精品解析：广东省广州市天河区四校联考2025-2026学年九年级上学期12月月考数学试题

2025学年第一学期12月质量检测卷 初三年级数学学科 （本试卷共4页，共25题，满分120分，考试时间120分钟．） 注意事项： 1．所有答题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔做在答题卷各题目指定区域内的相应位置上，做在问卷上的答案无效！如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；改动的答案也不能超出指定的区域．不准使用铅笔、圆珠笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．涉及作图的题目，用2B铅笔画图． 2．考生不能使用计算器． 第一部分选择题 一、选释题（本题有10个小题，每小题3分，满分30分，下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的．） 1. 志愿服务，传递爱心，传递文明．下列志愿服务标志为中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了中心对称图形，把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心． 根据中心对称图形的定义逐项判断即可． 【详解】解：A．不是中心对称图形，不符合题意； B．是中心对称图形，符合题意； C．不是中心对称图形，不符合题意； D．不是中心对称图形，不符合题意． 故选B． 2. 抛物线的顶点坐标是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，关键是熟记：顶点式，顶点坐标是，对称轴是直线． 根据题目中二次函数的顶点式可以直接写出它的顶点坐标． 【详解】解：∵抛物线， ∴该抛物线的顶点坐标为， 故选：B． 3. 若关于的一元二次方程的一个根为0，则的值为（ ） A. 0 B. 1 C. D. 1或 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的定义与解，解一元二次方程，将代入原方程可得出关于的一元二次方程，解之即可得出的值，根据一元二次方程的定义可得出，进而可得出，据此可得答案． 【详解】解：关于的一元二次方程的一个根为0，， ∴将代入，得：， 解得，． ∵方程是一元二次方程， ， ． ∴ 故选：C． 4. 已知点与点关于原点对称，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了关于原点对称的点的坐标，根据点关于原点对称的点的坐标为进行解答即可，熟知关于原点对称的点的坐标变换规律是解题的关键． 【详解】解：∵点与点关于原点对称， ∴，， ∴， 故选：． 5. 如图，将绕点C顺时针旋转后得到，且点恰好落在边上，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了旋转的性质，等边对等角，三角形的内角和定理等知识点，熟练掌握旋转的性质是解题的关键． 由旋转的性质可得，，由等边对等角可得，由三角形的内角和定理可得，由推出，于是得解． 【详解】解：绕点顺时针旋转后得到， ，， ， ， ， ， 故选：D． 6. 在中，，，，以点C为圆心，为半径作，则点A与的位置关系是（ ） A. 点A在内 B. 点A在上 C. 点A在外 D. 无法确定 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了点与圆的位置关系，利用勾股定理求得边的长，然后通过比较与半径的长即可得到结论，解题的关键是确定圆的半径和点与圆心之间的距离之间的大小关系． 【详解】解：∵在中，，，， ∴， ∵， ∴点A在内， 故选：． 7. 如图，为的直径，弦和相交，若，则的大小是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查圆的知识，连接，根据同弧所对的圆周角相等得，结合直径所对圆周角为直角即可求得答案． 【详解】解：连接，如图， ∵， ∴， ∵为的直径， ∴， 则， 故选：B． 8. 在一次足球邀请赛中，参赛的每两个队之间都要比赛一场，共比赛21场，设共有个队参赛，根据题意，可列方程为（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】类似的场次比赛相互问题可看做“握手问题”，由于赛制是单循环（每两队都赛一场），设有 队参赛，因此比赛总的场次为 场，剧题意总场次为21场，依此等量关系列出方程. 【详解】设共有 队参赛，此次比赛总场次为 已知共比赛21场. 根据题意列方程为 故答案选D. 【点睛】本题考查一元二次方程的实际应用，找到等量关系为解题的关键. 9. 对于二次函数，下列结果中正确的是（ ）． A. 抛物线有最小值是 B. 时随的增大而减小 C. 抛物线的对称轴是直线 D. 图象与轴没有交点 【答案】A 【解析】 【分析】先把抛物线解析式配成顶点式，然后根据二次函数的性质对A、B、C进行判断；利用方程2x2＋x−3＝0有两个不相等的实数解可对D进行判断． 【详解】解：∵＝2（x＋）2−， ∴抛物线的对称轴为直线x＝−，二次函数有最小值−；所以A选项正确，C选项错误； 当x＜−时，y随x的增大而减小，所以B选项错误； ∵方程2x2＋x−3＝0有两个不相等的实数解， ∴抛物线与x轴有两个交点，所以D选项错误． 故选：A． 【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y＝ax2＋bx＋c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质． 10. 如图，在直角坐标系中，的圆心的坐标为，圆的半径为，点为直线上的动点，过点作的切线，切点为，则切线长的最小值是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】过点作，过点作的切线，此时切线的长度最小，根据一次函数的解析式求出点、的坐标，利用平面直角坐标系中两点之间的距离公式求出的长度，证明，根据全等三角形的性质可知，利用勾股定理求出的长度． 【详解】解：如下图所示，过点作，过点作的切线， 当时，， 点的坐标是， 当时，可得：， 解得：， 点的坐标是， ， 点的坐标是， ， ， ， ， ， ， ， ， 在和中，， ， ， 在中，． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了切线的定义、勾股定理、全等三角形的判定与性质、一次函数，解决本题的关键是作出的最短切线． 第二部分非选择题 二、填空题（本题有6个小题，每小题3分，共18分） 11. 方程的实数解是___________． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解法，常用的方法有直接开平方法、配方法、因式分解法、求根公式法，灵活选择合适的方法是解答本题的关键． 通过因式分解法求解一元二次方程即可． 【详解】解：， ， 或， 解得，． 故答案为：，． 12. 将抛物线先向左平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，则所得的抛物线的解析式是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象的平移，根据图象平移规律即可求解，掌握：“自变量加减左右移，函数值加减上下移”的平移规律是解题的关键． 【详解】将抛物线先向左平移2个单位长度，所得的抛物线的解析式是； 再向下平移1个单位长度，则所得的抛物线的解析式是； 故答案为：． 13. 已知关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查的是根据方程有实数根的情况求参数，根据方程有实数根，则根的判别式，即可列出关于的不等式，求出的取值范围即可．对于一元二次方程“（a、b、c是常数，且）”中，当时方程有两个不相等的实数根，当时方程有两个相等的实数根，当时方程没有实数根，据此列出不等式，求解即可． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有实数根， ∴， 即， 解得． 故答案为：． 14. 如图，已知正方形的边长为3，为边上一点，．以点为中心，把△顺时针旋转，得△，连接，则的长等于________ 【答案】 【解析】 【分析】根据旋转的性质得到：BE′=DE=1，在直角△EE′C中，利用勾股定理即可求解． 【详解】根据旋转的性质得到：BE′=DE=1，在直角△EE′C中：EC=DC-DE=2，CE′=BC+BE′=4． 根据勾股定理得到：EE′=． 故答案为： 15. 在手工课上，小明用半径为、圆心角为的扇形纸板制作圆锥形的小生日帽（如图所示），不考虑接缝的情况下，这个生日帽的高为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了圆锥的计算，同时考查了弧长公式和勾股定理．圆锥的侧面展开图为扇形，扇形的弧长等于圆锥的底面圆的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．先利用弧长求得弧长，根据圆锥的侧面展开图为扇形，扇形的弧长等于圆锥的底面圆的周长，则可计算出圆锥的底面圆的半径，然后根据勾股定理可计算出圆锥的高． 【详解】解：∵半径，圆心角的扇形纸板， ∴扇形的弧长为， 设圆锥的底面圆半径为r， ∴， 解得， 故圆锥的高为：， 故答案为：． 16. 如图，已知抛物线的对称轴是直线，且抛物线与轴的一个交点坐标是．下列结论正确的有（ ） A. B. 该抛物线与轴的另一个交点坐标是 C. 若点和在该抛物线上，则 D. 对任意实数，不等式总成立 【答案】ACD 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的图像和性质，熟练掌握二次函数的图像和性质是解题的关键．根据二次函数的图像和性质进行解题即可． 【详解】解：将代入，可得，由图像可知，此时图像在轴上方，故，故选项A正确； 对称轴是直线， 故该抛物线与轴的另一个交点坐标是，故选项B错误； 时，函数有最大值，距离对称轴更近，故，故选项C正确； 时，函数有最大值，故，即不等式总成立，故选项D正确； 故选ACD． 三、解答题（本题有9个小题，共72分，解答要求写出文字说明，证明过程或计算步骤） 17. 解方程： 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，正确选择合适的方法解一元二次方程是解题的关键． 利用因式分解法解方程即可． 【详解】解： 或 ∴． 18. 如图，在平面直角坐标系中，每个小正方形的顶点叫做格点，的三个顶点都在格点上． （1）将绕点O逆时针旋转，得到，画出； （2）求在旋转过程中，线段扫过的面积（结果保留）． 【答案】（1） 如图，即为所求； （2） 【解析】 【分析】本题考查的是画旋转图形，勾股定理，扇形面积公式． （1）分别确定绕点O逆时针旋转的对应点，再顺次连接即可； （2）先确定线段扫过的图形为扇形，然后利用勾股定理求解半径，再根据旋转角结合扇形面积公式即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：，， 由题意可得，线段扫过的图形为扇形， ∴面积为 19. 如图，已知函数与x轴交于，B两点，过点B的直线与抛物线在第二象限交于点C． （1）求线段的长； （2）若的面积为10，结合图象，当时，求x的取值范围． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】本题是二次函数综合题，考查了二次函数的图象和性质，二次函数的交点问题，利用数形结合的思想解决问题是关键． （1）根据抛物线对称轴，得到，即可得到线段的长； （2）根据的面积为10，得出，再根据点C在第二象限，得出点C的坐标，然后结合图形，写出抛物线在一次函数图象上方部分的自变量取值范围即可． 【小问1详解】 解：抛物线对称轴为：直线， 、B关于对称轴对称， ， 解得， ，， ； 【小问2详解】 解：三角形ABC的面积为10， ， ， ， 点C在第二象限， ， 令，即， 解得：，， 则点C的坐标为 结合图形，当时，或． 20. 如图，在△ABC中，∠A＝∠B＝30°． （1）尺规作图：在线段AB上找一点O，以O为圆心作圆，使⊙O经过B，C两点． （2）求证：AC与（1）中所做的⊙O相切． 【答案】 (1)如下图，⊙O即为所作： (2)证明：连接OC ∵△ABC中，∠A=∠B= 30° ∴∠ACB= 120° 由(1) 可知，OC= OB ∴∠OCB=∠B = 30° ∴∠ACO= 90° ∴AC是⊙O的相切． 【解析】 【分析】(1)作线段BC的垂直平分线MN，交AB于点O，以O为圆心，OB为半径作⊙O 即可； (2)连接OC，证明∠ACB= 120°，再证明∠ACO= 90°，即可得答案． 【详解】略 【点睛】本题考查作图-垂直平分线、圆的画法，等腰三角形的性质，切线的判定等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 21. 已知关于的一元二次方程 （1）求证：无论取何值，方程总有实数根； （2）若是方程的两根，且，求的值 【答案】（1） 证明：根据题意可得：，，， ， 无论取何值，方程总有实数根； （2）， 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，以及根与系数的关系，熟练掌握当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根，一元二次方程根与系数关系是解决此题的关键． （1）求该方程根的判别式即可解答； （2）根据一元二次方程根与系数的关系，得出，，根据得出，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：，是方程的两根， ，， ， ， 解得，，． 22. 一商店销售某种商品，平均每天可售出20件，每件盈利50元，为了扩大销售、增加利润，该店采取了降价措施，在每件盈利不少于25元的前提下，经过一段时间销售，发现销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件． （1）当每件商品降价多少元时，该商店每天销售利润为1600元？ （2）当每件商品降价多少元时，该商店每天销售利润最大？最大为多少元？ 【答案】（1）降价10元；（2）每件商品降价20元时，每日利润最大，最大利润为1800元 【解析】 【分析】（1）利用商品平均每天售出的件数×每件盈利=每天销售这种商品利润列出方程解答即可； （2）根据题意，可以得到利润与降价x的函数关系式，然后根据二次函数的性质，即可解答本题． 【详解】解：（1）设每件商品降价x元时，该商品每天的销售利润为1600元， 由题意得：(50-x)(20+2x)=1600， 整理得：x2-40x+300=0， ∴(x-10) (x-30)=0， ∴x1=10，x2=30， ∵每件盈利不少于25元， ∴x2=30应舍去． 答：每件商品降价10元时，该商品每天的销售利润为1600元； （2）设每件商品降价m元，销售利润为w元， w=(50-m) (20+2m)=-2(m-20)2+1800， ∴当m=20时，w取得最大值，此时w=1800， 答：当每件商品降价20元时，该商店每天销售利润最大，最大利润是1800元． 【点睛】本题考查了一元二次方程在商品利润问题中的应用，明确商品平均每天售出的件数乘以每件盈利等于每天销售这种商品利润是解决本题的关键．还考查了二次函数的应用，解题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答． 23. 根据素材解决问题 设计货船通过圆弧拱桥的方案 素材1 图（1）是某圆弧形拱桥的示意图，测得水面宽，拱顶离水面的距离 素材2 如图（2），一艘货船露出水面部分的纵截面为矩形，测得．因水深足够，货船可以根据需要运载货物．据调查，船身下降的高度与货船增加的质量满足函数关系式． （注：本题中货船与拱桥刚好挨住时可以通过，但生活中要注意安全，临界状态时绝对不可以通过．） 问题解决 任务1 确定拱桥半径 求圆弧形拱桥的半径 任务2 拟定设计方案 根据图（2）状态，货船能否通过圆弧形拱桥？若能，最多还能卸载多少吨货？若不能，至少要增加多少吨货物才能通过？ 【答案】任务一：10米；任务二：不能，需增加吨货物 【解析】 【分析】本题考查垂径定理，勾股定理，一次函数解析式，正确理解题意是解题的关键． 任务1：记拱桥所在圆弧的圆心为点O，拱顶离水面的距离为，水面宽，则点O在延长线上，连接，设桥拱的半径为，根据勾股定理得出，解出即可； 任务2：当是的弦时，记与的交点为M，则，得出，进而得出货船不能通过圆形桥拱，为了能顺利通过，船在水面部分至少需要下降的高度米，根据，即可得出答案． 【详解】解：任务1： 记拱桥所在圆弧的圆心为点O，拱顶离水面的距离为，水面宽，则点O在延长线上，连接（如图1） 设桥拱的半径为， ∵，， ∴， ∴，即圆形拱桥的半径为10米； 任务2： 当是的弦时，记与的交点为M（如图2）， 则， ∴， ∴， ∴根据图3状态，货船不能通过圆形桥拱， 为了能顺利通过，船在水面部分至少需要下降的高度米． ∵， ∴吨， ∴至少需要增加吨的货物． 24. 如图1，点D为△ABC的外接圆上的一动点（点D在上，且不与点A，C重合），∠ADB＝∠BAC＝60°． （1）求证：△ABC是等边三角形； （2）连接CD，探究AD，BD，CD三者之间的数量关系，并说明理由； （3）如图2，记BD与AC交于点E，过点E分别作EM⊥AB于点M，EN⊥BC于点N，连接MN，若AB＝6，求MN的最小值． 【答案】（1） 证明：∵∠ACB＝∠ADB＝60°，∠BAC＝60°， ∴∠ABC＝60°， ∴△ABC是等边三角形； （2） BD＝AD+CD． 理由如下： 把△BCD绕点B逆时针旋转至△BAM，如图1， ∵四边形ABCD是圆内接四边形， ∴∠BCD+∠BAD＝180°， ∵∠BAM＝∠BCD， ∴∠BAD+∠BAM＝180°， ∴M，A，D三点共线， ∵BD＝BM，∠D＝60°， ∴△BDM是等边三角形， ∴BD＝DM＝MA+AD＝CD+AD； （3） 【解析】 【分析】（1）由圆周角定理得出∠ABC＝60°，由等边三角形的判定可得出结论； （2）把△BCD绕点B逆时针旋转至△BAM，如图1，证出△BDM是等边三角形，由等边三角形的性质可得出结论； （3）取BE的中点O，以O为圆心，OB的长为半径作圆，连接OM，ON，过点O作OH⊥MN于点H，求出∠MOH＝∠MON＝60°，由直角三角形的性质求出BE的长，则可得出答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图2，取BE的中点O，以O为圆心，OB的长为半径作圆， ∵ME⊥AB，NE⊥CB， ∴M，N在圆O上， 连接OM，ON，过点O作OH⊥MN于点H， ∵∠ABC＝60°， ∴∠MON＝60°×2＝120°， ∴∠MOH＝∠MON＝60°， ∴MO＝r＝BE，MH＝BE， ∴MN＝BE， ∴当BE⊥AC时，BE最小，此时BE的最小值为＝3， ∴MN的最小值为＝． 【点睛】本题属于圆综合题，考查了圆周角定理，圆内接四边形的性质，旋转的性质，等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，熟练掌握等边三角形的判定与性质． 25. 已知抛物线过点，点，点． 直线过点，交线段于点，记的面积为，的面积为，且． （1）用含的式子表示； （2）求直线的解析式； （3）当，时，已知点在直线上，若抛物线与线段有且只有一个交点，求的取值范围． 【答案】（1） （2）直线解析式为或 （3） 【解析】 【分析】（1）将点坐标代入抛物线解析式即可求解； （2）分两种情况：．当点A在点的左侧时，ii．当点、点交换位置时，点、点也交换位置，分别求解即可； （3）根据，求出点坐标和抛物线解析式，根据在直线上，求出的坐标，在根据抛物线与线段有且只有一个交点判断与抛物线的位置关系，代入求解的取值范围即可． 【小问1详解】 解：依题意，点在抛物线上，代入得， 化简得． 【小问2详解】 解：抛物线对称轴， 依题意及抛物线的对称性知，点、点关于直线对称，点在抛物线对称轴上． 由得，为定值，设线段交对称轴于点，则坐标为． ．当点A在点的左侧时，如图，取点关于直线的对称点， 由对称性知，，故， ，得， 故，点E坐标为， 把点D、E坐标代入，得：， 解得：， 直线解析式为． ii．当点、点交换位置时，点、点也交换位置， 同理，此时点坐标为，直线解析式为． 综上，直线解析式为或． 【小问3详解】 解：当时，点在左，点在右，直线解析式为． 依题意，点在直线上，代入得，即，点坐标为， 将，代入原抛物线得，即， 令得， ∴抛物线过定点和，如下图： 观察图像，抛物线开口向上，对称轴为直线，抛物线顶点在点正下方， 且不会运动到点的上方． 过点作直线轴，交抛物线于点． 在变化过程中，当点位于点下方时，线段在抛物线内部，与抛物线无交点； 当点位于点上方（含重合）时，线段与抛物线只有一个交点． 抛物线中，令，则，点坐标为， 当，即时，点位于点上方（含重合），线段与抛物线只有一个交点． 过点作直线轴，交抛物线于点． 令，得，点坐标为． 依题意，点在线段上，，，， 即点在抛物线内测， 当点向上移动时，也在向上移动，但不能超过点，即，． 综上所述，满足题意． 【点睛】本题主要考查了求一次函数解析式，二次函数的图象与性质，抛物线的对称性，二次函数上点的坐标特征等，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025学年第一学期12月质量检测卷 初三年级数学学科 （本试卷共4页，共25题，满分120分，考试时间120分钟．） 注意事项： 1．所有答题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔做在答题卷各题目指定区域内的相应位置上，做在问卷上的答案无效！如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；改动的答案也不能超出指定的区域．不准使用铅笔、圆珠笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．涉及作图的题目，用2B铅笔画图． 2．考生不能使用计算器． 第一部分选择题 一、选释题（本题有10个小题，每小题3分，满分30分，下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的．） 1. 志愿服务，传递爱心，传递文明．下列志愿服务标志为中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 抛物线的顶点坐标是（　　） A. B. C. D. 3. 若关于的一元二次方程的一个根为0，则的值为（ ） A. 0 B. 1 C. D. 1或 4. 已知点与点关于原点对称，则的值为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，将绕点C顺时针旋转后得到，且点恰好落在边上，若，则（ ） A. B. C. D. 6. 在中，，，，以点C为圆心，为半径作，则点A与的位置关系是（ ） A. 点A在内 B. 点A在上 C. 点A在外 D. 无法确定 7. 如图，为的直径，弦和相交，若，则的大小是（ ） A. B. C. D. 8. 在一次足球邀请赛中，参赛的每两个队之间都要比赛一场，共比赛21场，设共有个队参赛，根据题意，可列方程为（ ）． A. B. C. D. 9. 对于二次函数，下列结果中正确的是（ ）． A. 抛物线有最小值是 B. 时随的增大而减小 C. 抛物线的对称轴是直线 D. 图象与轴没有交点 10. 如图，在直角坐标系中，的圆心的坐标为，圆的半径为，点为直线上的动点，过点作的切线，切点为，则切线长的最小值是（　　） A. B. C. D. 第二部分非选择题 二、填空题（本题有6个小题，每小题3分，共18分） 11. 方程的实数解是___________． 12. 将抛物线先向左平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，则所得的抛物线的解析式是______． 13. 已知关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是_________． 14. 如图，已知正方形的边长为3，为边上一点，．以点为中心，把△顺时针旋转，得△，连接，则的长等于________ 15. 在手工课上，小明用半径为、圆心角为的扇形纸板制作圆锥形的小生日帽（如图所示），不考虑接缝的情况下，这个生日帽的高为_____． 16. 如图，已知抛物线的对称轴是直线，且抛物线与轴的一个交点坐标是．下列结论正确的有（ ） A. B. 该抛物线与轴的另一个交点坐标是 C. 若点和在该抛物线上，则 D. 对任意实数，不等式总成立 三、解答题（本题有9个小题，共72分，解答要求写出文字说明，证明过程或计算步骤） 17. 解方程： 18. 如图，在平面直角坐标系中，每个小正方形的顶点叫做格点，的三个顶点都在格点上． （1）将绕点O逆时针旋转，得到，画出； （2）求在旋转过程中，线段扫过的面积（结果保留）． 19. 如图，已知函数与x轴交于，B两点，过点B的直线与抛物线在第二象限交于点C． （1）求线段的长； （2）若的面积为10，结合图象，当时，求x的取值范围． 20. 如图，在△ABC中，∠A＝∠B＝30°． （1）尺规作图：在线段AB上找一点O，以O为圆心作圆，使⊙O经过B，C两点． （2）求证：AC与（1）中所做的⊙O相切． 21. 已知关于的一元二次方程 （1）求证：无论取何值，方程总有实数根； （2）若是方程的两根，且，求的值 22. 一商店销售某种商品，平均每天可售出20件，每件盈利50元，为了扩大销售、增加利润，该店采取了降价措施，在每件盈利不少于25元的前提下，经过一段时间销售，发现销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件． （1）当每件商品降价多少元时，该商店每天销售利润为1600元？ （2）当每件商品降价多少元时，该商店每天销售利润最大？最大为多少元？ 23. 根据素材解决问题 设计货船通过圆弧拱桥的方案 素材1 图（1）是某圆弧形拱桥的示意图，测得水面宽，拱顶离水面的距离 素材2 如图（2），一艘货船露出水面部分的纵截面为矩形，测得．因水深足够，货船可以根据需要运载货物．据调查，船身下降的高度与货船增加的质量满足函数关系式． （注：本题中货船与拱桥刚好挨住时可以通过，但生活中要注意安全，临界状态时绝对不可以通过．） 问题解决 任务1 确定拱桥半径 求圆弧形拱桥的半径 任务2 拟定设计方案 根据图（2）状态，货船能否通过圆弧形拱桥？若能，最多还能卸载多少吨货？若不能，至少要增加多少吨货物才能通过？ 24. 如图1，点D为△ABC的外接圆上的一动点（点D在上，且不与点A，C重合），∠ADB＝∠BAC＝60°． （1）求证：△ABC是等边三角形； （2）连接CD，探究AD，BD，CD三者之间的数量关系，并说明理由； （3）如图2，记BD与AC交于点E，过点E分别作EM⊥AB于点M，EN⊥BC于点N，连接MN，若AB＝6，求MN的最小值． 25. 已知抛物线过点，点，点． 直线过点，交线段于点，记的面积为，的面积为，且． （1）用含的式子表示； （2）求直线的解析式； （3）当，时，已知点在直线上，若抛物线与线段有且只有一个交点，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $