专项突破12 多边形（期末复习-知识回顾+6个重难点培优题型+真题演练 共33题）-2025-2026学年苏科版数学七年级上册精讲练

专项突破12 多边形 （知识回顾+6个重难点培优题型+真题演练 共33题） 【原卷版】 知识回顾 技巧点拨 1 知识点梳理01：多边形的概念 1 知识点梳理02：多边形的外角与相邻内角的关系 2 知识点梳理03：正多边形 2 重点难点 培优讲练 3 题型1 多边形的概念与分类 3 题型2 多边形截角后的边数问题 4 题型3 多边形的周长 5 题型4 网格中多边形面积比较 5 题型5 多边形对角线的条数问题 7 题型6 对角线分成的三角形个数问题 8 期末真题 实战演练 10 知识点梳理01：多边形的概念 1．多边形的概念：在平面内，不在同一直线上的一些线段首尾顺次相接所组成的图形叫做多边形． 2．相关元素： 边：组成多边形的各条线段叫做多边形的边． 顶点：每相邻两条边的公共端点叫做多边形的顶点． 内角：多边形相邻两边组成的角叫多边形的内角，一个n边形有n个内角。 外角：多边形的边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角。 对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线． 3. 多边形的分类: 根据多边形边的数量，多边形可以分为三角形、四边形、五边形……等； 4. 多边形的表示方法: 先写出多边形的名称，然后按顶点逆时针或顺时针的顺序写出表示它的各顶点的字母。 如上图，它们的命名分别为：. 知识点梳理02：多边形的外角与相邻内角的关系 1．多边形的外角：多边形的边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角。 2. 多边形的外角与相邻内角的关系：互补关系，即和为180度。 知识点梳理03：正多边形 1．正多边形的概念：各边相等，各内角也相等的多边形叫作正多边形。 易错点拨 正多边形必须同时满足“各边相等”，“各角相等”两个条件，二者缺一不可； 2.常见的正多边形实例： 正三角形 正四边形 正五边形 正六边形 题型1 多边形的概念与分类 【精讲】（24-25九年级上·北京海淀·期中）阅读下列材料，并按要求完成相应的任务． 你知道“皮克定理”吗？ “皮克定理”是奥地利数学家皮克（如图1）发现的一个计算点阵中多边形的面积公式．在一张方格纸上，上面画着纵横两组平行线，相邻平行线之间的距离都相等，这样两组平行线的交点，就是所谓格点．一个多边形的顶点如果全是格点，这个多边形就叫做格点多边形．有趣的是，这种格点多边形的面积计算起来很方便，只要数一下图形边线上的点的数目及图内的点的数目，就可用公式算出．即，其中表示多边形内部的点数，表示多边形边界上的点数，S表示多边形的面积．（利用图2中的多边形可以验证）这个公式是奥地利数学家皮克在1899年发现的，被称为“皮克定理”． 任务： (1)如图2，是的正方形网格，且小正方形的边长为1，利用“皮克定理”可以求出图中格点多边形的面积是______． (2)已知：一个格点多边形的面积S为19，且边界上的点数是内部点数的3倍，则______． 【变式1】（22-23八年级上·河南商丘·阶段练习）如图1，在五边形中，．    (1)猜想与之问的位置关系，并说明理由； (2)如图2，连接，若平分，求的度数． 【变式2】（22-23七年级上·全国·单元测试）如图，你能数出多少个不同的四边形？ 题型2 多边形截角后的边数问题 【精讲】（23-24七年级上·甘肃兰州·期末）把一张形状是四边形的纸片剪去其中某一个角，剩下的部分的形状不可能是（   ） A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形 【变式1】（24-25八年级上·湖南长沙·阶段练习）若一个四边形截去一个角后，可能为（　　）边形 A．4或5 B．3或4 C．3或4或5 D．4或5或6 【变式2】．（24-25七年级上·全国·课后作业）如图，从五边形纸片中剪去一个三角形，剩余部分是（    ） A．四边形 B．五边形 C．六边形 D．以上都有可能 题型3 多边形的周长 【精讲】（25-26七年级上·江苏连云港·开学考试）一个边长的正方形，把4个角各剪去边长的小正方形．那么它的周长（   ） A．增加 B．减少 C．增加 D．保持不变 【变式1】（24-25八年级下·浙江·月考）在一个正五边形 的主题公园步道上，其总长度为 2000 米，小李和小张分别从 两点同时开启步行之旅，沿着步道的顺时针方向行进，小李的步行速度为每分钟 50 米，小张的步行速度为每分钟 46 米．请问，从出发开始计时，经过 时间，小李和小张首次处于同一段步道上． 【变式2】（21-22七年级上·福建福州·期末）如图，在边长为的大正方形中，剪去一个边长为的小正方形，然后将余下的部分剪开拼成如图所示的长方形，若记大正方形的周长为，拼成的长方形的周长为，则与的大小关系是 ． 题型4 网格中多边形面积比较 【精讲】（21-22七年级下·天津南开·期末）正方形网格中的交点，我们称之为格点．如图所示的网格图中，每个小正方形的边长都为．现有格点，那么，在网格图中找出格点，使以和格点为顶点的三角形的面积为1．这样的点可找到的个数为（       ） A．4 B．5 C．6 D．7 【变式1】（2021·北京昌平·二模）如图所示的网格是正方形网格，点A，B，C，D是网格线交点，则的面积与的面积大小关系为： （填“＞”“＝”或“＜”）， 【变式2】（2021·北京海淀·一模）图1是一个正方形网格，两条网格线的交点叫做格点．甲、乙两人在网格中进行游戏，规则如下： 游戏规则 a．两人依次在网格中画线段，线段的起点和终点均为格点； b．新画线段的起点为前一条线段的终点，且与任意已画出线段不能有其它公共点； c．已画出线段的所有端点中，任意三个端点不能在同一条直线上； d．当某人无法画出新的线段时，则另一人获胜． 如图2，甲先画出线段，乙随后画出线段．若这局游戏继续进行下去，最终的获胜者是 ．（填“甲”，“乙”或“不确定”）． 题型5 多边形对角线的条数问题 【精讲】（25-26九年级上·广东东莞·期中）探究归纳题： 【试验分析】 （1）如图①，过点可以作1条对角线；同样，经过点可以作1条对角线；经过点可以作1条对角线；经过点可以作1条对角线；且对角线与为同一条．通过以上分析和总结，图①共有________条对角线； 【拓展延伸】 （2）运用（1）的分析方法可得：图②每个顶点出发有________条对角线，共有________条对角线；图③共有________条对角线； 【探索归纳】 （3）对于边形，共有________条对角线（用含的代数式表示）； 【特例验证】 （4）十边形共有________条对角线． 【变式1】（24-25七年级上·陕西西安·阶段练习）从六边形的一个顶点出发，可以画出m条对角线，它们将六边形分成n个三角形，则的值为 ． 【变式2】（2024七年级下·江苏·专题练习）连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线，如图（1），、是五边形的对角线．思考下列问题： (1)如图（2），边形中，过顶点可以画 条对角线，它们分别是 ；过顶点可以画 条对角线，过顶点可以画 条对角线． (2)过顶点的对角线与过顶点的对角线有相同的吗？过顶点的对角线与过顶点的对角线有相同的吗？ (3)在此基础上，你能发现边形的对角线条数的规律吗？ 题型6 对角线分成的三角形个数问题 【精讲】（2025八年级上·全国·专题练习）把一个多边形用连接它的不相邻顶点的线段（这些线段不在多边形内部相交）划分为若干个三角形，叫作多边形的三角剖分． 【初步探究】如图所示，从多边形的一个顶点出发，分别连接这个多边形的其余各顶点，则可以把这个多边形分成若干个三角形． （1）若多边形是一个五边形，则可以分割成______个三角形；若多边形是一个六边形，则可以分割成______个三角形，…，则n边形可以分割成______个三角形； （2）如果从一个多边形的一个顶点出发，分别连接其余各顶点，将这个多边形分割成了2026个三角形，那么此多边形的边数为______； 【深入探究】创新小组的小梦同学想到了另一种剖分方法，如下图所示： （1）按照图中所示的方法将多边形分割成三角形，图1中四边形可分割出4个三角形；图2中五边形可分割出______个三角形；图3中六边形可分割出______个三角形； （2）你能由（1）的结论归纳出分割成三角形的个数n与多边形边数m之间的关系吗？ 【变式1】（24-25七年级下·河南南阳·月考）某中学七年级数学兴趣小组在探究“边形的相关性质”这一知识点时，设计了如下表格： 多边形的边数 从多边形的一个顶点引出对角线的条数 从多边形的一个顶点引出的对角线将多边形分割出三角形的个数 (1)填空：______，______．（用含的式子表示） (2)过多边形的一个顶点的所有对角线的条数与这些对角线将多边形分割所得的三角形的个数的和可能为吗？若能，求出这个多边形的边数；若不能，请说明理由． 【变式2】（25-26八年级上·山西大同·月考）把一个多边形用连接它的不相邻顶点的线段（这些线段不在多边形内部相交）划分为若干个三角形，叫作多边形的三角剖分．一个多边形往往有多种方法进行三角剖分，若边形三角剖分的方法数为，则．其中，则六边形的三角剖分方法数为（    ） A．16 B．15 C．14 D．13 1．（24-25七年级上·山东枣庄·月考）下列说法①线段，则点C是线段的中点；②两点之间的线段叫做两点之间的距离；③用度、分、秒表示为；④过八边形的一个顶点可作5条对角线．正确的有（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（24-25七年级上·辽宁辽阳·阶段练习）从六边形的一个顶点出发，可以画出m条对角线，它们将六边形分成n个三角形．则的值为 （     ） A．0 B．1 C．6 D． 3．（24-25七年级上·广东深圳·期末）下列说法中，正确的是（   ） A．单项式的系数是，次数是 B．从数的角度是指的数量为，从形的角度是指在数轴上表示的点到原点的距离为 C．“挂条幅时要钉两个钉子才能牢固”的现象可用“两点之间线段最短”来解释 D．过六边形的一个顶点与其他顶点的连线把图形分成个三角形 4．（23-24七年级上·河北保定·期末）下面是琪琪提交的作业，她做对的题数是（    ） ①过八边形的一个顶点可以引出6条对角线；②的系数是；③既是分数，也是有理数；④和相等；⑤用一个平面去截一个三棱柱，截面可能是三角形； A．2道 B．3道 C．4道 D．5道 5．（20-21七年级上·山东菏泽·期末）有下列说法：①由许多条线段连接而成的图形叫做多边形；②从一个多边形（边数为）的同一个顶点出发，分别连接这个顶点与其余与之不相邻的各顶点，可以把这个多边形分割成个三角形；③角的边越长，角越大；④一条射线就是一个周角．其中正确的结论有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．0个 6．（21-22七年级上·四川眉山·期末）从n边形的一个顶点出发，连接其余各顶点，可以将这个n边形分割成4个三角形，则 ． 7．（24-25七年级上·山东枣庄·期末）在研究多边形的几何性质时，我们通常把它分割成几个三角形进行研究．从一个多边形的一个顶点引出的所有对角线，把它分割成5个三角形，则这个多边形的边数是 ． 8．（23-24七年级上·贵州毕节·期末）过多边形的一个顶点能引出条对角线，则这个多边形的边数是 ． 9．（23-24七年级上·陕西西安·期末）从一个多边形的同一个顶点出发，分别连接这个顶点与其余各顶点，若把这个多边形被分割成2018个三角形，则这个多边形的边数为 ． 10．（21-22七年级上·四川成都·期末）过某一个多边形一个顶点的所有对角线，将这个多边形分成4个三角形，这个多边形的边数是 ． 11．（24-25七年级上·贵州六盘水·期末）如图，在同一平面内有5个点． (1)请按下列要求作图：连接．你得到了一个怎样的图形？ (2)在（1）的条件下，所连线段相交组成的五边形共有多少条对角线？ 12．（24-25七年级上·天津河西·期中）（1）如图①，从一个五边形的一个顶点出发，除去这个顶点本身及与它相邻的两个顶点，能画出条对角线．这样依次从五边形的5个顶点去画，可以画条对角线，但发现其中每一条对角线都重复画了一次，所以，五边形共有______条对角线； （2）同理，从一个n边形的一个顶点出发，除去它本身及与它相邻的两个顶点，有条对角线．这样，从n个顶点出发，可以有条对角线，但每一条对角线都重复算了一次，所以，n边形共有______条对角线； （3）如图②，当时，求这个十边形的对角线条数． 13．（24-25七年级上·河南郑州·期末）在学习数学知识的过程中，我们经历过很多次“归纳”的过程，即从几种特殊情形出发，进而找到一般规律的过程．数学活动课上，同学们利用“归纳”策略探究“十二边形内有30个点（任意三点不共线），将这30个点与十二边形的顶点相连可以把十二边形分割成多少个三角形（互相不重叠）”的问题．小明认为可以先从最简单的三角形进行研究，先研究三角形内有1个点、2个点、3个点…的情形（如下图）： 填写数据： 三角形内点的个数 1 2 3 4 5 … 分割成的三角形的个数 3 5 7 a 11 … 再分别研究四边形、五边形、六边形…内有1个点、2个点、3个点…的情形．根据小明的研究思路，解答下列问题： (1)表中 ； (2)发现规律，当三角形内点的个数增加1，分割成三角形的个数就会增加 个：当三角形内有n个点时，分割成 个三角形； (3)当三角形内有30个点时，分割成多少个三角形？原三角形被若干个点分割成三角形的个数可以是2024个吗？为什么？ (4)直接写出当四边形内有30个点时，分割成多少个三角形？当十二边形内有30个点时，分割成多少个三角形？ 14．（20-21七年级上·河南信阳·期末）请仔细观察下面的图形和表格，并回答下列问题： 多边形的顶点数/个 4 5 6 7 8 …… 从一个顶点出发的对角线的条数/条 1 2 3 4 5 …… ①___________ 多边形对角线的总条数/条 2 5 9 14 20 …… ②___________ （1）观察探究：请自己观察上面的图形和表格，并用含的代数式将上面的表格填写完整，其中①______________________；②______________________； （2）实际应用：数学社团共分为6个小组，每组有3名同学．同学们约定，大年初一时不同组的两位同学之间要打一个电话拜年，请问，按照此约定，数学社团的同学们一共将拨打电话多少个？ 15．（24-25七年级上·江苏宿迁·期末）（1）如图1，，顶点在直线上，边、分别与直线交于点、，且．求证：； （2）如图2，在（1）的条件下分别作与的平分线、交于点，求的度数； （3）如图3，在（1）的条件下作的角平分线，过点作一条射线，交直线于点，当时，请直接写出与的关系式． 第 1 页 共 11 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专项突破12 多边形 （知识回顾+6个重难点培优题型+真题演练 共33题） 【解析版】 知识回顾 技巧点拨 1 知识点梳理01：多边形的概念 1 知识点梳理02：多边形的外角与相邻内角的关系 2 知识点梳理03：正多边形 2 重点难点 培优讲练 3 题型1 多边形的概念与分类 3 题型2 多边形截角后的边数问题 6 题型3 多边形的周长 8 题型4 网格中多边形面积比较 10 题型5 多边形对角线的条数问题 12 题型6 对角线分成的三角形个数问题 15 期末真题 实战演练 18 知识点梳理01：多边形的概念 1．多边形的概念：在平面内，不在同一直线上的一些线段首尾顺次相接所组成的图形叫做多边形． 2．相关元素： 边：组成多边形的各条线段叫做多边形的边． 顶点：每相邻两条边的公共端点叫做多边形的顶点． 内角：多边形相邻两边组成的角叫多边形的内角，一个n边形有n个内角。 外角：多边形的边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角。 对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线． 3. 多边形的分类: 根据多边形边的数量，多边形可以分为三角形、四边形、五边形……等； 4. 多边形的表示方法: 先写出多边形的名称，然后按顶点逆时针或顺时针的顺序写出表示它的各顶点的字母。 如上图，它们的命名分别为：. 知识点梳理02：多边形的外角与相邻内角的关系 1．多边形的外角：多边形的边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角。 2. 多边形的外角与相邻内角的关系：互补关系，即和为180度。 知识点梳理03：正多边形 1．正多边形的概念：各边相等，各内角也相等的多边形叫作正多边形。 易错点拨 正多边形必须同时满足“各边相等”，“各角相等”两个条件，二者缺一不可； 2.常见的正多边形实例： 正三角形 正四边形 正五边形 正六边形 题型1 多边形的概念与分类 【精讲】（24-25九年级上·北京海淀·期中）阅读下列材料，并按要求完成相应的任务． 你知道“皮克定理”吗？ “皮克定理”是奥地利数学家皮克（如图1）发现的一个计算点阵中多边形的面积公式．在一张方格纸上，上面画着纵横两组平行线，相邻平行线之间的距离都相等，这样两组平行线的交点，就是所谓格点．一个多边形的顶点如果全是格点，这个多边形就叫做格点多边形．有趣的是，这种格点多边形的面积计算起来很方便，只要数一下图形边线上的点的数目及图内的点的数目，就可用公式算出．即，其中表示多边形内部的点数，表示多边形边界上的点数，S表示多边形的面积．（利用图2中的多边形可以验证）这个公式是奥地利数学家皮克在1899年发现的，被称为“皮克定理”． 任务： (1)如图2，是的正方形网格，且小正方形的边长为1，利用“皮克定理”可以求出图中格点多边形的面积是______． (2)已知：一个格点多边形的面积S为19，且边界上的点数是内部点数的3倍，则______． 【答案】(1)21 (2)32 【思路引导】本题考查了多边形，解一元一次方程等知识，理解正方形网格纸中多边形面积的公式是解决问题的关键． （1）观察图形，得到，，再代入计算即可得到答案； （2）由题意，然后列出关于的方程，求出，再求出答案即可； 【规范解答】（1）解：由题意，如图： 多边形内部的点数为：， 多边形边界的点数为：， ∴； 故答案为：21； （2）解：设内部点数是，则， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为：32． 【变式1】（22-23八年级上·河南商丘·阶段练习）如图1，在五边形中，．    (1)猜想与之问的位置关系，并说明理由； (2)如图2，连接，若平分，求的度数． 【答案】(1)，理由见解析 (2) 【思路引导】（1）根据可得，结合已知条件可得，进而可得结论； （2）根据角平分线的定义和平行线的性质可得，再根据平行线的性质可得关于的方程，求出即可解决问题． 【规范解答】（1）猜想：， 理由：， ， ， ， ； （2）平分， ， ， ， ， ， ， ， 解得， ．    【考点剖析】本题以多边形为载体，考查了平行线的判定和性质、角平分线的定义以及一元一次方程的应用等知识，熟练掌握平行线的判定和性质是解题的关键． 【变式2】（22-23七年级上·全国·单元测试）如图，你能数出多少个不同的四边形？ 【答案】27 【思路引导】根据四边形的组成方式，分别数出由单个的四边形，由2个四边形，3个四边形，4个四边形，5个四边形，6个四边形，7个四边形组成的大四边形，从而可得答案． 【规范解答】解：单个的四边形：一共有9个， 由2个四边形组成的四边形有6个， 由3个四边形组成的四边形有4个， 由4个四边形组成的四边形有1个， 由5个四边形组成的四边形有4个， 由6个四边形组成的四边形有2个， 由7个四边形组成的四边形有1个， 故一共有27个四边形． 【考点剖析】本题主要考查了认识平面图形，做到不重复不遗漏的数图形是解题关键． 题型2 多边形截角后的边数问题 【精讲】（23-24七年级上·甘肃兰州·期末）把一张形状是四边形的纸片剪去其中某一个角，剩下的部分的形状不可能是（   ） A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形 【答案】D 【思路引导】本题考查了多边形．把一张形状是四边形的纸片剪去其中某一个角，剩下的部分的形状可能是三角形或四边形或五边形． 【规范解答】解：把一张形状是四边形的纸片剪去其中某一个角，剩下的部分的形状可能是三角形或四边形或五边形，不可能是六边形． 故选：D． 【变式1】（24-25八年级上·湖南长沙·阶段练习）若一个四边形截去一个角后，可能为（　　）边形 A．4或5 B．3或4 C．3或4或5 D．4或5或6 【答案】C 【思路引导】本题主要考查了多边形，解题的关键是理解多边形截去一个角的位置可得：比原多边形可能少1条边，可能边的条数不变，也可能增加1条边． 根据多边形截去一个角的位置可得：比原多边形可能少1条边，可能边的条数不变，也可能增加1条边；据此求解即可． 【规范解答】解：若一个四边形截去一个角后，可能为3或4或5边形． 故选：C． 【变式2】．（24-25七年级上·全国·课后作业）如图，从五边形纸片中剪去一个三角形，剩余部分是（    ） A．四边形 B．五边形 C．六边形 D．以上都有可能 【答案】D 【思路引导】本题考查了多边形的截法．分为三种情况，画出图形，解答即可． 【规范解答】解：如图， ，剩余图形是四边形； ，剩余图形是五边形； ，剩余图形是六边形； 故选D． 题型3 多边形的周长 【精讲】（25-26七年级上·江苏连云港·开学考试）一个边长的正方形，把4个角各剪去边长的小正方形．那么它的周长（   ） A．增加 B．减少 C．增加 D．保持不变 【答案】D 【思路引导】本题考查正方形的周长的问题，在一个正方形上的4个角剪去边长1厘米的小正方形，我们可以在脑海里想象这个画面也可以用画图的方法，得出答案． 【规范解答】解：这个正方形原来的周长：；剪去小正方形后的周长：；那么它的周长不变． 故选D． 【变式1】（24-25八年级下·浙江·月考）在一个正五边形 的主题公园步道上，其总长度为 2000 米，小李和小张分别从 两点同时开启步行之旅，沿着步道的顺时针方向行进，小李的步行速度为每分钟 50 米，小张的步行速度为每分钟 46 米．请问，从出发开始计时，经过 时间，小李和小张首次处于同一段步道上． 【答案】分钟 【思路引导】本题考查了一元一次方程的应用，根据题意正确列出方程是解题的购进． 根据题意求出正五边形 的主题公园步道的边长米，设从出发开始计时，经过分钟，小李比小张多走米，列方程得，解方程再进一步即可得到答案． 【规范解答】解：正五边形 的主题公园步道的边长为米， 设从出发开始计时，经过分钟，小李比小张多走米， 根据题意得：， 解得：， 从出发开始计时，经过分钟，小李行进， 小张行进， ， ， 如图所示，小李位于点M处，小张位于点N处， 此时，点、分别是边、的中点， 小李从到用时 ， 小张从N到E用时， ， 小李先到达点D，此时两人首次处于同一段步道上， 小李和小张首次处于同一段步道上，用时， 故答案为：分钟． 【变式2】（21-22七年级上·福建福州·期末）如图，在边长为的大正方形中，剪去一个边长为的小正方形，然后将余下的部分剪开拼成如图所示的长方形，若记大正方形的周长为，拼成的长方形的周长为，则与的大小关系是 ． 【答案】 【思路引导】根据周长公式进行计算即可． 【规范解答】解：左图的周，右图的周长， 所以， 故答案为：． 【考点剖析】本题考查计算图形周长，理解周长的定义以及长方形周长的计算方法是正确解答的前提． 题型4 网格中多边形面积比较 【精讲】（21-22七年级下·天津南开·期末）正方形网格中的交点，我们称之为格点．如图所示的网格图中，每个小正方形的边长都为．现有格点，那么，在网格图中找出格点，使以和格点为顶点的三角形的面积为1．这样的点可找到的个数为（       ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【思路引导】根据题意画出图形，即可求解． 【规范解答】解：如图，根据题意画出图形，这样的点有6个． 故选：C 【考点剖析】本题考查了三角形的面积，两平行线间的距离．应注意数形结合，防止漏解或错解． 【变式1】（2021·北京昌平·二模）如图所示的网格是正方形网格，点A，B，C，D是网格线交点，则的面积与的面积大小关系为： （填“＞”“＝”或“＜”）， 【答案】= 【思路引导】分别求出△ABC的面积和△ABD的面积，即可求解． 【规范解答】解：∵， ， ∴， 故答案为：=． 【考点剖析】本题考查了三角形的面积，掌握三角形的面积公式是本题的关键． 【变式2】（2021·北京海淀·一模）图1是一个正方形网格，两条网格线的交点叫做格点．甲、乙两人在网格中进行游戏，规则如下： 游戏规则 a．两人依次在网格中画线段，线段的起点和终点均为格点； b．新画线段的起点为前一条线段的终点，且与任意已画出线段不能有其它公共点； c．已画出线段的所有端点中，任意三个端点不能在同一条直线上； d．当某人无法画出新的线段时，则另一人获胜． 如图2，甲先画出线段，乙随后画出线段．若这局游戏继续进行下去，最终的获胜者是 ．（填“甲”，“乙”或“不确定”）． 【答案】乙 【思路引导】甲先画出线段，乙随后画出线段．第三步应由甲走，只有一个方向，甲只有向下走到D，第四步应由乙走，乙从D起也只有一个方向沿斜下方走到E，第五步应由甲走，甲从E起可斜向上走到M，乙没有下一步可走即可． 【规范解答】解：甲先画出线段，乙随后画出线段． 第三步应由甲走，甲从C向右走横线到F，此时C、F、A三点在一线，不符合游戏规则， 甲只有向下走到D， 第四步应由乙走，乙从D向右走横线到B，与任意已画出线段不能有其他公共点，此方向不能走，如果向下走到H，此时H、D、C三点共线此路也不能走，只有沿斜下方走到E， 第五步应由甲走，甲从E起向右横向走到G，此时C、B、G三点共线此路不能走，向上走到B，与已知线段有公共点，此路不能走，斜向上走到M，此时，D、B、M三点共线，不能符合规则，则甲没地方可走.最终的获胜者是 “乙”． 故答案为：乙． 【考点剖析】本题考查网格游戏，利用网格线段构造多边形，要满足条件，培养分析问题与解决问题的能力，培养学习数学兴趣． 题型5 多边形对角线的条数问题 【精讲】（25-26九年级上·广东东莞·期中）探究归纳题： 【试验分析】 （1）如图①，过点可以作1条对角线；同样，经过点可以作1条对角线；经过点可以作1条对角线；经过点可以作1条对角线；且对角线与为同一条．通过以上分析和总结，图①共有________条对角线； 【拓展延伸】 （2）运用（1）的分析方法可得：图②每个顶点出发有________条对角线，共有________条对角线；图③共有________条对角线； 【探索归纳】 （3）对于边形，共有________条对角线（用含的代数式表示）； 【特例验证】 （4）十边形共有________条对角线． 【答案】（1）2；（2）2，5，9；（3）；（4）35． 【思路引导】本题考查了多边形的对角线，发现多边形对角线公式是解题关键． （1）根据对角线的定义，可得答案； （2）根据对角线的定义，可得答案； （3）根据探索，可发现规律； （4）根据对角线的公式，可得答案． 【规范解答】解：（1）四边形有4个顶点，每个顶点可作1条对角线（不能与自身、相邻两个顶点连线）； 由于每条对角线被两个顶点各计算一次，因此总对角线数为条； （2）过五边形每个顶点可作条对角线，共有5个顶点，总对角线数为条； 过六边形每个顶点可作条对角线，共有6个顶点，总对角线数为条； （3）对于边形，每个顶点可作条对角线（不能与自身、相邻两个顶点连线），总顶点数为； 由于每条对角线被两个顶点重复计算，因此总对角线数为：； （4）将代入计算，得， 故十边形共有35条对角线． 【变式1】（24-25七年级上·陕西西安·阶段练习）从六边形的一个顶点出发，可以画出m条对角线，它们将六边形分成n个三角形，则的值为 ． 【答案】 【思路引导】本题考查多边形的对角线，n边形从一个顶点出发可引出条对角线，它们把n边形分成个三角形，由此即可计算． 【规范解答】解：由题可得，， ∴， 故答案为：． 【变式2】（2024七年级下·江苏·专题练习）连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线，如图（1），、是五边形的对角线．思考下列问题： (1)如图（2），边形中，过顶点可以画 条对角线，它们分别是 ；过顶点可以画 条对角线，过顶点可以画 条对角线． (2)过顶点的对角线与过顶点的对角线有相同的吗？过顶点的对角线与过顶点的对角线有相同的吗？ (3)在此基础上，你能发现边形的对角线条数的规律吗？ 【答案】(1)，，， (2)过点的和过点的没有重复的，但和过点的有重复的和重复） (3)边形的对角线条数的为 【思路引导】此题考查了多边形的对角线的知识． （1）过点和任意不相邻的两点连接可得出到一条对角线；同理可得过点、的情况． （2）过点的和过点的没有重复的，但和过点的有重复的和重复）； （3）过每一点有条对角线，除去重复的即可得出总对角线的条数． 【规范解答】（1）解：过顶点可以画条对角线，它们分别是； 过顶点可以画条对角线， 过顶点可以画条对角线； 故答案为：，，，； （2）解：过点的和过点的没有重复的，但和过点的有重复的和重复）； （3）解：边形的一个顶点不能与它本身及左右两个邻点相连成对角线，故可连出条， 共有个顶点，应为条，这样算出的数，正好多出了一倍，所以再除以2． 即边形的对角线条数的为． 题型6 对角线分成的三角形个数问题 【精讲】（2025八年级上·全国·专题练习）把一个多边形用连接它的不相邻顶点的线段（这些线段不在多边形内部相交）划分为若干个三角形，叫作多边形的三角剖分． 【初步探究】如图所示，从多边形的一个顶点出发，分别连接这个多边形的其余各顶点，则可以把这个多边形分成若干个三角形． （1）若多边形是一个五边形，则可以分割成______个三角形；若多边形是一个六边形，则可以分割成______个三角形，…，则n边形可以分割成______个三角形； （2）如果从一个多边形的一个顶点出发，分别连接其余各顶点，将这个多边形分割成了2026个三角形，那么此多边形的边数为______； 【深入探究】创新小组的小梦同学想到了另一种剖分方法，如下图所示： （1）按照图中所示的方法将多边形分割成三角形，图1中四边形可分割出4个三角形；图2中五边形可分割出______个三角形；图3中六边形可分割出______个三角形； （2）你能由（1）的结论归纳出分割成三角形的个数n与多边形边数m之间的关系吗？ 【答案】初步探究：（1）3，4，；（2）2028；深入探究：（1）5，6；（2） 【思路引导】本题考查多边形对角线或多边形内一点分多边形的三角形个数问题，根据前几个图形的特点寻找规律是关键． 初步探究：（1）分别求出三角形，四边形，五边形和六边形可以分割的三角形的个数，然后总结出规律求解即可； （2）设此多边形的边数为n，根据题意得到，进而求解即可； 深入探究：（1）根据图中的分割方法求解即可； （2）由（1）的结论总结出规律即可． 【规范解答】初步探究：（1）根据题意得，若多边形是一个三角形，则可以分割成个三角形； 若多边形是一个四边形，则可以分割成个三角形； 若多边形是一个五边形，则可以分割成个三角形； 若多边形是一个六边形，则可以分割成个三角形 …， ∴n边形可以分割成个三角形； （2）设此多边形的边数为n 根据题意得， ∴ ∴此多边形的边数为2028； 深入探究：（1）图1中四边形可分割出4个三角形； 图2中五边形可分割出5个三角形； 图3中六边形可分割出6个三角形； （2）由（1）可得，三角形的个数n与多边形边数m之间的关系． 【变式1】（24-25七年级下·河南南阳·月考）某中学七年级数学兴趣小组在探究“边形的相关性质”这一知识点时，设计了如下表格： 多边形的边数 从多边形的一个顶点引出对角线的条数 从多边形的一个顶点引出的对角线将多边形分割出三角形的个数 (1)填空：______，______．（用含的式子表示） (2)过多边形的一个顶点的所有对角线的条数与这些对角线将多边形分割所得的三角形的个数的和可能为吗？若能，求出这个多边形的边数；若不能，请说明理由． 【答案】(1)，， (2)能，这个多边形的边数为． 【思路引导】本题考查边形从多边形的一个顶点引出对角线的条数，从多边形的一个顶点引出的对角线将多边形分割出三角形的个数，一元一次方程的应用，掌握对角线数量形成的规律，熟练应用规律是解题的关键． （）由表格中的数据探求得出最终结果； （）把代入求出的值即可判断． 【规范解答】（1）解：由表格可知，，， 故答案为：，， （2）解：能，理由， 由题意得，， 当时，即， 解得：， ∴这个多边形的边数为． 【变式2】（25-26八年级上·山西大同·月考）把一个多边形用连接它的不相邻顶点的线段（这些线段不在多边形内部相交）划分为若干个三角形，叫作多边形的三角剖分．一个多边形往往有多种方法进行三角剖分，若边形三角剖分的方法数为，则．其中，则六边形的三角剖分方法数为（    ） A．16 B．15 C．14 D．13 【答案】C 【思路引导】本题考查了新定义——多边形的三角剖分．熟练掌握新定义是解题的关键， 根据递推公式并用它来计算六边形三角剖分数．根据给定的递推关系和初始值，可逐步计算出． 【规范解答】解：∵， ∴． ∵， ∴， ． 故选：C． 1．（24-25七年级上·山东枣庄·月考）下列说法①线段，则点C是线段的中点；②两点之间的线段叫做两点之间的距离；③用度、分、秒表示为；④过八边形的一个顶点可作5条对角线．正确的有（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【思路引导】本题考查线段中点、两点间距离的定义、角度换算及多边形对角线的计算，根据这些知识进行判断即可． 【规范解答】解：①线段，但未说明C在线段上，若C不在上则不是中点，故①错误． ②两点间距离是线段的长度而非线段本身，故②错误． ③，，故，故③正确． ④八边形一个顶点的对角线数为（条），故④正确． 综上，正确的有③④，共2个， 故选：B． 2．（24-25七年级上·辽宁辽阳·阶段练习）从六边形的一个顶点出发，可以画出m条对角线，它们将六边形分成n个三角形．则的值为 （     ） A．0 B．1 C．6 D． 【答案】B 【思路引导】本题主要考查了多边形对角线条数问题，对角线分三角形个数问题，代数式求值，从k边形的一个顶点出发可引条对角线，可将此多边形分成个三角形，据此求出m、n的值，最后代值计算即可得到答案． 【规范解答】解：∵从六边形的一个顶点出发，可以画出m条对角线，它们将六边形分成n个三角形， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 3．（24-25七年级上·广东深圳·期末）下列说法中，正确的是（   ） A．单项式的系数是，次数是 B．从数的角度是指的数量为，从形的角度是指在数轴上表示的点到原点的距离为 C．“挂条幅时要钉两个钉子才能牢固”的现象可用“两点之间线段最短”来解释 D．过六边形的一个顶点与其他顶点的连线把图形分成个三角形 【答案】B 【思路引导】根据单项式的系数、次数的定义判断选项A；根据数轴、绝对值的意义判断选项B；根据直线的性质、线段的性质判断选项C；根据多边形的对角线的性质判断选项D． 【规范解答】解：A、单项式的系数是，次数是，故A选项错误； B、从数的角度是指的数量为，从形的角度是指在数轴上表示的点到原点的距离为，故B选项正确； C、“挂条幅时要钉两个钉子才能牢固”的现象可用“两点确定一条直线”来解释，故C选项错误； D、过六边形的一个顶点与其他顶点的连线把图形分成个三角形，故D选项错误； 故选：B． 【考点剖析】本题考查了多边形的对角线、单项式、数轴、绝对值、直线的性质、线段的性质，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 4．（23-24七年级上·河北保定·期末）下面是琪琪提交的作业，她做对的题数是（    ） ①过八边形的一个顶点可以引出6条对角线；②的系数是；③既是分数，也是有理数；④和相等；⑤用一个平面去截一个三棱柱，截面可能是三角形； A．2道 B．3道 C．4道 D．5道 【答案】B 【思路引导】根据多边形的对角线判断①，单项式的系数：“单项式中的数字因数”，判断②，有理数的分类判断③，角度制的转化判断④，截一个几何体，判断⑤．掌握相关知识点，是解题的关键． 【规范解答】解：过八边形的一个顶点可以引出5条对角线，故①错误； 的系数是，故②错误； 既是分数，也是有理数；故③正确； ，故④正确； 用一个平面去截一个三棱柱，截面可能是三角形，故⑤正确； 故琪琪作对的题数为3道； 故选B． 5．（20-21七年级上·山东菏泽·期末）有下列说法：①由许多条线段连接而成的图形叫做多边形；②从一个多边形（边数为）的同一个顶点出发，分别连接这个顶点与其余与之不相邻的各顶点，可以把这个多边形分割成个三角形；③角的边越长，角越大；④一条射线就是一个周角．其中正确的结论有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．0个 【答案】A 【思路引导】根据多边形的定义，多边形对角线，角的大小，周角等知识逐项判断即可求解． 【规范解答】解：①由许多条线段连接而成的图形叫做多边形，判断错误； ②从一个多边形（边数为）的同一个顶点出发，分别连接这个顶点与其余与之不相邻的各顶点，可以把这个多边形分割成个三角形，判断正确； ③角的边越长，角越大，判断错误； ④一条射线就是一个周角，判断错误． 故选：A 【考点剖析】本题考查了多边形、角等知识，理解多边形、多边形对角线、角、周角的概念是解题关键． 6．（21-22七年级上·四川眉山·期末）从n边形的一个顶点出发，连接其余各顶点，可以将这个n边形分割成4个三角形，则 ． 【答案】6 【思路引导】本题主要考查多边形的性质，解题关键是熟记多边形顶点数与分割成的三角形个数的关系． 根据从n边形的一个顶点出发，连接其余各顶点，可以把一个n边形分割成个三角形的规律作答． 【规范解答】解：∵一个多边形从一个顶点出发，连接其余各顶点，可以把多边形分成个三角形， ∴， ∴． 故答案为：6． 7．（24-25七年级上·山东枣庄·期末）在研究多边形的几何性质时，我们通常把它分割成几个三角形进行研究．从一个多边形的一个顶点引出的所有对角线，把它分割成5个三角形，则这个多边形的边数是 ． 【答案】7 【思路引导】本题考查了多边形的对角线，熟练掌握从n多边形的一个顶点引出的所有对角线，把它分割成个三角形是解题的关键． 从n多边形的一个顶点引出的所有对角线，把它分割成个三角形，由此计算即可． 【规范解答】解：从一个多边形的一个顶点引出的所有对角线，把它分割成5个三角形，则这个多边形的边数是， 故答案为：7． 8．（23-24七年级上·贵州毕节·期末）过多边形的一个顶点能引出条对角线，则这个多边形的边数是 ． 【答案】8 【思路引导】本题主要考查了多边形的对角线，掌握n边形从一个顶点出发可引出条对角线是解题的关键． 根据从n边形的一个顶点可以作对角线的条数公式列方程求解即可． 【规范解答】解：∵从一个多边形的一个顶点出发可以引出5条对角线，设多边形边数为n, ∴，解得：． 故答案为：8． 9．（23-24七年级上·陕西西安·期末）从一个多边形的同一个顶点出发，分别连接这个顶点与其余各顶点，若把这个多边形被分割成2018个三角形，则这个多边形的边数为 ． 【答案】2020 【思路引导】从一个n边形的某个顶点出发，可以引（n-3）条对角线，把n边形分为（n-2）的三角形． 【规范解答】解：由题意可知：n-2=2018， 解得n=2020， 则这个多边形的边数为2020， 故答案为：2020． 【考点剖析】此题主要考查了多边形，关键是掌握从一个n边形的某个顶点出发，可以把n边形分为（n-2）个三角形． 10．（21-22七年级上·四川成都·期末）过某一个多边形一个顶点的所有对角线，将这个多边形分成4个三角形，这个多边形的边数是 ． 【答案】6 【思路引导】本题考查多边形的对角线规律，解题的关键是利用多边形的对角线把多边形分成个三角形． 边形中过一个顶点的所有对角线有条，把这个多边形分成个三角形，然后即可求解． 【规范解答】解：，即， 故答案为：6； 11．（24-25七年级上·贵州六盘水·期末）如图，在同一平面内有5个点． (1)请按下列要求作图：连接．你得到了一个怎样的图形？ (2)在（1）的条件下，所连线段相交组成的五边形共有多少条对角线？ 【答案】(1)画图见解析，得到的图形为五角星 (2)5条 【思路引导】本题主要考查了画线段，多边形对角线条数问题，正确结合题意以及线段的画法画出对应的图形是解题的关键： （1）根据线段的画法作图即可； （2）根据（1）所求画出对应五边形的对角线即可得到答案． 【规范解答】（1）解：如图所示，即为所求； 由图可知，得到的图形是一个五角星； （2）解：如图所示，所连线段相交组成的五边形共有5条对角线． 12．（24-25七年级上·天津河西·期中）（1）如图①，从一个五边形的一个顶点出发，除去这个顶点本身及与它相邻的两个顶点，能画出条对角线．这样依次从五边形的5个顶点去画，可以画条对角线，但发现其中每一条对角线都重复画了一次，所以，五边形共有______条对角线； （2）同理，从一个n边形的一个顶点出发，除去它本身及与它相邻的两个顶点，有条对角线．这样，从n个顶点出发，可以有条对角线，但每一条对角线都重复算了一次，所以，n边形共有______条对角线； （3）如图②，当时，求这个十边形的对角线条数． 【答案】（1）5；（2）；（3）35 【思路引导】本题主要考查多边形对角线条数问题，代数式求值，解题的关键是理解题意，根据题意总结规律，得出答案． （1）根据题干提供的信息进行解答即可； （2）根据题意得出答案即可； （3）把代入解（2）中的代数求出结果即可． 【规范解答】解：（1）根据题意得五边形共有条对角线； （2）n边形共有条对角线； （3）把代入得：（条）， 即这个十边形的对角线条数为35条． 13．（24-25七年级上·河南郑州·期末）在学习数学知识的过程中，我们经历过很多次“归纳”的过程，即从几种特殊情形出发，进而找到一般规律的过程．数学活动课上，同学们利用“归纳”策略探究“十二边形内有30个点（任意三点不共线），将这30个点与十二边形的顶点相连可以把十二边形分割成多少个三角形（互相不重叠）”的问题．小明认为可以先从最简单的三角形进行研究，先研究三角形内有1个点、2个点、3个点…的情形（如下图）： 填写数据： 三角形内点的个数 1 2 3 4 5 … 分割成的三角形的个数 3 5 7 a 11 … 再分别研究四边形、五边形、六边形…内有1个点、2个点、3个点…的情形．根据小明的研究思路，解答下列问题： (1)表中 ； (2)发现规律，当三角形内点的个数增加1，分割成三角形的个数就会增加 个：当三角形内有n个点时，分割成 个三角形； (3)当三角形内有30个点时，分割成多少个三角形？原三角形被若干个点分割成三角形的个数可以是2024个吗？为什么？ (4)直接写出当四边形内有30个点时，分割成多少个三角形？当十二边形内有30个点时，分割成多少个三角形？ 【答案】(1)9 (2)2， (3)，不可以，见解析 (4)62；70 【思路引导】本题考查了图形规律，列代数式，一元一次方程的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）研究表格数据得，即可作答． （2）研究表格数据得当三角形内点的个数增加1，分割成三角形的个数就会增加2个：与（1）同理得当三角形内有n个点时，分割成个三角形，即可作答． （3）依题意，列式，则不是正整数，即可作答． （4）模仿题干过程，然后结合三角形以及四边形来研究：得出当点数相同，边形分割成的三角形的个数是三角形分割成的三角形的个数，故，即可作答． 【规范解答】（1）解：依题意，根据表格数据得 ， ， ∴， 故答案为：9； （2）解：发现规律，当三角形内点的个数增加1，分割成三角形的个数就会增加2个： 与（1）同理得当三角形内有n个点时，分割成个三角形； 故答案为：2，； （3）解：由（2）得当三角形内有n个点时，分割成个三角形； ∴把代入，得， 原三角形被若干个点分割成三角形的个数不可以是2024个，理由如下： ， 解得，不是正整数， ∴原三角形被若干个点分割成三角形的个数不可以是2024个； （4）解：如图，四边形内部有若干个点，用这些点以及四边形的顶点A、B、C、D把原正方形分割成一些三角形（互相不重叠）： 四边形内点的个数 1 2 3 4 … n 分割成的三角形的个数 4 6 8 10 … 则把代入，得（个）， 观察题干的表格数据，用三角形以及四边形来研究： 得出当点数相同，边形分割成的三角形的个数是三角形分割成的三角形的个数 即， 当十二边形内有30个点时，分割成个三角形． 14．（20-21七年级上·河南信阳·期末）请仔细观察下面的图形和表格，并回答下列问题： 多边形的顶点数/个 4 5 6 7 8 …… 从一个顶点出发的对角线的条数/条 1 2 3 4 5 …… ①___________ 多边形对角线的总条数/条 2 5 9 14 20 …… ②___________ （1）观察探究：请自己观察上面的图形和表格，并用含的代数式将上面的表格填写完整，其中①______________________；②______________________； （2）实际应用：数学社团共分为6个小组，每组有3名同学．同学们约定，大年初一时不同组的两位同学之间要打一个电话拜年，请问，按照此约定，数学社团的同学们一共将拨打电话多少个？ 【答案】（1）①；②；（2）135个 【思路引导】（1）观察表可知从一个顶点出发的对角线的条数是多边形的顶点数减3，即得n-3，由此可完成①；从一个顶点可以引出n－3条对角线，则n个顶点可以引出n(n-3)条，其中每一条都重复算了一次，则可完成②； （2）把6个组共18名学生看成18边形的顶点，不同组的两位同学之间打一个电话是这个多边形的对角线，因此问题转化为有多少条对角线的问题，由（1）中结论即可完成。 【规范解答】（1）由表可得，当多边形的顶点数为n时，从一个顶点出发的对角线的条数为n-3；从一个顶点可以引出n－3条对角线，则n个顶点可以引出n(n-3)条，其中每一条都重复算了一次，因此实际的对角线条数为． 故答案为：①；② （2）因为（名），18名学生看成是顶点数为18的多边形，不同组的两位同学之间打一个电话是这个多边形的对角线，则由（1）可得，数学社团的同学们一共将拨打电话为（个）． 【考点剖析】本题考查了多边形对角线规律及其应用，难点是理解这个规律的应用：同组三个人之间不能打电话，对应多边形的一个顶点不能与相邻的两个顶点连成对角线，因此18个人对应18个顶点，不同组的两位同学间打一个电话对应连接两顶点的一条对角线. 15．（24-25七年级上·江苏宿迁·期末）（1）如图1，，顶点在直线上，边、分别与直线交于点、，且．求证：； （2）如图2，在（1）的条件下分别作与的平分线、交于点，求的度数； （3）如图3，在（1）的条件下作的角平分线，过点作一条射线，交直线于点，当时，请直接写出与的关系式． 【答案】（1）见解析；（2）；（3）或 【思路引导】（1）根据平角的定义可得，根据已知条件，等量代换可得，根据同位角相等两直线平行，即可得证； （2）设，根据角平分线的定义得出，，进而根据平行线的性质以及角平分线的定义得出，根据三角形的外角的性质，即可求解； （3）①当在的上方时，②当在的下方时，过点作，设，分别表示出与，进而得出与的关系式． 【规范解答】（1）证明：∵，顶点在直线上， ∴， ∵， ∴， ∴， （2）解：设， ∵， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∵是的一个外角 ∴， （3）①当在的上方时，如图所示，过点作 设 ， ∵平分， ∴，则， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ②当在的下方时，如图所示， 设， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， 综上所述，或． 【考点剖析】本题考查了平行线的性质与判定，角平分线的定义，三角形的外角的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键． 第 1 页 共 11 页 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