精品解析：黑龙江省齐齐哈尔市2025-2026学年高二上学期1月期末数学试题

高二数学 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚. 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 4.本卷命题范围：人教A版必修第二册第九章~第十章，选择性必修第一册第二章~第三章，选择性必修第三册. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 采用简单随机抽样的方法，从含有3个个体的总体中抽取1个，某个个体被抽到的概率是（ ） A. B. C. D. 2. 椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 3. 若直线和互相垂直，则a的值是（ ） A. 0 B. 2 C. 0或 D. 0或2 4. 展开式中的系数为（ ） A. 5 B. 15 C. 20 D. 35 5. 一动圆与圆外切，同时与圆内切，则该动圆圆心的轨迹是（ ） A. 抛物线 B. 双曲线的一支 C. 椭圆 D. 圆 6. 2025年11月9日至21日，第十五届全运会在广东、香港、澳门三地举办.在全运会的火炬传递中，某路段的传递活动由，，，，，共六名火炬手分五棒完成，若第一棒火炬手只能从，中产生，最后一棒由两名火炬手共同完成，且，两名火炬手不能共同完成最后一棒，则不同的传递方案种数为（ ） A. 54 B. 60 C. 102 D. 114 7. 已知双曲线的右焦点为，过的直线交于两点，点在第二象限，且关于轴的对称点为，若，则的方程为（ ） A. B. C. D. 8. 某车企为了更好地设计开发新车型，统计了近期购车的车主性别与购车种类（新能源车或者燃油车）的情况，其中新能源车占销售量的74%，男性占近期购车车主总数的60%，女性购车车主有80%购买了新能源车，根据以上信息，则男性购车时，选择购买新能源车的概率为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 通过随机抽样，得到变量和变量的7对数据，并绘制成散点图如图所示，已知变量和变量线性相关，且回归直线是图中直线，则下列说法正确的是（ ） A. 直线的斜率是负数 B. 变量与变量正相关 C. 相关系数 D. 若去掉图中点后，剩余数据的相关系数变大 10. 在一次比赛中，10位评委分别给某运动员打分，整理之后的得分数据满足，按照规则，要去掉一个最低分和一个最高分，然后再取平均分为该运动员的最终得分，则处理后的数据与原数据相比（ ） A. 极差变小 B. 中位数不变 C. 平均数变高 D. 第75百分位数变小 11. 已知抛物线的焦点为，过的直线与交于、两点，，为坐标原点，则（ ） A. 的准线方程为 B. C. 的最小值为 D. 的面积的最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知事件与互斥，且，，则___________． 13. 已知随机变量，随机变量，则________. 14. 已知圆，，，A，B是圆C上的动点，且，点N是线段AB的中点，则当取得最大值时，的值为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. （1）求焦点关于准线的对称点为的抛物线的标准方程； （2）求与双曲线有相同的渐近线，且过点的双曲线的标准方程. 16. 据文化和旅游部5月6日公布2025年“五一”假期全国国内出游人次为3.14亿，总花费为1802.69亿元.在假期出游的人群中，有跟团游，也有自由行等不同的旅游方式.为了解年龄因素是否影响旅游方式的选择，我们按年龄将成年人群分为青壮年组（大于17岁，小于45岁）和中老年组（大于或等于45岁）.现从市随机抽取200名成年人进行调查，得到数据如下表: 青壮年 中老年 合计 跟团游 30 60 90 自由行 65 45 110 合计 95 105 200 （1）依据小概率值的独立性检验，分析年龄与选择旅游方式是否有关联； （2）用分层随机抽样的方法从跟团游中抽取9人，再从9人中随机抽取5人，用随机变量表示5人中青壮年人数与中老年人数之差的绝对值，求的分布列和数学期望. 附:. 0.05 0.01 0.005 0.001 3.841 6.635 7.879 10.828 17. 已知线段的端点的坐标是，端点在圆上运动，是线段的中点． （1）求点的轨迹方程； （2）记（1）中所求轨迹为曲线，过定点的直线与曲线交于、两点，并且，求直线的方程． 18. 某网红景点为促进本地旅游，在五一期间举行购票抽奖活动，根据网上购票与景点购票，设置两种不同的抽奖方案． 方案1：通过网上购票的游客，可进入景点网页中设置的小程序抽奖，每个顾客可抽奖2次，每次抽奖可随机获得0元、10元、20元的奖金． 方案2：通过景点购票的游客，可从装有3个红球和7个白球的抽奖箱中，不放回地取球3次，每次取1个球，第次取到红球，可得10i元奖金，取到白球没有奖金． （1）游客甲通过网上购票，记甲抽奖获得的奖金总金额为元，求； （2）游客乙通过景点购票，记乙抽奖获得的奖金为元，求的分布列； （3）试从游客所得奖金金额的期望值分析，游客选择哪种购票方式更划算． 19. 已知椭圆的长轴长为4，左､右焦点分别为是上一点，且. （1）求的方程； （2）过作直线交于两点（在轴上方）. （i）求面积的最大值； （ii）若的右顶点为，直线与轴分别交于两点，证明：四点共圆. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二数学 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚. 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 4.本卷命题范围：人教A版必修第二册第九章~第十章，选择性必修第一册第二章~第三章，选择性必修第三册. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 采用简单随机抽样的方法，从含有3个个体的总体中抽取1个，某个个体被抽到的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由随机抽样的性质可知，每个个体被抽到的概率均等，从而得到所求的概率. 【详解】由随机抽样的性质可知，每个个体被抽到的概率均等，概率均为. 故选：B. 2. 椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由椭圆的几何性质求解． 【详解】由题意，得，，， 所以，， 离心率. 故选：C. 3. 若直线和互相垂直，则a的值是（ ） A. 0 B. 2 C. 0或 D. 0或2 【答案】B 【解析】 【分析】根据直线的一般式方程结合垂直关系列式求解即可. 【详解】若直线和互相垂直， 则，解得. 故选：B. 4. 展开式中的系数为（ ） A. 5 B. 15 C. 20 D. 35 【答案】A 【解析】 【分析】根据二项式定理，写出通项以及多项式乘法，可得答案. 【详解】展开式的通项为，所以展开式中的系数为5. 故选：A. 5. 一动圆与圆外切，同时与圆内切，则该动圆圆心的轨迹是（ ） A. 抛物线 B. 双曲线的一支 C. 椭圆 D. 圆 【答案】C 【解析】 【分析】由圆与圆的位置关系确定，，，再利用椭圆的定义可求. 【详解】如图，设动圆的圆心为，半径为， 由题意得圆：，圆：， 则，，， 所以，所以点的轨迹为以，为焦点，长轴长为的椭圆（除去点）. 故选：C. 6. 2025年11月9日至21日，第十五届全运会在广东、香港、澳门三地举办.在全运会的火炬传递中，某路段的传递活动由，，，，，共六名火炬手分五棒完成，若第一棒火炬手只能从，中产生，最后一棒由两名火炬手共同完成，且，两名火炬手不能共同完成最后一棒，则不同的传递方案种数为（ ） A. 54 B. 60 C. 102 D. 114 【答案】D 【解析】 【分析】分火炬手完成第一棒和火炬手完成第一棒两种情况讨论即可求解. 【详解】当火炬手完成第一棒时，有种不同的传递方案； 当火炬手完成第一棒时，有种不同的传递方案， 故共有种不同的传递方案. 故选：D. 7. 已知双曲线的右焦点为，过的直线交于两点，点在第二象限，且关于轴的对称点为，若，则的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】结合题意，得直线的斜率为，进行求解． 【详解】由题意知（为原点），， 故直线的斜率为， 所以的方程为，即. 故选：A. 8. 某车企为了更好地设计开发新车型，统计了近期购车的车主性别与购车种类（新能源车或者燃油车）的情况，其中新能源车占销售量的74%，男性占近期购车车主总数的60%，女性购车车主有80%购买了新能源车，根据以上信息，则男性购车时，选择购买新能源车的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，设男性中有购买了新能源车，由全概率公式将购买新能源车的分为男性购买新能源车和女性购买新能源车列出关系求解即可. 【详解】设男性中有购买了新能源车，则， 解得，所以男性购车时，选择购买新能源车的概率是. 故选：D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 通过随机抽样，得到变量和变量的7对数据，并绘制成散点图如图所示，已知变量和变量线性相关，且回归直线是图中直线，则下列说法正确的是（ ） A. 直线的斜率是负数 B. 变量与变量正相关 C. 相关系数 D. 若去掉图中点后，剩余数据的相关系数变大 【答案】AC 【解析】 【分析】根据数据的散点图，结合相关性、相关系数的概念与定义，逐项判定，即可得解. 【详解】对于A、B、C：由图可知直线的斜率是负数，所以变量与变量负相关，相关系数，故A、C正确，B错误； 对于D：若去掉图中点后，剩余的数据会更集中，相关程度会更高，相关系数的绝对值变大，又，所以相关系数变小，故D错误. 故选：AC. 10. 在一次比赛中，10位评委分别给某运动员打分，整理之后的得分数据满足，按照规则，要去掉一个最低分和一个最高分，然后再取平均分为该运动员的最终得分，则处理后的数据与原数据相比（ ） A. 极差变小 B. 中位数不变 C. 平均数变高 D. 第75百分位数变小 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据题给条件列出原数据和处理后数据从小到大的排序，利用极差、中位数、平均数、第75百分位数的定义对各选项进行逐一判断. 【详解】已知比赛数据满足， 则原数据从小到大排序为：，处理后数据从小到大排序为：. 原数据极差：，处理后数据极差：，因为， 所以，A正确. 原数据共10个，中位数为第5个和第6个的平均值，即， 处理后数据共8个，中位数为第4个和第5个的平均值，即， 所以中位数不变，B正确. 原数据平均数：，处理后数据平均数：， 平均数变化情况取决于与之间的关系，故不能确定变化情况，C错误. 原数据共10个，第75百分位数是第8个，即， 处理后数据共8个，第75百分位数是第6个数据与第7个数据的平均数，即， 因为，所以，第75百分位数变小，D正确. 故选：ABD. 11. 已知抛物线的焦点为，过的直线与交于、两点，，为坐标原点，则（ ） A. 的准线方程为 B. C. 的最小值为 D. 的面积的最小值为 【答案】BC 【解析】 【分析】利用抛物线的标准方程求出准线方程，可判断A选项；设直线的方程为，将该直线方程与抛物线方程联立，列出韦达定理，结合平面向量数量积的坐标公式可判断B选项；利用抛物线的定义可判断C选项；利用三角形的面积公式可判断D选项. 【详解】由题意知，抛物线的焦点为，准线方程为，故A错误； 若直线与轴重合，则该直线与抛物线有且只有一个交点，不符合题意， 设的方程为，、，由得， ，所以，，所以， 所以，故B正确； 分别过、作的准线的垂线，垂足分别为、，则， 当且仅当、、三点共线时等号成立，此时，故C正确； 的面积， 当时，的面积取得最小值，故D错误． 故选：BC． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知事件与互斥，且，，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】利用互斥事件与和事件的概念计算即可. 【详解】由题意可知. 故答案为： 13. 已知随机变量，随机变量，则________. 【答案】 【解析】 【分析】利用二项分布的方差公式求出，再由方差的性质计算. 【详解】因为，所以， 故. 故答案为：. 14. 已知圆，，，A，B是圆C上的动点，且，点N是线段AB的中点，则当取得最大值时，的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据垂径定理及直角三角形斜边中线的性质得，设，可得点N在圆上，数形结合可知当直线MN与圆相切时，取得最大值，利用勾股定理计算可得结果. 【详解】由题意得，，圆半径为. ∵，，∴点在圆内. 如图1，连接CN，CA，则. ∵点N是线段AB的中点，∴， ∵，∴，即． 设，则，整理得， ∴点N在圆上，圆心，圆半径为. 如图2，当直线MN与圆相切时，取得最大值， 此时，． 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是利用几何性质求出点的轨迹方程，数形结合求切线长即可得到结果. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. （1）求焦点关于准线的对称点为的抛物线的标准方程； （2）求与双曲线有相同的渐近线，且过点的双曲线的标准方程. 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）由抛物线的几何性质求解； （2）设所求双曲线的方程为进行求解． 【详解】（1）由题意知在轴的正半轴上，故设所求抛物线方程为， 所以，准线方程为， 因为关于直线的对称点为， 所以， 解得，故所求抛物线的标准方程为. （2）设所求双曲线的方程为， 将点代入上述方程，得， 所以，所以， 故所求双曲线的方程为. 16. 据文化和旅游部5月6日公布2025年“五一”假期全国国内出游人次为3.14亿，总花费为1802.69亿元.在假期出游的人群中，有跟团游，也有自由行等不同的旅游方式.为了解年龄因素是否影响旅游方式的选择，我们按年龄将成年人群分为青壮年组（大于17岁，小于45岁）和中老年组（大于或等于45岁）.现从市随机抽取200名成年人进行调查，得到数据如下表: 青壮年 中老年 合计 跟团游 30 60 90 自由行 65 45 110 合计 95 105 200 （1）依据小概率值的独立性检验，分析年龄与选择旅游方式是否有关联； （2）用分层随机抽样的方法从跟团游中抽取9人，再从9人中随机抽取5人，用随机变量表示5人中青壮年人数与中老年人数之差的绝对值，求的分布列和数学期望. 附:. 0.05 0.01 0.005 0.001 3.841 6.635 7.879 10.828 【答案】（1）认为年龄与选择旅游方式有关联 （2）的分布列为: 1 3 5 期望为【解析】 【分析】（1）由卡方公式计算再比较即可； （2）先用分层抽样确定青壮年和中老年人数，确定随机变量的可能取值为1，3，5，用古典概率计算出相应的概率，求出的分布列，再利用数学期望公式求出期望即可. 【小问1详解】 零假设:年龄与选择旅游方式无关联. 根据列联表，得， 依据的独立性检验，可以推断不成立，即认为年龄与选择旅游方式有关联. 【小问2详解】 用分层随机抽样的方法在青壮年组抽取人数为，在中老年组抽取的人数为， 随机变量的可能取值为1，3，5， ， ， ， 故的分布列为: 1 3 5 所以. 17. 已知线段的端点的坐标是，端点在圆上运动，是线段的中点． （1）求点的轨迹方程； （2）记（1）中所求轨迹为曲线，过定点的直线与曲线交于、两点，并且，求直线的方程． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）设点、，根据中点坐标公式化简得出，代入等式化简可得出点的轨迹方程； （2）利用勾股定理求出圆心到直线的距离，再对直线的斜率是否存在进行分类讨论，结合点到直线的距离公式可求得答案. 【小问1详解】 设点、， 因为点是线段的中点，则，所以， 因为点在圆上，则，即， 化简得， 故点的轨迹方程为. 【小问2详解】 由（1）可知，曲线是以点为圆心，半径为的圆， 由勾股定理可知，圆心到直线的距离为. 若轴，直线的方程为，此时圆心到直线的距离为，符合题意； 若直线的斜率存在，设直线的方程为，即， 由题意可得，解得， 此时直线的方程为，即. 综上所述，直线的方程为或. 18. 某网红景点为促进本地旅游，在五一期间举行购票抽奖活动，根据网上购票与景点购票，设置两种不同的抽奖方案． 方案1：通过网上购票的游客，可进入景点网页中设置的小程序抽奖，每个顾客可抽奖2次，每次抽奖可随机获得0元、10元、20元的奖金． 方案2：通过景点购票的游客，可从装有3个红球和7个白球的抽奖箱中，不放回地取球3次，每次取1个球，第次取到红球，可得10i元奖金，取到白球没有奖金． （1）游客甲通过网上购票，记甲抽奖获得的奖金总金额为元，求； （2）游客乙通过景点购票，记乙抽奖获得的奖金为元，求的分布列； （3）试从游客所得奖金金额的期望值分析，游客选择哪种购票方式更划算． 【答案】（1） （2）分布列： 0 10 20 30 40 50 60 （3）游客选择网上购票更划算【解析】 【分析】（1）利用独立事件的乘法公式和互斥事件的加法公式计算即可； （2）利用排列组合和古典概型的概率公式求分布列； （3）先求出的分布列，再计算两个随机变量的期望，比大小即可. 【小问1详解】 ，即两次都抽到20元的红包，或1次抽到10元的红包，1次抽到20元的红包，每次抽到任意红包的概率均为， 所以． 【小问2详解】 由题意得的可能取值为0，10，20，30，40，50，60， ， ， ，， 所以的分布列为： 0 10 20 30 40 50 60 【小问3详解】通过景点购票，由（2）得， 的可能取值为0，10，20，30，40， ， ， ， 所以， 故， 所以游客选择网上购票更划算. 19. 已知椭圆的长轴长为4，左､右焦点分别为是上一点，且. （1）求的方程； （2）过作直线交于两点（在轴上方）. （i）求面积的最大值； （ii）若的右顶点为，直线与轴分别交于两点，证明：四点共圆. 【答案】（1）； （2）（i）3； （ii） 证明：由题可知， 直线的方程为，令，得，即， 直线的方程为，令，得，即， ， 所以， 所以，即. ， 同理可得，即. 所以在以为直径的圆上，即四点共圆. 【解析】 【分析】（1）由题可知，再利用的三边长度关系与椭圆的定义，即可依次求出，进而确定椭圆方程； （2）（i）设与，将直线与椭圆联立，由韦达定理可得，再利用三角形面积公式水平宽铅垂高，得到三角形的面积关于的函数，再利用换元法，结合函数单调性，即可求得面积最大值； （ii）由题意写出直线，求出两点，再利用向量法结合韦达定理证明，，即可得出在以为直径的圆上，四点共圆得证. 【小问1详解】 因为椭圆的长轴长为4，所以，解得. 设，因为，所以， 又，所以，解得，所以， 所以，椭圆的方程为. 【小问2详解】 （i）由题意知的斜率不为，故可设的方程为， 联立消去并整理得，此时， 由韦达定理，得， 所以， 所以. 令，设，，当时，，故在上单调递增，故，即， 所以，当且仅当，即时，等号成立. 所以面积的最大值为3. （ii）略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $