专题05 三角形中的倒角模型之高分线模型、双（三）垂直模型（几何模型讲义）数学湘教版2024八年级上册

专题05 三角形中的倒角模型之高分线模型、双（三）垂直模型 近年来各地考试中常出现一些几何倒角模型，该模型主要涉及高线、角平分线及角度的计算（内角和定理、外角定理等）。熟悉这些模型可以快速得到角的关系，求出所需的角。本专题高分线模型、双垂直模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 1 模型来源 1 真题现模型 2 提炼模型 3 模型运用 5 模型1.高分线模型 5 模型2.双垂直模型 9 模型3.子母型双垂直模型（射影模型） 10 13 高分线模型与双垂直模型由现代数学工作者根据其数学特征命名，高分线模型是初中几何中用于解决三角形角度计算问题的经典模型，其核心特征为‌高线与角平分线的组合‌。 子母型双垂直模型（射影模型）首次提出并完整证明源于几何原本，但是由于我们还没有学习相似三角形，故本节中的射影模型主要只是研究射影模型中的角度关系与等面积相关的线段关系。 （2025·河北邢台·模拟检测）已知在中，是边BC上的高，是的角平分线． (1)如图1，若，，则的度数为__________． (2)如图2，平分交于点，交的外角的平分线于点P，请猜想与的数量关系，并说明理由． (3)如图3，在（2）的条件下，过点作于点，若，且，请直接写出的度数． （2025·黑龙江哈尔滨·一模）已知，分别是的高和角平分线，（m为常数）． (1)如图1，若，求证：；    (2)如图2，过点E作交于点F，若，求m的值；    (3)在（2）的条件下，连接交于点G，过点G作于点H，若，求的度数． 模型1.高分线模型 1）条件：如图1，在中，，分别是的高和角平分线，结论：． 2）条件：如图2，F为的角平分线AE的延长线上的一点，于D，结论：．    图1 图2 1）证明：∵平分，∴， ∵，∴， ∴； 2）证明：如图，过作于，由（2）可知：， ，，，， ，，，． 模型2.双垂直模型 条件：如图所示，在△ABC中，BD，CE是两条高， 结论：①∠ABD=∠ACE ；②∠A=∠BOE=∠COD；③。 证明：∵BD，CE是两条高，∴∠AEC=∠BEC=∠ADB=∠CDB=90°， ∴∠ABD+∠A=90°，∠ACE+∠A=90°，∠ACE+∠DOC=90°，∴∠ABD=∠ACE，∠DOC=∠A， ∵∠DOC=∠BOE，∴∠A=∠BOE=∠COD。 ∵BD，CE是△ABC的两条高，∴，∴。 模型3.子母型双垂直模型（射影模型） 条件：在Rt中，∠ACB=90°，CD是的高线， 结论：①∠B=∠ACD；②∠A=∠BCD；③。      证明：∵∠ACB=90°，CD是高线，∴∠ACB=∠CDA=∠CDB=90°， ∴∠ACD+∠A=90°，∠ACD+∠BCD=90°，∠B+∠BCD=90°，∴∠A=∠BCD，∠B=∠ACD， ∵∠ACB=90°，CD是高线，∴，∴。 模型1.高分线模型 例1（24-25七年级下·陕西西安·月考）如图，在中，最大内角，平分，于点E，若，则 ． 例2（25-26八年级上·安徽芜湖·期中）如图1，为的高，平分，． （1）的值为 ； （2）在图1的基础上，如图2所示，点为外一点，连接，，作的平分线交的延长线于点，若，，时，则 ． 例3（25-26八年级上·浙江宁波·期中）如图，在中，是的高线，是的角平分线．已知，求的度数． 例4（25-26八年级上·全国·期中）如图，在中，是高，是角平分线，它们相交于点O，． (1)若，求的度数； (2)求的度数． 例5（25-26八年级上·浙江·阶段练习）如图，中，是高，是角平分线，它们相交于点，，，求和的度数． 模型2.双垂直模型 例1（24-25七年级下·重庆·阶段练习）如图，、是的两条高，，，，则的面积为（   ） A． B． C． D． 例2（24-25七年级下·甘肃武威·期末）中，，H为高的交点，则 ． 例3（24-25八年级上·重庆大足·期末）已知在（不是直角三角形）中，边的高、边的高所在直线交于点，则的度数为 ． 例4（24-25七年级下·甘肃武威·期中）如图，已知中，，，，的高交于点O． (1)求； (2)请你猜想与的关系，并简述理由． 例5（2023七年级下·江苏·专题练习）（1）如图1，在中，，，，，于点D，求的长； （2）如图2，在中，，，求的高与的比； （3）如图3，在中，，点，分别在边，上，且，，，垂足分别为点，．若，求的值． 模型3.子母型双垂直模型（射影模型） 例1（25-26八年级上·安徽合肥·期中）如图，在中，，是边上的高，是的角平分线，若，则的角度为（    ） A． B．10° C．11° D．13° 例2（24-25七年级下·山东聊城·期末）如图，在中，，、分别是的高和角平分线，点E为边上一点，当为直角三角形时，则 ． 例3（24-25八年级上·广东广州·期中）如图在中，，，是角平分线，是高，和交于点F．则 ． 例4（25-26八年级上·新疆吐鲁番·期中）如图，在 中，，是边上的高，E，F 分别是，的中点，连接，，且，，． (1)求的长； (2)求的面积． 例5（24-25七年级下·河南洛阳·期末）已知：如图1，在中，是边上的高，． (1)直接写出______； (2)如图2，如果是角平分线，、相交于点，那么与的大小相等吗？请说明理由． 1．（25-26八年级上·四川绵阳·期中）如图，在中，，，是边上的高，是的平分线，则的度数为（　　） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·江苏无锡·月考）如图，在中，是高，是角平分线，是中线．则下列结论错误的是（ ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级下·山东青岛·期中）如图，在中，，是高，是中线，是角平分线，交于点G，交于点H，给出以下结论：①；②；③；④，其中结论正确的有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 4．（24-25八年级上·广东佛山·期末）如图，在中，为边上的高，平分交于点，交于点，则的大小为（    ） A． B． C． D． 5．（24-25七年级下·江苏南京·期中）如图，在中，是边上的高，且，平分，交于点，过点作，分别交、于点、．则下列结论：①；②；③；④，其中正确的有（   ） A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．①②③④ 6．（24-25八年级上·福建福州·期末）如图，在中，，是边上的高，是边的中线，是的角平分线，交于点，交于点，下面说法正确的是（   ） ①的面积的面积；②；③；④． A．①④ B．①② C．②③ D．①③ 7．（24-25八年级上·广东阳江·期末）如图，在中，，，，，边上的高长是（    ） A． B． C． D． 8．（24-25七年级下·陕西西安·阶段练习）如图，在中，，是高，是中线，是角平分线，交于点G，交于点H，给出以下结论：①；②；③；④；⑤．其中结论正确的有 ．（只填序号） 9．（24-25八年级上·河南商丘·期中）如图，是的角平分线，是的高，，点F为边上一点，当为直角三角形时，的度数为 ． 10．（24-25八年级上·安徽淮南·阶段练习）如图，为的高，为的角平分线，若，．    （1） ； （2）若点为线段上任意一点，当为直角三角形时，则的度数为 ． 11．（24-25八年级上·浙江绍兴·阶段练习）如图,在中,是高,是角平分线,若,则 ．    12．（24-25七年级下·江苏宿迁·期末）如图，在中，，、分别是的高和角平分线，点E为边上一点，当为直角三角形时，则 ．    13．（24-25八年级上·陕西渭南·期中）如图，在中，是高，、是两内角平分线，它们相交于点O， ，，则与的度数之和为 °．    14．（25-26八年级上·山西朔州·阶段练习）如图，在中，，分别是的高和角平分线，是的平分线，与交于点，，． (1)求的度数． (2)求的度数． 15．（24-25八年级上·广东云浮·期中）已知，如图，在中，，分别是的高和角平分线，且始终满足 (1)若，求的度数 (2)直接写出、、的关系，不需证明 16．（2025八年级上·全国·专题练习）我们规定，若三角形满足：①各边互不相等且均为整数；②最短边上的高与最长边上的高的比值为整数k，则称此三角形为“比高三角形”，其中k叫作“比高系数”． (1)如图，在中，于点，请判断是否是“比高三角形”．若是，请求出其“比高系数”；若不是，请说明理由； (2)若周长为的是“比高三角形”，且一边长为，则的“比高系数”为______． 17．（25-26八年级上·天津·阶段练习）如图，在中，是高，是角平分线． (1)若，，求和的度数． (2)若，，，，求的长． 18．（24-25七年级下·山东济南·期中）已知中，，为边上的高，平分，分别交于点F、E． (1)试说明； (2)若，试着求出的度数； (3)猜想与的数量关系：______（填“>”、“<”或“=”）． 19．（24-25七年级下·四川内江·期末）如图，在中，分别是的高和角平分线． (1)若，求的度数； (2)若，直接写出的表达式（用α、β表示）． 20．（24-25八年级上·安徽蚌埠·期中）如图，在中，，，，分别是边，上的高，它们交于点H，求和的度数． 21．（25-26八年级上·江西宜春·阶段练习）如图，在中，，，且，平分，平分，与交于点O，是边上的高． (1)若，，求的度数． (2)用含α，β的式子表示． (3)若，试探究α与β之间的数量关系． 22．（24-25八年级上·河北邢台·阶段练习）已知在中，是边BC上的高，是的角平分线． (1)如图1，若，，则的度数为__________． (2)如图2，平分交于点，交的外角的平分线于点P，请猜想与的数量关系，并说明理由． (3)如图3，在（2）的条件下，过点作于点，若，且，请直接写出的度数． 23．（24-25七年级下·福建泉州·期末）【问题情境】 如图1，是的中线，与的面积有怎样的数量关系？小陈同学在图1中作边上的高，根据中线的定义可知． 又因为高相同，所以，于是，据此可得结论：三角形的一条中线平分该三角形的面积． 【深入探究】 （1）如图2，的面积为4平方厘米，延长到点，延长到点，延长边到点，使，，，依次连接得到，求的面积． 【拓展延伸】（2）如图3．若四边形的面积为，分别延长四边形的各边，使得，，，，依次连接得到四边形． ①若，求四边形的面积；（用含的代数式表示） ②直接写出四边形的面积（用含的代数式表示）      24．（2024七年级下·上海·专题练习）在中，    (1)如图1，点，分别是，上一点，若，相交于点，请说明； (2)如图2，若，分别是，上的高，请说明理由； (3)如图3，若，，的角平分线，，相交于点，则： ① ； ②若过点作于点，发现，请说明理由． 25．（24-25七年级下·重庆沙坪坝·期中）已知在中，是边上的高，是的角平分线． (1)如图1，若，求的度数； (2)如图2，平分交于点F，交外角平分线于点P，过F作交于G，请猜想与的数量关系，并说明理由； (3)如图3，在（2）的条件下，连接，过点P作于点G，若，且，过点P作交的延长线于点H，求的度数． 26．（24-25七年级下·黑龙江哈尔滨·期中）已知，分别是的高和角平分线，（m为常数）． (1)如图1，若，求证：；    (2)如图2，过点E作交于点F，若，求m的值；    (3)在（2）的条件下，连接交于点G，过点G作于点H，若，求的度数． 16 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 三角形中的倒角模型之高分线模型、双（三）垂直模型 近年来各地考试中常出现一些几何倒角模型，该模型主要涉及高线、角平分线及角度的计算（内角和定理、外角定理等）。熟悉这些模型可以快速得到角的关系，求出所需的角。本专题高分线模型、双垂直模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 1 模型来源 1 真题现模型 2 提炼模型 3 模型运用 5 模型1.高分线模型 5 模型2.双垂直模型 9 模型3.子母型双垂直模型（射影模型） 10 13 高分线模型与双垂直模型由现代数学工作者根据其数学特征命名，高分线模型是初中几何中用于解决三角形角度计算问题的经典模型，其核心特征为‌高线与角平分线的组合‌。 子母型双垂直模型（射影模型）首次提出并完整证明源于几何原本，但是由于我们还没有学习相似三角形，故本节中的射影模型主要只是研究射影模型中的角度关系与等面积相关的线段关系。 （2025·河北邢台·模拟检测）已知在中，是边BC上的高，是的角平分线． (1)如图1，若，，则的度数为__________． (2)如图2，平分交于点，交的外角的平分线于点P，请猜想与的数量关系，并说明理由． (3)如图3，在（2）的条件下，过点作于点，若，且，请直接写出的度数． 【答案】(1) (2)，见解析 (3)． 【分析】（1）先求解，，，再结合三角形的高可得答案； （2）先证明结合，可得； （3）设，可得，，，，结合（2）可得，，求解，结合，再建立方程进一步求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∵， ∵是边上的高， ∴， ∴； 故答案为：； （2）解：．理由如下： ∵，分别平分和的外角， ∴，， ∴， ∵， ∴； （3）解：设，则， ∴，，， ∴由（2）可得，， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查的是三角形的内角和定理的应用，三角形的外角的性质，四边形的内角和定理的应用，角平分线的定义，理清各角度之间的关系是解本题的关键． （2025·黑龙江哈尔滨·一模）已知，分别是的高和角平分线，（m为常数）． (1)如图1，若，求证：；    (2)如图2，过点E作交于点F，若，求m的值；    (3)在（2）的条件下，连接交于点G，过点G作于点H，若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2)3 (3) 【分析】（1）根据三角形内角和，得到与的关系，再根据角平分线的定义得到与的关系，即可解答； （2）利用平行线的性质得到，即可得到与的关系，即可解答； （3）根据，列方程求得的值，再根据三角形内角和定理求得，即可解答． 【详解】（1）证明：若，则， ， 分别是的高和角平分线， ，， ； （2）解：根据三角形内角和定理可得， ， ， ， ， 根据， 可得，即 解得； （3）解：根据，可得， 当时，可得 可得， ． 【点睛】本题考查了三角形内角和，三角形角平分线和高有关的计算，平行线的性质，熟练利用角平分线的定义和三角形内角和进行角度的转换是解题的关键． 模型1.高分线模型 1）条件：如图1，在中，，分别是的高和角平分线，结论：． 2）条件：如图2，F为的角平分线AE的延长线上的一点，于D，结论：．    图1 图2 1）证明：∵平分，∴， ∵，∴， ∴； 2）证明：如图，过作于，由（2）可知：， ，，，， ，，，． 模型2.双垂直模型 条件：如图所示，在△ABC中，BD，CE是两条高， 结论：①∠ABD=∠ACE ；②∠A=∠BOE=∠COD；③。 证明：∵BD，CE是两条高，∴∠AEC=∠BEC=∠ADB=∠CDB=90°， ∴∠ABD+∠A=90°，∠ACE+∠A=90°，∠ACE+∠DOC=90°，∴∠ABD=∠ACE，∠DOC=∠A， ∵∠DOC=∠BOE，∴∠A=∠BOE=∠COD。 ∵BD，CE是△ABC的两条高，∴，∴。 模型3.子母型双垂直模型（射影模型） 条件：在Rt中，∠ACB=90°，CD是的高线， 结论：①∠B=∠ACD；②∠A=∠BCD；③。      证明：∵∠ACB=90°，CD是高线，∴∠ACB=∠CDA=∠CDB=90°， ∴∠ACD+∠A=90°，∠ACD+∠BCD=90°，∠B+∠BCD=90°，∴∠A=∠BCD，∠B=∠ACD， ∵∠ACB=90°，CD是高线，∴，∴。 模型1.高分线模型 例1（24-25七年级下·陕西西安·月考）如图，在中，最大内角，平分，于点E，若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了与角平分线有关的三角形内角和运算，与高有关的计算，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先求出，再结合，得出，又因为平分，得出，最后由三角形内角和性质进行列式计算，即可作答． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， 故答案为： 例2（25-26八年级上·安徽芜湖·期中）如图1，为的高，平分，． （1）的值为 ； （2）在图1的基础上，如图2所示，点为外一点，连接，，作的平分线交的延长线于点，若，，时，则 ． 【答案】 2 /46度 【分析】本题考查了三角形的内角和定理，三角形的外角的性质，熟练掌握角平分线的定义是解决本题的关键． （1）根据三角形的内角和定理，可得，再求得，由此可解； （2）根据，设，由此可表示三角形中的角，再根据三角形的内角为计算即可． 【详解】解：（1）在中，， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：2； （2）连接，记与的交点为O，如图， 设， ∵，且， ∴，解得, ∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分，即， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵平分，即， 在中， ， ∴的度数为． 故答案为：． 例3（25-26八年级上·浙江宁波·期中）如图，在中，是的高线，是的角平分线．已知，求的度数． 【答案】 【分析】本题主要考查三角形的内角和定理、高线的性质、角平分线定义等知识点，熟练掌握三角形的内角和定理是解答的关键． 根据三角形的内角和定理求出的度数，再根据是的角平分线，求出的度数，再根据是的高线可得，最后根据角的和差即可解答． 【详解】解：∵在中，， ∴， ∵是角平分线， ∴， ∵是的高， ∴， 在中，， ∴． 例4（25-26八年级上·全国·期中）如图，在中，是高，是角平分线，它们相交于点O，． (1)若，求的度数； (2)求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查三角形内角和、角平分线与高的性质，运用角度转化思想，关键是利用内角和及角平分线定义推导角度，易错点为角平分线分割角度时的比例错误； （1）先求，再由角平分线和高的性质推导； （2）先求，再由三角形内角和求． 【详解】（1）解：是高，， ， ， ， 是的平分线， ， （2）， ， 、是角平分线， ， ． 例5（25-26八年级上·浙江·阶段练习）如图，中，是高，是角平分线，它们相交于点，，，求和的度数． 【答案】， 【分析】本题考查了三角形内角和定理、角平分线定义．熟练利用三角形内角和定理求解是解题的关键． 先利用三角形内角和定理可求，在直角三角形中，求出；再根据角平分线定义可求、，进而可得，的度数即可． 【详解】解：在中， ，， ， 是高， ． 在中，． 是的角平分线， ， ． 又是的角平分线， ， 在中，，， ． ∴，． 模型2.双垂直模型 例1（24-25七年级下·重庆·阶段练习）如图，、是的两条高，，，，则的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了三角形的面积计算，熟记面积计算公式和认识三角形的底与高是解题的根本，关键是列出的方程． 根据三角形的面积公式列出的方程进行解答便可． 【详解】解：∵、是的两条高， ∴， 又∵，，， ∴ ∴， ∴， 故选：A． 例2（24-25七年级下·甘肃武威·期末）中，，H为高的交点，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查四边形内角和的问题，熟练掌握三角形的高的性质是解题的关键．根据三角形的高的性质及四边形的内角和求解即可． 【详解】，H为高的交点， ， 在四边形内角和为， ， （对顶角相等）． 故答案为：． 例3（24-25八年级上·重庆大足·期末）已知在（不是直角三角形）中，边的高、边的高所在直线交于点，则的度数为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了三角形内角和、外角的性质和三角形的高，解题关键是根据题意画出图形，分类讨论，利用三角形内角和及外角的性质求解即可． 【详解】解：如图，当与交于点时， ∵边的高、边的高所在直线交于点， ∴， ； 如图，是锐角三角形时， ∵边的高、边的高所在直线交于点， ∴， ； 如图，是钝角三角形时，是钝角， 同理可求，， ； 如图，是钝角三角形时，是钝角， 同理可得； 故答案为：或． 例4（24-25七年级下·甘肃武威·期中）如图，已知中，，，，的高交于点O． (1)求； (2)请你猜想与的关系，并简述理由． 【答案】(1) (2)，理由见解析 【分析】本题主要考查了三角形的面积公式，四边形的内角和以及平角的定义，灵活运用相关知识是解题的关键． （1）根据三角形的面积公式，利用等面积法可得，由此求解即可； （2）由为的高和四边形的内角和可得出，再利用平角的定义与等量代换即可求解． 【详解】（1）解：，，， 为的高， ， 即 解得， 则的长为； （2），理由如下： 为的高， ， 在四边形中，， 又， ． 例5（2023七年级下·江苏·专题练习）（1）如图1，在中，，，，，于点D，求的长； （2）如图2，在中，，，求的高与的比； （3）如图3，在中，，点，分别在边，上，且，，，垂足分别为点，．若，求的值． 【答案】（1）；（2）；（3）10． 【分析】本题属于几何变换综合题，考查了三角形的面积，解题的关键是学会利用面积法解决问题，属于中考常考题型． （1）利用面积法求出即可． （2）利用面积法求出高与的比即可． （3）利用面积法求出，可得结论． 【详解】（1）解：， ， ； （2）解：， ， ， ； （3）解：，，， ， ， 又， ， 即． 模型3.子母型双垂直模型（射影模型） 例1（25-26八年级上·安徽合肥·期中）如图，在中，，是边上的高，是的角平分线，若，则的角度为（    ） A． B．10° C．11° D．13° 【答案】C 【分析】本题主要考查了三角形的角平分线、三角形的高、直角三角形两锐角互余等知识点，熟练掌握相关知识是解题关键． 首先根据三角形角平分线的定义确定的值，再根据三角形的高的定义以及直角三角形两锐角互余可得，然后由求解即可． 【详解】解：∵是的角平分线，， ∴， ∵是边上的高，， ∴， ∴． 故选C． 例2（24-25七年级下·山东聊城·期末）如图，在中，，、分别是的高和角平分线，点E为边上一点，当为直角三角形时，则 ． 【答案】或 【分析】本题考查的是直角三角形的两锐角互余，三角形外角的性质．根据三角形内角和定理得，由角平分线的定义得，当为直角三角形时，存在两种情况：分别根据三角形外角的性质即可得出结论． 【详解】解：∵， ∴， ∵平分， ∴， 当为直角三角形时，有以下两种情况： ①当时，如图1， ∵， ∴； ②当时，如图2， ∴， ∵， ∴， 综上，的度数为或． 故答案为：或． 例3（24-25八年级上·广东广州·期中）如图在中，，，是角平分线，是高，和交于点F．则 ． 【答案】 【分析】本题考查的是三角形内角和定理以及角平分线的定义，熟知三角形内角和是是解答此题的关键． 根据，可得，再根据是角平分线，可得，再根据是的外角，即可得到的度数； 【详解】解：∵是高，， ， ， 又∵是角平分线， ， ∵是的外角， ， 故答案为：． 例4（25-26八年级上·新疆吐鲁番·期中）如图，在 中，，是边上的高，E，F 分别是，的中点，连接，，且，，． (1)求的长； (2)求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了三角形的面积，三角形中点与面积的关系． （1）利用三角形的面积公式求解即可； （2）先求出，再根据中点得到求解即可． 【详解】（1）解：根据题意得，， ∴， ∴； （2）解：∵在 中，，E，F 分别是，的中点， ∴，， ∴， ∴． 例5（24-25七年级下·河南洛阳·期末）已知：如图1，在中，是边上的高，． (1)直接写出______； (2)如图2，如果是角平分线，、相交于点，那么与的大小相等吗？请说明理由． 【答案】(1) (2)，理由见解析 【分析】本题考查了三角形的高与角平分线、三角形的内角和定理等知识，熟练掌握三角形的内角和定理是解题关键． （1）先求出，再根据三角形的内角和定理可得，根据等量代换可得，由此即可得； （2）先根据角平分线的定义可得，再求出，，则可得，然后根据对顶角相等可得，由此即可得． 【详解】（1）解：∵在中，是边上的高， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． （2）解：，理由如下： ∵在中，是角平分线， ∴， ∵在中，是边上的高， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 由对顶角相等得：， ∴． 1．（25-26八年级上·四川绵阳·期中）如图，在中，，，是边上的高，是的平分线，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的内角和定理，三角形的角平分线、三角形的高，三角形外角性质，先求出，由是的平分线，则，从而求出，由是边上的高，则，然后通过直角三角形性质即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴， ∵是边上的高， ∴， ∴， 故选：． 2．（25-26八年级上·江苏无锡·月考）如图，在中，是高，是角平分线，是中线．则下列结论错误的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据三角形的角平分线、中线和高的概念判断．本题考查的是三角形的角平分线、中线和高，掌握它们的概念是解题的关键． 【详解】解：∵是的中线， ∴，A说法正确，不符合题意； ∵是角平分线， ∴，B说法正确，不符合题意； ∵是高， ∴， ∴，C说法正确，不符合题意； ∵是角平分线， ∴不一定是的中点，即不一定成立， ∴不一定成立，D说法错误，符合题意． 故选：D． 3．（24-25七年级下·山东青岛·期中）如图，在中，，是高，是中线，是角平分线，交于点G，交于点H，给出以下结论：①；②；③；④，其中结论正确的有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】本题考查三角形的三线，根据三角形的中线平分面积判断①，等角的余角结合对顶角，判断②，同角的余角，结合角平分线的定义判断③，等积法，判断④即可． 【详解】解：∵是的中线， ∴，故①错误； ∵是的角平分线， ∴， ∵，是的高， ∴， ∴， ∵， ∴；故②正确； ∵， ∴，即：；故③正确； ∵， ∴；故④正确； 故选B． 4．（24-25八年级上·广东佛山·期末）如图，在中，为边上的高，平分交于点，交于点，则的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了三角形内角和定理，先求出的度数，再根据角平分线求出的度数，根据高线，求出的度数，由此得出的大小． 【详解】解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵为边上的高， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 5．（24-25七年级下·江苏南京·期中）如图，在中，是边上的高，且，平分，交于点，过点作，分别交、于点、．则下列结论：①；②；③；④，其中正确的有（   ） A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．①②③④ 【答案】B 【分析】本题考查三角形内角和定理，平行线的性质，三角形的外角的性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．证明即可判断①正确；无法判定，即可判断②错误；利用三角形的外角的性质，角的和差定义即可判断③正确；证明即可判断④正确． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故①正确， ∵平分， ∴， ∵，， ∴， 故③正确， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， 故④正确， 无法判定，故②错误； 故选：B． 6．（24-25八年级上·福建福州·期末）如图，在中，，是边上的高，是边的中线，是的角平分线，交于点，交于点，下面说法正确的是（   ） ①的面积的面积；②；③；④． A．①④ B．①② C．②③ D．①③ 【答案】D 【分析】本题考查了角平分线的定义，三角形的面积，三角形的中线，三角形的高，三角形内角和定理等知识点，能综合运用定理进行推理是解此题的关键．根据三角形的面积公式进行判断①，根据三角形的内角和定理求出，再判断②即可，根据三角形的内角和定理求出，再根据等腰三角形的判定判断③即可，根据等腰三角形的判定判断④即可． 【详解】解：是边的中线， ， 的面积，的面积， 的面积的面积，故①正确； 是边上的高， ， ， ，， ， 是的角平分线， ，， ，故②错误； 在和中，，， ，， ， ，故③正确； 根据已知不能推出，即不能推出，故④错误； 即正确的为①③， 故选：D． 7．（24-25八年级上·广东阳江·期末）如图，在中，，，，，边上的高长是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查三角形的面积，灵活运用等面积法是关键； 由三角形等面积法直接求斜边上的高． 【详解】 ， ， 故选：D 8．（24-25七年级下·陕西西安·阶段练习）如图，在中，，是高，是中线，是角平分线，交于点G，交于点H，给出以下结论：①；②；③；④；⑤．其中结论正确的有 ．（只填序号） 【答案】②③④ 【分析】此题考查了三角形的高、中线、角平分线等相关线段的性质，根据相关性质和角之间的关系逐项进行判断即可 ． 【详解】解：∵是的中线， ∴， 故④正确，符合题意； ∵是角平分线，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故②正确，符合题意； ∵， ∴， 故③正确，符合题意； 由已知条件不能确定， ∴与的关系不能确定，故⑤错误，不符合题意； 根据已知条件无法证明，故①错误，不符合题意； 故答案为：②③④． 9．（24-25八年级上·河南商丘·期中）如图，是的角平分线，是的高，，点F为边上一点，当为直角三角形时，的度数为 ． 【答案】或 【分析】分、两种情况、分别画出图形，再依据三角形内角和定理以及角平分线的定义即可解答．灵活利用三角形内角和定理和分类讨论思想是解题的关键． 【详解】解：如图1:当时， ∵是的角平分线，， ∴， ∴中，； 如图2:当时， ． 故答案为：或． 10．（24-25八年级上·安徽淮南·阶段练习）如图，为的高，为的角平分线，若，．    （1） ； （2）若点为线段上任意一点，当为直角三角形时，则的度数为 ． 【答案】 或 【分析】（1）根据角平分线的定义、三角形外角性质计算即可； （2）分和两种情况解答即可． 【详解】解：（1）∵为的角平分线， ∴， ∴； 故答案为：； （2）当时，， 当时，， 故答案为：或． 【点睛】本题考查三角形的外角性质，三角形的角平分线，掌握三角形的外角性质是解题的关键． 11．（24-25八年级上·浙江绍兴·阶段练习）如图,在中,是高,是角平分线,若,则 ．    【答案】/28度 【分析】本题考查了三角形的高、角平分线、三角形内角和等知识，解题的关键从已知条件入手，逐步推得待求的结论． 先由是高与求得，再求得，再由角平分线推得，最后由三角形的内角和求得的度数． 【详解】∵是高， ∴， ∵， ∴． ∵， ∴． ∵是角平分线， ∴， ∴， 在中，． 故答案为：． 12．（24-25七年级下·江苏宿迁·期末）如图，在中，，、分别是的高和角平分线，点E为边上一点，当为直角三角形时，则 ．    【答案】50或25/25或50 【分析】根据三角形内角和定理得，由角平分线的定义得，当为直角三角形时，存在两种情况：分别根据三角形外角的性质即可得出结论． 【详解】解：∵， ∴ ∵平分 ∴ 当为直角三角形时，有以下两种情况： ①当时，如图1，    ∵， ∴； ②当时，如图2，    ∴， ∵， ∴， 综上，的度数为或． 故答案为：50或25． 【点睛】本题考查的是直角三角形的两锐角互余，三角形外角的性质，熟知“三角形的外角的性质”是解答此题的关键． 13．（24-25八年级上·陕西渭南·期中）如图，在中，是高，、是两内角平分线，它们相交于点O， ，，则与的度数之和为 °．    【答案】125 【分析】先利用三角形内角和定理可求，在直角三角形中，求出；再根据角平分线定义可求、，可得的度数；然后利用三角形外角性质，可先求，再次利用三角形外角性质，求出，即可求得出答案． 【详解】解：∵ ， ∴， 又∵是高， ∴， ∴， ∵、是角平分线， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：125． 【点睛】本题考查了三角形内角和定理、角平分线定义、三角形外角性质．关键是利用角平分线的性质解出、，再运用三角形外角性质求出． 14．（25-26八年级上·山西朔州·阶段练习）如图，在中，，分别是的高和角平分线，是的平分线，与交于点，，． (1)求的度数． (2)求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查三角形的角平分线与高，三角形的内角和定理，三角形外角的性质． （1）根据角平分线求出，根据三角形的高得到，从而在中应用三角形内角和的性质，进而根据角的和差即可解答； （2）根据角平分线求出，根据三角形外角的性质得，即可求解． 【详解】（1）解：∵是的平分线， ∴ ∵是的高 ∴ ∴ （2）∵是的角平分线， ∴ ∵ ∴ ∵是的高 ∴ ∴ . 15．（24-25八年级上·广东云浮·期中）已知，如图，在中，，分别是的高和角平分线，且始终满足 (1)若，求的度数 (2)直接写出、、的关系，不需证明 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，三角形的高，熟练掌握内角和定理是解本题的关键． （1）由三角形内角和定理可求得，由角平分线的性质知，在中，可得，故； （2）由角平分线的定义和三角形内角和定理求得，在中，由，即可求得． 【详解】（1）解：∵，， ∴． ∵是的平分线， ∴． ∵是的高， ∴在中，， ∴； （2）解：，证明如下： ∵， 又∵是的角平分线， ∴， ∵是的高， ∴， 则． 16．（2025八年级上·全国·专题练习）我们规定，若三角形满足：①各边互不相等且均为整数；②最短边上的高与最长边上的高的比值为整数k，则称此三角形为“比高三角形”，其中k叫作“比高系数”． (1)如图，在中，于点，请判断是否是“比高三角形”．若是，请求出其“比高系数”；若不是，请说明理由； (2)若周长为的是“比高三角形”，且一边长为，则的“比高系数”为______． 【答案】(1)不是“比高三角形”，理由见解析 (2)3或2 【分析】本题主要考查了三角形面积的计算，三角形三边关系的应用等知识． （1）先根据题意得出为最短边上的高，为最长边上的高，再根据等面积法求出，最后根据“比高三角形”的定义判断即可． （2）根据三角形三边关系结合“比高三角形”的定义得出的三边长分别为，，或，，．设最短边上的高为，最长边上的高为，再结合三角形的面积计算以及“比高三角形”的定义即可得出答案． 【详解】（1）解：不是“比高三角形”，理由如下： ∵， ∴为最短边上的高，为最长边上的高， ∵， ∴， ∴，k不是整数， ∴不是“比高三角形”； （2）解：∵周长为的是“比高三角形”，且一边长为， ∴为的最长边， 当其中一边为时，则另外一边为，此时不满足各边互不相等且均为整数的条件， 故的三边长分别为，，或，，． 设最短边上的高为，最长边上的高为， 当三边长分别为，，时， ， 解得：，即， 当三边长分别为，，．时， ， 解得：，即， 综上所述， 的“比高系数"k为3或2． 17．（25-26八年级上·天津·阶段练习）如图，在中，是高，是角平分线． (1)若，，求和的度数． (2)若，，，，求的长． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了三角形内角和定理应用，三角形的面积，关键是三角形面积公式的应用． （1）先根据三角形内角和性质得，再结合角平分线的定义得，再结合是高，得出的度数，再根据角的关系进行运算得出的度数，即可作答； （2）运用等面积法进行列式，代入数值进行化简，即可作答． 【详解】（1）解：，， ∴， 是角平分线， ， 是高， ， ， ， ． （2）解：，，，，是高， ， 即， ． 18．（24-25七年级下·山东济南·期中）已知中，，为边上的高，平分，分别交于点F、E． (1)试说明； (2)若，试着求出的度数； (3)猜想与的数量关系：______（填“>”、“<”或“=”）． 【答案】(1)见解析 (2) (3)= 【分析】（1），为边上的高，得 ，，即得； （2）根据， ，平分，可得； （3）根据. . ，，即得． 【详解】（1）解：∵中，， ∴， ∵为边上的高， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∴； （3）解：∵， ∴. ∵， ∴. ∵平分， ∴， ∴. ∵， ∴， 即． 故答案为：=． 【点睛】本题考查了三角形内角和．熟练掌握直角三角形两锐角性质，角平分线定义，余角性质，三角形外角性质，是解题的关键． 19．（24-25七年级下·四川内江·期末）如图，在中，分别是的高和角平分线． (1)若，求的度数； (2)若，直接写出的表达式（用α、β表示）． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了三角形的内角和定理，三角形的角平分线、高线的定义，直角三角形两锐角互余的性质，熟记定理并准确识图是解题的关键． （1）根据三角形内角和定理求出，再根据角平分线的定义求出，根据直角三角形两锐角互余求出，然后求解即可． （2）同（1）即可得出结果． 【详解】（1）解：，， ， 是角平分线， ， 是高， ， ； （2）解：，， ， 是角平分线， ， 是高， ， ； 故答案为：． 20．（24-25八年级上·安徽蚌埠·期中）如图，在中，，，，分别是边，上的高，它们交于点H，求和的度数． 【答案】，． 【分析】本题考查三角形的高，三角形内角和定理，三角形外角的性质等，先利用高的定义得出，，再根据三角形内角和定理依次求出，，，再利用平角定义即可求． 【详解】解：在中，，， 所以． 因为， 所以． 所以． 因为， 所以． 所以． 所以． 21．（25-26八年级上·江西宜春·阶段练习）如图，在中，，，且，平分，平分，与交于点O，是边上的高． (1)若，，求的度数． (2)用含α，β的式子表示． (3)若，试探究α与β之间的数量关系． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了三角形内角和定理，解直角三角形及角平分线的定义． （1）根据已知条件由三角形内角和定理求得和，再利用角平分线的定义求出的度数，最后利用角的和差关系求出结果； （2）根据已知条件由三角形内角和定理求得和，再利用角平分线的定义求出的度数，最后利用角的和差关系求出结果，结果用含α，β的式子表示； （3）利用三角形内角和定理求出和的度数，由已知得到二者含α，β的式子，经过整理后得到α与β之间的数量关系． 【详解】（1）解：∵，， ∴， 又∵， ∴在中，， ∵平分， ∴， ∴． （2）解：∵，， ∴， 又∵， ∴在中，， ∵平分， ∴， ∴． （3）解：由（2）知，，， ∴在中，， ∵，， ∴在中，， ∵， ∴． 22．（24-25八年级上·河北邢台·阶段练习）已知在中，是边BC上的高，是的角平分线． (1)如图1，若，，则的度数为__________． (2)如图2，平分交于点，交的外角的平分线于点P，请猜想与的数量关系，并说明理由． (3)如图3，在（2）的条件下，过点作于点，若，且，请直接写出的度数． 【答案】(1) (2)，见解析 (3)． 【分析】（1）先求解，，，再结合三角形的高可得答案； （2）先证明结合，可得； （3）设，可得，，，，结合（2）可得，，求解，结合，再建立方程进一步求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∵， ∵是边上的高， ∴， ∴； 故答案为：； （2）解：．理由如下： ∵，分别平分和的外角， ∴，， ∴， ∵， ∴； （3）解：设，则， ∴，，， ∴由（2）可得，， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查的是三角形的内角和定理的应用，三角形的外角的性质，四边形的内角和定理的应用，角平分线的定义，理清各角度之间的关系是解本题的关键． 23．（24-25七年级下·福建泉州·期末）【问题情境】 如图1，是的中线，与的面积有怎样的数量关系？小陈同学在图1中作边上的高，根据中线的定义可知． 又因为高相同，所以，于是，据此可得结论：三角形的一条中线平分该三角形的面积． 【深入探究】 （1）如图2，的面积为4平方厘米，延长到点，延长到点，延长边到点，使，，，依次连接得到，求的面积． 【拓展延伸】（2）如图3．若四边形的面积为，分别延长四边形的各边，使得，，，，依次连接得到四边形． ①若，求四边形的面积；（用含的代数式表示） ②直接写出四边形的面积（用含的代数式表示）      【答案】（1）28；（2）①；② 【分析】本题考查了与三角形中线有关的面积计算、列代数式，解题的关键在于添加适当的辅助线，正确表示出三角形面积． （1）连接，，根据三角形中线有关的面积计算出、、、，再根据计算即可得出答案； （2）①连接、、、、，设的面积为、的面积为，则，结合题意求出，同理可得：，再根据计算即可得出答案；②同①的方法计算即可得出答案． 【详解】解：（1）如图，连接，， ， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）①如图，连接、、、、， ， 设的面积为、的面积为，则， ∵，， ∴，， ∵，， ∴，， ∴，， ∴， 同理可得：， ∴； ②如图，连接、、、、， ， 设的面积为、的面积为，则， ∵，， ∴，， ∵，， ∴，， ∴，， ∴， 同理可得：， ∴． 24．（2024七年级下·上海·专题练习）在中，    (1)如图1，点，分别是，上一点，若，相交于点，请说明； (2)如图2，若，分别是，上的高，请说明理由； (3)如图3，若，，的角平分线，，相交于点，则： ① ； ②若过点作于点，发现，请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)①，②见解析 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理以及角平分线的定义的运用，解决问题的关键是掌握：三角形内角和等于．解决第（3）问的难点在于将和都用表示出来． （1）根据三角形的外角性质，求得，据此进行计算即可； （2）根据，分别是，上的高，可得和是直角三角形，进而得出，据此可得； （3）根据，，的角平分线，，相交于点，可得，据此进行计算即可；②根据是的外角，得出，再根据平分，，可得中，，进而得到． 【详解】（1）证明： 如图1，连接并延长至，    是的外角， ， 同理可得，， ； （2）证明如图2，，分别是，上的高，    和是直角三角形， ， ； （3）解：①如图3，    ，，的角平分线，，相交于点， ，，， ， 故答案为：； ②是的外角， ， 平分， ， ， 中，， ． 25．（24-25七年级下·重庆沙坪坝·期中）已知在中，是边上的高，是的角平分线． (1)如图1，若，求的度数； (2)如图2，平分交于点F，交外角平分线于点P，过F作交于G，请猜想与的数量关系，并说明理由； (3)如图3，在（2）的条件下，连接，过点P作于点G，若，且，过点P作交的延长线于点H，求的度数． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3) 【分析】（1）先求解，，，再结合三角形的高可得答案； （2）先证明结合，可得，结合，从而可得结论； （3）设，可得，，，，结合（2）可得，，求解，结合，再建立方程进一步求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∵， ∵是边上的高， ∴， ∴． （2）．理由如下： ∵，分别平分和的外角， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）设， ∴， ∴，，， ∴由（2）可得， ∵平分， ∴， ∴ ∵ ∴， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴ 在四边形中，． 【点睛】本题考查的是三角形的内角和定理的应用，三角形的外角的性质，四边形的内角和定理的应用，角平分线的含义，理清各角度之间的关系是解本题的关键． 26．（24-25七年级下·黑龙江哈尔滨·期中）已知，分别是的高和角平分线，（m为常数）． (1)如图1，若，求证：；    (2)如图2，过点E作交于点F，若，求m的值；    (3)在（2）的条件下，连接交于点G，过点G作于点H，若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2)3 (3) 【分析】（1）根据三角形内角和，得到与的关系，再根据角平分线的定义得到与的关系，即可解答； （2）利用平行线的性质得到，即可得到与的关系，即可解答； （3）根据，列方程求得的值，再根据三角形内角和定理求得，即可解答． 【详解】（1）证明：若，则， ， 分别是的高和角平分线， ，， ； （2）解：根据三角形内角和定理可得， ， ， ， ， 根据， 可得，即 解得； （3）解：根据，可得， 当时，可得 可得， ． 【点睛】本题考查了三角形内角和，三角形角平分线和高有关的计算，平行线的性质，熟练利用角平分线的定义和三角形内角和进行角度的转换是解题的关键． 16 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $