预习08 等差数列（七大考点）-【寒假自学课】2025年高二数学寒假提升精品讲义（人教B版2019）

预习08 等差数列 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1．通过生活中的实例,理解等差数列的概念和通项公式的意义； 2．能根据等差数列的定义推出等差数列的性质,并能运用这些性质简化运算； 3．能在具体的问题情境中,发现数列的等差关系,并解决相应的问题. 知识点一、等差数列的概念与通项公式 1.等差数列的定义 一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差都等于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列,这个常数叫做等差数列的公差,公差通常用字母d表示. 2.等差中项 由三个数组成的等差数列可以看成是最简单的等差数列.这时,A叫做a与b的等差中项.根据等差数列的定义可以知道,. 3.等差数列的递推公式及通项公式 已知等差数列的首项为,公差为d，则递推公式为， 通项公式为 知识点二、等差数列的性质与应用 1.等差数列通项公式的变形及推广 （1） （2）. （3）,且. 2.若分别是公差为的等差数列,则有 数列 结论 公差为d的等差数列(c为任一常数) 公差为cd的等差数列(c为任一常数) 公差为2d的等差数列(k为常数) 公差为的等差数列(p,q为常数) 3.下标性质 在等差数列中,若,则.特别的,若,则有 考点一：等差数列的通项及计算 例1．已知等差数列满足，则（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 变式1-1．已知数列是首项为5，公差为2的等差数列，则（   ） A． B． C． D． 变式1-2．数列中，，，则（   ） A． B． C． D． 变式1-3．在等差数列中，，且，则 ． 考点二：等差数列的判断与证明 例2．已知数列是等差数列，下面的数列中①②③④必为等差数列的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 变式2-1．已知数列的通项公式为，判断这个数列是否是等差数列．如果是，求出公差；如果不是，说明理由． 变式2-2．已知数列的首项，且满足，设，证明：是等差数列； 变式2-3．已知数列满足. (1)求证：是等差数列. (2)求数列的通项公式. 考点三：等差中项及应用 例3．在等差数列中，若，则（    ） A．5 B．7 C．9 D．10 变式3-1．已知，，则、的等差中项为（    ） A． B． C． D． 变式3-2．“数列 为等差数列” 是 “ ”的（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 变式3-3．在等差数列中，若和是方程的两实数根，则（    ） A． B．1 C．2 D．4 考点四：等差数列的性质 例4．已知数列是等差数列，且满足，则等于（    ） A．45 B．60 C．75 D．90 变式4-1．已知数列是等差数列，，则（    ） A．4 B． C． D． 变式4-2．设公差的等差数列中，满足，则的值为 . 变式4-3．已知等差数列的公差为，且，记，若数列的前项和，则 ． 考点五：等差数列的单调性及最值 例5．设，则当数列{an}的前n项和取得最小值时，n的值为（    ） A．4 B．5 C．4或5 D．5或6 变式5-1．（多选）若数列是等差数列，公差，则下列对数列的判断正确的是（    ） A．若，则数列是递减数列 B．若，则数列是递增数列 C．若，则数列是公差为d的等差数列 D．若，则数列是公差为的等差数列 变式5-2．已知等差数列的首项表示的前项和，若数列是严格增数列，则的公差取值范围是 . 变式5-3．已知等差数列的首项，公差． (1)此等差数列中从第几项开始出现负数？ (2)当n为何值时，最小？ 考点六：构造法的应用 例6．已知数列的首项，且满足，则此数列的通项公式等于（    ） A． B． C． D． 变式6-1．已知数列满足，，则（    ） A．2024 B．2025 C． D． 变式6-2．已知数列满足，，记，则 变式6-3．已知数列中，且，则 . 考点七：实际问题中的等差数列 例7．我国古代数学家提出的“中国剩余定理”又称“孙子定理”，它在世界数学史上具有光辉的一页，堪称数学史上名垂百世的成就，而且一直启发和指引着历代数学家们.定理涉及的是数的整除问题，其数学思想在近代数学，当代密码学研究及日常生活都有着广泛的应用，为世界数学的发展做出了巨大贡献，现有这样一个整除问题：将1到2022这2022个数中能被3除余2，且被5除余3，且被7除余1的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列，那么此数列的项数为（    ） A．17 B．18 C．19 D．20 变式7-1．习近平总书记提出：乡村振兴，人才是关键．要积极培养本土人才，鼓励外出能人返乡创业．为鼓励返乡创业，黑龙江对青山镇镇政府决定投入创业资金和开展“创业技术培训”帮扶返乡创业人员．预计该镇政府每年投入的创业资金构成一个等差数列（单位万元，），每年开展“创业技术培训”投入的资金为第一年创业资金的倍，已知．则预计该镇政府帮扶五年累计总投入资金的最大值为（    ） A．72万元 B．96万元 C．120万元 D．144万元 变式7-2．百善孝为先，孝敬父母是中华民族的传统美德.因父母年事已高，大张与小张兄弟俩约定：如果两人在同一天休息就一起回家陪伴父母，并把这一天记为“家庭日”.由于工作的特殊性，大张每工作三天休息一天，小张每周星期一与星期五休息，除此之外，他们没有其它休息日.已知2021年共有365天，2021年1月1日（星期五）是他们约定的首个“家庭日”，则2021年全年他们约定的“家庭日”是星期五的天数为 ；2021年全年他们约定的“家庭日”共有 个. 变式7-3．《九章算术》“竹九节”问题；现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则自上而下的第1节的容积为 ，这9节竹子的总容积为 . 一、单选题 1．已知等差数列，若，则（    ） A．1 B． C．2 D． 2．已知是等差数列，且，，则的值是（   ） A．24 B．27 C．30 D．33 3．黄州青云塔矗立在黄冈市宝塔公园的钵孟峰上，又名文峰塔，因高入青云而得名.该塔塔身由青灰色石块砌成，共七层，假设该塔底层（第一层）的底面面积为16平方米，且每往上一层，底面面积都减少1平方米，则该塔顶层（第七层）的底面面积为（   ）. A．8平方米 B．9平方米 C．10平方米 D．11平方米 4．已知递减等差数列，，是方程两个实根，当时，（    ） A．2026 B．2025 C．1012 D．2 5．设等差数列的公差为，则“”是“为递增数列”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 6．已知数列的首项，则（    ） A．48 B．80 C．63 D．65 二、多选题 7．已知等差数列的公差为，且，则（    ） A． B． C． D． 8．已知数列均为无穷等差数列，则下列说法正确的是（    ） A．数列是等差数列 B．数列是等差数列 C．是等差数列 D．若，则为等差数列 三、填空题 9．在等差数列中，若，则的值为 . 10．已知数列满足且则的通项公式 . 11．已知各项均为整数的等差数列，若，，，则 的最小值是 ． 四、解答题 12．已知数列中，对任意的，都有，，求的通项公式． 13．设为数列的前项和，. (1)求及； (2)判断这个数列是否是等差数列. 14．已知无穷等差数列的首项，公差，依次取出序号为被4除余3的项组成数列． (1)求和； (2)求的通项公式； (3)中的第110项是中的第几项？ 15．设数列的前项和为，已知，且． (1)证明：数列是等差数列； (2)求数列的通项公式． ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 预习08 等差数列 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1．通过生活中的实例,理解等差数列的概念和通项公式的意义； 2．能根据等差数列的定义推出等差数列的性质,并能运用这些性质简化运算； 3．能在具体的问题情境中,发现数列的等差关系,并解决相应的问题. 知识点一、等差数列的概念与通项公式 1.等差数列的定义 一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差都等于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列,这个常数叫做等差数列的公差,公差通常用字母d表示. 2.等差中项 由三个数组成的等差数列可以看成是最简单的等差数列.这时,A叫做a与b的等差中项.根据等差数列的定义可以知道,. 3.等差数列的递推公式及通项公式 已知等差数列的首项为,公差为d，则递推公式为， 通项公式为 知识点二、等差数列的性质与应用 1.等差数列通项公式的变形及推广 （1） （2）. （3）,且. 2.若分别是公差为的等差数列,则有 数列 结论 公差为d的等差数列(c为任一常数) 公差为cd的等差数列(c为任一常数) 公差为2d的等差数列(k为常数) 公差为的等差数列(p,q为常数) 3.下标性质 在等差数列中,若,则.特别的,若,则有 考点一：等差数列的通项及计算 例1．已知等差数列满足，则（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【详解】在等差数列中， 故选：B. 变式1-1．已知数列是首项为5，公差为2的等差数列，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意得，即，则． 故选：A． 变式1-2．数列中，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】数列中，，， 所以数列是首项，公差的等差数列， 所以. 故选：A. 变式1-3．在等差数列中，，且，则 ． 【答案】/ 【详解】设等差数列公差为， 因为，即， 整理得， 所以． 故答案为：. 考点二：等差数列的判断与证明 例2．已知数列是等差数列，下面的数列中①②③④必为等差数列的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【详解】由数列是等差数列，不妨设其公差为，则， 对于①，因，，则为常数，故是等差数列； 对于②，不妨设，则，，于是为常数，故是等差数列； 对于③，设，则，，于是为常数，故是等差数列； 对于④，若数列为，显然是等差数列，则数列为，因，故不是等差数列. 即在①，②，③，④中，是等差数列的有3个， 故选：C. 变式2-1．已知数列的通项公式为，判断这个数列是否是等差数列．如果是，求出公差；如果不是，说明理由． 【答案】是，公差为3 【详解】因为， 所以数列是等差数列，且公差为3. 变式2-2．已知数列的首项，且满足，设，证明：是等差数列； 【答案】证明见解析 【详解】将等式两边都减去得：. 再除以得：， 由于，即. 即，且. 所以是首项为，公差为的等差数列. 变式2-3．已知数列满足. (1)求证：是等差数列. (2)求数列的通项公式. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）为常数， 所以为公差为的等差数列， （2）由于为公差为的等差数列，且首项为， 所以，所以 考点三：等差中项及应用 例3．在等差数列中，若，则（    ） A．5 B．7 C．9 D．10 【答案】A 【详解】由于是等差数列，故，所以. 故选：A. 变式3-1．已知，，则、的等差中项为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】、的等差中项为. 故选：B. 变式3-2．“数列 为等差数列” 是 “ ”的（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】A 【详解】如果数列是等差数列，根据等差中项的扩展可得一定有， 反之成立，不一定有数列是等差数列. 故选：A. 变式3-3．在等差数列中，若和是方程的两实数根，则（    ） A． B．1 C．2 D．4 【答案】C 【详解】由和是方程的两实数根，则， 由等差数列性质可得，故. 故选：C. 考点四：等差数列的性质 例4．已知数列是等差数列，且满足，则等于（    ） A．45 B．60 C．75 D．90 【答案】A 【详解】由等差数列性质计算可得，即， 所以可得. 故选：A 变式4-1．已知数列是等差数列，，则（    ） A．4 B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，则，又，则， 解得， 所以. 故选：C 变式4-2．设公差的等差数列中，满足，则的值为 . 【答案】/ 【详解】因为为等差数列，所以， 所以，，， 因为，所以， 整理得：，即， 因为，所以，根据等差数列的性质，有： ， ， 所以. 故答案为： 变式4-3．已知等差数列的公差为，且，记，若数列的前项和，则 ． 【答案】0 【详解】因为等差数列的公差为， 又数列的前项和， 所以， 因为，所以，所以， 所以，所以. 故答案为：. 考点五：等差数列的单调性及最值 例5．设，则当数列{an}的前n项和取得最小值时，n的值为（    ） A．4 B．5 C．4或5 D．5或6 【答案】A 【详解】由，即，解得，因为,故. 故选：A. 变式5-1．（多选）若数列是等差数列，公差，则下列对数列的判断正确的是（    ） A．若，则数列是递减数列 B．若，则数列是递增数列 C．若，则数列是公差为d的等差数列 D．若，则数列是公差为的等差数列 【答案】AD 【详解】由且， A：由，即数列是递减数列，对； B：由，若时，如，不单调，错； C：由，则数列是公差为的等差数列，错； D：由，则数列是公差为的等差数列，对. 故选：AD 变式5-2．已知等差数列的首项表示的前项和，若数列是严格增数列，则的公差取值范围是 . 【答案】 【详解】若数列是严格增数列， 则恒成立， 即恒成立， 又， 所以， 所以的公差取值范围是， 故答案为：. 变式5-3．已知等差数列的首项，公差． (1)此等差数列中从第几项开始出现负数？ (2)当n为何值时，最小？ 【答案】(1)从第23项开始出现负数 (2)当时最小 【详解】（1）等差数列的首项，公差 则 由，得，即从第23项开始出现负数. （2）由等差数列的通项公式 可得 在时取最小值为 在时取最小值为 则在时取最小值为 考点六：构造法的应用 例6．已知数列的首项，且满足，则此数列的通项公式等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】，， 即，则， 所以数列是以为首项，为公差的等差数列， 所以，所以. 故选：C. 变式6-1．已知数列满足，，则（    ） A．2024 B．2025 C． D． 【答案】D 【详解】由得， 所以为公差为的等差数列，又， 所以， 则 故选：D. 变式6-2．已知数列满足，，记，则 【答案】59 【详解】由题意得为偶数，则， 所以， 即，且， 所以是以2为首项，3为公差的等差数列， 则， 所以． 故答案为：. 变式6-3．已知数列中，且，则 . 【答案】 【详解】因为，所以， 即，又， 所以数列是首项为，公差为的等差数列， 所以， 所以，所以. 故答案为：. 考点七：实际问题中的等差数列 例7．我国古代数学家提出的“中国剩余定理”又称“孙子定理”，它在世界数学史上具有光辉的一页，堪称数学史上名垂百世的成就，而且一直启发和指引着历代数学家们.定理涉及的是数的整除问题，其数学思想在近代数学，当代密码学研究及日常生活都有着广泛的应用，为世界数学的发展做出了巨大贡献，现有这样一个整除问题：将1到2022这2022个数中能被3除余2，且被5除余3，且被7除余1的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列，那么此数列的项数为（    ） A．17 B．18 C．19 D．20 【答案】D 【详解】由题意得：能被3除余2的数为2，5，8，11……， 故，， 被5除余3的数为3，8，13……，故，， 被7除余1的数为1，8，15……，故，， 由，，， 故，， 令，解得：， 因为，所以，故此数列的项数为20. 故选：D 变式7-1．习近平总书记提出：乡村振兴，人才是关键．要积极培养本土人才，鼓励外出能人返乡创业．为鼓励返乡创业，黑龙江对青山镇镇政府决定投入创业资金和开展“创业技术培训”帮扶返乡创业人员．预计该镇政府每年投入的创业资金构成一个等差数列（单位万元，），每年开展“创业技术培训”投入的资金为第一年创业资金的倍，已知．则预计该镇政府帮扶五年累计总投入资金的最大值为（    ） A．72万元 B．96万元 C．120万元 D．144万元 【答案】C 【详解】设等差数列的公差为， 由题意可知，五年累计总投入资金为： ， 因为， 所以， 当且仅当时取等号， 故预计该镇政府帮扶五年累计总投入资金的最大值为120万元， 故选：C. 变式7-2．百善孝为先，孝敬父母是中华民族的传统美德.因父母年事已高，大张与小张兄弟俩约定：如果两人在同一天休息就一起回家陪伴父母，并把这一天记为“家庭日”.由于工作的特殊性，大张每工作三天休息一天，小张每周星期一与星期五休息，除此之外，他们没有其它休息日.已知2021年共有365天，2021年1月1日（星期五）是他们约定的首个“家庭日”，则2021年全年他们约定的“家庭日”是星期五的天数为 ；2021年全年他们约定的“家庭日”共有 个. 【答案】 ； . 【详解】设大张的休息日构成的等差数列为，显然大张在2021年第天放假， 所以有， 若小张每周星期五休息，小张休息日构成等差数列为，则有， 此时两数列的公共项为：，首项为，公差为，末项为， 设共有项，所以有； 若小张每周星期一休息，小张休息日构成等差数列为，则有， 此时两数列的公共项为：，首项为，公差为，末项为， 设共有项，所以有， 所以2021年全年他们约定的“家庭日”共有天， 故答案为：； 变式7-3．《九章算术》“竹九节”问题；现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则自上而下的第1节的容积为 ，这9节竹子的总容积为 . 【答案】 升 升 【详解】解：将自上而下各节竹子的容积分别记为，，…，， 依题意可得，， 即①，②，，得，解得， 把代入①，得， 故升. 一、单选题 1．已知等差数列，若，则（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】C 【详解】方法1：因为为等差数列，设其公差为，则，， 所以， 所以， 所以，解得. 方法2：因为，所以， 两式相减可得， 所以的公差． 所以，则， 故，所以，解得． 方法3：当时，； 当时，． 两式相减可得， 所以的公差， 所以，代入中，解得. 故选：C. 2．已知是等差数列，且，，则的值是（   ） A．24 B．27 C．30 D．33 【答案】B 【详解】因为是等差数列，所以，，也成等差数列， 所以． 故选：B 3．黄州青云塔矗立在黄冈市宝塔公园的钵孟峰上，又名文峰塔，因高入青云而得名.该塔塔身由青灰色石块砌成，共七层，假设该塔底层（第一层）的底面面积为16平方米，且每往上一层，底面面积都减少1平方米，则该塔顶层（第七层）的底面面积为（   ）. A．8平方米 B．9平方米 C．10平方米 D．11平方米 【答案】C 【详解】由题意可得该塔第一层至第七层的底面面积依次成等差数列，且首项为16，公差为， 故该塔顶层的底面面积为平方米． 故选：C 4．已知递减等差数列，，是方程两个实根，当时，（    ） A．2026 B．2025 C．1012 D．2 【答案】B 【详解】方程的两个根是1和2024， 又等差数列递减，则，， 数列的公差为，所以，故． 故选：B． 5．设等差数列的公差为，则“”是“为递增数列”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】因为，所以； 当时，，此时显然单调递增， 所以可以推出为递增数列； 当为递增数列时，不妨取，此时为递增数列，但不满足， 所以为递增数列不能推出， 所以“”是“为递增数列”的充分不必要条件， 故选：A. 6．已知数列的首项，则（    ） A．48 B．80 C．63 D．65 【答案】C 【详解】数列的首项，则：， 整理得：，所以：， 即：（常数）， 所以数列是以为首项，1为公差的等差数列. 则：，整理得：（首项符合通项），则：， 所以：. 故选：C 二、多选题 7．已知等差数列的公差为，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【详解】由题知数列为等差数列， 所以可知得，解得， 所以，故A、D正确. 故选：AD. 8．已知数列均为无穷等差数列，则下列说法正确的是（    ） A．数列是等差数列 B．数列是等差数列 C．是等差数列 D．若，则为等差数列 【答案】ACD 【详解】∵为等差数列，设公差为，∴． ∵为等差数列，设公差为，∴． 对于A，，是常数，A选项正确. 对于B，，不是常数，B选项错误. 对于C，，是常数，C选项正确. 对于D，，是常数，D选项正确. 故选:ACD 三、填空题 9．在等差数列中，若，则的值为 . 【答案】40 【详解】由题设， 所以. 故答案为：40 10．已知数列满足且则的通项公式 . 【答案】 . 【详解】由可知数列是以为首项，1为公差的等差数列， 即可得，所以. 故答案为： 11．已知各项均为整数的等差数列，若，，，则 的最小值是 ． 【答案】7 【详解】设公差为， 因为，，， 所有，， 所以， 所以，， 所以， 又因为的各项均为整数，所以为整数， 则， 因为都是正整数，所以为和的最大公约数， 所以. 故答案为：. 四、解答题 12．已知数列中，对任意的，都有，，求的通项公式． 【答案】 【详解】由题设，得， 两式相减得，又，所以， 数列的奇数项是首项为，公差为的等差数列， 所以 数列的偶数项是首项为，公差为的等差数列， 所以 综上：. 13．设为数列的前项和，. (1)求及； (2)判断这个数列是否是等差数列. 【答案】(1)， (2)不是 【详解】（1）由得，即， 当时，， 又时，，不符合， 故； （2）由（1）得， 则， 故数列不是等差数列. 14．已知无穷等差数列的首项，公差，依次取出序号为被4除余3的项组成数列． (1)求和； (2)求的通项公式； (3)中的第110项是中的第几项？ 【答案】(1)， (2)（） (3)439 【详解】（1）因为，， 所以， 因为数列中序号能被4除余3的项依次是第3项，第7项，第11项，…， 所以，； （2）设中的第项是的第项， 即，则（）， 所以， 所以的通项公式为（）； （3）因为， 设它是中的第项， 则，则， 所以是中的第439项． 15．设数列的前项和为，已知，且． (1)证明：数列是等差数列； (2)求数列的通项公式． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）证明：由，得， ∴， 两式相减得，，则有， 两式相减得，， ∴数列是等差数列． （2）当时，，∴，又，∴， ∴． ( 1 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$