第07讲 向量数量积的坐标运算（思维导图+2知识点+7大题型+过关检测）（寒假预习讲义）高一数学人教B版

第07讲 向量数量积的坐标运算 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材·学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型·强知识：核心题型举一反三精准练 【题型01：简单数量积坐标运算】 【题型02：模的坐标运算】 【题型03：夹角的坐标运算】 【题型04：向量垂直的坐标运算】 【题型05：投影向量的坐标运算】 【题型06：平面几何与坐标运算】 【题型07：利用坐标求平面几何的最值范围】 第二步：记 串知识·识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测·稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点1：平面向量的数量积与两向量垂直的坐标表示 设向量, （1）数量积:两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和,即 （2）向量垂直: 知识点2：平面向量的模与夹角的坐标表示 （1）向量的模:设,则 （2）两点间的距离公式:若,则 （3）向量的夹角公式:设两非零向量,a与b的夹角为θ,则 【题型01：简单数量积坐标运算】 1．设，为平面直角坐标系内两点，若，则（   ） A．16 B． C．4 D． 【答案】B 【详解】，， 故－16. 故选：B. 2．已知向量，在正方形网格中的位置如图所示，若网格纸上小正方形的边长为2，则（　　） A．0 B．3 C．6 D．12 【答案】D 【详解】以两向量公共点为坐标原点建立如图所示直角坐标系， 则，，， 则， ， ， 所以. 故选：D 3．已知其中k为实数，若向量与的夹角为钝角，则k的取值范围（    ） A． B． C．6 D． 【答案】D 【详解】，不共线时，. 所以. 故选：D． 4．已知向量，，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，所以，化简得， 即，解得． 故选：C 5．已知向量与，且，则 【答案】或 【详解】，即， 解得或. 故答案为：或. 6．已知向量，，若，且，则 ． 【答案】 【详解】因为，所以，即，解得或. 当时，，，此时，，满足； 当时，，，此时，，不满足，舍去； 因此，，， 所以． 故答案为：. 【题型02：模的坐标运算】 7．已知向量，，若，则（    ） A． B． C．1 D． 【答案】C 【详解】， 由题意：， 所以. 故选：C. 8．已知，.，且点在第四象限，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设，且，①， ，②， 又，③， 由①②③解得，则点的坐标为. 故选：A. 9．已知向量.若，则（    ） A． B．5 C． D．45 【答案】A 【详解】由题意可得，，得，则， 所以，则. 故选：A. 10．已知，，若，则（   ） A．3 B． C． D． 【答案】C 【详解】由，，得 故， 由得，解得或， 当时，，则， 故； 当时，，则， 故. 综上，. 故选：C 11．在四边形中，，，，则四边形的面积为（ ） A． B．4 C． D．6 【答案】B 【详解】因为在四边形中，， 所以且，则四边形为梯形， 又，，所以， 则，且，则， 所以四边形的面积为. 故选：B. 12．在平面直角坐标系中，已知，，，若，则 . 【答案】 【详解】，，，得，. 故答案为： 【题型03：夹角的坐标运算】 13．已知向量，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由，得，， 所以. 故选：A 14．已知向量，，则向量与的夹角的正切值等于（   ） A．1 B． C． D．2 【答案】C 【详解】设向量与的夹角为， 因为，，所以， 所以，故. 故选：C. 15．已知向量，若，则实数（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【详解】由题意知，因为， 解得或，由，得，因此. 故选:D. 16．已知不共线的向量，，，且，则（    ） A．1 B． C． D．6 【答案】D 【详解】因为，所以， 即，解得， 当时，，，不共线，满足题意； 故. 故选：D 17．已知平面向量，向量与夹角的余弦值为，且，为实数，则 . 【答案】 【详解】由夹角公式， 又， . 故答案为： 18．已知向量，，向量在方向上的投影为2． (1)求实数的值； (2)若向量与的夹角为锐角，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）由题可得，解得. （2）由向量与的夹角为锐角，可得且与不共线， ，所以， 又，即，此时可得 所以实数的取值范围为. 【题型04：向量垂直的坐标运算】 19．已知向量，，若，则（   ） A． B．5 C． D．8 【答案】C 【详解】因为向量，，所以. 由于，所以， 所以，解得. 所以，所以. 故选：C. 20．已知平面向量，若，则=（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为， 所以， 因为， 所以，解得. 故选：D 21．如图，在平面直角坐标系中，四边形是正方形，已知点的坐标为，则点的坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设，因为四边形是正方形，所以，所以， 因为，所以，又因为，所以， 所以，即得，解得或，因为，所以不合题意舍去， 所以， 所以点. 故选：A. 22．若向量，则 . 【答案】 【详解】因为，则， 又因为， 所以，解得. 所以，， 故答案为：. 23．平面上有三点，，，向量，． (1)若三点，，不能构成三角形，求实数满足的条件； (2)若△ABC为直角三角形，其中是直角，求的值 【答案】(1) (2)或j． 【分析】 【详解】（1）若三点不能构成三角形，则， 又，所以，解得． （2）因为，所以， 因为，所以， 解得或. 【题型05：投影向量的坐标运算】 24．已知向量，则在方向上的投影数量为（    ） A．4 B． C．2 D． 【答案】B 【详解】向量，则，， ，， 所以在方向上的投影数量为. 故选：B 25．已知向量，，若向量在向量上的投影向量为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】， 由题意知，所以，所以，即=2， 解得. 故选：C. 26．已知平面向量满足，则在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意得，又，所以在上的投影向量为. 故选：B 27．在平面直角坐标中，已知三点，，，若向量，在上的投影向量相等，则的值为（    ） A．2 B．0 C．2 D．3 【答案】B 【详解】依题意，向量，在上的投影向量相等， 所以，则，即， 所以. 故选：B 28．已知向量满足，若向量在向量方向上的投影向量的坐标为，则 . 【答案】 【详解】依题意，向量在向量方向上的投影向量为， 因此，又，所以. 故答案为： 29．光束是由一粒一粒运动着的粒子流组成的，这种粒子被称为光量子，简称光子．已知在某次光学实验中，实验组相关人员用感光设备捕获了从同一光源发射出来的两个光子A，B，通过数学建模与数据分析得知，在平面直角坐标系中它们的位移所对应的向量分别为，设光子相对光子的位移为，则在上的投影向量的坐标表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由向量，可得， 所以在上的投影向量为．． 故选：C． 【题型06：平面几何与坐标运算】 30．已知在等腰三角形中，，，是的中点，且，则（    ） A． B． C．0 D． 【答案】D 【详解】在等腰三角形中，是的中点， 所以，所以， 以为坐标原点，所在的直线分别为轴，建立如图所示的平面直角坐标系， 则，所以，， 则. 故选：D. 31．如图， 为等边三角形的中线上任一点，，，则（　　）    A． B． C． D． 【答案】D 【详解】方法一： 因为为等边三角形，是边的中点.所以.故. 所以. 因为是边上的中点，所以有. 因此. 故选：D 方法二：    以为原点，，为轴，轴,建立如图所示的平面直角坐标系. 设，，，. 则，，，. 所以. 又因为，，所以有 两式作差得.故. 故选：D 32．已知点，点在所在平面内，且满足，则在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设，又， 则，，， 因为，所以， 即，解得， 所以，则，， 所以，， 所以在上的投影向量为. 故选：D 33．如图，在中，，，是边上靠近点的三等分点，是的中点，与交于点，（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意，建立如图所示的平面直角坐标系， 而，从而， 所以. 故选：A. 34．已知在中，是内一点，且，则 . 【答案】40 【分析】 【详解】解法1：设，，， 则由得， 由得， 所以，， 所以. 解法2：如图，取的中点，取的中点， 则，即， 故，， 所以. 故答案为：40. 35．已知，，，判断的形状，并给出证明． 【答案】直角三角形，证明见解析 【详解】是直角三角形. 证明：因为，，， 则，， 所以， 则，故是直角三角形． 36．已知在中，，，若，判定的形状． 【答案】是等腰三角形 【详解】以为原点建立平面直角坐标系，不妨设，如图，    所以， 由有， 整理得， 则， 即，解得．所以，所以是等腰三角形． 【题型07：利用坐标求平面几何的最值范围】 37．已知正方形的边长为2，点是的中点，点是对角线上的动点，则的最大值为（    ）. A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【详解】以为坐标原点，方向分别为轴、轴的正方向建立平面直角坐标系，如下图所示： 则，，， 设，则，，所以． 所以当时，取得最大值为2． 故选：B． 38．如图所示，已知正方形的中心为点，其边长为2.分别以为圆心，1为半径作圆.若动点分别在圆，圆，圆，圆上，则的最大值为（    ） A． B．2 C． D．4 【答案】D 【详解】 如图建立平面直角坐标系，由题意可设： 则 所以 ，当且仅当时取等号， 故选：D. 39．在平面直角坐标系中，，，，，，则的最大值为（   ） A．280 B． C．300 D． 【答案】C 【详解】因为，，， 由，所以，所以． ， 设是中点，，， 因为， 即，当且仅当同向时取等号， 所以 故选：C. 40．如图，在梯形中，，，，若是线段上的动点，且，则的最小值为（    ）    A．9 B．10 C．11 D．12 【答案】C 【详解】以点为坐标原点，所在直线为轴建立如下图所示的平面直角坐标系，   ，， 设，则（其中）， ， ， 所以，当时，取得最小值11. 故选：C 41．窗花是贴在窗子或窗户上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，图是一个正八边形窗花隔断，图是从窗花图中抽象出的几何图形的示意图．如图，若正八边形的边长为，是正八边形八条边上的动点，则的最小值为（ ） A． B．2 C． D． 【答案】C 【详解】设的夹角为， 当与重合时，； 当在线段（除）、线段、线段，线段，线段（除）点上运动时， ，所以， 当与重合时，，所以， 以为原点，、分别为轴建立平面直角坐标系， 根据正八边形的性质可知，G到AF的距离为， 则， 直线的方程为，直线的方程为，直线的方程为， 当在线段（除）上运动时，设， 所以， 当在线段上运动时，设， 所以， 当在线段（除）上运动时，设， 所以. 综上所述，的最小值为. 故选：C 42．如图，在直角梯形中，．若、分别是、上的动点，满足，其中，则的最大值为 ． 【答案】 【详解】建立如图所示的直角坐标系，由题意可得：， 设，即，据此可得：， 故，同理可得， 据此可得：， 则 ， 由于，所以当时，取得最大值，为． 故答案为： 43．已知中，，且的最小值为，若P为边AB上任意一点，则的最小值是 . 【答案】 【详解】取，连接，如图所示， 则， 设，则B，D，E三点共线， 由，可知当时，有最小值， 故，即为等腰直角三角形， 以A为坐标原点，建立如图所示平面直角坐标系， 则，，设，， 则，， 故， 故当时，可得的最小值是 故答案为： 一、单选题 1．已知向量，．若，则（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题可知，，解得. 故选：D. 2．已知向量满足，，，则（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】B 【详解】因为，则， 又因为，则， 所以. 故选：B. 3．若向量，且向量在向量上的投影向量为，则（   ） A． B．1 C．2 D．4 【答案】C 【详解】由题意可知，，则， 因为，所以，则. 故选：C 4．蜂巢的精密结构是通过优胜劣汰的进化自然形成的，若不计蜂巢壁的厚度．蜂巢的横截面可以看成正六边形网格图，如图所示．已知为图中7个正六边形（边长为1）的三个固定顶点，则（   ）    A．12 B． C．16 D． 【答案】A 【详解】建立如图所示的平面直角坐标系：    由于正六边形的边长为1， 所以，， 所以， 所以， 故选：A 5．在平面直角坐标系 中，已知点 ，，，若向量，在的投影向量相等，则 的值是（    ） A．0 B． C． D．3 【答案】A 【详解】，，， 由条件可知， 所以，即，即. 故选：A 6．已知，，点，为坐标原点，则的最小值是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】， ，则， ，两点在以为圆心，为半径的圆上， 设，由可取， ， ， 则当时，取得最小值，. 故选：C. 二、多选题 7．已知向量，，，，且，则（    ） A．与的夹角为 B．在上的投影向量为 C． D． 【答案】ABD 【详解】，与的夹角为， 所以A正确； 因为在上的投影向量为，所以B正确； 由且，得， 解得或，则或，所以C不正确； 当时，， 当时，，故D正确. 故选：ABD. 8．设是平面内相交的两条数轴，分别是与轴､轴正方向同向的单位向量，且它们的夹角为.若向量，则把有序实数对叫做在坐标系中的坐标，即.设，则（    ） A． B． C．在上的投影向量的坐标为 D． 【答案】ACD 【详解】由题可得，，，， 对于A， ，故A正确； 对于B， ，故B错误； 对于C，在上的投影向量为，由B分析可得， 又， 则，故C正确； 对于D，，故D正确. 故选：ACD 三、填空题 9．已知向量，若与的夹角的余弦值为，则 . 【答案】 【详解】由题意知，，， 则， 整理，得且，解得. 故答案为：. 10．已知向量，若，则 ．（写出一个值即可） 【答案】（答案不唯一） 【详解】因为，所以， 所以，所以， 又，所以， 所以，所以， 所以，当时，可得. 故答案为：（答案不唯一） 11．已知在平行四边形中，，边的长分别为1，2，若分别是边上的点，且满足，则的取值范围是 ． 【答案】 【详解】建立如图所示的平面直角坐标系，    设，，， 由得， 从而有 所以 ． 四、解答题 12．在平面直角坐标系中，，设． (1)若，求的值； (2)若向量满足，且，求向量的坐标． 【答案】(1) (2)或 【分析】 【详解】（1）由题意得，， 则， 又，所以，得； （2）设，则，即， 因为，，所以，即， 故或， 故向量的坐标为或. 13．在直角中，点为斜边上的一点且满足，点为的中点，若设，且. (1)用表示； (2)求的余弦值. 【答案】(1)，； (2) 【分析】 【详解】（1）因为，所以， 所以， 因为点为的中点，所以， 所以， ； （2）以为原点，分别以所在直线为轴，轴，建立平面直角坐标系，    则，由（1）知， 故， 所以， 所以， ， 因为的夹角是， 所以 所以的余弦值是 14．如图，已知菱形中，点为线段上一点，且． (1)若，，求x，y的值； (2)若，且，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）当时，， 则， 所以，解得. （2）由四边形为菱形，，为等边三角形， 以为坐标原点，以为轴建立如图所示平面直角坐标系， 设，则， 则， 则， 由，可得， 解得， 又，则， 即实数的取值范围为． 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第07讲 向量数量积的坐标运算 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材·学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型·强知识：核心题型举一反三精准练 【题型01：简单数量积坐标运算】 【题型02：模的坐标运算】 【题型03：夹角的坐标运算】 【题型04：向量垂直的坐标运算】 【题型05：投影向量的坐标运算】 【题型06：平面几何与坐标运算】 【题型07：利用坐标求平面几何的最值范围】 第二步：记 串知识·识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测·稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点1：平面向量的数量积与两向量垂直的坐标表示 设向量, （1）数量积:两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和,即 （2）向量垂直: 知识点2：平面向量的模与夹角的坐标表示 （1）向量的模:设,则 （2）两点间的距离公式:若,则 （3）向量的夹角公式:设两非零向量,a与b的夹角为θ,则 【题型01：简单数量积坐标运算】 1．设，为平面直角坐标系内两点，若，则（   ） A．16 B． C．4 D． 2．已知向量，在正方形网格中的位置如图所示，若网格纸上小正方形的边长为2，则（　　） A．0 B．3 C．6 D．12 3．已知其中k为实数，若向量与的夹角为钝角，则k的取值范围（    ） A． B． C．6 D． 4．已知向量，，若，则（    ） A． B． C． D． 5．已知向量与，且，则 6．已知向量，，若，且，则 ． 【题型02：模的坐标运算】 7．已知向量，，若，则（    ） A． B． C．1 D． 8．已知，.，且点在第四象限，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 9．已知向量.若，则（    ） A． B．5 C． D．45 10．已知，，若，则（   ） A．3 B． C． D． 11．在四边形中，，，，则四边形的面积为（ ） A． B．4 C． D．6 12．在平面直角坐标系中，已知，，，若，则 . 【题型03：夹角的坐标运算】 13．已知向量，，则（    ） A． B． C． D． 14．已知向量，，则向量与的夹角的正切值等于（   ） A．1 B． C． D．2 15．已知向量，若，则实数（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 16．已知不共线的向量，，，且，则（    ） A．1 B． C． D．6 17．已知平面向量，向量与夹角的余弦值为，且，为实数，则 . 18．已知向量，，向量在方向上的投影为2． (1)求实数的值； (2)若向量与的夹角为锐角，求实数的取值范围． 【题型04：向量垂直的坐标运算】 19．已知向量，，若，则（   ） A． B．5 C． D．8 20．已知平面向量，若，则=（   ） A． B． C． D． 21．如图，在平面直角坐标系中，四边形是正方形，已知点的坐标为，则点的坐标为（　　） A． B． C． D． 22．若向量，则 . 23．平面上有三点，，，向量，． (1)若三点，，不能构成三角形，求实数满足的条件； (2)若△ABC为直角三角形，其中是直角，求的值 【题型05：投影向量的坐标运算】 24．已知向量，则在方向上的投影数量为（    ） A．4 B． C．2 D． 25．已知向量，，若向量在向量上的投影向量为，则（   ） A． B． C． D． 26．已知平面向量满足，则在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 27．在平面直角坐标中，已知三点，，，若向量，在上的投影向量相等，则的值为（    ） A．2 B．0 C．2 D．3 28．已知向量满足，若向量在向量方向上的投影向量的坐标为，则 . 29．光束是由一粒一粒运动着的粒子流组成的，这种粒子被称为光量子，简称光子．已知在某次光学实验中，实验组相关人员用感光设备捕获了从同一光源发射出来的两个光子A，B，通过数学建模与数据分析得知，在平面直角坐标系中它们的位移所对应的向量分别为，设光子相对光子的位移为，则在上的投影向量的坐标表示为（    ） A． B． C． D． 【题型06：平面几何与坐标运算】 30．已知在等腰三角形中，，，是的中点，且，则（    ） A． B． C．0 D． 31．如图， 为等边三角形的中线上任一点，，，则（　　）    A． B． C． D． 32．已知点，点在所在平面内，且满足，则在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 33．如图，在中，，，是边上靠近点的三等分点，是的中点，与交于点，（   ） A． B． C． D． 34．已知在中，是内一点，且，则 . 35．已知，，，判断的形状，并给出证明． 36．已知在中，，，若，判定的形状． 【题型07：利用坐标求平面几何的最值范围】 37．已知正方形的边长为2，点是的中点，点是对角线上的动点，则的最大值为（    ）. A．1 B．2 C．3 D．4 38．如图所示，已知正方形的中心为点，其边长为2.分别以为圆心，1为半径作圆.若动点分别在圆，圆，圆，圆上，则的最大值为（    ） A． B．2 C． D．4 39．在平面直角坐标系中，，，，，，则的最大值为（   ） A．280 B． C．300 D． 40．如图，在梯形中，，，，若是线段上的动点，且，则的最小值为（    ）    A．9 B．10 C．11 D．12 41．窗花是贴在窗子或窗户上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，图是一个正八边形窗花隔断，图是从窗花图中抽象出的几何图形的示意图．如图，若正八边形的边长为，是正八边形八条边上的动点，则的最小值为（ ） A． B．2 C． D． 42．如图，在直角梯形中，．若、分别是、上的动点，满足，其中，则的最大值为 ． 43．已知中，，且的最小值为，若P为边AB上任意一点，则的最小值是 . 一、单选题 1．已知向量，．若，则（     ） A． B． C． D． 2．已知向量满足，，，则（    ） A．1 B． C． D．2 3．若向量，且向量在向量上的投影向量为，则（   ） A． B．1 C．2 D．4 4．蜂巢的精密结构是通过优胜劣汰的进化自然形成的，若不计蜂巢壁的厚度．蜂巢的横截面可以看成正六边形网格图，如图所示．已知为图中7个正六边形（边长为1）的三个固定顶点，则（   ）    A．12 B． C．16 D． 5．在平面直角坐标系 中，已知点 ，，，若向量，在的投影向量相等，则 的值是（    ） A．0 B． C． D．3 6．已知，，点，为坐标原点，则的最小值是（   ） A． B． C． D． 二、多选题 7．已知向量，，，，且，则（    ） A．与的夹角为 B．在上的投影向量为 C． D． 8．设是平面内相交的两条数轴，分别是与轴､轴正方向同向的单位向量，且它们的夹角为.若向量，则把有序实数对叫做在坐标系中的坐标，即.设，则（    ） A． B． C．在上的投影向量的坐标为 D． 三、填空题 9．已知向量，若与的夹角的余弦值为，则 . 10．已知向量，若，则 ．（写出一个值即可） 11．已知在平行四边形中，，边的长分别为1，2，若分别是边上的点，且满足，则的取值范围是 ． 四、解答题 12．在平面直角坐标系中，，设． (1)若，求的值； (2)若向量满足，且，求向量的坐标． 13．在直角中，点为斜边上的一点且满足，点为的中点，若设，且. (1)用表示； (2)求的余弦值. 14．如图，已知菱形中，点为线段上一点，且． (1)若，，求x，y的值； (2)若，且，求实数的取值范围． 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $