专题03：突破一元一次方程的解法（3大考点+10大重点常考题型）2025-2026学年苏科版七年级上学期数学期末复习最常考16大重点专题突破系列

该初中数学讲义通过知识框架系统梳理了一元一次方程的解法体系，将方程概念、等式性质、解法步骤等核心考点分层呈现，用列表归纳易错点如“判断一元一次方程的四要素”，清晰展现知识内在逻辑与重难点分布。 讲义亮点在于“题型分层突破”设计，从基础的方程概念辨析到创新的新定义方程问题，如“和谐方程”“归一方程”等题型，培养抽象能力与推理意识。每个题型配例题及变式训练，基础运用与能力提升模块分层限时练习，助力学生自主复习，教师可据此实施精准教学。

2025-2026七年级上学期期末专题复习——16大重点专题突破系列 专题03：突破一元一次方程的解法（苏科版） 目录 【课标要求+题型预测】 1 【突破一：考点知识突破】 1 【突破二：重点题型突破】 2 题型一：一元一次方程的概念 2 题型二：根据等式的性质判断变形正误 4 题型三：根据方程的解求参数的值 7 题型四：判断解方程的过程错误步骤 9 题型五：解一元一次方程（重点考查题型） 14 题型六：一元一次方程的同解问题 17 题型七：新定义方程问题 21 题型八：解方程时看错题问题 27 题型九：方程之间解得关系问题 31 题型十：绝对值方程问题 34 【突破三：基础运用突破】 38 【突破四：能力提升突破】 47 【课标要求+题型预测】 1．理解一元一次方程及其解的概念；【选择题、填空题】 2．掌握等式的基本性质；【选择题、填空题】 3．掌握一元一次方程的解法；【选择题、填空题、解答题】 【突破一：考点知识突破】 考点1：一元一次方程的概念 1．方程：含有未知数的等式叫做方程． 2．一元一次方程：只含有一个未知数，未知数的次数都是1，这样的方程叫做一元一次方程． 易错提醒：判断一个方程是一元一次方程条件： 1 是等式，有等号； 2 只含有一个未知数； 3 含有未知数的项的次数为1； ④ 等号两边都是整式，（分母中不含未知数）． 3．方程的解：使方程的左、右两边相等的未知数的值叫做这个方程的解． 4．解方程：求方程的解的过程叫做解方程． 考点2：等式的性质 1．等式的性质： 等式的性质1：等式两边加(或减)同一个数(或整式)，结果仍相等； 等式的性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等． 考点3：一元一次方程的解法 1.去分母：在方程两边同乘以各分母的最小公倍数； 2.去括号：依据乘法分配律和去括号法则，去括号； 3.移项：通常把含有未知数的项移到方程左边，常数项移到方程右边； 4.合并同类项：合并方程等号两边的同类项，把方程化为ax＝b(a≠0)的形式; 5.系数化为1：方程两边同除以未知数的系数得到方程的解． 【突破二：重点题型突破】 题型一：一元一次方程的概念 【例题1】．下列各式中，是一元一次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】判断是否是一元一次方程 【分析】本题主要考查一元一次方程的定义，熟练掌握一元一次方程的定义是解题的关键；一元一次方程需满足：只含一个未知数，未知数的最高次数为1，且为整式方程，由此可排除选项． 【详解】解：A、中，仅一个未知数x，次数为1，是整式方程，是一元一次方程； B、中未知数次数为2，所以不是一元一次方程； C、中含两个未知数，所以不是一元一次方程； D、是分式方程，非整式方程，所以不是一元一次方程； 故选A． 【变式1】．下列方程中，是一元一次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】判断是否是一元一次方程 【分析】本题考查了一元一次方程的定义．熟练掌握只有一个未知数，且未知数的最高次数为1的整式方程是一元一次方程是解题的关键．根据一元一次方程的定义对各选项进行判断作答即可． 【详解】解： A．中含，次数为2，故不符合题意； B．含和两个未知数，故不符合题意； C．仅含且次数为1，符合定义，故符合题意； D． 中含有，不是整式，故不符合题意， 故选：C． 【变式2】．在方程①，②，③，④中，一元一次方程的个数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【知识点】判断是否是一元一次方程 【分析】本题考查了一元一次方程的定义，判断每个方程是否为一元一次方程，即只含一个未知数且未知数的最高次数为1，由此逐项分析即可得出结果，熟练掌握一元一次方程的定义是解此题的关键． 【详解】解：①中含有两个未知数和，故不是一元一次方程； ②中只含一个未知数，且次数为1，故是一元一次方程； ③中只含一个未知数，且化简后为，次数为1，故是一元一次方程； ④中含有项，次数为2，故不是一元一次方程； 故一元一次方程有②和③，共2个， 故选：B． 【变式3】．下列等式中，属于一元一次方程的是（ ） ①；②；③；④；⑤ A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【知识点】判断是否是一元一次方程 【分析】此题主要考查了一元一次方程定义，关键是掌握一元一次方程属于整式方程，即方程两边都是整式．一元指方程仅含有一个未知数，一次指未知数的次数为1，且未知数的系数不为0．利用一元一次方程定义进行解答即可． 【详解】解：∵一元一次方程需满足：只含一个未知数，且未知数的最高次数为1的整式方程， ①含未知数x，次数为1，是整式，符合定义； ②含未知数x，但最高次数为2，不符合定义； ③整理为含未知数y，次数为1，是整式，符合定义； ④含未知数x，但最高次数为2，不符合定义； ⑤含未知数x，次数为1，是整式，符合定义； ∴属于一元一次方程的有①③⑤，共3个． 故选：B． 【变式4】．已知方程是一元一次方程，则的值为（   ） A．2 B． C． D．无法确定 【答案】B 【知识点】判断是否是一元一次方程 【分析】本题考查了一元一次方程的定义，熟练掌握定义是解题的关键．根据一元一次方程的定义，x的次数必须为1且系数不为零，据此求得m的值即可． 【详解】解：∵方程是一元一次方程， ∴，且， 由，得， 当时，，系数为零，不符合条件； 当时，，符合条件， ∴m的值为． 故选：B． 题型二：根据等式的性质判断变形正误 【例题2】．根据等式的性质，下列各式变形正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】A 【知识点】有理数的乘方运算、绝对值的几何意义、等式的性质1、等式的性质2 【分析】本题考查等式的性质与绝对值、乘方的运算性质，明确绝对值、乘方的多解性是解题关键． 运用等式的基本性质判断选项、的合理性．绝对值相等的数可能互为相反数，平方相等的数也可能互为相反数，据此判断、选项． 【详解】解：选项：由可知分母，根据等式的性质，两边同乘得，选项正确； 选项：若，则、无意义，缺少的条件，选项错误； 选项：时，或，选项错误； 选项：，或，选项错误． 故选：． 【变式1】．根据等式的性质，下列各式变形错误的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【知识点】等式的性质1、等式的性质2 【分析】本题考查了等式的性质1和2，根据等式性质1和性质2判断各选项变形是否正确，性质1为等式两边加减同一数等式仍成立，性质2为等式两边乘除同一非零数等式仍成立． 【详解】解：A．，两边减3得，符合性质1，正确； B．，两边乘得，符合性质2，正确； C．，当时，a与b不一定相等，故变形错误； D．，隐含，两边乘c得，符合性质2，正确， 故选：C． 【变式2】．下列等式变形正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【知识点】等式的性质1、等式的性质2 【分析】本题考查等式的基本性质，关键是熟练应用知识点进行判断； 根据等式的性质、进行判断即可． 【详解】解：选项A：若，则，错误； 选项B：若，当时不一定等于，错误； 选项C：若，则，错误； 选项D，给定，由可得，正确． 故选：D． 【变式3】．下列等式变形正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】B 【知识点】等式的性质1、等式的性质2 【分析】本题主要考查等式的基本性质，熟练掌握等式的基本性质是解题的关键． 首先根据等式的基本性质，等式两边同时加、减、乘、除同一个数（除数不为零），等式仍然成立，判断每个选项的正误即可． 【详解】解：对于A：若，根据等式的性质1，两边同时加3，应得，故选项不正确； 对于B：若，则，等式成立，∴选项正确； 对于C：若，则，但a不一定等于b，∴选项不正确； 对于D：若，则分母为零无意义，∴选项不正确． 【变式4】．下列说法一定正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【知识点】绝对值的几何意义、等式的性质1、等式的性质2 【分析】这道题考查了等式的基本性质、绝对值的概念，解题关键是依据等式性质（注意分母不为 0）和绝对值的定义，逐一分析选项的正确性即可． 【详解】解：A．若，则，故选项A错误； B．若，则，故选项B错误； C．若，则，故选项C错误； D．若，则，故选项D正确． 故选D． 题型三：根据方程的解求参数的值 【例题3】．如果是关于x的方程的解，则的值为（    ） A．1 B． C．21 D．5 【答案】C 【知识点】已知方程的解，求参数、已知一元一次方程的解，求参数 【分析】本题主要考查一元一次方程的解及代数式的值，熟练掌握一元一次方程的解及代数式的值是解题的关键；将代入方程得到a和b的关系式，然后整体代入求值. 【详解】解：∵是方程的解， ∴， 即， ∴， 故选：C. 【变式1】．若关于x的一元一次方程的解为，则m的值为（    ） A．6 B． C．12 D． 【答案】A 【知识点】已知一元一次方程的解，求参数 【分析】本题考查了一元一次方程的解的定义． 利用一元一次方程的解的定义，将代入方程，求解m的值． 【详解】解：∵方程的解为， ∴， 即， ∴． 故选：A． 【变式2】．若关于的方程的解为自然数，则整数的值为（   ） A．1 B．3 C．1或3 D．或 【答案】C 【知识点】已知一元一次方程的解，求参数、解一元一次方程（一）——合并同类项与移项 【分析】本题考查了一元一次方程的解，解题的关键是掌握一元一次方程的解的定义，解一元一次方程． 解关于的一元一次方程，分情况讨论的取值． 【详解】解：∵的方程的解为自然数，为整数， ∴， 解得：=或时，为或，符合题意， 故选：C． 【变式3】．如果关于的方程的解为，那么的值是（　　） A． B．2 C．6 D． 【答案】C 【知识点】已知一元一次方程的解，求参数 【分析】本题考查了一元一次方程的解，解一元一次方程，熟练掌握一元一次方程的解的定义是解题的关键．把方程的解代入方程求解即可． 【详解】解：是方程的解， ， 解得． 故选：C． 【变式4】．若关于的方程的解为大于4的整数 ，则整数的值为（　　） A．3或5 B．3或7 C．5或7 D．以上答案都不对 【答案】A 【知识点】已知一元一次方程的解，求参数 【分析】本题考查了一元一次方程的解法、含参数方程的变形技巧及整数解条件的综合分析，解题关键在于将方程整理为的标准形式．将方程整理为的形式，根据解且为整数，建立不等式并分析整数k的整除特性即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵都是整数， ∴为15的因数． ． 又，∴=1或3， ∴或5． 故选A． 题型四：判断解方程的过程错误步骤 【例题4】．在学习了一元一次方程的解法后，小李独立完成了解方程：，具体步骤如下： 解：去分母，得：（1） 去括号，得：（2） 移项，得：（3） 合并同类项，得：（4） 两边同乘以，得： （5） 你认为小李在解题过程中存在变形错误的步骤是（　　） A．（2）（3）（4） B．（1）（2）（3） C．（1）（2）（3）（4） D．（1）（2）（3）（5） 【答案】B 【知识点】解一元一次方程（一）——合并同类项与移项、解一元一次方程（二）——去括号、解一元一次方程（三）——去分母 【分析】本题考查一元一次方程的求解过程． 逐步检查小李的解题步骤是否正确即可． 【详解】解：（1）错误，去分母时未乘以6，且分数项的分子未作为一个整体处理导致符号错误； （2）错误，去括号时未乘以2； （3）错误，移项时未变号； （4）正确； （5）正确； 变形错误的步骤是（1）（2）（3）． 故选：B． 【变式1】．下面是小明同学书写的解方程的过程，请你认真看他的解方程过程，并完成下面的任务． 解：·······························第一步 ··············································第二步 ··············································第三步 ···························································第四步 ······························································第五步 任务一：填空： (1)以上解题过程中，第一步是依据_________（性质）进行变形的；第二步是依据________（运算律）进行变形的； (2)第______步开始出现错误，这一步的错误的原因是_________； 任务二： (3)请写出该方程的正确解法． 【答案】(1)等式的性质2；乘法分配律 (2)三；移项没变号 (3)，过程见解析 【知识点】解一元一次方程（一）——合并同类项与移项、解一元一次方程（二）——去括号、解一元一次方程（三）——去分母、等式的性质2 【分析】本题考查解一元一次方程，掌握去分母、去括号、移项、合并同类项是解题的关键． （1）第一步等式两边同时乘以6，利用的是等式的性质2，第二步为去括号，使用的是乘法分配律； （2）观察整个过程，在第三步移项出现错误，错误原因为未变号； （3）根据去分母、去括号、移项、合并同类项、将系数化为1的步骤进行计算即可． 【详解】（1）解：∵第一步等式两边同时乘以6， ∴利用的是等式的性质2， ∵第二步为去括号， 故依据的是乘法分配律． 故答案为：等式的性质2；乘法分配律． （2）解：观察等式变化， 发现第三步应为， 与题干相比发现，移项后符号并未发生改变， 故答案为：三；移项没变号． （3）解： ． 【变式2】．下面是小丽同学解方程的过程： 解：去分母，得第①步 去括号，得第②步 移项，得第③步 合并同类项，得．第④步 系数化为1，得第⑤步 根据小丽的解题过程，回答下列问题： (1)第①步的依据是 ； (2)从第 （填序号）步开始出现错误，请你写出正确的解方程的过程． 【答案】(1)等式性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，等式仍然成立 (2)②；见解析 【知识点】等式的性质2、解一元一次方程（三）——去分母 【分析】本题主要考查一元一次方程的解法，去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1是解一元一次方程的一般步骤，每一步都要注意运算规则和符号问题． （1）根据等式的基本性质进行解答即可； （2）根据去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1，进行计算即可． 【详解】（1）解：第①步的依据是等式性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，等式仍然成立． （2）从第②步开始出现错误，去括号时，去括号后应该是，而不是．正确的解方程过程如下： ， 去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得． 【变式3】．下面是某同学解方程的过程．请仔细阅读，并完成以下任务 解方程：． 解：去分母，得……① 去括号，得……② ，得……③ 合并同类项，得……④ 系数化为1，得……⑤ (1)该同学的解答过程在第 步开始就出现错误；（填写对应编号） (2)该同学求解过程中，第③步中的横线上应填的步骤是 ； (3)请你写出此方程的正确解答过程． 【答案】(1)① (2)移项 (3)详见解析 【知识点】解一元一次方程（三）——去分母、解一元一次方程（二）——去括号、解一元一次方程（一）——合并同类项与移项 【分析】本题考查了解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的步骤是解题的关键． （1）根据去分母的方法，进行判断得出答案即可； （2）根据解一元一次方程的基本步骤，此时应该是移项； （3）根据解一元一次方程步骤解方程即可求解． 【详解】（1）解：该同学的解答过程在第①步开始出现错误，出现错误的原因是去分母时漏乘常数项， 故答案为：①； （2）解：该同学求解过程中，第③步中的横线上应填移项， 故答案为：移项； （3）解：， 去分母得，， 去括号得，， 移项得，， 合并同类项得，， 系数化为1得，． 【变式4】．对于方程：，张妍同学的解法如下： 解：将原方程化为第一步 去分母，得第二步 去括号，得第三步 移项、合并同类项，得第四步 系数化为1，得第五步 (1)以上求解步骤中，从第___________步开始出现错误； (2)请写出正确的解答过程． 【答案】(1)一 (2)见解析 【知识点】解一元一次方程（三）——去分母 【分析】本题考查了解一元一次方程，熟练掌握一元一次方程的解题步骤是解题的关键． （1）根据解题步骤得出错误的步骤即可； （2）先整理方程，再根据去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化成1解方程即可． 【详解】（1）解：第一步进行方程变形时出现错误，将进行变形时，分子上没有乘10； （2）解： 整理方程得：， 去分母得：， 去括号得：， 移项、合并同类项得：， 解得：． 题型五：解一元一次方程（重点考查题型） 【例题5】．解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】解一元一次方程（一）——合并同类项与移项、解一元一次方程（三）——去分母 【分析】本题主要考查了解一元一次方程． （1）移项，合并同类项，化系数为1即可求解． （2）去分母，去括号，移项，合并同类项，化系数为1即可求解． 【详解】（1）解： （2）解： 【变式1】．解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】解一元一次方程（一）——合并同类项与移项、解一元一次方程（三）——去分母 【分析】本题主要考查了解一元一次方程． （1）移项，合并同类项，化系数为1即可求解． （2）去分母，去括号，移项，合并同类项，化系数为1即可求解． 【详解】（1）解： （2）解： 【变式2】．解方程： (1) (2) 【答案】(1)； (2) 【知识点】解一元一次方程（二）——去括号、解一元一次方程（三）——去分母 【分析】本题主要考查解一元一次方程，掌握一元一次方程的解法和步骤是解题的关键． （1）依次去括号、移项、合并同类项、系数化为，即可解方程； （2）依次去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为，即可解方程． 【详解】（1）解：， 去括号得， 移项合并得， 解得； （2）解：， 去分母得， 去括号得， 移项合并得， ． 【变式3】．解方程： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【知识点】解一元一次方程（二）——去括号、解一元一次方程（三）——去分母 【分析】本题考查了一元一次方程的解法，掌握解一元一次方程的方法是解题的关键． （1）根据等式的基本性质和去括号法则解题； （2）根据去分母和等式的基本性质解题． 【详解】（1）解：去括号，得； 移项，得； 合并同类项，得； 系数化为，得 （2）解：去分母（方程两边乘），得； 去括号，得； 移项，得； 合并同类项，得； 系数化为，得 【变式4】．解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】解一元一次方程（二）——去括号、解一元一次方程（三）——去分母 【分析】本题考查了解一元一次方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先去括号，再移项，合并同类项，系数化为1，即可作答． （2）先去分母，去括号，再移项，合并同类项，系数化为1，即可作答． 【详解】（1）解：∵， 去括号得， 移项得， 合并同类项得， 系数化为1得； （2）解：∵， 去分母，得， 去括号，得， 移项得， 合并同类项得， 系数化为1得． 题型六：一元一次方程的同解问题 【例题6】．已知关于x的方程的解与的解相同，求的值． 【答案】3 【知识点】一元一次方程解的关系、已知方程的解，求参数、解一元一次方程（三）——去分母 【分析】本题考查了同解方程的定义，掌握同解方程的定义，得出的值是解题的关键． 先解不含参数的一元一次方程，将解代入含参数的一元一次方程，即可求出的值． 【详解】解：， 去分母得：， 去括号得：， 移项、合并同类项得：． 将代入得： ， ， ． 【变式1】．如果关于x的方程与的解相同，求m的值？ 【答案】4 【知识点】解一元一次方程（三）——去分母、已知一元一次方程的解，求参数 【分析】本题考查了解一元一次方程、一元一次方程的解，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 先解方程，得到，再将代入，得到关于m的方程，即可求出m的值． 【详解】解：解方程，得到， ∵关于x的方程与的解相同， ∴将代入，得， 解得， ∴m的值为4． 【变式2】．已知关于的一元一次方程的解与关于的一元一次方程的解相同，求的值． 【答案】 【知识点】已知方程的解，求参数、解一元一次方程（二）——去括号 【分析】本题考查了方程的解的定义、解一元一次方程，熟练掌握以上知识是解题的关键． 先求解出的解，再代入中，求解即可． 【详解】解：∵， 解得， ∵方程的解与方程的解相同， ∴， 即， 解得． 【变式3】．若是关于的一元一次方程． (1)求的值； (2)若该方程与关于的方程的解相同，求的值； (3)若表示不大于的最大整数，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】一元一次方程解的关系、判断是否是一元一次方程、已知字母的值 ，求代数式的值 【分析】本题主要考查的是一元一次方程的定义，一元一次方程的解的定义，解一元一次方程，熟练掌握一元一次方程的定义是解题的关键． （1）根据一元一次方程的定义即可解答； （2）根据一元一次方程的解的定义以及解一元一次方程，即可解答； （3）根据题意即可解答． 【详解】（1）解：由题意得且， 所以． 答：的值为． （2）解：由（1）可知，， 则方程可化为， 解得，． 将代入方程， 得， 即， 解得，． 答：的值为． （3）解：， ． 答：的值为． 【变式4】．我们定义，如果两个方程的解相同，那么称这两个方程为“友好方程”． (1)判断下列方程：①；②；③是“友好方程”的是 ．（填写序号） (2)若关于x的方程与是“友好方程”，求m的值． (3)若关于x的方程与是“友好方程”，其中a，b是整数，试求a，b的值． 【答案】(1)①② (2) (3)或或或 【知识点】解一元一次方程（一）——合并同类项与移项、已知方程的解，求参数 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，一元一次方程的解的定义，熟知解一元一次方程的方法是解题的关键． （1）分别解方程求出三个方程的解即可得到答案； （2）先解方程得到，再把代入方程中求出m的值即可； （3）先解方程得到，再把代入方程中得到，再根据a、b都是整数求解即可． 【详解】（1）解：解方程得， 解方程得， 解方程得， ∴方程和的解相同， ∴是“友好方程”的是①②； （2）解：解方程得， ∵关于x的方程与是“友好方程”， ∴是方程的解， ∴， 解得； （3）解：解方程得， ∵关于x的方程与是“友好方程”， ∴是方程的解， ∴， ∴， ∵a、b都是整数， ∴或或或． 题型七：新定义方程问题 【例题7】．定义：如果两个方程的解相差（为正整数），则称解较大的方程为另一个方程的“和谐方程”，例如：方程是方程的“和谐方程”． (1)若方程是方程的“和谐方程”，则______． (2)若关于x的方程是关于x的方程的“和谐方程”，求m的值． 【答案】(1)2 (2)1 【知识点】解一元一次方程（二）——去括号、已知一元一次方程的解，求参数 【分析】本题考查了一元一次方程的解以及解一元一次方程，牢记“把方程的解代入原方程，等式左右两边相等”是解题的关键． （1）先求出两方程的解，作差后，即可得出结论； （2）由方程的解及关于x的方程是关于x的方程的“和谐方程”，可得出关于x的方程的解为，据此即可求解． 【详解】（1）∵方程的解为，方程的解为，， 方程是方程的“和谐方程”． 故答案为：2； （2）∵方程的解为，关于x的方程是关于x的方程的“和谐方程”， 关于x的方程的解为， ， 解得， 的值为1． 【变式1】我们给出一种定义：如果两个一元一次方程的解的和为，那么我们就称这两个方程互为“漂亮方程”．例如：方程和互为“漂亮方程”． (1)若关于的方程与互为“漂亮方程”，则的值为 ． (2)若关于的方程与互为“漂亮方程”，则关于的方程的解是 ． 【答案】(1) (2) 【知识点】解一元一次方程（一）——合并同类项与移项、一元一次方程解的关系 【分析】本题考查了解一元一次方程，理解新定义是解题的关键． （1）分别求出方程的解，再根据“漂亮方程”的定义求出的值即可； （2）分别求出方程的解，再根据“漂亮方程”的定义求出的值，然后把的值代入方程，解方程即可求解； 【详解】（1）解：解方程，得， 解方程，得， ∵关于的方程与互为“漂亮方程”， ∴， 解得， 故答案为：； （2）解：解方程，得， 解方程，得， ∵关于的方程与互为“漂亮方程”， ∴， 解得， ∴方程为， 解得， 故答案为：． 【变式2】定义：如果两个一元一次方程的解之和为2，我们就称这两个方程为“美好方程”．例如：方程和为“美好方程”． (1)若关于x的方程与方程是“美好方程”，求m的值； (2)若“美好方程”的两个解的差为3，其中一个解为n，求n的值； (3)若关于x的一元一次方程和是“美好方程”，则关于y的一元一次方程的解为________． 【答案】(1)6 (2)或 (3)2025 【知识点】解一元一次方程（一）——合并同类项与移项、已知一元一次方程的解，求参数 【分析】本题考查了一元一次方程的解，利用“美好方程”的定义找到方程解的关系是解题的关键． （1）先表示两个方程的解，再根据“美好方程”的定义求解即可； （2）根据条件可得“美好方程”的另一个解为，再由 “美好方程”的两个解的差为3，建立关于n的方程，再求解； （3）求出方程的解为，再根据“美好方程”的定义，可得是方程的解，再把方程变形为，可得到，即可求解． 【详解】（1）解：解方程得， 解方程得， ∵方程与方程是“美好方程”， ∴， 解得； （2）解：∵“美好方程”的一个解为n， ∴“美好方程”的另一个解为， ∵“美好方程”的两个解的差为3， ∴， ∴或， 解得或； （3）解：解方程得， ∵方程和是“美好方程”， ∴是方程的解， ∵方程可变形为， ∴， ∴． 【变式3】定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两个方程互为“阳光方程”．例如：解为，的解为，所以这两个方程互为“阳光方程”． (1)若关于的一元一次方程与是“阳光方程”，求m的值； (2)已知两个一元一次方程互为“阳光方程”，且这两个“阳光方程”的解的差为，若其中一个方程的解为，求的值； (3)若关于的一元一次方程和是“阳光方程”，求关于的一元一次方程的解． 【答案】(1) (2)或 (3) 【知识点】一元一次方程解的关系、解一元一次方程（一）——合并同类项与移项 【分析】本题主要考查了一元一次方程的求解，解题的关键在于理解并熟练应用新定义解答并利用方程的结构特点解答． （1）分别求得两个方程的解，利用“阳光方程”的定义列出关于的方程解答即可； （2）利用“阳光方程”的定义得出两个“阳光方程”的解为，由两个“阳光方程”的解的差为5，列出关于的方程解答即可； （3）求得方程的解，利用“阳光方程”的定义得到方程的解，再将关于y的方程变形得，对比可知方程与方程结构完全相同，故，从而求得方程的解． 【详解】（1）解：关于的一元一次方程的解为：， 方程的解为：， 关于的一元一次方程与是“阳光方程”， ， 解得 （2）∵互为“阳光方程”的一个解为， ∴另一个解为， 又这两个“阳光方程”的解的差为5， 则或， 解得或 故的值为3或； （3）∵关于x的一元一次方程的解为， 又∵关于x的一元一次方程和是“阳光方程”， ∴方程的解为：， 把关于y的一元一次方程 方程变形得： ∴ 解得 ∴关于y的一元一次方程的解为： 【变式4】“程，课程也，二物者二程，三物者三程，皆如物数程之，并列为行，故谓之方程”这是我国古代著名数学家刘徽在《九章算术》对方程一词给出的注释．定义：如果两个一元一次方程的解的和为，则称这两个方程互为“归一方程”． (1)若方程与关于的方程互为“归一方程”，求的值； (2)若关于的方程与关于的方程互为“归一方程”，求的值． 【答案】(1) (2) 【知识点】解一元一次方程（一）——合并同类项与移项、解一元一次方程（三）——去分母、一元一次方程解的关系 【分析】本题考查了解一元一次方程，新定义，已知方程的解求参数，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先解方程，结合“归一方程”的定义可得方程的解，进而可求得的值； （2）分别将已知的两个方程求解表示出的值，再结合新定义进行列式，再解方程，即可作答． 【详解】（1）解：， ， 方程与关于的方程互为“归一方程”， 中的，即， ； （2）解：， ， ， ， ， ， ， ， 关于的方程与关于的方程互为“归一方程”， ， ， ． 题型八：解方程时看错题问题 【例题8】．小玲在解方程去分母时，方程右边的“”没有乘以公分母6，因而求得了方程的错误解为．请根据上述信息求方程正确的解． 【答案】 【知识点】已知方程的解，求参数、解一元一次方程（三）——去分母 【分析】本题考查一元一次方程的解法，解题关键是根据错误的去分母过程求出的值．根据错误解法求得，进一步求得，再代入原方程求解正确的解即可． 【详解】解：小玲的解方程过程如下： 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 小玲解得， ，， 将代入得： 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：． 【变式1】．小林在解方程去分母时，方程右边的忘记乘8，因而得到方程的错解．你能由此判断出的值吗？如果能，请求出方程正确的解． 【答案】能，，方程正确的解为 【知识点】解一元一次方程（三）——去分母、已知一元一次方程的解，求参数 【分析】本题考查了解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的步骤是解题的关键．由题意得，小林得到的方程为，代入，求出的值，再对原方程去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1即可求出方程正确的解． 【详解】解：由题意得，小林得到的方程为， 代入得，， 解得：， 原方程为：， 去分母，得：， 去括号，得：， 移项，得：， 合并同类项，得：， 系数化为1，得：， ∴方程正确的解为． 【变式2】．小明是七（2）班的学生，他在对方程去分母时由于粗心，方程右边的没有乘以6而得到错解，你能由此判断出a的值吗？如果能，请求出方程正确的解． 【答案】，． 【知识点】方程的解、解一元一次方程（三）——去分母 【分析】本题考查了一元一次方程的解，根据题意把代入方程，得出，根据等式的性质求出方程的解是，得出方程为，再根据等式的性质求出方程的解即可． 【详解】解：∵小明是七（2）班的学生，他在对方程去分母时由于粗心，方程右边的没有乘以6而得到错解， ∴把代入方程，得， ， ， ， ， 方程为， ， ， ， ， ， 即，方程的解是． 【变式3】．小玲在解方程去分母时，方程右边的“”没有乘以公分母6，因而求得了方程的错误解为． 请根据上述信息求方程正确的解． 【答案】 【知识点】解一元一次方程（三）——去分母 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，按照小玲的解方程过程，去分母，去括号，移项，合并同类项的步骤解得，由小玲解得，可求得，再按照正确的解题过程求解即可得到答案． 【详解】解：小玲的解方程过程如下： 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化1得，， ∵小玲解得， ∴， ∴； 正确解法如下： 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：． 【变式4】．在数学实践课上，某学习小组针对相关问题进行探究，拟定项目式学习表： 任务 解决解方程问题中的“看错抄错”问题 示例 解方程①时，去分母时方程左边的1没有乘10，从而求得方程的解为．求原方程的解．（此处不作答） 通关三步 （1）将错纠错 依据“去分母时方程左边的1没有乘10”，可将①仅去分母为：__________②； （2）数据回代 将代入式子②，求的值；（写过程） （3）方程消参 将的值代入①解方程．（写过程） 【答案】（1） （2） （3） 【知识点】解一元一次方程（三）——去分母、解一元一次方程（二）——去括号、解一元一次方程（一）——合并同类项与移项 【分析】本题考查了解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的一般步骤是解题的关键：去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为． （1）按照要求去分母即可； （2）将代入式子②，得，解方程即可求出的值； （3）将代入①，得，然后按照解一元一次方程的一般步骤解方程即可． 【详解】解：（1）依据“去分母时方程左边的1没有乘10”，可将①仅去分母为：， 故答案为：； （2）将代入式子②，得：， 整理，得：， 去括号，得：， 移项，得：， 合并同类项，得：， 系数化为，得：； （3）将代入①，得：， 去分母，得：， 去括号，得：， 移项，得：， 合并同类项，得：， 系数化为，得：． 题型九：方程之间解得关系问题 【例题9】．若关于x的一元一次方程 的解为，则关于y的一元一次方程 的解为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】已知一元一次方程的解，求参数 【分析】本题考查了一元一次方程的定义和解法，熟练掌握换元法是解本题的关键． 第二个方程中的相当于第一个方程中的，因此直接令等于第一个方程的解即可． 【详解】∵ 方程的解为， 且方程 与第一个方程形式相同，仅变量替换为 ， ∴ ， 解得. ∴ 关于y的方程的解为. 故选：D． 【变式1】．若关于x的一元一次方程的解为，则关于y的一元一次方程的解为 ． 【答案】 【知识点】已知一元一次方程的解，求参数、一元一次方程解的关系 【分析】此题考查的是根据一元一次方程的解求另一个一元一次方程的解，找到两个一元一次方程的对应关系是解决此题的关键．通过整体代换思想，将第二个方程中的视为整体，与第一个方程中的对应，根据第一个方程的解直接求解． 【详解】解：∵关于的一元一次方程的解为， ∴当时，方程成立． 对于关于的一元一次方程， 令，则方程化为， 则该方程解为，即， 解得． 故答案为：． 【变式2】．已知关于的方程的解为，那么关于的一元一次方程的解为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】已知一元一次方程的解，求参数、解一元一次方程（三）——去分母 【分析】本题考查了解一元一次方程，已知方程的解求参数．由第一个方程的解代入得到 的关系式，然后将第二个方程化简，利用该关系式求解，即可作答． 【详解】解：∵方程 的解为， ∴代入得 ， 即， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， 移项得， ∴， 把代入，得， ∵， ∴， 故选：D． 【变式3】．已知关于的一元一次方程的解为，那么关于的一元一次方程的解是（） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】已知一元一次方程的解，求参数 【分析】本题考查一元一次方程的解，解一元一次方程，整体的思想，掌握知识是解决问题的关键．将第二个方程中的视为整体，利用第一个方程的解，可得，进而求解． 【详解】解：∵关于x的方程的解为， 关于y的方程， 即， 解得 故选：D． 【变式4】．已知关于x的一元一次方程的解为，那么关于y的一元一次方程的解为（） A．2021 B． C．2031 D． 【答案】C 【知识点】一元一次方程解的关系 【分析】此题考查了一元一次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．通过变量替换，将关于y的方程转化为与已知解方程相同的形式，从而直接得出y的值． 【详解】解：∵已知方程的解为， 设， 则关于y的方程化为， 该方程与已知方程形式相同， ∴， ∴． 故选：C． 题型十：绝对值方程问题 【例题10】．【阅读与思考】 在解形如()的方程时，我们可以根据绝对值的意义，分情况讨论： 当时，原方程化为，解得； 当时，原方程化为，解得． 所以，方程()的解为或． 【理解与应用】 利用上述方法解方程：． 【答案】或 【知识点】绝对值方程 【分析】本题主要考查绝对值方程，熟练掌握绝对值的意义是解题的关键；因此此题可根据绝对值方程的解法进行求解即可． 【详解】解：根据阅读材料的方法： 当，即时，原方程化为， 解得：； 当，即时，原方程化为， 解得：， 综上所述，方程的解为或． 【变式1】．解方程：． 解：①当时，解得； ②当时，解得． 所以原方程的解是或． (1)解方程：； (2)解方程：． 【答案】(1)或 (2)或 【知识点】绝对值方程 【分析】本题主要考查了解绝对值方程，理解题意，熟练掌握解一元一次方程的基本步骤，是解题的关键． （1）根据绝对值意义，得出，然后解一元一次方程即可； （2）根据绝对值意义，得出或，然后解一元一次方程即可． 【详解】（1）解：由得：， 当时，； 当时，； 所以原方程的解是或． （2）解：， 或， 解方程，得， 解方程，得， 所以原方程的解是或． 【变式2】．阅读材料：我们把绝对值符号内含有未知数的方程叫做“含有绝对值的方程”． 如：，，…都是含有绝对值的方程，怎样求含有绝对值的方程的解呢？基本思路是：含有绝对值的方程→不含有绝对值的方程． [例]解方程：． 解：根据绝对值的意义，得或． 解这两个一元一次方程，得或． 根据以上材料解决下列问题： (1)解方程：； (2)拓展延伸：解方程． 【答案】(1)或 (2)或 【知识点】绝对值方程 【分析】本题考查了解绝对值方程． （1）仿照题干作答即可； （2）对于形如的方程，等价于或，因此，解方程，只需解与即可． 【详解】（1）解：根据绝对值的意义得：或， 解得：或x； （2）解：由绝对值的意义得：或， 解得：或． 【变式3】．解方程：． 【答案】或6 【知识点】解一元一次方程（一）——合并同类项与移项、绝对值方程 【分析】本题考查解一元一次方程，化简绝对值，正确掌握方法和步骤是解题的关键． 根据题意分情况讨论，然后分别解方程即可． 【详解】解析：当时，， 解得，不符合题意，舍去 当时，， 解得，符合题意； 当时，， 解得，符合题意． 综上，或6． 【变式4】．【阅读理解】在解形如这一类含有绝对值的方程时，可以根据绝对值的意义分和2两种情况讨论： ①当时，原方程可化为，解得，符合； ②当时，原方程可化为，解得，符合． 故原方程的解为或． 【尝试应用】运用分类讨论先去绝对值符号的方法解方程：． 【答案】或 【知识点】绝对值方程 【分析】根据示例，分和两种情况进行讨论即可. 【详解】解：①当时，原方程可化为： ， 解得，符合； ②当时，原方程可化为： ， 解得， 符合． 故原方程的解为或． 【突破三：基础运用突破】 （本关共15题，包含期末考必考基础考点，限时15分钟） 1．若关于x的方程是一元一次方程，则a的值为（   ） A．1 B． C． D．0 【答案】C 【知识点】判断是否是一元一次方程 【分析】根据一元一次方程的定义，x的指数必须为1，且系数不为0． 本题考查了一元一次方程的定义，熟练掌握定义是解题的关键． 【详解】解：∵ 方程是一元一次方程， ∴ 且 由，得或， 又∵， ∴ ∴ ， 故选：C． 2．若一元一次方程的解为，则的值为（   ） A．6 B． C．2 D． 【答案】A 【知识点】已知一元一次方程的解，求参数 【分析】本题考查了一元一次方程解的综合应用（已知一元一次方程的解，求参数），熟练掌握方程的解的定义是解题的关键． 由方程的解的定义可得，解方程即可求出的值． 【详解】解：一元一次方程的解为， ， 解得：， 故选：． 3．下列说法正确的是（） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】B 【知识点】等式的性质1、等式的性质2 【分析】本题主要考查等式的基本性质，掌握等式的两边同时加上或减去同一个代数式等式仍然成立、等式的两边同时乘或除同一个代数式等式仍然成立是解题的关键． 根据等式的基本性质逐项判断即可． 【详解】解：A．由，等式两边同时加上3可得，而非，故A错误，不符合题意； B．由，等式两边同时减去，可得，故B正确，符合题意； C．，等式两边同时乘可得，而非，故C错误，不符合题意； D．，则，两边同时乘以，可得，而非，故D错误，不符合题意． 故选B． 4．已知，下列式子：；；；，其中一定成立的有（　　）个 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【知识点】等式的性质1、等式的性质2 【分析】本题考查的是等式的基本性质，熟知等式的基本性质是解答此题的关键．根据等式的基本性质对四个小题进行逐一分析即可． 【详解】解：∵， ，故成立； ∵， ，故不成立； ∵， ，故不成立； ∵， ，故不成立． 综上，一定成立的有1个， 故选：A． 5．在解方程时，去分母后，正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】解一元一次方程（三）——去分母 【分析】本题主要考查一元一次方程的解法，熟练掌握一元一次方程的解法是解题的关键；通过找到分母3和2的最小公倍数6，方程两边同时乘以6，去分母得到正确形式即可． 【详解】解：， 两边同乘6得， 即， 故选B． 6．若代数式与的值互为相反数，则 x 的值为（    ） A． B． C．1 D．13 【答案】C 【知识点】解一元一次方程（二）——去括号、相反数的应用 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，相反数定义，根据互为相反数的定义，两个代数式的和为零，列出方程并求解即可． 【详解】解：∵代数式与的值互为相反数， ∴， 化简得：， 即， ∴． 故选：C． 7．已知：关于x的方程与有相同的解，则 ． 【答案】 【知识点】解一元一次方程（三）——去分母、已知方程的解，求参数 【分析】本题考查同解方程，求出方程的解，把解代入到，进行计算即可． 【详解】解：， ， 解得， 把代入，得，解得； 故答案为：． 8．若关于的方程的解为整数，则满足条件的负数的值为 ． 【答案】或或 【知识点】已知方程的解，求参数、解一元一次方程（三）——去分母 【分析】本题考查了解一元一次方程．解方程得到x关于a的表达式，再根据x为整数确定是19的约数，最后筛选出负数a的值，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， 展开得， 整理得， 即， 解得， ∵x为整数， 故是19的约数， ∵19的约数有，， 当时，； 当时，； 当时，； 当时，， ∵a为负数， ∴满足题意的a的值为或或， 故答案为：或或． 9．解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】解一元一次方程（二）——去括号、解一元一次方程（三）——去分母 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，熟练掌握一元一次方程的解法是解题的关键． （1）先去括号，再移项，合并同类项，最后系数化为1，由此求解即可； （2）先去分母，再去括号，移项，合并同类项，最后系数化为1，由此求解即可． 【详解】（1）解：去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：； （2）解：去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：． 10．以下是小明解方程：的步骤： 去分母，得① 去括号，得② 移项，得③ 合并同类项，得④ 系数化为1，得⑤ 其中，小明从第 步开始做错，请你写出正确的解答过程． 【答案】①，解答过程见解析 【知识点】解一元一次方程（三）——去分母 【分析】本题考查了解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的步骤是解题的关键． 分析小明的步骤可知从第①步开始做错，再写出正确的解答过程即可． 【详解】解：小明从第①步开始做错， 正确的解答过程如下： 去分母，得 去括号，得 移项，得 合并同类项，得 系数化为1，得． 11．对于任意有理数a、b、c、d，定义新运算：．例如：． (1)求的值； (2)若（x为有理数），求x的值． 【答案】(1) (2) 【知识点】有理数四则混合运算、解一元一次方程（一）——合并同类项与移项 【分析】本题考查了一元一次方程，有理数的混合运算，利用新定义法则将待求项转化为一元一次方程是解题的关键． （1）利用新定义法则进行计算即可； （2）利用新定义法则将待求项转化为一元一次方程，再利用解一元一次方程的一般步骤进行求解即可． 【详解】（1）解：根据题意可知，． （2）解：根据题意可知： ． ∵， 即， 整理，得， 解得． 12．解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】解一元一次方程（三）——去分母 【分析】本题考查了解一元一次方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先去分母，再去括号，移项，合并同类项，系数化1，即可作答． （2）先整理得，去分母，再去括号，移项，合并同类项，系数化1，即可作答． 【详解】（1）解：， 去分母得： 去括号得： 移项得：， 合并同类项得：， 系数化1得：； （2）解：， 原方程可化为：， 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化1得：． 13．小明在解关于x的方程 去分母时，方程右边的“”没有乘6，从而求得的解为 ． (1)请求出a的值； (2)求出原方程正确的解． 【答案】(1) (2) 【知识点】解一元一次方程（三）——去分母 【分析】此题主要考查了解一元一次方程，正确移项合并同类项是解题关键． （1）根据题意把x的值代入进而得出答案a的值； （2）再把a的值代入解方程即可． 【详解】（1）解：根据小明错误的解法，方程两边同乘6（右边未乘）得： ， 将代入得：， 解得 ； （2）解：原方程为， 去分母（两边同乘6）得：， 去括号得： 移项合并得：． 14．如果两个一元一次方程的解之和为2，我们就说这两个方程为“和美方程”，例如，和是“和美方程” (1)若关于的方程与是“和美方程”，求的值． (2)若两个“和美方程”的解的差为4，且有一个方程为，求的值． (3)关于的方程与是“和美方程”，且关于，的多项式的值恒为定值，求的值及，满足的关系式． 【答案】(1) (2)或 (3)， 【知识点】解一元一次方程（一）——合并同类项与移项、一元一次方程解的关系 【分析】本题考查的是解一元一次方程的应用，正确理解“和美方程”的定义是解题关键． （1）先求出两个方程的解，再根据“和美方程”的定义，即可求出的值； （2）根据“和美方程”的定义，表示出另一个方程的解，再根据两个解的差为4，即可求出的值； （3）先表示出两个方程的解，再根据“和美方程”的定义得出，再把多项式变形，根据多项式的值为定值可得，进而得出，的关系式． 【详解】（1）解：∵， ∴． ∵， ∴． ∵关于的方程与是“和美方程”， ∴，解得． （2）解：∵有一个方程为， ∴． ∴另外一个方程的解为． ∵两个“和美方程”的解的差为4， ∴或， 解得或． （3）解：∵， ∴． ∵， ∴． ∵关于的方程与是“和美方程”， ∴． ，即． ， 又∵关于，的多项式的值恒为定值， ∴，即． ∴． 15．已知关于x的方程的解比方程的解大5，求a的值． 【答案】 【知识点】解一元一次方程（三）——去分母、已知方程的解，求参数 【分析】本题考查方程的解、解一元一次方程等知识，掌握相关知识是解题关键． 先解出方程的解，再解出方程的解，根据题意，将两个解相减得5，即可解题． 【详解】解：解方程得． 因为， 所以， 所以， 解得． 因为1＋x＝2＋2a的解比方程的解大5， 所以， 解得． 【突破四：能力提升突破】 1．若是关于的一元一次方程的解，则代数式的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】已知式子的值，求代数式的值、已知方程的解，求参数 【分析】本题考查一元一次方程的解，求代数式的值，将代入方程得到的值，再整体代入代数式计算即可．利用整体代入的思想解决问题是解题的关键． 【详解】解：∵是关于的一元一次方程的解， ∴， ∴， 即代数式的值是． 故选：C． 2．已知关于x的方程有无数多个解，那么的值为（   ） A． B． C．2 D． 【答案】D 【知识点】已知方程的解，求参数 【分析】本题考查了方程的定义，方程的解的定义，正确理解方程的解的含义是解题的关键．方程有无数多个解的条件是未知数的系数为0且常数项为0，由此求出a和b的值，再代入所求代数式计算． 【详解】解：∵ 方程 有无数多个解， ∴ 且 ， 由 得 ， 代入 得 ，即 ， ∴ ， 则 ． 故选：D． 3．若关于的一元一次方程的解为，则关于的一元一次方程的解为（   ） A． B．1 C． D． 【答案】A 【知识点】已知方程的解，求参数 【分析】本题考查了已知方程的解，求参数，解题关键是掌握方程的解并能运用求解． 根据方程的解的意义求解即可． 【详解】解：原方程可变形为： 令， 则方程化为 关于的一元一次方程的解为， ∴ 对于方程，与方程形式相同， ∴方程的解为， 故选：A． 4．若关于x的方程的解是整数，则整数k的取值个数是（   ） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】C 【知识点】已知方程的解，求参数 【分析】本题考查根据一元一次方程解的情况求参数，先解方程得到x关于k的表达式，再根据x为整数确定k的取值，注意. 【详解】解：∵， ∴， 当时，方程为，无解，不合题意， ∴， ∴， ∵ x为整数，且k为整数， ∴ k整除2，即k是2的因数， ∴或， 共4个整数k满足条件． 故选：C． 5．小马虎在解决关于x的方程时，误将“”看成了“”，得方程的解为，则原方程的解为 ． 【答案】 【知识点】已知方程的解，求参数 【分析】本题考查了一元一次方程的解的定义．使一元一次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元一次方程的解．把代入得出方程，求出，得出原方程为，求出方程的解即可． 【详解】解：∵小马虎在解决关于x的方程时，误将“”看成了“”，得方程的解为， ∴把代入得出方程， 解得：， 即原方程为， 解得． 故答案为：． 6．若不论取什么实数，关于的方程（是常数）的解总是，则 ． 【答案】 【知识点】已知方程的解，求参数 【分析】本题考查已知一元一次方程的解求参数，解题时要根据方程的特点进行有针对性的计算． 将代入原方程，化简后得到关于的等式，根据等式对任意成立的条件，令的系数为零，常数项相等，解出和，最后求出结果即可． 【详解】解：将代入原方程， 得， 整理得， ∵等式不论k取什么数均成立， ∴， 解得，， ∴． 故答案为：． 7．整式mx＋2n的值随x的取值不同而不同，下表是当x取不同值时对应的整式的值，则关于x的方程的解为 ． x －2 －1 0 1 2 mx＋2n 4 0 －4 －8 －12 【答案】 【知识点】已知方程的解，求参数 【分析】本题考查利用表格数据求代数式系数及解一元一次方程，解题的关键是通过表格数据列出方程组求出、的值，再代入方程求解． 先根据表格中与的对应值列出方程组，求出；再将代入方程，解出． 【详解】解：当时，，即， 当时，，即， 解得：， 方程为， 解得：． 故答案为：． 8．解下列方程： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【知识点】解一元一次方程（三）——去分母 【分析】本题考查了解一元一次方程，解题的关键是熟练掌握解一元一次方程的步骤． （1）直接移项、合并同类项、再系数化为1求解即可； （2）先去括号，然后移项、合并同类项，再系数化为1求解即可； （3）先去分母，然后去括号，移项、合并同类项，再系数化为1求解即可； （4）先去分母，然后去括号，移项、合并同类项，再系数化为1求解即可． 【详解】（1）解： ， 解得； （2）解： ， 解得； （3）解： ， 解得； （4）解： ， 解得． 9．已知代数式的值比代数式的值大1． (1)求的值； (2)小轩在解关于的一元一次方程去分母时，等号右边的没有乘3，因此求得方程的解为，求原方程正确的解． 【答案】(1) (2) 【知识点】解一元一次方程（二）——去括号、解一元一次方程（三）——去分母、已知一元一次方程的解，求参数 【分析】本题考查的是一元一次方程的应用，方程的解的含义，熟练地解方程是解本题的关键． （1）根据题意，列出方程求解即可； （2）根据小轩的作法，将代入方程求出，然后再解一元一次方程即可． 【详解】（1）解：由题意可得方程：， 解得：； （2）解：小轩去分母时，方程变为， 把代入得：， 解得． 则原方程为， 解得：． 10．我们规定：若关于x的一元一次方程的解为，则称该方程为“和解方程”．例如：方程的解为，而，则方程为“和解方程”． 请根据上述规定解答下列问题： (1)下列关于x的一元一次方程“和解方程”的是 （填序号）． ①；②；③；④． (2)若关于x的一元一次方程是“和解方程”，求a的值． (3)若关于x的一元一次方程是“和解方程”，求a的值． 【答案】(1)②④ (2) (3)或． 【知识点】解一元一次方程（一）——合并同类项与移项、解一元一次方程（三）——去分母 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，正确理解“和解方程”的定义是解题的关键． （1）先求出对应方程的解，再根据“和解方程”的定义判断即可； （2）先求出对应方程的解，再根据“和解方程”的定义得到关于a的方程，解方程即可得到答案； （3）分和两种情况，分别解原方程求出原方程的解，再根据“和解方程”的定义得到关于a的方程，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：解方程得， ∵， ∴方程不是“和解方程”； 解方程得， ∵， ∴方程是“和解方程”； 解方程得， ∵， ∴方程不是“和解方程”； 解方程得， ∵， ∴方程是“和解方程”； （2）解：解方程得， ∵关于x的一元一次方程是“和解方程”， ∴， 解得； （3）解：当，即时， ∵， ∴， 解得， ∵关于x的一元一次方程是“和解方程”， ∴， 解得； 当，即时， ∵， ∴， 解得， ∵关于x的一元一次方程是“和解方程”， ∴， 解得； 综上所述，或． 第2页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026七年级上学期期末专题复习——16大重点专题突破系列 专题03：突破一元一次方程的解法（苏科版） 目录 【课标要求+题型预测】 1 【突破一：考点知识突破】 1 【突破二：重点题型突破】 2 题型一：一元一次方程的概念 2 题型二：根据等式的性质判断变形正误 3 题型三：根据方程的解求参数的值 3 题型四：判断解方程的过程错误步骤 4 题型五：解一元一次方程（重点考查题型） 6 题型六：一元一次方程的同解问题 7 题型七：新定义方程问题 9 题型八：解方程时看错题问题 10 题型九：方程之间解得关系问题 12 题型十：绝对值方程问题 14 【突破三：基础运用突破】 16 【突破四：能力提升突破】 18 【课标要求+题型预测】 1．理解一元一次方程及其解的概念；【选择题、填空题】 2．掌握等式的基本性质；【选择题、填空题】 3．掌握一元一次方程的解法；【选择题、填空题、解答题】 【突破一：考点知识突破】 考点1：一元一次方程的概念 1．方程：含有未知数的等式叫做方程． 2．一元一次方程：只含有一个未知数，未知数的次数都是1，这样的方程叫做一元一次方程． 易错提醒：判断一个方程是一元一次方程条件： 1 是等式，有等号； 2 只含有一个未知数； 3 含有未知数的项的次数为1； ④ 等号两边都是整式，（分母中不含未知数）． 3．方程的解：使方程的左、右两边相等的未知数的值叫做这个方程的解． 4．解方程：求方程的解的过程叫做解方程． 考点2：等式的性质 1．等式的性质： 等式的性质1：等式两边加(或减)同一个数(或整式)，结果仍相等； 等式的性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等． 考点3：一元一次方程的解法 1.去分母：在方程两边同乘以各分母的最小公倍数； 2.去括号：依据乘法分配律和去括号法则，去括号； 3.移项：通常把含有未知数的项移到方程左边，常数项移到方程右边； 4.合并同类项：合并方程等号两边的同类项，把方程化为ax＝b(a≠0)的形式; 5.系数化为1：方程两边同除以未知数的系数得到方程的解． 【突破二：重点题型突破】 题型一：一元一次方程的概念 【例题1】．下列各式中，是一元一次方程的是（   ） A． B． C． D． 【变式1】．下列方程中，是一元一次方程的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】．在方程①，②，③，④中，一元一次方程的个数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式3】．下列等式中，属于一元一次方程的是（ ） ①；②；③；④；⑤ A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【变式4】．已知方程是一元一次方程，则的值为（   ） A．2 B． C． D．无法确定 题型二：根据等式的性质判断变形正误 【例题2】．根据等式的性质，下列各式变形正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【变式1】．根据等式的性质，下列各式变形错误的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【变式2】．下列等式变形正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【变式3】．下列等式变形正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【变式4】．下列说法一定正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 题型三：根据方程的解求参数的值 【例题3】．如果是关于x的方程的解，则的值为（    ） A．1 B． C．21 D．5 【变式1】．若关于x的一元一次方程的解为，则m的值为（    ） A．6 B． C．12 D． 【变式2】．若关于的方程的解为自然数，则整数的值为（   ） A．1 B．3 C．1或3 D．或 【变式3】．如果关于的方程的解为，那么的值是（　　） A． B．2 C．6 D． 【变式4】．若关于的方程的解为大于4的整数 ，则整数的值为（　　） A．3或5 B．3或7 C．5或7 D．以上答案都不对 题型四：判断解方程的过程错误步骤 【例题4】．在学习了一元一次方程的解法后，小李独立完成了解方程：，具体步骤如下： 解：去分母，得：（1） 去括号，得：（2） 移项，得：（3） 合并同类项，得：（4） 两边同乘以，得： （5） 你认为小李在解题过程中存在变形错误的步骤是（　　） A．（2）（3）（4） B．（1）（2）（3） C．（1）（2）（3）（4） D．（1）（2）（3）（5） 【变式1】．下面是小明同学书写的解方程的过程，请你认真看他的解方程过程，并完成下面的任务． 解：·······························第一步 ··············································第二步 ··············································第三步 ···························································第四步 ······························································第五步 任务一：填空： (1)以上解题过程中，第一步是依据_________（性质）进行变形的；第二步是依据________（运算律）进行变形的； (2)第______步开始出现错误，这一步的错误的原因是_________； 任务二： (3)请写出该方程的正确解法． 【变式2】．下面是小丽同学解方程的过程： 解：去分母，得第①步 去括号，得第②步 移项，得第③步 合并同类项，得．第④步 系数化为1，得第⑤步 根据小丽的解题过程，回答下列问题： (1)第①步的依据是 ； (2)从第 （填序号）步开始出现错误，请你写出正确的解方程的过程． 【变式3】．下面是某同学解方程的过程．请仔细阅读，并完成以下任务 解方程：． 解：去分母，得……① 去括号，得……② ，得……③ 合并同类项，得……④ 系数化为1，得……⑤ (1)该同学的解答过程在第 步开始就出现错误；（填写对应编号） (2)该同学求解过程中，第③步中的横线上应填的步骤是 ； (3)请你写出此方程的正确解答过程． 【变式4】．对于方程：，张妍同学的解法如下： 解：将原方程化为第一步 去分母，得第二步 去括号，得第三步 移项、合并同类项，得第四步 系数化为1，得第五步 (1)以上求解步骤中，从第___________步开始出现错误； (2)请写出正确的解答过程． 题型五：解一元一次方程（重点考查题型） 【例题5】．解方程： (1)； (2)． 【变式1】．解方程： (1)； (2)． 【变式2】．解方程： (1) (2) 【变式3】．解方程： (1) (2) 【变式4】．解方程： (1)； (2)． 题型六：一元一次方程的同解问题 【例题6】．已知关于x的方程的解与的解相同，求的值． 【变式1】．如果关于x的方程与的解相同，求m的值？ 【变式2】．已知关于的一元一次方程的解与关于的一元一次方程的解相同，求的值． 【变式3】．若是关于的一元一次方程． (1)求的值； (2)若该方程与关于的方程的解相同，求的值； (3)若表示不大于的最大整数，求的值． 【变式4】．我们定义，如果两个方程的解相同，那么称这两个方程为“友好方程”． (1)判断下列方程：①；②；③是“友好方程”的是 ．（填写序号） (2)若关于x的方程与是“友好方程”，求m的值． (3)若关于x的方程与是“友好方程”，其中a，b是整数，试求a，b的值． 题型七：新定义方程问题 【例题7】．定义：如果两个方程的解相差（为正整数），则称解较大的方程为另一个方程的“和谐方程”，例如：方程是方程的“和谐方程”． (1)若方程是方程的“和谐方程”，则______． (2)若关于x的方程是关于x的方程的“和谐方程”，求m的值． 【变式1】我们给出一种定义：如果两个一元一次方程的解的和为，那么我们就称这两个方程互为“漂亮方程”．例如：方程和互为“漂亮方程”． (1)若关于的方程与互为“漂亮方程”，则的值为 ． (2)若关于的方程与互为“漂亮方程”，则关于的方程的解是 ． 【变式2】定义：如果两个一元一次方程的解之和为2，我们就称这两个方程为“美好方程”．例如：方程和为“美好方程”． (1)若关于x的方程与方程是“美好方程”，求m的值； (2)若“美好方程”的两个解的差为3，其中一个解为n，求n的值； (3)若关于x的一元一次方程和是“美好方程”，则关于y的一元一次方程的解为________． 【变式3】定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两个方程互为“阳光方程”．例如：解为，的解为，所以这两个方程互为“阳光方程”． (1)若关于的一元一次方程与是“阳光方程”，求m的值； (2)已知两个一元一次方程互为“阳光方程”，且这两个“阳光方程”的解的差为，若其中一个方程的解为，求的值； (3)若关于的一元一次方程和是“阳光方程”，求关于的一元一次方程的解． 【变式4】“程，课程也，二物者二程，三物者三程，皆如物数程之，并列为行，故谓之方程”这是我国古代著名数学家刘徽在《九章算术》对方程一词给出的注释．定义：如果两个一元一次方程的解的和为，则称这两个方程互为“归一方程”． (1)若方程与关于的方程互为“归一方程”，求的值； (2)若关于的方程与关于的方程互为“归一方程”，求的值． 题型八：解方程时看错题问题 【例题8】．小玲在解方程去分母时，方程右边的“”没有乘以公分母6，因而求得了方程的错误解为．请根据上述信息求方程正确的解． 【变式1】．小林在解方程去分母时，方程右边的忘记乘8，因而得到方程的错解．你能由此判断出的值吗？如果能，请求出方程正确的解． 【变式2】．小明是七（2）班的学生，他在对方程去分母时由于粗心，方程右边的没有乘以6而得到错解，你能由此判断出a的值吗？如果能，请求出方程正确的解． 【变式3】．小玲在解方程去分母时，方程右边的“”没有乘以公分母6，因而求得了方程的错误解为． 请根据上述信息求方程正确的解． 【变式4】．在数学实践课上，某学习小组针对相关问题进行探究，拟定项目式学习表： 任务 解决解方程问题中的“看错抄错”问题 示例 解方程①时，去分母时方程左边的1没有乘10，从而求得方程的解为．求原方程的解．（此处不作答） 通关三步 （1）将错纠错 依据“去分母时方程左边的1没有乘10”，可将①仅去分母为：__________②； （2）数据回代 将代入式子②，求的值；（写过程） （3）方程消参 将的值代入①解方程．（写过程） 题型九：方程之间解得关系问题 【例题9】．若关于x的一元一次方程 的解为，则关于y的一元一次方程 的解为（   ） A． B． C． D． 【变式1】．若关于x的一元一次方程的解为，则关于y的一元一次方程的解为 ． 【变式2】．已知关于的方程的解为，那么关于的一元一次方程的解为（    ） A． B． C． D． 【变式3】．已知关于的一元一次方程的解为，那么关于的一元一次方程的解是（） A． B． C． D． 【变式4】．已知关于x的一元一次方程的解为，那么关于y的一元一次方程的解为（） A．2021 B． C．2031 D． 题型十：绝对值方程问题 【例题10】．【阅读与思考】 在解形如()的方程时，我们可以根据绝对值的意义，分情况讨论： 当时，原方程化为，解得； 当时，原方程化为，解得． 所以，方程()的解为或． 【理解与应用】 利用上述方法解方程：． 【变式1】．解方程：． 解：①当时，解得； ②当时，解得． 所以原方程的解是或． (1)解方程：； (2)解方程：． 【变式2】．阅读材料：我们把绝对值符号内含有未知数的方程叫做“含有绝对值的方程”． 如：，，…都是含有绝对值的方程，怎样求含有绝对值的方程的解呢？基本思路是：含有绝对值的方程→不含有绝对值的方程． [例]解方程：． 解：根据绝对值的意义，得或． 解这两个一元一次方程，得或． 根据以上材料解决下列问题： (1)解方程：； (2)拓展延伸：解方程． 【变式3】．解方程：． 【变式4】．【阅读理解】在解形如这一类含有绝对值的方程时，可以根据绝对值的意义分和2两种情况讨论： ①当时，原方程可化为，解得，符合； ②当时，原方程可化为，解得，符合． 故原方程的解为或． 【尝试应用】运用分类讨论先去绝对值符号的方法解方程：． 【突破三：基础运用突破】 （本关共15题，包含期末考必考基础考点，限时15分钟） 1．若关于x的方程是一元一次方程，则a的值为（   ） A．1 B． C． D．0 2．若一元一次方程的解为，则的值为（   ） A．6 B． C．2 D． 3．下列说法正确的是（） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 4．已知，下列式子：；；；，其中一定成立的有（　　）个 A．1 B．2 C．3 D．4 5．在解方程时，去分母后，正确的是（ ） A． B． C． D． 6．若代数式与的值互为相反数，则 x 的值为（    ） A． B． C．1 D．13 7．已知：关于x的方程与有相同的解，则 ． 8．若关于的方程的解为整数，则满足条件的负数的值为 ． 9．解下列方程： (1)； (2)． 10．以下是小明解方程：的步骤： 去分母，得① 去括号，得② 移项，得③ 合并同类项，得④ 系数化为1，得⑤ 其中，小明从第 步开始做错，请你写出正确的解答过程． 11．对于任意有理数a、b、c、d，定义新运算：．例如：． (1)求的值； (2)若（x为有理数），求x的值． 12．解方程： (1)； (2)． 13．小明在解关于x的方程 去分母时，方程右边的“”没有乘6，从而求得的解为 ． (1)请求出a的值； (2)求出原方程正确的解． 14．如果两个一元一次方程的解之和为2，我们就说这两个方程为“和美方程”，例如，和是“和美方程” (1)若关于的方程与是“和美方程”，求的值． (2)若两个“和美方程”的解的差为4，且有一个方程为，求的值． (3)关于的方程与是“和美方程”，且关于，的多项式的值恒为定值，求的值及，满足的关系式． 15．已知关于x的方程的解比方程的解大5，求a的值． 【突破四：能力提升突破】 1．若是关于的一元一次方程的解，则代数式的值是（   ） A． B． C． D． 2．已知关于x的方程有无数多个解，那么的值为（   ） A． B． C．2 D． 3．若关于的一元一次方程的解为，则关于的一元一次方程的解为（   ） A． B．1 C． D． 4．若关于x的方程的解是整数，则整数k的取值个数是（   ） A．2 B．3 C．4 D．6 5．小马虎在解决关于x的方程时，误将“”看成了“”，得方程的解为，则原方程的解为 ． 6．若不论取什么实数，关于的方程（是常数）的解总是，则 ． 7．整式mx＋2n的值随x的取值不同而不同，下表是当x取不同值时对应的整式的值，则关于x的方程的解为 ． x －2 －1 0 1 2 mx＋2n 4 0 －4 －8 －12 8．解下列方程： (1) (2) (3) (4) 9．已知代数式的值比代数式的值大1． (1)求的值； (2)小轩在解关于的一元一次方程去分母时，等号右边的没有乘3，因此求得方程的解为，求原方程正确的解． 10．我们规定：若关于x的一元一次方程的解为，则称该方程为“和解方程”．例如：方程的解为，而，则方程为“和解方程”． 请根据上述规定解答下列问题： (1)下列关于x的一元一次方程“和解方程”的是 （填序号）． ①；②；③；④． (2)若关于x的一元一次方程是“和解方程”，求a的值． (3)若关于x的一元一次方程是“和解方程”，求a的值． 第2页 学科网（北京）股份有限公司 $