精品解析：山东省德州市2025-2026学年高二上学期校际教研诊断(七)数学试题

2024级校际教研诊断（七）数学学科试题 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，测试时间120分钟． 注意事项： 选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答案涂在答题卡上，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在测试卷上． 第Ⅰ卷 选择题（58分） 一.选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）． 1. 已知直线与垂直，则实数（　　） A. 3 B. C. D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】利用两条直线垂直列式计算即得. 【详解】由直线与垂直，得， 所以. 故选：C 2. 抛物线的焦点坐标是 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】试题分析：根据抛物线的焦点坐标为可知，抛物线即的焦点坐标为，故选D. 考点：抛物线的标准方程及其几何性质. 3. 在平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长均为，且，则对角线长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用空间向量将线段的长度转化为求解向量的模长度，结合条件，利用数量积的定义及运算，即可求解. 【详解】如图，由题知，， 又因为是平行六面体，则， 所以，则 ， ∴，即， 故选：A. 4. 在的展开式中，的系数为（ ） A. 90 B. 60 C. 30 D. 20 【答案】A 【解析】 【分析】根据这一项的生成过程，即可求解. 【详解】要生成这一项，相当于从5个含有的括号中，2个取出，1个取出，2个取出， 即，所以的系数为. 故选：A 5. 为解决“卡脖子”问题，实现7nm芯片国产化，让中国制造走向世界，某公司两个研发小组同时设计生产出了相同规格、相同数量的芯片，经初步鉴定：组生产的芯片合格率为，B组生产的芯片合格率为，现公司决定再将这些产品送专家鉴定后量产，专家从这些芯片中随机取一个，则该芯片合格的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，利用全概率公式即可得解. 【详解】设事件“从组中抽取芯片”，事件“抽到合格的芯片”， 则，，， 则. 故选：C. 6. 由数字1，2，3组成的三位数中，至少有两位数字相同的三位数的个数为（ ） A. 21 B. 18 C. 15 D. 12 【答案】A 【解析】 【分析】根据已知，先利用分类加法计数原理进行分类，再利用组合数以及有限制的排数问题列举求解. 【详解】由题可知，至少有两位数字相同的三位数分为两种情况， 有三位数字相同的三位数有：111，222，333共3个； 有两位数字相同的三位数的个数为, 所以，由数字1，2，3组成的三位数中，至少有两位数字相同的三位数的个数为21，故B，C，D错误. 故选：A. 7. 已知圆C：，直线l：．则直线l被圆C截得的弦长的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题意可证直线l恒过的定点在圆内，当时直线l被圆C截得的弦长最小，结合勾股定理计算即可求解. 【详解】直线l：， 令，解得，所以直线l恒过定点， 圆C：的圆心为，半径为， 且，即P在圆内， 当时，圆心C到直线l的距离最大为， 此时，直线l被圆C截得的弦长最小，最小值为． 故选：A． 8. 已知点不在抛物线上，抛物线的焦点为若对于抛物线上的一点，的最小值为，则的值等于（ ） A. B. C. 或 D. 【答案】B 【解析】 【分析】分两种情况，若点在抛物线的开口外部，最小值为可求得；若点在抛物线的开口内部，则利用抛物线的定义转化求最小值，最小值为，最后再检验值即可. 【详解】①如图，若点在抛物线的开口外部，即，即， 则当点三点共线时，有最小值，最小值为， 因为，则，解得，符合题意； ②如图，若点在抛物线的开口内部，即，即， 过点作，垂足为，其中直线为抛物线的准线， 则由抛物线的定义可知，， 所以当三点共线时，有最小值， 则，得，不符合题意， 综上所述，的值等于， 故选：B. 二.多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）． 9. 已知随机变量，则（ ） A. B. 当取最大值时， C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用二项分布的概率公式、期望、方差公式和性质逐项判断. 【详解】， 对于A：，A正确； 对于B：，由二项式系数的性质， 当时，是中的最大值，此时取得最大值，B项正确； 因为，所以， ，则，C不正确，D正确. 故选：ABD 10. 如图所示，在棱长为2的正方体中，M，N分别为棱，的中点，则下列结论正确的是（ ） A. 直线AM与平面所成角的正弦值为 B. 点B到直线AM的距离为 C. 点D到平面AMN的距离为2 D. 直线与直线BN是异面直线 【答案】AB 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，用空间向量法计算依次判断选项A、B、C、D即可. 【详解】以D为原点，分别以DA,DC,所在直线为轴建立空间直角坐标系，则 所以，由正方体性质可知平面的一个法向量，设直线与平面所成的角为，则，故A正确； ，点B到直线AM的距离为 ,故B正确； ，,平面AMN的法向量为 所以，令 则， 所以，所以点D到平面AMN的距离为 ，故C错误； 因为所以， 所以四点共面，所以直线与直线BN不是异面直线，故D错误. 故选：AB. 11. 已知双曲线的一条渐近线方程为，则（ ） A. 为C的一个焦点 B. 双曲线C的离心率为 C. 设A，B，M为C上三点且A，B关于原点对称，则MA，MB斜率存在时其乘积为 D. 过点作直线与C交于A，B两点，则满足的直线有且只有两条 【答案】BC 【解析】 【分析】根据双曲线方程求出双曲线方程，即可判断AB；对于C：设，，利用点差法求出；因为为双曲线的焦点坐标，再由双曲线的对称性判断C. 【详解】因为双曲线的一条渐近线方程为， 则，解得，所以双曲线. 对于选项AB：因为，，， 所以双曲线的焦点为、，离心率，故A错误，B正确； 对于选项C：设，，则， 可得，， 因为在双曲线上，则，两式相减得， 整理可得，故C正确； 对于选项D：过点作直线与交于两点， 因为为双曲线的焦点坐标，当直线的斜率不存在时； 当直线的斜率为时，； 所以由双曲线的对称性得，满足的直线有4条，故D错误； 故选：BC. 第Ⅱ卷 非选择题（共92分） 三.填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）． 12. 设随机变量，且，则______． 【答案】3 【解析】 【分析】根据正态分布的对称性列式计算即可求解. 【详解】由题意可得随机变量服从正态分布， 若，则，解得. 故答案为：3 13. 某4位同学排成一排准备照相时，又来了2位同学要加入，如果保持原来4位同学的相对顺序不变，则不同的加入方法种数为______． 【答案】30 【解析】 【分析】根据排列中的定序问题的处理方法计算求解. 【详解】6位同学排成一排准备照相时，共有种排法， 如果保持原来4位同学的相对顺序不变，则有种排法. 故答案为：30 14. 抛掷一枚质地均匀的正四面体骰子（四个面上分别标有数字1，2，3，4），底面的点数为1记为事件A，抛掷n次后事件A发生奇数次的概率记为，则______，______． 【答案】 ①. ## ②. 【解析】 【分析】根据次独立重复实验事件发生的概率为，根据二项分布求，构造二项式应用赋值法分别计算即可. 【详解】抛掷1次后事件A发生奇数次，只能发生1次，； 抛掷n次后事件A发生次，次，次，， 抛掷n次后事件A发生奇数次的概率记为， 当为偶数时，， 构造二项式， 当为偶数时， 令，， 令，， 两式作差得， 可得， 因为，所以. 故答案为：；. 四.解答题（本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）． 15. 已知为正实数，展开式的二项式系数和为256． （1）求展开式中二项式系数最大的项； （2）求展开式中各项系数之和； （3）若第项是有理项，求的取值集合． 【答案】（1） （2）256 （3） 【解析】 【分析】（1）展开式的二项式系数和求出n的值，再利用二项式定理求出通项，二项式系数最大的项为中间项，求解即可； （2）利用赋值法代入计算即可求得二项式系数和； （3）当为整数时为有理项，即可求解 【小问1详解】 由题知， ， 展开式中二项式系数最大的项是中间项，即第5项， 所以． 【小问2详解】 令，得． 【小问3详解】 ， 当为整数时为有理项，即， 则的取值集合． 16. 如图，在四棱锥中，底面ABCD，四边形ABCD是直角梯形，，，，点E在棱PB上． （1）证明：平面平面PBC； （2）当时，求二面角的正弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据线面垂直的性质证明，利用勾股定理证明，再根据面面垂直的判定定理即可得证； （2）以点C为原点建立空间直角坐标系，分别求出两平面的法向量，利用向量法求解即可. 【小问1详解】 因为底面ABCD，平面ABCD，所以， 四边形ABCD是直角梯形，，， 因为，，所以， 所以，所以， 又因为，平面PBC，所以平面PBC， 又平面EAC，所以平面平面PBC； 【小问2详解】 以点C为原点，CB，CA，CP所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，， 设点E的坐标为，因为，所以， 即，，，所以， 所以，， 设平面ACE的一个法向量为，则， 取，则，，得， 又因为平面PAC，所以平面PAC的一个法向量为， 又原图可知二面角为锐角，设为， 则，所以， 所以二面角的正弦值为． 17. 某商场为了促进消费，推出购物优惠活动，消费者购物每满300元可参加一次抽奖，抽奖活动如下：抽奖箱设置3个红球和2个白球，每次抽取2个球．若抽中2个白球，返现金50元；若抽中1个红球和1个白球，返现金30元；若抽中2个红球，返现金20元． （1）顾客A恰好消费了300元，设他所获得返现金额为随机变量X．求X的分布列与数学期望； （2）顾客B消费了1000元． ①顾客B获得返现金额为90元的概率是多少? ②若该商场同时还推出购物享九折优惠活动（减免总金额的10%），则顾客B应选择哪种方案更优惠?（备注：不能同时参加抽奖和打折活动） 【答案】（1）分布列见解析， （2）①；②打折更划算 【解析】 【分析】（1）先求出随机变量的所有取值，再求出其概率，从而可求出分布列，再根据期望公式求期望即可； （2）①由题意刚好可以抽三次，每次返现金都是30元或者两次20元，一次50元，从而可求出所求概率； ②对于打折和抽奖，分别算出每种情况的优惠，然后对比即可. 【小问1详解】 由题意X可能取值为20，30，50， 则，，， 则X的分布列如下表： X 20 30 50 P 由期望公式可得； 【小问2详解】 ①由题意刚好可以抽三次，获得90元返现的情况为：三次抽奖每次返现金都是30元或者两次20元，一次50元， 则概率为； ②若打九折，需支付金额为：（元） 由（1）知每次抽中的均值为29元，则抽取三次总的均值为：（元）， 因为，故打折更划算． 18. 已知椭圆的离心率为，以椭圆的四个顶点为顶点的四边形的面积为4． （1）求椭圆C的标准方程； （2）设圆M的方程，Q为圆M上任意一点，P为椭圆上任意一点，求的最大值； （3）记椭圆C的左顶点为A，右顶点为B，过点B作不垂直于坐标轴的直线l交椭圆于另一点G，过点A作l的垂线，垂足为H，且，求直线l的方程． 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）利用已知条件即可得方程组求解参数，，从而可得椭圆方程； （2）设点为椭圆上任意一点，先求出的最大值是，所以的最大值是． （3）利用设直线方程，结合韦达定理即可求出点坐标，利用二元一次方程组可求出点坐标，再利用向量的坐标共线运算可求解参数，即可得直线方程. 【小问1详解】 由题意：，所以，又因为，所以，， 即椭圆的方程：． 【小问2详解】 设点为椭圆上任意一点， 则 ， 当时，的最大值是，即的最大值是， 所以的最大值是． 【小问3详解】 由题意，设直线l的方程为，设点G坐标为， 由，可得， 由韦达定理得：，所以， 代入直线方程可得：． 过点A与l垂直的直线方程为， 由，设交点H坐标为，可得，， 因为，所以， 法一：，所以，解得， 所以直线l的方程：或． 法二：，所以，解得， 所以直线l的方程：或． 19. 某选手参加一项人工智能机器人PK比赛，规则如下：该选手的初始分为20分，每局比赛，该选手胜加10分；平局不得分；负减10分．当选手总分为0分时，挑战失败，比赛终止；当选手总分为30分时，挑战成功，比赛终止；否则比赛继续．已知每局比赛选手胜、平、负的概率分别为，且各局比赛相互独立. （1）求两局后比赛终止的概率； （2）在3局后比赛终止的条件下，求选手挑战成功的概率； （3）在挑战过程中，选手每胜1局，获奖5千元．记局后比赛终止且选手获奖1万元的概率为，求的最大值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）两局后比赛终止有两种情况：先平后胜达到 30 分或两负达到 0 分，利用相互独立事件概率公式计算； （2）先求出 3 局后比赛终止的概率以及 3 局后挑战成功的概率，再利用条件概率公式计算； （3）根据获奖金额确定胜的局数，再结合比赛终止条件得到比赛局数与胜、负局数的关系，从而得出概率表达式，进而求最大值. 【小问1详解】 设每局比赛甲胜为事件，每局比赛甲平为事件，每局比赛甲负为事件， 设“两局后比赛终止”为事件， 因为棋手与机器人比赛局，所以棋手可能得分或30分比赛终止． （i）当棋手得分为分，则局均负，即； （ii）当棋手得分为30分，则局先平后胜，即． 因为、互斥，所以 ． 所以两局后比赛终止的概率为． 【小问2详解】 设“局后比赛终止”为事件，“局后棋手挑战成功”为事件． 因为 ， ． 所以在局后比赛终止的条件下，棋手挑战成功的概率为 ． 所以在局后比赛终止的条件下，棋手挑战成功的概率为． 【小问3详解】 因为局获奖励万元，说明甲共胜局． （i）当棋手第局以分比赛终止，说明前局中有负胜， 且是“负胜负胜负”的顺序，其余均为平局，共有种， （ii）当棋手第局以30分比赛终止，说明前局中有负胜， 且是先负后胜的顺序，其余均为平局，共有种， 则“局后比赛终止且棋手获得万元奖励”的概率 ，． 所以． 因为，所以， 所以，所以单调递减， 所以当时，取最大值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024级校际教研诊断（七）数学学科试题 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，测试时间120分钟． 注意事项： 选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答案涂在答题卡上，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在测试卷上． 第Ⅰ卷 选择题（58分） 一.选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）． 1. 已知直线与垂直，则实数（　　） A. 3 B. C. D. 2 2. 抛物线的焦点坐标是 A. B. C. D. 3. 在平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长均为，且，则对角线长为（ ） A. B. C. D. 4. 在的展开式中，的系数为（ ） A. 90 B. 60 C. 30 D. 20 5. 为解决“卡脖子”问题，实现7nm芯片国产化，让中国制造走向世界，某公司两个研发小组同时设计生产出了相同规格、相同数量的芯片，经初步鉴定：组生产的芯片合格率为，B组生产的芯片合格率为，现公司决定再将这些产品送专家鉴定后量产，专家从这些芯片中随机取一个，则该芯片合格的概率为（ ） A. B. C. D. 6. 由数字1，2，3组成的三位数中，至少有两位数字相同的三位数的个数为（ ） A. 21 B. 18 C. 15 D. 12 7. 已知圆C：，直线l：．则直线l被圆C截得的弦长的最小值为（ ） A. B. C. D. 8. 已知点不在抛物线上，抛物线的焦点为若对于抛物线上的一点，的最小值为，则的值等于（ ） A. B. C. 或 D. 二.多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）． 9. 已知随机变量，则（ ） A. B. 当取最大值时， C. D. 10. 如图所示，在棱长为2的正方体中，M，N分别为棱，的中点，则下列结论正确的是（ ） A. 直线AM与平面所成角的正弦值为 B. 点B到直线AM的距离为 C. 点D到平面AMN的距离为2 D. 直线与直线BN是异面直线 11. 已知双曲线的一条渐近线方程为，则（ ） A. 为C的一个焦点 B. 双曲线C的离心率为 C. 设A，B，M为C上三点且A，B关于原点对称，则MA，MB斜率存在时其乘积为 D. 过点作直线与C交于A，B两点，则满足的直线有且只有两条 第Ⅱ卷 非选择题（共92分） 三.填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）． 12. 设随机变量，且，则______． 13. 某4位同学排成一排准备照相时，又来了2位同学要加入，如果保持原来4位同学的相对顺序不变，则不同的加入方法种数为______． 14. 抛掷一枚质地均匀的正四面体骰子（四个面上分别标有数字1，2，3，4），底面的点数为1记为事件A，抛掷n次后事件A发生奇数次的概率记为，则______，______． 四.解答题（本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）． 15. 已知为正实数，展开式的二项式系数和为256． （1）求展开式中二项式系数最大的项； （2）求展开式中各项系数之和； （3）若第项是有理项，求的取值集合． 16. 如图，在四棱锥中，底面ABCD，四边形ABCD是直角梯形，，，，点E在棱PB上． （1）证明：平面平面PBC； （2）当时，求二面角的正弦值． 17. 某商场为了促进消费，推出购物优惠活动，消费者购物每满300元可参加一次抽奖，抽奖活动如下：抽奖箱设置3个红球和2个白球，每次抽取2个球．若抽中2个白球，返现金50元；若抽中1个红球和1个白球，返现金30元；若抽中2个红球，返现金20元． （1）顾客A恰好消费了300元，设他所获得返现金额为随机变量X．求X的分布列与数学期望； （2）顾客B消费了1000元． ①顾客B获得返现金额为90元的概率是多少? ②若该商场同时还推出购物享九折优惠活动（减免总金额的10%），则顾客B应选择哪种方案更优惠?（备注：不能同时参加抽奖和打折活动） 18. 已知椭圆的离心率为，以椭圆的四个顶点为顶点的四边形的面积为4． （1）求椭圆C的标准方程； （2）设圆M的方程，Q为圆M上任意一点，P为椭圆上任意一点，求的最大值； （3）记椭圆C的左顶点为A，右顶点为B，过点B作不垂直于坐标轴的直线l交椭圆于另一点G，过点A作l的垂线，垂足为H，且，求直线l的方程． 19. 某选手参加一项人工智能机器人PK比赛，规则如下：该选手的初始分为20分，每局比赛，该选手胜加10分；平局不得分；负减10分．当选手总分为0分时，挑战失败，比赛终止；当选手总分为30分时，挑战成功，比赛终止；否则比赛继续．已知每局比赛选手胜、平、负的概率分别为，且各局比赛相互独立. （1）求两局后比赛终止的概率； （2）在3局后比赛终止的条件下，求选手挑战成功的概率； （3）在挑战过程中，选手每胜1局，获奖5千元．记局后比赛终止且选手获奖1万元的概率为，求的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $