第08讲 等差数列（思维导图+2知识点+9大题型+过关检测）（寒假预习讲义）高二数学人教B版

第08讲 等差数列 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材·学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型·强知识：核心题型举一反三精准练 【题型01：等差数列的判断】 【题型02：求等差数列的基本项】 【题型03：求等差数列的通项公式】 【题型04：等差中项】 【题型05：等差数列的证明】 【题型06：等差数列的性质】 【题型07：对称设元法巧解等差数列】 【题型08：等差数列的单调性】 【题型09：等差数列的实际应用】 第二步：记 串知识·识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测·稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点1：等差数列的概念与通项公式 1.等差数列的定义 一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差都等于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列,这个常数叫做等差数列的公差,公差通常用字母d表示. 2.等差中项 由三个数组成的等差数列可以看成是最简单的等差数列.这时,A叫做a与b的等差中项.根据等差数列的定义可以知道,. 3.等差数列的递推公式及通项公式 已知等差数列的首项为,公差为d，则递推公式为， 通项公式为 知识点2：等差数列的性质与应用 1.等差数列通项公式的变形及推广 （1） （2）. （3）,且. 2.若分别是公差为的等差数列,则有 数列 结论 公差为d的等差数列(c为任一常数) 公差为cd的等差数列(c为任一常数) 公差为2d的等差数列(k为常数) 公差为的等差数列(p,q为常数) 3.下标性质 在等差数列中,若,则.特别的,若,则有 【题型01：等差数列的判断】 1．（多选）下列数列是递增的等差数列的是（    ） A． B． C． D．数列满足 【答案】AD 【详解】由题意，∵， ∴A中数列是公差为6的递增等差数列.故A正确. ∵，∴B中数列不是等差数列.故B错误. ∵，∴C中数列是公差为0的等差数列，但不是递增数列.故C错误. ∵，∴D中数列是公差为3的递增等差数列.故D正确. 故选：AD. 2．若数列为，，，，…，则是这个数列的第 项． 【答案】26 【详解】易发现该数列指数呈现等差关系， 设数列7，10，13，16，…，为数列， 则数列是以7为首项3为公差的等差数列， 其通项公式为，令，解得； 故答案为：26. 3．已知数列满足，，则（   ） A．3 B．5 C．7 D．9 【答案】C 【详解】由，可得数列是等差数列，公差， 又，. 故选：C. 4．从1，2，3，…，9这9个数字中任取3个不同的数字，使它们成等差数列，则这样的等差数列共有（    ） A．16个 B．24个 C．32个 D．48个 【答案】C 【详解】解：当公差时，数列有1，2，3；2，3，4；3，4，5；4，5，6；，5，6，7；6，7，8；7，8，9共7个； 当公差时，数列有1，3，5；2，4，6；3，5，7；4，6，8；5，7，9共5个； 当公差时，数列有1，4，7，；2，5，8；3，6，9共3个； 当公差时，数列有1，5，9共1个， 同理，当时，有7个， 当时，有5个， 当时，有3个， 当时，有1个， 故共有． 故选：C． 5．由公差的等差数列组成一个新的数列，下列说法正确的是（   ） A．新数列不是等差数列 B．新数列是公差为d的等差数列 C．新数列是公差为2d的等差数列 D．新数列是公差为3d的等差数列 【答案】C 【详解】因为， 所以数列是公差为2d的等差数列. 故选：C 【题型02：求等差数列的基本项】 6．已知等差数列，，则＝（   ） A．0 B．－1 C．－2 D．－3 【答案】B 【详解】由数列为等差数列，则，解得， 可得公差，所以． 故选：B． 7．在等差数列中，则等于（    ） A． B．15 C．25 D． 【答案】B 【详解】设等差数列的公差为，由题意得，解得. 故选：B. 8．已知等差数列的公差为，若，则（　　） A．1 B．2 C．4 D．6 【答案】C 【详解】由题意知，，又，故． 故选：C 9．已知等差数列的公差为，已知，且，则（   ） A．1 B．2 C．3 D． 【答案】A 【详解】因为数列为等差数列，且， 若，则，可得. 故选：A. 10．等差数列中，，，则（   ） A．35 B．40 C．55 D．53 【答案】D 【详解】因为为等差数列，设公差为d， 所以，则， 又，联立解得， 所以. 故选：D 11．在等差数列中，，，则公差的取值范围是 . 【答案】 【详解】等差数列中，，， 所以，解得，即公差的取值范围是． 故答案为：. 【题型03：求等差数列的通项公式】 12．设是等差数列，且，，则的通项公式为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设等差数列的公差为， 因为，， 所以，解得， 则. 故选：B. 13．已知数列中，，则 ，数列的通项公式是 . 【答案】 /0.5 【详解】由得. 因为，所以数列是首项为1，公差为的等差数列. 所以. 所以数列的通项公式是. 所以. 故答案为：①，②. 14．已知等差数列的公差为1，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】若数列公差为，因为，所以， 又，解得，所以. 故选：C 15．已知等差数列的首项，公差，在中每相邻两项之间都插入3个数，组成一个新的等差数列，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设的公差为，则，， 故. 故选：B. 16．已知各项均为正数的数列中，，，则（    ） A．400 B．600 C．800 D．1000 【答案】C 【详解】因为数列各项均为正数，且，， 所以数列是以为首项，为公差的等差数列， 所以， 所以，， 故选：C 17．数列是以1为首项，2为公差的等差数列，则 . 【答案】 【详解】由题意可得：， 即， 所以， 故答案为： 【题型04：等差中项】 18．等差数列中，，则数列的公差为（    ） A．1 B．2 C．-2 D．-1 【答案】A 【详解】由等差中项可得 又，故公差为， 故选：A 19．为等差数列，若，下列不是定值的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为数列为等差数列， 则，解得， 对于A选项，； 对于B选项，无法确定的值； 对于C选项，； 对于D选项，. 故选：B. 20．已知是方程的两个根，则的等差中项为（    ） A．1 B．2 C．4 D．不能确定 【答案】A 【详解】由韦达定理可得， 所以的等差中项为1. 故选：A 21．在等差数列中，，则的值为 . 【答案】12 【详解】由题意得，结合等差数列的性质可知， 可得，即， 则. 故答案为：12 22．已知数列与均为等差数列，且，，则（    ） A．9 B．18 C．16 D．27 【答案】A 【详解】因为数列与均为等差数列，且，， 所以 所以， 则. 故选：. 23．已知数列是公差为2的等差数列，数列，，也为等差数列，且，则 ． 【答案】 【详解】因为数列，，为等差数列， 所以，即， 所以， 化简可得， 当时，，解得； 当时，，此时无解； 当时，，解得，不合题意； 综上，. 故答案为： 【题型05：等差数列的证明】 24．已知数列都是等差数列，公差分别为，数列满足. (1)数列是不是等差数列?若是，证明你的结论；若不是，请说明理由； (2)若，求数列的通项公式. 【答案】(1)数列是等差数列， 证明见解析 (2). 【分析】 【详解】（1）解：数列是等差数列， 证明如下： 由数列都是等差数列，公差分别为，且， 可得， 则（常数）， 所以数列是公差为的等差数列. （2）解：因为，可得 由（1）得，数列是首项为，公差为的等差数列， 所以. 25．已知，若，且（为正整数）. (1)写出数列的前5项； (2)证明是等差数列，并求. 【答案】(1)1，，，， (2)证明见解析， 【分析】 【详解】（1）由已知条件得， 即，, ,, 故数列的前5项为1，，，，. （2）证明：∵，∴, ∴，其中首项为， ∴是首项为，公差为的等差数列， ∴， ∴. 26．在数列中，，且．证明：是等差数列. 【答案】证明见解析 【详解】因为在数列中，，且， 所以， 所以是首项为，公差为2的等差数列． 27．已知数列满足，且，证明：是等差数列. 【答案】证明见解析 【详解】因为，所以， 所以，即 所以是以为首项，为公差的等差数列. 28．已知数列，满足，，记. (1)试证明数列为等差数列； (2)求数列的通项公式． 【答案】(1)证明见及解析 (2) 【分析】 【详解】（1）证明： , 又， ∴数列是首项为，公差为的等差数列． （2）由（1）知， 因为，所以 ∴数列的通项公式为. 29．已知数列{an}满足，，令. (1)证明：数列是等差数列； (2)求数列的通项公式． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】 【详解】（1）∵ ， ∴，又， ∴是首项为，公差为的等差数列． （2）由（1）知， ，∴. 【题型06：等差数列的性质】 30．在等差数列中，，则（   ） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】D 【详解】由等差数列的性质可知， 则，故. 故选：D 31．已知等差数列满足，则（    ） A． B．3 C． D．6 【答案】B 【详解】由， 若的公差为，则. 故选：B 32．设数列是等差数列，“”是“”的（   ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 【答案】A 【详解】在等差数列中，若，则成立，故充分性满足； 下面讨论必要性：取，若，则不一定成立，故必要性不满足， 所以“”是“”的充分不必要条件． 故选：A． 33．已知正项等差数列满足，则（   ） A．670 B．675 C．2025 D．4050 【答案】B 【详解】因为数列为正项等差数列， 则，即， 可得，，，， 累乘可得. 故选：B. 34．已知正项等差数列满足，则（   ） A．5 B． C． D． 【答案】C 【详解】因为， 所以， 又， 所以，则，则， 解得或， 又，所以. 故选：C 35．正项等差数列中，，则的最小值为 ． 【答案】 【详解】由正项等差数列中，由，得， 则， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为. 故答案为： 36．（多选）记等差数列的公差为，已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【详解】等差数列的公差为，， 对于A，，A正确； 对于B，的符号无法确定，B错误； 对于C，，C错误； 对于D，，，则，D正确. 故选：AD 【题型07：对称设元法巧解等差数列】 37．在与15之间插入5个数，使这7个数成等差数列，则插入的5个数之和为（    ） A．21 B．24 C．27 D．30 【答案】D 【详解】设插入的5个数依次为，则数列成等差数列， 因此，解得， 所以. 故选：D 38．已知五个数成等差数列，这五个数之和为100，其中较大的三个数之和的是较小的两个数之和，则这五个数中最大的数为（    ） A． B．20 C． D． 【答案】C 【分析】 【详解】设这五个数分别为，， 由题意可得，解得， 且，解得， 则最大的数为. 故选：C 39．在7和21中插入3个数，使这5个数成等差数列，则这3个数为 ． 【答案】 【详解】设所求三个数依次为，则成等差数列， 因此，解得， 所以这3个数为. 故答案为： 40．成等差数列的四个数之和为26，第二个数与第三个数之积为40，这四个数为 ． 【答案】2，5，8，11或11，8，5，2． 【详解】设这四个数依次为(公差为)． 因为四个数之和为26，第二个数与第三个数之积为40， 所以，解得：或， ∴这个数列为或 故答案为：2,5,8,11或11,8,5,2． 41．四个数成递减的等差数列，四个数之和为26，第二个数与第三个数之积为40．求这四个数． 【答案】11，8，5，2 【详解】设这四个数为，，，（公差为2d）， 依题意，得，解得或， 又四个数成递减的等差数列，即，因此． 所以所求的四个数为11，8，5，2. 【题型08：等差数列的单调性】 42．（多选）已知等差数列的公差，则下列说法正确的是（   ） A．若，则是单调递减数列 B．若，则是单调递增数列 C．是单调递增数列 D．是单调递增数列 【答案】BCD 【详解】对于A选项，不妨取，则，且对任意的，， 但，，此时数列不单调，A错； 对于B选项，若，由于，故数列是单调递增数列，B对； 对于C选项，对任意的，由于，故数列是单调递增数列，C对； 对于D选项，对任意的，， 因为，所以，故数列是单调递增数列，D对. 故选：BCD. 43．（多选）下面是关于公差的等差数列的四个命题，其中正确的有（    ） A．数列是等差数列 B．数列是等差数列 C．数列是递增数列 D．数列是递增数列 【答案】ABD 【详解】设等差数列的首项为，所以， 对于A，由，则，所以，即数列是等差数列为公差为的等差数列，故A正确； 对于B，由，所以，则，所以数列是以公差为的等差数列，故B正确； 对于C，由，可得，当时，数列不是递增数列，故C不正确； 对于D，由，可得，所以，所以数列是递增数列，故D正确； 故选：ABD 44．设无穷等差数列的前项积为.若，则“有最大值”是“公差”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】 【详解】对于无穷等差数列，由于， 当时，若数列中小于0的项为偶数项，且数列中无0时，显然没有最大值， 当时，数列为常数列，当不等于时，，无最大值， 所以公差不能推出有最大值， 当时，，所以趋于正无穷，为正负间隔的摆动数列，没有最大值， 所以当有最大值时，只能， 综上，“有最大值”是“公差”的充分不必要条件， 故选：A 45．已知无穷等差数列的各项均为正整数，且，则的最小值是 . 【答案】8 【详解】若等差数列的各项均为正整数， 则数列是严格递增数列， 于是公差， 因此为正整数， 因为关于单调递减，而， 则当时，取得最小值为. 故答案为： 46．已知等差数列{an}的首项a1＝11，公差，当|an|最小时，n＝ ． 【答案】16 【详解】由题意，， 令，得，解得， 所以当时，，此时单调递减； 当时，，此时单调递增； 又，，则， 因此当最小时，， 故答案为： 【题型09：等差数列的实际应用】 47．《周髀算经》中有这样一个问题：从冬至日起，依次有小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种，这些节气的日影长依次成等差数列，冬至、立春、春分日影长之和为尺，前九个节气日影长之和为尺，则小满日影长为（    ） A．尺 B．尺 C．尺 D．尺 【答案】B 【详解】从冬至日起，依次构成等差数列，设为， 由题意得： ， 解得， 又冬至、立春、春分日影长之和为31.5尺：， 所以， 所以， 所以， 故选：B 48．天干地支纪年法源于中国，中国自古便有十天干与十二地支.十天干即：甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸；十二地支即：子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥.天干地支纪年法是按顺序以一个天干和一个地支相配，排列起来，天干在前，地支在后，天干由“甲”起，地支由“子”起，比如第一年为“甲子”，第二年为“乙丑”，第三年为“丙寅”，…，以此类推，排列到“癸酉”后，天干回到“甲”重新开始，即“甲戌”，“乙亥”，之后地支回到“子”重新开始，即“丙子”，…，以此类推，2022年是壬寅年，请问：在100年后的2122年为（    ） A．壬午年 B．辛丑年 C．己亥年 D．戊戌年 【答案】A 【详解】由题意得：天干可看作公差为10的等差数列，地支可看作公差为12的等差数列， 由于，余数为0，故100年后天干为壬， 由于，余数为4，故100年后地支为午， 综上：100年后的2122年为壬午年. 故选：A 49．2024年春节前夕，某商城针对顾客举办了一次“购物送春联”的促销活动，活动规则如下：将一天内购物不少于800元的顾客按购物顺序从1开始依次编号，编号能被3除余1，也能被4除余1的顾客可以获得春联1对，否则不能获得春联．若某天符合条件的顾客共有2000人，则恰好获得1对春联的人数为 . 【答案】167 【详解】将能被3除余1且被4除余1的正整数按从小到大排列所得的数列记为， 则既是3的倍数，也是4的倍数， 故为12的倍数，所以是首项为0，公差为12的等差数列， 所以， 令，即，且，解得， 且，又，所以恰好获得1对春联的人数为167． 故答案为：167 50．百善孝为先，孝敬父母是中华民族的传统美德.因父母年事已高，大张与小张兄弟俩约定：如果两人在同一天休息就一起回家陪伴父母，并把这一天记为“家庭日”.由于工作的特殊性，大张每工作三天休息一天，小张每周星期一与星期五休息，除此之外，他们没有其它休息日.已知2021年共有365天，2021年1月1日（星期五）是他们约定的首个“家庭日”，则2021年全年他们约定的“家庭日”是星期五的天数为 ；2021年全年他们约定的“家庭日”共有 个. 【答案】 ； . 【详解】设大张的休息日构成的等差数列为，显然大张在2021年第天放假， 所以有， 若小张每周星期五休息，小张休息日构成等差数列为，则有， 此时两数列的公共项为：，首项为，公差为，末项为， 设共有项，所以有； 若小张每周星期一休息，小张休息日构成等差数列为，则有， 此时两数列的公共项为：，首项为，公差为，末项为， 设共有项，所以有， 所以2021年全年他们约定的“家庭日”共有天， 故答案为：； 一、单选题 1．已知数列满足，设甲：，乙：为等差数列.则甲是乙的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】令，则，因为， 所以，即为等差数列，故充分性成立. 反之，若为等差数列，设公差为， 则， 当时，，故必要性不成立. 故选：A. 2．在等差数列中，，，则（    ） A．4 B．5 C．7 D．6 【答案】D 【详解】由等差数列的性质得，解得， 又因为，，解得. 故选：D. 3．在等差数列中，，，则数列的通项公式为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设等差数列的公差为． 因为，所以，解得． 所以， 所以． 故选：D. 4．某公司购置了一台价值为300万元的设备，随着设备在使用过程中老化，其价值逐年减少.经验表明，每经过一年其价值就会减少（为正常数）万元.已知这台设备的使用年限为10年，超过10年，它的价值将低于购进价值的10%，设备将报废.则d的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设使用年后该设备的价值为，则由， 有， 又由，有，可得. 故选：D. 5．已知做一个木梯需要7根横梁，这7根横梁的长度从上到下成等差数列，现有长为1.8m的一根木杆刚好可以截成最上面的三根横梁，长为2.4m的一根木杆刚好可以截成最下面的三根横梁，那么正中间的一根横梁的长度是（    ） A．0.6m B．0.7m C．0.8m D．0.9m 【答案】B 【详解】记7根横梁的长度从上到下成等差数列， 由题意得，， ∴，，故，， ∵，∴，即正中间的一根横梁的长度是0.7m. 故选：B. 6．已知数列满足，，记，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】对于A选项，，A错； 对于B选项，，B错； 对于C选项，，即，C对； 对于D选项，由题意可知，数列为等差数列，首项为，公差为， 所以，D错. 故选：C. 二、多选题 7．已知等差数列满足且公差，则该数列中一定不为零的项为（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【详解】由，则，可得， ∴且， 则必有，都不为0. 故选：ACD 8．设是等差数列，下列结论中正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D． 【答案】BC 【详解】设的公差为， 对于A，， 因为公差的正负不确定，所以的正负不确定，故A错误； 对于B，因为， 即异号， 当时，由等差数列的单调性可知，即， 当时，由等差数列的单调性可知，即， B正确， 对于C，，所以， 又，故不存在使原式取等情况，，故C正确； 对于D， ，D错误； 故选：BC. 三、填空题 9．已知数列是等差数列，且，，则数列的通项公式 . 【答案】 【详解】设等差数列的公差为， 由等差数列的性质可知， 由可得，所以公差， 所以数列的通项公式. 故答案为： 10．已知数列，则 （用数字作答） 【答案】 【详解】当时， ，两式作差得： 即 因此，奇数项和偶数项分别构成公差为 的等差数列， 奇数项：，公差 ，故 ， 当 为奇数时，令 ，解得 ，代入得 故答案为： . 四、解答题 11．已知数列中，. (1)求的值； (2)求证：数列是等差数列，并求数列的通项公式. 【答案】(1)， (2)证明见解析， 【分析】 【详解】（1）因为， 所以， （2）因为，所以， 即， 又因为， 所以数列是首项为1，公差为3的等差数列. 所以， 所以. 12．数列满足. (1)求； (2)当时，判断数列是否为等差数列，并说明理由： (3)求证：“”是“数列单调递增”的充分不必要条件. 【答案】(1) (2)不能，理由见解析 (3)证明过程见解析 【分析】 【详解】（1）因为数列满足， 所以； （2）假设数列能为等差数列，设它的公差为， ， 因此当时，恒成立， 所以等式在时恒成立， 所以有. 因为，所以数列不能是等差数列. （3）当时，因为， 所以，因此数列单调递增， 当时，，显然数列单调递增， 但是不成立， 故“”是“数列单调递增”的充分不必要条件. 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第08讲 等差数列 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材·学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型·强知识：核心题型举一反三精准练 【题型01：等差数列的判断】 【题型02：求等差数列的基本项】 【题型03：求等差数列的通项公式】 【题型04：等差中项】 【题型05：等差数列的证明】 【题型06：等差数列的性质】 【题型07：对称设元法巧解等差数列】 【题型08：等差数列的单调性】 【题型09：等差数列的实际应用】 第二步：记 串知识·识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测·稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点1：等差数列的概念与通项公式 1.等差数列的定义 一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差都等于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列,这个常数叫做等差数列的公差,公差通常用字母d表示. 2.等差中项 由三个数组成的等差数列可以看成是最简单的等差数列.这时,A叫做a与b的等差中项.根据等差数列的定义可以知道,. 3.等差数列的递推公式及通项公式 已知等差数列的首项为,公差为d，则递推公式为， 通项公式为 知识点2：等差数列的性质与应用 1.等差数列通项公式的变形及推广 （1） （2）. （3）,且. 2.若分别是公差为的等差数列,则有 数列 结论 公差为d的等差数列(c为任一常数) 公差为cd的等差数列(c为任一常数) 公差为2d的等差数列(k为常数) 公差为的等差数列(p,q为常数) 3.下标性质 在等差数列中,若,则.特别的,若,则有 【题型01：等差数列的判断】 1．（多选）下列数列是递增的等差数列的是（    ） A． B． C． D．数列满足 2．若数列为，，，，…，则是这个数列的第 项． 3．已知数列满足，，则（   ） A．3 B．5 C．7 D．9 4．从1，2，3，…，9这9个数字中任取3个不同的数字，使它们成等差数列，则这样的等差数列共有（    ） A．16个 B．24个 C．32个 D．48个 5．由公差的等差数列组成一个新的数列，下列说法正确的是（   ） A．新数列不是等差数列 B．新数列是公差为d的等差数列 C．新数列是公差为2d的等差数列 D．新数列是公差为3d的等差数列 【题型02：求等差数列的基本项】 6．已知等差数列，，则＝（   ） A．0 B．－1 C．－2 D．－3 7．在等差数列中，则等于（    ） A． B．15 C．25 D． 8．已知等差数列的公差为，若，则（　　） A．1 B．2 C．4 D．6 9．已知等差数列的公差为，已知，且，则（   ） A．1 B．2 C．3 D． 10．等差数列中，，，则（   ） A．35 B．40 C．55 D．53 11．在等差数列中，，，则公差的取值范围是 . 【题型03：求等差数列的通项公式】 12．设是等差数列，且，，则的通项公式为（    ） A． B． C． D． 13．已知数列中，，则 ，数列的通项公式是 . 14．已知等差数列的公差为1，，则（    ） A． B． C． D． 15．已知等差数列的首项，公差，在中每相邻两项之间都插入3个数，组成一个新的等差数列，则（   ） A． B． C． D． 16．已知各项均为正数的数列中，，，则（    ） A．400 B．600 C．800 D．1000 17．数列是以1为首项，2为公差的等差数列，则 . 【题型04：等差中项】 18．等差数列中，，则数列的公差为（    ） A．1 B．2 C．-2 D．-1 19．为等差数列，若，下列不是定值的是（   ） A． B． C． D． 20．已知是方程的两个根，则的等差中项为（    ） A．1 B．2 C．4 D．不能确定 21．在等差数列中，，则的值为 . 22．已知数列与均为等差数列，且，，则（    ） A．9 B．18 C．16 D．27 23．已知数列是公差为2的等差数列，数列，，也为等差数列，且，则 ． 【题型05：等差数列的证明】 24．已知数列都是等差数列，公差分别为，数列满足. (1)数列是不是等差数列?若是，证明你的结论；若不是，请说明理由； (2)若，求数列的通项公式. 25．已知，若，且（为正整数）. (1)写出数列的前5项； (2)证明是等差数列，并求. 26．在数列中，，且．证明：是等差数列. 27．已知数列满足，且，证明：是等差数列. 28．已知数列，满足，，记. (1)试证明数列为等差数列； (2)求数列的通项公式． 29．已知数列{an}满足，，令. (1)证明：数列是等差数列； (2)求数列的通项公式． 【题型06：等差数列的性质】 30．在等差数列中，，则（   ） A．6 B．8 C．10 D．12 31．已知等差数列满足，则（    ） A． B．3 C． D．6 32．设数列是等差数列，“”是“”的（   ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 33．已知正项等差数列满足，则（   ） A．670 B．675 C．2025 D．4050 34．已知正项等差数列满足，则（   ） A．5 B． C． D． 35．正项等差数列中，，则的最小值为 ． 36．（多选）记等差数列的公差为，已知，则（    ） A． B． C． D． 【题型07：对称设元法巧解等差数列】 37．在与15之间插入5个数，使这7个数成等差数列，则插入的5个数之和为（    ） A．21 B．24 C．27 D．30 38．已知五个数成等差数列，这五个数之和为100，其中较大的三个数之和的是较小的两个数之和，则这五个数中最大的数为（    ） A． B．20 C． D． 39．在7和21中插入3个数，使这5个数成等差数列，则这3个数为 ． 40．成等差数列的四个数之和为26，第二个数与第三个数之积为40，这四个数为 ． 41．四个数成递减的等差数列，四个数之和为26，第二个数与第三个数之积为40．求这四个数． 【题型08：等差数列的单调性】 42．（多选）已知等差数列的公差，则下列说法正确的是（   ） A．若，则是单调递减数列 B．若，则是单调递增数列 C．是单调递增数列 D．是单调递增数列 43．（多选）下面是关于公差的等差数列的四个命题，其中正确的有（    ） A．数列是等差数列 B．数列是等差数列 C．数列是递增数列 D．数列是递增数列 44．设无穷等差数列的前项积为.若，则“有最大值”是“公差”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 45．已知无穷等差数列的各项均为正整数，且，则的最小值是 . 46．已知等差数列{an}的首项a1＝11，公差，当|an|最小时，n＝ ． 【题型09：等差数列的实际应用】 47．《周髀算经》中有这样一个问题：从冬至日起，依次有小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种，这些节气的日影长依次成等差数列，冬至、立春、春分日影长之和为尺，前九个节气日影长之和为尺，则小满日影长为（    ） A．尺 B．尺 C．尺 D．尺 48．天干地支纪年法源于中国，中国自古便有十天干与十二地支.十天干即：甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸；十二地支即：子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥.天干地支纪年法是按顺序以一个天干和一个地支相配，排列起来，天干在前，地支在后，天干由“甲”起，地支由“子”起，比如第一年为“甲子”，第二年为“乙丑”，第三年为“丙寅”，…，以此类推，排列到“癸酉”后，天干回到“甲”重新开始，即“甲戌”，“乙亥”，之后地支回到“子”重新开始，即“丙子”，…，以此类推，2022年是壬寅年，请问：在100年后的2122年为（    ） A．壬午年 B．辛丑年 C．己亥年 D．戊戌年 49．2024年春节前夕，某商城针对顾客举办了一次“购物送春联”的促销活动，活动规则如下：将一天内购物不少于800元的顾客按购物顺序从1开始依次编号，编号能被3除余1，也能被4除余1的顾客可以获得春联1对，否则不能获得春联．若某天符合条件的顾客共有2000人，则恰好获得1对春联的人数为 . 50．百善孝为先，孝敬父母是中华民族的传统美德.因父母年事已高，大张与小张兄弟俩约定：如果两人在同一天休息就一起回家陪伴父母，并把这一天记为“家庭日”.由于工作的特殊性，大张每工作三天休息一天，小张每周星期一与星期五休息，除此之外，他们没有其它休息日.已知2021年共有365天，2021年1月1日（星期五）是他们约定的首个“家庭日”，则2021年全年他们约定的“家庭日”是星期五的天数为 ；2021年全年他们约定的“家庭日”共有 个. 一、单选题 1．已知数列满足，设甲：，乙：为等差数列.则甲是乙的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．在等差数列中，，，则（    ） A．4 B．5 C．7 D．6 3．在等差数列中，，，则数列的通项公式为（   ） A． B． C． D． 4．某公司购置了一台价值为300万元的设备，随着设备在使用过程中老化，其价值逐年减少.经验表明，每经过一年其价值就会减少（为正常数）万元.已知这台设备的使用年限为10年，超过10年，它的价值将低于购进价值的10%，设备将报废.则d的取值范围为（    ） A． B． C． D． 5．已知做一个木梯需要7根横梁，这7根横梁的长度从上到下成等差数列，现有长为1.8m的一根木杆刚好可以截成最上面的三根横梁，长为2.4m的一根木杆刚好可以截成最下面的三根横梁，那么正中间的一根横梁的长度是（    ） A．0.6m B．0.7m C．0.8m D．0.9m 6．已知数列满足，，记，则（    ） A． B． C． D． 二、多选题 7．已知等差数列满足且公差，则该数列中一定不为零的项为（    ） A． B． C． D． 8．设是等差数列，下列结论中正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D． 三、填空题 9．已知数列是等差数列，且，，则数列的通项公式 . 10．已知数列，则 （用数字作答） 四、解答题 11．已知数列中，. (1)求的值； (2)求证：数列是等差数列，并求数列的通项公式. 12．数列满足. (1)求； (2)当时，判断数列是否为等差数列，并说明理由： (3)求证：“”是“数列单调递增”的充分不必要条件. 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $