专题08：平行线的性质与判定（4大考点+10大重点常考题型） 2025-2026学年苏科版七年级上学期数学期末复习最常考16大重点专题突破系列

2025-2026苏科版七上期末专题复习——16大重点专题突破系列 专题08：突破平行线的性质与判定 目录 【课标要求】 1 【突破一：考点知识突破】 1 【突破二：重点题型突破】 4 题型一：三线八角的识别 4 题型二：添加条件判断直线平行 6 题型三：补充平行线相关的推理依据和过程问题 8 题型四：根据平行的性质与判定求角的度数 10 题型五：利用平行性质与判定解决生活中的问题 11 题型六：单个三角板与平行线综合问题 14 题型七：双三角板与平行线综合问题 16 题型八：与平行线相关的网格作图问题 19 题型九：与平行线相关的尺规作图问题 21 题型十：利用平行线性质与判定探究角的数量关系问题 22 【突破三：基础运用突破】 27 【突破四：能力提升突破】 30 【课标要求】 1.理解平行线的概念，会用符号表示两直线平行； 2.掌握平行线的基本事实1及其推论，能用三角板和直尺过直线外一点画这条直线的平行线； 3.能正确识别同位角、内错角、同旁内角； 4.掌握平行线的基本事实2，能用尺规作图完成过直线外一点作这条直线的平行线； 5.探索并证明平行线的判定定理； 6.掌握平行线的三个性质；能综合运用平行线的性质和判定定理进行简单的推理和计算。 【突破一：考点知识突破】 考点1：同位角、内错角、同旁内角位 置特征及形状特征 角的名称 图示 位置特征 记忆方法 同位角 在两条被截直线同侧，并且在截线同侧 类似于大写字母F 内错角 在两条被截直线之间，并且在截线异侧 类似于大写字母Z 同旁内角 在两条被截直线之间，并且在截线同侧 类似于大写字母U 考点2：平行线的概念与表示 1、 平行线的定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线． 2、平行线的表示方法： 考点3：平行线的判定方法 1、平行线的判定方法： 方法1： 文字语言：同位角相等，两直线平行． 图形语言： 几何语言： 方法2： 文字语言：内错角相等，两直线平行． 图形语言： 几何语言： 方法3： 文字语言：同旁内角互补，两直线平行． 图形语言： 几何语言： 方法4： 文字语言：平行于同一直线的两直线互相平行． 图形语言： 几何语言： 方法4： 文字语言：垂直于同一直线的两直线互相平行． 图形语言： 几何语言： 2、基本事实：过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行。 3、平行线间的距离 （1）定义：同时垂直于两条平行线，并且夹在这两条平行线的线段的长度，叫做这两条平行线的距离． （2）性质：两平行线间的距离处处相等，夹在两平行线间的平行线段相等． 考点4：平行线的判定方法 1、平行线的性质： 方法1： 文字语言：两直线平行，同位角相等． 图形语言： 几何语言： 方法2： 文字语言：两直线平行，内错角相等． 图形语言： 几何语言： 方法3： 文字语言：两直线平行，同旁内角互补． 图形语言： 几何语言： 【突破二：重点题型突破】 题型一：三线八角的识别 【例题1】．如图所示，下列说法错误的是（   ） A．与是同位角 B．与是内错角 C．与是同旁内角 D．与是同旁内角 【变式训练】 1．如图，直线，被直线所截，则下列说法中不正确的是（   ） A．与是邻补角 B．与是对顶角 C．与是内错角 D．与是同位角 2．如图所示，下列说法中错误的是（    ） A．和是同旁内角 B．和是同位角 C．和是同旁内角 D．和是内错角 3．如图，下列说法正确的是（   ） A．与是对顶角 B．与是同位角 C．与是内错角 D．与是同旁内角 4．如图，直线，被直线所截，射线经过直线，的交点，下列说法一定正确的是（    ） A．和是对顶角 B．和是内错角 C．和互为邻补角 D．和是同位角 题型二：添加条件判断直线平行 【例题2】．如图所示，添加一个条件后可得，则添加的这个条件不能是（   ） A． B． C． D． 【变式训练】 1.如图，点是直线上一点，平分，，，若再添加一个条件，仍不能判定，则添加的条件可能是（　　） A．平分 B． C． D． 2．题目：如图，已知．不添加辅助线，请再添加一个条件，使成立．甲、乙、丙分别给出了答案，下列判断正确的是（    ） 甲：；乙：；丙： A．只有甲对 B．甲和乙都对 C．乙和丙都对 D．甲、乙、丙都对 3．如图，直线被直线所截，添加下列一个条件，可以判定直线的是（   ） A． B． C． D． 4．张老师在黑板上留了一道作业题：“如图，直线、被直线所截，其中，请你再添加一个条件，使，并注明判定依据”．三人所做答案如下： 甲：添加，依据：同旁内角相等，两直线平行； 乙：添加，依据：同位角相等，两直线平行； 丙：添加，依据：内错角相等，两直线平行； 对三位同学的答案判断正确的是（    ） A．甲对，乙错 B．甲错，乙对 C．乙对，丙错 D．乙错，丙对 题型三：补充平行线相关的推理依据和过程问题 【例题3】．如图，已知，，，，则与平行吗？与平行吗？阅读下面的解答过程，并填空（理由或数学式）． 解：（     ），（      ）， （     ）， （   ）（   ）（     ）． 又（      ） ， （      ）（等式的性质）． 同理可得（      ）． （      ）（等量代换）， （   ）（   ）（     ）． 【变式训练】 1．如图，，试问、、有什么关系． (1)请你将解题过程补充完整： 解：． 过点C作， 则 （               ） 又∵，， ∴ （               ） （请补充完成下边解题过程） (2)应用：如图a是我们常用的折叠式小刀，图b中刀柄外形是一个长方形挖去一个小半圆，其中刀片的两条边缘线可看成两条平行的线段，转动刀片时会形成如图b所示，经测量，则的度数是 度． 2．如图，，，求的度数．请把下列推理的过程和依据补充完整． 解：_______（   ）， _______， 且（   ）， （   ）， （   ）， ∴（   ）． ， _______°． 3．如图，已知，直线与平行吗？请将过程和理由补充完整． 解：因为， 所以______， 所以____________ 又因为， 所以______等量代换， 所以______ 4．如图，已知直线，， (1)用直尺和圆规，在直线l的右侧作，使得 (2)求的度数．（请完成以下填空） ∵（已知），且（___①__）， （__②___） ∵（已知）， ∴（_____③____） ∴（___④_____）（等量代换）． 题型四：根据平行的性质与判定求角的度数 【例题4】．如图，．求的度数． 【变式训练】 1．如图，已知于点，于点，与互补． (1)若，求的度数； (2)判断与是否平行，并说明理由． 2．如图，已知，直线EF分别交直线AB，CD于点E，F，，． (1)若，求的度数． (2)试说明：FH平分． 3．如图，直线和相交于点O，，平分，． (1)求的度数； (2)若，求的度数． 4．如图，已知．将一副三角板摆放在两条平行线之间，使三角板的顶点E落在直线上，三角板的边落在直线上，并且边在一条直线上．求的度数． 题型五：利用平行性质与判定解决生活中的问题 【例题5】．如图，是小明同学用的一盏可以伸缩的台灯，它的优点是可以变化伸缩，找到合适的照明角度．图①是这盏台灯的示意图．已知台灯水平放置，当灯头与支架平行时可达到最佳照明角度，此时支架与水平线的夹角，，两支架和的夹角． 如何求此时支架与底座的夹角的度数及灯头与水平线的夹角的度数呢？小明解决此问题的思路如下： (1)小明在解决问题时，过点作，则可以得到，其理由是_____________． (2)如图②，根据小明的思路求和的度数； (3)小明在解题中发现和的度数永远是相等的，与和的度数无关．小明的说法对吗？请结合图③说明理由． 【变式训练】 1．某市在某段江两岸安置了两座可旋转探照灯．如图1所示灯射线从开始顺时针旋转至便立即回转，灯射线从开始顺时针旋转至便立即回转，两灯不停交叉照射巡视．若灯转动的速度是每秒3度，灯转动的速度是每秒2度，假定江两岸是平行的，即，且． (1)求的度数； (2)若灯射线先转动10秒，灯射线才开始转动，在灯射线到达之前，灯转动几秒，两灯的光束互相平行？ (3)如图2，若两灯同时开始转动，两灯射出的光束交于点，则在灯射线到达之前，当灯转动多少秒时，． 2．某学校自主研制了一种椅子（实物如图所示），可适应上课、课间休息、午睡三种状态，该椅子的凳面始终与地面保持平行，小明作出了椅子在不同状态下的主视图（从正面看）．上课时椅背与凳面垂直，腿托与凳面成夹角（如图1），有利于学生坐直听课．按下开关1（安装在点处），可以控制椅背以顺时针旋转，按下开关2（安装在点处），可以控制腿托以顺时针旋转． (1)课间可将椅背稍微调整一定的角度（如图2）作短时休息，此时腿托与椅背平行舒适度更佳，请在如图2中画出腿托； (2)从生理健康层面考虑，椅背靠后时，人体的坐姿相对更加放松，身体对血管的压迫会减轻． 如图3，某同学按下开关1，使椅背从与凳面垂直时的状态顺时针旋转，此时测得，求的度数； (3)午休时，为了让学生得到充分休息，当椅背与腿托平行时达到最舒适状态（如图4），同时按下开关1和开关2，将椅子从上课状态调整到午休最舒适状态，需要多长时间？ 3．如图，是一盏可调节台灯的示意图．固定支撑杆底座于点，与是分别可绕点和旋转的调节杆，台灯灯罩可绕点旋转调节光线角度，在调节过程中，最外侧光线、组成的始终保持不变．现调节台灯，使外侧光线，，若，过点作． (1)请判断与的位置关系，并证明． (2)求的度数． 4．问题情境：“公路村村通”的政策让公路修到了山里，蜿蜒的盘山公路连接了山里与山外的世界．图为河南鹤壁市淇县的一段盘山公路，数学活动课上，老师把山路抽象成数学模型，并提出了以下问题： (1)如图，，，，求的度数； (2)如图改为图，其中，，，，求的度数； (3)如图，，试问，，，，，，的关系是什么？请直接写出你的结论． 题型六：单个三角板与平行线综合问题 【例题6】．如图，直尺和三角板摆放在课桌面上，直尺的边缘，三角板中角的顶点在上，直角顶点在上，三角板与直尺边缘形成的，则（   ） A． B． C． D． 【变式训练】． 1．如图，直线，现将一个含30°角的直角三角板的锐角顶点放在直线上，将三角板绕点旋转，使直角顶点落在与之间的区域，边与直线相交于点，若，则图中的的值为（    ） A．65° B．75° C．85° D．80° 2．将含有的三角板按图所示放置，点在直线上，其中，，分别过点作直线的平行线，则的度数为（　　） A． B． C． D． 3．已知矩形，用一块直角三角板按如图所示的方式摆放，若，则的度数为（  ） A． B． C． D． 4．将直尺与直角三角板按如图所示的方式摆放，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 题型七：双三角板与平行线综合问题 【例题7】．玩转三角板．在一副三角板与中，，．将这副三角板按图1的方式放置在两条平行线之间（点落在直线上，边与直线重合，点在同一条直线上，固定三角板）． (1)如图1，的度数为___________； (2)如图2，将三角板绕点逆时针方向旋转，边与三角板的边相交于点，试问：的值是否为定值？如果是，求出这个定值；如果不是，请说明理由； (3)在图1的基础上，将三角板绕点逆时针方向旋转，至边与直线首次重合时停止运动．设的度数为，试探究：在旋转的过程中，当为何值时，三角板的边与三角板的一条边平行？求出符合条件的的值． 【变式训练】 1．综合与探究 问题情境： 在数学实践课上，老师让同学们准备一副三角板进行“玩转三角板”的探究活动．如图1，将两个三角板叠放在一起，使直角顶点重合，其中，，，然后三角板不动，三角板绕点旋转． 操作探究： （1）图1中，若，判断线段与的位置关系，并说明理由； （2）当三角板绕点旋转到图2的位置，，求的度数； 深入思考： （3）在三角板绕点旋转的过程中，当为多少度时，？请直接写出的度数． 2．三角板与三角板如图1所示摆放，其中，，，点A，C在直线上，点E，F在直线上．固定三角板，将三角板向右平移． (1)如图2，当点B落在线段上时，求的度数； (2)在三角板平移过程中，连接，记为，为． ①如图1，当点D在直线左侧时，的值是否为定值，若是定值，请求出这个值；若不是定值，请说明理由． ②如图3，继续向右平移三角板，当点B在直线左侧时，第①题中结论是否仍成立？请说明理由． 3．如图，将三角板与三角板摆放在一起；其中，，．固定三角板，将三角板绕点按顺时针方向旋转，记旋转角． (1)在旋转过程中，若，则当时，为_______度时（请直接写出值的）： (2)在旋转过程中，若，试探究与之间的数量关系； (3)在旋转过程中，若，当的一边与的一边平行（不共线）时，为_______度（请直接写出的值）． 4．一副三角板按如图1放置，与重合．若先固定其中一块三角板（含的角），再将另一块三角板（含的角）绕点顺时针方向旋转的角，根据要求解答下列问题． (1)如图2，当时，图中与的位置关系是___________； (2)若将三角板旋转到与重叠时（如图3），则__________度； (3)当的一边与的某一边平行（不共线）时，直接写出旋转角所有可能的度数； (4)如图4，连接．当时，探究是一个定值，并说明理由． 题型八：与平行线相关的网格作图问题 【例题8】．如图，在的正方形网格中，三角形的三个顶点均在方格图中的格点上，按下列要求画图． (1)在图①中，经过点画出线段的垂线； (2)在图②中，画，使； (3)在图③中，点也在格点上，在线段上找到点，使的长度最小． 【变式训练】． 1．下列图形中，按要求在上画出点E，使． (1)如图①，点A、B、C、D均在正方形网格格点上，用无刻度直尺画点E； (2)如图②，用无刻度直尺与圆规作点E（不写作法，保留作图痕迹）． 2．如图，是的正方形网格，每个小正方形的顶点为格点，线段的两个端点及点C均在格点上． (1)过点C作的平行线，要求点E、F在点C的异侧，点E在点F的上方； (2)在上取一点M，画线段，使其长度表示点C到的距离； (3)点D是线段与网格线的交点，连接，，写出与互补的角是 ；比较线段的大小： （填“”、“”或“”）．理由是 ． 3．如图，在正方形网格中有一条线段，按要求进行下列作图（借助于网格）． (1)画出先将线段向右平移3格，再向上平移2格后的线段； (2)连接、，求的面积； (3)点P为网格中格点，且点P满足，则满足条件的点P的个数为 ． 4．如图，正方形网格中所有小正方形的边长都为1，规定每个小正方形的顶点为格点，点A、B、C都在格点上． (1)的面积______． (2)利用网格画出的高； (3)在格点上找一点D并连接线段，使得； (4)点P到点A、B、C、D的距离的和最小，画出点P． 题型九：与平行线相关的尺规作图问题 【例题9】．我们知道，将一个三角形的其中一个角撕下来，拼到另一个角的旁边，可以得到三角形三个内角的和为．小明认为，不用撕角，利用尺规作平行线也可以说明这个结论．如图，，，是的三个内角． (1)利用尺规作过点的直线，使；（不写作法，保留作图痕迹） (2)试说明． 【变式训练】． 1．如图，直线与相交于点A，平分． (1)利用尺规：过点B作直线，交于点D； (2)若，求的度数． 2．如图，点D是线段上的一点． (1)请用尺规过点D作直线，，使，． (2)判断 和相交所成的锐角与的数量关系． 3．如图，是边上的一点，请用尺规在边上求作一点，连接，使得．（保留作图痕迹，不写作法） 4．如图，是两面互相平行的镜面，一束光线照射到镜面上，反射光线为，则．用尺规作出，使得． 题型十：利用平行线性质与判定探究角的数量关系问题 【例题10】．如图，，定点，分别在直线，上，在平行线、之间有一动点，满足． (1)试问，，满足怎样的数量关系？ 解：由于点是平行线、之间有一动点，因此需要对点的位置进行分类讨论；如图1，当点在的左侧时，，，满足数量关系为________，如图2，当点在的右侧时，，，满足数量关系为________． (2)如图3，，分别平分和，且点在左侧． ①若，则________°． ②猜想与的数量关系，并说明理由． ③如图4，若与的角平分线交于点，与的角平分线交于点，与的角平分线交于点，此次类推，则与满足怎样的数量关系？（直接写出结果） 【变式训练】． 1．已知：，点E在直线，外，连接，．探究，，之间的数量关系． (1)如图1，过点E作，∵，∴，∴，，则，，之间的数量关系为______； (2)如图2，过点E作，猜想，，之间的数量关系，并证明； (3)如图3，过点E作，直接写出，，之间的数量关系为______． 2．问题情境：如图，，定点E，F分别在直线，上，在平行线，之间有一个动点P，满足．求，，满足的数量关系． 思路点拨：由于点P是平行线，之间一动点，因此需对点P的位置进行分类讨论，过点P作的平行线，通过平行线的性质推出，，的数量关系． (1)问题解决：如图1，当点P在的左侧时，写出，，满足的数量关系_____；如图2，当点P在的右侧时，写出，，满足的数量关系______． (2)问题迁移：如图3，、分别平分和，且点P在左侧． ①若，则的度数为_______； ②猜想与的数量关系，并说明理由； (3)问题拓展：如图4，若与的角平分线交于点，与的角平分线交于点，与的角平分线交于点，以此类推，直接写出与满足的数量关系． 3．综合与探究 问题情境： 数学活动课上，老师提出如下问题：如图1，将含的三角尺如图方式摆放，点A、C分别在边和上，．三角尺中，，，．猜想与的数量关系，并说明理由． 问题初探： （1）若，则__________°； （2）小宇同学通过小组合作探究，发现了一种证明方法．如图2，过点C作，交于点H，请你根据小宇同学提供的辅助线，先确定与的数量关系，再说明理由； 类比再探： （3）如图3，把“”改为“”，其它条件不变，猜想与的数量关系，并说明理由． 4．（1）【问题情境】如图1，，，，求的度数．小明的思路是：过点作，通过平行线性质可求得的度数是__________； （2）【问题迁移】如图2，，点在射线上运动，记，，当点在，两点之间运动时，与，之间有何数量关系？请说明理由； （3）【联想拓展】在（2）的条件下． ①如图3，当点在线段上时，请写出与，之间的数量关系：__________； ②如图4，当点在的延长线上时，请写出与，之间的数量关系：__________． 【突破三：基础运用突破】 （本关共10题，包含期末考必考基础考点，限时15分钟） 1．如图，直线、分别被和所截，下列结论错误的是（   ） A．与是一对内错角 B．与是一对同位角 C．与是一对内错角 D．与是一对同旁内角 2．题目：如图，已知．不添加辅助线，请再添加一个条件，使成立．甲、乙、丙分别给出了答案，下列判断正确的是（    ） 甲：；乙：；丙： A．只有甲对 B．甲和乙都对 C．乙和丙都对 D．甲、乙、丙都对 3．如图是某种单车车架的示意图，线段，，分别为前叉、下管和立管（点C在上），为后下叉．已知，，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 4．一把直尺和一块三角板（，角）如图所示摆放，直尺一边与三角板的两直角边分别交于A，D两点，另一边与三角板的两直角边分别交于E，F两点，，则的大小为（   ） A． B． C． D． 5．如图，平行于主光轴的光线和经过凸透镜折射后，折射光线，交于主光轴上一点G，若，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 6．如图，，，，则为（  ） A． B． C． D． 7．如图，是路政工程车的工作示意图，工作篮底部与支撑平台平行．若，，则的度数为 ． 8．如图，直线，相交于点O，是内部的一条射线，E，G是上的点，且于点D，，交于点F．若，则的度数是 ． 9．如图，已知，点在上方，连接，．． (1)如图（1），若，求的度数； (2)如图（2），与互相垂直，垂足为，求的度数． 10．如下图，在三角形ABC中，，点E在BC上，过点E作． (1)试探究CD与EF的位置关系，并说明理由． (2)若，且，求的度数． 【突破四：能力提升突破】 1．如图，直线，被直线所截，射线经过直线，的交点，下列说法一定正确的是（    ） A．和是对顶角 B．和是内错角 C．和互为邻补角 D．和是同位角 2．如图，若，则角，，的关系为（    ） A． B． C． D． 3．如图，已知，则、、、的关系是（   ） A． B． C． D． 4．如图，在中，过点作，点是内一点，连接，过点作，交于点，已知，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 5．如图，图1是路政部门利用折臂升降机维修路灯的图片，图2是它的平面示意图，已知路灯和折臂的底座都与地面垂直，同时上折臂与下折臂的夹角，下折臂与底座的夹角，那么上折臂与路灯的夹角的度数为（   ） A． B． C． D． 6．如图，这是一款自行车的平面示意图，其中，那么下列结论错误的是（   ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，，那么 D．如果，，，那么 7．将一副直角三角尺按如图位置摆放在同一平面内，含角的直角三角尺的直角顶点E在含角的直角三角尺的斜边上，且点F在的延长线上，已知，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 8．如图，在四边形中，，D为线段上的一个动点，连接，并作，交于点M，，的平分线相交于点N，在点D的运动过程中，的大小不会发生变化，则 °． 9．已知：线段垂直直线，垂足为点P，点A、C分别是直线、线段上一点，平分，且，过点B作，平分交于点E． (1)如图1，若点A与点P重合，则______°； (2)如图2，若点A在射线上向右移动，其它条件不变， ①若，试求和的大小； ②在点A移动的过程中，的大小是否发生改变？若不变，请求出的值；若变化，请说明理由． 10．学习数学要求我们用数学的眼光观察现实世界．一副三角尺为我们观察世界提供了平台，如图所示的是一副三角尺，，，． (1)将两个三角尺按如图①所示的方式摆放，使点与点重合，点在上，与相交于点，则的度数为 度； (2)如图②，将三角尺的直角顶点放在直线上，使，三角尺的顶点在直线上，与相交于点，则与有怎样的数量关系？请说明理由； (3)如图③，将三角尺固定不动，改变三角尺的摆放位置，但始终保持两个三角尺的顶点，重合．当点在直线的下方时，探究所在直线与三角尺一边互相垂直的情况，请直接写出所有可能的度数． 第2页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026苏科版七上期末专题复习——16大重点专题突破系列 专题08：突破平行线的性质与判定 目录 【课标要求】 1 【突破一：考点知识突破】 1 【突破二：重点题型突破】 4 题型一：三线八角的识别 4 题型二：添加条件判断直线平行 7 题型三：补充平行线相关的推理依据和过程问题 11 题型四：根据平行的性质与判定求角的度数 12 题型五：利用平行性质与判定解决生活中的问题 20 题型六：单个三角板与平行线综合问题 31 题型七：双三角板与平行线综合问题 35 题型八：与平行线相关的网格作图问题 47 题型九：与平行线相关的尺规作图问题 53 题型十：利用平行线性质与判定探究角的数量关系问题 57 【突破三：基础运用突破】 68 【突破四：能力提升突破】 76 【课标要求】 1.理解平行线的概念，会用符号表示两直线平行； 2.掌握平行线的基本事实1及其推论，能用三角板和直尺过直线外一点画这条直线的平行线； 3.能正确识别同位角、内错角、同旁内角； 4.掌握平行线的基本事实2，能用尺规作图完成过直线外一点作这条直线的平行线； 5.探索并证明平行线的判定定理； 6.掌握平行线的三个性质；能综合运用平行线的性质和判定定理进行简单的推理和计算。 【突破一：考点知识突破】 考点1：同位角、内错角、同旁内角位 置特征及形状特征 角的名称 图示 位置特征 记忆方法 同位角 在两条被截直线同侧，并且在截线同侧 类似于大写字母F 内错角 在两条被截直线之间，并且在截线异侧 类似于大写字母Z 同旁内角 在两条被截直线之间，并且在截线同侧 类似于大写字母U 考点2：平行线的概念与表示 1、 平行线的定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线． 2、平行线的表示方法： 考点3：平行线的判定方法 1、平行线的判定方法： 方法1： 文字语言：同位角相等，两直线平行． 图形语言： 几何语言： 方法2： 文字语言：内错角相等，两直线平行． 图形语言： 几何语言： 方法3： 文字语言：同旁内角互补，两直线平行． 图形语言： 几何语言： 方法4： 文字语言：平行于同一直线的两直线互相平行． 图形语言： 几何语言： 方法4： 文字语言：垂直于同一直线的两直线互相平行． 图形语言： 几何语言： 2、基本事实：过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行。 3、平行线间的距离 （1）定义：同时垂直于两条平行线，并且夹在这两条平行线的线段的长度，叫做这两条平行线的距离． （2）性质：两平行线间的距离处处相等，夹在两平行线间的平行线段相等． 考点4：平行线的判定方法 1、平行线的性质： 方法1： 文字语言：两直线平行，同位角相等． 图形语言： 几何语言： 方法2： 文字语言：两直线平行，内错角相等． 图形语言： 几何语言： 方法3： 文字语言：两直线平行，同旁内角互补． 图形语言： 几何语言： 【突破二：重点题型突破】 题型一：三线八角的识别 【例题1】．如图所示，下列说法错误的是（   ） A．与是同位角 B．与是内错角 C．与是同旁内角 D．与是同旁内角 【答案】B 【分析】根据同位角、内错角、同旁内角的定义，逐一分析每个选项．本题主要考查了同位角、内错角、同旁内角的定义，熟练掌握同位角、内错角、同旁内角的定义是解题的关键． 【详解】解：同位角是两条直线被第三条直线所截，在截线同旁，且在被截两直线同一侧的角，∠1与∠C符合同位角的定义，故选项A正确，不符合题意． 内错角是两条直线被第三条直线所截，在截线两侧，且在被截两直线之间的角，∠2与∠C不满足内错角的定义，故选项B错误，符合题意． 同旁内角是两条直线被第三条直线所截，在截线同旁，且在被截两直线之间的角，∠3与∠B符合同旁内角的定义，故选项C正确，不符合题意． 同旁内角是两条直线被第三条直线所截，在截线同旁，且在被截两直线之间的角，∠3与∠C符合同旁内角的定义，故选项D正确，不符合题意． 故选：B． 【变式训练】 1．如图，直线，被直线所截，则下列说法中不正确的是（   ） A．与是邻补角 B．与是对顶角 C．与是内错角 D．与是同位角 【答案】C 【分析】本题考查了对顶角、邻补角、内错角和同位角，关键是掌握同位角的边构成“F”形，内错角的边构成“Z”形．根据对顶角、邻补角、内错角和同位角的定义分别分析即可． 【详解】解：A、与是邻补角，正确，本选项不符合题意； B、与是对顶角，正确，本选项不符合题意； C、与不是内错角，原说法错误，本选项符合题意； D、与是同位角，正确，本选项不符合题意； 故选：C． 2．如图所示，下列说法中错误的是（    ） A．和是同旁内角 B．和是同位角 C．和是同旁内角 D．和是内错角 【答案】A 【分析】本题主要考查了同旁内角、同位角、内错角的定义，熟记同位角、内错角、同旁内角的位置关系是解决此类问题的关键．根据同位角、内错角、同旁内角的定义进行判断． 【详解】解：A、和不是同旁内角，原说法错误，故此选项符合题意； B、和是同位角，原说法正确，故此选项不符合题意； C、和是同旁内角，原说法正确，故此选项不符合题意； D、和是内错角，原说法正确，故此选项不符合题意； 故选：A． 3．如图，下列说法正确的是（   ） A．与是对顶角 B．与是同位角 C．与是内错角 D．与是同旁内角 【答案】D 【分析】本题考查了角的位置关系，熟悉掌握位置关系是解题的关键． 根据位置关系逐一判断即可． 【详解】解：A：与是同位角，故A错误； B：与是内错角，故B错误； C：与没有位置关系，故C错误； D：与是同旁内角，故D正确； 故选：D． 4．如图，直线，被直线所截，射线经过直线，的交点，下列说法一定正确的是（    ） A．和是对顶角 B．和是内错角 C．和互为邻补角 D．和是同位角 【答案】D 【分析】本题考查了对顶角、邻补角、内错角、同位角以及同旁内角，根据对顶角、邻补角、内错角、同位角以及同旁内角的定义结合具体图形进行判断即可，熟练掌握相关定义是解题关键． 【详解】解：、和不是对顶角，原选项不符合题意； 、和不是内错角，原选项不符合题意； 、和为同旁内角，原选项不符合题意； 、和是同位角，原选项符合题意； 故选：． 题型二：添加条件判断直线平行 【例题2】．如图所示，添加一个条件后可得，则添加的这个条件不能是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了平行线的判定定理，熟知同旁内角互补，两直线平行，同位角相等，两直线平行，内错角相等，两直线平行是解题的关键． 【详解】解：A、由，可以根据同旁内角互补，两直线平行得到，故此选项不符合题意； B、由，可以根据同位角相等，两直线平行得到，故此选项不符合题意； C、由，可以根据内错角相等，两直线平行得到，故此选项不符合题意； D、由，不能得到，故此选项符合题意； 故选：D． 【变式训练】 1．如图，点是直线上一点，平分，，，若再添加一个条件，仍不能判定，则添加的条件可能是（　　） A．平分 B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行线的判定，角平分线的性质，熟练掌握平行线的判定和性质是解答本题的关键．根据平行线的判定定理逐项进行判断即可． 【详解】解：A.当平分，不能得出，故A选项符合题意； B. 当时， ∵平分， ∴ ∵ ∴，故B选项不符合题意， C.∵， ∴ ∵平分， ∴ ∵ ∴，故C选项不符合题意， D.∵， ∴ ∵平分， ∴ ∵ ∴，故D选项不符合题意， 故选：A． 2．题目：如图，已知．不添加辅助线，请再添加一个条件，使成立．甲、乙、丙分别给出了答案，下列判断正确的是（    ） 甲：；乙：；丙： A．只有甲对 B．甲和乙都对 C．乙和丙都对 D．甲、乙、丙都对 【答案】D 【分析】由平行线的性质得，结合等式的性质可判断甲；由得，从而同甲可判断乙；由可知，从而同乙可判断丙． 【详解】甲：∵， ∴， ∵， ∴， ∴，故甲的说法正确； 乙：∵， ∴， ∴同甲可知乙的说法正确； 丙：∵， ∴， ∴同乙可知丙的说法正确． 故选D． 【点睛】本题考查了平行线的性质和判定，能运用平行线的性质和判定进行推理是解此题的关键，注意：①两直线平行，同位角相等，②两直线平行，内错角相等，③两直线平行，同旁内角互补，反之亦然． 3．如图，直线被直线所截，添加下列一个条件，可以判定直线的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的判定，解题的关键是熟记平行线的判定定理．根据平行线的判定定理判断求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴不能推出，故选项A不符合题意； ∵， ∴，故选项B符合题意； 和是对顶角，不能推出，故选项C不符合题意； ∵， ∴， ∴不能推出，故选项D不符合题意， 故选：B． 4．张老师在黑板上留了一道作业题：“如图，直线、被直线所截，其中，请你再添加一个条件，使，并注明判定依据”．三人所做答案如下： 甲：添加，依据：同旁内角相等，两直线平行； 乙：添加，依据：同位角相等，两直线平行； 丙：添加，依据：内错角相等，两直线平行； 对三位同学的答案判断正确的是（    ） A．甲对，乙错 B．甲错，乙对 C．乙对，丙错 D．乙错，丙对 【答案】B 【分析】根据平行线的判定定理进行判断即可． 【详解】解：∵， 若添加，则，即同旁内角不互补，所以不能判断，则甲的答案错误； 若添加，则，根据同位角相等，两直线平行，可得，则乙的答案正确； 若添加，则，根据内错角相等，两直线平行，可得，则丙的答案正确． 故选：B． 题型三：补充平行线相关的推理依据和过程问题 【例题3】．如图，已知，，，，则与平行吗？与平行吗？阅读下面的解答过程，并填空（理由或数学式）． 解：（     ），（      ）， （     ）， （   ）（   ）（     ）． 又（      ） ， （      ）（等式的性质）． 同理可得（      ）． （      ）（等量代换）， （   ）（   ）（     ）． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了平行线的判定与性质，由同位角相等得到，由垂直的定义得到，再得到，即可得出结论，解答的关键是熟记平行线的判定定理与性质并灵活运用． 【详解】解：（已知），（已知）， （等量代换） （同位角相等，两直线平行）， 又（已知）， ， （等式的性质）， 同理可得， （等量代换）， （同位角相等，两直线平行） 【变式训练】 1．如图，，试问、、有什么关系． (1)请你将解题过程补充完整： 解：． 过点C作， 则 （              ） 又∵，， ∴ （              ） （请补充完成下边解题过程） (2)应用：如图a是我们常用的折叠式小刀，图b中刀柄外形是一个长方形挖去一个小半圆，其中刀片的两条边缘线可看成两条平行的线段，转动刀片时会形成如图b所示，经测量，则的度数是 度． 【答案】(1)见解析 (2)55 【分析】本题考查了由平行线的性质和判定探究角的关系；掌握平行线的性质是解题关键． （1）根据平行线的性质得到，，进而求解即可； （2）设刀柄左下角顶点为A，过A作直线l平行于刀片边缘线，根据两直线平行内错角相等；再计算角的差即可． 【详解】（1）解：． 过点C作， 则（两直线平行，内错角相等） 又∵，， ∴（平行于同一条直线的两条直线平行） ∴ ∴． （2）如图设刀柄左下角顶点为A，过A作直线l平行于刀片边缘线，l与垂直方向夹角为，l与水平方向夹角为， ∵l平行于刀片边缘线， ∴，， ∵刀片外形是长方形 ∴， ∴， ∴． 2．如图，，，求的度数．请把下列推理的过程和依据补充完整． 解：_______（   ）， _______， 且（   ）， （   ）， （   ）， ∴（   ）． ， _______°． 【答案】5；对顶角相等；6；已知；6；等量代换；同旁内角互补，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补；80． 【分析】本题考查平行线的判定与性质，对顶角的性质；根据对顶角的性质、平行线的判定与性质即可完成． 【详解】解：（对顶角相等）， ， 且（已知）， （等量代换）， （同旁内角互补，两直线平行）， ∴（两直线平行，同旁内角互补）． ， ． 故答案为：5；对顶角相等；6；已知；6；等量代换；同旁内角互补，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补；80． 3．如图，已知，直线与平行吗？请将过程和理由补充完整． 解：因为， 所以______， 所以____________ 又因为， 所以______等量代换， 所以______ 【答案】内错角相等，两直线平行； ；两直线平行，内错角相等；；同位角相等，两直线平行 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，根据平行线的判定和性质，补齐各步骤的结论和推理依据即可，熟练掌握平行线的判定和性质是解题的关键． 【详解】解：因为， 所以（内错角相等，两直线平行）， 所以两直线平行，内错角相等， 又因为， 所以（等量代换）， 所以（同位角相等，两直线平行）， 故答案为：内错角相等，两直线平行；，两直线平行，内错角相等；，同位角相等，两直线平行． 4．如图，已知直线，， (1)用直尺和圆规，在直线l的右侧作，使得 (2)求的度数．（请完成以下填空） ∵（已知），且（___①__）， （__②___） ∵（已知）， ∴（_____③____） ∴（___④_____）（等量代换）． 【答案】(1)见解析 (2)①对顶角相等；②等量代换；③两直线平行，同位角相等；④ 【分析】本题主要考查了平行线的性质，对顶角相等，尺规作图—作角的和差，熟知相关知识是解题的关键。 （1）先作，再作，则即为所求； （2）根据对顶角相等得到，再由两直线平行，同位角相等即可得到 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）解：∵（已知），且（对顶角相等）， （等量代换） ∵（已知）， ∴（两直线平行，同位角相等） ∴（等量代换）． 题型四：根据平行的性质与判定求角的度数 【例题4】．如图，．求的度数． 【答案】． 【分析】本题解题关键是通过同位角相等判定两直线平行，再结合对顶角相等与平行线的同旁内角互补性质求解角度，体现了平行线判定与性质的综合运用． 【详解】解：， ． ． ． ， ． 【变式训练】 1．如图，已知于点，于点，与互补． (1)若，求的度数； (2)判断与是否平行，并说明理由． 【答案】(1) (2)，理由见解析 【分析】本题考查平行线的判定与性质，补角的定义，掌握“平行关系与角的数量关系的互推”是解题关键． （1）由垂直得，利用平行线的同旁内角互补和，求； （2）由垂直得，利用平行线的同旁内角互补，再结合与互补，可证，得． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴． 答：． （2）解：，理由如下： ∵，， ∴， ∴， ∵与互补， ∴， ∴， ∴． 2．如图，已知，直线EF分别交直线AB，CD于点E，F，，． (1)若，求的度数． (2)试说明：FH平分． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】（1）先利用的内错角相等，得到，再结合的直角性质，用减去求出； （2）先通过平行线和已知条件推出，再利用等角的余角相等，证明，从而说明平分． 【详解】（1）解：∵，， ∴． ∵， ∴， ∴． （2）解：∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴，， ∴，即平分． 【点睛】本题考查平行线的性质与角平分线的判定，掌握两直线平行，内错角相等、等角的余角相等是解题的关键． 3．如图，直线和相交于点O，，平分，． (1)求的度数； (2)若，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查角的和差，对顶角性质，角平分线的定义，平行线的性质，掌握相关知识是解题的关键． （1）根据求解即可； （2）由对顶角相等得到，再根据角平分线得到，从而根据平行线的性质即可解答． 【详解】（1）解：∵，， ∴． （2）解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴． 4．如图，已知．将一副三角板摆放在两条平行线之间，使三角板的顶点E落在直线上，三角板的边落在直线上，并且边在一条直线上．求的度数． 【答案】 【分析】本题考查平行公理，平行线的性质，平角定义，掌握相关知识是解决问题的关键．作，因为，所以，由平行线的性质可知，即，由三角板的度数可求，则的度数可求． 【详解】解∶作， ∵， ∴， ∴， ∴， 由三角板的度数可知，， ∵， ∴． 题型五：利用平行性质与判定解决生活中的问题 【例题5】．如图，是小明同学用的一盏可以伸缩的台灯，它的优点是可以变化伸缩，找到合适的照明角度．图①是这盏台灯的示意图．已知台灯水平放置，当灯头与支架平行时可达到最佳照明角度，此时支架与水平线的夹角，，两支架和的夹角． 如何求此时支架与底座的夹角的度数及灯头与水平线的夹角的度数呢？小明解决此问题的思路如下： (1)小明在解决问题时，过点作，则可以得到，其理由是_____________． (2)如图②，根据小明的思路求和的度数； (3)小明在解题中发现和的度数永远是相等的，与和的度数无关．小明的说法对吗？请结合图③说明理由． 【答案】(1)平行于同一条直线的两直线平行 (2)， (3)对，理由见解析 【分析】本题考查了平行线的性质，需熟练掌握平行线的三条性质，根据平行线的三条性质得到角度相等是求解本题的关键． （1）根据平行公理的推论，即“平行于同一条直线的两直线平行”即可求解； （2）根据平行线的性质，即“两直线平行，内错角相等”，可由求解；再根据“两直线平行，同旁内角互补”即可求解； （3）根据平行线的性质可得，再根据即可求解． 【详解】（1）解：平行于同一条直线的两直线平行； （或如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行）； 故答案为：平行于同一条直线的两直线平行； （2）解：如图，过点C作， ， ， ， ， ， , ， ； ， ， ， ， ， ； （3）解：对，理由如下： ， ， ， ， ， ， ， , ， ． 【变式训练】 1．某市在某段江两岸安置了两座可旋转探照灯．如图1所示灯射线从开始顺时针旋转至便立即回转，灯射线从开始顺时针旋转至便立即回转，两灯不停交叉照射巡视．若灯转动的速度是每秒3度，灯转动的速度是每秒2度，假定江两岸是平行的，即，且． (1)求的度数； (2)若灯射线先转动10秒，灯射线才开始转动，在灯射线到达之前，灯转动几秒，两灯的光束互相平行？ (3)如图2，若两灯同时开始转动，两灯射出的光束交于点，则在灯射线到达之前，当灯转动多少秒时，． 【答案】(1) (2)灯转动20秒或68秒，两灯的光束互相平行 (3)在灯射线到达之前，两灯转动20秒或76秒 【分析】本题主要考查了平行线的性质，平行公理的应用，一元一次方程的应用，解题的关键在于能够运用分类讨论的思想求解． （1）由平行线的性质结合角的倍分关系可得答案； （2）设A灯转动t秒，两灯的光束互相平行，分两种情况进行讨论：当时，当时，再建立方程求解即可； （3）分两种情况进行讨论：当时，和，再建立方程求解即可； 【详解】（1）解：，，， ． （2）解：设灯转动秒， ①如图，当时， ∵， 则， 又∵， ， ， ， ， ； ②如图，当时，∵， 则， 又∵， ， ， ， ∴， ∴； 综上，灯转动20秒或68秒，两灯的光束互相平行； （3）解：当时，设灯射线转动时间为秒， ， ， 过作，而， ∴， ∴，， 又， ， 解得：， 如图，当时，此时， 同理可得：， ， ， 综上所述，在灯射线到达之前，两灯转动20秒或76秒． 2．某学校自主研制了一种椅子（实物如图所示），可适应上课、课间休息、午睡三种状态，该椅子的凳面始终与地面保持平行，小明作出了椅子在不同状态下的主视图（从正面看）．上课时椅背与凳面垂直，腿托与凳面成夹角（如图1），有利于学生坐直听课．按下开关1（安装在点处），可以控制椅背以顺时针旋转，按下开关2（安装在点处），可以控制腿托以顺时针旋转． (1)课间可将椅背稍微调整一定的角度（如图2）作短时休息，此时腿托与椅背平行舒适度更佳，请在如图2中画出腿托； (2)从生理健康层面考虑，椅背靠后时，人体的坐姿相对更加放松，身体对血管的压迫会减轻．如图3，某同学按下开关1，使椅背从与凳面垂直时的状态顺时针旋转，此时测得，求的度数； (3)午休时，为了让学生得到充分休息，当椅背与腿托平行时达到最舒适状态（如图4），同时按下开关1和开关2，将椅子从上课状态调整到午休最舒适状态，需要多长时间？ 【答案】(1)见解析 (2) (3)将椅子从上课状态调整到午休最舒适状态，需要 【分析】（1）以点为顶点，作，即可得到所在的直线； （2）延长，交于点，利用外角的性质和两直线平行，同位角相等，进行求解即可； （3）设后椅背和腿托平行，根据，得出，解方程，即可得出结论． 【详解】（1）解：如图所示，直线即为所求； ∵ ， ∴； ∴直线即为所求； （2）解法1：延长，交于点， 当时，； 又∵，， ， 是三角形的外角， ， 即； ； 解法2：过点作， 该椅子的凳面始终与地面保持平行； ∴， ∵，， ∴， ； 当时，； ； ∵，， ； ； ； ； （3）解：设后椅背和腿托平行，则， 椅子是从上课状态调整到午休最舒适状态， ； ∵， ； 即； 解得． 答：将椅子从上课状态调整到午休最舒适状态，需要． 3．如图，是一盏可调节台灯的示意图．固定支撑杆底座于点，与是分别可绕点和旋转的调节杆，台灯灯罩可绕点旋转调节光线角度，在调节过程中，最外侧光线、组成的始终保持不变．现调节台灯，使外侧光线，，若，过点作． (1)请判断与的位置关系，并证明． (2)求的度数． 【答案】(1)平行，证明见解析 (2) 【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，平行公理，正确作出辅助线是解题的关键． （1）由，即可得到； （2）如图，过点A作，由得到，则，进而得到，再根据平行线的性质得到，由此即可得到答案． 【详解】（1）解：，理由如下， ∵，， ∴； （2）解：如图，过点A作， ∵， ∴， ∵， ∴，即， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 4．问题情境：“公路村村通”的政策让公路修到了山里，蜿蜒的盘山公路连接了山里与山外的世界．图为河南鹤壁市淇县的一段盘山公路，数学活动课上，老师把山路抽象成数学模型，并提出了以下问题： (1)如图，，，，求的度数； (2)如图改为图，其中，，，，求的度数； (3)如图，，试问，，，，，，的关系是什么？请直接写出你的结论． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】本题考查的知识点是平行于同一条直线的两直线互相平行、平行线的性质，解题关键是熟练掌握平行线的性质． （1）作交于点，可推得，再根据两直线平行，内错角相等、两直线平行，同旁内角互补即可求出； （2）作交于点，作交于点，推得后，再根据两直线平行，内错角相等、两直线平行，同旁内角互补即可得出； （3）作交于点，作交于点，作交于点，作交于点，作交于点，推得后，根据两直线平行，内错角相等即可得到各角之间的关系． 【详解】（1）解：作交于点， ， ， ，， ， ∴． （2）解：作交于点，作交于点， ， ， ，，， 又，，， ，， ， ． （3）解：作交于点，作交于点， 作交于点，作交于点， 作交于点， ， ，，， ，，， 又，，， ，， ， ， ， ， ， ， 即． 题型六：单个三角板与平行线综合问题 【例题6】．如图，直尺和三角板摆放在课桌面上，直尺的边缘，三角板中角的顶点在上，直角顶点在上，三角板与直尺边缘形成的，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查了平行线的性质，平行公理推论，过点作，且点在点的右侧，则，进而得，，由此得，再根据，即可得出的度数，熟练掌握平行线的性质是解决问题的关键． 【详解】解：过点作，且点在点的右侧，如图所示： ∵， ∴， ∴，， ∴， 即， ∵，， ∴， ∴， 故选：． 【变式训练】． 1．如图，直线，现将一个含30°角的直角三角板的锐角顶点放在直线上，将三角板绕点旋转，使直角顶点落在与之间的区域，边与直线相交于点，若，则图中的的值为（    ） A．65° B．75° C．85° D．80° 【答案】A 【分析】过A作CEl1，得到CEl1l2，根据平行线的性质得出∠3，进而求得∠4，再根据平行线的性质可求出答案． 【详解】解：过C作CEl1， ∵l1l2， ∴CEl1l2， ∴∠3=∠1=35°， ∴∠4=90°-∠3=55°， ∴∠2=180°-∠4-∠ABC=180°-55°-60°=65°． 故选：A． 2．将含有的三角板按图所示放置，点在直线上，其中，，分别过点作直线的平行线，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查平行线的性质，解题关键是结合图形利用平行线的性质进行角的转化和计算． 根据平行线性质可知，再根据三角板可知，进而求出，再根据平行线的性质即可求出． 【详解】解：，， ． ， ． ． ， ． 故选：C． 3．已知矩形，用一块直角三角板按如图所示的方式摆放，若，则的度数为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查矩形的性质，平行线公理推论，平行线的性质，正确作出辅助线是解题的关键． 如图，过点M作，根据平行线的性质与矩形的性质求解即可． 【详解】解：如图，过点M作， ∵矩形， ∴， ∵， , ∴， 由题意可知， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 4．将直尺与直角三角板按如图所示的方式摆放，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了平行线的性质，三角板中角度的计算，过点作，根据，得出，根据平行线的性质得出，，求出，即可求出结果． 【详解】解：过点作，如图所示： ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴． 故选：B． 题型七：双三角板与平行线综合问题 【例题7】．玩转三角板．在一副三角板与中，，．将这副三角板按图1的方式放置在两条平行线之间（点落在直线上，边与直线重合，点在同一条直线上，固定三角板）． (1)如图1，的度数为___________； (2)如图2，将三角板绕点逆时针方向旋转，边与三角板的边相交于点，试问：的值是否为定值？如果是，求出这个定值；如果不是，请说明理由； (3)在图1的基础上，将三角板绕点逆时针方向旋转，至边与直线首次重合时停止运动．设的度数为，试探究：在旋转的过程中，当为何值时，三角板的边与三角板的一条边平行？求出符合条件的的值． 【答案】(1) (2)为定值，这个定值为 (3)30或或 【分析】本题考查了平行线的性质、平行公理推论等知识，熟练掌握平行线的性质，并正确分情况讨论是解题关键． （1）先根据平行线的性质可得，再根据角的和差求解即可得； （2）过点作，先根据平行线的性质可得，再根据平行公理推论可得，然后根据平行线的性质可得，最后根据即可得； （3）分三种情况：①，②和③，利用平行线的性质求解即可得． 【详解】（1）解：∵，，点在同一条直线上， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． （2）解：为定值，求解如下： 如图，过点作， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． （3）解：①如图，当时， ∴， ∵， ∴， ∴点在同一条直线上， ∴， 即此时； ②如图，当时， ∵，即， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴， 即此时； ③如图，当时， ∴， 即此时； 综上，在旋转的过程中，当或或时，三角板的边与三角板的一条边平行． 【变式训练】 1．综合与探究 问题情境： 在数学实践课上，老师让同学们准备一副三角板进行“玩转三角板”的探究活动．如图1，将两个三角板叠放在一起，使直角顶点重合，其中，，，然后三角板不动，三角板绕点旋转． 操作探究： （1）图1中，若，判断线段与的位置关系，并说明理由； （2）当三角板绕点旋转到图2的位置，，求的度数； 深入思考： （3）在三角板绕点旋转的过程中，当为多少度时，？请直接写出的度数． 【答案】（1），理由见解析；（2）；（3）或 【分析】本题主要考查了平行线的性质，平行公理的应用，三角板中角度的计算，解题的关键是熟练掌握平行线的性质定理． （1）根据平行线的判定方法进行判断即可； （2）过点A作，根据平行线的性质得出则，，最后求出结果即可； （3）分两种情况：当在上方时，当在下方时，分别画出图形，求出结果即可． 【详解】解：（1）；理由如下： ∵，，， ∴， ∴； （2）过点A作，如图所示： 则， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）当在上方时，如图所示： ∵，， ∴； 当在下方时，如图所示： ∵，， ∴； 综上分析可知：或． 2．三角板与三角板如图1所示摆放，其中，，，点A，C在直线上，点E，F在直线上．固定三角板，将三角板向右平移． (1)如图2，当点B落在线段上时，求的度数； (2)在三角板平移过程中，连接，记为，为． ①如图1，当点D在直线左侧时，的值是否为定值，若是定值，请求出这个值；若不是定值，请说明理由． ②如图3，继续向右平移三角板，当点B在直线左侧时，第①题中结论是否仍成立？请说明理由． 【答案】(1) (2)①；②，详见解析 【分析】平移的性质；平行线的应用-三角尺问题，平行公理，两直线平行，内错角相等． (1)过点B作直线，可得，根据平行线的性质即可求解； (2)①过点D，点B作直线，直线，可得，根据平行线的性质即可求解； ②过点D，点B作直线，直线，可得，根据平行线的性质即可求解． 【详解】（1）解：如图，过点B作直线， 由得，， 则，， 从而 （2）①如图，分别过点D，点B作直线，直线， 由得，， ，，，，， ． ②如图，分别过点D，点B作直线，直线， 由得，， ，，，，， . 3．如图，将三角板与三角板摆放在一起；其中，，．固定三角板，将三角板绕点按顺时针方向旋转，记旋转角． (1)在旋转过程中，若，则当时，为_______度时（请直接写出值的）： (2)在旋转过程中，若，试探究与之间的数量关系； (3)在旋转过程中，若，当的一边与的一边平行（不共线）时，为_______度（请直接写出的值）． 【答案】(1) (2)当时，，当时，，当时，° (3)，， 【分析】本题考查了旋转的性质，三角尺中角度的计算，平行线的性质，解答此题的关键是通过画图，确定旋转后△ADE的位置，还注意分类求解，避免遗漏． （1）根据题意得出，然后根据平行线的性质可得，根据即可求解； （2）设∠，，在旋转过程中，分当＜时，当＜时，当时，三种情况根据平行线的性质即可求解； （3）根据题意，分①当时，②当时，③当时，分别作出图形，根据平行线的性质即可求解． 【详解】（1）解：如图， ∵， ∴ ∴ ∴， 故答案为：． （2）设：，， ①如图，当时， ，， 故； 即° ②当时，如图 ，即 ③当，如图 ∴ ∴即° ④当时，如图 ∴ ∴即° 综上所述，当时，，当时，，当时， （3）①如图 当时，， ②当时，， ③当时，， 综上所述，或或 故答案为：，，． 4．一副三角板按如图1放置，与重合．若先固定其中一块三角板（含的角），再将另一块三角板（含的角）绕点顺时针方向旋转的角，根据要求解答下列问题． (1)如图2，当时，图中与的位置关系是___________； (2)若将三角板旋转到与重叠时（如图3），则__________度； (3)当的一边与的某一边平行（不共线）时，直接写出旋转角所有可能的度数； (4)如图4，连接．当时，探究是一个定值，并说明理由． 【答案】(1) (2)45 (3) (4)保持不变；理由见解析 【分析】（1）由已知得可得，即可得出； （2）根据当旋转到与重叠时，即可得到结果； （3）要分5种情况进行讨论：，，，，，分别画出图形，计算出度数即可； （4）先设分别交于点M、N，在中，，再根据，得出，然后根据，即可得出的度数． 【详解】（1）解：， ， ， ∴（内错角相等，两直线平行） 故答案为：； （2）解：当旋转到与重叠时，， 故答案为：45； （3）解：当的一边与的某一边平行（不共线）时， 旋转角的所有可能的度数为． 如图所示： ①当时，则， 故； ②当时，； ③当时， ， ， ； ④当时，； ⑤当时，． （4）解：如图4， 当时，保持不变；理由如下： 设分别交于点M、N， 在中，， ，， ， ， ． 题型八：与平行线相关的网格作图问题 【例题8】．如图，在的正方形网格中，三角形的三个顶点均在方格图中的格点上，按下列要求画图． (1)在图①中，经过点画出线段的垂线； (2)在图②中，画，使； (3)在图③中，点也在格点上，在线段上找到点，使的长度最小． 【答案】(1)画图见解析 (2)画图见解析 (3)画图见解析 【分析】（）取格点，作直线即可； （）利用平行线的性质画图即可； （）连接交于点，点即为所求； 本题考查了作图应用与设计作图，掌握相关知识解决问题是解题的关键． 【详解】（1）解：如图①所示，直线即为所求； （2）解：如图②所示，即为所求； （3）解：如图③所示，点即为所求． 【变式训练】． 1．下列图形中，按要求在上画出点E，使． (1)如图①，点A、B、C、D均在正方形网格格点上，用无刻度直尺画点E； (2)如图②，用无刻度直尺与圆规作点E（不写作法，保留作图痕迹）． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查尺规作图—平行线的作法，正确理解题意是解题的关键． （1）根据平行线间的距离处处相等即可画出图形； （2）根据平行线间的距离处处相等，利用尺规作图作出图形即可． 【详解】（1）解：点E如图所示： ； （2）解：点E如图所示： ． 2．如图，是的正方形网格，每个小正方形的顶点为格点，线段的两个端点及点C均在格点上． (1)过点C作的平行线，要求点E、F在点C的异侧，点E在点F的上方； (2)在上取一点M，画线段，使其长度表示点C到的距离； (3)点D是线段与网格线的交点，连接，，写出与互补的角是 ；比较线段的大小： （填“”、“”或“”）．理由是 ． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)、；，垂线段最短 【分析】此题考查了作图−平行线；作图−垂线；线段的长短比较；同旁内角的概念， （1）根据作图-平行线，结合题意画图即可求解； （2）根据作图-垂线，结合题意画图即可求解； （3）根据邻补角的定义、平行线的性质、垂线段最短等即可求解． 【详解】（1）解：如图，即为所求， （2）解：如图，即为所求， （3）解：如图， 与互补的角是、， ∵， ∴， ∵与是邻补角， ∴， ∴与互补的角是、， 由图可知，，理由垂线段最短． 故答案为：、；，垂线段最短． 3．如图，在正方形网格中有一条线段，按要求进行下列作图（借助于网格）． (1)画出先将线段向右平移3格，再向上平移2格后的线段； (2)连接、，求的面积； (3)点P为网格中格点，且点P满足，则满足条件的点P的个数为 ． 【答案】(1)见解析 (2)1 (3)8 【分析】本题考查了作图-平移变换，三角形的面积，熟记平行线之间的距离处处相等是解题的关键． （1）根据平移变换的性质找出对应点即可求解； （2）根据三角形的面积公式求解即可； （3）在的上下两侧过格点分别作的平行线即可得出结果． 【详解】（1）解：如图所示，线段即为所求； （2）的面积； （3）取格点，可知，过点作平行线，则平行线上的格点与构成的三角形面积均为2， 在右侧同理即可， 如图所示，满足条件的点的个数为8， 故答案为：8． 4．如图，正方形网格中所有小正方形的边长都为1，规定每个小正方形的顶点为格点，点A、B、C都在格点上． (1)的面积______． (2)利用网格画出的高； (3)在格点上找一点D并连接线段，使得； (4)点P到点A、B、C、D的距离的和最小，画出点P． 【答案】(1) (2)见详解 (3)见详解 (4)见详解 【分析】本题考查作图—应用与设计，平行线的判定和性质、三角形高线等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型； （1）利用矩形的面积减去三个顶点上三角形的面积即可； （2）利用三角形高的定义求解即可； （3）根据平行线的判定和性质即可解决问题； （4）连接交于点P，则点P即为所求； 【详解】（1）由图可知，的面积矩形面积三个直角三角形面积： ， 故答案为：； （2）如图线段即为所求； （3）如图线段即为所求； （4）如图点即为所求； 点P到点A、B、C、D的距离的和的最小值 题型九：与平行线相关的尺规作图问题 【例题9】．我们知道，将一个三角形的其中一个角撕下来，拼到另一个角的旁边，可以得到三角形三个内角的和为．小明认为，不用撕角，利用尺规作平行线也可以说明这个结论．如图，，，是的三个内角． (1)利用尺规作过点的直线，使；（不写作法，保留作图痕迹） (2)试说明． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了尺规作图—平行线，平行线的判定和性质，三角形的内角和等知识点，解题的关键是熟练掌握平行线的性质． （1）作，利用内错角相等两直线平行即可； （2）利用平行线的性质即可得出结论． 【详解】（1）解：如图所示，； （2）解：由作图，， 根据“内错角相等，两直线平行”， 所以, 根据“两直线平行，内错角相等”， 所以 因为是平角， 根据“平角的定义”， 所以， 所以． 【变式训练】． 1．如图，直线与相交于点A，平分． (1)利用尺规：过点B作直线，交于点D； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】本题考查了与角平分线有关的计算，作一个角等于已知角，平行线的性质与判定，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）在点处作，根据内错角相等，两直线平行，得出，即可作答． （2）先结合平行线的性质得，根据角平分线的定义得，因为两直线平行，内错角相等得，即可作答． 【详解】（1）解：，如图所示； （2）解：由（1）得， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴． 2．如图，点D是线段上的一点． (1)请用尺规过点D作直线，，使，． (2)判断 和相交所成的锐角与的数量关系． 【答案】(1)见解析 (2)相等 【分析】本题考查作平行线，平行线的判定和性质，熟练掌握平行线的判定和性质是解题的关键． （1）利用尺规基本作图-作一角等于已知角，在上方作，射线交于F，再过点D、F作直线；在上方作，射线交于N，再过点D、N作直线． （2）利用平行线的判定与性质求解即可． 【详解】（1）解：如图所示，直线、即为所求． （2）解：和相交所成的锐角与相等，理由如下： 由作图可知：， ∴， ∴， 由作图可知：， ∴， ∴， ∴，即和相交所成的锐角与相等． 3．如图，是边上的一点，请用尺规在边上求作一点，连接，使得．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】图见详解 【分析】本题主要考查基本作图知识，涉及作一个角等于已知角、平行线的性质和等面积法的应用知识点，过点D作一个角等于已知角，连接交直线于点E，则有，结合同底等高即可知点E满足要求． 【详解】解：如图点E即为所求： 4．如图，是两面互相平行的镜面，一束光线照射到镜面上，反射光线为，则．用尺规作出，使得． 【答案】见解析 【分析】考查了平行线的性质与判定的综合运用及作一角等于已知角，作垂线，平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的性质与判定是解决本题的关键． 根据尺规作图的基本方法，作过作的垂线，即法线，再作反射角等于入射角即可；由反射和垂直的意义结合平行线的性质可得，利用平角的定义可得，由平行线的判定可得与平行． 【详解】解：如图，即为所作， ，理由如下： 如图： 过点作的垂线， 由题意得，， ∴， ∴ ∵， ∴， 同理可证明：， ∴， ∵， ∴, ． 题型十：利用平行线性质与判定探究角的数量关系问题 【例题10】．如图，，定点，分别在直线，上，在平行线、之间有一动点，满足． (1)试问，，满足怎样的数量关系？ 解：由于点是平行线、之间有一动点，因此需要对点的位置进行分类讨论；如图1，当点在的左侧时，，，满足数量关系为________，如图2，当点在的右侧时，，，满足数量关系为________． (2)如图3，，分别平分和，且点在左侧． ①若，则________°． ②猜想与的数量关系，并说明理由． ③如图4，若与的角平分线交于点，与的角平分线交于点，与的角平分线交于点，此次类推，则与满足怎样的数量关系？（直接写出结果） 【答案】(1)（1）， (2)①150；②与的数量关系为，理由见解析；③ 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，角平分线的定义，图形规律问题． （1）如图1，过点作，证得，然后根据平行线的性质证得结论，如图2，过点作，证得，然后根据平行线的性质证得结论； （2）①如图3，过点作，过点作，然后根据平行线的性质得到，，由，，分别平分和，即可求得结论； ②同①即可求得结论； ③由（2）②知，进而，，由规律即可求得结论． 【详解】（1）如图1，过点作， ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， 如图2，过点作， ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， 故答案为：，； （2）①如图3，过点作，过点作， ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， 同理：， ∵， ∴， ∴， ∵，分别平分和， ∴ ∴； ②由（1）可知，， ∵，分别平分和， ∴，， ∴， ∴； ③由（2）②知， 同理可证：， ， …… ， 故答案为：． 【变式训练】． 1．已知：，点E在直线，外，连接，．探究，，之间的数量关系． (1)如图1，过点E作，∵，∴，∴，，则，，之间的数量关系为______； (2)如图2，过点E作，猜想，，之间的数量关系，并证明； (3)如图3，过点E作，直接写出，，之间的数量关系为______． 【答案】(1) (2)，证明见解析 (3) 【分析】本题主要考查了平行线的性质，解决本题的关键是根据图形的性质找角之间的关系． （1）利用两直线平行，内错角相等即可解答； （2）同理（1）利用两直线平行，内错角相等可得，再利用周角的定义即可解答； （3）利用两直线平行，内错角相等可得，，再根据，即可解答． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴，， ∴； （2）解：，证明如下： 同理（1）可得，， ∴， ∴， ∴； （3）解：∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴． 2．问题情境：如图，，定点E，F分别在直线，上，在平行线，之间有一个动点P，满足．求，，满足的数量关系． 思路点拨：由于点P是平行线，之间一动点，因此需对点P的位置进行分类讨论，过点P作的平行线，通过平行线的性质推出，，的数量关系． (1)问题解决：如图1，当点P在的左侧时，写出，，满足的数量关系_____；如图2，当点P在的右侧时，写出，，满足的数量关系______． (2)问题迁移：如图3，、分别平分和，且点P在左侧． ①若，则的度数为_______； ②猜想与的数量关系，并说明理由； (3)问题拓展：如图4，若与的角平分线交于点，与的角平分线交于点，与的角平分线交于点，以此类推，直接写出与满足的数量关系． 【答案】(1)， (2)①② (3) 【分析】本题考查了平行线的判定及性质； （1）当点P在的左侧时，过点P作，由平行线的判定方法得，由平行线的性质得，，即可求解；当点P在的右侧时，同理可求解； （2）①由（1）知，，即可求解；② ，分别平分和，设：，，即可求解； （3）同理可得，，可得，即可求解； 掌握查了平行线的判定及性质，能根据题意进行分类讨论是解题的关键． 【详解】（1）解：当点P在的左侧时， 如图，过点P作， ， ， ， ， ； 当点P在的右侧时， 如图，过点P作， ， ， ， ， ； 故答案为：， ； （2）解：①由（1）知， ， ，分别平分和， ， ， ， ， ， 故答案为； ②如图3，，分别平分和， 设：， ， 则 ， ， 即：； （3）解：同理可得， ， ， 故：． 3．综合与探究 问题情境： 数学活动课上，老师提出如下问题：如图1，将含的三角尺如图方式摆放，点A、C分别在边和上，．三角尺中，，，．猜想与的数量关系，并说明理由． 问题初探： （1）若，则__________°； （2）小宇同学通过小组合作探究，发现了一种证明方法．如图2，过点C作，交于点H，请你根据小宇同学提供的辅助线，先确定与的数量关系，再说明理由； 类比再探： （3）如图3，把“”改为“”，其它条件不变，猜想与的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）60；（2），理由见解析；（3），理由见解析 【分析】本题考查平行线的性质．辅助线的添加是解题的关键也是解题的难点． （1）过点C作，交于点H，利用平行线的判定和性质求解即可； （2）过点C作，交于点H，设，利用平行线的判定和性质求解即可； （3）过点C作，交于点H，设，同样的方法求解即可． 【详解】解：（1）过点过点C作，交于点H， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：60； （2）过点C作，交于点H， ∴， 设， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）过点C作，交于点H，设， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，即； 4．（1）【问题情境】如图1，，，，求的度数．小明的思路是：过点作，通过平行线性质可求得的度数是__________； （2）【问题迁移】如图2，，点在射线上运动，记，，当点在，两点之间运动时，与，之间有何数量关系？请说明理由； （3）【联想拓展】在（2）的条件下． ①如图3，当点在线段上时，请写出与，之间的数量关系：__________； ②如图4，当点在的延长线上时，请写出与，之间的数量关系：__________． 【答案】（1）；（2），见解析；（3）①；②． 【分析】本题主要考查了平行线的性质，理解题意、作出适合的辅助线是解题关键． （1）根据平行线的性质进行计算，即可求解． （2）过点作，根据平行线的性质得、，即可求解； （3）①过点作，根据平行线的性质得、，通过即可求解； ②过点作，根据平行线的性质得、，通过即可求解． 【详解】解：（1）如图，过点作， ，， ， ，， ，， ， ， ． （2）如图，过点作， ，， ， ，， ． （3）①如图，过点作， ，， ， ，， ． ②如图，过点作， ，， ， ，， ． 【突破三：基础运用突破】 （本关共10题，包含期末考必考基础考点，限时15分钟） 1．如图，直线、分别被和所截，下列结论错误的是（   ） A．与是一对内错角 B．与是一对同位角 C．与是一对内错角 D．与是一对同旁内角 【答案】C 【分析】本题主要考查了同位角，内错角和同旁内角的定义，两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的同侧，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同位角；两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线（截线）的两旁，则这样一对角叫做内错角；两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同旁内角；据此分别进行分析可得答案． 【详解】解：A、与是一对内错，原结论正确，不符合题意； B、与是一对同位角，原结论正确，不符合题意； C、与不是一对内错角，原结论错误，符合题意； D、与是一对同旁内角，原结论正确，不符合题意； 故选：C． 2．题目：如图，已知．不添加辅助线，请再添加一个条件，使成立．甲、乙、丙分别给出了答案，下列判断正确的是（    ） 甲：；乙：；丙： A．只有甲对 B．甲和乙都对 C．乙和丙都对 D．甲、乙、丙都对 【答案】D 【分析】由平行线的性质得，结合等式的性质可判断甲；由得，从而同甲可判断乙；由可知，从而同乙可判断丙． 【详解】甲：∵， ∴， ∵， ∴， ∴，故甲的说法正确； 乙：∵， ∴， ∴同甲可知乙的说法正确； 丙：∵， ∴， ∴同乙可知丙的说法正确． 故选D． 【点睛】本题考查了平行线的性质和判定，能运用平行线的性质和判定进行推理是解此题的关键，注意：①两直线平行，同位角相等，②两直线平行，内错角相等，③两直线平行，同旁内角互补，反之亦然． 3．如图是某种单车车架的示意图，线段，，分别为前叉、下管和立管（点C在上），为后下叉．已知，，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了应用平行线的性质求角度，先根据“两直线平行，内错角相等”求出，进而求出，然后根据“两直线平行，内错角相等”得出答案． 【详解】解：∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． 故选：B． 4．一把直尺和一块三角板（，角）如图所示摆放，直尺一边与三角板的两直角边分别交于A，D两点，另一边与三角板的两直角边分别交于E，F两点，，则的大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平行线的性质，正确掌握平行线的性质是解题的关键． 根据“两直线平行，同位角相等”，再根据角之间的和差关系即可求解． 【详解】解：根据题意可知，，， 则， ， ． 故选：B． 5．如图，平行于主光轴的光线和经过凸透镜折射后，折射光线，交于主光轴上一点G，若，，则的度数是（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了平行线的性质，根据物理学原理可知：，再根据平行线的性质求出和，从而求出，最后根据对顶角相等求出答案即可． 【详解】解：由题意可知：， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：A． 6．如图，，，，则为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平行线的判定和性质，过点作，得，同理，再求出比值即可． 【详解】解：过点作， ∵， ∴， ∴， ∴， 同理可得：， ∵，， ∴， ∴． 故选：B． 7．如图，是路政工程车的工作示意图，工作篮底部与支撑平台平行．若，，则的度数为 ． 【答案】55° 【分析】本题考查平行线的性质，根据题意作出辅助线，构造出平行线是解题的关键． 过点作，故可得出，再由平行线的性质即可得出结论． 【详解】解：如图，过点作， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 8．如图，直线，相交于点O，是内部的一条射线，E，G是上的点，且于点D，，交于点F．若，则的度数是 ． 【答案】/度 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，垂线段的定义，对顶角相等． 过点作，可得求得，从而推出，即可解答． 【详解】解：如图，过点作， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 9．如图，已知，点在上方，连接，．． (1)如图（1），若，求的度数； (2)如图（2），与互相垂直，垂足为，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查平行线的判定与性质，周角，掌握知识点是解题的关键． （1）过点作，求出，推导出，得到，则，即可解答； （2）过点作，得到，，推导出，，则，即可解答． 【详解】（1）解：如图（1），过点作， ， ，， ， ， ， ； （2）解：如图（2），过点作， ， ， ， ， ，， ， ． 10．如下图，在三角形ABC中，，点E在BC上，过点E作． (1)试探究CD与EF的位置关系，并说明理由． (2)若，且，求的度数． 【答案】(1)．理由见解析 (2) 【分析】（1）根据垂直于同一条直线的两条直线互相平行进行解答即可； （2）先根据平行线的性质得出，根据，得出，证明，根据平行线的性质即可得出． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴． （2）解：（2）∵， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴． 【突破四：能力提升突破】 1．如图，直线，被直线所截，射线经过直线，的交点，下列说法一定正确的是（    ） A．和是对顶角 B．和是内错角 C．和互为邻补角 D．和是同位角 【答案】D 【分析】本题考查了对顶角、邻补角、内错角、同位角以及同旁内角，根据对顶角、邻补角、内错角、同位角以及同旁内角的定义结合具体图形进行判断即可，熟练掌握相关定义是解题关键． 【详解】解：、和不是对顶角，原选项不符合题意； 、和不是内错角，原选项不符合题意； 、和为同旁内角，原选项不符合题意； 、和是同位角，原选项符合题意； 故选：． 2．如图，若，则角，，的关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先过点作，由平行线的传递性可得，根据两直线平行，同旁内角互补与两直线平行，内错角相等，即可求得角，，的关系； 本题考查了平行线的性质，熟练掌握两直线平行的性质、过拐点作辅助线是解题的关键． 【详解】解：过点作， ，， ， ， ， ， ， ， ． 故选：D． 3．如图，已知，则、、、的关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行线的性质，过点作，过作，得，则，，由三角形外角的性质得，根据得，再代入计算可得结论． 【详解】解：过点作，过作， ∵， ∴ ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：A． 4．如图，在中，过点作，点是内一点，连接，过点作，交于点，已知，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的性质，角的和差的知识，熟练掌握以上知识是解题的关键． 根据内错角相等可得，同旁内角互补可得，再根据角的和差可得． 【详解】解：∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故选：B． 5．如图，图1是路政部门利用折臂升降机维修路灯的图片，图2是它的平面示意图，已知路灯和折臂的底座都与地面垂直，同时上折臂与下折臂的夹角，下折臂与底座的夹角，那么上折臂与路灯的夹角的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的性质的应用，过点E作交于点F，过点D作，由平行线的性质求出，进而求得，进而可得答案． 【详解】解：如图，过点E作交于点F，过点D作， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴． 6．如图，这是一款自行车的平面示意图，其中，那么下列结论错误的是（   ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，，那么 D．如果，，，那么 【答案】C 【分析】本题主要考查了平行线的判定和性质．根据平行线的判定和性质逐一分析即可解答． 【详解】解：A、若，则，结论正确，本选项不符合题意； B、若，则，结论正确，本选项不符合题意； C、若， ∴， ∵， ∴， ∴，原结论错误，本选项符合题意； D、若，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，结论正确，本选项不符合题意． 故选：C． 7．将一副直角三角尺按如图位置摆放在同一平面内，含角的直角三角尺的直角顶点E在含角的直角三角尺的斜边上，且点F在的延长线上，已知，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，由题意得，，，结合可得，进而可判定，根据平行线的性质可求出的度数． 【详解】解：由题意得，，， ， ， ， ， ， 故选：C． 8．如图，在四边形中，，D为线段上的一个动点，连接，并作，交于点M，，的平分线相交于点N，在点D的运动过程中，的大小不会发生变化，则 °． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，与角平分线有关的计算问题，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先过点作，过点作，运用平行线的性质得，即，又因为，的平分线相交于点N，得，同理得，所以，即可作答． 【详解】解：过点作，过点作，如图所示： 依题意，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵，的平分线相交于点N， ∴， ∴， 即， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 9．已知：线段垂直直线，垂足为点P，点A、C分别是直线、线段上一点，平分，且，过点B作，平分交于点E． (1)如图1，若点A与点P重合，则______°； (2)如图2，若点A在射线上向右移动，其它条件不变， ①若，试求和的大小； ②在点A移动的过程中，的大小是否发生改变？若不变，请求出的值；若变化，请说明理由． 【答案】(1)45 (2)①，；②的大小不变，是 【分析】本题主要考查平行线的性质与判定、角平分线的定义及垂线的定义，熟练掌握平行线的性质与判定、角平分线的定义及垂线的定义是解题的关键； （1）由题意易得，则有C，B，D共线，然后根据角平分线的定义可得，，进而问题可求解； （2）①过点C作，则有，由题意易得，然后可得，，进而根据角平分线的定义及角的和差关系可进行求解；②设，同理①可进行求解． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴C，B，D共线， ∵平分， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， 故答案为：45； （2）解：①如图，过点C作， ∵， ∴， ∵，平分， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴； ②不改变，理由如下： 设， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， 即的大小不变，是． 10．学习数学要求我们用数学的眼光观察现实世界．一副三角尺为我们观察世界提供了平台，如图所示的是一副三角尺，，，． (1)将两个三角尺按如图①所示的方式摆放，使点与点重合，点在上，与相交于点，则的度数为 度； (2)如图②，将三角尺的直角顶点放在直线上，使，三角尺的顶点在直线上，与相交于点，则与有怎样的数量关系？请说明理由； (3)如图③，将三角尺固定不动，改变三角尺的摆放位置，但始终保持两个三角尺的顶点，重合．当点在直线的下方时，探究所在直线与三角尺一边互相垂直的情况，请直接写出所有可能的度数． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3)角度所有可能的值是或或 【分析】本题主要考查了平行线的性质和判定，熟练掌握分类讨论的思想方法是解题的关键． （1）过点作，根据同旁内角互补可得，根据平行线的判定定理得出，根据平行线性质可知，，即可求解； （2）过点作，根据平行线的判定定理得出，根据平行线的性质可得，，即可求解； （3）分为、、三种情况分别分析，即可求解． 【详解】（1）解：过点作，如图， 依题意得：，，，， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴， 故答案为：． （2）解：，理由如下： 过点作，如图， ∵，， ∴， ∴，， ∵，且， ∴． （3）解：角度所有可能的值是或或． ①当时，如图， ∵，， ∴， ∴， ∴； ②当时，如图， 此时； ③当时，如图， 此时 综上，角度所有可能的值是或或． 第2页 学科网（北京）股份有限公司 $