精品解析：上海市浦东新区2025--2026学年八年级数学上学期期末考试卷

2025学年第一学期 期末学习反馈 八年级 数学学科 （时间90分钟，满分100分） 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 1. 下列二次根式中，与是同类二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 在下列关于的一元二次方程中，一定有两个不相等的实数根的是（ ） A B. C. D. 3. 二次根式的一个有理化因式是（ ） A. B. C. D. 4. 关于的一元二次方程有实数根，那么的取值范围是（ ） A B. 且 C. D. 5. 如图，两点分别在射线上，点在的内部，且，垂足分别为点，且，若，则的长为（ ） A. 10 B. 13 C. 15 D. 17 6. 如图，在中，，若P是上的一个动点，则的最小值是（ ） A. B. 15 C. D. 16 二、填空题（本大题共12小题，每题2分，共24分） 7. 16的平方根是_____． 8. 比较大小：_____（填“”“ ”或“”）． 9. 使有意义的的取值范围是_____． 10. 在实数范围内因式分解：_________． 11. 若是方程的两个实数根，则的值为_____． 12. 关于的分式方程有增根，则_____． 13. 关于的一元二次方程有一个根为0，那么的值为_____． 14. 不等式的解集是_____． 15. 已知方程的一个根为5，则方程的另一个根为______． 16. 小杰将元压岁钱按一年定期存入银行，到期后取出元用来购买学习用品，剩下的元和应得的利息又全部按一年定期存入银行．若存款的年利率为，这样到期后账户里有元，由题意可列方程：________． 17. 如图，将等腰直角三角形绕点逆时针旋转，得到．已知，，连接，则_____． 18. 如图，在中，，将沿折叠至，，连接，平分，则的度数为________．（用含的式子表示） 三、简答题（本大题共6小题，19、20题每题8分，21－24题每题6分，共40分） 19. （1）计算： （2）已知，求的值． 20. 解方程 （1） （2） 21. 已知点在数轴上，其中分别表示数和．点向左平移4个单位长度后与点重合． （1）求线段长； （2）求点表示的数； （3）对于数轴上三点，点、点关于点对称，求点对应的实数． 22. 已知关于的方程． （1）求证：无论常数取何值，方程总有实数根； （2）当整数取何值时，方程有两个整数根？ 23. 为加强防汛工作，市工程队准备对苏州河一段长为2240米的河堤进行加固，由于采用新的加固模式，现在计划每天加固的长度比原计划增加了20米，因而完成此段加固工程所需天数将比原计划缩短2天，问现在计划每天加固多少米？ 24. 如图，在RtABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，AD为ABC角平分线，求CD的长度． 四、解答题（本大题共2小题，25题8分，26题10分，共18分） 25. 已知关于一元二次方程． （1）如果这个方程的两个实数根是，，且，求的值； （2）若等腰的一边长，另两边长b、c恰好是这个方程的两个根，求的周长． 26. 如图1，在中，，，点是边上动点（点与点不重合），过点作交射线于点，连接，点是的中点，过点作直线，交边于点，连接． （1）当点在边上时，设，用含有的代数式表示的长； （2）判断的形状，并证明； （3）在直角三角形中，如果一个锐角等于，那么它所对的直角边等于斜边的一半．例如图3中，在中，如果，，那么．如果，请利用上述性质求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025学年第一学期 期末学习反馈 八年级 数学学科 （时间90分钟，满分100分） 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 1. 下列二次根式中，与是同类二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查同类二次根式的概念，属于基础题，注意掌握同类二次根式是指：二次根式是化为最简二次根式后，被开方数相同的二次根式． 将选项中的二次根式化为最简，然后根据同类二次根式的被开方数相同可得出答案． 【详解】解：A、，与的被开方数不同，不是同类二次根式，故本选项不符合； B、，与的被开方数相同，是同类二次根式，故本选项符合； C、，与的被开方数不同，不是同类二次根式，故本选项不符合； D、，与的被开方数不同，不是同类二次根式，故本选项不符合； 故选：B． 2. 在下列关于的一元二次方程中，一定有两个不相等的实数根的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式．用根的判别式判断即可，若方程有两个不相等的实数根，则需． 【详解】解：A、， ∵， ∴方程有两个不相等的实数根，本选项符合题意； B、， ∵， ∴方程无实数根，本选项不符合题意； C、， ∵， ∴方程无实数根，本选项不符合题意； D、， ∵， ∴方程实有两个相等的实数根，本选项不符合题意； 故选：A． 3. 二次根式的一个有理化因式是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据有理化因式的定义判断即可. 【详解】∵ ∴二次根式的一个有理化因式是 故选B. 【点睛】本题主要考查了二次根式的有理化因式的概念，熟练利用定义得出是解题关键. 4. 关于的一元二次方程有实数根，那么的取值范围是（ ） A. B. 且 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的定义及根的判别式的应用．关键在于：一元二次方程要求二次项系数不为0；方程有实数根时，判别式．需同时满足这两个条件来确定的取值范围． 【详解】解：∵方程是一元二次方程， ∴，即． 又∵方程有实数根， ∴， 解得． 综上，取值范围是且． 故选：B． 5. 如图，两点分别在射线上，点在的内部，且，垂足分别为点，且，若，则的长为（ ） A. 10 B. 13 C. 15 D. 17 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，先证明得到，则，进一步证明得到，则． 【详解】解：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选B． 6. 如图，在中，，若P是上的一个动点，则的最小值是（ ） A. B. 15 C. D. 16 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形，勾股定理，动点问题等知识，解题的关键是掌握垂线段最短和等面积法． 利用勾股定理求出，根据垂线段最短，求出的最小值即可解决问题． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 根据垂线段最短得，当时，的值最小，此时取得最小值， ∵， ∴， ∴的最小值． 故选：A． 二、填空题（本大题共12小题，每题2分，共24分） 7. 16的平方根是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了平方根，根据平方根的定义，一个正数的平方根有两个，它们互为相反数． 【详解】解：∵， ∴ 16的平方根是． 故答案为：． 8. 比较大小：_____（填“”“ ”或“”）． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了无理数的大小比较． 通过比较平方即可比较两数的大小． 【详解】解：∵，，， ∴． 故答案为：． 9. 使有意义的的取值范围是_____． 【答案】且 【解析】 【分析】本题考查二次根式和分式有意义的条件．二次根式有意义的条件是被开方数非负，分式有意义的条件是分母不为零，需同时满足这两个条件来确定的取值范围． 【详解】解：要使有意义， ∵二次根式有意义的条件是，解得； ∵分式有意义的条件是分母，解得； ∴综上，的取值范围是且． 故答案为：且． 10. 在实数范围内因式分解：_________． 【答案】 【解析】 【分析】结合题意，当时，通过求解一元二次方程，得，结合，即可得到答案． 【详解】 当时，得 ∴ ∴ ∴ 故答案为：． 【点睛】本题考查了因式分解和一元二次方程的知识；解题的关键是熟练掌握一元二次方程的性质，从而完成求解． 11. 若是方程的两个实数根，则的值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系的应用，关键是利用韦达定理得到两根之和与两根之积，再对所求代数式进行变形代入计算． 【详解】解：∵，是方程的两个实数根， ∴根据韦达定理，得，； 将变形为，代入得； 故答案为：． 12. 关于的分式方程有增根，则_____． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查了根据分式方程解的情况求值，分式方程无解问题，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 分式方程有增根时，分母为零，即，代入化简后的方程求解． 详解】解：方程两边同乘，得， 化简得． 令，得， 解得：． 故答案为：1． 13. 关于的一元二次方程有一个根为0，那么的值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的定义，一元二次方程的解，掌握相关知识是解决问题的关键．将根 代入方程，得到关于 的方程，解出 ，并检验是否满足一元二次方程的条件． 【详解】解：将 代入方程 ， 得 ， 即 ， 解得 或 ， ∵一元二次方程二次项系数 ， ∴， ∴． 故答案为：． 14. 不等式的解集是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题通过解一元一次不等式考查二次根式的乘法公式，核心是利用平方差公式进行分母有理化． 【详解】解：原不等式为，即， ∵， ∴． 故不等式的解集为． 故答案为：． 15. 已知方程的一个根为5，则方程的另一个根为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，设方程的另一个根为，根据根与系数的关系可得，据此可得答案． 【详解】解：设方程的另一个根为， 根据根与系数的关系可得， ∴， ∴原方程的另一个根为， 故答案为：． 16. 小杰将元压岁钱按一年定期存入银行，到期后取出元用来购买学习用品，剩下的元和应得的利息又全部按一年定期存入银行．若存款的年利率为，这样到期后账户里有元，由题意可列方程：________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程．可以设存款利率为，第一年提取元后存款为，第二年后可得存款为，此题得解． 【详解】解：设存款利率为，则第一年提取200元后存款为， 根据题意，可列方程为：， 故答案为：． 17. 如图，将等腰直角三角形绕点逆时针旋转，得到．已知，，连接，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查旋转的性质、勾股定理等知识，先由等腰三角形的性质和勾股定理求出，再由旋转的性质得，，，然后根据勾股定理可以求出的长． 【详解】解：∵是等腰直角三角形，， ∴，， ∴， ∵将等腰直角三角形绕点逆时针旋转，得到， ∴，，， ∴． 故答案为：． 18. 如图，在中，，将沿折叠至，，连接，平分，则的度数为________．（用含的式子表示） 【答案】 【解析】 【分析】连接，过点作于E，于F，可得是等边三角形，得出，，运用可证得，得出，再运用三角形内角和定理即可求得答案． 【详解】解：如图，连接，过点作于E，于F，则， 由折叠可知，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵平分， ∴， 又∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 即， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查折叠变换的性质，等边三角形的判定和性质，角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理等，添加辅助线构造全等三角形是解题关键． 三、简答题（本大题共6小题，19、20题每题8分，21－24题每题6分，共40分） 19. （1）计算： （2）已知，求的值． 【答案】 （1）；（2） 【解析】 【分析】本题考查二次根式混合运算和二次根式化简求值，解题的关键是掌握二次根式相关运算的法则． （1）先算乘除法，化为最简二次根式，再合并同类二次根式； （2）先将分母有理化为，由，再把所求式子化简为，将代入即可． 【详解】解：（1）原式 ； （2）， ∵， ∴， ∴ ， 则原式． 20. 解方程 （1） （2） 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的解法，关键是选择适合的解法． （1）通过完全平方公式展开、合并同类项将方程化为标准形式，再用因式分解法求解； （2）去分母转化整式方程，同时要检验分母不为零，排除增根． 【小问1详解】 解：原方程展开，得， 整理，得， 化简，得， 因式分解，得， 则或， 解得，； 【小问2详解】 解：方程两边同乘，得， 整理化简，得， 因式分解得， 解得或． 检验：当时，，所以是增根，舍去； 故方程的解为． 21. 已知点在数轴上，其中分别表示数和．点向左平移4个单位长度后与点重合． （1）求线段的长； （2）求点表示的数； （3）对于数轴上三点，点、点关于点对称，求点对应的实数． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查实数与数轴的知识，包括：数轴上两点距离为两点表示的数之差(右减左)；点向左平移时数减对应单位，向右平移时坐标加对应单位；两点关于某点对称时，该点到两点的距离相等． （1）通过数轴上两点距离公式计算长度； （2）根据平移规律列方程求点的数； （3）通过设未知数，利用线段长相等列方程求解表示点的数． 【小问1详解】 解：∵点表示，点表示， ∴线段的长为； 【小问2详解】 解：∵点向左平移个单位长度后与点重合，即数减小4与相等， ∴点表示的数为； 【小问3详解】 解：设点对应的实数为， ∵点、点关于点对称， ∴，即， 解得，即点对应的实数为1． 22. 已知关于的方程． （1）求证：无论常数取何值，方程总有实数根； （2）当整数取何值时，方程有两个整数根？ 【答案】（1）见解析 （2）或或或 【解析】 【分析】本题考查根据方程的根的情况，求参数的值．熟练掌握一元二次方程判别式和根的个数关系，以及根与系数的关系，是解题的关键． （1）根据二次项系数为零和不为零两种情况进行分类讨论，利用判别式的取值进行证明即可； （2）根据方程的两个根都是整数，说明方程为一元二次方程，利用根与系数的关系，结合两个根都是整数，进行计算即可． 【小问1详解】 证明：当，即：时， 方程变为：， 解得：，方程有实数根； 当，即：时，方程为一元二次方程， ， ∴方程有两个不相等的实数根； ∴无论m为何值，方程总有实数根． 【小问2详解】 解：依题意，方程有两个整数根，则该方程为一元二次方程，故，即， 设方程的两个根为：， 则：， ， ∵方程的两个根都为整数， ∴和为整数，即为整数， ∴或， 解得：或或或， ∴当或或或时，该方程的两个根都为整数． 23. 为加强防汛工作，市工程队准备对苏州河一段长为2240米的河堤进行加固，由于采用新的加固模式，现在计划每天加固的长度比原计划增加了20米，因而完成此段加固工程所需天数将比原计划缩短2天，问现在计划每天加固多少米？ 【答案】现在计划每天加固160米 【解析】 【分析】本题考查分式方程的实际应用、解一元二次方程，解题的关键是根据所给等量关系列出分式方程，求出解后注意检验．设原计划每天加固长度为米，则现在每天加固长度为米，根据完成天数比原计划缩短2天，列出分式方程求解． 【详解】解：设原计划每天加固长度为米，则现在每天加固长度为米， 由题意得：， 整理得， 解得或（舍去）， 经检验，是原方程的解， ∴现在每天加固长度为米． 答：现在计划每天加固160米． 24. 如图，在RtABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，AD为ABC角平分线，求CD的长度． 【答案】CD=． 【解析】 【分析】首先证明CD=DP，AC=AP=8，设CD=DP=x，在Rt△BDP中，利用勾股定理构建方程即可解决问题． 【详解】解：（1）如图，过点D作AB的垂线，垂足为P，设CD=DP=x 在Rt△ABC中，∵AC=8，BC=6， ∴AB==10， ∵∠CAD=∠PAD，∠C=∠APD=90°，AD=AD， ∴△ADC≌△ADP（AAS）， ∴AC=AP=8，CD=PD，设CD=PD=x， 在Rt△BDP中，∵PB=AB-AP=2，BD=6-x， ∴x2+22=（6-x）2， ∴x=， ∴CD=． 【点睛】本题考查了角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 四、解答题（本大题共2小题，25题8分，26题10分，共18分） 25. 已知关于的一元二次方程． （1）如果这个方程的两个实数根是，，且，求的值； （2）若等腰的一边长，另两边长b、c恰好是这个方程的两个根，求的周长． 【答案】（1） （2）7 【解析】 【分析】本题主要考查根与系数的关系，方程根的判别式及等腰三角形的性质，掌握方程根的判别式与方程根的情况的关系是解题的关键，注意分类讨论． （1）由根与系数的关系得出，，再根据得，代入解方程即可； （2）根据等腰三角形的性质分情况讨论求出b，c的长，并根据三角形三边关系检验，综合后求出的周长． 【小问1详解】 解：∵方程两个实数根是，， ∴，， ∵， ∴， ∴， 解得， 当时，，方程有两个实数根，符合题意； 小问2详解】 解：分两种情况： ①若， ∵方程有两个相等的实数根， ∴， 解得， ∴此时方程为， 解得， ∴的周长为； ②若，则或，即方程有一根为2， ∵把代入方程，得， 解得， ∴此时方程为， 解得，， ∴方程另一根为4， ∵2、2、4不能构成三角形，此种情况舍去． 综上所述，的周长为7． 26. 如图1，在中，，，点是边上的动点（点与点不重合），过点作交射线于点，连接，点是的中点，过点作直线，交边于点，连接． （1）当点在边上时，设，用含有的代数式表示的长； （2）判断的形状，并证明； （3）在直角三角形中，如果一个锐角等于，那么它所对的直角边等于斜边的一半．例如图3中，在中，如果，，那么．如果，请利用上述性质求的长． 【答案】（1） （2）等腰直角三角形，见解析 （3）或 【解析】 【分析】（1）先证为等腰直角三角形，由勾股定理得，再由即可得出答案； （2）根据题意分两种情况讨论：当点在边上时和当点在线段的延长线上时，由题意得，再由点是的中点知，，则，，，可推出，据此可得答案； （3）分点在线段上和线段延长线上两种情况，分别求出、的长，即可得出答案． 【小问1详解】 解：，， ∴， 又， 为等腰直角三角形， ， ∴， ， ； 【小问2详解】 证明：如图1，当点在边上时， ，， ， 点是的中点， ，， ，，， ，， ， 是等腰直角三角形； 如图2，当点在线段的延长线上时， ，， ， 点是的中点， ，， ，，， ，， ， 是等腰直角三角形； 【小问3详解】 解：如图1，当点在线段上时，，， ， ， ，即， ， ∴， ，， 在中，， ，即， ， ； 如图2，当点在线段的延长线上时，，，， 同理可得，， 在中，， ， 综上，如果，的长为或． 【点睛】本题考查 等腰直角三角形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线的性质，含直角三角形的性质，勾股定理，三角形外角的性质等知识，熟练掌握等腰直角三角形的判定和性质、直角三角形斜边上的中线的性质、含直角三角形的性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $