第七章 三角函数（高效培优单元自测·强化卷）数学人教B版高一必修第三册

第七章 三角函数（高效培优单元自测·强化卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、单项选择题：（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题绐岀的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1．角的顶点与直角坐标系的原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于点，若，则点的横坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意，点的横坐标是. 故选：C 2．下列函数中，与函数的奇偶性和定义域都相同的函数为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】函数是定义在R上的奇函数， 对于A，函数不是奇函数，A错误； 对于B，函数定义域不是R，B错误； 对于C，函数的定义域为，但不是奇函数，，C错误； 对于D，函数是定义在上的奇函数，D正确 . 故选：D. 3．的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】sin 600°＋tan 240°＝sin(720°－120°)＋tan(180°＋60°)＝－sin 120°＋tan 60° ＝－＋＝． 故选：C. 4．已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由，， ，又， 因为在单调递减， 所以，即，所以. 故选：D. 5．将函数的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，则图象的一条对称轴方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意， 对于A，，所以是图象的一条对称轴； 对于B，，所以不是图象的一条对称轴； 对于C，，所以不是图象的一条对称轴； 对于D，，所以不是图象的一条对称轴. 故选：A. 6．以等边三角形每个顶点为圆心，边长为半径，在另两个顶点间作一段弧，三段弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形．如图，已知等边三角形的边长为2，则该勒洛三角形的面积为（   ）    A． B． C． D． 【答案】C 【详解】等边三角形的面积为， 单个弓形的面积为， 所以勒洛三角形的面积为. 故选：C 7．，则实数（    ） A．2 B．0 C． D． 【答案】D 【详解】解：∵，∴，， ∵，∴， ∴， 即 ∴对恒成立， ∴，∴，，∴， 故选：D． 8．已知定义域为的单调函数满足：，则函数的零点的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【详解】根据题意，对任意的，都有， 由是定义在上的单调函数，得为定值． 设，则， 因为，所以，解得， 所以． 因为函数的零点的个数，即函数与的图象的交点个数． 所以可作出函数和的大致图象，如图．    结合图象可知，这两个函数的图象有3个交点． 故选：C． 二、多项选择题：（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9．若角A，B，C是的三个内角，则下列结论中一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】AD 【详解】因为，则， 所以， ，A正确，B错误； 由于， 则，C错误； 由于， 所以，D正确. 故选：AD 10．已知函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（    ） A． B．将的图象向左平移个单位长度后，得到函数的图象 C．直线是图象的一条对称轴 D．图象的对称中心为 【答案】AD 【详解】由函数图象可知，函数的最大值为，因为，所以. 设函数的周期为，则，则，所以， 此时. 已知函数图象过点，则， 即，所以，则， 因为，所以，那么. 对于A，，所以选项A正确； 对于B，将的图象向左平移个单位长度， 得到， 所以选项B错误； 对于C，因为，所以直线不是图象的一条对称轴，选项C错误； 对于D，令，解得，此时， 所以图象的对称中心为，选项D正确. 故选：AD. 11．摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，乘客坐在摩天轮慢慢往上转，可以从高处俯瞰四周景色．已知摩天轮最高点距离地面高度为，转盘直径为，开启后按逆时针方向匀速旋转，摩天轮设置有若干个座舱，转一周需要．游客甲在座舱转到距离地面最近的位置进舱，后距离地面的高度为（单位：），下述结论正确的是（   ） A． B．甲进舱10分钟后距离地面的高度是 C．若在，时刻游客距离地面的高度相等，则的最小值为30 D．在运行一周的过程中，的时间超过 【答案】ACD 【详解】A选项，根据题意，设， 转盘直径为，，最高点距离地面高度为，，转一周需要，， ，又游客甲在座舱转到距离地面最近的位置进舱， 即过，，故，又，所以， 所以，故A正确； B选项，，故进舱10分钟后距离地面的高度是，故B错误； C选项，，即， 即， 由余弦函数的对称性得，即， 所以则的最小值为30，故C正确； D选项，令， 即， 因为，所以， 故，解得， 在运行一周的过程中，的时间为， 所以的时间超过，故D正确； 故选：ACD. 三、填空题：（本题共3小题，每小题5分，共计15分.） 12．设，则 （结果用含的式子表示）. 【答案】 【详解】原式 故答案为： 13．已知函数的最小正周期为，时函数图像位于最低点，则 ． 【答案】 【详解】由题意，，则． 当时，根据时，函数图象位于最低点，可得， 所以． 当时，根据时函数图像位于最低点， 可得， 故． 综上，． 故答案为：. 14．若不等式对恒成立，则 . 【答案】 【详解】当时，函数的零点为和， 当时，；当时，；当时，， 不等式对恒成立， 则函数满足，有， 解得，所以.     故答案为： 四、解答题：（本题共5小题，共计77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15．（13分）已知锐角满足． (1)求、的值； (2)若角的终边与角的终边关于轴对称，求的值． 【答案】(1)， (2) 【分析】 【详解】（1）因为为锐角，所以，， 由已知条件可得，解得. （2）因为角的终边与角的终边关于轴对称，则， 由（1）可知， 所以， 所以. 16．（15分）海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象叫潮，一般地，早潮叫潮，晚潮叫汐．在通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近码头；卸货后，在落潮时返回海洋．下面是某港口在某季节每天的时间与水深关系表： 时刻 0：00 3：00 6：00 9：00 12：00 15：00 18：00 21：00 24：00 水深/米 4.5 6.5 4.5 2.5 4.5 6.5 4.5 2.5 4.5 (1)已知该港口的水深与时刻间的变化满足函数，画出函数图象，并求出函数解析式；    (2)现有一艘货船的吃水深度（船底与水面的距离）为米，安全条例规定至少要有米的间隙（船底与海底的距离），该船何时能进入港口？（参考数据：) 【答案】(1)作图见解析， (2)该船在或时可以进入港口 【分析】 【详解】（1）由表中数据可画出函数图象如下．    由图象可知，， 函数的最小正周期为，可得，则， 又因为时取最大值，即，可得，则， 因为，故，故. （2）货船需要的安全水深为米，所以当时就可以进港． 令，可得， 所以，解得， 当时，；当时，， 所以该船在或时可以进入港口． 17．（15分）已知函数． (1)写出由的图象变换得到的图象的过程； (2)求在上的单调减区间； (3)若，且，求． 【答案】(1)答案见解析 (2) (3) 【分析】 【详解】（1）方法一：由的图象变换得到的图象的过程为， 先将的图象向左平移个单位可得的图象， 再将的图象的每个点的横坐标变为原来的一半（纵坐标不变），可得的图象， 最后将的图象的每个点的纵坐标变为原来的两倍（横坐标不变）可得函数的图象； 方法二：由的图象变换得到的图象的过程为， 先将的图象的每个点的横坐标变为原来的一半（纵坐标不变），可得的图象， 再将的图象向左平移个单位可得函数的图象， 最后将的图象的每个点的纵坐标变为原来的两倍（横坐标不变）可得函数的图象； （2）法一：因为，所以， 因为y＝sinx在上单调递减，在和上单调递增， 令，可得， 所以函数在上的单调减区间为．（注意端点开闭均可） 法二： 由，，可得，， 所以函数的单调递减区间为，， 因为，所以，， 即函数f（x）在[0，π]上的单调减区间为．（注意端点开闭均可） （3）因为，所以， 因为，所以， 所以，， 所以， 即，所以． 18．（17分）已知函数． (1)若，求函数的最小正周期； (2)若函数在区间上为严格增函数，求的取值范围； (3)若函数在（且）上满足“关于x的方程在上至少存在2024个根”，且在所有满足上述条件的中，的最小值不小于2024，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】 【详解】（1）由于，且， 所以的最小正周期为. （2）由，且，得， 若函数在区间上严格递增， 则只需保证，求得，则， 则的范围为． （3）由关于的方程在区间上至少存在2024个根， 则关于的方程至少有2024个根， 则至少存在个使得， 因函数的最小正周期为， 故至少包含2023个周期，即 又在所有满足上述条件的中，的最小值不小于2024，则， 得， 所以的取值范围为． 19．（17分）如图，是函数（，，）图象的一部分 (1)求函数的解析式； (2)函数在区间上有且仅有两个零点，求实数的取值范围； (3)若关于x的方程在上有解，求实数a的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】 【详解】（1）由图可得， 函数的最小正周期为，则， 所以，因为， 则，因为，所以，解得， 所以. （2）令，则 因为函数在区间上有且仅有两个零点 所以方程在有且仅有两个实根. 令，得或 所以方程的正根从小到大排列分别是 所以，解得 （3）由， 可得， 即， 即， 即，其中， 因为，则，令， 则有，则关于t的方程在上有解， 由可得， 令，则， 因为，在上均为减函数， 所以函数在上为减函数，且当趋向于时，趋向于正无穷大， 则，所以，解得， 故实数a的取值范围是. 2 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $ 第七章 三角函数（高效培优单元自测·强化卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、单项选择题：（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题绐岀的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1．角的顶点与直角坐标系的原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于点，若，则点的横坐标是（   ） A． B． C． D． 2．下列函数中，与函数的奇偶性和定义域都相同的函数为（ ） A． B． C． D． 3．的值为（   ） A． B． C． D． 4．已知，，，则（    ） A． B． C． D． 5．将函数的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，则图象的一条对称轴方程为（   ） A． B． C． D． 6．以等边三角形每个顶点为圆心，边长为半径，在另两个顶点间作一段弧，三段弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形．如图，已知等边三角形的边长为2，则该勒洛三角形的面积为（   ）    A． B． C． D． 7．，则实数（    ） A．2 B．0 C． D． 8．已知定义域为的单调函数满足：，则函数的零点的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 二、多项选择题：（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9．若角A，B，C是的三个内角，则下列结论中一定成立的是（   ） A． B． C． D． 10．已知函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（    ） A． B．将的图象向左平移个单位长度后，得到函数的图象 C．直线是图象的一条对称轴 D．图象的对称中心为 11．摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，乘客坐在摩天轮慢慢往上转，可以从高处俯瞰四周景色．已知摩天轮最高点距离地面高度为，转盘直径为，开启后按逆时针方向匀速旋转，摩天轮设置有若干个座舱，转一周需要．游客甲在座舱转到距离地面最近的位置进舱，后距离地面的高度为（单位：），下述结论正确的是（   ） A． B．甲进舱10分钟后距离地面的高度是 C．若在，时刻游客距离地面的高度相等，则的最小值为30 D．在运行一周的过程中，的时间超过 三、填空题：（本题共3小题，每小题5分，共计15分.） 12．设，则 （结果用含的式子表示）. 13．已知函数的最小正周期为，时函数图像位于最低点，则 ． 14．若不等式对恒成立，则 . 四、解答题：（本题共5小题，共计77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15．（13分）已知锐角满足． (1)求、的值； (2)若角的终边与角的终边关于轴对称，求的值． 16．（15分）海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象叫潮，一般地，早潮叫潮，晚潮叫汐．在通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近码头；卸货后，在落潮时返回海洋．下面是某港口在某季节每天的时间与水深关系表： 时刻 0：00 3：00 6：00 9：00 12：00 15：00 18：00 21：00 24：00 水深/米 4.5 6.5 4.5 2.5 4.5 6.5 4.5 2.5 4.5 (1)已知该港口的水深与时刻间的变化满足函数，画出函数图象，并求出函数解析式； (2)现有一艘货船的吃水深度（船底与水面的距离）为米，安全条例规定至少要有米的间隙（船底与海底的距离），该船何时能进入港口？（参考数据：) 17．（15分）已知函数． (1)写出由的图象变换得到的图象的过程； (2)求在上的单调减区间； (3)若，且，求． 18．（17分）已知函数． (1)若，求函数的最小正周期； (2)若函数在区间上为严格增函数，求的取值范围； (3)若函数在（且）上满足“关于x的方程在上至少存在2024个根”，且在所有满足上述条件的中，的最小值不小于2024，求的取值范围． 19．（17分）如图，是函数（，，）图象的一部分 (1)求函数的解析式； (2)函数在区间上有且仅有两个零点，求实数的取值范围； (3)若关于x的方程在上有解，求实数a的取值范围. 2 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $