专题12 等腰（等边）三角形中重要模型之等直内接等直模型与等直+高分模型（几何模型讲义）数学湘教版2024八年级上册

该初中数学讲义通过提炼“等直内接等直”“等直+高分线”两大核心模型构建知识体系，以框架图呈现模型条件、结论及证明过程，清晰梳理等腰直角三角形中线段关系、面积比例等重难点及内在逻辑联系。 讲义亮点在于真题驱动的分层练习设计，如结合河南新乡期末题、安徽六安一模题引入模型，通过动态旋转、中点构造等例题培养推理意识与几何直观，基础题巩固模型应用，综合题提升创新思维，助力教师实施精准教学，学生自主复习时可高效掌握解题方法。

专题12 等腰（等边）三角形中重要模型之等直内接等直模型与等直+高分模型 等腰直角三角形，是初中数学中重要的特殊三角形，性质非常丰富！常见常用的性质大都以“等腰三角形”、“直角三角形”、“对称”、“旋转拼接”、“勾股比”、“45°辅助线”、“半个正方形”等角度拓展延伸。今天在解题探究学习中，碰到一道以等腰直角三角形为背景的几何题，有些难度，同时获得一连串等腰直角三角形的“固定性质”，并且具有“思维连贯性”+“思路延展性”，结合常用条件，可以“伴生”解决好多等腰直角三角形的几何问题！ 1 模型来源 1 真题现模型 2 提炼模型 4 模型运用 5 模型1.等直内接等直模型 5 模型2.等直+高分线模型 10 15 等直内接等直模型主要来源于初中几何教学体系，是等腰直角三角形衍生的重要模型，近年来，一些教育工作者根据几何结构将其命名为等直内接等直模型。该模型通过在等腰直角三角形斜边中点构造新顶点形成嵌套结构，利用中点对称性与直角特性，形成多组线段相等、面积比例关系及特殊角度关系。该模型与“等直角+角分模型”结合后，可扩展至动态旋转问题的快速解题路径，是培养学生几何思维的重要工具。 ‌ （24-25八年级上·河南新乡·期末）如图所示，在中，，是边上的中线，点E是边上一动点（不与A、B重合），连结，过点P作的垂线交于点F，连结．有下列四个结论：①； ②是等腰直角三角形； ③； ④．其中一定正确的有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【详解】解：∵在中，，是边上的中线， ∴，，， ∴均为等腰直角三角形，，∴，故①正确； ∵，∴，∴， ∵，，∴， ∴，， ∴是等腰直角三角形，故②正确； ∴，故③正确； ∵，∴，当为的中位线时，满足，此时， ∵点E是边上一动点，∴无法确定是否为的中位线， ∴无法判断和的大小关系，故④错误；故选∶B （2025·安徽六安·一模）如图，在等腰直角中，，平分，交于，且于点，边上的中线交于，连接．则下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：延长，交于点H，连接， ∵为等腰直角三角形，D为中点，∴；∵平分，∴， 又∵，D为中点，∴，∴， ∴，∴，∴，故A选项正确，不符合题意； ∵，∴， 又∵，∴， 在和中，，∴，∴， ∵平分，∴，∵，∴， 在和中，，∴， ∴，∴，∴，故B选项正确，不符合题意； ∵，，∴， ∴，故C选项错误，符合题意； ∵为等腰直角三角形，D为中点，∴垂直平分，∴， ∴，∴， ∵，∴，∴， ∵，∴，∴是等腰直角三角形， ∴，∴，∴，故D选项正确，不符合题意；故选：C． 1）等直内接等直模型 条件：已知如图，等腰直角三角形ABC，∠BAC=90°，P为底边BC的中点，且∠EPF=90°。 结论：①PE=PF；②PEF为等腰直角三角形（由①②推得）；③AE=FB或CE=AF；④； ⑤；⑥。 （注意题干中的条件：∠EPF=90°，可以和结论③调换，其他结果依然可以证明的哦！） 证明：∵等腰直角三角形ABC，∠BAC=90°，点是的中点 同理可得：， ，∵AB=AC，∴AE=FB； 又是直角，是等腰直角三角形，同理：易证是等腰直角三角形。 ∴AE+AF=FB+AF=AB，∴。 ，∴SAEPF=SAEP+SAPF=SAEP+SCPE=SAPC，∴。 ∵AE=FB，CE=AF，∠BAC=90°；∴ 2）等直+高分线模型 条件：如图，中，，于，平分，且于，与相交于点，是边的中点，连接与相交于点． 结论：①；②；③是等腰三角形；④；⑤． 证明：，，， ，，， ，，，， 在和中，，． 平分，， ∵，，，，， ，，，， ，，， ，是等腰三角形．，，， 平分，点到的距离等于点到的距离，， ∵，∴，∵三角形BDC是等腰直角三角形，∴。 模型1.等直内接等直模型 例1（24-25八年级下·陕西宝鸡·期中）如图，等腰直角三角形，斜边，是中点，点为边上一动点，直线绕点逆时针旋转交于点，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了等腰直角三角形，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是正确作出辅助线． 根据已知条件，做辅助线构建全等三角形，由全等三角形的性质将问题转化为求线段的长度，由等腰直角三角形的性质求解即可． 【详解】解：如图，连接， ∵是等腰直角三角形，斜边，是中点， ∴，，，， 由旋转的性质可得，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 故选：． 例2（24-25七年级上·陕西西安·期中）【问题情境】如图（1），已知为等腰直角三角形，，为边上的高，，则________． 【深入探究】如图（2），已知和为等腰直角三角形，为边上的高，在射线上，将绕点D旋转一定角度，若边与交于点M，边与交于点N，请说明四边形与面积关系，并证明． 【拓展延伸】如图（3），在中，，，，D为斜边上一动点，以为腰，A为直角顶点构造等腰直角三角形，连接，求的面积最大值． 【答案】（1）5（2）（3） 【分析】本题考查等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握相关判定和性质，是解题的关键： （1）根据三线合一，推出为等腰直角三角形，进而得到即可； （2）证明，得到，进而推出四边形的面积等于即可； （3）证明，得到，推出为直角三角形，设，则，利用三角形的面积公式和完全平方的非负性，求出最大值即可． 【详解】解：（1）∵为等腰直角三角形，，为边上的高，， ∴，， ∴为等腰直角三角形， ∴； （2）∵和为等腰直角三角形，为边上的高， ∴，， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）∵，， ∴， 由题意可知：， ∴， 又∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴， 设，则：， ∴， ∵， ∴， ∴的面积最大值为． 例3（25-26八年级上·浙江温州·期中）学完等腰直角三角形后，小慧归纳了等腰直角三角形的两种常见题型的特征和解法． 题型①：斜中和三线合一的组合．已知特点：等腰直角三角形斜边中点：图形特征：如图1，解题方法是连结斜边中线． 题型②：“K”型全等．已知特点：如图2，，；图形特征：如图2，解题方法是构造内“K”或外“K”全等，或者一内一外的“K”型全等． 请借鉴以上方法，解决下列问题： (1)如图3，在中，，点为中点，点在边上，连结，作交于点，连结，若，则______；______． (2)如图4，在中，，，点是边上一点，，连结，将绕点逆时针旋转到处，连结，求的长． 【答案】(1)；． (2) 【分析】（1）连接，证明，由全等三角形的性质得出，，再利用勾股定理求解即可． （2）过点E作，交的延长线于点K，由旋转的性质得出，，在证明，由全等三角形的性质得出，，再利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：连接， ∵在中，，点为中点， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， 在中， 即， ∴， 在中，， 即， 解得， 故答案为：；． （2）解：过点E作，交的延长线于点K， 由旋转的性质可知：，， ∴， 又∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， 在中，， ∴， ∴， ∴， 在中， ． 【点睛】本题主要考查了等腰直角三角形的性质，直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，全等三角形的判定和性质，旋转的性质，勾股定理等知识，掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 例4（25-26八年级上·江苏·月考）已知在中，，D为的中点． (1)如图，E、F分别是上的动点，且，求证：为等腰直角三角形； (2)在（1）的条件下，四边形的面积是否变化，证明你的结论； (3)若E、F分别为延长线上的点，仍有，其他条件不变，那么是否仍为等腰直角三角形？证明你的结论． 【答案】(1)见解析 (2)四边形面积不变．见解析 (3)仍为等腰直角三角形．见解析 【分析】本题综合考查了等腰三角形的性质及判定、全等三角形的判定和性质等知识，难度较大． （1）连接，可通过证和全等来求本题的结论． （2）可将四边形的面积分成和的面积和求解，由（1）证得和全等，因此四边形的面积可转化为的面积，由此得证． （3）与（1）题的思路和解法一样． 【详解】（1）证明：连接 ∵，D为中点 ∴，平分，，， ∴， ∴均为等腰直角三角形， ∴， 在和中， ∴ ∴ ∵ ∴ 即： ∴为等腰直角三角形； （2）解：四边形面积不变． 理由：∵由（1）可知， ∴， 而， ∵D为的中点， ∴， ∵面积不变， ∴不会发生变化； （3）解：仍为等腰直角三角形． 理由：连接， ∵，D为中点 ∴，平分，，， ∴， ∴均为等腰直角三角形，， ∴， 在和中， ∴ ∴ ∵ ∴ 即： ∴为等腰直角三角形． 例5（24-25七年级下·四川成都·期末）如图1，在中，若，．求边上的中线的取值范围．某同学是这样思考的： (1)延长至点E，使，连接．利用全等将边转化到，在中利用三角形三边关系即可求出中线的取值范围．在这个过程中小聪同学证三角形全等，用到的全等判定方法是 ．中线的取值范围是 ． (2)问题解决：如图2 ，在中，点D是边的中点，点M在边上 ，点N在边上，若．求证：． (3)问题拓展： 如图3 ，在中，点D是边的中点，分别以，为直角边向外作等腰直角三角形和等腰直角三角形，其中，连接，探索与的数量关系和位置关系，并说明理由． 【答案】(1)； (2)见解析 (3)，理由见解析 【分析】（1）由证明得出，在中，由三角形的三边关系即可得出结论； （2）延长至点，使，连接、，同（1）得：，由全等三角形的性质得出，由线段垂直平分线的性质得出，在中，由三角形的三边关系即可得出结论； （3）延长至，使，连接，由（1）得：，由全等三角形的性质得出，，证出，证明得出，，则．延长交于，证出，得出． 【详解】（1）解：延长至点E，使得，连接， 是边上的中线， ， 在和中， ， ， ， 在中，由三角形的三边关系得：， ，即， ， ， ； 故答案为：；； （2）证明：延长至点，使，连接、，如图2所示： 同（1）得：， ，， ， ， 在中，由三角形的三边关系得：， ； （3）解：，，理由如下：      延长至，使，连接，如图3所示： 由（1）得：， ，， ， ， 即， ， ， 和是等腰直角三角形， ，， ， 在和中， ， ， ，， ． 延长交于， ， ， ， ， ． 【点睛】此题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质、三角形的三边关系、线段垂直平分线的性质、等腰直角三角形的性质、角的关系等知识；通过作辅助线证明三角形全等是解决问题的关键． 模型2.等直+高分线模型 例1（25-26八年级上·四川宜宾·期中）如图，在等腰中，，平分，交边于点，过点作，交延长线于点，连接．下列说法：①；②；③；④．其中说法正确的有（    ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④ 【答案】D 【分析】本题考查了角平分线的性质，等腰三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，角平分线的判定，直角三角形斜边中线的性质等知识．利用等角的余角相等证明①正确；延长和相交于点，证明，推出，再证明，得到，可证明②正确；利用直角三角形斜边中线的性质可判断④正确；过点作于点，作于点，利用等积法证明，可推出是的角平分线，据此可判断③正确． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴，①正确； 延长和相交于点， ∵平分，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴，即，②正确； ∵，， ∴，，④正确； 过点作于点，作于点， ∵， ∴，， ∴， ∴是的角平分线， ∵， ∴，③正确； 综上，①②③④均正确， 故选：D． 例2（24-25九年级上·山东青岛·期末）在探究图形变化规律的过程中，结合数学知识之间的内在联系，通过类比、迁移，可以获得宝贵的数学经验．    【探究1】 如图1，和均为等腰直角三角形，，连接，，且点B，E，F在同一条直线上，则 ； 【探究2】 如图2，和均为等腰直角三角形，，连接，，延长交于点D，则 ． 【探究3】 如图3，和均为等腰三角形，，，连接，，延长交于点D，若，则 （用含m的式子表示）． 【探究4】 如图4，和均为等腰三角形，，，连接，，延长交的延长线于点D，若，则 ． 【答案】探究1：90；探究2：90；探究3：m；探究4：60 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，三角形内角和定理： （1）证明，得出，再由三角形内角和定理即可得出答案； （2）证明，得出，即可得出答案； （3）证明，得出，即可得出答案； （4）证明，得出，即可得出答案． 【详解】探究1 解：∵， ∴，即， 在和中， ∴， ∴， ∴， 故答案为：90； 探究2：∵， ∴，即， 在和中， ∴， ∴， ∴， 故答案为：90； 探究3：同（2）可得， ∴， ∴ ， 故答案为：m； 探究4：∵， ∴，即， 在和中， ∴， ∴， ∴， 故答案为：60． 例3（24-25八年级上·辽宁葫芦岛·期末）【提出问题】 （1）数学课上，张老师提出如下问题：如图1，在中，，．且，点在的延长线上，，连接．求证：． ①如图2，“勤学”小组的同学从已知条件出发，给出如下解题思路：过点作交的延长线于点，则，进而得到是等腰直角三角形，最后得出结论． ②如图3，“善思”小组的同学从结论出发，给出如下解题思路：在上截取线段．使，连接，则是等腰直角三角形，得到，再证明，最后得出结论． 请你选择一组同学的解题思路，写出证明过程． 【发现问题】 （2）张老师发现两组同学在解决问题的过程中都是构造了三角形全等，进而实现了边角之间的转化．为了帮助学生提高逻辑推理的能力，张老师将图形进行了变换； 如图4，在中，，，为上一点，，垂足为，若，求的长； 【解决问题】 （3）如图5，四边形中，，，，的面积为6，求的面积．    【答案】（1）见解析；（2）；（3）2 【分析】本题是三角形综合题，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键． （1）“勤学”小组：过点作交的延长线于点，则，进而得到是等腰直角三角形，最后得出结论； “善思”小组：在上截取线段，使，连接，则是等腰直角三角形，得到，再证明，最后得出结论； （2）过点作垂足为，证明，推出，据此求解即可； （3）过点作，垂足为；过点作垂足为；证明，推出，证明是等腰直角三角形，据此求解即可． 【详解】（1）证明：“勤学”小组：过点作交的延长线于点， ∵，， ∴，． ∴． 在和中 ， ∴． ∴，． ∴， ∴． ∴是等腰直角三角形． ∴． ∴． “善思”小组：在上截取线段， ∵， 是等腰直角三角形． ∴． ∴． ∵，， ∴． ∵，， ∴，． ∴． ∵， ∴． ∴． （2）证明：过点作垂足为， ∵，， ∴，． ∴． 在和中， ， ∴． ∴． 在中，，且，， ∴． ∴； （3）过点作，垂足为；过点作垂足为； ∵，， ∴． ∵，， ∴，． ∴． ∵， ∴． ∴． ∵的面积为6，， ∴． ∴． 在中，， ∴是等腰直角三角形． ∴． ∴． ∴． ∴的面积为：． 例4（24-25八年级上·河南郑州·月考）解答下列问题 (1)问题发现与探究：如图1，和均为等腰直角三角形，，点A、D、E在同一直线上，于点M，连接，则： ①线段、之间的大小关系是__________，___________°． ②求证：． (2)问题拓展与应用：若为等腰直角三角形，，过点A作直线，在直线上取点D，，连接，，，直接写出点C到直线的距离． 【答案】(1)①，90°；②见解析 (2)或 【分析】（1）①根据等腰直角三角形的性质得到，，由，得到，证得，根据全等三角形的性质得到，，根据邻补角的定义得到即可得到结论； ②根据等腰直角三角形的性质即可得到结论； （2）如图2，过C作于H，交AD于E，于是得到是等腰直角三角形，由（1）知，，，根据勾股定理得到，，由等腰直角三角形的性质即可得到结论． 【详解】（1）①解：∵和均为等腰直角三角形 ∴， ∵ ∴ 在与中 ∴ ∴， ∵ ∴ ∴ ∴ 故答案为：90； ②证明：在等腰直角三角形中，为斜边上的高 ∴ ∴ ∵ ∴ （2）解：如图2，过C作于H，交AD于E，则是等腰直角三角形，由（1）知，，， ∵ ∴ ∴ ∵是等腰直角三角形 ∴ 如图3所示，过C作于H，交AD于E，则是等腰直角三角形，由（1）知，，， ∵ ∴ ∴ ∵是等腰直角三角形 ∴ ∴点C到直线的距离是或． 【点睛】本题属于三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定方法和性质，等腰直角三角形的性质和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件． 例5（25-26八年级上·江苏泰州·月考）如图，是等腰直角三角形，，为的平分线．若点到直线的距离为3，则的长为 ． 【答案】6 【分析】本题主要考查等腰直角三角形性质、角平分线性质及全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定条件和利用角的关系推导全等是解题关键． 延长、交于点F，利用角平分线性质和全等三角形证明，得出的长度，再通过角度关系证明三角形全等，从而得到． 【详解】解：延长、交于点F， 平分，，， ，， ， ， ，. 是等腰直角三角形，， ， 又∵， ， 又∵，， ， ． 故答案为：6． 1．（25-26八年级上·重庆·月考）如图，和均为等腰直角三角形，，点、、在同一直线上，于点，连接，若，则的长为（    ） A．7 B．6 C．5 D．4 【答案】A 【分析】利用等腰直角三角形性质找全等条件，用SAS证，得；由等腰直角三角形三线合一求，最后求出即可．本题考查三角形全等的判定与性质、等腰直角三角形的性质的应用． 【详解】解：∵， ∴， 即， 在和中，， ， ， ∵为等腰直角三角形， ， ∵点在同一直线上， ， ， ， ， ， ． 故选：A． 2．（25-26八年级上·湖北随州·期中）如图，已知，，，直角的顶点是的中点，两边，分别交于点、．给出以下四个结论：①；②；③是等腰直角三角形；④，上述结论始终正确的有（    ）个． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质等知识，证明是解题的关键． 由，，得，因为直角的顶点是的中点，所以，，可证明，则，，所以是等腰直角三角形，可判断①、③正确；由，可推导出，可判断④正确；由，得，因为，所以，则，所以，可判断②错误，于是得到问题的答案． 【详解】解：如图，连接， ，， ， 直角的顶点是的中点， ，，， ，， ， 在和中， ， ， ，， 是等腰直角三角形， 故①、③正确； ，且， ， 故④正确； ， ， 点不与，重合 ， ， ，， ， ， 故②错误， 综上，①③④正确，共3个． 故选：C． 3．（24-25九年级下·重庆大足·月考）如图：在等腰直角三角形中，，点是斜边上的中点，点、分别为，上的动点，始终有．若，，的面积为（　　） A． B．60 C．30 D． 【答案】A 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理，连接，由等腰直角三角形的性质可得，，证明，，，进而推出为等腰直角三角形，为等腰直角三角形，再由勾股定理求出即可得解． 【详解】解：如图，连接， ∵在等腰直角三角形中，，点是斜边上的中点， ∴，，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴，为等腰直角三角形， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴的面积为， 故选：A． 4．（24-25七年级下·山东济南·月考）如图，和均为等腰直角三角形，且，点A、D、E在同一条直线上，平分，连接．以下结论：①；②；③；④．正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】对于①，利用全等三角形的判定，可证，即可判断结果；对于②，利用等腰三角形的三线合一性质，即可判断结果；对于③，利用等腰三角形的三线合一性质和直角三角形的性质，可得，进一步推理即可判断结果；对于④，先证明，然后利用同底等高的两个三角形的面积相等，可知，进一步推理可知判断结果． 【详解】和均为等腰直角三角形， ，，， ， ，， 所以①正确， 为等腰直角三角形，平分， ， 所以②正确， ，， ， ， ， ， 所以③正确， 点A、D、E在同一条直线上，和均为等腰直角三角形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 所以④正确， 故选：D． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，等腰三角形的三线合一性质，证明是解答本题的关键． 5．（25-26九年级上·黑龙江·期中）如图，在中，，，是的中点，，当在内绕顶点旋转时，两边，分别交，于点，．下列结论：①；②；③是等腰直角三角形；④；⑤．其中结论正确的个数为（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定、等腰直角三角形的性质和判定，勾股定理的应用，熟练掌握三角形全等的性质和判定是关键． 在和中，根据，，，证明，可知①②符合题意；根据①可得是等腰直角三角形，故③符合题意；④根据全等三角形面积相等得：，利用割补法得：，故④符合题意；⑤随着点E的变化而变化，只有当点E为的中点时，，在其它位置时，故⑤不符合题意． 【详解】解：∵，P是的中点，， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴，；故①②符合题意； ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形，故③符合题意； ∵， ∴， 又∵是的中点， ∴ ∴，故④符合题意； 由等腰直角三角形的性质，， ∴随着点E的变化而变化，只有当点E为的中点时，， 在其它位置时，故⑤不符合题意； 综上所述，正确的结论有：①②③④ 故选：C 6．（24-25八年级上·全国·单元测试）如图，在中，，，点为的中点，直角绕点旋转，，分别与边，交于，两点，下列结论：①是等腰直角三角形；②；③；④，其中正确结论是（   ） A．①②④ B．②③④ C．①②③ D．①②③④ 【答案】C 【分析】根据等腰直角三角形性质，三角形全等的判定和性质，三角形的存在条件解答即可． 本题考查了等腰直角三角形性质，三角形全等的判定和性质，三角形的存在条件，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】解：∵，，点为的中点，， ∴，，， ∴，， ∴ ∴， 故③正确； ∴，， ∴是等腰直角三角形， 故①正确； ∴， ∴， 故②正确； ∵ ∴， 故④错误． 故选：C． 7．（24-25八年级上·辽宁鞍山·期中）如图，在等腰直角三角形中，，，F为边的中点，点D，E分别在，边上运动，且保持，连接，，．在此运动变化的过程中，下列结论：是等腰直角三角形；四边形的面积保持不变；．其中正确的是 ． 【答案】 【分析】本题考查主要考查了全等三角形的判定及性质、等腰直角三角形的判定和三角形的三边关系，掌握构造全等三角形的方法是解决的关键．连接，利用可证，从而得出，，从而求出，即可判断①；根据全等三角形的性质可得，从而得出四边形的面积为，从而判断②；延长到使，连接，证出和，最后根据三角形的三边关系即可判断③． 【详解】解：如图，连接， ，为的中点， ，， ， ， ， 又， ， ，， ， ， ， 是等腰直角三角形，①正确； ， ， 四边形的面积为， ， 四边形的面积为16，为定值，②正确； 延长到使，连接， ，，， ， ， ， ， ， 在中， ， ，③正确； 综上，正确的有：． 故答案为：． 8．（24-25七年级下·四川达州·月考）如图，是等腰直角三角形，，为的平分线．若点到直线的距离为，则的长为 ． 【答案】 【分析】延长、交于点F，利用角平分线性质和全等三角形证明，得出的长度，再通过角度关系证明三角形全等，从而得到． 【详解】解：延长AD、BC交于点F， 平分，，， ，， ， （）， ，. 是等腰直角三角形，， ， 又∵， ， 又∵，， （）， . 故答案为：4. 【点睛】本题主要考查等腰直角三角形性质、角平分线性质及全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定条件和利用角的关系推导全等是解题关键． 9．（25-26八年级上·吉林长春·期末）如图，在中，，，于点．、分别是边、上的动点，且，连接．给出下面四个结论：①；②是等腰直角三角形；③；④平分．上述结论中，所有正确结论的序号是 ． 【答案】①②③ 【分析】本题主要考查等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，熟知等腰直角三角形的性质是解题的关键． 根据等腰直角三角形的性质，证明进而得到对应边对应角相等，即可证明①正确；由对应边相等，得到，即可证明②正确；在中，利用，再进行线段转化，即可证明③正确；根据等腰三角形的性质，得到不一定成立，即可证明④不正确；最终得到结论即可． 【详解】解：对于①：∵，， ∴是等腰直角三角形， ∵， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴①正确，符合题意； 对于②：由①得：， ∴是等腰直角三角形， ∴②正确，符合题意； 对于③：∵，， ∴， 在中，， ∴， ∴③正确，符合题意； 对于④：∵是等腰直角三角形， ∴， ∵与不一定相等， ∴不一定成立， ∴平分不一定成立， ∴④不正确，不符合题意； 综上所述：所有正确结论的序号是①②③， 故答案为：①②③． 10．（25-26八年级上·山西忻州·期中）如图，和均为等腰直角三角形，，点，，在同一条直线上，为边上的高，连接．若，，则的长是 ． 【答案】14 【分析】本题考查三角形全等的判定与性质、等腰直角三角形的性质的应用．利用等腰直角三角形性质找全等条件，用证明，得；由等腰直角三角形三线合一求，最后求出即可． 【详解】解：∵， ∴， 即， 在和中，， ， ， ∵为等腰直角三角形，为边上的高， ， ． 故答案为：14． 11．（24-25七年级下·上海宝山·期末）如图，是等腰直角三角形，，D是斜边的中点，，E、F分别是边、上，若，，则的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了等腰直角三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理，连接，由题意可得，，，证明，得出，，即可推出为等腰直角三角形，求出，由勾股定理可得，从而可得，再由三角形面积公式计算即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：如图，连接， ， ∵是等腰直角三角形，，D是斜边的中点， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴为等腰直角三角形， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 12．（24-25八年级下·广东深圳·期中）如图，在等腰直角三角形中，，，将边绕点A逆时针旋转至，连接，，若，，则线段的长度为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了旋转的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识点，正确作出辅助线、构造全等三角形成为解题的关键． 如图：过点A作于H，由“”可证可得，可求，最后运用勾股定理求解即可． 【详解】解：如图：过点A作于H， ∵将边绕点A逆时针旋转至， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴或（舍去）， ∴． 故选：C． 13．（25-26八年级上·江苏苏州·期中）如图，在直角中，，，点为中点，直角绕点旋转，，分别与边，交于，两点，下列结论：是等腰直角三角形；；；，其中正确结论是 【答案】 【分析】本题考查三角形全等的性质和判定，等腰直角三角形的性质和判定，掌握相关知识是解决问题的关键．根据等腰直角三角形的性质可得，根据同角的余角相等求出，然后利用“角边角”证明和全等，判断出正确；根据全等三角形对应边相等可得、，从而得到是等腰直角三角形，判断出正确；再求出，判断出正确；根据，利用三角形的任意两边之和大于第三边可得，判断出错误． 【详解】解：，， 是等腰直角三角形， 点为中点， ，，， ， ， ， ， ， 在和中， ， 故正确； ，， 是等腰直角三角形， 故正确； ，， ， 故正确； ， 故错误； 综上所述，正确的结论有． 故答案为：． 14．（24-25八年级下·江苏南京·月考）如图，在中，，，点D为的中点，直角绕点D旋转，分别与边交于E，F两点，下列结论：①是等腰直角三角形；②；③；④，其中正确结论是 (填序号)． 【答案】①②③ 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，旋转的性质，证明得出，，故①②正确；根据，，得出，即可判断③，由即可判断④，熟练掌握相关图形的判定与性质是解题的关键． 【详解】解：中，，点为中点， ，， ， ， ， 在与中， ， ， ，， 是等腰直角三角形，故①②正确； ，， ， ， 在和中， ， ， ，， ，， ，故③正确． ， 而与不一定相等，故④错误； 综上所述，正确结论是①②③． 故答案为：①②③． 15．（24-25八年级上·山西吕梁·期末）综合与实践 问题情境： 在数学课上，老师让同学们利用两个等腰直角三角形与研究数学问题．老师首先给出如下问题：等腰直角三角形与如图1所示放置，点A与点D重合，，，，连接，．求证． 初步探究： （1）请你解答老师给出的问题； 深入探究： （2）深思小组的同学把等腰直角三角形与按图2所示放置，点D在边上，与交于点M，与交于点N．当点D为的中点时，请你判断与有怎样的数量关系，并说明理由； 拓展延伸： （3）勤思小组的同学按照图3的方式放置两个等腰直角三角形与，在小组讨论后提出如下问题：点H是的中点，过点A，H的直线交于点G．若，，求的面积（直接写出问题的答案）． 【答案】（1）见解析 （2），理由见解析 （3）75 【分析】（1）证明，即可由全等三角形的性质得出结论； （2）连接，证明，即可由全等三角形的性质得出结论； （3）过点F作于N，过点B作交延长线于M，过点C作于P，过点E作于Q，先证明，得，，再证明，得，，然后证明得，，从而可证得 ，得到点P、Q与点G重合，所以，求得，，最后利用求解． 【详解】解：（1）∵，， 又∵，即， ∴， ，即 在与中， ， ∴， ∴． （2）， 理由：连接，如图2， ∵，，点D为的中点， ∴，，，， ∴，， ∵， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴． （3）过点F作于N，过点B作交延长线于M，过点C作于P，过点E作于Q，如图， ∵，， ∴， ∵点H是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴，， ∴， ∴点P、Q与点G重合， ∴， 设，则， ∵ ∴． 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，三角形的面积，余角的性质，此题属全等三角形综合应用题目，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． 16．（2025·山西大同·模拟预测）综合与实践课上，李老师让同学们以“等腰直角三角形的旋转”为主题开展数学活动． 数学兴趣小组将两块大小不同的等腰直角三角形和等腰直角三角形按图的方式摆放，，随后保持不动，将绕点按逆时针方向旋转，连接，延长交于点该数学兴趣小组进行如下探究，请你帮忙解答：, 【初步探究】 (1)如图1，直接写出线段和的关系：______． (2)如图2，当时，则 ______． 【深入探究】 (3)如图3，当时，连接，兴趣小组认为不仅（1）中的结论仍然成立，而且在旋转过程中,的度数不发生变化，请给出推理过程并求出的度数． 【拓展延伸】 (4)如图3，试探究线段，之间是否存在某种特定的数量关系，若存在，直接写出数量关系式；若不存在，请说明理由．      【答案】(1)； (2)； (3)见解析，； (4)存在， 【分析】（1）由条件根据三角形全等判定定理得，可证； （2）利用平行的性质．两线平行，内错角相等，结合条件易得； （3）类比上面思路，通过构建三角形全等推出，进而易得， （4）根据（3）的结论，推导出是等腰直角三角形，然后根据等腰直角三角形的性质，化简即可得到答案． 【详解】（1）由题意得， ，，， ， ，， 在中，， ， ，即， 故答案为：. （2），， ， 又， ,即， 故答案为：. （3）如图，过点作，交于点， 由（1）易知， ， ， ， 又， 易得， ， 又， ， 即； （4）存在，， 理由如下：由（3）可知，， ， 是等腰直角三角形， ， ． 【点睛】本题考查了旋转的性质、三角形全等的判定和性质，等腰直角三角形的性质，解题的关键是作出相应的辅助线以及确定全等三角形． 17．（24-25八年级上·安徽滁州·期中）已知：三角形中，，，D为的中点 (1)若点E，F分别是，的中点，则是__________三角形； (2)如图，E，F分别是，上的点，且，求证：为等腰直角三角形；    (3)若E，F分别为，延长线上的点，仍有，其他条件不变，那么，是否仍为等腰直角三角形？证明你的结论．    【答案】(1)等腰直角 (2)证明见解析 (3)仍然为等腰直角三角形，证明见解析 【分析】（1）如图所示，连接，由等腰三角形的性质得到，，由线段中点的定义得到，进而证明得到，再证明即可得到结论； （2）仿照（1）进行证明即可； （3）如图所示，连接，由等腰三角形的性质得到，，则，证明得到，再证明即可得到结论． 【详解】（1）解：如图所示，连接， ∵，D为的中点，    ∴，， ∴， ∵点E，F分别是，的中点， ∴， ∴． ∴． ∴． ∴为等腰直角三角形． 故答案为：等腰直角； （2）证明：如图所示，连接， ∵，D为的中点，    ∴，， ∴， ∵， ∴． ∴． ∴． ∴为等腰直角三角形； （3）解：仍然为等腰直角三角形，证明如下： 如图所示，连接，    ∵∵，D为的中点， ∴，， ∴， ∴， 又∵， ∴ ∴， ∴， ∴仍为等腰直角三角形． 【点睛】本题主要考查了等腰直角三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． 18．（24-25九年级上·河北保定·月考）已知：如图中，，，D是斜边BC的中点，点P是线段AB上的一动点（不与线段端点重合），线段AC上存在一点Q，使．    (1)求证：为等腰直角三角形； (2)求证： (3)如果点P运动到AB的延长线上，点Q在射线CA上且保持，还仍然是等腰直角三角形吗？请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】（1）由可证，可得，，从而得到结论； （2）由全等三角形的性质可得，由面积的和差关系可得结论； （3）由可证，可得，从而得到结论． 【详解】（1）证明：如图，连接，    ∵，，D是斜边BC的中点， ∴， ， ， 在和中， ∴ ∴，， ∵， ∴，即， ∴为等腰直角三角形． （2）∵， ∴， ∵ ， ∴． （3）仍然是等腰直角三角形，理由如下： 如图，连接，    ∵，，D是斜边BC的中点， ∴， ， ， ∴, ∵， ∴，即 在和中， ∴ ∴， ∴为等腰直角三角形． 【点睛】本题考查的是全等三角形的判定及性质，等腰直角三角形的证明，熟练掌握证明三角形全等的方法是解决本题的关键． 19．（24-25八年级上·内蒙古赤峰·期中）已知：如图△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，D是斜边BC的中点，E，F分别在线段AB，AC上，且∠EDF＝90° (1)求证：△DEF为等腰直角三角形； (2)求证：； (3)如果点E运动到AB的延长线上，F在射线CA上且保持∠EDF＝90°，△DEF还仍然是等腰直角三角形吗？请画图说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)仍然是等腰直角三角形，理由见解析 【分析】（1）连接AD，设∠DAC=∠1，∠ADF=∠2，∠ADE=∠3，∠BDE=∠4，证明△BDE≌△ADF即可求证； （2）结合（1）中△BDE≌△ADF，再根据D是斜边BC的中点，可得，即有，结论即可求证； （3）连接AD，设∠DAC=∠1，∠ADF=∠2，∠BDF=∠3，∠BDE=∠4，证明△BDE≌△ADF（ASA），即可求证． 【详解】（1）证明：如图，连接AD，设∠DAC=∠1，∠ADF=∠2，∠ADE=∠3，∠BDE=∠4， ∵∠A＝90°，AB＝AC，D是斜边BC的中点， ∴AD⊥BC，AD＝BD，∠1＝45°， ∴∠1＝∠B＝45°， ∵∠EDF＝90°， ∴∠2+∠3＝90°， 又∵∠3+∠4＝90°， ∴∠2＝∠4， 在△BDE和△ADF中，， ∴△BDE≌△ADF（ASA）， ∴DE＝DF， 又∵∠EDF＝90°， ∴△DEF为等腰直角三角形； （2）解：在（1）中已证明△BDE≌△ADF， ∴， ∵D是斜边BC的中点， ∴， ∴， ∴， 即； （3）仍然成立．如图，连接AD，设∠DAC=∠1，∠ADF=∠2，∠BDF=∠3，∠BDE=∠4， ∵∠BAC＝90°，AB＝AC，D是斜边BC的中点， ∴AD⊥BC，AD＝BD，∠1＝45°， ∵∠DAF＝180°－∠1＝180°－45°＝135°， ∠DBE＝180°－∠ABC＝180°－45°＝135°， ∴∠DAF＝∠DBE， ∵∠EDF＝90°， ∴∠3+∠4＝90°， 又∵∠2+∠3＝90°， ∴∠2＝∠4， 在△BDE和△ADF中，， ∴△BDE≌△ADF（ASA）， ∴DE＝DF， 又∵∠EDF＝90°， ∴△DEF为等腰直角三角形． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定等知识，作辅助线构造全等三角形是解答本题的关键． 20．（24-25八年级下·广东深圳·开学考试）（1）如图1，是等腰直角三角形，，为中点，，分别为，边上的点，且，在探究的形状时，程思同学是这样做的：连，证明，因此可得，同时可得：，，由此可得出线段，，三者之间满足的等量关系是：______； （2）如图2，是非等腰直角三角形，，为中点，，分别为，边上的点，且， 请问（1）中的结论是否仍然成立，请说明理由： （3）在（2）的条件下，若，，记，； ①求关于的函数关系式；②当时，的长是______．    【答案】（1）；（2）成立，理由见解析；（3）①；② 【分析】（1）连接，证，得，，再证，然后由勾股定理得，即可得出结论； （2）延长到使得，连接、，证，得，，再证，则，然后证，即可得出结论； （3）①由勾股定理得，，再证，则，即可得出结论；②如图3，当时，点与点重合，则，得，解方程即可． 【详解】解：（1）线段、、三者之间满足的等量关系是：，理由如下： 如图1，连接，   为等腰直角三角形，点为线段中点， ，，， ， ， ， ， ， ， 在与中， ， ， ，， ， ， 在中，由勾股定理可得：， ， 故答案为：； （2）（1）中的结论仍然成立，理由如下： 如图2，延长到使得，连接、，   为中点， ， ，， ， ，， ， ， ， 即， ， ，， ， ； （3）①，， ，， ， ， ， ， ， 整理得：； ②如图3，    当时，点与点重合， ， ， 解得：， ， 故答案为：． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理等知识，本题综合性强，熟练掌握等腰直角三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键，属于中考常考题型． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题12 等腰（等边）三角形中重要模型之等直内接等直模型与等直+高分模型 等腰直角三角形，是初中数学中重要的特殊三角形，性质非常丰富！常见常用的性质大都以“等腰三角形”、“直角三角形”、“对称”、“旋转拼接”、“勾股比”、“45°辅助线”、“半个正方形”等角度拓展延伸。今天在解题探究学习中，碰到一道以等腰直角三角形为背景的几何题，有些难度，同时获得一连串等腰直角三角形的“固定性质”，并且具有“思维连贯性”+“思路延展性”，结合常用条件，可以“伴生”解决好多等腰直角三角形的几何问题！ 1 模型来源 1 真题现模型 2 提炼模型 4 模型运用 5 模型1.等直内接等直模型 5 模型2.等直+高分线模型 10 15 等直内接等直模型主要来源于初中几何教学体系，是等腰直角三角形衍生的重要模型，近年来，一些教育工作者根据几何结构将其命名为等直内接等直模型。该模型通过在等腰直角三角形斜边中点构造新顶点形成嵌套结构，利用中点对称性与直角特性，形成多组线段相等、面积比例关系及特殊角度关系。该模型与“等直角+角分模型”结合后，可扩展至动态旋转问题的快速解题路径，是培养学生几何思维的重要工具。 ‌ （24-25八年级上·河南新乡·期末）如图所示，在中，，是边上的中线，点E是边上一动点（不与A、B重合），连结，过点P作的垂线交于点F，连结．有下列四个结论：①； ②是等腰直角三角形； ③； ④．其中一定正确的有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 （2025·安徽六安·一模）如图，在等腰直角中，，平分，交于，且于点，边上的中线交于，连接．则下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 1）等直内接等直模型 条件：已知如图，等腰直角三角形ABC，∠BAC=90°，P为底边BC的中点，且∠EPF=90°。 结论：①PE=PF；②PEF为等腰直角三角形（由①②推得）；③AE=FB或CE=AF；④； ⑤；⑥。 （注意题干中的条件：∠EPF=90°，可以和结论③调换，其他结果依然可以证明的哦！） 证明：∵等腰直角三角形ABC，∠BAC=90°，点是的中点 同理可得：， ，∵AB=AC，∴AE=FB； 又是直角，是等腰直角三角形，同理：易证是等腰直角三角形。 ∴AE+AF=FB+AF=AB，∴。 ，∴SAEPF=SAEP+SAPF=SAEP+SCPE=SAPC，∴。 ∵AE=FB，CE=AF，∠BAC=90°；∴ 2）等直+高分线模型 条件：如图，中，，于，平分，且于，与相交于点，是边的中点，连接与相交于点． 结论：①；②；③是等腰三角形；④；⑤． 证明：，，， ，，， ，，，， 在和中，，． 平分，， ∵，，，，， ，，，， ，，， ，是等腰三角形．，，， 平分，点到的距离等于点到的距离，， ∵，∴，∵三角形BDC是等腰直角三角形，∴。 模型1.等直内接等直模型 例1（24-25八年级下·陕西宝鸡·期中）如图，等腰直角三角形，斜边，是中点，点为边上一动点，直线绕点逆时针旋转交于点，则的值为（    ） A． B． C． D． 例2（24-25七年级上·陕西西安·期中）【问题情境】如图（1），已知为等腰直角三角形，，为边上的高，，则________． 【深入探究】如图（2），已知和为等腰直角三角形，为边上的高，在射线上，将绕点D旋转一定角度，若边与交于点M，边与交于点N，请说明四边形与面积关系，并证明． 【拓展延伸】如图（3），在中，，，，D为斜边上一动点，以为腰，A为直角顶点构造等腰直角三角形，连接，求的面积最大值． 例3（25-26八年级上·浙江温州·期中）学完等腰直角三角形后，小慧归纳了等腰直角三角形的两种常见题型的特征和解法． 题型①：斜中和三线合一的组合．已知特点：等腰直角三角形斜边中点：图形特征：如图1，解题方法是连结斜边中线． 题型②：“K”型全等．已知特点：如图2，，；图形特征：如图2，解题方法是构造内“K”或外“K”全等，或者一内一外的“K”型全等． 请借鉴以上方法，解决下列问题： (1)如图3，在中，，点为中点，点在边上，连结，作交于点，连结，若，则______；______． (2)如图4，在中，，，点是边上一点，，连结，将绕点逆时针旋转到处，连结，求的长． 例4（25-26八年级上·江苏·月考）已知在中，，D为的中点． (1)如图，E、F分别是上的动点，且，求证：为等腰直角三角形； (2)在（1）的条件下，四边形的面积是否变化，证明你的结论； (3)若E、F分别为延长线上的点，仍有，其他条件不变，那么是否仍为等腰直角三角形？证明你的结论． 例5（24-25七年级下·四川成都·期末）如图1，在中，若，．求边上的中线的取值范围．某同学是这样思考的： (1)延长至点E，使，连接．利用全等将边转化到，在中利用三角形三边关系即可求出中线的取值范围．在这个过程中小聪同学证三角形全等，用到的全等判定方法是 ．中线的取值范围是 ． (2)问题解决：如图2 ，在中，点D是边的中点，点M在边上 ，点N在边上，若．求证：． (3)问题拓展： 如图3 ，在中，点D是边的中点，分别以，为直角边向外作等腰直角三角形和等腰直角三角形，其中，连接，探索与的数量关系和位置关系，并说明理由． 模型2.等直+高分线模型 例1（25-26八年级上·四川宜宾·期中）如图，在等腰中，，平分，交边于点，过点作，交延长线于点，连接．下列说法：①；②；③；④．其中说法正确的有（    ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④ 例2（24-25九年级上·山东青岛·期末）在探究图形变化规律的过程中，结合数学知识之间的内在联系，通过类比、迁移，可以获得宝贵的数学经验．    【探究1】 如图1，和均为等腰直角三角形，，连接，，且点B，E，F在同一条直线上，则 ； 【探究2】 如图2，和均为等腰直角三角形，，连接，，延长交于点D，则 ． 【探究3】 如图3，和均为等腰三角形，，，连接，，延长交于点D，若，则 （用含m的式子表示）． 【探究4】 如图4，和均为等腰三角形，，，连接，，延长交的延长线于点D，若，则 ． 例3（24-25八年级上·辽宁葫芦岛·期末）【提出问题】 （1）数学课上，张老师提出如下问题：如图1，在中，，．且，点在的延长线上，，连接．求证：． ①如图2，“勤学”小组的同学从已知条件出发，给出如下解题思路：过点作交的延长线于点，则，进而得到是等腰直角三角形，最后得出结论． ②如图3，“善思”小组的同学从结论出发，给出如下解题思路：在上截取线段．使，连接，则是等腰直角三角形，得到，再证明，最后得出结论． 请你选择一组同学的解题思路，写出证明过程． 【发现问题】 （2）张老师发现两组同学在解决问题的过程中都是构造了三角形全等，进而实现了边角之间的转化．为了帮助学生提高逻辑推理的能力，张老师将图形进行了变换； 如图4，在中，，，为上一点，，垂足为，若，求的长； 【解决问题】 （3）如图5，四边形中，，，，的面积为6，求的面积．    例4（24-25八年级上·河南郑州·月考）解答下列问题 (1)问题发现与探究：如图1，和均为等腰直角三角形，，点A、D、E在同一直线上，于点M，连接，则： ①线段、之间的大小关系是__________，___________°． ②求证：． (2)问题拓展与应用：若为等腰直角三角形，，过点A作直线，在直线上取点D，，连接，，，直接写出点C到直线的距离． 例5（25-26八年级上·江苏泰州·月考）如图，是等腰直角三角形，，为的平分线．若点到直线的距离为3，则的长为 ． 1．（25-26八年级上·重庆·月考）如图，和均为等腰直角三角形，，点、、在同一直线上，于点，连接，若，则的长为（    ） A．7 B．6 C．5 D．4 2．（25-26八年级上·湖北随州·期中）如图，已知，，，直角的顶点是的中点，两边，分别交于点、．给出以下四个结论：①；②；③是等腰直角三角形；④，上述结论始终正确的有（    ）个． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．（24-25九年级下·重庆大足·月考）如图：在等腰直角三角形中，，点是斜边上的中点，点、分别为，上的动点，始终有．若，，的面积为（　　） A． B．60 C．30 D． 4．（24-25七年级下·山东济南·月考）如图，和均为等腰直角三角形，且，点A、D、E在同一条直线上，平分，连接．以下结论：①；②；③；④．正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．（25-26九年级上·黑龙江·期中）如图，在中，，，是的中点，，当在内绕顶点旋转时，两边，分别交，于点，．下列结论：①；②；③是等腰直角三角形；④；⑤．其中结论正确的个数为（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 6．（24-25八年级上·全国·单元测试）如图，在中，，，点为的中点，直角绕点旋转，，分别与边，交于，两点，下列结论：①是等腰直角三角形；②；③；④，其中正确结论是（   ） A．①②④ B．②③④ C．①②③ D．①②③④ 7．（24-25八年级上·辽宁鞍山·期中）如图，在等腰直角三角形中，，，F为边的中点，点D，E分别在，边上运动，且保持，连接，，．在此运动变化的过程中，下列结论：是等腰直角三角形；四边形的面积保持不变；．其中正确的是 ． 8．（24-25七年级下·四川达州·月考）如图，是等腰直角三角形，，为的平分线．若点到直线的距离为，则的长为 ． 9．（25-26八年级上·吉林长春·期末）如图，在中，，，于点．、分别是边、上的动点，且，连接．给出下面四个结论：①；②是等腰直角三角形；③；④平分．上述结论中，所有正确结论的序号是 ． 10．（25-26八年级上·山西忻州·期中）如图，和均为等腰直角三角形，，点，，在同一条直线上，为边上的高，连接．若，，则的长是 ． 11．（24-25七年级下·上海宝山·期末）如图，是等腰直角三角形，，D是斜边的中点，，E、F分别是边、上，若，，则的面积为 ． 12．（24-25八年级下·广东深圳·期中）如图，在等腰直角三角形中，，，将边绕点A逆时针旋转至，连接，，若，，则线段的长度为 ． 13．（25-26八年级上·江苏苏州·期中）如图，在直角中，，，点为中点，直角绕点旋转，，分别与边，交于，两点，下列结论：是等腰直角三角形；；；，其中正确结论是 14．（24-25八年级下·江苏南京·月考）如图，在中，，，点D为的中点，直角绕点D旋转，分别与边交于E，F两点，下列结论：①是等腰直角三角形；②；③；④，其中正确结论是 (填序号)． 15．（24-25八年级上·山西吕梁·期末）综合与实践 问题情境： 在数学课上，老师让同学们利用两个等腰直角三角形与研究数学问题．老师首先给出如下问题：等腰直角三角形与如图1所示放置，点A与点D重合，，，，连接，．求证． 初步探究： （1）请你解答老师给出的问题； 深入探究： （2）深思小组的同学把等腰直角三角形与按图2所示放置，点D在边上，与交于点M，与交于点N．当点D为的中点时，请你判断与有怎样的数量关系，并说明理由； 拓展延伸： （3）勤思小组的同学按照图3的方式放置两个等腰直角三角形与，在小组讨论后提出如下问题：点H是的中点，过点A，H的直线交于点G．若，，求的面积（直接写出问题的答案）． 16．（2025·山西大同·模拟预测）综合与实践课上，李老师让同学们以“等腰直角三角形的旋转”为主题开展数学活动． 数学兴趣小组将两块大小不同的等腰直角三角形和等腰直角三角形按图的方式摆放，，随后保持不动，将绕点按逆时针方向旋转，连接，延长交于点该数学兴趣小组进行如下探究，请你帮忙解答：, 【初步探究】 (1)如图1，直接写出线段和的关系：______． (2)如图2，当时，则 ______． 【深入探究】 (3)如图3，当时，连接，兴趣小组认为不仅（1）中的结论仍然成立，而且在旋转过程中,的度数不发生变化，请给出推理过程并求出的度数． 【拓展延伸】 (4)如图3，试探究线段，之间是否存在某种特定的数量关系，若存在，直接写出数量关系式；若不存在，请说明理由．      17．（24-25八年级上·安徽滁州·期中）已知：三角形中，，，D为的中点 (1)若点E，F分别是，的中点，则是__________三角形； (2)如图，E，F分别是，上的点，且，求证：为等腰直角三角形；    (3)若E，F分别为，延长线上的点，仍有，其他条件不变，那么，是否仍为等腰直角三角形？证明你的结论．    18．（24-25九年级上·河北保定·月考）已知：如图中，，，D是斜边BC的中点，点P是线段AB上的一动点（不与线段端点重合），线段AC上存在一点Q，使．    (1)求证：为等腰直角三角形； (2)求证： (3)如果点P运动到AB的延长线上，点Q在射线CA上且保持，还仍然是等腰直角三角形吗？请说明理由． 19．（24-25八年级上·内蒙古赤峰·期中）已知：如图△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，D是斜边BC的中点，E，F分别在线段AB，AC上，且∠EDF＝90° (1)求证：△DEF为等腰直角三角形； (2)求证：； (3)如果点E运动到AB的延长线上，F在射线CA上且保持∠EDF＝90°，△DEF还仍然是等腰直角三角形吗？请画图说明理由． 20．（24-25八年级下·广东深圳·开学考试）（1）如图1，是等腰直角三角形，，为中点，，分别为，边上的点，且，在探究的形状时，程思同学是这样做的：连，证明，因此可得，同时可得：，，由此可得出线段，，三者之间满足的等量关系是：______； （2）如图2，是非等腰直角三角形，，为中点，，分别为，边上的点，且， 请问（1）中的结论是否仍然成立，请说明理由： （3）在（2）的条件下，若，，记，； ①求关于的函数关系式；②当时，的长是______．    1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $