河南省部分学校联考2026-2027学年高二上学期阶段检测（一）数学试题

2026一2027学年度高二上学期阶段检测（一） 数学参考答案及评分意见 1.C 2.A 3.C 4.B 5.A 6.D 7.C 8.B 9.ABD 10.AD 2W5 V17-1 11.BD 12.5 13.V3 14.4 15.(1)解：由题意，得BD=BA+AD=-AB+AD, 所以AC=AB+BC+CC=AB+AD+A. …3分 (2)证明：因为AB=AD=3,A=2,∠BAD=90°，∠BAA=∠DAA=60°， 所以AB.AD=0,AB.Af=AD·Af=3×2×c0s60°=3.…5分 由()，得D·AC-(D-(aB+0+列 AD.AB+AD2+AD.A4-AB2-AB.AD-AB.AA =0+32+3-32-0-3=0. 所以BD⊥AC,即BD⊥AC. 8分 (3)解：由(1)，得AC-AB+AD+A4 …9分 所以4C=(aB+D+a =AB+AD2+AA+2AB.AD+2AB·AA+2AD·AA =32+32+22+2×0+2×3+2×3=34,… …12分 所以AC-34,即4C的长为54 …13分 16.(1)证明：因为PA⊥平面ABCD,CDC平面ABCD, 所以PALCD.… …2分 因为四边形ABCD为矩形，所以AD⊥CD 又因为PA∩AD=A,PA,ADC平面PAD, 所以CD⊥平面PAD. …4分 又因为PDC平面PAD,所以CD⊥PD.… …5分 (2)解：因为四边形ABCD为矩形，所以AB⊥AD 因为PA⊥平面ABCD,AB,ADC平面ABCD,所以PA⊥AB,PA⊥AD.…6分 以点A为坐标原点，AB,AD,AP所在的直线分别为x轴、y轴、z轴， 建立如图所示的空间直角坐标系， B 则B(4,0,0),D(0,2,0),C(4,20).P(0,02) 所以PB=(4,0-2),DC=(40,0).DP=(0,-2,2) …9分 iDC=4x=0 设平面PCD的法向量为元=(x,2),则i.DP=-2y+2z=0, 令y=1,则x=0,2=1,所以i=(0,1) …12分 sin@=lcos( PB.n 2 -10 设直线PB与平面PCD所成的角为B,则 PB |2W5×√2-10 10 所以直线PB与平面PCD所成角的正弦值为10.…15分 17.(1)证明：取PD的中点F,连接CF,EF. EF=AD 又因为E是PA的中点，所以EF∥AD且 …2分 又因为BC∥AD且AD=2BC,所以EF∥BC且EF=BC 所以四边形BCFE是平行四边形，所以CF∥BE.… …3分 又因为BE丈平面PCD,CFC平面PCD,所以BE∥平面PCD.5分 (2)解：因为PA⊥AB,PA⊥CD,AB,CD的延长线交于一点，AB,CDC平面ABCD, 所以PA⊥平面ABCD 又因为AB⊥AD,所以PA,AB,AD两两垂直.… …7分 以点A为坐标原点，AB,AD,AP所在的直线分别为x,y,z轴，建立如图所示的空间直角坐标系 7 设AB=1,则PA=BC=1,AD=2, 所以40.0)，Bao,cLo).D02.0.P0.E0, …9分 所以 BC=(01,0).CD=(-11,0).PD=(0,2,-1) 设平面PCD的法向量为=（化，2）， CD=0 -x+y=0 则i:PD=0,即2y-z=0,令x=1,则y=1,2=2,所以i=(（,12） …12分 设平面BCE的法向量为m=(a,bc), b=0 mBC=0 1 则(mBE=0 -a+。c=0 即 令c=2,则a=1,b=0,所以i=(0,2) 、…13分 设平面PCD与平面BCE的夹角为B,则 os0=kos(m,-周同5x66 m列_530 30 所以平面PCD与平面BCE夹角的余弦值为6.… …15分 18.(1)证明：因为D为AC的中点，AB=BC,所以BD1AC.…1分 因为4DL平面ABC,BDc平面ABC,所以AD⊥BD …2分 又因为AC,ADc平面ACCA,AC∩4D=D 所以BDL平面ACCA … …4分 (2)解：因为AB⊥BC,AB=BC=V2,D为AC的中点，所以AC=2,BD=1. 因为4D1平面ABC,ACc平面ABC,所以AD⊥AC】 又因为侧面4CCA为菱形，4=AC=2,AD=1,所以4D=VA4-AD=V4-1=V5 由(1)，得DB,DC,DA两两互相垂直.。 …6分 以点D为坐标原点，DB,DC,DA所在的直线分别为x轴、y轴、轴。 建立如图所示的空间直角坐标系， 42 A B 则D(00,0),A(0,-1,0),B(10,0).A(0,0,3.B(1,5) 所以4=(0,1，v5).B=A=(,10) …9分 设4E=元A8=(a,元，0），0≤元≤1. z四为D=-(00),所正=4+4=00)+（么20）-（么2）.…n分 设平面4B8,4的法向量为万=(，，2)， .A4=0 y+3z=0 则iAB=0,即x+y=0 令z=山，则x=5,y=5,所i=(5,5, …13分 设直线DE与平面ABB,4所成的角为0， 元.DE 5 =6 1 DEV万xV22+37 ，解得 2(负值已舍去)，…15分 所以E为AB的中点，所以 2 √6 4E=2 故在楼4AB上存在点B,使得直线DE与平面ABB,4所成角的正弦值为7，且1 2.…17分 19.(1)证明：取AB的中点O,连接E0,AB,OC 因为B为AA的中点，O为AB的中点，所以E0∥AB …1分 在三棱柱ABC-AB,C中，AB=A4=2, 所以四边形ABB,A是菱形，所以AB上AB,所以AB1EO …2分 因为AB1CE,EO∩CE=E,EO,CEc平面EOC,所以AB上平面EOC, 又因为0Cc平面EOC,所以0C1AB.. …3分 因为△ABC是等边三角形，O为AB的中点，所以OC⊥AB 因为AB∩AB=A,AB,ABC平面ABBA,所以OC⊥平面ABB,A, 又因为OCc平面ABC,所以平面ABB,A上平面ABC.… 5分 (2)解：①连接40,4B.因为 AB=分，B=4,所以△4B是等边三角形， 又因为O为AB的中点，所以AO L AB 因为平面ABB,A上平面ABC,平面ABB,A∩平面ABC=AB,AOC平面ABB,4, 所以A01平面ABC. …7分 又因为CO,OBc平面ABC,所以4O1OC,A0⊥OB 又由(1)知OC⊥OB,所以4O,OC,OB两两互相垂直. 以点O为坐标原点，OC,，OB,OA所在的直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标 系， A B 则0(0,00.C5,00）,B0.1,0).40.0,5).B(0,25) …8分 设C(cy).因为CC-BE,即c-5,y小-(OL,v),所uC(5,lv) 网-a间c-i0.-4+4G-f2 易得平面ABB,A的一个法向量为方=(1,0,0)， …10分 2 3x1+x0+5x0 cos(CP,= CP.n 3 30 10 所以 设直线CP与平面4B84所政的角为9，则 a-kosc训 V30 30 tan0=sing 10-V21 cs0=-sm0-1- √70 cos0√70 7 10 ,所以 10 √21 所以直线CP与平面4BB4所成角的正切值为7.12分 ②因为4(0-10），40,0v),c5,00）.所以4-(0,15).4c-(5.1,o) 13分 AA·m=0 y+3z=0 设平面44C的法向量为m=(x少2)，则4C,m=0,即V3x+y=0, 令x=1,则y=5.2=1,所以m=(-5, …15分 设二面角C-A4-B的平面角为P, sB--bo.i)引 m-列_ hx1+(5)x0+1xg5 网 由图可知， B为锐角，则 VP+(-5+Px1 5 所以二面角C-A4-B的余弦值为5 …17分 2026—2027学年度高二上学期阶段检测（一） 数 学 试 题 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考场号、座位号、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 考试时间为120分钟，满分150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．在三棱锥中， A． B． C． D． 2．在空间直角坐标系中，点关于平面对称的点的坐标为 A． B． C． D． 3．已知直线l过，两点，且倾斜角为，则 A． B． C． D． 4．已知点，，，，则以A，B，C，D为顶点的四边形是 A．梯形 B．平行四边形 C．菱形 D．矩形 5．下列说法错误的是 A．是向量，共线的充要条件 B．若，，则存在唯一的实数，使得 C．对空间任意一点O和不共线的三点A，B，C，若，则P，A，B，C四点共面 D．若空间向量，不共线，则向量与向量，共面的充要条件是存在唯一的有序实数对，使得 6．已知过点的直线l与以点和为端点的线段相交，则直线l的斜率k的取值范围是 A． B． C． D． 7．如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，E，F分别为线段，上的点，若，，则 A． B． C． D． 8．在棱长为2的正方体中，E，F分别为，的中点，M，N分别为线段，上的动点（不包括端点），且，则线段长度的取值范围为 A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．设点，，，，则下列结论正确的是 A． B． C． D． 10．如图，在棱长为1的正方体中，点P为线段上的动点，则下列说法错误的是 A．不存在点P，使得 B．的最小值为 C．当时， D．当时，上存在点M，使得，则 11．如图，在四棱锥中，底面是正方形，平面，，O，P分别是，的中点，M是棱上的动点，则下列说法中正确的是 A． B．存在点M，使得平面 C．存在点M，使得直线与所成的角为 D．点M到平面与平面的距离和为定值 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知点，，则点到直线的距离为__________． 13．如图，在四棱锥中，平面平面，，，，，，，O是的中点，若平面与平面夹角的余弦值为，则线段的长度为__________． 14．在平行六面体中，底面为正方形，且，，则__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）如图，在平行六面体中，，，，． （1）以为空间的一个基底，用它来表示向量，； （2）求证：； （3）求的长． 16．（15分）如图，在四棱锥中，底面为矩形，底面，，． （1）证明：； （2）求直线与平面所成角的正弦值． 17．（15分）如图，在四棱锥中，，，，，，，E是的中点． （1）求证：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值． 18．（17分）如图，在三棱柱中，，，侧面为菱形，D为的中点，平面． （1）证明：平面； （2）在棱上是否存在点E，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求出线段的长度；若不存在，请说明理由． 19．（17分）如图，在三棱柱中，其所有棱长都为2，E是棱的中点，． （1）求证：平面平面． （2）若，点P满足． ①求直线与平面所成角的正切值； ②求二面角的余弦值． 学科网（北京）股份有限公司 $