专题05 线段与角的等量代换模型与计数模型（几何模型讲义）数学沪教版2024六年级上册

专题05 线段与角的等量代换模型与计数模型 等量代换是数学变形的最常见方式之一,它以处理问题步骤简捷、巧妙灵活,给人留下深刻的印象。运用它来解决中学代数和几何的有关问题（本专题主要涉及线段与角度的代换）,还可以避免繁杂运算,具有计算量小的独特优点,因此有着广泛的应用。线段的条数、角的个数、直线的交点数、对角线条数等计数规律，可以自己推导后进行记忆，主要培养学生的观察、实验和猜想、归纳能力，掌握从特殊向一般猜想的方法，及构建数学模型解决实际问题等。 1 模型来源 1 真题现模型 2 提炼模型 4 模型拓展 6 模型运用 7 模型1.线段与角度的等量代换模型 7 模型2.线段与角度的计数模型 9 模型3.直线交点计数模型与平面分割的计数模型 12 模型4.多边形的对角线条数计数模型和三角形个数的计数模型 15 17 线段与角度的等量代换模型源于等式的基本性质，最终拓展到线段和角度的代换，其核心思想是通过长度或角度的相等关系进行转换，简化复杂几何问题的求解过程，线段与角度的等量代换模型是初中几何中的基本内容。线段与角度的计数模型源于计数原理中的组合学，该规律与“握手问题”“碰面问题”等实际场景完全一致，为复杂图形中的线段统计提供了一种简便的方法。‌‌ （2025·河北唐山·模拟预测）如图，则与的大小关系是（　　） A． B． C． D．无法确定 （24-25湖南长沙·七年级统考期末）已知且，则，依据是（    ） A．等角的补角相等 B．同角的补角相等 C．等量代换 D．补角的定义 （24-25七年级上·重庆·期末）一条直线上若有4个点，则它有____________条线段；若有5个点，则它有____________条线段；若有个点，则它有____________条线段． （1）拓展一：乘火车从杭州站到上海站共有8个站（包括杭州站和上海站）．如果要你设计这条线路的单向单程车票，你准备设计多少种？ （2）拓展二：如图①，工作流水线上放置着5个机器人，还放置着1只工具箱，5个机器人取工具的次数相同．如果，将工具箱放在何处，才能使机器人取工具所花时间最少？若有个机器人，则工具箱应放在何处？ （3）拓展三：图②中共有多少个比平角小的角？（4）拓展四：图③中共有多少个长方形（包括正方形）？ （2024·湖北孝感·一模）小明学习相交直线时发现：3条直线两两相交最多有3个交点，4条直线两两相交最多有6个交点，按照这样的规律，（1）5条直线两两相交最多有 个交点； （2）n条直线两两相交最多有 个交点．（用含有字母n的式子表示，） （2025·湖北武汉·模拟预测）我们知道，同一个平面内，1条直线将平面分成部分，2条直线将平面最多分成部分，3条直线将平面最多分成部分，4条直线将平面形多分成部分……，n条直线将平面最多分成部分，则（    ） A． B． C． D． 1）线段的等量代换 图1 图2 条件：如图，已知：EG=HF； 结论：EH=GF. 证明:如图1，∵EG=HF，∴EG-HG=HF-HG，∴EH=GF. 如图2，∵EG=HF，∴EG+HG=HF+HG，∴EH=GF. 2）角度的等量代换 （图中：∠AOD=∠1，∠BOC=∠2，∠BOD=∠3，∠AOC=∠4） 条件1：已知∠AOB=∠DOC=90°；结论：∠1=∠2，∠3+∠4=180°. 条件2：已知∠AOB=∠DOC=90°；结论：∠1=∠2，∠3+∠4=180°. 证明：如图1，∵∠AOB=∠DOC，∴∠AOB-∠BOD=∠DOC-∠BOD，∴∠AOD=∠BOC，即：∠1=∠2. ∵∠AOB=∠DOC=90°，∴∠AOB+∠DOC=180°， ∴∠BOD+∠AOD+∠DOC=180°，∴∠BOD+∠AOC=180°，即：∠3+∠4=180°. 如图2，∵∠AOB=∠DOC，∴∠AOB+∠BOD=∠DOC+∠BOD，∴∠AOD=∠BOC，即：∠1=∠2. ∵∠AOB=∠DOC=90°，∴∠AOB+∠DOC=180°， ∵∠BOD+∠AOC+∠AOB+∠DOC=360°，∴∠BOD+∠AOC=180°，即：∠3+∠4=180°. 利用等量代换我们还可以推导三个重要的性质： ①同角（等角）的余角相等；②同角（等角）的补角相等；③对顶角相等。 3）线段的计数模型 如果线段上有n个点（包括线段的两个端点），那么该线段上共有多少条线段？ 我们先取n=5进行研究，如下图： 结论：线段数量：4+3+2+1=10（条）（注意：按一个方向数，不回头）； 证明：①以A为端点的线段有：AB、AC、AD、AE，有4条； ②以B为端点的线段有：BC、BD、BE，有3条；③以C为端点的线段有：CD、CE，有2条； ④以D为端点的线段有：DE，有1条；故图中线段总数量：4+3+2+1=10（条） 注意：线段的定义为两点间的一段直线，因此“直线+两个端点”是其核心要素； 结论拓展：若有n个点，则线段数量为：（n-1）+（n-2）+...+4+3+2+1=（条） 4）角度的计数模型 若过点O作了有n条射线，那么该图形中共有多少个角？ 我们先取n=5进行研究，如下图： 结论：角的数量：4+3+2+1=10（个）（注意：按一个方向数，不回头）； 证明：①以OA为角的一边有：∠AOB、∠AOC、∠AOD、∠AOE，有4个； ②以OB为角的一边有：∠BOC、∠BOD、∠BOE，有3个； ③以OC为角的一边有：∠COD、∠COE，有2个； ④以OD为角的一边有：∠DOE，有1个；故图中角总数量：4+3+2+1=10（个） 注意：线段的定义为两点间的一段直线，因此“直线+两个端点”是其核心要素； 结论拓展：若有n条射线，则角度数量为：（n-1）+（n-2）+...+4+3+2+1=（个）。 1）直线交点计数模型与平面分割的计数模型 n条直线，最多有多少个交点呢？最多能将平面分成多少部分呢？ 直线的条数 最多交点个数 平面最多分成部分数 1 0 1+1=2 2 1 1+1+2=4 3 1+2=3 1+1+2+3=7 4 1+2+3=6 1+1+2+3+4=11 ... ... ... n 2）多边形的对角线条数计数模型和三角形个数的计数模型 从n边形一个顶点出发可引出对角线，这些对角线能把多边形分割成多少个三角形呢？n边形共有多少条对角线呢？ 结论：从n边形一个顶点出发可引出 （n-3） 条对角线；这些对角线把多边形分割成（n-2）个三角形； n边形共有对角线。 证明：由连接不相邻的两个顶点的线段叫多边形的对角线， 可知，从n边形的每个顶点出发有条对角线，这些对角线把多边形分割成（n-2）个三角形 ∵n边形有个顶点，∴共有n条对角线 又∵能形成对角线的两个点之间只算1条对角线（即上面的计算相当于每条对角线重wzZ复计算了一次）， ∴n边形有条对角线． 模型1.线段与角度的等量代换模型 例1（25-26七年级上·湖北襄阳·期末）如图所示，B在线段上，且，D是线段的中点，E是线段上的一点，则下列结论：①；②；③；④，其中正确结论的有（　　） A．①② B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 例2（25-26七年级上·福建泉州·期中）如图，C是线段上一点，G是的中点，M是的中点，N是的中点，下列结论：①；②；③；④．其中结论正确的有（　　） A．①② B．①②③ C．②③④ D．①②③④ 例3（25-26八年级上·江苏南通·期末）如图，点O是量角器的中心点，射线经过刻度线90．若，射线，分别经过刻度线40，50，在刻度线的右侧，下列结论：①；②若与互补，则射线经过刻度线145；③若，则图中共有5对角互为余角．其中正确的是 （填序号）． 例4（25-26七年级上·陕西榆林·期末）如图，是直线上的一点，平分，．给出以下结论：①与互为补角；②；③；④若，则．其中，正确的是 ．（填序号） 例5（25-26七年级上·内蒙古鄂尔多斯·期末）已知点O是直线上一点，，射线是的平分线． (1)如图1，若，则______． (2)如图2，设，求的度数（用含的代数式表示）． (3)如图3，若，求的度数． 模型2.线段与角度的计数模型 例1（25-26七年级上·浙江金华·月考）若、是火车行驶的两个站点，两站之间有3个车站，在这段线路往返行车，需印制（   ）种车票． A．5 B．10 C．15 D．20 例2（25-26七年级上·四川自贡·月考）如图，C是线段上任意一点，M，N分别是的三等分点且，，若，则的长为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 例3（25-26七年级上·重庆·月考）如图，是的平分线，射线在内部，平分，已知，那么的大小等于 ． 例4（25-26七年级上·江苏南通·月考）已知，，平分，平分，重合． ①如图1，则的度数为 ； ②当绕点顺时针旋转时，如图2，若满足，则的值为 ． 例5（25-26七年级上·山东潍坊·月考）【观察思考】如图线段上有两个点C、D，分别以点A、B、C、D为端点的线段共有 _______条． 【模型构建】若线段上有m个点（包括端点），则该线段上共有 _______ 条线段． 【拓展应用】若有8位同学参加班级的演讲比赛，比赛采用双循环制，请你应用上述模型构建，求一共要进行多少场比赛？ 模型3.直线交点计数模型与平面分割的计数模型 例1（25-26七年级上·河南信阳·期末）在平面上任意画个点，那么这个点确定的直线共有（ ） A．条或条 B．条或条 C．条或条 D．条或条或条 例2（2025·湖北武汉·模拟预测）直线平行于直线．直线上有10个点．分别是，直线上有11个点．分别是将上的每个点与上的每个点相连．可以得到许多线段．已知没有三条线段相交于、外的一点．这些线段一共有（    ）个交点 ．不包括 A．110 B．2475 C．9900 D．2024 例3（25-26七年级上·全国·单元测试）如图，电子屏幕上有一条直线m，在直线m上有A、B、C、D、E五点．点P沿直线m从左向右移动，当出现点P与A、B、C、D、E五点中的至少两个点距离相等时，就会发出警报，则直线m上会发出警报的点P位置最多有 个． 例4（25-26七年级上·全国·课后作业）推理能力【公式推理】已知①，②，由①+②，得 ，所以． 【公式应用】画出线段AB，在线段AB的两端点之间依次增加1个点，则线段总条数的变化如下表： 线段AB上的点数n（包括A，B两点） 图例 线段总条数N 3      4      5 6 7 根据上表中的内容，解答下面的问题： (1)把上表补充完整． (2)归纳线段的总条数N与线段AB上的点数n之间的关系式． 例5（25-26七年级上·河北衡水·期中）若直线上有两个点，则以这两个点为端点可以确定一条线段，解决下列问题： (1)若直线l上有三个点，，，则可以确定______条线段，______条射线； (2)若平面上有四个点，，，，则可以确定______条线段，______条直线； (3)2026年世界杯预选赛中国队所在小组共有六支球队，进行的是双循环赛（即每两支球队之间进行两次比赛），则需要进行多少场比赛？ 模型4.多边形的对角线条数计数模型和三角形个数的计数模型 例1（24-25七年级上·四川成都·期末）过某个多边形一个顶点的所有对角线，将这个多边形分成5个三角形，则这个多边形一共有 条对角线． 例2（24-25七年级下·辽宁丹东·开学考试）若一个多边形从一个顶点出发可引出6条对角线，则这个多边形是（   ）边形 A．六角形 B．七边形 C．八边形 D．九边形 例3（24-25·陕西咸阳·七年级统考期末）五边形的对角线一共有（    ） A．5条 B．6条 C．7条 D．8条 例4（24-25八年级下·山东潍坊·期末）某校数学兴趣小组为了研究多边形中从一个顶点可以作几条对角线，以及该多边形中对角线的总条数与边数的关系，他们决定从以下图形开始寻找规律． (1)请在图中画出从点出发的所有对角线；(2)根据探究，整理得到下面表格： 多边形的边数 4 5 6 7 8 …… n 从一个顶点出发的对角线的条数 1 2 3 4 5 …… a 多边形对角线的总条数 2 5 9 14 20 …… b 表格中_____，_____；（用含的代数式表示） (3)拓展应用：若该校要举办足球比赛，总共有个班级参加比赛，规定每个班级都要和其他班级比赛一次．请问总共要比赛多少场？ 1．（25-26七年级上·江苏南京·期末）如图，已知，，三点在同一条直线上，过点作射线，且平分，平分，则下列结论正确的有（   ） ①与互补；②；③；④． A．个 B．个 C．个 D．个 2．（25-26七年级上·黑龙江哈尔滨·期末）如图，点O是直线上一点，平分，，则以下结论：①与互为余角；②；③；④若，则．上述结论中，正确结论的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．（25-26七年级上·全国·期末）某铁路线共设有5个不同的站点，要保证每两个站点之间都有火车可乘，则需要印制不同的火车票共（    ） A．8种 B．种 C．种 D．种 4．（25-26七年级上·浙江杭州·月考）如图，已知射线分别平分，若，，则（   ） A． B． C． D． 5．（2025七年级上·广东深圳·专题练习）如图，点为直线上一点，为直角，平分，平分，平分，则是（   ） A． B． C． D． 6．（25-26七年级上·广东深圳·期末）如图，为直线上一点，，平分，平分，平分，下列结论：①；②；③；④．其中正确的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 7．（25-26七年级上·江苏南通·月考）往返，两地的客车，中途停靠两个站，客运站根据两站之间的距离确定票价（距离不相等，票价就不同）．若任意两站之间的距离都不相等，则不同的票价共有（  ） A．12种 B．5种 C．6种 D．7种 8．（25-26七年级上·广东揭阳·期末）如图，嘉淇设计了一个电子游戏，电子屏幕上有一条直线l，在直线l上有A，B，C，D四点，当出现光点P与A，B，C，D四点中的至少两个点距离相等时，光点P就会发出红光，则从光点P沿直线l从点A出发移动到终点D的过程中，发出红光的次数最多有 次． 9．（25-26七年级上·山东青岛·月考）现在有10个城市在地图上的位置恰好构成一个十边形，为了确保任意两个城市之间都有直飞航班，一共需要准备 种不同的飞机票． 10．（25-26七年级上·河南信阳·期末）如图，、、依次是线段上的三点，已知，，则图中以、、、、这个点为端点的所有线段的长度之和为 ． 11．（25-26七年级上·陕西安康·期末）如图，点O是直线上一点，在上方从左到右依次作射线，且平分，，则以下结论：①与互为余角；②；③；④若，则的补角是，正确的是 ．（填序号） 12．（25-26七年级上·河南郑州·月考）如图，线段被分成三部分，M，N分别为，的中点，若，线段的长度为 ． 13．（25-26七年级上·宁夏银川·期末）如图，点为线段外一点，，，，为上任意四点，连接，，，，下列结论： ①以为顶点的角有个；②若点为的中点，为的中点，则；③若平分，平分，，，则； 正确的是 ． 14．（25-26七年级上·陕西西安·月考）如图1，2条直线相交最多1个交点；如图2，3条直线相交最多3个交点；如图3，4条直线相交最多6个交点；那么10条直线交叉最多有 个交点． 15．（25-26七年级上·河北石家庄·月考）已知线段，点在直线上，直线上共有三条线段：和，若其中有一条线段的长度是另一条线段长度的两倍，则称为线段的“奇妙点”，那么线段的“奇妙点”的个数是 ． 16．（24-25七年级上·湖南株洲·期末）如图所示，，、、分别平分，，，下列结论：①；②；③；④；其中正确的是 ． 17．（25-26七年级上·江苏泰州·月考）如图，点M在线段的延长线上，且线段，第一次操作：分别取线段和的中点，；第二次操作：分别取线段和的中点，；第三次操作：分别取线段和的中点，；……连续这样操作2025次，则每次的两个中点所形成的所有线段之和 ． 18．（25-26七年级上·江苏盐城·月考）已知，在内部有四条射线，这四条射线、、、将五等分，在其中任选两条射线，并计算能用射线、和这两条射线表示的所有的角之和s，计算并写出所有可能的s的值 ． 19．（25-26七年级上·重庆·期中）一条直街上有栋楼，按从左至右顺序编号为，第号楼恰好有个厂的职工，相邻两楼之间的距离为米．厂打算在直街上建一车站，为使这栋楼所有厂职工去车站所走的路程之和最小，车站应建在距号楼 米处，且路程之和最小为 米． 20．（25-26七年级上·河北秦皇岛·期末）已知平分，平分，且、．如果与互补或与互补，则称、是一对“多补角”． (1)如图1，当在内部，若，，则________，和________一对“多补角”（填“是”或“不是”）． (2)若和是一对“多补角”，，是锐角，求的度数． (3)如图2，若，和是一对“多补角”，直接写出的度数． 21．（25-26七年级上·广东汕头·期末）【问题初探】 （1）数学课上，李老师给出如下问题：如图1，点在线段上，点在线段的延长线上，若，，点是线段的中点．探究与之间的数量关系，并说明理由．小慧同学回答：可以设，用含的式子表示出的长，进而得到与之间的数量关系，请你按照小慧同学的解题思路，写出说理过程． 【类比分析】 （2）为了帮助学生更好的体会这种方法，李老师把线段问题改成了角有关的问题，请你解答． 如图2，，射线在内部，将射线绕点逆时针旋转120°得到射线（即），平分．探究与的数量关系，并说明理由． 【学以致用】 （3）如图3，点是直线上一点，射线在直线上方，且，射线，，与射线位于直线的同侧，与互补，平分．请直接写出与之间的数量关系． 22．（25-26七年级上·吉林辽源·期末）综合与探究：在数学活动课上，老师和同学们以“线段与角的共性”为主题开展数学活动，发现线段的中点的概念与角的平分线的概念类似，甚至它们在计算的方法上也有类似之处，它们之间的题目可以转换，解法可以互相借鉴，如图，点是线段上的一点，是的中点，是的中点． (1)问题探究 若，，则____________． 若，，则____________． 若点是线段所在直线上的任意一点（不与，重合），是中点，是中点，当时，____________． (2)继续探究 “创新”小组的同学类比想到：如图，已知，在的内部作射线，再分别作和的角平分线，． 若，则_______________． 若，则_______________． (3)深入探究 “缜密”小组在“创新”小组的基础上提出：如图，若，在的外部作射线，再分别作和的角平分线，，若，则_______________． 23．（25-26七年级上·辽宁葫芦岛·期末）【问题背景】 小明在学习了角平分线的知识后，作如下几何图形：如图，在外部作射线，且． 【问题提出】 （1）如图，若，平分，平分，求的度数． 【问题推广】 （2）如图，若，从点出发在外部作射线，满足，若平分，平分． 求的度数； 请直接写出的值． 24．（24-25七年级上·广东佛山·月考）如图1，已知，，在内，在内， ，．（本题中所有角均大于且小于等于） (1)从图1中的位置绕点O逆时针旋转到与重合时，如图2，则 °； (2)从图2中的位置绕点O逆时针旋转（且），求的度数； (3)从图2中的位置绕点O顺时针旋转（且，其中为正整数），直接写出所有使的值． 25．（25-26七年级上·辽宁沈阳·期末）如图1，点在线段上，图中共有3条线段：，，，若其中有一条线段的长度是另一条线段长度的两倍，则称点是线段的“二倍点” 【概念理解】 （1）一条线段的中点______这条线段的“二倍点”（填“是”或“不是”）； 【深入研究】 （2）如图2，点表示数，点表示数．若点从点的位置开始．以每秒3个单位长度的速度向点运动，当点到达点时停止运动．设运动的时间为秒． ①点在运动的过程中表示的数为______（用含的代数式表示）； ②当点是线段的“二倍点”时，求值； ③当点从点的位置开始运动时，同时点从点的位置开始．以每秒2个单位长度的速度向点运动，并与点同时停止．请直接写出点是线段的“二倍点”时的值． 26．（25-26七年级上·辽宁阜新·期末）【材料阅读】 “数缺形时少直观，形少数时难入微”，数形结合是解决数学问题的重要思想方法． 如图1，数轴上点表示的数为，点表示的数为，且．点是线段的中点． （1）点表示的数是___________； （2）若动点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向右运动，动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左运动，点、同时出发，当点到达点时，两动点的运动同时停止．设运动时间为秒，则： ①点、表示的数分别是___________、___________（用含的代数式表示）； ②若在运动过程中满足时，请求出的值； 【方法迁移】 （3）我们发现角的很多运算方法和线段一样，如图2，，平分．射线从出发，以每秒的速度绕点顺时针旋转，射线从出发，以每秒的速度绕点逆时针旋转．射线、同时出发，当到达时，运动同时停止．设旋转时间为秒，若和两个角中，其中一个角是另一个角的3倍时，请直接写出的值． 27．（25-26七年级上·辽宁丹东·期末）数学课上，老师给出了这样一道作图题： 已知：如图1，直线与直线相交于点，．按以下步骤作图： 1．在直线上方作射线． 2．以点为圆心，任意长为半径画弧，分别交射线、、于点． 3．以点为圆心，线段长为半径画弧，交前弧于点和点（点和点分别在直线左侧和右侧）． 4．作射线和． (1)根据晓东同学作的当射线在内部时的图， ①写出与相等的角； ②若，则________； (2)按老师的作图要求，当时，设的度数为，求的值． 28．（25-26七年级上·甘肃武威·期末）【问题背景】 已知，以为顶点，为一边顺次往外画两个锐角，和，并且，射线平分，射线平分．设． (1)如图1，若，求的值； 【问题推广】 (2)如图2，若是内的一条射线，且，试说明是否平分； 【拓展提升】 (3)随着的变化，探究的大小是否发生变化？若不变，请求出它的值；若变化，请说明理由． 29．（25-26七年级上·贵州遵义·期末）如图，射线在的内部，如果，则称为射线与的“分割值”，记为．例如当，时，则，即，反之，则． (1)如图，射线在的内部，，，则________； (2)如图，，，射线从位置开始，绕点按顺时针方向匀速旋转，到达时立即原速返回，射线从位置开始，绕点按顺时针方向匀速旋转，当到达时，也停止运动，设旋转的时间为秒．若射线旋转的速度为每秒，射线旋转的速度为每秒． 当时，求的值； 若，求的值． 30．（24-25七年级上·山东济南·期末）在数学活动课上，老师和同学们以“线段与角的共性”为主题开展数学活动，发现线段的中点的概念与角的平分线的概念类似，甚至它们在计算的方法上也有类似之处，它们之间的题目可以转换，解法可以互相借鉴． 如图1，点是线段上的一点，是的中点，是的中点． (1)问题探究： 若，，则______； “创新”小组的同学类比想到：如图2，已知，在角的内部作射线，再分别作和的角平分线，．求的度数； (2)继续探究： “奋进”小组在“创新”小组的基础上提出：如图3，若，在角的外部作射线，再分别作和的角平分线，．若，求的度数； (3)拓展探究： 已知在内的位置如图所示，，，且，，求的度数．（用含的代数式表示） 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 线段与角的等量代换模型与计数模型 等量代换是数学变形的最常见方式之一,它以处理问题步骤简捷、巧妙灵活,给人留下深刻的印象。运用它来解决中学代数和几何的有关问题（本专题主要涉及线段与角度的代换）,还可以避免繁杂运算,具有计算量小的独特优点,因此有着广泛的应用。线段的条数、角的个数、直线的交点数、对角线条数等计数规律，可以自己推导后进行记忆，主要培养学生的观察、实验和猜想、归纳能力，掌握从特殊向一般猜想的方法，及构建数学模型解决实际问题等。 1 模型来源 1 真题现模型 2 提炼模型 4 模型拓展 6 模型运用 7 模型1.线段与角度的等量代换模型 7 模型2.线段与角度的计数模型 9 模型3.直线交点计数模型与平面分割的计数模型 12 模型4.多边形的对角线条数计数模型和三角形个数的计数模型 15 17 线段与角度的等量代换模型源于等式的基本性质，最终拓展到线段和角度的代换，其核心思想是通过长度或角度的相等关系进行转换，简化复杂几何问题的求解过程，线段与角度的等量代换模型是初中几何中的基本内容。线段与角度的计数模型源于计数原理中的组合学，该规律与“握手问题”“碰面问题”等实际场景完全一致，为复杂图形中的线段统计提供了一种简便的方法。‌‌ （2025·河北唐山·模拟预测）如图，则与的大小关系是（　　） A． B． C． D．无法确定 【答案】C 【详解】解：∵，，∴，即：；故选：C． （24-25湖南长沙·七年级统考期末）已知且，则，依据是（    ） A．等角的补角相等 B．同角的补角相等 C．等量代换 D．补角的定义 【答案】C 【详解】解：∵，∴（等量代换）故选C （24-25七年级上·重庆·期末）一条直线上若有4个点，则它有____________条线段；若有5个点，则它有____________条线段；若有个点，则它有____________条线段． （1）拓展一：乘火车从杭州站到上海站共有8个站（包括杭州站和上海站）．如果要你设计这条线路的单向单程车票，你准备设计多少种？ （2）拓展二：如图①，工作流水线上放置着5个机器人，还放置着1只工具箱，5个机器人取工具的次数相同．如果，将工具箱放在何处，才能使机器人取工具所花时间最少？若有个机器人，则工具箱应放在何处？ （3）拓展三：图②中共有多少个比平角小的角？（4）拓展四：图③中共有多少个长方形（包括正方形）？ 【答案】6；10；；（1）28种；（2）当工作流水线上有5个机器人时，工具箱应放在第3个机器人的位置上．若为偶数，工具箱放在第个与第个机器人之间的任何地方；若为奇数，工具箱放在第个机器人的位置上；（3）6个；（4）150个 【详解】解：直线上有4个点时，依次以每一个点为线段的一个端点，其余三个点为线段的另一个端点，则可得线段条数为（条）；直线上有5个点时，同理得线段条数为（条）；同理有个点时，得线段条数为条；故答案为：6；10；； （1）8个站看成直线上的8个点，线段的条数相当于单向单程车票种数，则单向单程车票种数为（条）； （2）工具箱放点C处时，每个机器人取一次工具所花的时间最短； 由，则机器人从一个位置到与其相邻位置的时间均为t， 当工具箱放在A或E处时，所花时间为； 当工具箱放在B或D处时，所花时间为； 当工具箱放在C处时，所花时间为； 即工具箱放点C处时，每个机器人取一次工具所花的时间最短； 若有个机器人，当n是偶数时，工具箱放在第个与第个机器人之间的任何地方； 当n是奇数时；工具箱放在第个机器人的位置上； （3）对比一条直线4个点的线段条数方法，可得小于平角的角的个数为（个）； （4）横向每行对比一条直线上6个点的线段条数方法，有（个）长方形，纵向列对比一条直线上5个点的线段条数，共有（个）长方形，则共有（个）长方形． （2024·湖北孝感·一模）小明学习相交直线时发现：3条直线两两相交最多有3个交点，4条直线两两相交最多有6个交点，按照这样的规律，（1）5条直线两两相交最多有 个交点； （2）n条直线两两相交最多有 个交点．（用含有字母n的式子表示，） 【答案】 10 【详解】解：（1）∵两条直线最多有1个交点， ∴有n条直线，每一条直线与其他条直线都最多有1个交点，且两条直线的交点只算作一个， ∴有n条直线，两两相交最多有个交点， ∴5条直线两两相交最多有个交点，故答案为：10； （2）由（1）得n条直线两两相交最多有个交点，故答案为：． （2025·湖北武汉·模拟预测）我们知道，同一个平面内，1条直线将平面分成部分，2条直线将平面最多分成部分，3条直线将平面最多分成部分，4条直线将平面形多分成部分……，n条直线将平面最多分成部分，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵1条直线将平面分成部分， 2条直线将平面最多分成部分， 3条直线将平面最多分成部分， 4条直线将平面形多分成部分……， ∴n条直线将平面最多分成部分，∴， ∴．故选B． 1）线段的等量代换 图1 图2 条件：如图，已知：EG=HF； 结论：EH=GF. 证明:如图1，∵EG=HF，∴EG-HG=HF-HG，∴EH=GF. 如图2，∵EG=HF，∴EG+HG=HF+HG，∴EH=GF. 2）角度的等量代换 （图中：∠AOD=∠1，∠BOC=∠2，∠BOD=∠3，∠AOC=∠4） 条件1：已知∠AOB=∠DOC=90°；结论：∠1=∠2，∠3+∠4=180°. 条件2：已知∠AOB=∠DOC=90°；结论：∠1=∠2，∠3+∠4=180°. 证明：如图1，∵∠AOB=∠DOC，∴∠AOB-∠BOD=∠DOC-∠BOD，∴∠AOD=∠BOC，即：∠1=∠2. ∵∠AOB=∠DOC=90°，∴∠AOB+∠DOC=180°， ∴∠BOD+∠AOD+∠DOC=180°，∴∠BOD+∠AOC=180°，即：∠3+∠4=180°. 如图2，∵∠AOB=∠DOC，∴∠AOB+∠BOD=∠DOC+∠BOD，∴∠AOD=∠BOC，即：∠1=∠2. ∵∠AOB=∠DOC=90°，∴∠AOB+∠DOC=180°， ∵∠BOD+∠AOC+∠AOB+∠DOC=360°，∴∠BOD+∠AOC=180°，即：∠3+∠4=180°. 利用等量代换我们还可以推导三个重要的性质： ①同角（等角）的余角相等；②同角（等角）的补角相等；③对顶角相等。 3）线段的计数模型 如果线段上有n个点（包括线段的两个端点），那么该线段上共有多少条线段？ 我们先取n=5进行研究，如下图： 结论：线段数量：4+3+2+1=10（条）（注意：按一个方向数，不回头）； 证明：①以A为端点的线段有：AB、AC、AD、AE，有4条； ②以B为端点的线段有：BC、BD、BE，有3条；③以C为端点的线段有：CD、CE，有2条； ④以D为端点的线段有：DE，有1条；故图中线段总数量：4+3+2+1=10（条） 注意：线段的定义为两点间的一段直线，因此“直线+两个端点”是其核心要素； 结论拓展：若有n个点，则线段数量为：（n-1）+（n-2）+...+4+3+2+1=（条） 4）角度的计数模型 若过点O作了有n条射线，那么该图形中共有多少个角？ 我们先取n=5进行研究，如下图： 结论：角的数量：4+3+2+1=10（个）（注意：按一个方向数，不回头）； 证明：①以OA为角的一边有：∠AOB、∠AOC、∠AOD、∠AOE，有4个； ②以OB为角的一边有：∠BOC、∠BOD、∠BOE，有3个； ③以OC为角的一边有：∠COD、∠COE，有2个； ④以OD为角的一边有：∠DOE，有1个；故图中角总数量：4+3+2+1=10（个） 注意：线段的定义为两点间的一段直线，因此“直线+两个端点”是其核心要素； 结论拓展：若有n条射线，则角度数量为：（n-1）+（n-2）+...+4+3+2+1=（个）。 1）直线交点计数模型与平面分割的计数模型 n条直线，最多有多少个交点呢？最多能将平面分成多少部分呢？ 直线的条数 最多交点个数 平面最多分成部分数 1 0 1+1=2 2 1 1+1+2=4 3 1+2=3 1+1+2+3=7 4 1+2+3=6 1+1+2+3+4=11 ... ... ... n 2）多边形的对角线条数计数模型和三角形个数的计数模型 从n边形一个顶点出发可引出对角线，这些对角线能把多边形分割成多少个三角形呢？n边形共有多少条对角线呢？ 结论：从n边形一个顶点出发可引出 （n-3） 条对角线；这些对角线把多边形分割成（n-2）个三角形； n边形共有对角线。 证明：由连接不相邻的两个顶点的线段叫多边形的对角线， 可知，从n边形的每个顶点出发有条对角线，这些对角线把多边形分割成（n-2）个三角形 ∵n边形有个顶点，∴共有n条对角线 又∵能形成对角线的两个点之间只算1条对角线（即上面的计算相当于每条对角线重wzZ复计算了一次）， ∴n边形有条对角线． 模型1.线段与角度的等量代换模型 例1（25-26七年级上·湖北襄阳·期末）如图所示，B在线段上，且，D是线段的中点，E是线段上的一点，则下列结论：①；②；③；④，其中正确结论的有（　　） A．①② B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 【答案】B 【分析】本题考查了线段的比例关系、中点及三等分点的性质，解决本题的关键是通过代数方法验证几何结论；先通过设定的长度为x，将各线段长度用x表示，再明确点D（的中点）、点E（的三等分点）的位置，再通过代数计算，判断各结论是否成立即可． 【详解】解：设，则， ∴， ∴点D是的中点， ∴， ∵， ∴，， ∴，此时，结论①成立； ∵，， ∴，结论②成立； ∵，， ∴，结论③不成立； ∵， ∴，结论④成立， ∴正确的结论为①②④． 故选B． 例2（25-26七年级上·福建泉州·期中）如图，C是线段上一点，G是的中点，M是的中点，N是的中点，下列结论：①；②；③；④．其中结论正确的有（　　） A．①② B．①②③ C．②③④ D．①②③④ 【答案】B 【分析】本题考查了线段中点的有关计算，线段的和与差,掌握线段中点的性质是解题的关键． 根据线段中点可得，，，然后再利用线段中点的有关计算，逐个判断即可求解． 【详解】解：是的中点，M是的中点，N是的中点， ，，， ，故结论①正确， ，故结论②正确， ， ，故结论③正确， ，而不一定为中点，故结论④错误， 综上所述，结论①②③正确． 故选B． 例3（25-26八年级上·江苏南通·期末）如图，点O是量角器的中心点，射线经过刻度线90．若，射线，分别经过刻度线40，50，在刻度线的右侧，下列结论：①；②若与互补，则射线经过刻度线145；③若，则图中共有5对角互为余角．其中正确的是 （填序号）． 【答案】①②/②① 【分析】本题考查了量角器中的角度计算，余角和补角的定义． 根据等式的性质可判断①，根据补角的定义求出，从而得到可判断②，算出各角的度数，找到直角，根据余角的定义和性质可判断③． 【详解】解：① 故结论①正确； ②∵射线，分别经过刻度线40，50， ∵与互补， ∴射线经过刻度线是， 故结论②正确； ③ ∵射线经过刻度线90， 与互余，与互余； 与互余， 又 ∴与互余； 与互余； 又 与互余， ∴图中共有6对角互为余角． 故结论③不正确． 综上所述：结论正确的是①②． 故答案为：①②． 例4（25-26七年级上·陕西榆林·期末）如图，是直线上的一点，平分，．给出以下结论：①与互为补角；②；③；④若，则．其中，正确的是 ．（填序号） 【答案】④ 【分析】本题考查角平分线、余角，角的和差计算，解题的关键是熟练掌握角平分线的定义以及余角的定义．据此对各结论进行分析即可作出判断． 【详解】解：①∵， ∴， ∴与互为余角，故结论①错误； ②∵平分， ∴， 无法推出，故结论②错误； ③设， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴，故结论③错误； ④∵， ∴， ∵平分， ∴，故结论④正确； 综上所述，正确的是④． 故答案为：④． 例5（25-26七年级上·内蒙古鄂尔多斯·期末）已知点O是直线上一点，，射线是的平分线． (1)如图1，若，则______． (2)如图2，设，求的度数（用含的代数式表示）． (3)如图3，若，求的度数． 【答案】(1)55° (2) (3) 【分析】本题考查了角平分线的定义、平角的定义、角的和与差，能根据图形确定所求角和已知各角的关系是解此题的关键． （1）根据角平分线的定义、角的和差即可得到结论； （2）根据角平分线的定义和角的和差即可得到结论； （3）根据题意列方程即可得到结论． 【详解】（1）解：，， ． ， ． 是的平分线， ． ； 故答案为：； （2）解：，， ， 平分， ， ， ； （3）解：设， 平分， ， 则， ， ， ， ，解得， ， ． 模型2.线段与角度的计数模型 例1（25-26七年级上·浙江金华·月考）若、是火车行驶的两个站点，两站之间有3个车站，在这段线路往返行车，需印制（   ）种车票． A．5 B．10 C．15 D．20 【答案】D 【分析】本题考查了排列组合的应用． 计算总站点数，再求线段总条数，最后乘以2考虑往返车票． 【详解】解：∵总站点数包括A、B和3个中间站，共5个站点． ∴线段总条数为， ∵往返行车需两种车票， ∴车票种类为． 故选：D． 例2（25-26七年级上·四川自贡·月考）如图，C是线段上任意一点，M，N分别是的三等分点且，，若，则的长为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】本题考查了线段的和差与等分关系，解题的关键是通过线段等分关系将转化为的比例形式． 先根据三等分点得出、，再将表示为，结合，代入的长度计算得． 【详解】解：已知是的三等分点（）， 则； 是的三等分点（）， 则． ． 因为， 所以． 故选C． 例3（25-26七年级上·重庆·月考）如图，是的平分线，射线在内部，平分，已知，那么的大小等于 ． 【答案】41 【分析】本题考查角的计算，正确发现角与角之间的关系是解题的关键． 根据题意易得，和，进而通过角与角之间的关系得到，从而得到的大小． 【详解】解：平分， ， ， 是的平分线， ， ， 即， ， ， 故答案为：41． 例4（25-26七年级上·江苏南通·月考）已知，，平分，平分，重合． ①如图1，则的度数为 ； ②当绕点顺时针旋转时，如图2，若满足，则的值为 ． 【答案】 13 【分析】本题主要考查了几何图形中角度的计算，角平分线的定义，理清角之间的关系是解题的关键． （1）由角平分线的定义求出的度数即可得到答案； （2）根据角的和差关系和角平分线的定义求出的度数，再根据题意建立方程求解即可． 【详解】解：①∵，，平分，平分， ∴， ∴， 故答案为：； ②由题意得，， ∴，， ∵平分，平分， ∴，， ∴，， ∴， ∵， ∴， 解得， 故答案为：13． 例5（25-26七年级上·山东潍坊·月考）【观察思考】如图线段上有两个点C、D，分别以点A、B、C、D为端点的线段共有 _______条． 【模型构建】若线段上有m个点（包括端点），则该线段上共有 _______ 条线段． 【拓展应用】若有8位同学参加班级的演讲比赛，比赛采用双循环制，请你应用上述模型构建，求一共要进行多少场比赛？ 【答案】观察思考：6；模型构建：；拓展应用：56场． 【分析】本题考查了线段条数的计算及其应用，理解线段的意义、找到计算线段条数计算的规律是关键； 【观察思考】求出分别以点A、B、C、D为端点的线段条数再相加即可； 【模型构建】从左往右分别求出以第一个、第二个、…、第m个点为端点的线段条数，再相加即可； 【拓展应用】按照【模型构建】中线段的条数即可求解． 【详解】解：【观察思考】以点A为端点的线段有； 以B为端点的线段有； 以C为端点的线段有； 以D为端点的线段有； 以每个点为端点的条数均为3条，但其中每条重复了一次， 总共有； 故答案为：6； 【模型构建】以第一个点为端点的线段有条、以第二个点为端点的线段有条、…、以第m个点为端点的线段条；总共有，但其中每条都重复计算了一次， 所以所有线段条数为：； 故答案为：． 【拓展应用】由于采用双循环制，当时，（场）， 答：一共进行56场比赛． 模型3.直线交点计数模型与平面分割的计数模型 例1（25-26七年级上·河南信阳·期末）在平面上任意画个点，那么这个点确定的直线共有（ ） A．条或条 B．条或条 C．条或条 D．条或条或条 【答案】D 【分析】本题考查了直线、射线、线段，难点在于分情况讨论．分4点共线，3点共线和任意3点都不共线三种情况画出图形即可得解． 【详解】解：如图1，4点共线时，可以确定1条直线； 如图2，3点共线时可以确定4条直线； 如图3，任意3点都不共线时，可以确定6条直线； 综上所述，这4个点确定的直线共有1条或4条或6条． 故选：D．    例2（2025·湖北武汉·模拟预测）直线平行于直线．直线上有10个点．分别是，直线上有11个点．分别是将上的每个点与上的每个点相连．可以得到许多线段．已知没有三条线段相交于、外的一点．这些线段一共有（    ）个交点 ．不包括 A．110 B．2475 C．9900 D．2024 【答案】B 【分析】本题考查了直线、线段、射线的数量问题．直线上分别取点和，连接，得到四边形，而这个四边形的对角线的交点恰好是我们要求的点，故想要求出这些线段一共有多少个交点，只需要求出在直线上能找到多少个满足条件的四边形即可求解． 【详解】解：如图， 直线上分别取点和，连接，得到四边形，而这个四边形的对角线的交点恰好是我们要求的点，故想要求出这些线段一共有多少个交点，只需要求出在直线上能找到多少个满足条件的四边形就可以了． 确定线段，有（种）， 确定线段，有（种）， 共可以产生个四边形， 所以这些线段一共有2475个交点． 故选：B． 例3（25-26七年级上·全国·单元测试）如图，电子屏幕上有一条直线m，在直线m上有A、B、C、D、E五点．点P沿直线m从左向右移动，当出现点P与A、B、C、D、E五点中的至少两个点距离相等时，就会发出警报，则直线m上会发出警报的点P位置最多有 个． 【答案】10 【分析】本题主要考查了数轴上两点间的距离、数轴上的动点问题、线段等知识点，发现当P点经过任意一条线段中点的时候会发出警报是解题的关键． 先发现当P点经过任意一条线段中点的时候会发出警报，再确定线段的条数即可解答． 【详解】解：由题意知，当P点经过任意一条线段中点的时候会发出警报，因为图中有线段、、、、、、、、、共10条，所以发出警报的点P位置最多有10个． 故答案为：10． 例4（25-26七年级上·全国·课后作业）推理能力【公式推理】已知①，②，由①+②，得 ，所以． 【公式应用】画出线段AB，在线段AB的两端点之间依次增加1个点，则线段总条数的变化如下表： 线段AB上的点数n（包括A，B两点） 图例 线段总条数N 3      4      5 6 7 根据上表中的内容，解答下面的问题： (1)把上表补充完整． (2)归纳线段的总条数N与线段AB上的点数n之间的关系式． 【答案】(1)，，， (2) 【分析】本题考查了线段的定义，数字的变化规律。（1）根据图中规律画出图形，即可写出结果；根据表中所给的线段总数和线段AB上的点数变化规律即可解答；（2）根据规律可得线段上有个点时，线段总条数即可解答． 【详解】（1）解：当线段AB上的点数为时（包括A，B两点），线段总条数， 当线段AB上的点数为时（包括A，B两点），线段总条数， 当线段AB上的点数为时（包括A，B两点），图形为：线段总条数. （2）解：线段的总条数． 【点睛】本题考查了线段的定义，理解线段的点数与线段总条数之间的关系是解题的关键． 例5（25-26七年级上·河北衡水·期中）若直线上有两个点，则以这两个点为端点可以确定一条线段，解决下列问题： (1)若直线l上有三个点，，，则可以确定______条线段，______条射线； (2)若平面上有四个点，，，，则可以确定______条线段，______条直线； (3)2026年世界杯预选赛中国队所在小组共有六支球队，进行的是双循环赛（即每两支球队之间进行两次比赛），则需要进行多少场比赛？ 【答案】(1)3，6 (2)6，1或4或6 (3)30场 【分析】本题考查了线段、射线、直线的定义，有理数乘法的应用，解题的关键是正确理解线段、射线、直线的定义的区别． （1）根据线段和射线的定义即可求解； （2）根据线段的定义即可求解条数，然后数直线需要分类讨论，画图求解即可； （3）根据共有6支队伍，则每个队伍需要比赛5场，即可求解总场数． 【详解】（1）解：直线l上有三个点，，，则可以确定线段，共3条； 分别以为端点，左右两边各1条，共条； 故答案为：3，6 （2）解：平面上有四个点，，，，则可以确定线段，共6条； 当四个点，，，共线时，如图： 则只有1条直线； 当有3个点共线时，如图： 有条直线； 当有2个点共线时，如图： 有条直线， ∴可以确定直线条数为1或4或6， 故答案为：6，1或4或6； （3）解：由题意得，（场） 答：需要进行30场比赛． 模型4.多边形的对角线条数计数模型和三角形个数的计数模型 例1（24-25七年级上·四川成都·期末）过某个多边形一个顶点的所有对角线，将这个多边形分成5个三角形，则这个多边形一共有 条对角线． 【答案】14 【详解】解：设这个多边形的边数为，由题意得，解得， 所以对角线总数为：．故答案为：14． 例2（24-25七年级下·辽宁丹东·开学考试）若一个多边形从一个顶点出发可引出6条对角线，则这个多边形是（   ）边形 A．六角形 B．七边形 C．八边形 D．九边形 【答案】D 【详解】解：从一个多边形的一个顶点出发可以引6条对角线，设多边形边数为n， ，解得．则这个多边形是九边形．故选：D． 例3（24-25·陕西咸阳·七年级统考期末）五边形的对角线一共有（    ） A．5条 B．6条 C．7条 D．8条 【答案】A 【详解】解：五边形的对角线共有5×(5−3)=5，故选A． 例4（24-25八年级下·山东潍坊·期末）某校数学兴趣小组为了研究多边形中从一个顶点可以作几条对角线，以及该多边形中对角线的总条数与边数的关系，他们决定从以下图形开始寻找规律． (1)请在图中画出从点出发的所有对角线；(2)根据探究，整理得到下面表格： 多边形的边数 4 5 6 7 8 …… n 从一个顶点出发的对角线的条数 1 2 3 4 5 …… a 多边形对角线的总条数 2 5 9 14 20 …… b 表格中_____，_____；（用含的代数式表示） (3)拓展应用：若该校要举办足球比赛，总共有个班级参加比赛，规定每个班级都要和其他班级比赛一次．请问总共要比赛多少场？ 【答案】(1)见解析；(2)，(3)场 【详解】（1）解：如图， （2）解：∵多边形的边数为时，从一个顶点出发的对角线的条数为，多边形对角线的总条数； 多边形的边数为时，从一个顶点出发的对角线的条数为，多边形对角线的总条数； 多边形的边数为时，从一个顶点出发的对角线的条数为，多边形对角线的总条数； 多边形的边数为时，从一个顶点出发的对角线的条数为，多边形对角线的总条数； 多边形的边数为时，从一个顶点出发的对角线的条数为，多边形对角线的总条数； ……∴多边形的边数为时，从一个顶点出发的对角线的条数为，多边形对角线的总条数； 故答案为：，； （3）解：（场）∴总共要比赛场． 1．（25-26七年级上·江苏南京·期末）如图，已知，，三点在同一条直线上，过点作射线，且平分，平分，则下列结论正确的有（   ） ①与互补；②；③；④． A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】本题主要考查了有关角平分线的计算，角与角的和与差，补角的定义，根据题意，准确得到角与角之间的数量关系是解题的关键． 根据角平分线的定义和平角的定义得出，， ，，然后逐个进行判断即可得解． 【详解】解：，，三点在同一条直线上，过点作射线，且平分，平分， ，即， ，， ，即①正确， ，即②正确， ，故③错误， ，即④正确， 正确的有3个， 故选：． 2．（25-26七年级上·黑龙江哈尔滨·期末）如图，点O是直线上一点，平分，，则以下结论：①与互为余角；②；③；④若，则．上述结论中，正确结论的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题主要考查角平分线、余角与补角，根据，得出，即可判断①；根据平分，得出，即可判断②；设，得出，根据，得出，根据，得出，即可判断③；根据，得出，根据平分，得出，即可判断④； 【详解】解：∵， ∴， ∴与互为余角，故①正确， ∵平分， ∴，无法推断得到，故②错误， 设， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴，即，故③正确， ∵， ∴， ∵平分， ∴，故④正确， 综上：正确的有①③④； 故选：C. 3．（25-26七年级上·全国·期末）某铁路线共设有5个不同的站点，要保证每两个站点之间都有火车可乘，则需要印制不同的火车票共（    ） A．8种 B．种 C．种 D．种 【答案】D 【分析】本题考查线段的计数，掌握相关知识是解决问题的关键．火车票有方向性，共有5个站点，每个站点需要到其他4个站点有票，据此计算即可． 【详解】解：∵ 共有5个站点，每个站点需要到其他4个站点有票， ∴ 总票数为种． 故选：D． 4．（25-26七年级上·浙江杭州·月考）如图，已知射线分别平分，若，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查与角平分线有关的计算，根据角的和差关系求出的度数，角平分线的定义求出的度数，再根据角的和差关系即可得出结果． 【详解】解：∵，， ∴， ∵射线分别平分， ∴， ∴， ∴； 故选B． 5．（2025七年级上·广东深圳·专题练习）如图，点为直线上一点，为直角，平分，平分，平分，则是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了角平分线的性质与平角、直角的角度计算，解题的关键是利用角平分线的定义，结合平角、直角的度数推导各角的关系． 先根据平角和角平分线的性质求出的度数，再结合直角和角平分线的性质求出的度数，最后将与相加得到的度数． 【详解】解∶在直线上 平分，平分 平分，平分 故选D． 6．（25-26七年级上·广东深圳·期末）如图，为直线上一点，，平分，平分，平分，下列结论：①；②；③；④．其中正确的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了角平分线定义，角的和差计算，准确识图是解题的关键． 根据角平分线的定义可设，，利用平角等于得出，．再得出，则，，然后分别判断即可． 【详解】解：平分，平分， 可设，， 为直线上一点， ， ， ，即． ， ， ． 平分， ． ①，， ，故本选项结论正确，符合题意； ②，， ，故本选项结论正确，符合题意； ③，， ，故本选项结论正确，符合题意； ④， 当时，，但是题目没有的条件，故本选项结论错误，不符合题意． 综上所述，正确的有：①②③共3个．故选：C． 7．（25-26七年级上·江苏南通·月考）往返，两地的客车，中途停靠两个站，客运站根据两站之间的距离确定票价（距离不相等，票价就不同）．若任意两站之间的距离都不相等，则不同的票价共有（  ） A．12种 B．5种 C．6种 D．7种 【答案】C 【分析】此题考查线段的数量问题，将车站与车站之间的距离转化成线段，不同的距离表示为不同的线段，用列举法直接求线段数量即可． 【详解】解：设，两地的中间两个站分别为C、D， ∵客运站根据两站之间的距离确定票价，距离不相等票价就不同， 又∵有、、、、、，共6条不同的线段， ∴不同的票价共有6种． 故选：C． 8．（25-26七年级上·广东揭阳·期末）如图，嘉淇设计了一个电子游戏，电子屏幕上有一条直线l，在直线l上有A，B，C，D四点，当出现光点P与A，B，C，D四点中的至少两个点距离相等时，光点P就会发出红光，则从光点P沿直线l从点A出发移动到终点D的过程中，发出红光的次数最多有 次． 【答案】5 【分析】本题考查的是直线与线段的相关内容，中点，利用整体思想去思考线段的总条数是解决问题最巧妙的办法． 【详解】解：由题意知，当P点经过任意一条线段中点的时候，光点P就会发出红光， ∵图中共有线段，它们共有6个中点，其中线段和的中点重合， ∴最多亮5次红灯． 故答案为：5． 9．（25-26七年级上·山东青岛·月考）现在有10个城市在地图上的位置恰好构成一个十边形，为了确保任意两个城市之间都有直飞航班，一共需要准备 种不同的飞机票． 【答案】 【分析】本题考查了排列问题，类比线段数量问题，根据每个城市到其他城市有9种不同的线路，再乘以即可求解． 【详解】解： (种)， 即一共需要准备种不同的飞机票， 故答案为：． 10．（25-26七年级上·河南信阳·期末）如图，、、依次是线段上的三点，已知，，则图中以、、、、这个点为端点的所有线段的长度之和为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是线段和差计算，通过对线段两两结合进行化简，是解题的关键．将所有线段求和，然后两两结合，求出结果为，代入数值计算即可． 【详解】解：，， 以、、、、这个点为端点的所有线段的和为： ． 故答案为：． 11．（25-26七年级上·陕西安康·期末）如图，点O是直线上一点，在上方从左到右依次作射线，且平分，，则以下结论：①与互为余角；②；③；④若，则的补角是，正确的是 ．（填序号） 【答案】①③④ 【分析】本题考查与角平分线有关的计算，余角与补角的定义，一元一次方程的应用，理解题意，弄清各角之间的关系是解题关键． 设，根据余角与补角的定义，角平分线的定义，角度之间的和差关系，并结合一元一次方程，逐一进行分析判断，即可解题． 【详解】解：①， ， 与互为余角， 故①正确； ②设， ， 平分， ， 即根据已有条件推不出， 故②错误； ③设， 则，， ， 故③正确； ④设，若， 则， 解得， ， ， 则的补角是， 故④正确； 综上所述，正确的是①③④； 故答案为：①③④． 12．（25-26七年级上·河南郑州·月考）如图，线段被分成三部分，M，N分别为，的中点，若，线段的长度为 ． 【答案】22 【分析】本题考查的是两点间的距离及线段中点的性质、解一元一次方程，熟知各线段之间的和、差及倍数关系是解题的关键． 设，则，，再由，分别是，的中点可知，，再由求出的值，进而可得出结论． 【详解】解：线段被分成三部分， 设，则，， ，分别是，的中点， ，，又， ， ， ∴，，， ∴． 故答案为：22． 13．（25-26七年级上·宁夏银川·期末）如图，点为线段外一点，，，，为上任意四点，连接，，，，下列结论： ①以为顶点的角有个；②若点为的中点，为的中点，则；③若平分，平分，，，则； 正确的是 ． 【答案】②③ 【分析】本题主要考查了角和线段的相关知识，正确判断角以及不同的角之间的关系成为解题的关键．在①中，从以为边，以为边，以为边，以为边，以为边，数出有几个角即可．在②中，由点为的中点，为的中点，可得，，最后根据即可判断；在③中，根据题意可得，推出，由角平分线的定义可得，，推出，最后根据即可判断． 【详解】解：在①中，以为边的角有个，以为边的角有个，以为边的角有个，以为边的角有个，以为边的角有个，以为顶点的角有一共有个，故①错误； 在②中，点为的中点，为的中点， ，， ，故②正确； ，， ， ， 平分，平分， ，， ， ，故③正确； 综上所述，正确的有②③， 故答案为：②③． 14．（25-26七年级上·陕西西安·月考）如图1，2条直线相交最多1个交点；如图2，3条直线相交最多3个交点；如图3，4条直线相交最多6个交点；那么10条直线交叉最多有 个交点． 【答案】45 【分析】本题主要考查了图形变化的规律及直线的交点问题，能根据题意发现最多交点个数的变化规律是解题的关键． 根据题意，依次求出图形中最多的交点个数，发现规律即可解决问题． 【详解】解：由所给图形可知， 两条直线相交，最多的交点个数为：1， 三条直线相交，最多的交点个数为：， 四条直线相交，最多的交点个数为：， …， 所以条直线相交，最多的交点个数为：． 当时，． 即10条直线相交，最多的交点个数为45个． 故答案为：45． 15．（25-26七年级上·河北石家庄·月考）已知线段，点在直线上，直线上共有三条线段：和，若其中有一条线段的长度是另一条线段长度的两倍，则称为线段的“奇妙点”，那么线段的“奇妙点”的个数是 ． 【答案】9 【分析】本题主要考查了新定义，以及线段的数量关系，正确理解题意是解答本题的关键．根据“奇妙点”的定义即可求解． 【详解】解：由题意，线段的2个三等分点与线段的中点都是线段的“奇妙点”，同理，在线段的延长线和反向延长线也分别有3个“奇妙点”． ∴线段的“奇妙点”的个数是9个． 故答案为：9． 16．（24-25七年级上·湖南株洲·期末）如图所示，，、、分别平分，，，下列结论：①；②；③；④；其中正确的是 ． 【答案】①②③ 【分析】本题主要考查了几何图中的角度计算，角平分线的定义，由角平分线的定义得出， ，，结合已知条件可得出，，即可判断①②，再由平角的定义和角度的和差即可得出，即可判断③，由角的等量代换可得出，由即可得出，即可判断④． 【详解】解：①如图所示， ∵平分，平分， ∴， ， ∵， ∴ ∴，故①正确； ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴，故②正确； ∴， ∴， ，故③正确； ∵ ∵ ∴，故④错误． 故答案为：①②③． 17．（25-26七年级上·江苏泰州·月考）如图，点M在线段的延长线上，且线段，第一次操作：分别取线段和的中点，；第二次操作：分别取线段和的中点，；第三次操作：分别取线段和的中点，；……连续这样操作2025次，则每次的两个中点所形成的所有线段之和 ． 【答案】 【分析】本题考查数轴上两点的距离与规律探索，理解题意，运用线段中点的定义来逐步探寻规律是解题关键． 根据线段中点的定义，尝试计算几组线段的长，归纳总结出规律后，计算出答案． 【详解】解：∵是的中点，是的中点， ∴，， ∴， 同理，， ， 归纳得，， ∴， 设， 两边同乘以得，， 将得，，即． 故答案为：． 18．（25-26七年级上·江苏盐城·月考）已知，在内部有四条射线，这四条射线、、、将五等分，在其中任选两条射线，并计算能用射线、和这两条射线表示的所有的角之和s，计算并写出所有可能的s的值 ． 【答案】/80度 【分析】本题考查了角的n等分线，先根据五等分线求出，然后分三种情况讨论：选择相邻的两条射线；选择间隔一条射线的两条射线；选择间隔两条射线的两条射线，然后根据角的和差关系求解即可． 【详解】解：∵、、、将五等分，， ∴， 若选择相邻的两条射线，如、， 则射线、、、表示的角有，，，， ∴， 同理，选择其他相邻两条直线，s的值为； 若选择间隔一条射线的两条射线，如、， 则射线、、、表示的角有，，，， ∴， 同理，选择其他间隔一条射线的两条射线，s的值为； 若选择间隔两条射线的两条射线，如、， 则射线、、、表示的角有，，，， ∴， 综上，s的值为， 故答案为：． 19．（25-26七年级上·重庆·期中）一条直街上有栋楼，按从左至右顺序编号为，第号楼恰好有个厂的职工，相邻两楼之间的距离为米．厂打算在直街上建一车站，为使这栋楼所有厂职工去车站所走的路程之和最小，车站应建在距号楼 米处，且路程之和最小为 米． 【答案】 【分析】本题考查比较线段长短的知识，难度中等，与实际结合较紧，解答本题的关键是设出位置后运用分段讨论的思想进行解答．假设车站距离号楼米，然后运用绝对值表示出总共的距离，继而分段讨论的取值去掉绝对值，根据数的大小即可得出答案． 【详解】解：设车站距号楼米，则总路程， 当时，，最小值为； 当时，，最小值为； 当时，，最小值为； 当时，，最小值为； 比较各区间最小值，当时，最小为； 故车站应建在距号楼米处，路程之和最小为米． 故答案为：，． 20．（25-26七年级上·河北秦皇岛·期末）已知平分，平分，且、．如果与互补或与互补，则称、是一对“多补角”． (1)如图1，当在内部，若，，则________，和________一对“多补角”（填“是”或“不是”）． (2)若和是一对“多补角”，，是锐角，求的度数． (3)如图2，若，和是一对“多补角”，直接写出的度数． 【答案】(1)，不是 (2)的度数为或 (3)的度数为或或或 【分析】本题考查了角平分线的定义，补角的定义，一元一次方程的应用，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用分类讨论与数形结合的思想是解此题的关键． （1）由角平分线的定义可得，，再由计算即可得出的度数，再由“多补角”的定义判断即可得出结果； （2）设，由角平分线的定义可得，，表示出，分两种情况：当时，；当时，；分别求解即可得出结果； （3）分两种情况：当在内部时；当在外部时，分别计算即可得出结果． 【详解】（1）解：∵平分，平分， ∴，， ∴， ∵，且， ∴和不是一对“多补角”； （2）解：设， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∵和是一对“多补角”， ∴当时，， 解得：，此时，符合题意； 当时，， 解得：，此时，符合题意； 综上所述，的度数为或； （3）解： 当在内部时，设，则， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∵和是一对“多补角”， ∴当时，， 解得：，此时； 当时，， 解得：，此时； 当在外部时，设，则， ， ∵平分，平分， ∴，， ∴ ， ∵和是一对“多补角”， ∴当时，， 解得：，此时； 当时，， 解得：，此时； 综上所述，的度数为或或或． 21．（25-26七年级上·广东汕头·期末）【问题初探】 （1）数学课上，李老师给出如下问题：如图1，点在线段上，点在线段的延长线上，若，，点是线段的中点．探究与之间的数量关系，并说明理由．小慧同学回答：可以设，用含的式子表示出的长，进而得到与之间的数量关系，请你按照小慧同学的解题思路，写出说理过程． 【类比分析】 （2）为了帮助学生更好的体会这种方法，李老师把线段问题改成了角有关的问题，请你解答． 如图2，，射线在内部，将射线绕点逆时针旋转120°得到射线（即），平分．探究与的数量关系，并说明理由． 【学以致用】 （3）如图3，点是直线上一点，射线在直线上方，且，射线，，与射线位于直线的同侧，与互补，平分．请直接写出与之间的数量关系． 【答案】（1），见解析；（2），见解析；（3）①，②，③ 【分析】本题主要考查线段之间的关系和角度之间的关系、线段中点和角平分线的定义，解题的关键是分情况讨论． （1）设，得，根据线段中点求得以及，即可得到答案； （2）设，得到以及，根据角平分线性质得到，即可得到答案； （3）分类讨论将所有的可能列举出，并应用角平分线定义和角度的和差关系求解． 【详解】解：（1）如图 设，则， ∵点E是线段的中点， ∴， ∵， ∴， 则． （2）．理由如下， 设， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， 则． （3）①，如图 ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴； ②，如图， ∵，， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴； ③，如图， ∵，， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴； 22．（25-26七年级上·吉林辽源·期末）综合与探究：在数学活动课上，老师和同学们以“线段与角的共性”为主题开展数学活动，发现线段的中点的概念与角的平分线的概念类似，甚至它们在计算的方法上也有类似之处，它们之间的题目可以转换，解法可以互相借鉴，如图，点是线段上的一点，是的中点，是的中点． (1)问题探究 若，，则____________． 若，，则____________． 若点是线段所在直线上的任意一点（不与，重合），是中点，是中点，当时，____________． (2)继续探究 “创新”小组的同学类比想到：如图，已知，在的内部作射线，再分别作和的角平分线，． 若，则_______________． 若，则_______________． (3)深入探究 “缜密”小组在“创新”小组的基础上提出：如图，若，在的外部作射线，再分别作和的角平分线，，若，则_______________． 【答案】(1)；； (2)； (3) 【分析】本题考查了线段的中点，角平分线的性质，熟练掌握线段的中点、角平分线的定义，能够利用和差关系运算求解是关键． （1）根据中点的性质结合线段之间的和差关系求解即可；由可直接得解；分三种情况讨论：当点在点左侧时，当点在点右侧时，当点在线段上时，分别列式计算即可； （2）根据角平分线的性质结合角的和差关系求解即可；由可直接得解； （3）根据角平分线的性质结合角的和差关系求解即可． 【详解】（1）解：， ， ； 故答案为：； 由可得； 故答案为：； 当点在点左侧时，； 当点在点右侧时，； 当点在线段上时，由知，； 综上，； 故答案为：； （2）解：， ， ； 故答案为：． 由可得． 故答案为：． （3）解：平分，平分， ，， ， ， ． 故答案为：． 23．（25-26七年级上·辽宁葫芦岛·期末）【问题背景】 小明在学习了角平分线的知识后，作如下几何图形：如图，在外部作射线，且． 【问题提出】 （1）如图，若，平分，平分，求的度数． 【问题推广】 （2）如图，若，从点出发在外部作射线，满足，若平分，平分． 求的度数； 请直接写出的值． 【答案】（1）；（2）的度数为或；或 【分析】本题考查了几何图形中角度的计算，角平分线的定义，熟练掌握角平分线定义是解题的关键． （1）根据角平分线的定义先得到，由得到，从而得到的度数，再根据角平分线的定义可得，从而得到的度数； （2）分两种情况讨论：当靠近外侧时，当靠近外侧时，分别先求出、的度数，结合已知的，可求得的度数，再由角平分线的定义和角之间的和差关系求得的度数即可； 同分两种情况讨论，分别求出的度数，即可得解． 【详解】解：（1），平分，， ，， ， 平分， ， ； （2）当靠近外侧时，如图所示， ，． ， ， ，即， ， ， 平分，平分， ，， ； 当靠近外侧时，如图所示， ，． ， ， ，即， ， ， 平分，平分， ，， ； 综上，的度数为或； 当靠近外侧时， ，， ； 当靠近外侧时， ，， ； 综上，的值为或． 24．（24-25七年级上·广东佛山·月考）如图1，已知，，在内，在内， ，．（本题中所有角均大于且小于等于） (1)从图1中的位置绕点O逆时针旋转到与重合时，如图2，则 °； (2)从图2中的位置绕点O逆时针旋转（且），求的度数； (3)从图2中的位置绕点O顺时针旋转（且，其中为正整数），直接写出所有使的值． 【答案】(1)100 (2) (3)50或70 【分析】本题考查角度的计算与探究，解决本题的关键是对不同情况进行画图并分类讨论． （1）当从图1中的位置绕点O逆时针旋转到与重合时，如图2，可得，再根据已知条件进行计算即可； （2）根据从图2中的位置绕点O逆时针旋转（且），分两种情况画图：①当时，如图1，②当时，如图2，结合（1）进行角的和差计算即可； （3）根据从图2中的位置绕点O顺时针旋转（且，其中为正整数），，分两种情况画图：①当时，如图3，②当时，如图4和5，结合（2）进行角的和差计算即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ， 当从图1中的位置绕点O逆时针旋转到与重合时，如图2， ∴ ； 故答案为：100； （2）从图2中的位置绕点O逆时针旋转（且）， ①当时，如（图1）， ∵， ∴， ， ∴ ； ②当时，如（图2）， ∵， ∴， ， ∴ ； 综上所述：的度数为； （3）从图2中的位置绕点O顺时针旋转（且，其中为正整数），， ①当时，如图3， ∵， ∴， ∴， ， ∴ ， ∴, ∴； ②当时，如图4， ∵， ∴， ∴， ， ∴ ， ∴， ∴； 当时，如图5， ∴， ∴，， ∵，， ∴，， ∴ ， ∴， ∴； 综上所述：的值为50或70． 25．（25-26七年级上·辽宁沈阳·期末）如图1，点在线段上，图中共有3条线段：，，，若其中有一条线段的长度是另一条线段长度的两倍，则称点是线段的“二倍点” 【概念理解】 （1）一条线段的中点______这条线段的“二倍点”（填“是”或“不是”）； 【深入研究】 （2）如图2，点表示数，点表示数．若点从点的位置开始．以每秒3个单位长度的速度向点运动，当点到达点时停止运动．设运动的时间为秒． ①点在运动的过程中表示的数为______（用含的代数式表示）； ②当点是线段的“二倍点”时，求值； ③当点从点的位置开始运动时，同时点从点的位置开始．以每秒2个单位长度的速度向点运动，并与点同时停止．请直接写出点是线段的“二倍点”时的值． 【答案】（1）是；（2）①；②或5或；③或或 【分析】本题考查数轴上点的运动及一元一次方程的应用： （1）根据“二倍点”定义，整条线段是中点分得小线段的两倍直接判断即可得到答案； （2）①利用点B代表数字减去走的路程即是表示的数字；②分情况，分得的两个小线段是2倍关系列式求解即可得到答案；③分别表示动点所代表的数，分情况，分得的两个小线段是2倍关系列式求解即可得到答案； 【详解】解：（1）∵中点分得的两个小线段相等等于整条线段的一半， ∴一条线段的中点是这条线段的“二倍点”， 故答案为：是； （2）①∵点表示数，点从点的位置开始．以每秒3个单位长度的速度向点运动， ∴点在运动的过程中表示的数为：； ②∵点是线段的“二倍点” ∴或或， 当时，，解得：， 当时，，解得：， 当时，，解得：， 综上所述值可能是或5或； ③由题意可得，代表的数字是， ∴，，， 当时，，解得：， 当时，，解得：， 当时，，解得：， 综上所述点是线段的“二倍点”时的值为：或或． 26．（25-26七年级上·辽宁阜新·期末）【材料阅读】 “数缺形时少直观，形少数时难入微”，数形结合是解决数学问题的重要思想方法． 如图1，数轴上点表示的数为，点表示的数为，且．点是线段的中点． （1）点表示的数是___________； （2）若动点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向右运动，动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左运动，点、同时出发，当点到达点时，两动点的运动同时停止．设运动时间为秒，则： ①点、表示的数分别是___________、___________（用含的代数式表示）； ②若在运动过程中满足时，请求出的值； 【方法迁移】 （3）我们发现角的很多运算方法和线段一样，如图2，，平分．射线从出发，以每秒的速度绕点顺时针旋转，射线从出发，以每秒的速度绕点逆时针旋转．射线、同时出发，当到达时，运动同时停止．设旋转时间为秒，若和两个角中，其中一个角是另一个角的3倍时，请直接写出的值． 【答案】（1）3；；（2）①；；②当或时，；（3）当t的值为24或或48时， 和两个角中，其中一个角是另一个角的3倍． 【分析】本题主要考查了绝对值的非负性、数轴上的动点问题、角平分线的定义、一元一次方程的应用等知识点，掌握数形结合思想是解题的关键． （1）先根据绝对值的非负性确定a、b的值，进而确定点A、B表示代数，根据点C是线段的中点，即可确定点C表示的数； （2）①结合数轴用t表示出M、N表示的数即可； ②先根据题意表示出，，根据列绝对值方程求解即可； （3）先根据角平分线的定义求得，再表示出，，再说明，然后再分或两种情况解绝对值方程即可． 【详解】解：（1）∵， ∴， ∴点A表示的数为，B表示的数为9， ∵点C是线段的中点， ∴点C表示的数是． 故答案为：3； （2）①设运动时间为t秒， 则：点M表示的数为：；点N表示的数为：； 故答案为：；； ②∵点M表示的数为：；点N表示的数为：； ∴，， ∵， ∴， 解得：或； 综上，当或时，； （3）解：∵，平分． ∴， 由题意可得：， ∴，， ∵当到达时，运动同时停止． ∴； ①当时，， 解得：或； ②当时，， 解得：，不符合题意；或． 综上，当t的值为24或或48时，使得和两个角中，其中一个角是另一个角的3倍． 27．（25-26七年级上·辽宁丹东·期末）数学课上，老师给出了这样一道作图题： 已知：如图1，直线与直线相交于点，．按以下步骤作图： 1．在直线上方作射线． 2．以点为圆心，任意长为半径画弧，分别交射线、、于点． 3．以点为圆心，线段长为半径画弧，交前弧于点和点（点和点分别在直线左侧和右侧）． 4．作射线和． (1)根据晓东同学作的当射线在内部时的图， ①写出与相等的角； ②若，则________； (2)按老师的作图要求，当时，设的度数为，求的值． 【答案】(1)①由作图可知；②； (2)的值为或． 【分析】本题主要考查了几何中角度的运算、一元一次方程等，能够理解题意并根据分类讨论列出方程是解题的关键． （1）①由作图可知；②利用求解； （2）分两种情形：①当射线在内部时；②当射线在内部时，分别求出含参的、，根据题意列方程求解即可． 【详解】（1）解：（1）①由作图可知； ②由作图可知， ∵， ∴； （2）①当射线在内部时，如图， ∵由作图可知， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴； ②当射线在内部时，如图， ∵由作图可知， ∴． ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ， 解得． 综上所述，的值为或． 28．（25-26七年级上·甘肃武威·期末）【问题背景】 已知，以为顶点，为一边顺次往外画两个锐角，和，并且，射线平分，射线平分．设． (1)如图1，若，求的值； 【问题推广】 (2)如图2，若是内的一条射线，且，试说明是否平分； 【拓展提升】 (3)随着的变化，探究的大小是否发生变化？若不变，请求出它的值；若变化，请说明理由． 【答案】(1) (2)射线平分，理由见解析； (3)不变，值为 【分析】本题考查角的和差运算，角平分线的性质，运用代数式表示每个角是解题关键． （1）先计算出，由射线平分．得出，进一步计算出； （2）先计算出，由射线平分．得出．由和，计算出和，再计算出，比较和得出结论； （3）类比（2）的解法，依次计算出和，作差后得出结论． 【详解】（1）解：∵，， ∴． ∵射线平分， ∴， ∴． （2）解：射线平分．理由如下： ∵，， ∴， ∵射线平分， ∴， ∵，平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∵， ∴， ∴射线平分． （3）解：的大小不发生变化，且的值为．理由如下： 如图1，由（2）可知，，， ∴． ∵平分， ∴． ∵， ∴． ∴的大小不发生变化，的值为． 29．（25-26七年级上·贵州遵义·期末）如图，射线在的内部，如果，则称为射线与的“分割值”，记为．例如当，时，则，即，反之，则． (1)如图，射线在的内部，，，则________； (2)如图，，，射线从位置开始，绕点按顺时针方向匀速旋转，到达时立即原速返回，射线从位置开始，绕点按顺时针方向匀速旋转，当到达时，也停止运动，设旋转的时间为秒．若射线旋转的速度为每秒，射线旋转的速度为每秒． 当时，求的值； 若，求的值． 【答案】(1) (2)；或 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，角平分线的定义，角的计算，掌握分类讨论的思想方法是解题的关键． （1）根据“分割值”的定义即可解答； （2）先求出当时，的值，再根据“分割值”的定义即可解答； 分两种情况讨论：当射线从开始顺时针旋转到时，当射线从原速返回时，分别表示出，，再根据“分割值”的定义列式，求解即可． 【详解】（1）解：，， ， ； 故答案为：； （2）解：射线旋转的速度为每秒，， ， 当时，到达，射线、均停止运动， 射线旋转的速度为每秒，， ， 当时，到达， 当时，如图所示，， ； 当射线从开始顺时针旋转到时，， 如图所示， 射线旋转的速度为每秒，射线旋转的速度为每秒． ，， ， ， 解得； 当射线从原速返回时，， ，， ， ， 解得； 综上，或 ． 30．（24-25七年级上·山东济南·期末）在数学活动课上，老师和同学们以“线段与角的共性”为主题开展数学活动，发现线段的中点的概念与角的平分线的概念类似，甚至它们在计算的方法上也有类似之处，它们之间的题目可以转换，解法可以互相借鉴． 如图1，点是线段上的一点，是的中点，是的中点． (1)问题探究： 若，，则______； “创新”小组的同学类比想到：如图2，已知，在角的内部作射线，再分别作和的角平分线，．求的度数； (2)继续探究： “奋进”小组在“创新”小组的基础上提出：如图3，若，在角的外部作射线，再分别作和的角平分线，．若，求的度数； (3)拓展探究： 已知在内的位置如图所示，，，且，，求的度数．（用含的代数式表示） 【答案】(1)    (2) (3) 【分析】（1）根据题意，计算出每段图形的大小，结合线段的和差关系求解根据题意，计算出每个角大小，结合角的和差关系求解； （2）结合图形以及角平分线的定义，计算出每个角大小，结合角的和差关系求解； （3）结合图形计算出每个角大小，结合角的差关系求解； 本题主要考查了线段的和差问题，角的和差问题以及角平分线的性质，结合图形，线段中点以及角平分线的定义是解题关键． 【详解】（1），， , 是的中点 是的中点 故答案为：3． 平分, 平分, ； 故答案为：． （2）由题可知：，， ， 平分, ， 平分, ； 故答案为：． （3）由题可知：，设， ， , ， 故答案为：． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $