第4章 线段与角（高效培优讲义）数学沪教版五四制2024六年级上册

第4章 线段与角 教学目标 1. 知道直线、射线、线段的区别与联系； 2. 学习线段的和、差、倍，角平分线及其应用； 3. 了解角的表示及大小比较； 4. 角的比较与应用；画角的和、差与角平分线； 5. 余角、补角及其应用。 教学重难点 1.重点 （1）几何初步的一些基本事实； （2）直线、射线、射线的概念与表示；线段的和差倍的应用； （3）角的有关概念与表示；角的和差倍的应用。 2.难点 （1）新定义题；分类讨论思想； （2）线段与角的综合应用。 知识点1 点与线 一、点 点是图形的基本元素之一.当我们用削尖的铅笔轻轻在纸上点下去时，纸上就会出现一个小小的黑点(图4-1-1),这使我们能够形象地理解点的概念.我们通常用一个大写字母来表示点，就像图4-1-1中的点可以记为“点A”. 2、 直线、射线、线段 Ⅰ、直线 ①经过两点有且只有一条直线. ②在直线上任意取两个点，可以用表示这两点的两个大写字母表示这条直线，如图4-1-4(1)的直线可以记作“直线AB”或“直线BA”.有时为了简便也可以用一个小写字母表示，如图4-1-4(1)的直线也可以记作“直线l”. 要点： 直线的特征：（1）直线没有长短，向两方无限延伸． （2）直线没有粗细． （3）两点确定一条直线． （4）两条直线相交有唯一一个交点． ③.点与直线的位置关系： （1）点在直线上，如图3所示，点A在直线m上，也可以说：直线m经过点A． （2）点在直线外，如图4，点B在直线n外，也可以说：直线n不经过点B． Ⅱ、射线 ①直线上任意一点及其一侧的部分叫作射线.射线可以用表示它的端点和射线上任意一点(端点除外)的两个字母表示，表示端点的字母要写在前面，如图4-1-4(2)中的射线记作“射线AB”. ②.特征：是直的，有一个端点，不可以度量，不可以比较长短，无限长． ③.表示方法：（1）可以用两个大写英文字母表示，其中一个是射线的端点，另一个是射线上除端点外的任意一点，端点写在前面，如图8所示，可记为射线OA． （2）也可以用一个小写英文字母表示，如图所示，射线OA可记为射线l． 要点： (1)端点相同，而延伸方向不同，表示不同的射线．如图1中射线OA，射线OB是不同的射线． 图1 (2)端点相同且延伸方向也相同的射线，表示同一条射线．如图2中射线OA、射线OB、射线OC都表示同一条射线． 图2 Ⅲ、线段 ①直线上任意两点间的部分(包括端点)叫作线段.线段可以用表示它的端点的两个大写字母表示，如图4-1-4(3)中的线段可以记作“线段AB”或“线段BA”,也可以用一个小写字母表示，记作“线段a”. ②. “作一条线段等于已知线段”的两种方法： 法一：用圆规作一条线段等于已知线段．例如：下图所示，用圆规在射线AC上截取AB＝a． 法二：用刻度尺作一条线段等于已知线段．例如：可以先量出线段a的长度，再画一条等于这个长度的线段． 要点： （1）线段是直的，它有两个端点，它的长度是有限的，可以度量，可以比较长短． （2）连接两点间的线段的长度，叫做这两点的距离． （3）线段的比较： ①度量法：用刻度尺量出两条线段的长度，再比较长短． ②叠合法：利用直尺和圆规把线段放在同一条直线上，使其中一个端点重合，另一个端点位于重合端点同侧，根据另一端点与重合端点的远近来比较长短． 三、两点间的距离 在小学阶段，我们也知道关于线段的基本事实：两点之间，线段最短. 如果一条线段的两个端点的位置确定了，那么这条线段的位置就确定了.这可以简单地表达为两点确定一条以这两点为端点的线段.因此，我们把连接两点的线段的长度叫作这两点间的距离. 四、直线、射线、线段的区别与联系 1.直线、射线、线段之间的联系 （1）射线和线段都是直线上的一部分，即整体与部分的关系．在直线上任取一点，则可将直线分成两条射线；在直线上取两点，则可将直线分为一条线段和四条射线． （2）将射线反向延伸就可得到直线；将线段一方延伸就得到射线；将线段向两方延伸就得到直线． 2．三者的区别如下表 要点： （1） 联系与区别可表示如下： （2）在表示直线、射线与线段时，勿忘在字母的前面写上“直线”“射线”“线段”字样． 五、点在射线上的三种情况 任意画两条线段AB、CD,将线段AB移到线段CD的位置，使端点A与端点C重合，且端点B在射线CD上.端点B有以下三种可能的位置情况，如表4-1所示. 六、线段的度量与大小比较 线段的度量需要先取单位长度.有了单位长度，线段的长度就可以用一个数来描述长短.一旦单位长度确定，我们就可以用相应的刻度尺对线段进行度量.进一步，线段的长短也可以通过长度来加以比较. 在不产生混淆的前提下，AB(或a)也可以用以表示线段AB(或线段a)的长度.例如，在表4-1的结论中，情况一可记为AB<CD,情况二可记为AB=CD,情况三可记为AB>CD. 如果没有刻度尺，我们还可以借助圆规比较两条线段的长短.如图4-1-7所示. 【即学即练】 1．下列语句准确规范的是（   ） A．直线，相交于一点 B．延长直线 C．延长射线 D．延长线段到点，使 【答案】D 【分析】本题主要考查几何语言的规范性，准确掌握规范的几何语言是学好几何的保障． 根据几何语言的规范对各选项分析判断后利用排除法求解． 【详解】解：A、交点应该用大写字母，故本选项错误，不符合题意； B、直线是向两方无限延伸的，不能延长，故本选项错误，不符合题意； C、射线向一个方向无限延伸，故延长射线，说法错误，不符合题意； D、延长线段到点，使，说法正确，符合题意． 故选：D． 2．如图，下列说法正确的是（   ） A．点O在射线上 B．点B是直线的一个端点 C．点A在线段上 D．射线和射线是同一条射线 【答案】C 【分析】本题考查了直线，射线，线段的有关概念；由直线，射线，线段的有关概念，即可判断． 【详解】解：A、点在射线的反向延长线上，故此选项不符合题意； B、直线没有端点，故此选项不符合题意； C、点在线段上，原说法正确，故此选项符合题意； D、射线和射线的端点不同，不是同一条射线，故此选项不符合题意． 故选：C． 3．在如图所示的现象中，体现了直线的基本事实“两点确定一条直线”的有（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】D 【分析】本题考查了直线的性质：两点确定一条直线，熟练掌握直线的性质是解题的关键． 根据直线的性质，逐一判断即可解答． 【详解】解：①平板弹墨线，体现了基本事实“两点确定一条直线”； ②建筑工人砌墙，体现了基本事实“两点确定一条直线”； ③固定挂钩架，体现了基本事实“两点确定一条直线”； 所以，在如图所示的现象中，体现了直线的基本事实“两点确定一条直线”的有个， 故选：D． 知识点2 画线段的和、差与线段的中点 一、线段的和、差 思考1：如图4- 1- 10,点A 、B 、C 在一条直线上.线段AB 、BC 、AC有怎样的数量关系? 线段AB 、BC 、AC有如下的数量关系：AB+BC=AC,AC—BC=AB,AC—AB=BC. 思考2：如图4-1-11,点B 、C 在线段AD上 .如果线段AB与线段CD一样长，那么线段AC 、BD 有怎样的关系?为什么? 因为AB=CD, 所以AB+BC=CD+BC. 所以AC=BD. 二、画线段的和、差 我们在小学学过用刻度尺画一条线段等于已知线段.画一条线段等于两条 线段的和或差，可以先用刻度尺量出两条线段的长度，再计算线段的和或差， 最后利用刻度尺画. 在没有刻度尺的条件下，我们也可以用直尺和圆规画线段的和与差. 例题1：如图4-1-12,已知线段a、b. (1)用直尺和圆规画一条线段，使它等于a+b; (2)用直尺和圆规画一条线段，使它等于a-b. 解 (1)如图4- 1- 13, ① 画射线OP; ②在射线OP 上从点O 起，顺次截取OA=a,AB=b. 线 段OB 就是所要画的线段. (2)如图4-1-14, ①画射线OP; ②在射线OP上截取OC=a, 在线段OC上截取CD=b.线段OD就是所要画的线段. 从图4-1-13可知，线段OB 的长度就是线段OA的长度加上线段AB 的 长度，即有OB=OA+AB. 因 为OA=a,AB=b, 所以OB=a+b. 从图4-1-14可知，OC=a,CD=b, 线 段OD的长度就是线段OC的长度减去线段CD 的长度，即有OD=OC-CD. 因为OC=a,CD=b, 所以OD=a—b. 三、线段的倍、线段的中点 如果一条线段b 是 n 条线段a 的和，就说线段b 是线段a的n倍，或线段a 是线段b的n分之一，记作b=na或特别地，将一条线段分成两条相等线段的点叫作这条线段的中点. 如图4-1-17,M是线段AB 的中点，那么,AB=2AM=2BM. 例题2：如图4- 1- 18,已知一条线段AB, 用刻度尺画出它的中点C. 解：如图4- 1- 19,以1 mm 为单位长度. ①用刻度尺量出AB=40, 计算得 ②用刻度尺在线段AB 上取点C, 使得AC=20. 点C就是所要画的线段AB 的中点. 【即学即练】 1．如图，线段，延长到，若，则、两点之间的距离为（    ） A．4 B．6 C．8 D．12 【答案】D 【分析】本题主要考查了线段的和差计算，熟练掌握线段的和差关系是解题的关键．根据线段，可得，再根据线段的和差可得答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∴． 故选：． 2．下列说法不正确的是（   ） A．若点C在线段上，则 B．若，则点C一定在线段外 C．若三点不在一直线上，则 D．若点C在线段的延长线上，则 【答案】D 【分析】本题主要考查的是两点间的距离，线段的性质，掌握线段的性质是解题的关键．根据线段的概念和定义，进行分析． 【详解】解：A、若点在线段上，则，故该选项正确，不符合题意； B、若，则点一定在线段外，故该选项正确，不符合题意； C、若、、三点不在同一条直线上，则，故该选项正确，不符合题意； D、若点在线段的延长线上，则，故该选项不正确，符合题意； 故选：D． 3．如图，线段为线段的中点，下列式子不正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了两点间的距离，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键．根据线段中点的定义可得，再结合已知和等式的性质，逐一判断即可解答． 【详解】解：A．为线段的中点，， ，，，故A不符合题意； B．，，故B不符合题意； C．，，故C不符合题意； D．点不是的中点，和不一定相等，故选D符合题意； 故选：D． 知识点3 角及其度量 角的比较与应用 1． 角的定义： （1）定义一：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边．如图1所示，角的顶点是点O，边是射线OA、OB． 图2 图1 （2）定义二：一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形，射线旋转时经过的平面部分是角的内部．如图2所示，射线OA绕它的端点O旋转到OB的位置时，形成的图形叫做角，起始位置OA是角的始边，终止位置OB是角的终边． 要点： （1）两条射线有公共端点，即角的顶点；角的边是射线；角的大小与角的两边的长短无关． （2）平角与周角：如图1所示射线OA绕点O旋转，当终止位置OB和起始位置OA成一条直线时，所形成的角叫做平角，如图2所示继续旋转，OB和OA重合时，所形成的角叫做周角． 2.角的表示法：角的几何符号用“∠”表示，角的表示法通常有以下四种： 要点： 用数字或小写希腊字母表示角时，要在靠近角的顶点处加上弧线，且注上阿拉伯数字或小写希腊字母． 3.角度制及其换算 角的度量单位是度、分、秒，把一个周角平均分成360等份，每一份就是1°的角，1°的为1分，记作“1′”，1′的为1秒，记作“1″”．这种以度、分、秒为单位的角的度量制，叫做角度制． 1周角＝360°，1平角＝180°，1°＝60′，1′＝60″． 要点： 在进行有关度分秒的计算时，要按级进行，即分别按度、分、秒计算，不够减，不够除的要借位，从高一位借的单位要化为低位的单位后再进行运算，在相乘或相加时，当低位得数大于等于60时要向高一位进位． 4.角的比较：角的大小比较与线段的大小比较相类似，方法有两种． 方法1：度量比较法．先用量角器量出角的度数，然后比较它们的大小． 方法2：叠合比较法．把其中的一个角移到另一个角上作比较． 如比较∠AOB和∠A′O′B′的大小： 如下图，由图（1）可得∠AOB＜∠A′O′B′；由图(2)可得∠AOB＝∠A′O′B′；由图(3)可得∠AOB＞∠A′O′B′． 【即学即练】 1．下列说法正确的是（　　） A．角是由一条线段绕着它的一个端点旋转而形成的图形 B．角的大小和角的开口大小无关 C．由两条具有公共端点的射线组成的图形叫作角 D．角的两边越长，角就越大 【答案】C 【分析】本题考查了角的相关概念，根据角的相关定义逐项分析即可得解，熟练掌握角的相关定义是解此题的关键． 【详解】解：A、角是由一条射线绕着它的一个端点旋转而形成的图形，故原说法错误，不符合题意； B、角的大小和角的开口大小有关，故原说法错误，不符合题意； C、由两条具有公共端点的射线组成的图形叫作角，故原说法正确，符合题意； D、角的大小与两边的长短没有关系，故原说法错误，不符合题意； 故选：C． 2．（1）如图①，我们可以将角表示为 或 或 ． （2）如图②，共有 个角，它们分别是 ． 【答案】 3 ，， 【分析】本题考查了角的相关概念，熟练掌握角的相关定义，采用数形结合的思想是解此题的关键． （1）根据角的表示方法并结合图形即可得解； （2）根据图形并结合角的相关定义即可得解． 【详解】解：（1）由图①可得，我们可以将角表示为或或， 故答案为：，，； （2）由图②可得，共有3个角，它们分别是，，， 故答案为：3；，，． 3．如图，书店在超市的（   ）方向上． A．西偏北 B．北偏西 C．东偏南 D．南偏东 【答案】A 【分析】本题主要考查了方向角，熟练掌握方向角度的定义，采用数形结合的思想解题，是解决问题的关键． 根据方向角的定义即可直接解答． 【详解】解：书店在超市的西偏北方向上， 故选：A． 4．下列各角中，是钝角的是（   ） A．周角 B．平角 C．平角 D．平角 【答案】B 【分析】本题考查钝角的定义，以及周角、平角的度数，通过计算各选项的角度，结合钝角定义判断． 【详解】解：A、周角，计算得：，是直角，不符合题意； B、平角，计算得：，是钝角，符合题意； C、平角，计算得：，是直角，不符合题意； D、平角，计算得：，是锐角，不符合题意． 故选：B． 【点睛】本题考查了钝角的定义以及周角、平角的度数，解题关键是掌握钝角的范围，并能结合周角、平角的度数准确计算角度． 知识点3 画角的和、差与角的平分线 余角、补角 1.角的和、差 如图所示，∠AOB是∠1与∠2的和，记作：∠AOB＝∠1+∠2；∠1是∠AOB与∠2的差，记作：∠1＝∠AOB-∠2． 要点： (1)用量角器量角和画角的一般步骤：①对中(角的顶点与量角器的中心对齐)；②重合(一边与刻度尺上的零度线重合)；③读数(读出另一边所在线的度数)． (2) 利用三角板除了可以做出30°、45°、60°、90°外，根据角的和、差关系，还可以画出15°，75°，105°，120°，135°，150°，165°的角． 2.角平分线 从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，叫做这个角的平分线．如图所示，OC是∠AOB的角平分线，∠AOB＝2∠AOC＝2∠BOC， ∠AOC＝∠BOC =∠AOB． 要点：由角平分线的概念产生的合情推理其思维框架与线段中点的思维框架一样． 3.角平分线的画法：①用量角器作角平分线 例 如图 4 - 2 - 1 9 , 已知∠ABC, 画出它的平分线. 解如图4-2-20, ①用量角器量得∠ABC=48°,所以∠ABC=24°， ②以B为顶点，射线 BA为一边，在∠ABC的内部用量角器画∠ABM=24. BM 就是所要画的∠ABC的平分线. ②尺规作角的平分线 下面我们探究用尺规作角的平分线． 已知：∠AOB. 求作：射线OC，使∠AOC＝∠BOC. 作法： (1)在OA和OB上分别截取OD，OE，使OD＝OE； (2)分别以D，E为圆心，以大于DE的长为半径作弧，两弧在∠AOB内交于点C； (3)作射线OC. OC就是∠AOB的平分线(如图)． 4.定义：一般地，如果两个角的和等于90°(直角)，就说这两个角互为余角，即其中一个角是另一个角的余角． 类似地，如果两个角的和等于180°(平角)，就说这两个角互为补角，即其中一个角是另一个角的补角． 5．性质：（1）同角（等角）的余角相等．（2）同角（等角）的补角相等． 要点： (1)互余互补指的是两个角的数量关系，互余、互补的两个角只与它们的和有关，而与它们的位置无关． (2)一般地，锐角α的余角可以表示为(90°-α)，一个角α的补角可以表示为(180°-α) ．显然一个锐角的补角比它的余角大90°。 【即学即练】 1．计算： ． 【答案】 【分析】本题考查角度的运算，注意将高级单位化为低级单位时，乘以60，反之，将低级单位转化为高级单位时除以60是解答此题的关键． 首先将分化为秒，乘以60，与秒相减，将度化为分与分相减，最后度与度相减． 【详解】解：， 故答案为：． 2．如图，已知，平分，若内部存在一条射线，满足，则 ． 【答案】或 【分析】本题考查的是角平分线的含义，角的和差运算；分两种情况画图，当在的右边时，当在的左边时，再进一步结合角平分线与角的和差运算可得答案． 【详解】解：如图，当在的右边时， ∵，平分， ∴， ∴， 如图，当在的左边时， ∴， 综上：为或； 故答案为：或 3．如图是用一副三角板拼成的图形，则图中 ． 【答案】45 【分析】本题主要利用三角板的知识以及平角是180度解决问题．一副三角尺中有一个是等腰直角三角形，度数分别是，，，另一个是直角三角形，度数分别是，和，熟记各个角的度数是解答此类题的关键． 【详解】解：， 故答案为：45． 4．如图，直线相交于点O，平分，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了几何图形中角度的计算，角平分线的定义，先由平角的定义得到，再由角平分线的定义即可得到． 【详解】解：∵， ∴， ∵平分， ∴， 故选：D． 5．如图，已知平分，若，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查的知识点是几何图形中角度的计算、角平分线的定义．由题意得到，再利用角平分线得到的度数，即可得到结果． 【详解】解：，， ， 平分， ， ， ． 故答案为：． 6．一个角的余角比这个角的补角的一半小，则这个角为 度． 【答案】80 【分析】本题考查了余角和补角的概念，一元一次方程的应用，熟记概念并列出方程是解题的关键．由题意设这个角为，根据互为余角的两个角的和等于，互为补角的两个角的和等于表示出它的余角和补角，然后列出方程求解即可． 【详解】解：设这个角为，则它的余角为，补角为， 由题意得，， 解得． 故答案为： 题型01 线段—概念辨析 【典例1】．下列说法正确的有（   ） ①线段是直线的一半；②线段AB为直线AB的一部分；③延长射线OA到点B；④在直线、射线、线段中，线段最短 A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】D 【分析】本题需要根据直线、射线、线段的定义和性质，逐一分析每个说法的正确性． 【详解】①：直线是无限长的，而线段的长度是有限的，因此不能说线段是直线的一半，该说法错误； ②：线段是直线上两点之间的部分，所以线段为直线的一部分，该说法正确； ③：射线是从点出发，经过点并无限延伸的，其本身是无限长的，故不能延长，该说法错误； ④：直线和射线都是无限长的，无法比较长度，只有线段的长度是有限的，故无法将三者进行长度比较，该说法错误． 综上所述，正确的说法只有②，共个， 故选为： D． 【点睛】本题考查了直线、射线、线段的定义和性质，掌握直线、射线、线段的区别与联系是解题的关键． 【变式1】．如图，用圆规比较两条线段和的长短，图中的两个圆规大小相同且夹角相等，其中正确的是（   ） A． B． C． D．没有刻度尺，无法确定 【答案】C 【分析】本题考查线段的长短比较，利用圆规作线段可得结论. 【详解】由图可得，， 故答案为：C. 【变式2】．下列说法错误的是（   ）      A．直线l经过点A B．点A在直线m上          C．直线a、b相交于点A D．射线与线段有交点 【答案】B 【分析】本题考查直线，射线和线段，根据直线，射线，线段的定义逐一进行判断即可． 【详解】解：A、直线l经过点A，原说法正确，不符合题意； B、点A不在直线m上，原说法错误，符合题意； C、直线a、b相交于点A，原说法正确，不符合题意； D、射线与线段有交点，原说法正确，不符合题意； 故选B． 题型02 几何初步的几个基本事实 【典例1】．如图，建筑工人在砌墙时，经常用细绳在墙的两端之间拉一条直的参照线，这样做应用的数学原理是（    ） A．直线比曲线短 B．线段是直线的一部分 C．经过一点有无数条直线 D．两点确定一条直线 【答案】D 【分析】此题主要考查了直线的性质，要想确定一条直线，至少要知道两点． 由直线公理可直接得出答案． 【详解】解：建筑工人砌墙时，经常用细绳在墙的两端之间拉一条参照线，这样做蕴含的数学原理是：两点确定一条直线． 故选：D． 【变式1】．下列实际操作依据的数学道理是“两点确定一条直线”的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了直线的性质：两点确定一条直线，掌握直线的性质是解题的关键．根据两点确定一条直线解答即可． 【详解】解：A、将弯曲的河道改直的数学道理是“两点之间，线段最短”，不符合题意； B、公园建九曲桥的数学道理不是“两点确定一条直线”，不符合题意题意； C、建筑工人砌墙拉参照线的数学道理是“两点确定一条直线”，符合题意题意； D、测量跳远成绩的数学道理不是“两点确定一条直线”，不符合题意题意； 故选：C． 【变式2】．秦岭终南山公路隧道是我国自主设计最长的双洞单向高速公路隧道，隧道线形为直线，被誉为“天下第一隧”，建成后通行里程大大缩短，其路程缩短的原因是（   ） A．两点确定一条直线 B．两点之间，线段最短 C．过一点有无数条直线 D．两点之间线段的长度叫做这两点间的距离 【答案】B 【分析】本题考查了线段的性质两点之间，线段最短，熟练掌握两点之间线段最短是解题的关键． 根据“两点之间，线段最短”即可得解． 【详解】解：隧道建成后通行里程大大缩短，其路程缩短的原因是：两点之间，线段最短， 故选：． 题型03 线段—作图题及其应用 【典例1】．如图，已知线段a，b．按如下步骤完成尺规作图：①作射线；③在线段上截取 ，．则的长是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了作图﹣基本作图，熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键．也考查了两点间的距离．根据题意画出几何图形，然后利用两点之间的距离得到 【详解】解：如图，． 故选：C． 【变式1】．已知线段，，用尺规作一条线段，使得； 【答案】图见解析 【分析】本题考查了作线段，熟练掌握作线段的尺规作图是解题关键．先作射线，在射线上截取，再在射线上截取，则线段即为所求． 【详解】解：如图，线段即为所求． ． 【变式2】．如图，四点在同一平面上，根据下列语句作图（只保留作图痕迹不写作法）． (1)画射线； (2)作直线相交于点E； (3)连接交于点F； (4)连接并延长至M，使． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 (4)见解析 【分析】本题考查作图——复杂作图，复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质逐步操作． （1）根据射线的定义画图集合， （2）根据直线的定义画图即可． （3）根据线段的定义画图即可． （4）作线段并延长至M，截取即可． 【详解】（1）解：如图，射线为求作的； （2）解：如图，直线相交于点E； （3）解：如图，作线段交于点F； （4）解：如图，作线段并延长至M，截取． 题型04 线段—线段的和、差、倍及其应用 【典例1】．C是线段MN的中点，D是线段NC上一点，则选项错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了线段的和与差，中点的性质，由中点可得线段相等，进而可得出线段之间的数量关系，解题的关键是根据示意图找出线段的关系． 【详解】 解：如图：是线段的中点， ， A、，故该选项正确，不符合题意； B、，故该选项正确，不符合题意； C、不是线段中点，，故该选项错误，符合题意； D、，故该选项正确，不符合题意； 故选：C ． 【变式1】．如图，点O在线段上，下列不能表示点O是线段的中点的是（） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了线段中点的定义，解题的关键是掌握线段中点的定义．利用线段中点的定义判断． 【详解】解：，，都能说明点O是线段的中点， 而只要点O在线段上，都成立． 故选：D． 【变式2】．已知线段，点C是的中点，点D在线段上且，则线段的长为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题考查线段中点的定义，理解题意，考虑问题要全面是解题的关键． 根据线段中点的性质求出，根据题意求出，分点在线段上，点在线段上两种情况计算即可． 【详解】∵，点C是的中点， ∴， ∵， ∴， 如图，当点在线段上时， ∴， 如图，当点在线段上时， ∴， 故选： D． 【变式3】．已知，点是线段的一个三等分点，点为线段的中点，若，则 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查了线段的中点和三等分点的性质，熟练掌握分情况讨论点的位置是解题的关键． 分点靠近点和靠近点两种情况，利用线段中点和三等分点的性质求解的长度． 【详解】解：情况一：当点靠近点时， ∵点为线段的中点，， ∴． 又∵点是线段的一个三等分点， ∴． 情况二：当点靠近点时， ∵点为线段的中点，， ∴． 又∵点是线段的一个三等分点， ∴． 故答案为：9或18． 题型05 角—概念辨析 【典例1】．图中能用三种方法表示同一个角的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了角的概念和角的表示方法的理解和掌握．角的表示方法有三种：（1）用三个字母及符号“”来表示．中间的字母表示顶点，其它两个字母分别表示角的两边上的点．（2）用一个数字表示一个角．（3）用一个字母表示一个角．具体用哪种方法，要根据角的情况进行具体分析，总之表示要明确，不能使人产生误解． 【详解】解：在选项A、B、D中，以点C为顶点的角不只有一个，如果用表示，容易使人产生歧义，无法让人明确到底表示哪个角； 只有选项C能用，，三种方法表示同一个角，不会使人产生歧义． 故选：C． 【变式1】．在下列说法中，正确的是（   ） ①两条射线组成的图形叫作角；    ②角的大小与边的长短有关； ③角的两边可以一样长，也可以一长一短；    ④角的两边是两条射线． A．① B．② C．③ D．④ 【答案】D 【分析】本题考查角的定义，根据角的定义，进行判断即可． 【详解】解：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角；故①错误； 角的大小与边的长短无关；故②错误； 角的两边是两条射线，无法比较长短；故③错误； 角的两边是两条射线．故④正确； 故选：D． 【变式2】．下列说法正确的是（    ） A．射线就是直线 B．连接两点间的线段，叫做这两点的距离 C．两条射线组成的图形叫做角 D．经过两点有一条直线，并且只有一条直线 【答案】D 【分析】本题考查了射线的定义、两点的距离、角的定义、直线的定义． 根据射线的定义、两点的距离、角的定义、直线的定义逐一判断即可． 【详解】解：A． 射线有一个端点，直线无端点，射线不是直线，原说法错误； B． 连接两点间的线段的长度，叫做这两点的距离，原说法错误； C． 具有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，原说法错误； D． 经过两点有一条直线，并且只有一条直线，原说法正确； 故选：D． 题型06 角—角的单位及其换算，角的分类等 【典例1】．下列各式中，正确的角度互化是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查角度的度、分、秒之间的换算，依据,，进行互化，逐一分析选项. 【详解】解：A、, 不符合题意； B、，，不符合题意； C、，，符合题意； D、，，不符合题意. 故选：C ． 【点睛】本题考查了角度的度分秒换算，解题关键是掌握度、分、秒之间的进制为，进行准确的换算. 【变式1】．下列角度中，比小的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了角度的度分转换，解题的关键是将分转化为度，统一单位后进行角度大小比较． 先将选项中的角度都转化为以度为单位的形式，再与比较大小． 【详解】因为，所以将分转化为度： ，则． ，则． 现在比较各选项与的大小： ． ． ． ，即比小． 故选：D． 【变式2】．如图，在一次活动中，位于处的七年级一班准备前往相距的处与七年级二班会合，若用方向和距离描述七年级二班相对于七年级一班的位置，可以描述为（　　） A．北偏东，与二班相距处 B．北偏东，与二班相距处 C．南偏西，与一班相距处 D．南偏东，与一班相距处 【答案】C 【分析】本题考查方向角，解题的关键是掌握：方向角是表示方向的角，以正北、正南方向为基准，来描述物体所处的方向．根据方位角的概念，可得答案． 【详解】解；用方向和距离描述七年级二班相对于七年级一班的位置，可以描述为：南偏西，与一班相距处． 故选：C． 【变式3】．下列各角是锐角的是（   ） A．周角 B．平角 C．平角 D．直角 【答案】D 【分析】本题需要先明确周角、平角、直角的度数，然后分别计算每个选项所对应的角的度数，再根据锐角的定义来判断哪个选项是锐角． 【详解】周角的度数是，平角的度数是，直角的度数是； A、周角的度数为，是直角，不是锐角； B、平角的度数为，是钝角，不是锐角； C、平角的度数为，是直角，不是锐角； D、直角的度数为，大于且小于，是锐角． 故选：D． 【点睛】本题考查了角的分类以及周角、平角、直角的度数，掌握周角、平角、直角的度数，计算出各选项角的度数，再根据锐角定义判断是解题的关键． 【变式4】．如图所示，钟表上时针与分针之间所夹的锐角是（    ） A．75° B．70° C．65° D．60° 【答案】A 【分析】本题考查了钟面角，熟练掌握时钟上一大格是度是解题的关键． 因为钟表上的刻度是把一个圆平均分成了等份，每一份是，借助图形，找出时针和分针之间相差的大格数，用大格数乘即可． 【详解】解：由题意得：钟表上的时间下午时， 此时时针位于与中间，分针指到上，中间夹格， ∴时针与分针之间所成的角是：， 故选：A． 题型07 角—角的和、差、倍及其应用；三角板问题 【典例1】．已知为的三等分线，若，则 °． 【答案】或/100或50 【分析】本题可根据三等分线的定义来求解的度数．分射线靠近和射线靠近两种情况进行解答即可． 【详解】解：为的三等分线，， 当射线靠近时，， 当射线靠近时，， 故答案为：或． 【变式1】．如图，点O是直线上一点，射线、分别是、的平分线，若，则 ． 【答案】/65度 【分析】本题考查角的运算、平角的定义、角平分线及其性质，属于基础题，解题的关键是充分利用角平分线和平角的定义． 依题意，根据角平分线的性质求出的度数，由平角的性质可求出的度数，再由角平分线的性质可求出的度数． 【详解】解：∵，射线是的平分线， ∴， ∴， ∵是的平分线， ∴． 故答案为：． 【变式2】．将一副三角板中的两块直角三角尺的直角顶点C按如图方式叠放在一起，则 ． 【答案】/度 【分析】本题考查了角的和差运算，根据，进一步利用角的和差即可作答． 【详解】解：∵， ∴. 故答案为：． 【变式3】．如图，将两个含角的三角板按如图方式摆放在水平桌面上，下列表述正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了三角板中角度计算问题，熟练掌握含角的三角板的特征是解题的关键．根据含角的三角板的特征得到，，再通过计算逐项分析判断即可得出答案． 【详解】解：由题意得，，， A、，故此选项错误，不符合题意； B、，故此选项正确，符合题意； C、，故此选项错误，不符合题意； D、，故此选项错误，不符合题意； 故选：B． 题型08 角—余角、补角及其应用 【典例1】．若为，那么它的补角是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查补角定义，角的大小计算，注意分与度之间的进率为，此处易错．根据和为180度的两角互为补角，再计算即可． 【详解】解： 故选：A． 【变式1】．一个角的补角是它的余角的倍，则这个角是 ． 【答案】 【分析】本题考查了余角和补角的定义，掌握余角与补角的概念是解答本题的关键． 设这个角是，则它的补角为，余角为，根据题意得，即可求解． 【详解】解：设这个角是，则它的补角为，余角为， 根据题意得， 解得， 故答案为：． 【变式2】．如图，，则图中互余的角有 对． 【答案】4 【分析】本题考查了互余的定义，如果两个角的和等于，就说这两个角互为余角．根据互余的定义求解即可． 【详解】解：∵ ∴，， ∴和互余，和互余，和互余， ∴ ∴和互余， ∴图中互余的角有4对． 故答案为：4． 【变式3】．如图，点在直线上，（和在直线上方）． (1)写出的补角和的余角； (2)若平分，求的度数． 【答案】(1)的补角是的余角是 (2)125° 【分析】本题考查了补角的意义，余角的意义，角平分线的意义，角的和差，解题关键是掌握上述知识，并能熟练求解． （1）根据补角的意义、余角的意义直接求解； （2）先利用两角之差求得，再利用角平分线的意义求得，然后利用两角之和求得的度数． 【详解】（1）解：∵和在直线上方， ∴， ∴的补角是， ∵， ∴， ∴的余角是． （2）因为，， 所以． 因为平分， 所以， 所以． 一、单选题 1．下列关于角的说法正确的个数是（    ） ①角是由两条射线组成的图形；②角的边越长，角越大； ③在角一边延长线上取一点D；④角可以看作由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】本题主要考查了角的定义，根据角的概念对各选项分析判断后利用排除法求解，熟练掌握有公共端点的两条射线组成的图形叫做角是解决此题的关键． 【详解】有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，故①错误，不符合题意； 角的大小与开口大小有关，角的边是射线，没有长短之分，故②错误，不符合题意； 角的边是射线，不能延长，故③错误，不符合题意； 角可以看作由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形，④正确，符合题意， ∴只有④一个选项正确， 故选：A． 2．下列各式中，正确的角度互化是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查角度的度、分、秒之间的换算，依据,，进行互化，逐一分析选项. 【详解】解：A、, 不符合题意； B、，，不符合题意； C、，，符合题意； D、，，不符合题意. 故选：C ． 【点睛】本题考查了角度的度分秒换算，解题关键是掌握度、分、秒之间的进制为，进行准确的换算. 3．关于两点之间的线段，下列说法中不正确的是（　　） A．连接两点的线段可以有无数条 B．如果线段，那么点A与点B的距离等于点A与点C的距离 C．连接两点的线段的长度是两点间的距离 D．连接两点的线段是连接两点的所有的线中，长度最小的 【答案】A 【分析】本题考查线段，两点间的距离，线段的性质，根据相关知识点，逐一进行判断即可． 【详解】连接两点的线段只有1条，故A错误； 线段，那么点A与点B的距离等于点A与点C的距离，故B正确； 连接两点的线段的长度，是两点间的距离，故C正确； 两点之间的距离是连接两点的所有线的长度中，长度最短的，故D正确； 故答案为：A 4．下列几何图形与相应语言描述相符的是（　　） A．延长线段到C B．射线经过点A C．直线a与直线b相交于点P D．射线与线段没有交点 【答案】C 【分析】本题考查直线、射线、线段，关键是掌握直线、射线、线段的概念．由直线、射线、线段的概念，即可判断． 【详解】解：A、延长线段到C，故选项不符合题意； B、射线不经过点A，故选项不符合题意； C、几何图形与相应语言描述相符，故选项符合题意； D、射线与线段有交点，故选项不符合题意． 故选：C． 5．下列说法中，错误的有（    ） ①射线是直线的一部分 ②画一条射线，使它的长度为 ③线段和线段是同一条线段 ④射线和射线是同一条射线 ⑤直线和直线是同一条直线 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查直线、射线、线段，解题的关键是掌握直线、线段和射线的定义．根据射线是不可度量的，以及直线、线段和射线的定义即可判断． 【详解】解：①射线是直线的一部分，正确； ②画一条射线，使它的长度为，射线是不可度量的，错误； ③线段和线段是同一条线段，正确； ④射线和射线是同一条射线，端点不同，错误； ⑤直线和直线是同一条直线，正确． 所以错误的有②④，共个． 故选：B． 6．如图所示，下列各式错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了线段的和与差．根据线段的和与差，逐项判断，即可求解． 【详解】解：A、，故本选项正确，不符合题意； B、，故本选项正确，不符合题意； C、，故本选项正确，不符合题意； D、，故本选项错误，符合题意； 故选：D． 7．已知，，则与的大小关系是（    ） A． B． C． D．无法确定 【答案】A 【分析】本题主要考查了角的大小比较，度、分、秒的换算．首先根据，将转化为，再比较即可． 【详解】解：∵，， ∴． 故选：A 8．如图，下列给出的直线，射线，线段中能相交的是（   ） A．a与b B．c与d C．b与d D．a与c 【答案】D 【分析】本题考查了直线、射线和线段，根据射线可以向一方无限延伸，直线可以向两方无限延伸，线段不能延伸即可判断求解，掌握直线、射线和线段的特征是解题的关键． 【详解】解：∵射线可以向一方无限延伸，直线可以向两方无限延伸，线段不能延伸， ∴能相交的是与， 故选：D． 9．如图，线段的长为，是的中点，将线段分为和两部分，且，则线段的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据中点的定义，可求出和的长度，根据和的比例关系，可求出的长度，最后用加上即可求出的长． 【详解】解：∵点为中点， ∴， ∵，， ∴， ∴； 故选：C． 【点睛】本题主要考查了中点的定义和成比例线段，熟练地根据中点的定义和线段间的比例关系求出需要线段的长度是解题的关键． 10．如图，将一副三角板按不同位置摆放，其中和互为余角的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了对余角和补角的应用、三角板中角度的计算问题，主要考查学生的观察图形的能力和理解能力．根据图形和余角的定义，只需满足即可． 【详解】解：A、∵， ∴与互余，故本选项符合题意． B、由同角的余角相等可得：与相等，不互余，故本选项不合题意． C、由等角的补角相等可得：与相等，不互余，故本选项不合题意． D、和互补，故本选项不符合题意． 故选：A． 二、填空题 11． ′ ″ 【答案】 37 8 42 【分析】本题考查度数之间的运算，解决本题的关键是掌握角度之间的换算以60为进制． 根据1度分，即，1分秒，即进行换算即可． 【详解】解：∵1度分，1分秒， ∴；， 故答案为：；37，8，42． 12．如图所示，小明到小颖家有三条路，小明想尽快到小颖家，请你帮他选线路 ，用数学知识解释为 ． 【答案】 ② 两点之间线段最短 【分析】本题考查线段的性质，根据“两点之间线段最短”可得答案． 【详解】解：选择走第②条路，其中的道理是两点之间线段最短． 故答案为：②，两点之间线段最短． 13．如图，点，，在直线上，则图中有 条线段， 条射线，有 条直线． 【答案】 3 6 1 【分析】本题考查了直线、射线和线段的认识，直线没有端点，是无限长的；射线有一个端点，可以向一端无限延伸，不能度量长度；线段有两个端点，可以度量长度．据此解答． 【详解】解：由图可知，直线上有A、B、C三个点， 根据直线的特征可知，图中有1条直线； 根据射线的特征可知，以A为端点时，有2条射线；以B为端点时，有2条射线；以C为端点时，有2条射线， 所以一共有（条）射线； 根据线段的特征可知，图中有线段、线段、线段，3条线段． 即图中有1条直线，6条射线，3条线段． 故答案为：1；6；3． 14．某人下午六时多外出买东西，出门时看手表，发现表的时针和分针的夹角为110°，七时前回家时又看手表，发现时针和分针的夹角仍是．那么此人外出 分钟． 【答案】40 【分析】本题考查钟表时针与分针的夹角，本题关键是根据两个时刻的夹角找到等量关系并建立方程求解．分针每分钟转6度，时针每分钟转0.5度，设此人外出到回家用了x分钟，则分针转了度，时针转了度，则，求出x即可． 【详解】解：设此人外出购物用了x分钟，则分针转了度，时针转了度，依题意得： ； 解得：； 故答案为：40． 15．如图，点C、D分别是线段的中点，若，则 ． 【答案】12 【分析】本题主要考查了线段的中点，根据线段中点的定义可得，．进而可得答案． 【详解】解：为中点， ， ， ， 为中点， ． 故答案为：． 16．与它的余角相等，与它的补角相等，则 °． 【答案】135 【分析】本题考查了余角和补角的意义，如果两个角的和等于，那么这两个角互为余角，其中一个角叫做另一个角的余角；如果两个角的和等于，那么这两个角互为补角，其中一个角叫做另一个角的补角． 先根据余角和补角的概念求出和，再相加即可． 【详解】∵与它的余角相等， ∴． ∵与它的补角相等， ∴， ∴ 故答案为135． 17．如图，点在直线上，，，是射线，则图中大于小于的角有 个．    【答案】9 【分析】本题考查了角的表示方法，根据角的表示方法表示出图中所有小于平角的角即可． 【详解】解：图中大于小于的角有，，，，，，，，，共9个． 故答案为：9． 18．如图，已知，，在的内部绕点任意旋转，若平分，则的值为 ． 【答案】 【分析】考查角平分线的意义，利用代数的方法解决几何的问题也是常用的方法，有时则会更简捷. 根据角平分线的意义，设，根据，，分别表示出图中的各个角，然后再计算的值即可. 【详解】如图：∵平分， ∴， 设 ∵， ∴， ∴ 则的值 故答案为：． 三、解答题 19．如图，已知四点．读下列语句按要求用尺规依次画图．    (1)画线段，画射线，画直线； (2)在（1）的条件下，比较线段的大小：__________（填“﹥”“﹤”“=”），理由是__________． 【答案】(1)作图见详解 (2)；理由：两点之间，线段最短 【分析】本题主要考查线段，射线，直线的定义和作图，两点之间线段最短的运用，根据线段，射线，直线的定义即可求解． 【详解】（1）解：如图所示，    （2）解：由（1）的图示可得，，理由是：两点之间，线段最短， 故答案为：；两点之间，线段最短． 20．已知∠α、∠β，用尺规画出∠AOB=∠α+2∠β．（不写作法，标明字母）    【答案】见解析 【分析】根据用尺规作图作角等于已知角作图即可． 【详解】解：分别以∠α、∠β的顶点为圆心，任意长度为半径作弧，分别交∠α、∠β的边于P、Q、M、N； 作射线OB，以O为圆心，以相同长度为半径作一个优弧，交射线OB于点C，以C为圆心，PQ的长度为半径作弧，交优弧于点D，作射线OD，再以D为圆心，MN的长为半径作弧，交优弧（∠DOB外部）于点E，作射线OE，然后以E为圆心，MN的长为半径作弧，交优弧（∠EOB外部）于点A，作射线OA，如图所示：∠AOB=∠α+2∠β，∠AOB即为所求．    【点睛】此题考查的是用尺规作图作角等于已知角，掌握用尺规作图作角等于已知角是解决此题的关键． 21．将下列各角用度、分、秒表示出来： (1)． (2)． (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）乘以进行计算即可得解． （2）把小数部分，即可得解； （3）把小数部分，再，即可得解. 【详解】（1）解：． （2）． （3）． 【点睛】本题考查了度分秒的换算，解决问题的关键是注意度分秒是进制进行计算即可，比较简单． 22．已知线段，点C是线段上任意一点（不与点A，B重合），点M、N在线段上，，，求的长． 【答案】 【分析】本题考查线段的和与差，根据线段之间的数量关系以及和差关系进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴； ∵，， ∴； ∴． 23．如图，O为直线上一点，平分． (1)直接写出的余角是 ； (2)是的平分线吗？请说明理由． 【答案】(1) (2)是，理由见解析 【分析】本题考查了角平分线的有关计算和定义，余角的定义，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）由平分得到，再由即可得到的余角； （2）根据同角的余角相等得到即可求解． 【详解】（1）解：∵平分， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴的余角是， 故答案为：； （2）解：是，理由如下： 由（1）得，， ∴， ∴是的平分线． 24．如图，已知线段，点C为线段上的一个动点，点D，E分别是和的中点． (1)若点C恰为的中点，求的长； (2)若，求的长； (3)试说明不论取何值（不超过），的长不变． 【答案】(1) (2) (3)见解析 【分析】本题考查了线段中点的性质，线段的和差计算，熟练掌握线段中点的概念是解题的关键． （1）根据线段中点的性质求出，，，进而求解即可； （2）首先求出，然后根据线段中点的概念求出，，进而求解即可； （3）根据线段中点的性质求解即可． 【详解】（1）解：若点C是中点，则， ∵点D、E分别是和的中点， ∴，， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∵点D、E分别是和的中点， ∴，， ∴； （3）解：∵点D、E分别是和的中点， ∴，， ∴． ∴不论取何值（不超过），的长不变． 25．如图，以直线上一点为端点作射线，使，将一个直角三角形的直角顶点放在点处．（） (1)如图①，若直角三角板的一边放在射线上，则 °； (2)如图②，将直角三角板绕点逆时针方向转动到某个位置，若恰好平分，求的度数； (3)如图③，将直角三角板绕点转动，如果始终在的内部，试猜想和有怎样的数量关系？并说明理由； (4)将直角三角板绕点O转动一周，如果在的外部，且，请直接写出的度数． 【答案】(1)20 (2) (3)，理由见解析 (4)的度数为或 【分析】本题考查了角的和差运算、角平分线的定义，能根据图形求出各个角的度数是解此题的关键． （1）根据图形得出，代入求出即可； （2）由角平分线的定义可得，再由进行计算即可； （3）由图形可得，，相减即可得出答案． （4）先画出图形，分两种情况讨论：当在的上方，当在的下方，再结合角的和差运算计算即可． 【详解】（1）解：，， ， （2）解：平分，， ， ， ； （3）解：， 理由如下： ，， ， ， ． （4）解：如图，当在的上方，，    ∴， ∴； 如图，当在的下方，    ∵，， ∴， ∵， ∴， 综上，的度数为或． 2 / 17 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第4章 线段与角 教学目标 1. 知道直线、射线、线段的区别与联系； 2. 学习线段的和、差、倍，角平分线及其应用； 3. 了解角的表示及大小比较； 4. 角的比较与应用；画角的和、差与角平分线； 5. 余角、补角及其应用。 教学重难点 1.重点 （1）几何初步的一些基本事实； （2）直线、射线、射线的概念与表示；线段的和差倍的应用； （3）角的有关概念与表示；角的和差倍的应用。 2.难点 （1）新定义题；分类讨论思想； （2）线段与角的综合应用。 知识点1 点与线 一、点 点是图形的基本元素之一.当我们用削尖的铅笔轻轻在纸上点下去时，纸上就会出现一个小小的黑点(图4-1-1),这使我们能够形象地理解点的概念.我们通常用一个大写字母来表示点，就像图4-1-1中的点可以记为“点A”. 2、 直线、射线、线段 Ⅰ、直线 ①经过两点有且只有一条直线. ②在直线上任意取两个点，可以用表示这两点的两个大写字母表示这条直线，如图4-1-4(1)的直线可以记作“直线AB”或“直线BA”.有时为了简便也可以用一个小写字母表示，如图4-1-4(1)的直线也可以记作“直线l”. 要点： 直线的特征：（1）直线没有长短，向两方无限延伸． （2）直线没有粗细． （3）两点确定一条直线． （4）两条直线相交有唯一一个交点． ③.点与直线的位置关系： （1）点在直线上，如图3所示，点A在直线m上，也可以说：直线m经过点A． （2）点在直线外，如图4，点B在直线n外，也可以说：直线n不经过点B． Ⅱ、射线 ①直线上任意一点及其一侧的部分叫作射线.射线可以用表示它的端点和射线上任意一点(端点除外)的两个字母表示，表示端点的字母要写在前面，如图4-1-4(2)中的射线记作“射线AB”. ②.特征：是直的，有一个端点，不可以度量，不可以比较长短，无限长． ③.表示方法：（1）可以用两个大写英文字母表示，其中一个是射线的端点，另一个是射线上除端点外的任意一点，端点写在前面，如图8所示，可记为射线OA． （2）也可以用一个小写英文字母表示，如图所示，射线OA可记为射线l． 要点： (1)端点相同，而延伸方向不同，表示不同的射线．如图1中射线OA，射线OB是不同的射线． 图1 (2)端点相同且延伸方向也相同的射线，表示同一条射线．如图2中射线OA、射线OB、射线OC都表示同一条射线． 图2 Ⅲ、线段 ①直线上任意两点间的部分(包括端点)叫作线段.线段可以用表示它的端点的两个大写字母表示，如图4-1-4(3)中的线段可以记作“线段AB”或“线段BA”,也可以用一个小写字母表示，记作“线段a”. ②. “作一条线段等于已知线段”的两种方法： 法一：用圆规作一条线段等于已知线段．例如：下图所示，用圆规在射线AC上截取AB＝a． 法二：用刻度尺作一条线段等于已知线段．例如：可以先量出线段a的长度，再画一条等于这个长度的线段． 要点： （1）线段是直的，它有两个端点，它的长度是有限的，可以度量，可以比较长短． （2）连接两点间的线段的长度，叫做这两点的距离． （3）线段的比较： ①度量法：用刻度尺量出两条线段的长度，再比较长短． ②叠合法：利用直尺和圆规把线段放在同一条直线上，使其中一个端点重合，另一个端点位于重合端点同侧，根据另一端点与重合端点的远近来比较长短． 三、两点间的距离 在小学阶段，我们也知道关于线段的基本事实：两点之间，线段最短. 如果一条线段的两个端点的位置确定了，那么这条线段的位置就确定了.这可以简单地表达为两点确定一条以这两点为端点的线段.因此，我们把连接两点的线段的长度叫作这两点间的距离. 四、直线、射线、线段的区别与联系 1.直线、射线、线段之间的联系 （1）射线和线段都是直线上的一部分，即整体与部分的关系．在直线上任取一点，则可将直线分成两条射线；在直线上取两点，则可将直线分为一条线段和四条射线． （2）将射线反向延伸就可得到直线；将线段一方延伸就得到射线；将线段向两方延伸就得到直线． 2．三者的区别如下表 要点： （1） 联系与区别可表示如下： （2）在表示直线、射线与线段时，勿忘在字母的前面写上“直线”“射线”“线段”字样． 五、点在射线上的三种情况 任意画两条线段AB、CD,将线段AB移到线段CD的位置，使端点A与端点C重合，且端点B在射线CD上.端点B有以下三种可能的位置情况，如表4-1所示. 六、线段的度量与大小比较 线段的度量需要先取单位长度.有了单位长度，线段的长度就可以用一个数来描述长短.一旦单位长度确定，我们就可以用相应的刻度尺对线段进行度量.进一步，线段的长短也可以通过长度来加以比较. 在不产生混淆的前提下，AB(或a)也可以用以表示线段AB(或线段a)的长度.例如，在表4-1的结论中，情况一可记为AB<CD,情况二可记为AB=CD,情况三可记为AB>CD. 如果没有刻度尺，我们还可以借助圆规比较两条线段的长短.如图4-1-7所示. 【即学即练】 1．下列语句准确规范的是（   ） A．直线，相交于一点 B．延长直线 C．延长射线 D．延长线段到点，使 2．如图，下列说法正确的是（   ） A．点O在射线上 B．点B是直线的一个端点 C．点A在线段上 D．射线和射线是同一条射线 3．在如图所示的现象中，体现了直线的基本事实“两点确定一条直线”的有（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 知识点2 画线段的和、差与线段的中点 一、线段的和、差 思考1：如图4- 1- 10,点A 、B 、C 在一条直线上.线段AB 、BC 、AC有怎样的数量关系? 线段AB 、BC 、AC有如下的数量关系：AB+BC=AC,AC—BC=AB,AC—AB=BC. 思考2：如图4-1-11,点B 、C 在线段AD上 .如果线段AB与线段CD一样长，那么线段AC 、BD 有怎样的关系?为什么? 因为AB=CD, 所以AB+BC=CD+BC. 所以AC=BD. 二、画线段的和、差 我们在小学学过用刻度尺画一条线段等于已知线段.画一条线段等于两条 线段的和或差，可以先用刻度尺量出两条线段的长度，再计算线段的和或差， 最后利用刻度尺画. 在没有刻度尺的条件下，我们也可以用直尺和圆规画线段的和与差. 例题1：如图4-1-12,已知线段a、b. (1)用直尺和圆规画一条线段，使它等于a+b; (2)用直尺和圆规画一条线段，使它等于a-b. 解 (1)如图4- 1- 13, ① 画射线OP; ②在射线OP 上从点O 起，顺次截取OA=a,AB=b. 线 段OB 就是所要画的线段. (2)如图4-1-14, ①画射线OP; ②在射线OP上截取OC=a, 在线段OC上截取CD=b.线段OD就是所要画的线段. 从图4-1-13可知，线段OB 的长度就是线段OA的长度加上线段AB 的 长度，即有OB=OA+AB. 因 为OA=a,AB=b, 所以OB=a+b. 从图4-1-14可知，OC=a,CD=b, 线 段OD的长度就是线段OC的长度减去线段CD 的长度，即有OD=OC-CD. 因为OC=a,CD=b, 所以OD=a—b. 三、线段的倍、线段的中点 如果一条线段b 是 n 条线段a 的和，就说线段b 是线段a的n倍，或线段a 是线段b的n分之一，记作b=na或特别地，将一条线段分成两条相等线段的点叫作这条线段的中点. 如图4-1-17,M是线段AB 的中点，那么,AB=2AM=2BM. 例题2：如图4- 1- 18,已知一条线段AB, 用刻度尺画出它的中点C. 解：如图4- 1- 19,以1 mm 为单位长度. ①用刻度尺量出AB=40, 计算得 ②用刻度尺在线段AB 上取点C, 使得AC=20. 点C就是所要画的线段AB 的中点. 【即学即练】 1．如图，线段，延长到，若，则、两点之间的距离为（    ） A．4 B．6 C．8 D．12 2．下列说法不正确的是（   ） A．若点C在线段上，则 B．若，则点C一定在线段外 C．若三点不在一直线上，则 D．若点C在线段的延长线上，则 3．如图，线段为线段的中点，下列式子不正确的是（   ） A． B． C． D． 知识点3 角及其度量 角的比较与应用 1． 角的定义： （1）定义一：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边．如图1所示，角的顶点是点O，边是射线OA、OB． 图2 图1 （2）定义二：一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形，射线旋转时经过的平面部分是角的内部．如图2所示，射线OA绕它的端点O旋转到OB的位置时，形成的图形叫做角，起始位置OA是角的始边，终止位置OB是角的终边． 要点： （1）两条射线有公共端点，即角的顶点；角的边是射线；角的大小与角的两边的长短无关． （2）平角与周角：如图1所示射线OA绕点O旋转，当终止位置OB和起始位置OA成一条直线时，所形成的角叫做平角，如图2所示继续旋转，OB和OA重合时，所形成的角叫做周角． 2.角的表示法：角的几何符号用“∠”表示，角的表示法通常有以下四种： 要点： 用数字或小写希腊字母表示角时，要在靠近角的顶点处加上弧线，且注上阿拉伯数字或小写希腊字母． 3.角度制及其换算 角的度量单位是度、分、秒，把一个周角平均分成360等份，每一份就是1°的角，1°的为1分，记作“1′”，1′的为1秒，记作“1″”．这种以度、分、秒为单位的角的度量制，叫做角度制． 1周角＝360°，1平角＝180°，1°＝60′，1′＝60″． 要点： 在进行有关度分秒的计算时，要按级进行，即分别按度、分、秒计算，不够减，不够除的要借位，从高一位借的单位要化为低位的单位后再进行运算，在相乘或相加时，当低位得数大于等于60时要向高一位进位． 4.角的比较：角的大小比较与线段的大小比较相类似，方法有两种． 方法1：度量比较法．先用量角器量出角的度数，然后比较它们的大小． 方法2：叠合比较法．把其中的一个角移到另一个角上作比较． 如比较∠AOB和∠A′O′B′的大小： 如下图，由图（1）可得∠AOB＜∠A′O′B′；由图(2)可得∠AOB＝∠A′O′B′；由图(3)可得∠AOB＞∠A′O′B′． 【即学即练】 1．下列说法正确的是（　　） A．角是由一条线段绕着它的一个端点旋转而形成的图形 B．角的大小和角的开口大小无关 C．由两条具有公共端点的射线组成的图形叫作角 D．角的两边越长，角就越大 2．（1）如图①，我们可以将角表示为 或 或 ． （2）如图②，共有 个角，它们分别是 ． 3．如图，书店在超市的（   ）方向上． A．西偏北 B．北偏西 C．东偏南 D．南偏东 4．下列各角中，是钝角的是（   ） A．周角 B．平角 C．平角 D．平角 知识点3 画角的和、差与角的平分线 余角、补角 1.角的和、差 如图所示，∠AOB是∠1与∠2的和，记作：∠AOB＝∠1+∠2；∠1是∠AOB与∠2的差，记作：∠1＝∠AOB-∠2． 要点： (1)用量角器量角和画角的一般步骤：①对中(角的顶点与量角器的中心对齐)；②重合(一边与刻度尺上的零度线重合)；③读数(读出另一边所在线的度数)． (2) 利用三角板除了可以做出30°、45°、60°、90°外，根据角的和、差关系，还可以画出15°，75°，105°，120°，135°，150°，165°的角． 2.角平分线 从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，叫做这个角的平分线．如图所示，OC是∠AOB的角平分线，∠AOB＝2∠AOC＝2∠BOC， ∠AOC＝∠BOC =∠AOB． 要点：由角平分线的概念产生的合情推理其思维框架与线段中点的思维框架一样． 3.角平分线的画法：①用量角器作角平分线 例 如图 4 - 2 - 1 9 , 已知∠ABC, 画出它的平分线. 解如图4-2-20, ①用量角器量得∠ABC=48°,所以∠ABC=24°， ②以B为顶点，射线 BA为一边，在∠ABC的内部用量角器画∠ABM=24. BM 就是所要画的∠ABC的平分线. ②尺规作角的平分线 下面我们探究用尺规作角的平分线． 已知：∠AOB. 求作：射线OC，使∠AOC＝∠BOC. 作法： (1)在OA和OB上分别截取OD，OE，使OD＝OE； (2)分别以D，E为圆心，以大于DE的长为半径作弧，两弧在∠AOB内交于点C； (3)作射线OC. OC就是∠AOB的平分线(如图)． 4.定义：一般地，如果两个角的和等于90°(直角)，就说这两个角互为余角，即其中一个角是另一个角的余角． 类似地，如果两个角的和等于180°(平角)，就说这两个角互为补角，即其中一个角是另一个角的补角． 5．性质：（1）同角（等角）的余角相等．（2）同角（等角）的补角相等． 要点： (1)互余互补指的是两个角的数量关系，互余、互补的两个角只与它们的和有关，而与它们的位置无关． (2)一般地，锐角α的余角可以表示为(90°-α)，一个角α的补角可以表示为(180°-α) ．显然一个锐角的补角比它的余角大90°。 【即学即练】 1．计算： ． 2．如图，已知，平分，若内部存在一条射线，满足，则 ． 3．如图是用一副三角板拼成的图形，则图中 ． 4．如图，直线相交于点O，平分，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 5．如图，已知平分，若，，则 ． 6．一个角的余角比这个角的补角的一半小，则这个角为 度． 题型01 线段—概念辨析 【典例1】．下列说法正确的有（   ） ①线段是直线的一半；②线段AB为直线AB的一部分；③延长射线OA到点B；④在直线、射线、线段中，线段最短 A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【变式1】．如图，用圆规比较两条线段和的长短，图中的两个圆规大小相同且夹角相等，其中正确的是（   ） A． B． C． D．没有刻度尺，无法确定 【变式2】．下列说法错误的是（   ）      A．直线l经过点A B．点A在直线m上          C．直线a、b相交于点A D．射线与线段有交点 题型02 几何初步的几个基本事实 【典例1】．如图，建筑工人在砌墙时，经常用细绳在墙的两端之间拉一条直的参照线，这样做应用的数学原理是（    ） A．直线比曲线短 B．线段是直线的一部分 C．经过一点有无数条直线 D．两点确定一条直线 【变式1】．下列实际操作依据的数学道理是“两点确定一条直线”的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】．秦岭终南山公路隧道是我国自主设计最长的双洞单向高速公路隧道，隧道线形为直线，被誉为“天下第一隧”，建成后通行里程大大缩短，其路程缩短的原因是（   ） A．两点确定一条直线 B．两点之间，线段最短 C．过一点有无数条直线 D．两点之间线段的长度叫做这两点间的距离 题型03 线段—作图题及其应用 【典例1】．如图，已知线段a，b．按如下步骤完成尺规作图：①作射线；③在线段上截取 ，．则的长是（　　） A． B． C． D． 【变式1】．已知线段，，用尺规作一条线段，使得； 【变式2】．如图，四点在同一平面上，根据下列语句作图（只保留作图痕迹不写作法）． (1)画射线； (2)作直线相交于点E； (3)连接交于点F； (4)连接并延长至M，使． 题型04 线段—线段的和、差、倍及其应用 【典例1】．C是线段MN的中点，D是线段NC上一点，则选项错误的是（    ） A． B． C． D． 【变式1】．如图，点O在线段上，下列不能表示点O是线段的中点的是（） A． B． C． D． 【变式2】．已知线段，点C是的中点，点D在线段上且，则线段的长为（    ） A． B． C．或 D．或 【变式3】．已知，点是线段的一个三等分点，点为线段的中点，若，则 ． 题型05 角—概念辨析 【典例1】．图中能用三种方法表示同一个角的是（　　） A． B． C． D． 【变式1】．在下列说法中，正确的是（   ） ①两条射线组成的图形叫作角；    ②角的大小与边的长短有关； ③角的两边可以一样长，也可以一长一短；    ④角的两边是两条射线． A．① B．② C．③ D．④ 【变式2】．下列说法正确的是（    ） A．射线就是直线 B．连接两点间的线段，叫做这两点的距离 C．两条射线组成的图形叫做角 D．经过两点有一条直线，并且只有一条直线 题型06 角—角的单位及其换算，角的分类等 【典例1】．下列各式中，正确的角度互化是（   ） A． B． C． D． 【变式1】．下列角度中，比小的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】．如图，在一次活动中，位于处的七年级一班准备前往相距的处与七年级二班会合，若用方向和距离描述七年级二班相对于七年级一班的位置，可以描述为（　　） A．北偏东，与二班相距处 B．北偏东，与二班相距处 C．南偏西，与一班相距处 D．南偏东，与一班相距处 【变式3】．下列各角是锐角的是（   ） A．周角 B．平角 C．平角 D．直角 【变式4】．如图所示，钟表上时针与分针之间所夹的锐角是（    ） A．75° B．70° C．65° D．60° 题型07 角—角的和、差、倍及其应用；三角板问题 【典例1】．已知为的三等分线，若，则 °． 【变式1】．如图，点O是直线上一点，射线、分别是、的平分线，若，则 ． 【变式2】．将一副三角板中的两块直角三角尺的直角顶点C按如图方式叠放在一起，则 ． 【变式3】．如图，将两个含角的三角板按如图方式摆放在水平桌面上，下列表述正确的是（　　） A． B． C． D． 题型08 角—余角、补角及其应用 【典例1】．若为，那么它的补角是（   ） A． B． C． D． 【变式1】．一个角的补角是它的余角的倍，则这个角是 ． 【变式2】．如图，，∠AOC=∠BOC=∠DOE=90°，则图中互余的角有 对． 【变式3】．如图，点在直线上，（和在直线上方）． (1)写出的补角和的余角； (2)若平分，求的度数． 一、单选题 1．下列关于角的说法正确的个数是（    ） ①角是由两条射线组成的图形；②角的边越长，角越大； ③在角一边延长线上取一点D；④角可以看作由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．下列各式中，正确的角度互化是（    ） A． B． C． D． 3．关于两点之间的线段，下列说法中不正确的是（　　） A．连接两点的线段可以有无数条 B．如果线段，那么点A与点B的距离等于点A与点C的距离 C．连接两点的线段的长度是两点间的距离 D．连接两点的线段是连接两点的所有的线中，长度最小的 4．下列几何图形与相应语言描述相符的是（　　） A．延长线段到C B．射线经过点A C．直线a与直线b相交于点P D．射线与线段没有交点 5．下列说法中，错误的有（    ） ①射线是直线的一部分 ②画一条射线，使它的长度为 ③线段和线段是同一条线段 ④射线和射线是同一条射线 ⑤直线和直线是同一条直线 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 6．如图所示，下列各式错误的是（   ） A． B． C． D． 7．已知，，则与的大小关系是（    ） A． B． C． D．无法确定 8．如图，下列给出的直线，射线，线段中能相交的是（   ） A．a与b B．c与d C．b与d D．a与c 9．如图，线段的长为，是的中点，将线段分为和两部分，且，则线段的长为（   ） A． B． C． D． 10．如图，将一副三角板按不同位置摆放，其中和互为余角的是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 11． ′ ″ 12．如图所示，小明到小颖家有三条路，小明想尽快到小颖家，请你帮他选线路 ，用数学知识解释为 ． 13．如图，点，，在直线上，则图中有 条线段， 条射线，有 条直线． 14．某人下午六时多外出买东西，出门时看手表，发现表的时针和分针的夹角为110°，七时前回家时又看手表，发现时针和分针的夹角仍是．那么此人外出 分钟． 15．如图，点C、D分别是线段的中点，若，则 ． 16．与它的余角相等，与它的补角相等，则 °． 17．如图，点在直线上，，，是射线，则图中大于小于的角有 个．    18．如图，已知，，在的内部绕点任意旋转，若平分，则的值为 ． 三、解答题 19．如图，已知四点．读下列语句按要求用尺规依次画图．    (1)画线段，画射线，画直线； (2)在（1）的条件下，比较线段的大小：__________（填“﹥”“﹤”“=”），理由是__________． 20．已知∠α、∠β，用尺规画出∠AOB=∠α+2∠β．（不写作法，标明字母）    21．将下列各角用度、分、秒表示出来： (1)． (2)． (3)． 22．已知线段，点C是线段上任意一点（不与点A，B重合），点M、N在线段上，，，求的长． 23．如图，O为直线上一点，平分． (1)直接写出的余角是 ； (2)是的平分线吗？请说明理由． 24．如图，已知线段，点C为线段上的一个动点，点D，E分别是和的中点． (1)若点C恰为的中点，求的长； (2)若，求的长； (3)试说明不论取何值（不超过），的长不变． 25．如图，以直线上一点为端点作射线，使，将一个直角三角形的直角顶点放在点处．（） (1)如图①，若直角三角板的一边放在射线上，则 °； (2)如图②，将直角三角板绕点逆时针方向转动到某个位置，若恰好平分，求的度数； (3)如图③，将直角三角板绕点转动，如果始终在的内部，试猜想和有怎样的数量关系？并说明理由； (4)将直角三角板绕点O转动一周，如果在的外部，且，请直接写出的度数． 2 / 17 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $