精品解析：江苏省南通市如皋市创新班2025-2026学年高一上学期期末数学试题

江苏省如皋市创新班2025-2026学年度高一上学期数学调研考试 创新班数学试题 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.每小题给出的四个选项中，只有项符合题目要求. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 现有从小到大排列的数据2，3，4，，5，6，7，8，9，，10，11的25百分位数为（ ） A. 4 B. C. a D. 3. 不等式的解集为，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 4. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知为奇函数，则（ ） A. 0 B. C. 8 D. 6. 如图，直角梯形，，，，分别为的中点，满足，则为（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 7. 如图，在三棱锥中，平面，，，，则三棱锥外接球的体积为（ ） A. B. C. D. 8. 把函数图象向左平移个单位，得到函数的图象，若方程在内两根分别为，则（ ） A. 2 B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，部分选对得2分，有项选错得0分. 9. 如图，在圆的内接四边形中，，下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 四边形的面积为 10. 已知复数所对应的向量分别为，，其中为坐标原点，则下列说法正确的有（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 11. 已知正方体的棱长为2，平面和平面与体对角线分别交于点，，下列说法正确的有（ ） A. 平面和平面都垂直 B. ，是线段的三等分点 C. 异面直线与所成的角为 D. 为中点，动点，则最小值为 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共15分.请把答案直接填写在答题卡相应位置上. 12. 已知，，，则的最小值为______. 13. 已知函数为偶函数，为奇函数，，则______. 14. 在锐角中，角、、的对边分别为、、，若，则的取值范围是______． 四、解答题：本题共6小题，共70分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明证明过程或演算步骤. 15. 已知函数. （1）求的周期及单调递减区间； （2）若，，求的值. 16. 已知函数的图象经过点. （1）求不等式的解集； （2）若，求在上的最小值. 17. 的内角的对边分别为.已知. （1）求； （2）求的最大值（其中为的面积）. 18. 如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，平面平面，. （1）求证：平面平面； （2）若为等边三角形，边长为2，与底面所成角为，求四棱锥的体积. 19. 已知奇函数，偶函数满足. （1）若在上恒成立，求实数的取值范围； （2）设函数，证明：有且只有一个零点，且. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 江苏省如皋市创新班2025-2026学年度高一上学期数学调研考试 创新班数学试题 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.每小题给出的四个选项中，只有项符合题目要求. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】解不等式化简集合，再利用交集的定义求解. 【详解】集合， ， 所以. 故选：C 2. 现有从小到大排列的数据2，3，4，，5，6，7，8，9，，10，11的25百分位数为（ ） A. 4 B. C. a D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据百分位数的概念求值. 【详解】该组数据共有12个数， 因为， 所以该组数据的25百分位数为第3，第4个数的平均数，为. 故选：B 3. 不等式的解集为，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先根据已知不等式的解集得到的符号及关系，再根据一元二次不等式求解方法解不等式. 【详解】因为不等式的解集为， 所以，且，所以. 所以不等式可化为， 所以或. 所以不等式的解集为. 故选：A 4. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先根据正弦函数的值确定最小，再利用对数的运算性质结合对数函数的单调性比较与的大小. 【详解】因为，，，所以最小； 又，所以. 故选：D 5. 已知为奇函数，则（ ） A. 0 B. C. 8 D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据函数为奇函数，求的值，再根据函数的解析式求. 【详解】当时，， 由得：恒成立， 所以. 此时当时，， 所以. 又 所以时，函数满足，对任意，恒成立.所以为奇函数. 此时. 故选：C 6. 如图，直角梯形，，，，分别为的中点，满足，则为（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】以为原点建立平面直角坐标系，利用平面向量数量积的坐标运算求. 【详解】以为原点建立平面直角坐标系，如图： 设（），则，所以，， 所以，， 由，又，所以. 所以. 故选：B 7. 如图，在三棱锥中，平面，，，，则三棱锥外接球的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，利用正弦定理求出外接圆半径，再利用几何体的结构特征求出球心到平面的距离，并求出球半径，进而求出球的体积. 【详解】在三棱锥中，，由正弦定理得外接圆半径， 由平面，三棱锥外接球球心在线段的中垂面上， 得该中垂面平行于平面，因此球心到平面的距离为， 则该外接球半径，所以三棱锥外接球的体积为. 故选：D 8. 把函数图象向左平移个单位，得到函数的图象，若方程在内两根分别为，则（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先确定函数的解析式，再根据的对称性求，即可得的值. 【详解】因为 . 其中为锐角，且. 当. 因为方程在内两根分别为， 根据正弦函数的对称性可得， 所以. 所以. 故选：A 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，部分选对得2分，有项选错得0分. 9. 如图，在圆的内接四边形中，，下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 四边形的面积为 【答案】AD 【解析】 【分析】连接，利用圆内接四边形对角互补及余弦定理求出判断A；利用数量积的定义、余弦定理、三角形面积公式求解判断BCD. 【详解】在圆内接四边形中，连接，，， 对于A，由余弦定理得，， 即，解得，而，则，A正确； 对于B，，B错误； 对于C，，解得，C错误； 对于D，四边形的面积，D正确. 故选：AD 10. 已知复数所对应的向量分别为，，其中为坐标原点，则下列说法正确的有（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】CD 【解析】 【分析】举例说明AB是错误的；根据复数模的概念，判断C的真假；利用复数乘法的运算法则，判断D的真假. 【详解】对A：设，，则，但复数，不能比较大小，故不成立，所以A错误； 对B：取，，则，，但，所以不成立，所以B错误； 对C：由，所以，故C正确； 对D：设，，. . 由，当时，有，代入得： . 结合，所以， 所以，所以； 当时，或. 若，则，所以，所以，可得； 若，则，因为，，所以，可得. 综上可知，D正确. 故选：CD 11. 已知正方体的棱长为2，平面和平面与体对角线分别交于点，，下列说法正确的有（ ） A. 平面和平面都垂直 B. ，是线段的三等分点 C. 异面直线与所成的角为 D. 为中点，动点，则最小值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据线面垂直的判定定理可判断A的真假；利用体积法求的长度可判断B的真假；作出异面直线所成的角，求角的大小，可判断C的真假；将空间问题转化为平面问题，利用两点之间线段最短，可判断D的真假. 【详解】对A：如图， 连接，因为底面为正方形，所以， 因为为正方体，所以平面，平面，所以， 又平面，，所以平面. 又平面，所以， 同理可得. 因为平面，，所以平面. 同理，平面，故A正确； 对B：由A选项可知，平面， 由， 又，， 所以. 又，所以，所以为的三等分点. 同理也是的三等分点.故B正确； 对C：因为，所以为异面直线与所成的角. 因为为等边三角形，所以，所以C错误； 对D：如图， 将平面展开，与平面在同一平面上， 则当点三点共线时，的值最小，为，故D正确. 故选：ABD 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共15分.请把答案直接填写在答题卡相应位置上. 12. 已知，，，则的最小值为______. 【答案】## 【解析】 【分析】利用基本不等式求和的最小值. 【详解】因为 ， 当且仅当，又，，，即时取等号. 故答案为： 13. 已知函数为偶函数，为奇函数，，则______. 【答案】 【解析】 【分析】根据条件分析函数的对称性和周期性，再根据性质求函数值. 【详解】因为函数为偶函数，所以，所以函数的图象关于直线对称，所以， 又因为为奇函数，所以，所以函数的图象关于点中心对称，所以. 所以， 设，所以. 所以，所以函数是以4为周期的周期函数. 在中，令得. 在中，令得. 又，， 所以. 故答案为：2 14. 在锐角中，角、、的对边分别为、、，若，则的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】利用正弦定理，诱导公式及和差化积公式得到，从而A=2B，求出，根据锐角三角形得到的范围，从而求出的范围. 【详解】由正弦定理得：， 由二倍角公式得： ， ， 由和差化积公式可得：， 即， 因为为锐角三角形，所以，， 所以， 所以或（舍去）， 即A=2B， ， 由正弦定理可得：， 由题意得：，解得：， ，解得： 又 综上： , 所以， 则的取值范围是 故答案为： 【点睛】三角形中求解边长取值范围问题，通常找到边与某个角的关系，利用角的范围求解边的取值范围. 四、解答题：本题共6小题，共70分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明证明过程或演算步骤. 15. 已知函数. （1）求的周期及单调递减区间； （2）若，，求的值. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）先进行三角恒等变换将函数化成的形式，再研究函数的性质. （2）利用两角差的正弦公式求值. 【小问1详解】 因为 所以函数的周期为， 由， 故函数单调递减区间为. 【小问2详解】 ，所以. 因为，所以，. 若，与矛盾，舍去， 所以，， 故. . 16. 已知函数的图象经过点. （1）求不等式的解集； （2）若，求在上的最小值. 【答案】（1） （2）答案见解析 【解析】 【分析】（1）先根据函数图象过点求的值，再根据对数函数的单调性解不等式. （2）利用换元法，结合二次函数在给定区间上的最值问题，分情况讨论求的最小值. 【小问1详解】 由题意得的图象经过点， 则，可得，解得， 此时，由对数函数性质得在上单调递增， 若求，则求， 此不等式可转化为，解得， 故所求不等式的解集为. 【小问2详解】 由题意得， 令， 则，对称轴， ①当，即时，，即时，； ②当，即时，，即时，， 综上：当时，；当时，. 17. 的内角的对边分别为.已知. （1）求； （2）求的最大值（其中为的面积）. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理，结合三角形内角和定理，可求角. （2）根据三角形的面积公式及余弦定理化简，再结合基本不等式求其最大值. 【小问1详解】 因为，结合正弦定理可化简得， 又为三角形内角，所以， 所以， 因为，则， 所以，故. 【小问2详解】 由面积公式及余弦定理可得， 又，当且仅当时，取等号， 故最大值为. 18. 如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，平面平面，. （1）求证：平面平面； （2）若为等边三角形，边长为2，与底面所成角为，求四棱锥的体积. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）先证明平面，再根据面面垂直的判定定理证明面面垂直. （2）根据锥体的体积公式求锥体体积. 【小问1详解】 如图： 取中点，连接，， 又平面平面，平面平面， ，又 又，平面平面. 【小问2详解】 取中点，连接，连接，同理可证， 则为与底面所成角的平面角. 为等边三角形，边长为2，， 在中，解得，在中，解得. 则. ， . 19. 已知奇函数，偶函数满足. （1）若在上恒成立，求实数的取值范围； （2）设函数，证明：有且只有一个零点，且. 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）先根据函数奇偶性的性质求函数的解析式，再利用分离参数法得到在上恒成立，结合换元法和函数的单调性求的最小值即可. （2）先利用函数零点存在性的判定定理结合函数的单调性判断函数零点所在的区间，再结合函数的单调性求函数值的取值范围. 【小问1详解】 又因为 解得，. 即为：， 令， 则，在上为单调递增函数， 故当时取得最小值为0，所以实数的取值范围为. 【小问2详解】 ①当时，，， 所以，此段区间上无零点； ②当时，单调递增，单调递减，故单调递增， ， 又因为函数在区间连续， 故函数存在唯一零点， 且，使得，. ， 因为函数在上单调递增， 所以当时，有，所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $