优惠促销方案，如下表所示．现某顾客需要购买40箱酸奶和个玻璃杯． 方案一 酸奶和玻璃杯一律按九折优惠 方案二 购买一箱酸奶，赠送一个玻璃杯 (1)若该顾客按方案一购买，共需花费______元；若该顾客按方案二购买，共需花费______元；（用含的代数式表示） (2)当时，请通过计算说明此时按哪种方案购买更省钱； (3)当购买多少个玻璃杯时，上述这两种方案的花费一样多？并且请你根据购买玻璃杯数量的情况，为该顾客设计更加优惠的购买方案． 【答案】(1)；； (2)方案二更省钱 (3)当购买240个玻璃杯时，两种方案花费一样多；更优惠的方案是：先按方案二购买40箱酸奶，赠送40个玻璃杯，再按方案一购买剩余的玻璃杯，花费为元 【分析】本题考查了一元一次方程的应用、列代数式以及代数式求值、有理数四则混合运算的实际应用，理解题意，正确列出代数式和方程是解答的关键． （1）利用总价单价数量，结合该超市推出的两种优惠促销方案，即可用含x的代数式表示出按方案一及按方案二购买所需费用； （2）代入，求出按方案一及按方案二购买所需费用，再比较后即可得出结论； （3）①根据按这两种方案的花费一样多，可列出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论； ②根据题意，先按方案二购买40箱酸奶，赠送40个玻璃杯，再按方案一购买个玻璃杯更省钱． 【详解】（1）解：根据题意得：按方案一购买所需费用为元； 按方案二购买所需费用为元． 故答案为：；； （2）当时， 方案一购买所需费用为：（元）， 方案二购买所需费用为：（元）， 因为， 所以按方案二购买更省钱 （3）①由题意得： 解得 答：当购买240个玻璃杯时，上述两种方案一样． ②先按方案二购买40箱酸奶，赠送40个玻璃杯，再按方案一购买个玻璃杯． 所需费用：元． 因为，且当时，， 所以该方案比方案一和方案二都更优惠． 4．（25-26七年级上·安徽合肥·月考）综合实践 主题 学校购买比赛用品策略探讨 问题情境 为了举行羽毛球比赛，学校需要提前购买20副羽毛球拍和若干个羽毛球（不少于60个） 素材1商品标价 羽毛球拍：150元/副 羽毛球：10元/个 素材2购买方案 方案一：每买一副羽毛球拍赠送3个羽毛球． 方案二：羽毛球拍和羽毛球都按标价的九折销售． 任务1 现已知方案一和方案二只能单独使用，若学校需要购买20副羽毛球拍和100个羽毛球，请为学校推荐购买方案． 任务2 若方案一和方案二费用一致，你知道学校购进了多少个羽毛球吗？ 任务3 现已知方案一和方案二既可以单独使用，也可以同时使用，若学校此次需要购进400个羽毛球，请为学校设计最省钱的购买方式． 【答案】任务1：为学校推荐购买方案一；任务2：300个；任务3：先用方案一购买20副羽毛球拍，再用方案二购买340个羽毛球 【分析】本题考查了有理数四则混合运算的应用、一元一次方程的应用，正确列出运算式子和建立方程是解题关键． 任务1：方案一的费用等于副羽毛球拍加上个羽毛球的费用；方案二的费用等于副羽毛球拍加上100个羽毛球的费用之和，再乘以折扣率，再比较大小即可得； 任务2：设学校购进了个羽毛球，根据方案一和方案二费用一致建立方程，解方程即可得； 任务3：分别求出单独使用方案一的费用，单独使用方案二的费用，先用方案一购买20副羽毛球拍、再利用方案二购买羽毛球的费用，比较三个费用的大小即可得． 【详解】解：任务1：方案一的费用：（元）， 方案二的费用：（元）， 因为， 所以为学校推荐购买方案一． 任务2：设学校购进了个羽毛球， 由题意得：， 解得， 答：学校购进了300个羽毛球． 任务3：单独使用方案一的费用：（元）， 单独使用方案二的费用：（元）， 先用方案一购买20副羽毛球拍，获赠个羽毛球，再用方案二购买个羽毛球，总共所需费用为（元）， 因为， 所以最省钱的购买方式是先用方案一购买20副羽毛球拍，再用方案二购买340个羽毛球． 5．（25-26七年级上·全国·期中）实际应用题：某中学春游，原租 45 座客车，有 15 人无座；租相同数量 60 座客车，多 1 辆车且坐满．45 座日租 220 元，60 座日租 300 元． (1)求学生人数和原计划租 45 座车的辆数 (2)租同一种客车，使每人有座，哪种更合算？ 【答案】(1)学生有 240 人，原计划租 45 座车 5 辆 (2)租 4 辆 60 座客车更合算 【分析】本题考查了一元一次方程的应用与方案选择，解题关键是理解题意，列出一元一次方程求解． （1）根据总人数不变列出方程即可求解； （2）分别计算每种方案的总价，比较后即可求解． 【详解】（1）解：设原计划租 45 座客车 x 辆， ． 学生人数（人） 答：学生有 240 人，原计划租 45 座车 5 辆． （2）解：因 5 辆45 座客车坐 225 人，剩 15 人需再租 1 辆 需租车辆数：（辆）， 总租金：（元） 60 座客车，需租车辆数：（辆） 总租金：（元） ， 答：租 4 辆 60 座客车更合算． 6．（2025七年级上·全国·专题练习）国庆期间，七年级（1）班的明明、丽丽等同学随家长一同到某公园游玩，如下是购买门票时，明明与他爸爸的对话，试根据信息，解答下列问题： 票价 成人：每张元 学生：按成人票五折优惠 团体票（人以上含人）：按成人票6折优惠 大人门票是每张元，学生门票是5折优惠，我们一共人，共需元 爸爸，等一下，我算算换一种方式买票是否可以省钱？ (1)明明他们一共去了几个成人？几个学生？ (2)请你帮助明明算一算，用哪种方式购票更省钱？ (3)购完票后，明明发现七年级（2）班的张小涛等8个学生和他们的个家长共人也来购票，请你为他们设计出最省钱的购票方案，并求出此时的购票费用． 【答案】(1)学生人数为4人，成人人数为8人 (2)购团体票更省钱，理由见解析 (3)买人的团体票，再买4张学生票 【分析】本题考查一元一次方程的应用，解答此类问题的关键是明确题意，找出所题目中的等量关系，列出相应的方程． （1）设成人人数为x人，则学生人数为人，由题中所给的票价单可得出关于x的一元一次方程，解此方程即可得出成人与学生各有多少人数； （2）已知购个人票的价钱，再算出购团体票的价钱，哪个更低哪个就更省钱； （3）由第二问可知购团体票要比购个人票便宜，再算出购张团体票和4张学生票的价钱与全部购团体票的价钱比较，即可得最省的购票方案． 【详解】（1）解：设成人人数为x人，则学生人数为人，则： 由题中所给的票价单可得：， 解得， 学生人数为人，成人人数为8人， 答：学生人数为4人，成人人数为8人． （2）解：如果买团体票，按人计算，共需费用： 元， ， ∴购团体票更省钱． （3）解：需要分三种情况， ①若成人和学生分开买票，费用：（元）， ②若购买团体票，费用：（元）， ③人全部买团体票，费用：（元）， ∵， 最省的购票方案为：买人的团体票，再买4张学生票． 地 城 考点11 营销问题 一、解答题 1．（25-26七年级上·江苏苏州·期中）某体育用品店准备购进一批篮球和足球，准备在“双十二”期间销售，其中每个篮球的进价比每个足球的进价多5元，购进5个篮球和4个足球共需元．求篮球和足球的进价分别是多少元？ 【答案】篮球的进价为元，足球的进价为元 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，掌握相关知识是解决问题的关键．设篮球的进价为x元，则足球的进价为元，根据购进5个篮球和4个足球共需元列方程求解即可． 【详解】解：设篮球的进价为x元，则足球的进价为元， 解得： （元）， 答：篮球的进价为元，足球的进价为元． 2．（25-26七年级上·全国·课后作业）某产品每件的成本是200元．如果每件产品按原价的九折出售，商家所获得的利润率为8%，那么这种产品的原价是多少元？ 【答案】240元 【分析】此题考查了列一元一次方程解应用题，解题的关键是审题，找到题目中的数量关系．根据利润率公式，利润除以成本等于利润率，列出方程求解． 【详解】解：设原价为元，则售价为元，利润为元． 根据题意可得， 解得：． 所以原价为 240 元． 3．（25-26七年级上·全国·课后作业）某品牌电视的进价为1000元，售价为1400元，后由于出现了数字电视，商店准备打折出售，若盈利率为，则商店打几折？ 【答案】商店打了八折 【分析】本题考查了折扣问题． 设商店打了x折，利用销售价减进价等于利润列方程求解即可． 【详解】设商店打了x折， 根据题意得：， 解得：． 答：商店打了八折． 4．（25-26七年级上·山东枣庄·月考）某超市用6000元购进甲、乙两种商品，其中甲商品的件数比乙商品件数的2倍少30件，甲、乙两种商品的进价和售价如下表： 商品种类 进价（元/件） 售价（元/件） 甲 22 29 乙 30 40 (1)该超市购进甲、乙两种商品各多少件？ (2)购进的甲、乙两种商品全部售出，该超市的总利润为多少元？ 【答案】(1)该超市购进甲商品150件，乙商品90件 (2)1950元 【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用（销售问题），熟练掌握“进价、售价、利润的关系”及“根据等量关系列方程”是解题的关键． （1）设乙商品的件数为未知数，根据甲商品件数与乙商品件数的关系表示出甲商品件数，再结合总进价列方程求解； （2）先分别计算甲、乙商品每件的利润，再结合件数计算总利润． 【详解】（1）解：设购进乙商品件，则购进甲商品件， ， ， ， ， 甲商品件数：（件）， 答：该超市购进甲商品150件，乙商品90件． （2）解：甲商品每件利润：（元），乙商品每件利润：（元）， 总利润：（元）， 答：该超市的总利润为元． 5．（25-26七年级上·陕西西安·月考）“榆宝宝”和“林贝贝”体现冰雪热情与陕北风情，作为陕西省第一届冬季运动会的形象大使，它们是冰雪世界中最具地方特色的文化使者与冬运精神的象征．某工厂应官方要求生产“榆宝宝”、“林贝贝”的挂件和玩偶这两种产品，每个玩偶的成本价比每个挂件的成本价贵25元．若要生产800个挂件和200个玩偶，共需要20000元成本． (1)求每个挂件和每个玩偶的成本价分别是多少元？ (2)若每个玩偶的出售标价是75元．为了促销，现对每个玩偶在标价基础上进行打折出售．若按标价打折售出18个玩偶所获得的利润，与按64元/个的售价出售15个玩偶所获得的利润相同．求的值． 【答案】(1)每个挂件的成本价是15元，每个玩偶的成本价是40元 (2)的值为8 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，审清题意、找准等量关系、正确列出一元一次方程是解题的关键． （1）设每个挂件的成本价是元，则每个玩偶的成本价是元．根据“生产800个挂件和200个玩偶，共需要20000元成本”列一元一次方程求解即可； （2）根据题意列出方程求解即可． 【详解】（1）解：设每个挂件的成本价是元，则每个玩偶的成本价是元． 根据题意，得，解得：， 所以 答：每个挂件的成本价是15元，每个玩偶的成本价是40元． （2）解：根据题意可得：， 解得：． 所以的值为8． 6．（25-26七年级上·江苏徐州·月考）某商店有两种不同的都卖168元，以成本价计算，其中一个盈利，另一个亏本，则这次出售中商店总的来说是赚了还是赔？ 【答案】赔了14元 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，设盈利的成本价为元，亏本的成本价为元， 通过建立方程计算两个的成本价，比较总成本与总收入，判断盈亏情况，即可解题． 【详解】解：设盈利的成本价为元，亏本的成本价为元， 由题得，，， 解得，． 总成本为：（元）， 总收入为：（元）． ∵，（元）， ∴商店赔了14元． 7．（25-26七年级上·山西大同·月考）综合与实践问题背景： 吉县苹果和隰县梨都是山西著名的农产品，某超市购进吉县苹果和隰县梨进行销售． 信息一，该超市用50000元购进吉县苹果和隰县梨共4500千克． 信息二，这两种水果的进价、售价如下表所示： 水果 进价/（元/千克） 售价/（元/千克） 吉县苹果 12 18 隰县梨 10 20 问题解决： (1)该超市购进吉县苹果和隰县梨各多少千克？ (2)若该超市销售完吉县苹果时，隰县梨还剩下，将剩余隰县梨打折出售，全部售完后，共获利32600元，求剩余隰县梨打了几折． (3)若在销售过程中，吉县苹果和隰县梨都损坏，保持隰县梨的售价不变，在除损坏外全部售完的情况下，若总利润率为，则吉县苹果的售价应定为多少？ 【答案】(1)该超市购进吉县苹果2500千克，购进隰县梨2000千克 (2)八五折 (3)20元/千克 【分析】本题考查的是一元一次方程的应用． （1）设该超市购进吉县苹果千克，则购进隰县梨千克，根据表格信息建立方程求解即可． （2）设剩余隰县梨打折，根据获利32600元建立方程求解即可． （3）设吉县苹果的售价应定为元/千克，根据总利润率为建立方程求解即可． 【详解】（1）解：设该超市购进吉县苹果千克，则购进隰县梨千克． 根据题意，列方程为． 解得． （千克）． 答：该超市购进吉县苹果2500千克，购进隰县梨2000千克． （2）解：设剩余隰县梨打折． 根据题意，列方程为 ． 解得． 答：剩余隰县梨打了八五折． （3）解：设吉县苹果的售价应定为元/千克． 根据题意，列方程为． 解得． 答：吉县苹果的售价应定为20元/千克． 8．（25-26七年级上·湖南长沙·月考）青竹湖商场经销的A、B两种商品，A种商品每件售价60元，利润率为；B种商品每件进价50元，售价80元． 打折前一次性购物总金额 优惠措施 小于等于 450元 不优惠 超过450元，但不超过600元 按总售价打九折 超过600元 其中600元部分八折优惠，超过600元的部分打七折优惠 (1)A种商品每件进价为 元，每件B种商品利润率为 ． (2)商场同时购进A、B两种商品共50件，恰好总进价为2100元，求购进A种商品多少件? (3)在“春节”期间，商场只对A、B两种商品进行如下的优惠促销活动： 按上述优惠条件，若小华一次性购买A、B商品实际付款543元，求若没有优惠促销，小华在该商场购买同样商品要付多少元? 【答案】(1)40； (2)购进A种商品40件 (3)690元 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，解答本题的关键是仔细审题，找到等量关系，利用方程思想求解． （1）设种商品每件进价为元，根据的利润率为，求出的值； （2）设购进种商品件，则购进种商品件，再由总进价是2100元，列出方程求解即可； （3）分两种情况讨论，①打折前购物金额超过450元，但不超过600元，②打折前购物金额超过600元，分别列方程求解即可． 【详解】（1）解：设种商品每件进价为元， 则， 解得：． 故种商品每件进价为40元； 每件种商品利润率为． 故答案为：40；； （2）解：设购进种商品件，则购进种商品件， 由题意得，， 解得：． 即购进种商品40件． （3）解：设小华打折前应付款为元， ①打折前购物金额超过450元，但不超过600元， 由题意得， 解得：； ,舍去， ②打折前购物金额超过600元， ， 解得：． 综上可得，小华在该商场购买同样商品要付690元． 9．（2025七年级上·江苏苏州·专题练习）有两种消费券：A券，满60元减20元，B券，满90元减30元，即一次购物大于等于60元、90元，付款时分别减20元、30元．小敏有一张A券，小聪有一张B券，他们都购了一件标价相同的商品，各自付款，若能用券时用券，这样两人共付款140元，求所购商品的标价？ 【答案】所购商品的标价为95元或80元 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，正确运用分类讨论思想是解答本题的关键． 设所购商品的标价是元，然后根据两人共付款元的等量关系，分所购商品的标价小于元和大于元两种情况，分别列出方程求解即可． 【详解】解：设所购商品的标价为x元， ①两人都可以用券时，即时， 根据题意列方程得：，解得， ②只能用A券时，即时， 根据题意列方程得：，解得， 答：所购商品的标价为95元或80元． 10．（25-26七年级上·安徽淮北·期中）某品牌运动鞋原价元/双，促销方案如下： 方案一（普通优惠）：购买2双及以上时，超出2双的部分打8折． 方案二（会员优惠）：办理会员卡需付元工本费（仅首次办理需要，之后购买都享受会员价），会员价元/双． 小华发现在某个购买数量下，两种方案的总花费相同．请问小华购买了多少双运动鞋？总花费是多少元？ 【答案】两种方案总花费相同时小华买了6双运动鞋，总费用是元． 【分析】本题考查了销售盈亏(一元一次方程的应用) ，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 设小华购买了双运动鞋，根据题意列出一元一次方程求解，再求总费用． 【详解】解：设小华购买了双运动鞋， 要使总花费相同，方案一要有优惠， 即， ， 解得：， ， 答：两种方案总花费相同时小华买了6双运动鞋，总费用是元． 地 城 考点12 日历问题 一、解答题 1．（24-25七年级上·陕西安康·期末）如图，这是2025年1月的日历表． (1)如图，在表中用Y形框“”框住四个数，其中最小的数为1，求Y形框框中的这四个数字之和． (2)在表中移动Y形框的位置，若Y形框框住的四个数字之和为85，求这四个数字中最小的数． 【答案】(1)29 (2)15 【分析】本题以生活中常见的日历为背景，考查了有理数的运算及一元一次方程的求解． （1）根据图形的数字计算即可； （2）设框住的这四个数中最小的数为x，则另外三个数分别为，即可建立方程求解． 【详解】（1）解：根据题意，得． 答：Y形框框中的这四个数字之和为29． （2）设框住的这四个数中最小的数为x，则另外三个数分别为． 根据题意，得， 解得． 答：这四个数字中最小的数是15． 2．（24-25七年级上·江西赣州·期末）如图的数阵是由全体奇数排成的： (1)如图，任意图出一竖列上相邻的三个数，设中间的一个为，则用含的代数式表示，则另两个数分别是___________和___________； (2)在数阵图中作图中的平行四边形框，这九个数之和是___________； (3)这九个数之和能等于2024吗？若能，请写出这九个数中最大的一个数；若不能，请说明理由． 【答案】(1)， (2)369； (3)不能等于2024；理由见解析． 【分析】本题考查了数字规律探究，解一元一次方程，发现数阵中9个数之间的关系是解题的关键． （1）根据每列中上面一个数比下面的一个数大18即可用中间的一个数表示出上面和下面的那个数； （2）求出图中平行四边形框内的九个数的和，即可； （3）设中间的一个数为，用含的代数式分别表示其余的8个数，求出九个数的和，得到这九个数之和的规律；再根据这九个数之和等于2024列出方程，解方程求出的值，根据实际意义确定即可． 【详解】（1）解：∵设中间一个数为，则上面的一个数是，下面的一个数是， 故答案为：，； （2）解：图中平行四边形框内的九个数的和为：， 故答案为：369； （3）解：这九个数之和不能等于2024； 理由如下：设数阵图中中间的数为，则其余的8个数为，，，，，，，， ∴这九个数的和为： ， 依题意得， 解得． 因为不是整数，所以不存在． 3．（25-26七年级上·山东济宁·月考）下表是2024年 4月的日历表，在表中用形如下图的平行四边形框框出 4个数，请解答问题： (1)若框出的4个数的和为74，请你通过列方程的办法，求出它们分别是哪4天？ (2)框出的4个数的和可能是 25 吗？为什么？ 【答案】(1)15号，16号，21号，22号 (2)不可能，见解析 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，解题的关键是利用平行四边形框出4个数的关系解题． （1）设其中的一天为x，则其他3天可分别表示为，，，然后根据它们的和为74，求解即可； （2）由（1）得出4天之和为，即．求出y做判断即可． 【详解】（1）解：设第一行左边的数为x，则根据平行四边形框框出4个数得其他3天分别表示为，，， 根据题意得， 解得：， 所以，，， 所以这四天分别是15号，16号，21号，22号； （2）解：不可能．理由如下： 设第一行左边的数为y，则，解得， 因为y表示天数，必须是正整数， 所以框出的4个数的和不可能是25． 4．（25-26七年级上·广西南宁·月考）【综合与探究】同学们，大家一定很熟悉月历吧！你们知道吗？月历中有很多奥秘， 下面就让我们一起来探索吧！ (1)如图1是2024年10月的月历，小宇用带阴影的“十”字框框中5个数． ①这5个数中，最大数与最小数的差是 ； ②小宇发现当任意移动“十”字框时，框中的5个数之和始终是5的倍数，请计算说明他的发现成立． (2)如图2是2024年10月的月历，小宇用如图所示的“凹”字框在月历中任意框中5个数，将这5个数分别用字母，，，，表示（如图3）． ①请任选其中一个字母，用含这个字母的代数式表示这5个数的和． ②这5个数的和能等于101吗？若能，请求出这5个数；若不能，请说明理由． 【答案】(1)①；②见解析 (2)①（答案不唯一）②能；15，17，22，23，24 【分析】本题考查了一元一次方程的日历应用，列代数式，有理数的减法应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）①根据这5个数中，最小数是，最大数是，进行减法运算，即可作答； ②设正中心的数为x，则阴影框中其余的4个数为，，，．再列式，即可作答； （2）①根据这5个数分别用字母a，b，c，d，e表示，所以，即可作答； ②能，依题意，列式进行计算，即可作答． 【详解】（1）①解：依题意，这5个数中，最小数是，最大数是， ∴， 故答案为：； ②解：设正中心的数为x， 则阴影框中其余的4个数为，，，． ∴． 则这5个数的和为． ∵是正整数， ∴当“十”字框任意移动时，框中的5个数之和始终是5的倍数； （2）①解：∵用如图2所示的“凹”字框在月历中任意框中5个数，将这5个数分别用字母a，b，c，d，e表示， ∴， ∴， ∴这5个数的和为（答案不唯一）； ②解：能，过程如下： 依题意，， 解得 则， ∴这5个数是15，17，22，23，24． 地 城 考点13 动点问题 一、解答题 1．（25-26七年级上·山东济宁·月考）已知数轴上有A，B两点，分别表示的数是，8，点A以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，点B以每秒2个单位长度向左匀速运动，设运动时间为． (1)点A运动后所在位置表示的数为 ；点B运动后所在位置表示的数为 ． (2)它们按上述方式运动，A，B两点经过多少秒会相遇，相遇点所表示的数是什么？ (3)它们按上述方式运动，A，B两点经过多少秒后相距2个单位长度？ 【答案】(1)；2 (2)A，B两点经过秒会相遇，相遇点所表示的数是 (3)4或 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，数轴上两点距离，数轴上动点问题，数形结合是解题的关键． （1）根据运动方向和数轴的方向，路程等于速度乘以时间，即可求得t秒后A，B点表示的数； （2）先求出A，B之间的距离，再根据相遇时两点表示的数相等，据此列出一元一次方程解方程求解即可，进而求得相遇点所表示的数； （3）分两种情况，列出一元一次方程，即可求解． 【详解】（1）解：∵A点表示的数是，点A以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动， ∴点A运动后所在位置表示的数为； ∵B点表示的数是8，点B以每秒2个单位长度向左匀速运动， ∴点B运动后所在位置表示的数为； 故答案为：；2 （2）解：∵A，B两点分别表示的数是，8， ∴A，B之间的距离为， 根据题意得：， 解得：， 此时相遇点所表示的数是； 即A，B两点经过秒会相遇，相遇点所表示的数是； （3）解：当两点相遇前相距2个单位长度时， ， 解得：； 当两点相遇后相距2个单位长度时，， 解得：； 综上所述，A，B两点经过4或秒后相距2个单位长度． 2．（25-26七年级上·新疆乌鲁木齐·期中）如图，点A、B在数轴上表示的数分别为和6，两只蚂蚁M、N分别从A、B两点同时出发，相向而行．M的速度为2个单位长度/秒，N的速度为3个单位长度/秒． (1)运动________秒钟时，两只蚂蚁相遇；相遇点在数轴上表示的数是________； (2)若运动t秒钟时，两只蚂蚁的距离为8，求出t的值（写出解题过程）． 【答案】(1)4； (2)或 【分析】本题考查了一元一次方程的应用以及数轴的应用，距离问题注意分类讨论． （1）利用两蚂蚁的速度表示出行驶的路程，进而得出等式求出即可； （2）分别利用在相遇之前距离为8和在相遇之后距离为8，求出即可． 【详解】（1）解：设运动x秒时，两只蚂蚁相遇，根据题意可得： ， 解得：， ． 即运动4秒钟时，两只蚂蚁相遇；相遇点在数轴上表示的数为， 故答案为：4；． （2）解：运动t秒钟，蚂蚁M向右移动了，蚂蚁N向左移动了， ∵点A、B在数轴上表示的数分别为和6， ∴A、B的距离为， 若在相遇之前距离为8，则 ， 解得：． 若在相遇之后距离为8，则 ， 解得：． 综上所述：t的值为或． 3．（25-26七年级上·内蒙古包头·期中）如图，在数轴上点表示数，点表示数，点表示数，是最小的正整数，且、满足． (1) ， ， ． (2)动点、同时从原点出发，点向负半轴运动，点向正半轴运动，点的速度是点速度的3倍，2秒钟后，点到达点． ①点的速度是每秒 个单位，此时，点与之间的距离为 ； ②若运动时间为秒，用含的代数式表示点表示的数为 ； ③点到达点后，改变方向，按原速度向负半轴方向运动，再经过几秒，点与点能相遇？ 【答案】(1)，1，6 (2)①3，8；②；③秒 【分析】（1）由绝对值非负性、平方非负性，结合非负数和为零的条件列方程求解即可得到答案； （2）①根据数轴上点的运动情况计算即可得到答案；②由题意直接求解即可得到答案；③根据题意，当点到达点时，点到达点，设再经过秒钟，点与点能相遇，由相遇问题列方程求解即可得到答案． 【详解】（1）解：，，且， ，， ，， 为最小的正整数， ， 故答案为：，1，6； （2）解：①点走过的路程为2，时间为2，， 速度为1个单位长度每秒， 点的速度是点的速度的3倍， 点的速度为3个单位长度每秒，此时点运动到点， 间距离为8个单位长度， 故答案为：3，8； ②动点从原点出发，向负半轴运动，速度为1个单位长度每秒，若运动时间为秒， 用含的代数式表示点表示的数为， 故答案为：； ③由题意可知，当点到达点时，点到达点， ， 设再经过秒钟，点与点能相遇， 则，解得， 再经过秒钟，点与点能相遇． 【点睛】本题考查数轴上动点综合问题，涉及绝对值非负性、平方非负性、非负数和为零的条件、数轴表示有理数、数轴上的动点问题、相遇问题等知识，掌握数轴上动点综合问题的解法是解决问题的关键． 4．（25-26七年级上·陕西咸阳·月考）某校开展丰富多彩的航天科技月活动，小航设计了一套电子设备，有两个电子蚂蚁P，Q在直线赛道上运动，电子蚂蚁P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度匀速运动，电子蚂蚁Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度匀速运动，且电子蚂蚁P，Q同时出发．小航在学习《有理数及其运算》之后，发现运用数形结合思想建立数轴可以较快地解决问题，如图，小航在数轴上设计A，B两点对应的数分别是，b，且点B在原点O的右侧，． (1) ____； (2)若电子蚂蚁P，Q同时出发，相向运动，经过几秒，电子蚂蚁P，Q间的距离为4个单位长度？ (3)若电子蚂蚁P，Q同时向右运动，同时又有一个电子蚂蚁C从原点O出发，以每秒5个单位长度的速度匀速向右运动，在运动过程中，是否存在某一时刻t，使得？若存在，请求出t的值，并求出电子蚂蚁C所表示的数；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)12 (2)4秒或秒 (3)的值为2或14，电子蚂蚁所表示的数为10或70． 【分析】（1）根据，可得，即可求解； （2）设经过秒，电子蚂蚁P，Q间的距离为4个单位长度，分两种情况：当电子蚂蚁P，Q未相遇时；当电子蚂蚁P，Q相遇后，列出方程，即可求解； （3）根据题意可得电子蚂蚁P，Q，C在数轴上表示的数分别是，分两种情况：当未追上时，当追上后，列出方程，即可求解． 【详解】（1）解：∵A点对应的数是， ∴， ∵， ∴， ∵点B在原点O的右侧， ∴点B对应的数是12，即； 故答案为：12 （2）解：设经过秒，电子蚂蚁P，Q间的距离为4个单位长度． 当电子蚂蚁P，Q未相遇时，， 解得； 当电子蚂蚁P，Q相遇后，， 解得． 所以经过4秒或秒，电子蚂蚁P，Q间的距离为4个单位长度． （3）解：存在 根据题意，得电子蚂蚁P，Q，C在数轴上表示的数分别是． 当未追上时，， 解得． 此时电子蚂蚁所表示的数为； 当追上后，， 解得． 此时电子蚂蚁所表示的数为． 综上所述，的值为2或14，电子蚂蚁所表示的数为10或70． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，数轴上的动点问题，两点间的距离，熟练掌握数轴上两点间的距离以及分类讨论的思想是解题的关键． 5．（21-22七年级上·湖北十堰·期末）【背景知识】数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合．研究数轴我们发现了许多重要的规律：若数轴上点、点表示的数分别为、，则，两点之间的距离，线段的中点表示的数为． 【问题情境】如图，数轴上点表示的数为，点表示的数为，点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时点从点出发，以每秒个单位长度的速度向左匀速运动．设运动时间为秒． 【综合运用】 (1)填空： ①、两点间的距离_______，线段的中点表示的数为_______； ②用含的代数式表示：秒后，点表示的数为_______；点表示的数为_______； (2)求当为何值时，； (3)若点为的中点，点为的中点，点在运动过程中，线段的长度是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请求出线段的长． 【答案】(1)①,；②， (2)或 (3)不发生变化，线段的长为 【分析】本题主要考查数轴上的动点问题，一元一次方程的应用，用含的代数式表示出点运动后表示的数是解题的关键． （1）①利用数轴上两点间的距离公式和线段的中点公式，即可求值；②根据点，的出发点、运动方向、运动速度及运动时间，即可用含的代数式得出点，表示的数； （2）先根据两点间的距离公式得出，进一步得，即可求出的值； （3）根据题意，先将点，点表示的数用含的代数式表示，再根据两点间的距离公式得出线段的长即可． 【详解】（1）解：①由题意得， ， 线段的中点表示的数为：． 故答案为：,； ②由题意得，秒后，点表示的数为：， 点表示的数为：． 故答案为：，． （2）解： 秒后，点表示的数为：，点表示的数为：， ． 又 ， ， 解得，或． 即当或时，． （3）解：不发生变化． 点为的中点，点为的中点， 点表示的数为：， 点表示的数为：， ． 答：线段的长度不发生变化，线段的长为． 6．（25-26七年级上·河北张家口·月考）如图1，电脑显示屏上画出了一条不完整的数轴，并标出了表示的点．小明同学设计了一个电脑程序：点，分别从点同时出发，每按一次键盘，点向右平移2个单位长度，点向左平移1个单位长度．例如，第一次按键后，屏幕显示点，的位置如图2． (1)第_____次按键后，点正好到达原点； (2)第6次按键后，点到达的点表示的数与点到达的点表示的数的乘积是多少？ (3)第次按键后，点与点到原点的距离相等，求的值． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】本题考查了数轴，列代数式，解一元一次方程的知识，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）根据题意可列式，即可求解． （2）根据题意可得第次按键后，点表示的数为，点表示的数为，令两数相乘即可． （3）由题意得可得点表示的数是，点表示的数是，令两数和为零求解即可． 【详解】（1）解：∵点为，点从点同时出发，每按一次键盘，点向右平移2个单位长度， ∴， ∴第次按键后，点正好到达原点， 故答案为：． （2）解：根据题意可得：第次按键后，点表示的数为，点表示的数为， ∵， ∴第6次按键后，点到达的点表示的数与点到达的点表示的数的乘积为； （3）解：由题意得，点表示的数是，点表示的数是， ∵点与点到原点的距离相等， ∴由题意知，两数互为相反数， ∴， 解得：． 7．（25-26七年级上·山东日照·月考）如图，数轴上点表示的数为，点表示的数为，且，满足．动点从点出发，以每秒8个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为秒． (1)写出数轴上点表示的数________，点表示的数是________，点表示的数是________（用含的式子表示）； (2)动点从点出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，点，同时出发，当点运动多少秒时，． 【答案】(1)，， (2)秒或秒 【分析】本题考查了一元一次方程的应用、数轴、列代数式、绝对值的非负性以及偶次方的非负性的知识，掌握以上知识是解答本题的关键； （1）利用偶次方及绝对值的非负性，可得出，，解之可得出，的值，利用点表示的数点表示的数点的运动速度点的运动时间，可用含的代数式表示出点表示的数； （2）当运动时间为秒时，点表示的数是，点表示的数是，根据，可列出关于的含绝对值符号的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∴，， ∴当运动时间为秒时，点表示的数是， 故答案为：，，； （2）解：当运动时间为秒时，点表示的数是，点表示的数是， ∵， ∴， 即或， 解得：或， 答：当点运动秒或秒时，． 8．（25-26七年级上·湖南岳阳·月考）已知数轴上点表示的数为，点表示的数为7，动点从点出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，设运动时间为秒（）． (1)当时，求点表示的数及线段的长度； (2)当点运动到线段的中点时，求的值； (3)当为何值时，点到点的距离与点到点的距离之差为4？ 【答案】(1)点表示的数为，； (2) (3)或 【分析】此题考查的是一元一次方程的应用与两点间的距离及数轴，根据已知得出各线段之间的等量关系是解题关键． （1）当运动时间为秒时，点在数轴上所表示的数为，由此得出点表示的数，由点表示的数减去点表示的数即可求出线段的长度； （2）当运动时间为秒时，点在数轴上所表示的数为，线段的中点表示的数是，可列出关于的一元一次方程，解之即可得出结论； （3）将点到点的距离与点到点的距离用含的代数式表示出来，列出关于的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】（1）解：点表示的数为， ． （2）中点表示的数为， ，解得 ． （3）当点在之间时， ，， 若， ，解得． 若， ，解得． 当点在点右侧时， 又， ∴此种情况不存在． 综上所述，或． 9．（25-26七年级上·河南周口·月考）已知数轴上点M表示的数为m，点N表示的数为n，且． (1)求m、n的值； (2)点P从点M出发，以每秒2个单位长度的速度向右运动，点Q从点N出发，以每秒1个单位长度的速度向左运动，设运动时间为t秒． ① 用含t的式子表示的长度； ② 当时，求t的值． 【答案】(1) (2)①；②或 【分析】本题考查了非负数的性质、数轴上的动点问题，解题的关键是利用绝对值与平方数的非负性求值，结合动点运动规律表示线段长度． （1）根据非负数的和为0则各非负数为0，列方程求、； （2）①表示运动后、的数，再求两点间距离； ②根据列方程求解． 【详解】（1）解：，，且， ，， 解得，． （2）①解：运动秒后，点表示的数为，点表示的数为， ． ②解：当时，， 即或， 解得或． 答：的值为或． 10．（25-26七年级上·辽宁葫芦岛·月考）【背景知识】 数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合，这种解决问题的思想叫做数形结合思想．已知，点A，B是数轴上不重合的两个点，且点A在点B的左边，点M是线段的中点．点A，B，M分别表示数a，b，x．请回答下列问题． 【特例感知】 （1）若，，则________，x表示的数为________； 【规律探究】 （2）如图，利用数轴思考探究，点A，B之间的距离表示为________，x表示的数为________________（用含a，b的式子表示）； 【拓展应用】 （3）若，，动点P、Q分别从A、B两点同时出发，沿数轴正方向运动．点P的速度是每秒2个单位长度，点Q的速度是每秒1个单位长度．E为的中点，F为的中点．求运动几秒后，点E和点F相距3个单位长度？ 【答案】（1）3，5；（2），；（3）运动12秒或24秒后，点E和点F距离3个单位长度 【分析】本题考查了数轴上两点间的距离，数轴上线段中点表示的数，解一元一次方程等知识． （1）先求出，根据中点定义得到，根据点在数轴上的位置求出x即可； （2）按照（1）求出，即可得到； （3）根据题意得出、表示的数，进而分①当点E在点F左侧时，②当点E在点F右侧时，根据点和点相距个单位长度，建立方程，解方程，即可求解． 【详解】解：（1），，点A，B分别表示数a，b， ， 点M是线段的中点． ， 表示数x． ， 故答案为：3，5； （2）由题意可知，，即点A，B之间的距离表示为， 点M是线段的中点． ， ，即x表示的数为； 故答案为：，； （3）由题意，运动t秒后，点P表示的数为，点Q表示的数为， 因为E是中点， 所以点E表示的数为， 因为F是中点， 所以点F表示的数为； ①当点E在点F左侧时，由E和F距离3个单位长度得， ，解得； ②当点E在点F右侧时，由E和F距离3个单位长度得， ，解得； 综上，运动12秒或24秒后，点E和点F距离3个单位长度． 地 城 提升训练 一、解答题 1．（25-26七年级上·河南周口·月考）一艘轮船航行在A、B两个码头之间，已知流水的速度，轮船顺水航行需用，逆水航行需用，求两个码头之间的距离． 【答案】A、B两码头之间的距离 【分析】此题考查了列一元一次方程解应用题，解题的关键是审题，找到题目中的数量关系．设船在静水中的速度为．根据顺水航行和逆水航行的速度关系，列出方程求解． 【详解】解：设船在静水中的速度为． 水流速度为，顺水航行时间为，逆水航行时间为， 顺水航行时，船速为，逆水航行时，船速为， 由于路程相同，得方程：， 解得：， 代入求路程：， 答：A、B两码头之间的距离． 2．（25-26七年级上·河南周口·月考）一套仪器由一个部件和三个部件构成．用立方米钢材可做个部件或个部件．现要用立方米钢材制作这种仪器，应用多少钢材做部件，多少钢材做部件，才能恰好配成整数套这种仪器？共配成多少套？ 【答案】立方米做部件，立方米做部件．共配成套 【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用（配套问题），熟练掌握“根据配套比例建立等量关系”是解题的关键． 设用立方米钢材做部件，立方米做部件，根据“部件数量是部件的倍”列方程求解． 【详解】解：设用立方米钢材做部件，则用立方米钢材做部件，由题意可得 ， 解得， ∴做部件的钢材为（立方米）， 配套套数：（套）， 答：用立方米做部件，立方米做部件．共配成套． 3．（25-26七年级上·河南周口·月考）某牛奶加工厂现有鲜奶8吨，若直接在市场上销售鲜奶，每吨可获利润500元；制成酸奶销售，每吨可获利润1200元；制成奶片销售，每吨可获利润2000元． 该厂的生产能力是：如制成酸奶，每天可加工3吨；制成奶片每天可加工1吨，受人员限制，两种加工不能同时进行，受气温条件限制，这批牛奶必须在4天内全部销售加工完毕．为此，该厂设计了两种可行方案： 方案1：尽可能多的制成奶片，其余直接销售鲜奶； 方案2：将一部分制成奶片，其余制成酸奶销售，并恰好4天加工完毕.你认为选择哪种方案获利较多？为什么？ 【答案】方案1：获利10000元；方案2：获利11200元．方案2获利最多． 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用．根据题意找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 方案一：根据制成奶片，每天可加工 ，求出天加工的吨数，剩下的直接销售鲜牛奶求出利润即可； 方案二：设生产天奶片，天酸奶，根据题意列出方程，求出方程的解得到的值，进而求出利润比较即可得到结果． 【详解】解：方案一：易知最多生产奶片，其余的直接销售鲜奶． 利润为（元）． 方案二：设生产天奶片，则生产天酸奶， 根据题意，得， 解得：， 利润为（元）， （元）， 所以第二种方案获利较多． 4．（25-26七年级上·江苏无锡·期末）【阅读】在数轴上，点对应的有理数为，点对应的有理数为，则以、为端点的线段的长度，以、为端点线段的中点对应数为． 【运用】如图，已知、、分别为数轴上的两点，点对应的数为，点对应的数为，点对应的数为，现有一动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向右运动；同时，另一动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向左运动，设运动时间为秒． (1)、两点间的距离______，线段的中点表示的数为______； (2)用含的代数式表示：点对应的数是______，点对应的是______，动点经过______秒时运动到点与点的中点处； (3)经过多少秒时，点与点之间的距离恰好是点与点之间距离的一半？ 【答案】(1)12； (2)；；1.2 (3)秒或秒 【分析】本题考查有理数与数轴，列代数式，一元一次方程的应用，熟练掌握两点间的距离公式，中点公式是解题的关键： （1）根据两个公式进行计算即可； （2）点的移动规律求出点所表示的数，再根据中点公式，求出动点经过的时间即可； （3）根据两点间的距离列出方程进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意，两点间的距离， 线段的中点表示的数为； 故答案为：，； （2）解：由题意，点表示的数为，点表示的数为， 由题意：， 解得； 故动点经过1.2秒时运动到点与点的中点处； （3）解：由（2）可知，，， ∴， 解得或， 答：经过或秒时，点 与点 之间的距离恰好是点 与点 之间距离的一半． 5．（23-24七年级上·浙江绍兴·开学考试）某市为了更好地利用水资源，制定了居民用水收费标准，如果一户每月用水量不超过立方米（含立方米）．每立方米按元收费；如果超过立方米，超过部分，则按每立方米元收费． (1)子豪家四月份用水立方米，应缴水费多少元？ (2)子豪家五月份共支付水费元，他家五月份用水量是多少立方米？ 【答案】(1)元 (2)立方米 【分析】本题考查了有理数的混合运算，一元一次方程的应用． （1）根据每月用水量不超过立方米（含立方米），每立方米按元收费；如果超过立方米，超过部分，则按每立方米元收费，进行计算即可； （2）由题意得，设子豪家五月份用水量为立方米，根据等量关系列出一元一次方程即可求解． 【详解】（1）解：四月份支付水费（元）， 答: 四月份支付水费为元． （2）∵用水量为立方米，则需支付水费（元）， ∵， ∴子豪家五月份超过15立方米．设子豪家五月份用水量为x立方米， 得 ∴． 答：子豪家五月份用水量是立方米． 6．（25-26七年级上·河南驻马店·月考）项目式学习 问题背景 确山县是中国著名的“提琴之乡”，以制作手工提琴而闻名，尤其是中高档小提琴．王林和李华所在的制作车间计划做一批小提琴，如果每人做8把，那么比计划多了12把；如果每人做5把，那么比计划少18把．该车间共有多少人？计划做多少把小提琴？ 思路 王林的方法： 李华的方法：． 探索 （1）在王林所列的方程中，未知数表示的意义是___________，在李华所列的方程中，未知数表示的意义是___________． 解答 （2）请分别用上述两种方法，将原题中的问题解答完整． 【答案】（1）该车间的人数，计划做小提琴的把数（2）该车间共有人，计划做把小提琴，解答过程见解析 【分析】本题考查一元一次方程的应用，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）结合题意，可知，在王林所列的方程中，未知数表示的意义是该车间的人数，和分别表示小提琴的数量；在李华所列的方程中，未知数表示的意义是计划做小提琴的把数和都表示人数． （2）解一元一次方程，并将方程的解代入相关式子求出另一个未知量即可． 【详解】解：（1）结合题意可知，在王林所列的方程中，未知数表示的意义是该车间的人数，在李华所列的方程中，未知数表示的意义是计划做小提琴的把数． 故答案为：该车间的人数，计划做小提琴的把数； （2）①王林的方法：， 解得：， （把）． 答：该车间共有人，计划做把小提琴； ②李华的方法：， 解得：， （人）． 答：该车间共有人，计划做把小提琴． 7．（25-26七年级上·河北张家口·月考）为营造节日氛围，各班集体购买发光头饰．姜经理看到商机，准备寻找进货渠道，他在甲、乙两个批发商处，发现了同款高端发光头饰，均标价元/个．甲说：“如果你在我这里买，一律九折”，乙说：“如果你在我这里买，超出个，则超出部分一律八折”（每次只能在一个批发商处进货）． (1)若需购买（）个发光头饰． ①去批发商甲处进货需要多少元？（用含的代数式表示） ②去批发商乙处进货需要多少元？（用含的代数式表示） (2)请问购进多少个发光头饰，去两个批发商处的进货总额相同； (3)姜经理第一次购进个发光头饰，正好全部售出．第二次购进的数量比第一次的倍还多个．两次均以最优惠的方式购进．求两次进货共需多少元？ 【答案】(1)①元；②元 (2)购进个发光头饰时，去两个批发商处的进货总额相同 (3)元 【分析】本题考查了一元一次方程，列代数式，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）分别按照甲和乙的方法列代数式即可． （2）根据题意可得当超过个时，进货总额有可能相同，令，求解即可． （3）由（2）可知，当购进发光头饰小于个时，去批发商甲处进货便宜；当购进发光头饰大于个时，去批发商乙处进货便宜；根据第二次购进的数量（个），，即第一次在甲批发商处进货，第二次在乙批发商处进货，分别计算，相加即可求解． 【详解】（1）解：①∵在甲这里买，一律九折， ∴购买个发光头饰需要：， 即去批发商甲处进货需要元， ②当时，， ∴去批发商乙处进货需元； （2）解：由题意可知，当购买发光头饰的个数不超过个时，在两个批发商处的进货总额不可能相同， 当超过个时，有可能相同． 设购进个发光头饰，去两个批发商处的进货总额相同， 根据题意得：， 解得：． ∴购进个发光头饰时，去两个批发商处的进货总额相同； （3）解：由（2）可知，当购进发光头饰小于个时，去批发商甲处进货便宜， 当购进发光发饰大于个时，去批发商乙处进货便宜， ∵第二次购进的数量（个），， ∴第一次在甲批发商处进货，第二次在乙批发商处进货． 即（元）， ∴两次进货共需要元． 8．（25-26八年级上·山西运城·月考）2025年暑期电影市场火热，某影院播放的A，B两部电影热度较高．已知电影的票价比电影的票价便宜20元，按售价购买3张电影票和2张电影票共需540元．求电影和电影的票价分别为多少元． 【答案】A电影票价为100元，B电影票价为120元 【分析】本题考查一元一次方程的应用． 根据题意设A电影票价为x元，则B电影票价为元，根据购买3张A电影票和2张B电影票的总费用列方程求解． 【详解】解：设A电影的票价为x元，则B电影的票价为元． 根据题意，得， 去括号，得， 合并同类项，得， 移项，得， 系数化为1，得， 则． 答：A电影的票价为100元，B电影的票价为120元． 9．（25-26七年级上·陕西西安·月考）2025年11月19日，我国在酒泉卫星发射中心使用长征二号丙运载火箭，成功将实践三十号A，B，C星发射升空．随着航空航天的发展，航空航天模型也受到大家的喜爱，某车间生产航空航天模型，车间内共有25名工人，车间内每名工人每天可以生产60个A部件或80个B部件，1个A部件和2个B部件组成一个模型，为使每天生产的A部件和B部件刚好配套组成模型，应该安排生产A部件和B部件的工人各多少名？ 【答案】 安排生产A部件的工人10名，生产B部件的工人15名。 【分析】本题考查了一元一次方程的实际应用（配套问题），解题的关键是根据“1个A部件配2个B部件”的配套关系，建立B部件数量是A部件数量2倍的等量关系． 设生产A部件的工人数，用总人数表示生产B部件的工人数；分别表示出A、B部件的日产量，根据配套关系列方程求解． 【详解】解：设安排生产部件的工人为名，则生产部件的工人为名． 每日生产部件个，生产部件个． 由配套关系得：， ， ， ∴． 则． 答：应安排生产部件的工人10名，生产部件的工人15名． 10．（25-26七年级上·山东济宁·月考）根据张鑫与李亮的对话，列方程解答． (1)如果张鑫没有办会员卡，他买书需要付多少钱？ (2)买多少元的书，办卡与不办卡花费相同？ 买多少元的书，不办卡更便宜？买多少元的书，办卡更便宜？ 【答案】(1)他买书需要付160元 (2)买100元的书，办卡与不办卡花费相同；买少于100元的书，不办卡更便宜；买多于100元的书，办卡更便宜 【分析】本题考查了一元一次方程的实际应用，解题的关键是根据“办卡花费 8折书费 原价书费 节省费用”列方程，以及通过比较办卡与不办卡的花费确定费用相同的临界点． （1）设不办卡买书需付的钱为未知数，根据办卡后的花费与节省的费用列方程求解； （2）设书的价格为未知数，根据办卡与不办卡花费相同列方程求临界点，再通过比较不等式确定不同区间的划算方式． 【详解】（1）解：设张鑫没办会员卡买书需要付元． 由题意得：， ， ， ． 答：他买书需要付160元． （2）解：设买元的书，办卡与不办卡花费相同． 由题意得：， ， ， 当时，，不办卡更便宜； 当时，，办卡更便宜． 答：买100元的书，办卡与不办卡花费相同；买少于100元的书，不办卡更便宜；买多于100元的书，办卡更便宜． 11．（25-26七年级上·全国·课后作业）为鼓励居民节约用电，某市实行每月阶梯电价收费制度，具体执行方案如下： 档次 每户每月用电量/（千瓦·时） 执行电价/[元/（千瓦·时）] 第一档 小于或等于240 0.5 第二档 大于240且小于或等于400时，超出240的部分 0.6 第三档 大于400时，超出400的部分 0.8 某户居民6月、7月共用电520千瓦·时，用电费用为268元．已知该用户7月的用电量大于6月的用电量，且6月、7月的用电量均小于400千瓦·时．那么该用户6月、7月的用电量分别是多少千瓦·时？ 【答案】6月用电200千瓦·时，7月用电320千瓦·时 【分析】本题考查一元一次方程的应用，由题意，6月份在第一档消费，7月份在第二档消费．设6月份用电x千瓦·时，则7月份用电千瓦·时．构建方程求解． 【详解】解：∵已知6、7月总用电量520千瓦·时，7月用电量月，且两月用电量均千瓦·时， ∴6月用电量千瓦·时（因为），7月用电量千瓦·时， 设6月份用电x千瓦·时，则7月份用电千瓦·时． ①当时，根据题意得： ， 解得， 则7月份用电量：（千瓦·时）． ②当时，根据题意得： ， 整理后得：（不合题意，此情况不成立） 答：该用户6月份用电200千瓦·时，则7月份用电320千瓦·时． 12．（25-26七年级上·山西大同·月考）山西是我国矿产资源极为丰富的省份之一，素有“煤铝铁之乡”的美誉．某炼钢厂使用甲、乙两种铁矿石提炼钢铁．已知每吨甲种铁矿石提炼出铁的质量比每吨乙种铁矿石提炼出铁的质量多，从甲种铁矿石中提炼出铁的质量与从乙种铁矿石中提炼出铁的质量相同，求甲、乙两种铁矿石每吨各能提炼出铁多少吨． 【答案】每吨甲种铁矿石能提炼出铁，每吨乙种铁矿石能提炼出铁 【分析】本题考查了一元一次方程与实际问题，关键是弄清题意，找到题目中的相等关系； 根据从甲种铁矿石中提炼出铁的质量与从乙种铁矿石中提炼出铁的质量相同来列方程即可． 【详解】解：设每吨甲种铁矿石能提炼出铁，则每吨乙种铁矿石能提炼出铁． 根据从甲种铁矿石中提炼出铁的质量与从乙种铁矿石中提炼出铁的质量相同， 列得方程． 去括号，得． 移项及合并同类项，得． 系数化为1，得． ． 答：每吨甲种铁矿石能提炼出铁，每吨乙种铁矿石能提炼出铁． 13．（25-26七年级上·河北廊坊·月考）牧童分杏各争竞，不知人数不知杏．三人五个多十枚，四人八枚两个剩．问：有几个牧童几个杏？（选自《算法统宗》）．题目大意：牧童们要分一堆杏，不知道人数也不知道有多少个杏．若3人一组，每组5个杏，则多10个杏；若4人一组，每组8个杏，则多2个杏．求有几个牧童？几个杏？ 【答案】有24个牧童，50个杏． 【分析】本题考查一元一次方程的应用，掌握知识点是解题的关键． 设牧童有人，根据两种分法中杏的总数不变这一等量，列出一元一次方程，求出x的值，即可解答． 【详解】解：设牧童有人，根据题意，得 ， 解得， 所以． 答：有24个牧童，50个杏． 14．（25-26七年级上·重庆南川·期中）在某校组织的科技节活动中，需要制作一批科技小作品，准备购买A零件、B零件和C零件共500个（每种零件都要有），其中B零件的单价比A零件的单价贵0.6元，买4个A零件和2个B零件共需要6元． (1)A零件和B零件的单价分别是多少元？ (2)若要求购买C零件的数量是A零件的3倍，A零件和B零件的单价不变，其中C零件的单价为元，在总数量不变的前提之下，无论符合该条件的这三种零件的数量如何分配，总费用始终不变，求此时m的值和总费用． 【答案】(1)A零件单价0.8元，B零件单价1.4元 (2)，总费用700元 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，整式加减中的无关型问题，理解题意设未知数建立方程解答是解题的关键． （1）设A零件单价为x元，则B零件单价为元，根据“买4个A零件和2个B零件共需要6元”列出方程，即可解答； （2）设A零件数量为a个，则C零件数量为个，B零件数量为个，从而得到总费用的代数式，根据总费用始终不变，即a的系数为0，即可解答． 【详解】（1）解：设A零件单价为x元，则B零件单价为元， 根据题意得，， 解得， （元）， 答：A零件单价0.8元，B零件单价1.4元． （2）解：设A零件数量为a个，则C零件数量为个，B零件数量为个， 总费用为：， 由于总费用始终不变，即a的系数为0， ∴， 解得， 此时总费用始终为700元， 答：此时m的值为1.6，总费用为700． 15．（25-26七年级上·黑龙江绥化·月考）某超市为清库存，以每件96元的价格销售甲、乙两种商品．已知销售一件甲商品盈利16元，销售一件乙商品亏损24元． (1)甲商品每件进价为 元，乙商品每件进价为 元； (2)若超市同时购进甲、乙两种商品共84件，总进价为7600元，则购进甲、乙两种商品各多少件？ (3)在元旦期间，超市所有商品有优惠促销活动，方案如下： ①购买商品不超过400元，不优惠； ②购买商品超过400元，但不超过800元，按照售价九折优惠； ③购买商品超过800元时，按照售价的八折优惠； 按照以上优惠条件，若小明一次性购买乙商品实际付款691.2元，则小明此次购买了多少件乙商品？ 【答案】(1)80，120 (2)购进甲种商品62件，购进乙种商品22件 (3)小明此次购买了8件或9件乙商品 【分析】本题主要考查一元一次方程的应用，解题的关键是理解题意； （1）根据售价为96元及“销售一件甲商品盈利16元，销售一件乙商品亏损24元”可进行求解； （2）设购进甲种商品x件，则购进乙种商品件，根据题意得：，然后进行求解即可； （3）设小明此次购买了m件，由题意可分①若购买商品超过400元，但不超过800元，②若购买商品超过800元，进而分类列出方程进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意得：甲商品每件进价为（元），乙商品每件进价为（元）； 故答案为80，120； （2）解：设购进甲种商品x件，则购进乙种商品件， 根据题意得：， 解得， 所以， 答：购进甲种商品62件，购进乙种商品22件． （3）解：设小明此次购买了m件， 显然购买乙商品超过了400元； ①若购买商品超过400元，但不超过800元， 由题意可得：， 解得； ②若购买商品超过800元， 由题意得：， 解得：； 答：小明此次购买了8件或9件乙商品． 16．（25-26七年级上·湖南怀化·期中）一个无盖的长方体盒子的展开图如图所示． (1)该盒子的底面的长为 （用含的式子表示）． (2)若①，②，③，④四个面上分别标有整式，，，4，且该盒子的相对两个面上的整式的和相等，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了长方体的展开图，一元一次方程的应用，从实物出发，结合具体的问题，辨析几何体的展开图，通过结合立体图形与平面图形的转化，建立空间观念是解决此类问题的关键． （1）依据无盖的长方体盒子的高为，底面的宽为，即可得到底面的长； （2）根据该盒子的相对两个面上的整式的和相等，列方程求解即可． 【详解】（1）解：由题可得，无盖的长方体盒子的高为a，底面的宽为， ∴底面的长为， 故答案为：； （2）由展开图可知，①与③相对，②与④相对， ∵①，②，③，④四个面上分别标有整式，x，，4，且该盒子的相对两个面上的整式的和相等， ∴， 解得． 17．（25-26七年级上·江苏南通·期中）冰糖葫芦是我国传统小吃，起源于宋代，一般是用竹签穿上山楂，再蘸上融化的冰糖液制作而成．一串冰糖葫芦山楂的个数一般是5-10个，这个数量是有寓意的，串5个代表五福临门，6个代表六六大顺，7个代表七星高照，8个代表八方来财，9个代表九九同心，10个代表十全十美． (1)若每根竹签穿5个山楂，穿n串冰糖葫芦需要 个山楂，需要的山楂总数与冰糖葫芦的串数n成 比例关系； (2)若有m盘山楂，每盘40个，按每串冰糖葫芦的山楂个数相等的规定，穿了a串冰糖葫芦后，还剩余c个山楂．那么每串冰糖葫芦的山楂个数为 （用含m，a，c的代数式表示）； (3)若用100个山楂恰好制成代表五福临门的A款和代表六六大顺的B款共18串，其中A款每串卖9元，B款每串卖10元，且全部卖完．共卖出多少元？ 【答案】(1)；正 (2) (3)共卖出元 【分析】本题考查了正比例关系、代数式表示及鸡兔同笼问题，解题的关键是根据数量关系列表达式或方程． （1） 用每串山楂数乘串数得总数，根据正比例定义判断关系； （2） 先求用去的山楂数，再除以串数得每串个数； （3） 设未知数，根据山楂总数列方程求串数，再计算总销售额． 【详解】（1）解：每串穿5个，串需要个山楂； 山楂总数与串数的比值为定值5，故成正比例关系． 故答案为：；正． （2）解：总山楂数为，用去的山楂数为， 每串山楂个数为 故答案为： （3）解：设A款有串，则B款有串， 由题意得，，， B款串数为， 总销售额为元． 答：共卖出元． 18．（25-26七年级上·江苏南通·期中） 在甲处劳动的有27人，在乙处劳动的有19人，现在另调17人去支援，使在甲处的人数为在乙处的人数的2倍，应调往甲、乙两处各多少人？ 【答案】调往甲处15人，调往乙处2人 【分析】本题考查了一元一次方程的实际应用，解题的关键是根据“甲处人数为乙处人数的2倍”建立等量关系． 设调往甲处的人数，用总支援人数表示调往乙处的人数；根据支援后甲、乙处人数的倍数关系列方程，求解即可． 【详解】解：设调往甲处人，则调往乙处人． 根据题意，得 ∴ 则． 答：应调往甲处15人，调往乙处2人． 19．（25-26七年级上·吉林长春·期中）某游泳馆每次游泳费用是20元，为招揽顾客特推出两种优惠方案， 方案一：办理会员卡费用是200元，可免费游泳5次，免费次数用完以后，每次凭会员卡只需10元/次； 方案二：不办理会员卡，每次费用打8折； (1)分别写出方案一和方案二花费钱数与次数之间的关系式； (2)小明今年预计去游泳45次，哪种方案更合算？ (3)小颖计划今年在游泳上花费480元，她选择哪种方案能去的次数多？ 【答案】(1)方案一： ；方案二： (2)方案一合算 (3)方案一能去的次数多 【分析】本题考查代数式，代数式求值，一元一次方程的应用，正确理解题意是解题的关键： （1）根据题意分别列出关系式即可； （2）将代入求出，再进行比较即可得出答案； （3）利用一元一次方程分别求出两种方案的次数，再比较即可得出答案． 【详解】（1）解：方案一：； 方案二：； （2）解：当时， 方案一：； 方案二：， ； 方案一合算； （3）解：， ； ， ； ， 方案一能去的次数多． 20．（25-26七年级上·河北沧州·期中）如下图是某年某月的月历，用如图所示的“凹”字型在月历中任意圈出5个数，设“凹”字型框中的五个数分别为． (1)若，则___________，___________； 若，则___________（用含的式子表示）； (2)在移动“凹”字型框的过程中，小胖说被框住的5个数字之和可能为116，你同意他的说法吗？请说明理由； (3)若另一个“凹”字型框框住的五个数分别为，且，则___________． 【答案】(1)9，16， (2)不同意，理由见解析 (3)14 【分析】本题考查了一元一次方程与日历问题，整式加减无关型的问题，列代数式，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据月历，找出各数之间的数量关系求解即可； （2）根据各数之间的关系，列出方程然后求解，最后进行比较即可； （3）根据各数之间的关系表示出，然后整理整式即可． 【详解】（1）解：根据题意得， 若，则 ， ； 若，则 ； 故答案为：9，16，； （2）解：不同意，理由如下： 根据题意得，， 解得， 26位于月历的最右边，与的位置不符， ∴5个数字之和不可能为116； （3）解：根据题意得， ∵， ∴， ∵， ∴． 故答案为：14． 21．（25-26七年级上·陕西榆林·月考）在繁忙的都市生活中，地铁作为城市交通的重要组成部分，承载着无数人的日常出行需求．某线路地铁进行修建，修建后产生的建筑垃圾需要清理．现计划租用甲、乙两车队清理建筑垃圾，已知甲车队单独运完需要9天，乙车队单独运完需要12天．乙车队先运了5天，然后甲、乙两车队共同合作运完剩下的垃圾．（列方程解决下列问题） (1)甲、乙两车队共同合作了多少天？ (2)已知甲车队每天的租金比乙车队多80元，运完垃圾后需支付甲、乙两车队租金共5740元，求乙车队每天的租金． 【答案】(1)甲、乙两车队共同合作了3天 (2)乙车队每天的租金是500元 【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，根据题意找出等量关系并列出方程是解题关键； （1）根据题意首先可以得知甲车效率为每天运送，乙车效率为每天运送，据此设甲、乙两车合作还需要天运完垃圾，然后进一步列出方程求解即可； （2）设乙车每天租金为y元，则甲车每天租金为元，据此根据“共需支付租金5740元”列出方程求解即可.； 【详解】（1）解：设甲、乙两车队共同合作了天， 由题意可得：， 解得：． 答：甲、乙两车队共同合作了3天． （2）解：设乙车队每天的租金是元，则甲车队每天的租金是元，由题意可得： ， 解得：． 答：乙车队每天的租金是500元． 22．（25-26七年级上·天津·月考）根据以下素材，探索未完成的任务． 水费、用水量是多少？ 素材1 为增强公民节水意识，合理利用水资源，我市2024年采用“阶梯收费”． 素材2 第一阶梯（用水量14吨）：水费为4元/吨，其中自来水为3元/吨，污水处理费为1元/吨． 第二阶梯（14吨用水量21吨）：超出14吨的部分，水费为6元/吨，其中自来水为5元/吨，污水处理费为1元/吨． 第三阶梯（用水量21吨）：超出21吨的部分，水费为11元/吨，其中自来水为10元/吨，污水处理费为1元/吨． 素材3 如某用户2024年2月份用水15吨，则各种费用如下： 自来水费 （元） 污水处理费 （元） 水费 （元） 问题解决 任务1 确定污水处理费 已知某用户2024年12月份所缴水费中，自来水费为67元，求该用户12月份需缴污水处理费多少元？ 任务2 确定水费 某用户2024年11月用水a吨，则应缴水费多少元？ 任务3 确定用水量 如果该用户2024年5、6月份共用水42吨（6月份用水量超过5月份用水量），共缴水费210元，则该用户5、6月份各用水多少吨？ 【答案】任务1：19元；任务2：元；任务3：5月份用水18.2吨，6月份用水23.8吨 【分析】本题考查了一元一次方程的应用以及列代数式，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 任务1：设该用户12月份的用水量为x吨，则该用户12月份需缴污水处理费x元，根据该用户2024年12月份所缴水费中自来水费为67元，可列出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论； 任务2：利用总价单价数量，结合该市“阶梯收费”的标准，即可用含a的代数式表示出应缴水费； 任务3：设该用户5月份的用水量为y吨，则该用户6月份的用水量为吨，根据该用户2024年5、6月份共缴水费210元，可列出关于y的一元一次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 【详解】解：任务1：设该用户12月份的用水量为x吨，则该用户12月份需缴污水处理费x元， ∵（元），（元），， ∴， 根据题意得：， 解得：， 答：该用户12月份需缴污水处理费19元； 任务2：根据题意得：当时，应缴水费元； 当时，应缴水费元； 当时，应缴水费元． 答：应缴水费为元； 任务3：设该用户5月份的用水量为y吨，则该用户6月份的用水量为吨， 当时，， 解得：（不符合题意，舍去）； 当时，， 解得：， ∴（吨）． 答：该用户5月份用水18.2吨，6月份用水23.8吨． 23．（25-26七年级上·陕西咸阳·月考）在以“六个统筹”谱写“十五五”体育强国建设新篇章的政策指引下，大众健身热情持续高涨，体育用品需求稳步提升．体育用品商店精准把握市场需求，用7800元购进篮球和排球共170个，以满足广大健身爱好者的需求．篮球、排球的进价和售价如下表所示． 篮球 排球 进价（元/个） 60 40 售价（元/个） 100 60 (1)体育用品商店购进篮球和排球各多少个？ (2)某校计划举办校园体育节，准备到该体育用品商店购买篮球和排球共22个，且排球的购买数量大于篮球购买数量的，该体育用品商店给出两种优惠方案： 方案一：两种球的售价都打8折； 方案二：每购买2个篮球，赠送1个排球． 学校根据购买清单发现两种方案的购买总价是一样的．求学校准备购买篮球和排球各多少个． 【答案】(1)购进50个篮球，120个排球 (2)购买12个篮球，10个排球 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，理解题意，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解此题的关键． （1）设体育用品商店购进x个篮球，则购进个排球，根据题意列方程即可； （2）设学校准备购买m个篮球，则购买个排球，根据两种方案的购买总价是一样的列方程求解即可． 【详解】（1）解：设体育用品商店购进x个篮球，则购进个排球， 根据题意，得， 解得， ， 答：体育用品商店购进50个篮球，120个排球； （2）解：设学校准备购买m个篮球，则购买个排球， 根据题意，得， 解得， ， 符合题意， 答：学校准备购买12个篮球，10个排球． 24．（25-26七年级上·黑龙江哈尔滨·月考）如图，在数轴上，表示原点，、表示的数是方程的解，其中点在点右侧． (1)若点与、的距离相等，则点表示的数是_______； (2)动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向右运动，同时动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向右运动，设点、点运动时间为秒，求为何值时，、间的距离为个单位长度； (3)在（2）的条件下，在、开始运动时，同时动点从原点出发以每秒个单位长度的速度沿数轴向右运动，求当为何值时，点与点、的距离相等，并直接写出此时点所表示的数． 【答案】(1) (2) (3)，表示的数为或，表示的数为 【分析】本题主要考查了数轴上两点之间的距离，用数轴上的点表示有理数，一元一次方程的应用，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解题的关键． （1）先算出、表示的数，再利用数轴上两点的中点公式即可得出答案； （2）根据数轴上两点之间的距离公式，结合题意列方程即可； （3）根据数轴上两点之间的距离公式，结合题意分两种情况列方程即可． 【详解】（1）解： ， 或． 又 、表示的数是方程的解，其中点在点右侧， 点表示的数为，点表示的数为． 点与、的距离相等， 点表示的数为：． 故答案为：． （2）解：由题意得， 运动后点表示的数为：，运动后点表示的数为：， ， 即， 解得，或（不符合题意，舍去）， 即当时，、间的距离为个单位长度． （3）解：由题意得，运动后点表示的数为：． 点与点、的距离相等， ， 即， 分两种情况： 当时， 解得，， 此时，点表示的数为：； 当时， 解得，， 此时，点表示的数为：． 综上，，表示的数为或，表示的数为． 25．（25-26七年级上·山东济宁·月考）某车间有技工86人，平均每人每天能生产甲种零件16个或乙种零件10个，已知每2个甲种零件和3个乙种零件配成一套． (1)如何分配恰当的人数生产甲或乙种零件，使得每天生产的配套零件最多？ (2)最多生产多少套零件？ 【答案】(1)生产甲种零件的人数为25人，生产乙种零件的人数为61人或生产甲种零件的人数为26人，生产乙种零件的人数为60人时，每天生产的配套零件最多 (2)最多生产200套零件 【分析】本题主要考查一次方程的实际应用，明确当个数相等时每天生产的配套零件最多这个前提是解题的关键． （1）首先利用未知数表示出生产甲、乙零件的人数和每天生产的甲、乙零件的个数，再利用已知条件的每2个甲种零件和3个乙种零件配成一套，列出每天生产的配套零件的个数，再利用两种零件配套个数相等时存在最大配套个数求解方程即可，但是要注意尽量选取最优解； （2）利用（1）中求解出的人数计算最大的配套个数即可． 【详解】（1）解：设生产甲种零件的人数为x人，则生产乙种零件的人数为人， 所以每天生产的甲种零件为个，乙种零件为个， 因为每2个甲种零件和3个乙种零件配成一套， 所以，解得：， 所以或 当时，人；当时，人； 所以生产甲种零件的人数为25人，生产乙种零件的人数为61人或生产甲种零件的人数为26人，生产乙种零件的人数为60人时，每天生产的配套零件最多； （2）解：当时，，， 所以此时配套零件最多200套； 当时，，， 所以此时配套零件最多200套； 所以生产配套零件最多200套． 26．（25-26七年级上·湖南长沙·月考）如图，数轴上三个点A，B，C表示的数分别为a，b，c，其中a，c满足，点B在A、C之间，且．数轴上的两个动点P，Q分别从A，C两点同时出发向右运动，点P速度为3单位长度/秒，点Q速度为1单位长度/秒． (1)直接写出 (2)若当运动时间为t秒时，线段的中点M与线段的中点N的距离为2，请求出t的值； (3)若点D从原点出发以2单位长度/秒的速度向右运动，且与P、Q两点同时出发．当点P追上点D 后立即以原速返回A点，当点P回到A点时三点都立即停止运动．在点P返回的过程中，存在常数k，使得运动时间t在某个时间段内为定值，请求出这个时间段和k的值． 【答案】(1)；；5 (2)5或9 (3)当时，；当时， 【分析】本题主要考查了非负数的性质，数轴上的动点问题，一元一次方程的应用，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． （1）根据非负数的性质可求出a、c的值，根据结合数轴上两点距离计算公式可建立关于b的方程，解方程即可得到答案； （2）求出运动t秒时点P表示的数和点Q表示的数，进而求出点M和点N表示的数，根据点M和点N的距离为2建立方程求解即可； （3）列方程求出点P追上点D的时间，进而求出点P从出发到回到点A的时间，表示出点P返回途中表示的数，进而表示出，根据为定值，即的值与t无关进行求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴ ∴， ∴， ∵点B在A、C之间，且， ∴， 解得； （2）解：由题意得，运动t秒时，点P表示的数为，点Q表示的数为， ∵点M为的中点，点N为的中点， ∴点M表示的数为，点N表示的数为， ∵点M和点N的距离为2， ∴， ∴， ∴或， 解得或； （3）解：运动秒时，点P追上点D， 由题意得，， 解得， ∴运动16秒时，点P追上点D，此时点P表示的数为， ∴在点P返回的过程中，点P表示的数为，且点P从出发到回到点A的时间为秒， ∴，， 当，即时，， ∴ ， ∵为定值，即的值与t无关， ∴， ∴， ∴当时，； 当，即时，， ∴ ， ∵为定值，即的值与t无关， ∴， ∴， ∴当时，； 综上所述，当时，；当时，． 27．（24-25七年级下·新疆克拉玛依·期末）克拉玛依市准噶尔商场经销的两种商品，种商品每件售价60元，利润为20元；种商品每件进价50元，售价80元．（利润=售价-进价，利润率） 打折前一次性购物总金额 优惠措施 少于等于450元 不优惠 超过450元，但不超过600元 按总售价打九折 超过600元 其中600元部分八折优惠，超过600元的部分打七折优惠 (1)种商品每件进价为___________元，每件种商品利润率为___________； (2)若准噶尔商场同时购进两种商品共50件，恰好总进价为2100元，求购进种商品多少件？ (3)在“元旦”期间，准噶尔商场对两种商品进行如下的优惠促销活动：按上述优惠条件，若小华一次性购买商品实际付款522元，求小华在该商场打折前一次性购物总金额？ 【答案】(1)40； (2)种商品40件 (3)580元或660元 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是： （1）设A种商品每件进价为a元，利用利润=售价-进价，即可得出关于a的一元一次方程，解之即可求出A种商品每件的进价，再利用利润率利润进价，即可求出每件B种商品利润率； （2）设购进种商品件，则购进种商品件，由题意得，再解方程即可； （3）设若没有优惠促销，小华在该商场购买同样商品要付x元，分及两种情况考虑，根据该商场给出的优惠条件及小华一次性购买A，B商品实际付款元，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】（1）解：设A种商品每件进价为a元， 依题意得：， 解得：， ∴A种商品每件进价为40元， 每件B种商品利润率为． 故答案为：40；． （2）设购进种商品件，则购进种商品件， 由题意得， 解得：． 即购进种商品件，种商品件． （3）设小华打折前应付款元． 当打折前购物金额超过450元，但不超过600元，即， 由题意得，解得， 当打折前购物金额超过600元，即， ， 解得：． 综上，小华在该商场购买同样商品要付元或元． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 第五章 一元一次方程之一元一次方程的应用 考点01 数字问题 ………………………………………………………………………………………… 1 考点02 积分问题 ………………………………………………………………………………………… 3 考点03 和差倍分问题 …………………………………………………………………………………… 5 考点04 古代问题 ………………………………………………………………………………………… 7 考点05 工程问题 ………………………………………………………………………………………… 9 考点06 配套问题 ………………………………………………………………………………………… 11 考点07 收费问题 ………………………………………………………………………………………… 13 考点08 行程问题 ………………………………………………………………………………………… 17 考点09 几何问题 ………………………………………………………………………………………… 21 考点10 方案问题 ………………………………………………………………………………………… 22 考点11 营销问题 ………………………………………………………………………………………… 26 考点12 日历问题 ………………………………………………………………………………………… 30 考点13 动点问题 ………………………………………………………………………………………… 32 提升训练 …………………………………………………………………………………………………… 37 地 城 考点01 数字问题 一、解答题 1．（25-26七年级上·全国·课后作业）三个数的比是，并且它们的和是84，求这三个数中最大的数． 2．（25-26七年级上·全国·课后作业）一个数的倍与这个数的的和等于，求这个数． 3．（25-26七年级上·全国·课后作业）有五个连续的整数，设其中最小的数为n． (1)请写出这五个数的和． (2)这五个数各是什么数时，它们的和等于300？ 4．（25-26七年级上·广东广州·期中）观察下面三行数： ，4，，16，， ，5，，17，， ，8，，32，． (1)第一行的第7个数为________； (2)取每一行的第个数（为正整数），这三个数的和能否是？若能，求出的值；若不能，请说明理由． 5．（25-26七年级上·福建厦门·期中）幻方的历史很悠久，传说中最早出现在夏禹时代的“洛书”，用今天的数学符号翻译出来，就是一个三阶幻方，即将若干个数组成一个正方形数阵，任意一行、一列及对角线上的数字之和都相等．如图1，就是一个三阶幻方，由1，2，3，4，5，6，7，8，9九个数字组成的一个三行三列的矩阵（如图），其对角线、横行、纵向的和都为15． (1)请你选取一组数据构造一个三阶幻方，填入到如图2的方格中，使得每行、每列、每条对角线上的三个数之和都等于21； (2)数阵是由幻方演化出来的另一种数字图．将连续的奇数排列成数阵（如图3），回答以下两个问题： ①在图3的数阵中，位于第行的中间的数是_____（填空，要化简结果） ②用十字框随机框出图3的数阵里的5个数，十字框中的五数之和能等于650吗？若能，写出这5个数；如不能，请说明理由． 地 城 考点02 积分问题 一、解答题 1．（25-26七年级上·全国·课后作业）李明是学校的篮球小明星，一场篮球比赛中，他一人得了21分．如果他只投进了2分球和3分球，且投进的2分球比3分球多3个，那么他投进了多少个2分球？多少个3分球？ 2．（25-26七年级上·全国·课后作业）某小区组织了篮球比赛，比赛分初赛阶段和决赛阶段．在初赛阶段中，每队有10场比赛，每场比赛都要分出胜负．积分规则如下：胜1场积2分，负1场积1分，积分超过15分才能获得决赛资格． (1)若甲队在初赛阶段获得4场胜利，问：甲队是否有资格参加决赛？请说明理由， (2)已知乙队在初赛阶段的积分为18分，求乙队在初赛阶段胜、负的场数． 3．（25-26七年级上·全国·课后作业）某足球协会举办了一次足球比赛，其中得分规则及奖励方案如下表： 规则 胜一场 平一场 负一场 积分/分 3 1 0 人均奖金/元 1500 700 0 当队比赛完12场时，共积20分，并且没有负场． (1)队胜、平各几场？ (2)每赛1场，队每名队员均获得出场费500元，那么比赛完12场后，队的每名队员所得奖金与出场费共多少元？ 4．（25-26七年级上·陕西西安·月考）12月4日为全国法制宣传日．某中学组织学生参加法制知识竞赛，共设30道题，答对一道题得4分，不答或答错一道题扣2分．若小明答对了x道题． (1)小明的得分是________分；（用含x的代数式表示） (2)小明考完后说：“这次竞赛我一定能拿到100分．”请通过计算说明小明有没有可能拿到100分？ 5．（24-25七年级上·全国·期末）为响应河南省“2024全民阅读”系列活动，某校开展“书香校园”文学阅读与知识竞赛活动．知识竞赛为百分制，共设20道选择题，各题分值相同，每题必答． A，B，C三位参赛者得分情况如下表所示，求参赛者C答对的题数． 参赛者 答对题数 答错题数 得分 A 20 0 100 B 19 1 94 C 58 地 城 考点03 和差倍分问题 一、解答题 1．（25-26七年级上·广东汕头·月考）工业园区某机械厂的一个车间主要负责生产螺丝和螺母，该车间有工人人，其中女工人人数比男工人人数的倍少人，问该车间有男工人、女工人各多少人？ 2．（25-26七年级上·河南周口·月考）某工厂第一车间有工人180人，第二车间有工人120人，从第一车间调多少人到第二车间后，两个车间的工人数相等？ 3．（25-26七年级上·全国·课后作业）某钢厂预计今年的钢产量为230万吨，比去年减少．那么去年的钢产量是多少万吨？（结果保留两位小数） 4．（25-26七年级上·江苏常州·月考）元旦将至，学校组织学生进行元旦文艺汇演的节目排练，其中大合唱《大中华》节目中，七年级人数占该节目人数的一半，如果再增加6名七年级学生，那么七年级人数就占该节目总人数的，求大合唱《大中华》节目中原来七年级的表演人数． 5．（25-26六年级上·上海闵行·月考）已知某数的等于与的和的倒数，那么这个数是多少？ 6．（23-24七年级上·陕西西安·开学考试）有一包糖果，其中奶糖占，再放入16块水果糖后，奶糖就占，那这堆糖中有奶糖多少块？ 地 城 考点04 古代问题 一、解答题 1．（25-26七年级上·海南·期中）《九章算术》记载了一道以绳测井的题，其大意是：用绳子测量井的深度，绳子的三分之一比井深多四尺；绳子的四分之一比井深多一尺，问绳子和井深各多少尺？ 2．（24-25六年级上·上海宝山·期末）某数学兴趣小组研究我国古代《算法统宗》里这样一首诗：我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空．诗中后两句的意思是：如果每一间客房住7人，那么有7人无房可住；如果每一间客房住9人，那么就空出一间房．求：该店有客房多少间？房客多少人？ 3．（25-26七年级上·河南信阳·开学考试） 求碗问题 今有妇人河上荡杯，津吏问曰：“杯何以多？”妇人曰：“家有客．”津吏曰：“客几何？”妇人曰：“二人共饭，三人共羹，四人共肉，凡用桮六十五，不知客几何？” ——出自《孙子算经》 上文大概意思是：有人看到一位妇女在河边洗碗，就问她：“怎么这么多碗？”妇女回答：“家里请人吃饭．”又问她：“有多少客人啊？”妇女回答：“吃饭的时候，两个人共用一个饭碗，三个人共用一个汤碗，四个人共用一个肉碗，一共用了六十五个碗，不知道有多少位客人？” 我们学过很多解决问题的方法，比如：画图、列表尝试、列式计算、列方程等．请你选择一种方法试一试，看看到底有多少位客人用餐． 4．（25-26七年级上·江苏宿迁·期中）我国很多经典古籍中记载了“河图洛书”，它是中国重要的文化遗产．图1“洛书”中用实心点或空心点的个数表示数字．观察图1中的每一组点所对应的数字，回答下列问题： (1)根据“洛书”，图2中______，______； (2)根据图2所填数字，我们不难发现：方格中每一行、每一列、每条对角线上的三个数之和都相等．若图3符合“洛书”的规律，每一行、每一列以及两条对角线上的数字之和都相等，求c的值． 5．（25-26七年级上·北京西城·期中）《九章算术》中记载有一道关于“盈不足术”的经典问题，其原文表述如下：“今有共买鸡，人出九，盈一十一；人出六，不足十六．问：人数、鸡价各几何？”译文为：有若干人一起买一只鸡，若每人出9钱，则多出11钱；若每人出6钱，则还差16钱．求买鸡的人数、一只鸡的价格各是多少？ 地 城 考点05 工程问题 一、解答题 1．（25-26七年级上·全国·课后作业）已知某水池有甲、乙两个进水管．单独开放甲管，可以将空水池注满；单独开放乙管，可以将空水池注满．如果先打开甲管对空水池注水，再打开乙管同时注水，那么注满水池还需多少小时？ 2．（25-26七年级上·全国·课后作业）一项工程，甲单独做需要9天完成，乙单独做需要12天完成．甲、乙两人合做3天后，甲有其他任务，剩下的工程由乙单独完成．那么，乙还需要几天才能完成全部工程？ 3．（25-26七年级上·吉林长春·期中）今年年初，新民大街历史文化街区保护提升活化利用工程启动，新民大街历史文化街区全长1445米，施工团队在修建了80天后，为加快建设脚步，抢抓工期，施工团队决定提升修建速度，每天修建长度是原来的1.5倍，共用140天完成全部任务，求原来每天施工长度． 4．（24-25六年级上·上海·月考）为更好地完成某市民健身步道改造任务，甲乙两个施工队合作施工．已知甲单独施工9天可以完成，乙单独施工6天可以完成．现在甲先单独施工1天，再由甲、乙合作施工2天，余下的工作由乙单独完成，那么乙队还需要施工多少天才可以完成任务？ 5．（24-25七年级上·江苏连云港·开学考试）工程队修一段公路，第一天修了全长的，第二天修了全长的850米，第三天修了全长的，三天正好修完．这段公路全长多少米？ 6．（25-26六年级上·黑龙江哈尔滨·期中）“告别百年隐患，守护城市安全”初冬的哈尔滨中央大街，地下管网改造一片繁忙．现有甲乙两个工程队，需要对一小区进行改造，甲工程队单独完成这一项工程需要20天，乙工程队单独完成这项工程所需的时间比甲工程队多． (1)求乙队单独完成这项工程需要多少天？ (2)现在若甲工程队先做5天，剩余部分再由甲乙两队合作，还需要多少天才能完成？ (3)原计划由乙工程队单独完成这项工程，乙工程队工作几天后接到通知要缩短工期，后期工程由甲、乙两工程队合作完成，若甲工程队工作的总天数是乙工程队工作的总天数的，乙工程队每天施工费是甲工程队每天施工费的，最后甲、乙两队施工费共计7万元，求甲、乙工程队每天施工费多少万元？ 7．（25-26七年级上·黑龙江绥化·期中）甲组的4名工人3月份完成的总工作量比此月人均定额的4倍多20件，乙组的5名工人3月份完成的总工作量比此月人均定额的6倍少20件．如果甲组工人此月人均实际完成的工作量比乙组的少2件，那么此月人均定额是多少件？ 8．（25-26七年级上·重庆璧山·期中）某水稻实验基地防治病害虫有无人机喷洒和人工打药两种方式．在一次作业中，一架无人机工作2小时和一名工人工作6小时，共完成了320亩的打药任务（不重复作业），通过测量对比发现无人机每小时作业的面积恰好是人工的5倍． (1)请问一名工人和一架无人机每小时各完成多少亩？ (2)一架无人机和一名工人共同作业8小时能否完成1000亩的打药任务？请说明理由． 地 城 考点06 配套问题 一、解答题 1．（24-25七年级下·福建泉州·月考）有一批生产桌椅的木料，已知一块木料可以生产桌子2张或椅子5把，现有39块木料，如何分配可使生产的桌子和椅子恰好配套（一张桌子配4把椅子）？ 2．（24-25七年级下·吉林长春·期末）某车间有工人人，每人每天可生产个螺母或个螺杆，已知一个螺杆和两个螺母配套为了使生产出来的螺母、螺杆刚好配套，应安排多少人生产螺母？ 3．（25-26七年级上·陕西榆林·月考）近年来，随着全民健身公共服务体系的不断完善，把“健身房”建在市民身边，让体育更好地融入生活．某工厂需要生产一批太空漫步器（如图），每套设备由一个支架和三套脚踏板组装而成．工厂共有55名工人，每人每天可以生产42个支架或72套脚踏板．应如何分配工人才能使每天生产的支架和脚踏板恰好配套？ 4．（25-26七年级上·广东汕头·月考）一条生产线上有台机器，已知一台机器一天可以生产支笔套或支笔芯，如果一支笔套需要支笔芯配成一套，学校准备批发套奖励学生． (1)若生产线每天生产的笔芯和笔套恰好配套，应分别安排多少台机器制作笔芯和笔套？ (2)已知一支笔芯元，一支笔套元，学校一共需要准备多少钱？ 5．（25-26七年级上·甘肃武威·月考）一套仪器由一个A部件和三个B部件构成．用1立方米钢材可做40个A部件或240个B部件．现要用6立方米钢材制作这种仪器，应用多少钢材做A部件，多少钢材做B部件，才能恰好配成这种仪器？ 最多能制成多少台仪器？ 6．（25-26八年级上·广东深圳·期末）某家具厂计划生产一批方桌（一张方桌有1个桌面，4条桌腿），按照设计要求，的木材可做50个桌面或300条桌腿．如果现有的木材． (1)怎样分配生产桌面和桌腿使用的木材，使桌面、桌腿刚好配套？ (2)这些木材最多能生产多少张方桌？ 地 城 考点07 收费问题 一、解答题 1．（25-26七年级上·陕西榆林·月考）某街道对于商铺用电规定：每月总用电量不超过50度时，按每度元收费；每月总用电量超过50度时，不超过50度的部分按每度元收费，超过50度的部分按每度元收费．该街道某商铺在八月份的总电费是元，那么该商铺八月份的用电量是多少度？ 2．（25-26七年级上·全国·课后作业）某市为鼓励市民节约用水，增强节水意识，决定对居民用水实行“阶梯收费”办法．规定：每户每月不超过月用水标准部分的水价为2.5元/吨，超过月用水标准部分的水价为3.5元/吨．该市小明家5月用水量为12吨，交水费32元． (1)请判断小明家5月用水是否超过标准用水量． (2)该市规定的每户月用水标准量是多少吨？ 3．（25-26八年级上·内蒙古包头·期中）为了鼓励市民节约用水，某市采用分档计费的方式计算水费．下表是家庭人口不超过4人时户年用水量及分档计费标准： 计费档 户年用水量 单价/（元/） 第一档 5 第二档 7 第三档 9 (1)当时，写出水费（单位：元）与之间的关系式； (2)某户一年用水量是，求该户这一年的水费； (3)某户去年一年的水费是1820元，求该户去年一年的用水量． 4．（25-26七年级上·江苏南通·月考）目前南通市民用天然气价格分为三个档次，费用跟每年每户用气量有关，具体如下： 收费标准 级别 每年每户用气量(单位：立方米) 气价(单位：元/立方米) 第一档 400及以下 第二档 超过400但不超过800的部分 第三档 超过800的部分 (1)若小王家全年用气量为立方米，则需要缴纳的费用是多少元？ (2)若小王家全年缴纳的费用为元，则全年用气量是多少立方米？ (3)最新政策：如果家庭人口超过4人，则可以申请“多人口家庭”，审核通过后，每户每增加1人，每年各档用气量基数分别增加50立方米(如某户有5口人，即该户第一档年用气量为及以下，第二档年用气量为超过但不超过的部分，第三档年用气量为超过的部分)，小李家有6口人，若全年用气量为立方米，则审核通过后，小李家全年缴纳的费用比政策出台之前能节省多少元？ 5．（25-26八年级上·福建宁德·期中）我市居民生活用气实行阶梯气价，按年度用气量计算，价格如下： 计费档 年用气量x（立方米） 单价（元/立方米） 第一档 第二档 第三档 (1)当时，求出用气总费用（元）与年用气量（立方米）之间的关系式； (2)小明家去年全年用气的总费用为元，求他家去年的总用气量； (3)今年小明家新增加了一台燃气热水器，爸爸发现如果继续按当前习惯用气，他家年末用气量将达到立方米．为了节省气费他考虑了两种方案： 方案：通过行为节约，将全年总用气量控制在立方米整； 方案：安装一个节能设备，可节省的用气量，设备费用为元． 请通过计算，比较方案、方案所需的总支出（气费+设备费），并为小明爸爸选择一个经济的方案． 6．（25-26七年级上·江苏泰州·期中）滴滴快车是一种便捷的出行工具，计价规则如下表，请回答下列问题： 计费项目 里程费 时长费 远途费 单价 2元/公里 0.5元/分钟 0.5元/公里 注：车费由里程费、时长费、远途费三部分构成，其中里程费按行车的实际里程计算；时长费按行车的实际时间计算；远途费的收取方式为：行车里程10公里以内（含10公里）不收远途费，超过10公里的，超出部分每公里收0.5元． (1)若小东乘坐滴滴快车，行车里程为15公里，行车时间为20分钟，则需付车费 元． (2)若小明乘坐滴滴快车，行车里程为公里，行车时间为分钟，则小明应付车费多少元？（用含、的代数式表示，并化简．） (3)小王与小张各自乘坐滴滴快车，行车里程分别为9公里与12公里，如果下车时两人所付车费相同，那么这两辆滴滴快车的行车时间相差多少分钟？ 地 城 考点08 行程问题 一、解答题 1．（25-26七年级上·江苏常州·月考）周末小明和小亮约定，两人沿恐龙园和青枫公园之间的同一条路线骑行，这条路线的总路程为．小明骑自行车从青枫公园出发，平均速度为；小亮骑自行车从恐龙园出发，平均速度是小明的倍．两人同时出发，相向而行，经过多少时间相遇？ 2．（25-26七年级上·广西崇左·月考）某中学学生步行到郊外旅行，七年级（1）班学生组成前队，步行速度为，七年级（2）班的学生组成后队，速度为．前队出发后，后队才出发，后队追上前队需要多长时间？ 3．（25-26七年级下·全国·课后作业）我国高速铁路飞速发展，为了解“复兴号”列车的长度和行驶速度，小明所在的学习小组开展了一次课外探究活动．他们分工合作，在一架长的铁路桥附近进行了观察、测量和计算：“复兴号”列车从开始上桥到完全过桥的时间约为，列车完全在桥上的时间约为．你能根据该小组同学获得的数据，求出“复兴号”列车过桥时的速度和列车的长度吗？ 4．（25-26七年级上·全国·课后作业）一艘轮船在两码头之间匀速航行．已知水流的速度是，轮船顺水航行所需的时间是，逆水航行所需的时间是．求这两个码头之间的路程． 5．（25-26七年级上·江苏常州·月考）从2004年4月18日零时起，全国铁路实施第五次大面积提速，从重庆到广安的某次列车提速前的运行时刻表如下： 区间 起始时刻 终到时刻 重庆—广安 08：00 10：00 该次列车现在提速后，每小时比提速前快20千米，终到时刻提前到9：30，那么重庆与广安相距多少千米？ 6．（25-26六年级上·上海闵行·月考）已知A、B两城相距120公里，甲、乙、丙三人从A城出发去往B城，甲骑车速度为15公里/小时，乙、丙的步行速度都为5公里/小时． (1)乙和丙要比甲提前多久步行出发，才能三人同时到达B城？ (2)甲、乙、丙同时从城出发，丙步行，甲骑车带乙行至D处，乙下车向B城步行，甲骑车返回迎接丙，在C点与丙相遇，再带丙到B城，结果三人同时到B城，问乙步行了多少公里？ 7．（25-26七年级上·江苏盐城·月考）妈妈从家出发步行去乘火车，时小明发现妈妈忘记带手机，立即骑车追赶，已知妈妈每分钟步行60米，小明每分钟骑行240米，如果火车站距家1800米，那么小明能在妈妈到达火车站前追上她吗？如果能，何时追上？如果不能请说明理由． 8．（25-26七年级上·浙江宁波·期中）如图，分别为数轴上的两个点，点 表示的数为，点表示的数为．一只电子蚂蚁从点出发，以每秒个单位长度的速度向左运动，同时另一只电子蚂蚁从点出发，以每秒个单位长度的速度向右运动，经过多长时间这两只电子蚂蚁在数轴上相距个单位长度？ 9．（25-26七年级上·湖北黄冈·期中）在餐厅开始给学生打餐时，已经有名学生在餐厅外排队等候．打餐开始后，仍有学生继续前来排队等候打餐．设学生按固定的速度增加，每个售饭窗口打餐的速度也是固定的，且是学生增加速度的．若开设5个售饭窗口，则需要40分钟才可将排队等候的学生全部打完餐．根据学校作息时间安排，现要求20分钟将排队等候的学生全部打完餐，以便后来到餐厅的学生随到随打．问需要同时开放几个售饭窗口？ 10．（25-26七年级上·全国·课后作业）如图，折线是一条公路的示意图，，甲骑摩托车从A地沿这条公路到B地，速度为，乙骑自行车从C地沿这条公路到B地，速度为，两人同时出发，结果甲比乙早到6分钟．求这条公路的长． 11．（25-26七年级上·河南郑州·月考）一列慢车和一列快车分别从A、B两站相对开出，快车和慢车速度的比是，慢车先从A站开出27千米，快车才从B站开出．相遇时快车和B站的距离比慢车和A站的距离多32千米，A、B两站相距多少千米？ 12．（25-26七年级上·广西南宁·月考）已知：在一条东西向的双轨铁路上迎面驶来一快一慢两列火车，快车长（单位长度），慢车长（单位长度），设正在行驶途中的某一时刻，如图，以两车之间的某点O为原点，取向右方向为正方向画数轴，此时快车头在数轴上表示的数是，慢车头在数轴上表示的数是．若快车以6个单位长度/秒的速度向右匀速继续行驶，同时慢车以2个单位长度/秒的速度向左匀速继续行驶，且与互为相反数，且设运动的时间为． (1)______，______； (2)从此时刻开始算起，问再行驶多少秒钟两列火车行驶到车头相距8个单位长度？ (3)从此时刻开始算起，问再行驶多少秒钟有？ 地 城 考点09 几何问题 一、解答题 1．（25-26七年级上·陕西西安·月考）某工厂要锻造一个直径为、高为的圆柱形实心毛坯、需截取一段直径为的圆柱形实心钢材作为原材料，如图，那么这段原材料的高应为多少？（列方程解答；锻造前后钢材体积不变） 2．（25-26七年级上·陕西榆林·月考）如图，是将一个大长方形平均分成上下两个长方形，再将上面这个长方形平均分成两份，将下面这个长方形平均分成三份，若图中阴影部分的面积为，求这个大长方形的面积．（列方程解答） 3．（25-26七年级上·全国·课后作业）某养鸡场准备在一处空地上修建一个长方形鸡舍．该鸡舍的一边靠墙（墙足够长），其他三边用长的丝网围成，且长比宽多．那么这个长方形鸡舍的长和宽分别是多少米？ 4．（25-26七年级上·江苏泰州·期中）如图所示是一个长方形． (1)根据图中尺寸大小，用含的代数式表示阴影部分的面积； (2)若阴影部分的面积为30，求的值． 5．（2025七年级上·全国·专题练习）如图，几张大小不相等的正方形纸片A，B，…，I，无重叠地铺满了一块长方形纸片．已知正方形纸片E的边长为7，求其余各正方形纸片的边长． 地 城 考点10 方案问题 一、解答题 1．（25-26七年级上·全国·课后作业）一位商人来到一座新城市，想租一套房子，房东的条件是先交2000元（退租后不返还），每月租金1200元；房东的条件是每月租金1400元． (1)这位商人想在这座城市住半年，则租哪个房东的房子划算？ (2)当这位商人住多少个月时，租两个房东的房子所需租金一样？ 2．（24-25七年级上·全国·期末）某体育用品店出售某品牌的篮球和羽毛球．已知羽毛球的标价为每个5元，篮球的标价为每个40元．节假日期间，为了让利顾客，该店推出两种优惠方案： 甲方案：篮球和羽毛球都按标价打九折出售． 乙方案：买一个篮球送一个羽毛球． 某顾客现要购买40个篮球和a个羽毛球． (1)当时，分别计算按甲、乙两种方案购买，该顾客需付款多少元？ (2)购买羽毛球多少个时，两种方案的收费相同？ 3．（25-26七年级上·湖南长沙·月考）已知某超市酸奶的定价为20元/箱，玻璃杯的定价为5元/个，该超市推出了两种优惠促销方案，如下表所示．现某顾客需要购买40箱酸奶和个玻璃杯． 方案一 酸奶和玻璃杯一律按九折优惠 方案二 购买一箱酸奶，赠送一个玻璃杯 (1)若该顾客按方案一购买，共需花费______元；若该顾客按方案二购买，共需花费______元；（用含的代数式表示） (2)当时，请通过计算说明此时按哪种方案购买更省钱； (3)当购买多少个玻璃杯时，上述这两种方案的花费一样多？并且请你根据购买玻璃杯数量的情况，为该顾客设计更加优惠的购买方案． 4．（25-26七年级上·安徽合肥·月考）综合实践 主题 学校购买比赛用品策略探讨 问题情境 为了举行羽毛球比赛，学校需要提前购买20副羽毛球拍和若干个羽毛球（不少于60个） 素材1商品标价 羽毛球拍：150元/副 羽毛球：10元/个 素材2购买方案 方案一：每买一副羽毛球拍赠送3个羽毛球． 方案二：羽毛球拍和羽毛球都按标价的九折销售． 任务1 现已知方案一和方案二只能单独使用，若学校需要购买20副羽毛球拍和100个羽毛球，请为学校推荐购买方案． 任务2 若方案一和方案二费用一致，你知道学校购进了多少个羽毛球吗？ 任务3 现已知方案一和方案二既可以单独使用，也可以同时使用，若学校此次需要购进400个羽毛球，请为学校设计最省钱的购买方式． 5．（25-26七年级上·全国·期中）实际应用题：某中学春游，原租 45 座客车，有 15 人无座；租相同数量 60 座客车，多 1 辆车且坐满．45 座日租 220 元，60 座日租 300 元． (1)求学生人数和原计划租 45 座车的辆数 (2)租同一种客车，使每人有座，哪种更合算？ 6．（2025七年级上·全国·专题练习）国庆期间，七年级（1）班的明明、丽丽等同学随家长一同到某公园游玩，如下是购买门票时，明明与他爸爸的对话，试根据信息，解答下列问题： 票价 成人：每张元 学生：按成人票五折优惠 团体票（人以上含人）：按成人票6折优惠 大人门票是每张元，学生门票是5折优惠，我们一共人，共需元 爸爸，等一下，我算算换一种方式买票是否可以省钱？ (1)明明他们一共去了几个成人？几个学生？ (2)请你帮助明明算一算，用哪种方式购票更省钱？ (3)购完票后，明明发现七年级（2）班的张小涛等8个学生和他们的个家长共人也来购票，请你为他们设计出最省钱的购票方案，并求出此时的购票费用． 地 城 考点11 营销问题 一、解答题 1．（25-26七年级上·江苏苏州·期中）某体育用品店准备购进一批篮球和足球，准备在“双十二”期间销售，其中每个篮球的进价比每个足球的进价多5元，购进5个篮球和4个足球共需元．求篮球和足球的进价分别是多少元？ 2．（25-26七年级上·全国·课后作业）某产品每件的成本是200元．如果每件产品按原价的九折出售，商家所获得的利润率为8%，那么这种产品的原价是多少元？ 3．（25-26七年级上·全国·课后作业）某品牌电视的进价为1000元，售价为1400元，后由于出现了数字电视，商店准备打折出售，若盈利率为，则商店打几折？ 4．（25-26七年级上·山东枣庄·月考）某超市用6000元购进甲、乙两种商品，其中甲商品的件数比乙商品件数的2倍少30件，甲、乙两种商品的进价和售价如下表： 商品种类 进价（元/件） 售价（元/件） 甲 22 29 乙 30 40 (1)该超市购进甲、乙两种商品各多少件？ (2)购进的甲、乙两种商品全部售出，该超市的总利润为多少元？ 5．（25-26七年级上·陕西西安·月考）“榆宝宝”和“林贝贝”体现冰雪热情与陕北风情，作为陕西省第一届冬季运动会的形象大使，它们是冰雪世界中最具地方特色的文化使者与冬运精神的象征．某工厂应官方要求生产“榆宝宝”、“林贝贝”的挂件和玩偶这两种产品，每个玩偶的成本价比每个挂件的成本价贵25元．若要生产800个挂件和200个玩偶，共需要20000元成本． (1)求每个挂件和每个玩偶的成本价分别是多少元？ (2)若每个玩偶的出售标价是75元．为了促销，现对每个玩偶在标价基础上进行打折出售．若按标价打折售出18个玩偶所获得的利润，与按64元/个的售价出售15个玩偶所获得的利润相同．求的值． 6．（25-26七年级上·江苏徐州·月考）某商店有两种不同的都卖168元，以成本价计算，其中一个盈利，另一个亏本，则这次出售中商店总的来说是赚了还是赔？ 7．（25-26七年级上·山西大同·月考）综合与实践问题背景： 吉县苹果和隰县梨都是山西著名的农产品，某超市购进吉县苹果和隰县梨进行销售． 信息一，该超市用50000元购进吉县苹果和隰县梨共4500千克． 信息二，这两种水果的进价、售价如下表所示： 水果 进价/（元/千克） 售价/（元/千克） 吉县苹果 12 18 隰县梨 10 20 问题解决： (1)该超市购进吉县苹果和隰县梨各多少千克？ (2)若该超市销售完吉县苹果时，隰县梨还剩下，将剩余隰县梨打折出售，全部售完后，共获利32600元，求剩余隰县梨打了几折． (3)若在销售过程中，吉县苹果和隰县梨都损坏，保持隰县梨的售价不变，在除损坏外全部售完的情况下，若总利润率为，则吉县苹果的售价应定为多少？ 8．（25-26七年级上·湖南长沙·月考）青竹湖商场经销的A、B两种商品，A种商品每件售价60元，利润率为；B种商品每件进价50元，售价80元． 打折前一次性购物总金额 优惠措施 小于等于 450元 不优惠 超过450元，但不超过600元 按总售价打九折 超过600元 其中600元部分八折优惠，超过600元的部分打七折优惠 (1)A种商品每件进价为 元，每件B种商品利润率为 ． (2)商场同时购进A、B两种商品共50件，恰好总进价为2100元，求购进A种商品多少件? (3)在“春节”期间，商场只对A、B两种商品进行如下的优惠促销活动： 按上述优惠条件，若小华一次性购买A、B商品实际付款543元，求若没有优惠促销，小华在该商场购买同样商品要付多少元? 9．（2025七年级上·江苏苏州·专题练习）有两种消费券：A券，满60元减20元，B券，满90元减30元，即一次购物大于等于60元、90元，付款时分别减20元、30元．小敏有一张A券，小聪有一张B券，他们都购了一件标价相同的商品，各自付款，若能用券时用券，这样两人共付款140元，求所购商品的标价？ 10．（25-26七年级上·安徽淮北·期中）某品牌运动鞋原价元/双，促销方案如下： 方案一（普通优惠）：购买2双及以上时，超出2双的部分打8折． 方案二（会员优惠）：办理会员卡需付元工本费（仅首次办理需要，之后购买都享受会员价），会员价元/双． 小华发现在某个购买数量下，两种方案的总花费相同．请问小华购买了多少双运动鞋？总花费是多少元？ 地 城 考点12 日历问题 一、解答题 1．（24-25七年级上·陕西安康·期末）如图，这是2025年1月的日历表． (1)如图，在表中用Y形框“”框住四个数，其中最小的数为1，求Y形框框中的这四个数字之和． (2)在表中移动Y形框的位置，若Y形框框住的四个数字之和为85，求这四个数字中最小的数． 2．（24-25七年级上·江西赣州·期末）如图的数阵是由全体奇数排成的： (1)如图，任意图出一竖列上相邻的三个数，设中间的一个为，则用含的代数式表示，则另两个数分别是___________和___________； (2)在数阵图中作图中的平行四边形框，这九个数之和是___________； (3)这九个数之和能等于2024吗？若能，请写出这九个数中最大的一个数；若不能，请说明理由． 3．（25-26七年级上·山东济宁·月考）下表是2024年 4月的日历表，在表中用形如下图的平行四边形框框出 4个数，请解答问题： (1)若框出的4个数的和为74，请你通过列方程的办法，求出它们分别是哪4天？ (2)框出的4个数的和可能是 25 吗？为什么？ 4．（25-26七年级上·广西南宁·月考）【综合与探究】同学们，大家一定很熟悉月历吧！你们知道吗？月历中有很多奥秘， 下面就让我们一起来探索吧！ (1)如图1是2024年10月的月历，小宇用带阴影的“十”字框框中5个数． ①这5个数中，最大数与最小数的差是 ； ②小宇发现当任意移动“十”字框时，框中的5个数之和始终是5的倍数，请计算说明他的发现成立． (2)如图2是2024年10月的月历，小宇用如图所示的“凹”字框在月历中任意框中5个数，将这5个数分别用字母，，，，表示（如图3）． ①请任选其中一个字母，用含这个字母的代数式表示这5个数的和． ②这5个数的和能等于101吗？若能，请求出这5个数；若不能，请说明理由． 地 城 考点13 动点问题 一、解答题 1．（25-26七年级上·山东济宁·月考）已知数轴上有A，B两点，分别表示的数是，8，点A以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，点B以每秒2个单位长度向左匀速运动，设运动时间为． (1)点A运动后所在位置表示的数为 ；点B运动后所在位置表示的数为 ． (2)它们按上述方式运动，A，B两点经过多少秒会相遇，相遇点所表示的数是什么？ (3)它们按上述方式运动，A，B两点经过多少秒后相距2个单位长度？ 2．（25-26七年级上·新疆乌鲁木齐·期中）如图，点A、B在数轴上表示的数分别为和6，两只蚂蚁M、N分别从A、B两点同时出发，相向而行．M的速度为2个单位长度/秒，N的速度为3个单位长度/秒． (1)运动________秒钟时，两只蚂蚁相遇；相遇点在数轴上表示的数是________； (2)若运动t秒钟时，两只蚂蚁的距离为8，求出t的值（写出解题过程）． 3．（25-26七年级上·内蒙古包头·期中）如图，在数轴上点表示数，点表示数，点表示数，是最小的正整数，且、满足． (1) ， ， ． (2)动点、同时从原点出发，点向负半轴运动，点向正半轴运动，点的速度是点速度的3倍，2秒钟后，点到达点． ①点的速度是每秒 个单位，此时，点与之间的距离为 ； ②若运动时间为秒，用含的代数式表示点表示的数为 ； ③点到达点后，改变方向，按原速度向负半轴方向运动，再经过几秒，点与点能相遇？ 4．（25-26七年级上·陕西咸阳·月考）某校开展丰富多彩的航天科技月活动，小航设计了一套电子设备，有两个电子蚂蚁P，Q在直线赛道上运动，电子蚂蚁P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度匀速运动，电子蚂蚁Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度匀速运动，且电子蚂蚁P，Q同时出发．小航在学习《有理数及其运算》之后，发现运用数形结合思想建立数轴可以较快地解决问题，如图，小航在数轴上设计A，B两点对应的数分别是，b，且点B在原点O的右侧，． (1) ____； (2)若电子蚂蚁P，Q同时出发，相向运动，经过几秒，电子蚂蚁P，Q间的距离为4个单位长度？ (3)若电子蚂蚁P，Q同时向右运动，同时又有一个电子蚂蚁C从原点O出发，以每秒5个单位长度的速度匀速向右运动，在运动过程中，是否存在某一时刻t，使得？若存在，请求出t的值，并求出电子蚂蚁C所表示的数；若不存在，请说明理由． 5．（21-22七年级上·湖北十堰·期末）【背景知识】数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合．研究数轴我们发现了许多重要的规律：若数轴上点、点表示的数分别为、，则，两点之间的距离，线段的中点表示的数为． 【问题情境】如图，数轴上点表示的数为，点表示的数为，点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时点从点出发，以每秒个单位长度的速度向左匀速运动．设运动时间为秒． 【综合运用】 (1)填空： ①、两点间的距离_______，线段的中点表示的数为_______； ②用含的代数式表示：秒后，点表示的数为_______；点表示的数为_______； (2)求当为何值时，； (3)若点为的中点，点为的中点，点在运动过程中，线段的长度是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请求出线段的长． 6．（25-26七年级上·河北张家口·月考）如图1，电脑显示屏上画出了一条不完整的数轴，并标出了表示的点．小明同学设计了一个电脑程序：点，分别从点同时出发，每按一次键盘，点向右平移2个单位长度，点向左平移1个单位长度．例如，第一次按键后，屏幕显示点，的位置如图2． (1)第_____次按键后，点正好到达原点； (2)第6次按键后，点到达的点表示的数与点到达的点表示的数的乘积是多少？ (3)第次按键后，点与点到原点的距离相等，求的值． 7．（25-26七年级上·山东日照·月考）如图，数轴上点表示的数为，点表示的数为，且，满足．动点从点出发，以每秒8个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为秒． (1)写出数轴上点表示的数________，点表示的数是________，点表示的数是________（用含的式子表示）； (2)动点从点出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，点，同时出发，当点运动多少秒时，． 8．（25-26七年级上·湖南岳阳·月考）已知数轴上点表示的数为，点表示的数为7，动点从点出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，设运动时间为秒（）． (1)当时，求点表示的数及线段的长度； (2)当点运动到线段的中点时，求的值； (3)当为何值时，点到点的距离与点到点的距离之差为4？ 9．（25-26七年级上·河南周口·月考）已知数轴上点M表示的数为m，点N表示的数为n，且． (1)求m、n的值； (2)点P从点M出发，以每秒2个单位长度的速度向右运动，点Q从点N出发，以每秒1个单位长度的速度向左运动，设运动时间为t秒． ① 用含t的式子表示的长度； ② 当时，求t的值． 10．（25-26七年级上·辽宁葫芦岛·月考）【背景知识】 数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合，这种解决问题的思想叫做数形结合思想．已知，点A，B是数轴上不重合的两个点，且点A在点B的左边，点M是线段的中点．点A，B，M分别表示数a，b，x．请回答下列问题． 【特例感知】 （1）若，，则________，x表示的数为________； 【规律探究】 （2）如图，利用数轴思考探究，点A，B之间的距离表示为________，x表示的数为________________（用含a，b的式子表示）； 【拓展应用】 （3）若，，动点P、Q分别从A、B两点同时出发，沿数轴正方向运动．点P的速度是每秒2个单位长度，点Q的速度是每秒1个单位长度．E为的中点，F为的中点．求运动几秒后，点E和点F相距3个单位长度？ 地 城 提升训练 一、解答题 1．（25-26七年级上·河南周口·月考）一艘轮船航行在A、B两个码头之间，已知流水的速度，轮船顺水航行需用，逆水航行需用，求两个码头之间的距离． 2．（25-26七年级上·河南周口·月考）一套仪器由一个部件和三个部件构成．用立方米钢材可做个部件或个部件．现要用立方米钢材制作这种仪器，应用多少钢材做部件，多少钢材做部件，才能恰好配成整数套这种仪器？共配成多少套？ 3．（25-26七年级上·河南周口·月考）某牛奶加工厂现有鲜奶8吨，若直接在市场上销售鲜奶，每吨可获利润500元；制成酸奶销售，每吨可获利润1200元；制成奶片销售，每吨可获利润2000元． 该厂的生产能力是：如制成酸奶，每天可加工3吨；制成奶片每天可加工1吨，受人员限制，两种加工不能同时进行，受气温条件限制，这批牛奶必须在4天内全部销售加工完毕．为此，该厂设计了两种可行方案： 方案1：尽可能多的制成奶片，其余直接销售鲜奶； 方案2：将一部分制成奶片，其余制成酸奶销售，并恰好4天加工完毕.你认为选择哪种方案获利较多？为什么？ 4．（25-26七年级上·江苏无锡·期末）【阅读】在数轴上，点对应的有理数为，点对应的有理数为，则以、为端点的线段的长度，以、为端点线段的中点对应数为． 【运用】如图，已知、、分别为数轴上的两点，点对应的数为，点对应的数为，点对应的数为，现有一动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向右运动；同时，另一动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向左运动，设运动时间为秒． (1)、两点间的距离______，线段的中点表示的数为______； (2)用含的代数式表示：点对应的数是______，点对应的是______，动点经过______秒时运动到点与点的中点处； (3)经过多少秒时，点与点之间的距离恰好是点与点之间距离的一半？ 5．（23-24七年级上·浙江绍兴·开学考试）某市为了更好地利用水资源，制定了居民用水收费标准，如果一户每月用水量不超过立方米（含立方米）．每立方米按元收费；如果超过立方米，超过部分，则按每立方米元收费． (1)子豪家四月份用水立方米，应缴水费多少元？ (2)子豪家五月份共支付水费元，他家五月份用水量是多少立方米？ 6．（25-26七年级上·河南驻马店·月考）项目式学习 问题背景 确山县是中国著名的“提琴之乡”，以制作手工提琴而闻名，尤其是中高档小提琴．王林和李华所在的制作车间计划做一批小提琴，如果每人做8把，那么比计划多了12把；如果每人做5把，那么比计划少18把．该车间共有多少人？计划做多少把小提琴？ 思路 王林的方法： 李华的方法：． 探索 （1）在王林所列的方程中，未知数表示的意义是___________，在李华所列的方程中，未知数表示的意义是___________． 解答 （2）请分别用上述两种方法，将原题中的问题解答完整． 7．（25-26七年级上·河北张家口·月考）为营造节日氛围，各班集体购买发光头饰．姜经理看到商机，准备寻找进货渠道，他在甲、乙两个批发商处，发现了同款高端发光头饰，均标价元/个．甲说：“如果你在我这里买，一律九折”，乙说：“如果你在我这里买，超出个，则超出部分一律八折”（每次只能在一个批发商处进货）． (1)若需购买（）个发光头饰． ①去批发商甲处进货需要多少元？（用含的代数式表示） ②去批发商乙处进货需要多少元？（用含的代数式表示） (2)请问购进多少个发光头饰，去两个批发商处的进货总额相同； (3)姜经理第一次购进个发光头饰，正好全部售出．第二次购进的数量比第一次的倍还多个．两次均以最优惠的方式购进．求两次进货共需多少元？ 8．（25-26八年级上·山西运城·月考）2025年暑期电影市场火热，某影院播放的A，B两部电影热度较高．已知电影的票价比电影的票价便宜20元，按售价购买3张电影票和2张电影票共需540元．求电影和电影的票价分别为多少元． 9．（25-26七年级上·陕西西安·月考）2025年11月19日，我国在酒泉卫星发射中心使用长征二号丙运载火箭，成功将实践三十号A，B，C星发射升空．随着航空航天的发展，航空航天模型也受到大家的喜爱，某车间生产航空航天模型，车间内共有25名工人，车间内每名工人每天可以生产60个A部件或80个B部件，1个A部件和2个B部件组成一个模型，为使每天生产的A部件和B部件刚好配套组成模型，应该安排生产A部件和B部件的工人各多少名？ 10．（25-26七年级上·山东济宁·月考）根据张鑫与李亮的对话，列方程解答． (1)如果张鑫没有办会员卡，他买书需要付多少钱？ (2)买多少元的书，办卡与不办卡花费相同？ 买多少元的书，不办卡更便宜？买多少元的书，办卡更便宜？ 11．（25-26七年级上·全国·课后作业）为鼓励居民节约用电，某市实行每月阶梯电价收费制度，具体执行方案如下： 档次 每户每月用电量/（千瓦·时） 执行电价/[元/（千瓦·时）] 第一档 小于或等于240 0.5 第二档 大于240且小于或等于400时，超出240的部分 0.6 第三档 大于400时，超出400的部分 0.8 某户居民6月、7月共用电520千瓦·时，用电费用为268元．已知该用户7月的用电量大于6月的用电量，且6月、7月的用电量均小于400千瓦·时．那么该用户6月、7月的用电量分别是多少千瓦·时？ 12．（25-26七年级上·山西大同·月考）山西是我国矿产资源极为丰富的省份之一，素有“煤铝铁之乡”的美誉．某炼钢厂使用甲、乙两种铁矿石提炼钢铁．已知每吨甲种铁矿石提炼出铁的质量比每吨乙种铁矿石提炼出铁的质量多，从甲种铁矿石中提炼出铁的质量与从乙种铁矿石中提炼出铁的质量相同，求甲、乙两种铁矿石每吨各能提炼出铁多少吨． 13．（25-26七年级上·河北廊坊·月考）牧童分杏各争竞，不知人数不知杏．三人五个多十枚，四人八枚两个剩．问：有几个牧童几个杏？（选自《算法统宗》）．题目大意：牧童们要分一堆杏，不知道人数也不知道有多少个杏．若3人一组，每组5个杏，则多10个杏；若4人一组，每组8个杏，则多2个杏．求有几个牧童？几个杏？ 14．（25-26七年级上·重庆南川·期中）在某校组织的科技节活动中，需要制作一批科技小作品，准备购买A零件、B零件和C零件共500个（每种零件都要有），其中B零件的单价比A零件的单价贵0.6元，买4个A零件和2个B零件共需要6元． (1)A零件和B零件的单价分别是多少元？ (2)若要求购买C零件的数量是A零件的3倍，A零件和B零件的单价不变，其中C零件的单价为元，在总数量不变的前提之下，无论符合该条件的这三种零件的数量如何分配，总费用始终不变，求此时m的值和总费用． 15．（25-26七年级上·黑龙江绥化·月考）某超市为清库存，以每件96元的价格销售甲、乙两种商品．已知销售一件甲商品盈利16元，销售一件乙商品亏损24元． (1)甲商品每件进价为 元，乙商品每件进价为 元； (2)若超市同时购进甲、乙两种商品共84件，总进价为7600元，则购进甲、乙两种商品各多少件？ (3)在元旦期间，超市所有商品有优惠促销活动，方案如下： ①购买商品不超过400元，不优惠； ②购买商品超过400元，但不超过800元，按照售价九折优惠； ③购买商品超过800元时，按照售价的八折优惠； 按照以上优惠条件，若小明一次性购买乙商品实际付款691.2元，则小明此次购买了多少件乙商品？ 16．（25-26七年级上·湖南怀化·期中）一个无盖的长方体盒子的展开图如图所示． (1)该盒子的底面的长为 （用含的式子表示）． (2)若①，②，③，④四个面上分别标有整式，，，4，且该盒子的相对两个面上的整式的和相等，求的值． 17．（25-26七年级上·江苏南通·期中）冰糖葫芦是我国传统小吃，起源于宋代，一般是用竹签穿上山楂，再蘸上融化的冰糖液制作而成．一串冰糖葫芦山楂的个数一般是5-10个，这个数量是有寓意的，串5个代表五福临门，6个代表六六大顺，7个代表七星高照，8个代表八方来财，9个代表九九同心，10个代表十全十美． (1)若每根竹签穿5个山楂，穿n串冰糖葫芦需要 个山楂，需要的山楂总数与冰糖葫芦的串数n成 比例关系； (2)若有m盘山楂，每盘40个，按每串冰糖葫芦的山楂个数相等的规定，穿了a串冰糖葫芦后，还剩余c个山楂．那么每串冰糖葫芦的山楂个数为 （用含m，a，c的代数式表示）； (3)若用100个山楂恰好制成代表五福临门的A款和代表六六大顺的B款共18串，其中A款每串卖9元，B款每串卖10元，且全部卖完．共卖出多少元？ 18．（25-26七年级上·江苏南通·期中） 在甲处劳动的有27人，在乙处劳动的有19人，现在另调17人去支援，使在甲处的人数为在乙处的人数的2倍，应调往甲、乙两处各多少人？ 19．（25-26七年级上·吉林长春·期中）某游泳馆每次游泳费用是20元，为招揽顾客特推出两种优惠方案， 方案一：办理会员卡费用是200元，可免费游泳5次，免费次数用完以后，每次凭会员卡只需10元/次； 方案二：不办理会员卡，每次费用打8折； (1)分别写出方案一和方案二花费钱数与次数之间的关系式； (2)小明今年预计去游泳45次，哪种方案更合算？ (3)小颖计划今年在游泳上花费480元，她选择哪种方案能去的次数多？ 20．（25-26七年级上·河北沧州·期中）如下图是某年某月的月历，用如图所示的“凹”字型在月历中任意圈出5个数，设“凹”字型框中的五个数分别为． (1)若，则___________，___________； 若，则___________（用含的式子表示）； (2)在移动“凹”字型框的过程中，小胖说被框住的5个数字之和可能为116，你同意他的说法吗？请说明理由； (3)若另一个“凹”字型框框住的五个数分别为，且，则___________． 21．（25-26七年级上·陕西榆林·月考）在繁忙的都市生活中，地铁作为城市交通的重要组成部分，承载着无数人的日常出行需求．某线路地铁进行修建，修建后产生的建筑垃圾需要清理．现计划租用甲、乙两车队清理建筑垃圾，已知甲车队单独运完需要9天，乙车队单独运完需要12天．乙车队先运了5天，然后甲、乙两车队共同合作运完剩下的垃圾．（列方程解决下列问题） (1)甲、乙两车队共同合作了多少天？ (2)已知甲车队每天的租金比乙车队多80元，运完垃圾后需支付甲、乙两车队租金共5740元，求乙车队每天的租金． 22．（25-26七年级上·天津·月考）根据以下素材，探索未完成的任务． 水费、用水量是多少？ 素材1 为增强公民节水意识，合理利用水资源，我市2024年采用“阶梯收费”． 素材2 第一阶梯（用水量14吨）：水费为4元/吨，其中自来水为3元/吨，污水处理费为1元/吨． 第二阶梯（14吨用水量21吨）：超出14吨的部分，水费为6元/吨，其中自来水为5元/吨，污水处理费为1元/吨． 第三阶梯（用水量21吨）：超出21吨的部分，水费为11元/吨，其中自来水为10元/吨，污水处理费为1元/吨． 素材3 如某用户2024年2月份用水15吨，则各种费用如下： 自来水费 （元） 污水处理费 （元） 水费 （元） 问题解决 任务1 确定污水处理费 已知某用户2024年12月份所缴水费中，自来水费为67元，求该用户12月份需缴污水处理费多少元？ 任务2 确定水费 某用户2024年11月用水a吨，则应缴水费多少元？ 任务3 确定用水量 如果该用户2024年5、6月份共用水42吨（6月份用水量超过5月份用水量），共缴水费210元，则该用户5、6月份各用水多少吨？ 23．（25-26七年级上·陕西咸阳·月考）在以“六个统筹”谱写“十五五”体育强国建设新篇章的政策指引下，大众健身热情持续高涨，体育用品需求稳步提升．体育用品商店精准把握市场需求，用7800元购进篮球和排球共170个，以满足广大健身爱好者的需求．篮球、排球的进价和售价如下表所示． 篮球 排球 进价（元/个） 60 40 售价（元/个） 100 60 (1)体育用品商店购进篮球和排球各多少个？ (2)某校计划举办校园体育节，准备到该体育用品商店购买篮球和排球共22个，且排球的购买数量大于篮球购买数量的，该体育用品商店给出两种优惠方案： 方案一：两种球的售价都打8折； 方案二：每购买2个篮球，赠送1个排球． 学校根据购买清单发现两种方案的购买总价是一样的．求学校准备购买篮球和排球各多少个． 24．（25-26七年级上·黑龙江哈尔滨·月考）如图，在数轴上，表示原点，、表示的数是方程的解，其中点在点右侧． (1)若点与、的距离相等，则点表示的数是_______； (2)动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向右运动，同时动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向右运动，设点、点运动时间为秒，求为何值时，、间的距离为个单位长度； (3)在（2）的条件下，在、开始运动时，同时动点从原点出发以每秒个单位长度的速度沿数轴向右运动，求当为何值时，点与点、的距离相等，并直接写出此时点所表示的数． 25．（25-26七年级上·山东济宁·月考）某车间有技工86人，平均每人每天能生产甲种零件16个或乙种零件10个，已知每2个甲种零件和3个乙种零件配成一套． (1)如何分配恰当的人数生产甲或乙种零件，使得每天生产的配套零件最多？ (2)最多生产多少套零件？ 26．（25-26七年级上·湖南长沙·月考）如图，数轴上三个点A，B，C表示的数分别为a，b，c，其中a，c满足，点B在A、C之间，且．数轴上的两个动点P，Q分别从A，C两点同时出发向右运动，点P速度为3单位长度/秒，点Q速度为1单位长度/秒． (1)直接写出 (2)若当运动时间为t秒时，线段的中点M与线段的中点N的距离为2，请求出t的值； (3)若点D从原点出发以2单位长度/秒的速度向右运动，且与P、Q两点同时出发．当点P追上点D 后立即以原速返回A点，当点P回到A点时三点都立即停止运动．在点P返回的过程中，存在常数k，使得运动时间t在某个时间段内为定值，请求出这个时间段和k的值． 27．（24-25七年级下·新疆克拉玛依·期末）克拉玛依市准噶尔商场经销的两种商品，种商品每件售价60元，利润为20元；种商品每件进价50元，售价80元．（利润=售价-进价，利润率） 打折前一次性购物总金额 优惠措施 少于等于450元 不优惠 超过450元，但不超过600元 按总售价打九折 超过600元 其中600元部分八折优惠，超过600元的部分打七折优惠 (1)种商品每件进价为___________元，每件种商品利润率为___________； (2)若准噶尔商场同时购进两种商品共50件，恰好总进价为2100元，求购进种商品多少件？ (3)在“元旦”期间，准噶尔商场对两种商品进行如下的优惠促销活动：按上述优惠条件，若小华一次性购买商品实际付款522元，求小华在该商场打折前一次性购物总金额？ 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $