第04讲 菱形（知识点+9考点+过关检测）（寒假预习讲义）八年级数学新教材沪教版五四制

定义：四条边都相等的四边形叫作菱形 符号表示：在菱形ABCD中，AB=BC=CD=DA: 菱形的定义 注意： 菱形的定义既是性质也是判定依据。 中心对称图形，对称中心是对角线交点。 对称性： 轴对称图形，对称轴是对角线所在直线。 对边平行：AB‖CD,AD‖BC。 边： 四条边都相等：AB=BC=CD=DA: 菱形的性质 对角相等：∠ABC=∠CDA,∠BCD=∠DAB。 角： 邻角互补：例如∠DAB+∠ABC=180°。 两条对角线互相垂直平分：AC⊥BD,OA=OC,OB=OD。 菱形 对角线： 每条对角线平分一组对角：例如∠BAC三=∠DAC。 定义法：四条边都相等的四边形是菱形。 判定方法： 定理1：有一组邻边相等的平行四边形是菱形。 菱形的判定 定理2：对角线互相垂直的平行四边形是菱形。 判定时需明确基础（平行四边形或四边形）。 易错警示： 定理1和定理2需同时满足两个条件。 般方法：S=a·h(底乘高)。 面积公式： 特殊方法：S=是·AC·BD(对角线乘积的一半)。 菱形的面积 S△AOD=S△COD=S△COB=S△AOB=S菱形ABCD: 常见关系： 若对角线交于点0，则： S△ABD=S△ABC= S菱形ABCD。 寒假预习第04讲 菱形 1.理解菱形的概念及菱形的对称性. 2.掌握“菱形的四条边都相等”和“菱形的对角线互相垂直，并且每条对角线平分一组对角”的性质定理. 3.掌握“四条边相等的四边形是菱形”和“对角线互相垂直的平行四边形是菱形”的判定定理. 4.会综合运用菱形的判定及性质解决简单的几何问题. 定义 四条边都相等的四边形叫作菱形. 菱形的定义既是菱形的性质，也是菱形的判定. 如图2338，地砖、自动伸缩门都有菱形图案. 图2338 菱形是特殊的平行四边形，除具有平行四边形的一切性质之外，还有其他性质，菱形的性质可从对称性、边、角、对角线来研究，如下表: 图形 性质 符号表示 对称性 是中心对称图形，对称中心是对角线的交点 是轴对称图形，对称轴是对角线所在的直线 边 对边平行 四条边都相等 对角相等 角 邻角互补 对角线 两条对角线互相垂直平分 每条对角线平分一组对角 如图，在菱形中，，对角线交于点，为的中点，连接，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了菱形的性质，三角形中位线定理．由菱形的性质求得，，根据三角形中位线定理得到，求得，据此求解即可． 【详解】解：∵在菱形中，， ∴，，O为的中点， ∵E为的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 如图，在菱形中，于点E，于点F．求证：． 【答案】见解析 【分析】此题考查了菱形的性质，全等三角形的性质和判定，首先得到，然后得到，证明出，得到，进而证明即可． 【详解】证明：四边形是菱形， ∴，     ∵于点E，于点F， ， ∵， ∴，     ∴， ∴， ∴． 1.菱形的判定方法 元素 判定 图示 文字语言 符号语言 边 定义法 四条边都相等的四边形叫作菱形. ∵ ， ∴ 四边形 A B C D 是菱形 定理1 有一组邻边相等的平行四边形叫是菱形 在中，∵ 是菱形 对角线 定理2 对角线互相垂 直的平行四边 形是菱形 在中， ∵ ， ∴ 是菱形 在用菱形的定义判定一个四边形是菱形时，先判定这个四边形是平行四边形，再证一组邻边相等. 2.四边形、平行四边形、菱形的关系 1．四边形→平行四边形 当四边形满足以下任一条件时，可判定为平行四边形： 一组对边平行且相等 两组对边分别平行 两组对边分别相等 2．平行四边形 → 菱形 当平行四边形满足以下任一条件时，可判定为菱形： 一组邻边相等 对角线互相垂直 3．四边形 → 菱形（直接判定） 当四边形的四条边都相等时，可直接判定为菱形。 (1)菱形是特殊的平行四边形，它具有平行四边形所有的性质.(2)菱形是轴对称图形，有两条对称轴，是对角线所在的直线.(3)菱形的两条对角线互相垂直，并且把菱形分成四个全等的直角三角形，进而可得菱形边长的平方等于两条对角线长一半的平方和.(4)菱形的四条边相等，故可连接对角线构造等腰三角形，利用等腰三角形的性质解题. 四边相等的四边形一定是（　　） A．矩形 B．菱形 C．平行四边形 D．无法判定 【答案】B 【分析】本题考查的是菱形的判定，根据菱形的判定方法可得答案. 【详解】解：四边相等的四边形一定是菱形. 故选：B 如图，在矩形中，交于点交于点．求证：四边形是菱形． 【答案】见解析 【分析】此题考查了菱形的判定以及矩形的性质，熟练掌握解题方法是解答此题的关键．首先由，，可证得四边形是平行四边形，又由四边形是矩形，根据矩形的性质，易得，即可判定四边形是菱形． 【详解】证明：，， 四边形是平行四边形， 四边形是矩形， ,，， ， 平行四边形是菱形． 如图，四边形是矩形，，交的延长线于点，，交的延长线于点，连接． 求证：四边形是菱形． 【答案】见详解 【分析】本题考查菱形的判定，矩形的性质，平行四边形的判定与性质．根据题意先证四边形是平行四边形，再由即可． 【详解】证明：四边形是矩形 , 四边形，四边形都是平行四边形 四边形是平行四边形 四边形是菱形． 面积计算方法 一般方法 特殊方法 基本图形 计算公式 常见关系 若菱形 A B C D 的对角线相交于点 ，则 （1）Rt Rt Rt Rt ； （2） ； （3） 若菱形 A B C D 的对角线相交于点，则 （1） ； （2） ； （3） 如图，在菱形中，对角线，则的面积为（    ） A．9 B．10 C．11 D．12 【答案】B 【知识点】根据菱形的性质与判定求面积 【分析】菱形的对角线互相垂直平分，故的面积为对角线的一半的乘积的． 【详解】是菱形 的面积 故选B． 【点睛】本题考查了菱形的性质及三角形面积，理解是直角三角形是解题的关键． 有一内角为60°或120°的菱形，较短对角线把菱形分成两个全等的等边三角形.较短对角线的长等于菱形的边长，较长对角线的长等于菱形边长的倍. 考点1：利用菱形的性质求角度 例1 如图，菱形中，连接，若，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】利用菱形的性质求角度 【分析】根据菱形的性质可得，则，进而即可求解． 【详解】解：∵四边形是菱形 ∴， ∴， ∵， ∴, 故选：C． 【点睛】本题考查了菱形的性质，熟练掌握是菱形的性质解题的关键． 【变式1】在菱形中，，则 度． 【答案】56 【知识点】利用菱形的性质求角度、等边对等角 【分析】本题考查了菱形的性质和等腰三角形的性质，熟练掌握菱形的性质是解题关键．先根据菱形的性质可得，再根据等腰三角形的性质求解即可得． 【详解】解：如图，四边形是菱形， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：56． 【变式2】如图，在菱形中，的垂直平分线交对角线于点F，垂足为点E，若，那么的大小为 ． 【答案】 【知识点】等边对等角、利用菱形的性质求角度、线段垂直平分线的性质 【分析】本题考查菱形的性质、等腰三角形的性质、线段垂直平分线的性质、直角三角形的性质等知识，掌握相关知识是解题关键． 由是线段的垂直平分线得到，继而证明，由菱形的性质结合等腰三角形的性质解得，最后由解答． 【详解】解：是线段的垂直平分线， ， ， 四边形是菱形，， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【变式3】如图，在中，O为的中点，点E，F分别在上，经过点O，． (1)求证：四边形为菱形； (2)若E为的中点，，．求的长． 【答案】(1)证明见解析； (2)． 【知识点】利用平行四边形的性质证明、用勾股定理解三角形、证明四边形是菱形、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】本题考查了平行四边形的性质、菱形的判定与性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先得出，．结合线段中点，得出，得证，根据一组邻边相等的平行四边形是菱形，即可作答． （2）先得出，结合菱形性质，在中，由勾股定理得，代入数值进行计算，即可作答． 【详解】（1）证明：四边形为平行四边形， ． ，． 为的中点， ． ． ． ， 四边形为平行四边形． ， 四边形为菱形． （2）解：为的中点，， ． 四边形为菱形， ． ． 在中，由勾股定理得． 为的中点， ． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质、菱形的判定与性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 考点2：利用菱形的性质求线段长 例2 在边长为13的菱形中有一条对角线长为24，则另一条对角线长度为 ． 【答案】10 【知识点】用勾股定理解三角形、利用菱形的性质求线段长 【分析】本题考查了菱形的性质及勾股定理的应用，解题的关键是掌握菱形的对角线互相垂直且平分，将菱形的问题转化为直角三角形的问题求解． 菱形的对角线互相垂直平分，已知菱形边长和一条对角线长，先求出该对角线一半的长度，再结合菱形边长在直角三角形中利用勾股定理求出另一条对角线一半的长度，进而得到另一条对角线的全长． 【详解】解：设菱形为，对角线为另一条对角线，交点为O． ∵菱形的对角线互相垂直且平分， ∴，且． 在中，由勾股定理得：． 已知菱形边长，则， 即， ， 解得． ∴另一条对角线． 故答案为：． 【变式1】菱形的一个锐角为，边长为20厘米，则此菱形较长的对角线的长等于 厘米． 【答案】 【知识点】用勾股定理解三角形、利用菱形的性质求线段长、等边三角形的判定和性质 【分析】此题重点考查菱形的性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理等知识，正确地画出图形是解题的关键．设菱形的边长为20厘米，，连接交于点E，则是等边三角形，所以厘米，则厘米，因为，所以厘米，则厘米，于是得到问题的答案． 【详解】解：如图，菱形的边长为20厘米，，连接交于点E， ∵，， ∴是等边三角形， ∴厘米， ∴厘米， ∵， ∴， ∴（厘米）， ∴厘米， ∴此菱形较长的对角线的长等于厘米， 故答案为：． 【变式2】面积为S的菱形一条对角线是另一条的2倍，则其边长为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】用勾股定理解三角形、利用菱形的性质求面积、利用菱形的性质求线段长 【分析】本题主要考查了菱形的性质，勾股定理．根据菱形的面积公式可得，从而得到（，，再由勾股定理解答即可． 【详解】解：如图，在菱形中，对角线交于点O，且， ∴， ∴， ∴（负值舍去）， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， 即菱形的边长为． 故选：A． 【变式3】如图，菱形，对角线，相交于点，测得，，过点作于点，那么的长为 ． 【答案】 【知识点】用勾股定理解三角形、利用菱形的性质求面积、利用菱形的性质求线段长 【分析】本题考查了菱形的性质、勾股定理，由菱形的性质可得，，，由勾股定理可得，即可得出，再由菱形面积公式计算即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵四边形为菱形， ∴，，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 考点3： 利用菱形的性质求面积 例3 已知菱形的周长为，对角线之和为8，则菱形的面积为 ． 【答案】4 【知识点】用勾股定理解三角形、利用菱形的性质求面积、利用菱形的性质求线段长 【分析】本题考查了利用菱形的性质求线段长，利用菱形的性质求面积，勾股定理等知识，解题关键会求菱形的面积． 先根据菱形的周长求出菱形的边长，再根据对角线的和为8，得出，及根据菱形的对角线互相垂直得到，进而得出，即可求得菱形的面积． 【详解】解：如图，四边形是菱形，对角线与相交于点， ∵菱形的周长为， ∴菱形的边长为， ∵对角线的和为8， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：4． 【变式1】如图，菱形的面积为36，点、分别在边、上，，如果的面积为6，那么的面积为 ． 【答案】15 【知识点】利用菱形的性质求面积 【分析】本题考查菱形的性质，三角形的面积，连接，根据中点得到进而得到，求出，根据计算解题． 【详解】解：连接， ∵， ∴， 又∵的面积为6， ∴，即， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式2】若菱形周长为，两对角线之和为，则菱形面积为 ． 【答案】11 【知识点】用勾股定理解三角形、利用菱形的性质求面积、利用菱形的性质求线段长 【分析】本题主要考查了菱形的性质，勾股定理，先求出菱形的边长为，再由菱形的性质得到，根据题意可得，设，则，由勾股定理得，据此根据完全平方公式的变形求出的值即可得到答案． 【详解】解：∵菱形周长为， ∴菱形的边长为， 如图所示，菱形的对角线交于点O，则， ∵两对角线之和为， ∴， ∴， 设， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴， ∴， ∴， 故答案为：11． 【变式3】已知菱形的两条对角线的长分别是6和8，则菱形的面积为 ． 【答案】24 【知识点】利用菱形的性质求面积 【分析】此题主要考查了菱形的性质，正确把握菱形面积求法是解题关键． 直接利用菱形的面积等于对角线乘积的一半，进而得出答案． 【详解】解：菱形的两条对角线长分别是6和8， 菱形的面积为：． 故答案为：24． 考点4：利用菱形的性质证明 例4 已知：在菱形中，，，垂足为、． (1)如图①，如果，求证：； (2)如图②，如果对角线与、交于点、，且，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【知识点】等边三角形的判定和性质、利用菱形的性质证明、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、斜边的中线等于斜边的一半 【分析】本题考查了菱形的性质，直角三角形斜边中线的性质，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定等知识点，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键． （1）根据菱形得到，继而得到，由得到，则，那么； （2）由直角三角形斜边中线得到，证明，则，那么为等边三角形，则，那么，故． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵菱形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）证明：由（1）得， ∵， ∴， ∵菱形， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴ ∴， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴ ∴， ∴． 【变式1】已知：如图，在中，E、F分别为边的中点，是对角线，交的延长线于G． (1)求证：； (2)若四边形是菱形，则四边形是什么特殊四边形？并证明你的结论． 【答案】(1)见解析 (2)矩形，理由见解析 【知识点】利用菱形的性质证明、证明四边形是矩形、证明四边形是平行四边形、利用平行四边形的性质证明 【分析】此题考查了平行四边形的性质和判定，菱形的性质，矩形的判定，解题的关键是掌握以上知识点． （1）根据平行四边形的性质得到，，然后证明出四边形是平行四边形，即可得到； （2）首先证明出四边形是平行四边形，如图所示，连接，由菱形得到，然后证明出，即可得到平行四边形是矩形． 【详解】（1）∵在中， ∴， ∵E、F分别为边的中点 ∴， ∴ ∴四边形是平行四边形 ∴； （2）矩形，理由如下： ∵在中， ∴ ∵， ∴四边形是平行四边形 如图所示，连接 ∵E为边的中点 ∴点E在上 ∵四边形是菱形 ∴ ∵， ∴ ∴平行四边形是矩形． 【变式2】已知，如图，是矩形的对角线的垂直平分线，与对角线及边、分别交于点O，E，F．    (1)求证：四边形是菱形； (2)如果，求的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】利用矩形的性质证明、证明四边形是菱形、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、含30度角的直角三角形 【分析】此题考查了矩形的性质、菱形的判定、含角的直角三角形的性质等知识，熟练掌握矩形的性质和菱形的判定是解题的关键． （1）证明，则，又由得到四边形是平行四边形，再由即可证明四边形是菱形； （2）证明，得到，即可得到答案． 【详解】（1）解：证明：∵四边形是矩形 ∴， ∴， ∵是矩形的对角线的垂直平分线， ∴， ∴ ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵ ∴四边形是菱形； （2）∵四边形是菱形 ∴， ∴， ∵， ∴ ∵ ∴， ∴ ∴ 【变式3】“数学探究小组”研究如下问题：如图1，点是矩形内一点，求作一个四边形，使得四边形的四边分别等于，并且两条对角线互相垂直． 小组成员小杰提出了如下的作法：①过点作并截取；②分别连接．那么四边形就是所求作的四边形． (1)请判断小杰的作法是否正确，并说明理由； (2)如图2，请根据上述信息提出一个类似问题：点是菱形内一点，求作一个四边形，使得___________，并且___________；（请作出图形并简要说明作法） 【答案】(1)小杰的作法正确，理由见解析 (2)四边形的四边分别等于、、、，两条对角线相等，图和作法见解析 【知识点】利用矩形的性质证明、利用菱形的性质证明、利用平行四边形性质和判定证明 【分析】本题考查了矩形和菱形的性质，平行四边形的判定和性质，掌握特殊四边形的判定和性质是解题关键． （1）根据矩形的性质证明四边形和四边形都是平行四边形，即可得到答案； （2）先根据（1）提出类似问题，再过点作分别交、于点、，并截取；2．分别连接、．利用菱形的性质，以及平行四边形的判定和性质，即可证明四边形就是所求作的四边形． 【详解】（1）解：小杰的作法正确，理由如下： 四边形是矩形， ，，， ， ，， ，，， 四边形和四边形都是平行四边形， ，， 四边形就是所求作的四边形． （2）解：如图2，点是菱形内一点，求作一个四边形，使得四边形的四边分别等于、、、，并且两条对角线相等． 作法： 1．过点作分别交、于点、，并截取； 2．分别连接、．那么四边形就是所求作的四边形． 理由如下：四边形是菱形， ，， ，， ，， ∴， 四边形和四边形都是平行四边形， ，， 四边形就是所求作的四边形． 故答案为：四边形的四边分别等于、、、，两条对角线相等． 考点5：添一个条件使四边形是菱形 例5 已知四边形中，对角线与相交于点O，，，再添加一个条件使四边形是菱形，添加条件不正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、添一个条件使四边形是菱形 【分析】本题考查了证明四边形是菱形、全等三角形的判定与性质、线段垂直平分线的判定与性质，证明，得出，从而可得垂直平分，由线段垂直平分线的性质可得，，再结合各选项逐项分析即可得解，熟练掌握菱形的判定定理是解此题的关键． 【详解】解：如图： ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴垂直平分， ∴，， A、∵， ∴， ∴四边形是菱形，故不符合题意； B、∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形，故不符合题意； C、∵，， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形，故不符合题意； D、添加不能说明四边形是菱形，故符合题意； 故选：D． 【变式1】如图，四边形的对角线互相平分，要使它变为菱形，需要添加的条件是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】添一个条件使四边形是菱形 【分析】此题主要考查了菱形的判定、平行四边形的判定与性质．由四边形的对角线互相平分，得四边形是平行四边形，再由菱形的判定定理知，只需添加条件是邻边相等． 【详解】解：∵四边形的对角线互相平分， ∴四边形是平行四边形， ∴要使四边形是菱形，需添加或， 故选：C． 【变式2】已知四边形，，、是它的两条对角线，下列条件中，不能判定四边形是菱形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】三线合一、线段垂直平分线的判定、线段垂直平分线的性质、添一个条件使四边形是菱形 【分析】直接利用菱形的判定定理求解即可求得答案，注意掌握排除法在选择题中的应用． 【详解】解：如图，，，    四边形可以是等腰梯形，故A符合题意； 如图，，，    ∴， ∴四边形是菱形，故B不符合题意； ∵，， ∴四边形是菱形，故C不符合题意； 如图，记对角线的交点为O，    ∵，， ∴，是的垂直平分线， ∴， ∴ ∴四边形是菱形，故D不符合题意； 故选A 【点睛】此题考查了菱形的判定．线段的垂直平分线的判定与性质，等腰三角形的性质，注意熟记判定定理是解此题的关键． 【变式3】已知平行四边形的对角线相交于点O．下列补充条件中，能判定这个平行四边形是菱形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】添一个条件使四边形是菱形 【分析】根据菱形的判断条件，即可解答． 【详解】解：如图所示， A．，不能判断平行四边形是菱形，故A不符合题意； B．，不能判断平行四边形是菱形，故B不符合题意； C．， 四边形是平行四边形， ∴， ， ， ， ， 四边形是菱形，故C符合题意； D．，不能判断平行四边形是菱形，故D不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了菱形的判定方法，熟知菱形的判定方法是解题的关键． 考点6：证明四边形是菱形 例6 如图，在矩形中，于点，点是边上一点，若平分，交于点G，于点F． (1)求证：； (2)求证：四边形是菱形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【知识点】证明四边形是菱形、利用矩形的性质证明 【分析】本题考查了矩形的性质、菱形的判定和性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据矩形性质和角平分线的性质证明； （2）证明，证明四边形是平行四边形，再根据即可证明结论． 【详解】（1）证明：∵四边形是矩形， ∴， ∵平分，， ∴，， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， （2）证明：∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形． 【变式1】已知：如图，平行四边形中，点E在边上，点F在线段延长线上，且，平分，求证：四边形为菱形． 【答案】见解析 【知识点】利用平行四边形性质和判定证明、证明四边形是菱形、全等的性质和SAS综合（SAS）、等腰三角形的性质和判定 【分析】利用平行四边形性质证明，结合全等三角形性质推出四边形是平行四边形，再利用角平分线定义和等腰三角形性质推出，即可证明四边形为菱形． 【详解】证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴四边形为菱形． 【点睛】本题考查了平行四边形性质和判定，全等三角形性质和判定，角平分线定义，等腰三角形性质，菱形的判定，解题的关键在于熟练掌握相关知识． 【变式2】如图，平行四边形中，为对角线上任一点． (1)连接、，若，求证：四边形是菱形； (2)若在上，连接、，若，，判断四边形的形状并证明． 【答案】(1)见解析 (2)四边形是矩形，理由见解析 【知识点】证明四边形是矩形、证明四边形是菱形、全等的性质和HL综合（HL） 【分析】（1）分别过点和作的垂线，垂足分别为和，连接交于点，利用平行四边形的性质求得，再证明和全等，得到，说明点、点和点重合，据此即可证明四边形是菱形； （2）利用平行四边形的性质求得，由已知得到，由三角形的外角性质和三角形的内角和定理求得，，结合求得，据此即可证明四边形是矩形． 【详解】（1）证明：分别过点和作的垂线，垂足分别为和，连接交于点， ∵平行四边形， ∴，， ∴， ∴， 在和中， ∵，， ∴， ∴， ∴点、点和点重合，即于点， ∵四边形是平行四边形， ∴四边形是菱形； （2）解：四边形是矩形，理由如下： ∵平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵平行四边形， ∴四边形是矩形． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，菱形的判定，矩形的判定，全等三角形的判定和性质，三角形的内角和定理以及三角形的外角性质． 【变式3】如图，等腰中，，O为边的中点，射线交的延长线于点C，． (1)求证：四边形为菱形； (2)若，点E、F分别在射线、射线上，且，求证：； (3)在（2）的条件下，连接，若为直角三角形，，直接写出的长． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)的长为1． 【知识点】等边三角形的判定和性质、证明四边形是菱形、全等的性质和HL综合（HL）、含30度角的直角三角形 【分析】（1）证明，推出，，得到是线段的垂直平分线，再得到，即可推出四边形为菱形； （2）在上取点，使，作交的延长线于点，作交的延长线于点，证明，推出，，再证明，得到，然后利用三角形的外角性质即可求得； （3）证明、和都是等边三角形，分两种情况讨论，根据等边三角形的性质结合直角三角形的性质即可求解． 【详解】（1）证明：∵等腰中，，O为边的中点， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴是线段的垂直平分线， ∴， ∴， ∴四边形为菱形； （2）证明：在上取点，使，作交的延长线于点，作交的延长线于点， ∵四边形为菱形，， ∴，，， ∴是等边三角形，，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， 由三角形的外角性质知， 又， ∴； （3）解：连接， ∵，， ∴是等边三角形， ∵四边形为菱形，， ∴，，， ∴和都是等边三角形， ∴， 当即时，此时， ∴， ∴， ∴； 当即时，此时， ∵和都是等边三角形， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴； ∵恒小于， ∴不存在的情况， 综上，的长为1． 【点睛】本题考查了菱形的判定，平行四边形的性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质．正确引出辅助线解决问题是解题的关键． 考点7：根据菱形的性质与判定求角度 例7 如图，在中，与交于点，点为中点，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】根据等角对等边证明边相等、根据菱形的性质与判定求角度 【分析】此题考查了菱形的性质和判定，等角对等边等知识点，解题的关键是掌握以上知识点． 根据等角对等边和中点的概念得到，然后求出，证明出是菱形，然后利用菱形的性质求解即可． 【详解】∵ ∴ ∵点为中点 ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴是菱形， ∴ 故选：D． 【变式1】如图，数学活动课上，老师给每位同学发放两根长度相等的木条和一根橡皮筋，要求大家根据所给的材料在平面内制作一个菱形．小明先用两根木条钉成一个角形框架，然后将橡皮筋两端分别固定在点处，拉动橡皮筋上到处．当四边形是菱形时，小明量得橡皮筋是固定时长的倍，则 ． 【答案】 【知识点】根据菱形的性质与判定求角度 【分析】本题考查了菱形的判定与性质、等腰三角形性质，熟练掌握菱形的对角相等是关键． 根据题意，可推导出为等边三角形，利用菱形性质得到即可． 【详解】解：四边形为菱形， ， ， ， ， 四边形为菱形， ， 故答案为：． 【变式2】如图，某同学按如下步骤作四边形：①画；②以点为圆心，1个单位长为半径画弧，分别交，于点，；③分别以点，为圆心，1个单位长为半径画弧，两弧交于点；④连接，，．若，则 ． 【答案】66 【知识点】根据菱形的性质与判定求角度、作线段(尺规作图) 【分析】本题考查了基本作图，菱形的判定和性质，根据作图可得四边形是菱形，进而根据菱形的性质，即可求解． 【详解】解：由作图可得， ∴四边形是菱形， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 【变式3】按如下步骤作四边形：（1）画；（2）以点为圆心，个单位长为半径画弧，分别交、于点、：（3）分别以点和点为圆心，个单位长为半径画弧，两弧交于点；（）连接、、．若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】根据菱形的性质与判定求角度、作线段(尺规作图) 【分析】本题考查了作线段，菱形的性质与判定，根据作图可得四边形是菱形，进而根据菱形的性质，即可求解． 【详解】解：根据作图可得 ∴四边形是菱形，则， 又∵， ∴ 故选：D． 考点8：根据菱形的性质与判定求线段长 例8 已知平行四边形中，，，且，则平行四边形的周长为 ． 【答案】 【知识点】用勾股定理解三角形、根据菱形的性质与判定求线段长、利用平行四边形的性质求解 【分析】本题考查平行四边形的性质、菱形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识． 根据题意推出四边形是菱形，由勾股定理即可求得的长，继而求得菱形的周长． 【详解】解：如图，、交于点， 平行四边形中，， ，四边形是菱形， ， 菱形的周长， 故答案为：． 【变式1】如图，在中，以点A为圆心AB长为半径作弧交于点F，分别以点B、F为圆心，大于的长度为半径作弧，交于点G，连接并延长交于点E，，，则的长为 ． 【答案】 【知识点】根据菱形的性质与判定求线段长、作角平分线(尺规作图)、根据等角对等边证明边相等、用勾股定理解三角形 【分析】如图：连接，根据尺规作图可得，平分，证明是菱形可得，再运用勾股定理可得，进而可求出的长． 【详解】解：如图所示：连接，交于点O， 由题中作图可知：，平分， ∴， ∵四边形是平行四边形， ， ∴， ∴， ， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形， ∴， 在中， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了菱形的性质与判定、尺规作图、勾股定理等知识点，掌握垂直平分线的尺规作图成为解题的关键． 【变式2】如图，平行四边形中，，，，点E、F分别是边、边的中点，点M是与的交点，点N是与的交点，则四边形的周长是 ． 【答案】 【知识点】根据矩形的性质与判定求线段长、根据菱形的性质与判定求线段长、等边三角形的判定和性质、用勾股定理解三角形 【分析】连接，点E、F分别是边、边的中点，可知，可证四边形为菱形，根据菱形的性质可知，且与互相平分，，为等边三角形，，，由勾股定理求，根据菱形的性质可证四边形为矩形，再求四边形的周长． 【详解】解：连接， ∵点E、F分别是边、边的中点，，， ∴， ∵， ∴四边形为菱形， ∴， ∴，且与互相平分， 同理可得：四边形为菱形， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴， 在中，由勾股定理，得， ∵四边形为菱形，四边形为菱形， ∴，， ∵， ∴， 又∵，， ∴四边形为矩形， ∴四边形的周长． 故答案为：． 【点睛】本题考查了菱形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，矩形的判定和性质，熟练掌握各知识点是解题的关键. 考点9：根据菱形的性质与判定求面积 例9 已知四边形ABCD是菱形，周长是40，如果AC＝16，那么菱形ABCD的面积为 ． 【答案】 【知识点】根据菱形的性质与判定求面积、用勾股定理解三角形 【分析】由菱形的性质可得，，，由勾股定理可求，即可求解． 【详解】解：如图所示： 四边形是菱形，周长是40，， ，，， ， ， 菱形的面积， 故答案为：96． 【点睛】本题考查了菱形的性质，勾股定理，解题的关键是掌握菱形的面积公式． 【变式1】如图，菱形ABCD的对角线相交于点O，若AB＝5，OA＝4，则菱形ABCD的面积 ． 【答案】24 【知识点】根据菱形的性质与判定求面积 【分析】根据菱形的性质：菱形的两条对角线互相垂直可计算出该菱形的面积. 【详解】解：因为四边形ABCD是菱形， 所以AC⊥BD． 在Rt△AOB中，利用勾股定理求得BO＝3． ∴BD＝6，AC＝8． ∴菱形ABCD面积为×AC×BD＝24． 故答案为24． 【点睛】本题考查了菱形的性质的灵活运用，熟练运行菱形的性质来求其面积是解决此题的关键. 【变式2】如图，矩形的对角线，相交于点O，，． (1)判断四边形的形状，并进行证明； (2)若，，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析； (2)． 【知识点】利用矩形的性质证明、用勾股定理解三角形、含30度角的直角三角形、根据菱形的性质与判定求面积 【分析】（1）首先根据两对边互相平行的四边形是平行四边形证明四边形是平行四边形，再根据矩形的性质可得，即可利用一组邻边相等的平行四边形是菱形判定出结论； （2）依据“角所对的直角边等于斜边的一半”结合题意可求得，根据勾股定理可求得’从而求出，根据矩形的性质可得，最后依据菱形的性质得，即可求解． 【详解】（1）证明：（1）∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵矩形的对角线，相交于点O， ∴， ∴四边形为菱形； （2）∵，， ∴， ∴’ ∴， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∵四边形为菱形， ∴． 【点睛】此题考查矩形的性质，菱形的判定和性质，角所对的直角边等于斜边的一半，勾股定理解直角三角形，三角形和四边形面积的有关计算；解题关键在于根据矩形的性质得到，并根据相关三角形面积相等进行转换． 【变式3】如图，在中，，为的中点，，，交于点，连结，． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，则四边形的面积是________． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】斜边的中线等于斜边的一半、根据菱形的性质与判定求面积 【分析】（1）利用直角三角形斜边中线的性质求得，证明四边形、是平行四边形，再根据菱形的判定定理即可证明结论； （2）根据平行四边形的性质求得，再利用菱形的面积公式即可求解． 【详解】（1）证明：∵，为的中点， ∴. ∵，， ∴四边形是平行四边形. ∴ ∴ 又∵， ∴四边形是平行四边形. 又∵， ∴平行四边形是菱形； （2）解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵四边形是菱形， ∴四边形的面积是． 故答案为：24． 【点睛】本题考查了菱形的判定和性质，直角三角形斜边的中线的性质，掌握“直角三角形斜边中线等于斜边的一半”是解题的关键． 1. 如图，四边形是菱形，点，分别在，边上，添加以下条件不能判定的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】添加条件使三角形全等（全等三角形的判定综合）、利用菱形的性质证明 【分析】本题考查菱形性质及全等三角形的判定，解题的关键是掌握三角形全等的判定定理． 由四边形是菱形可得：，，再根据每个选项添加的条件逐一判断． 【详解】解：由四边形是菱形可得：，， A、添加，可用证明，故不符合题意； B、添加，可用证明，故不符合题意； C、添加，不能证明，故符合题意； D、添加，可用证明，故不符合题意； 故选：C． 2. 如图，点E在菱形ABCD的AB边上，点F在BC边的延长线上，连接CE，DF，对于下列条件：①；②；③；④，只选其中一个添加，不能确定的是（    ）     A．① B．② C．③ D．④ 【答案】C 【知识点】添加条件使三角形全等（全等三角形的判定综合）、利用菱形的性质证明 【分析】根据菱形的性质和全等三角形的判定定理即可得到结论． 【详解】解：四边形是菱形， ，， ， ①添加， ， ②添加，， ， ， ③添加， 不能确定； ④添加， ， 故选：． 【点睛】本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定，正确的识别图形是解题的关键． 3．如图，在菱形中，对角线、相交于点O，下列结论中不一定成立的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】利用菱形的性质证明 【分析】本题主要考查了菱形的性质，理解菱形的性质是解题的关键． 根据菱形的性质逐项判断即可． 【详解】解：∵在菱形中，对角线、相交于点O， ∴，，，故A、C、D选项不符合题意． 只有当菱形中，时，，故B选项符合题意． 故选B． 4．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E为CD的中点．若OE＝3，则菱形ABCD的周长为（    ） A．6 B．12 C．24 D．48 【答案】C 【知识点】与三角形中位线有关的求解问题、根据菱形的性质与判定求线段长 【分析】由菱形的性质可得出BO=DO，AB=BC=CD=DA，再根据中位线的性质可得，结合菱形的周长公式即可得出结论． 【详解】解：∵四边形ABCD为菱形， ∴BO=DO，AB=BC=CD=DA， ∵OE=3，且点E为CD的中点， 是的中位线， ∴BC=2OE=6． ∴菱形ABCD的周长为:4BC=4×6=24． 故选：C． 【点睛】本题考查了菱形的性质以及中位线的性质，解题的关键是求出BC=6． 5．如图，在菱形中，，分别以，为圆心，以大于长为半径，作弧交于两点，过此两点的直线交边于点，连接，，则的度数为 ． 【答案】/33度 【知识点】线段垂直平分线的性质、利用菱形的性质求角度、等边对等角 【分析】由菱形的性质得到，推出，而，即可求出，由线段垂直平分线的性质得到，推出，于是得到． 【详解】解：四边形是菱形， ， ， ， ， 由题意得：在的垂直平分线上， ， ， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查菱形的性质，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，关键是由菱形的性质得到，由线段垂直平分线分的性质得到． 6．如图，已知菱形ABCD中，，对角线BD长6cm，点O为BD的中点，过点A作AE⊥BC交CB的延长线于点E，连接OE，则线段OE的长度是 ． 【答案】cm/厘米 【知识点】斜边的中线等于斜边的一半、利用菱形的性质证明、含30度角的直角三角形、用勾股定理解三角形 【分析】由菱形的两条对角线互相垂直平分，并且每一条对角线平分一组对角可得△ABO是30°直角三角形，由勾股定理求得AO，再由直角三角形AEC斜边中线等于斜边一半即可解答； 【详解】解：∵ABCD是菱形，点O为BD的中点， ∴AC、BD互相垂直平分，BD平分∠ABC， ∴OB=OD，OA=OC，∠AOB=90°， ∵∠ABC=120°， ∴∠ABO=60°， ∴∠BAO=30°， ∴AB=2OB=BD=6cm， ∴AO=cm， ∵EO是Rt△AEC斜边中线， ∴OE=AC=OA=cm， 故答案为：cm； 【点睛】本题考查了菱形的性质，30°直角三角形，直角三角形斜边中线，勾股定理等知识；掌握菱形的性质是解题关键． 7．如图，矩形的对角线与相交于点O，，直线是线段的垂直平分线，分别交，于点F，G，连接． (1)判断四边形的形状，并说明理由； (2)当时，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】根据矩形的性质求线段长、证明四边形是菱形、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了矩形的性质、菱形的判定与性质、等边三角形的判定与性质及勾股定理，解题关键是利用矩形对角线性质、垂直平分线性质推出四边形的边的关系，结合特殊三角形性质与勾股定理计算进而求出面积． （1）由矩形性质得，结合、是的垂直平分线，证得，再由垂直平分线性质得、，推出，判定四边形是菱形． （2）由矩形及垂直平分线性质得是等边三角形，推出，结合，用勾股定理求出；再由菱形性质得，结合中角的性质求出，最后用菱形面积公式计算面积． 【详解】（1）解：四边形是菱形，理由如下： ， ， 是线段的垂直平分线， ， 在和中， ， ， ， 又， ， 四边形是菱形． （2）解：四边形为矩形， ， 是线段的垂直平分线， ， ， 为等边三角形， ， ， ， 在中，， 由勾股定理得：， 即 ， 解得 ， ， 四边形是菱形， ， 在中， ， ， ． 1．如图，在给定的平行四边形上，作一个菱形，甲、乙二人的做法如下：甲：分别以、为圆心，长为半径画弧，交于点，交于点，连接，则四边形为菱形；乙：以为圆心，长为半径画弧，交于点，连接，作的垂直平分线交于，则四边形为菱形；根据两人的做法可判断（    ） A．甲正确，乙错误 B．乙正确，甲错误 C．甲、乙均正确 D．甲、乙均错误 【答案】C 【知识点】根据等角对等边证明边相等、作垂线(尺规作图)、证明四边形是菱形、利用平行四边形的性质证明 【分析】由甲作图可得，，证明四边形是平行四边形，根据，证明四边形是菱形，可判断甲的正误；由乙作图可得，，，在的垂直平分线上，，则，四边形为菱形，进而可判断乙的正误． 【详解】解：由甲作图可得，， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形，甲正确，故符合要求； 由乙作图可得，，，在的垂直平分线上， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形为菱形，乙正确，故符合要求； 故选：C． 【点睛】本题考查了作垂线，菱形的判定，平行四边形的判定与性质，等角对等边．熟练掌握菱形的判定，平行四边形的判定与性质，等角对等边是解题的关键． 2．嘉嘉自编一题：“如图，在四边形中，对角线交于点O，，．求证：四边形是菱形．”并将自己的证明过程与同学淇淇交流． 证明：∵，， ∴AC垂直平分， ∴，， ∴四边形是菱形． 淇淇看完后认为这个题目需要补充一个条件才能证明．下列正确的是（    ） A．题目严谨，不用添加条件 B．题目不严谨，可补充： C．题目不严谨，可补充： D．题目不严谨，可补充： 【答案】C 【知识点】证明四边形是菱形 【分析】根据菱形的判定，逐项判断即可求解． 【详解】解：根据题意得：嘉嘉的说法无法证得四边形是菱形，故A选项不符合题意； 若添加无法说明四边形是平行四边形， 则不能得到四边形是菱形，故B选项不符合题意； 若添加， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形，故C选项符合题意； 若添加无法说明四边形是平行四边形， 则不能得到四边形是菱形，故D选项不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题主要考查了菱形的判定，熟练掌握菱形的判定定理是解题的关键． 3．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点P为AB边上一动点（不与点A，B重合），于点E，于点F，若，则EF的最小值为 ． 【答案】4.8 【知识点】用勾股定理解三角形、利用菱形的性质求线段长、根据矩形的性质与判定求线段长 【分析】连接OP，根据菱形的性质得到AC⊥BD，AO＝AC＝8，BD＝BD＝6，根据勾股定理得到AB＝10，证明四边形OEPF是矩形，根据矩形的性质得到EF＝OP，则当OP⊥AB时，OP最小，EF的值最小，然后根据三角形的面积公式求出此时OP的长即可． 【详解】解：连接OP， ∵四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD，AO＝AC＝8，BO＝BD＝6， ∴AB＝， ∵PE⊥OA于点E，PF⊥OB于点F， ∴∠EOF＝∠OEP＝∠OFP＝90°， ∴四边形OEPF是矩形， ∴EF＝OP， ∴当OP取最小值时，EF的值最小， ∴当OP⊥AB时，OP最小， ∴＝OA•OB＝AB•OP， ∴OP＝， ∴EF的最小值为4.8， 故答案为：4.8． 【点睛】本题考查了矩形的判定和性质，垂线段最短，菱形的性质，勾股定理，熟练掌握菱形的性质是解题的关键． 4．如图，已知菱形ABCD的边长为6，点M是对角线AC上的一动点，目∠ABC＝120°，则MA+MB+MD的最小值是 ． 【答案】 【知识点】利用菱形的性质证明、含30度角的直角三角形、用勾股定理解三角形 【分析】作DE⊥AB于E点，连接BD，根据垂线段最短，此时DE最短，即MA+MB+MD最小，根据菱形性质和等边三角形的性质即可求出DE的长，进而得出结论． 【详解】如图，作DE⊥AB于E点，连接BD ∵菱形ABCD中，∠ABC＝120° ∴∠DAB=60°，则△ABD为等边三角形 ∴∠MAE=30° ∴AM=2ME ∵MD=MB ∴MA+MB+MD=2ME+2MD=2DE 根据垂线段最短，此时DE最短，即MA+MB+MD最小 ∵菱形的边长为6 ∴AB=6，AE=3 ∴ ∴ ∴MA+MB+MD最小值为 故答案为： 【点睛】本题考查菱形的性质，等边三角形的判定与性质，掌握菱形的性质，将多条线段转化是解题关键． 5．如图，菱形的边长为26，对角线的长为48，延长至E，平分，点G是上任意一点，则的面积为 ． 【答案】 【知识点】用勾股定理解三角形、利用菱形的性质求面积 【分析】本题考查了菱形的性质、勾股定理、平行线的判定与性质以及三角形面积等知识； 熟练掌握菱形的性质，证出是解题的关键. 连接交于，由菱形的性质和勾股定理求出，得出的面积，依据，得出，进而得出的面积的面积即可解题． 【详解】如图所示, 连接交于， ∵四边形是菱形， ，， ∴， ， ∴的面积， ∵ 平分， ， ∴， ∴ ， ∴的面积的面积， 故答案为：． 6．某校开展了一次综合实践活动，参加该活动的每个学生持有两张宽为6cm，长足够的矩形纸条．探究两张纸条叠放在一起，重叠部分的形状和面积．如图1所示，一张纸条水平放置不动，另一张纸条与它成45°的角，将该纸条从右往左平移． (1)写出在平移过程中，重叠部分可能出现的形状． (2)当重叠部分的形状为如图2所示的四边形时． ①求证：四边形是菱形． ②求菱形的面积． 【答案】(1)三角形，梯形，菱形，五边形 (2)①见解析；② 【知识点】矩形性质理解、等腰三角形的性质和判定、证明四边形是菱形、利用菱形的性质求面积 【分析】（1）根据题意画出平移过程中可能出现的图形即可得到答案； （2）①分别过B，D作于点E，于点F，如图，先证明，再证明都是等腰直角三角形得到，再只需要证明四边形是平行四边形，即可证明四边形是菱形；②根据菱形面积公式求解即可． 【详解】（1）解：如下图所示，在平移过程中，重叠部分的形状可能为：三角形，梯形，菱形，五边形． （2）解：①分别过B，D作于点E，于点F，如图， ∴， ∵两纸条等宽， ∴， ∵， ∴都是等腰直角三角形 ∴， ∵两纸条都是矩形， ∴，， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴四边形是菱形； ②菱形的面积． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，菱形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，掌握矩形的性质，证明四边形是菱形是解题的关键． 7．如图所示，在菱形ABCD中，AB=4，∠BAD=120°，△AEF为正三角形，点E、F分别在菱形的边BC、CD上滑动，且E、F不与B、C、D重合． （1）证明不论E、F在BC．CD上如何滑动，总有BE=CF； （2）当点E、F在BC．CD上滑动时，分别探讨四边形AECF的面积和△CEF的周长是否发生变化？如果不变，求出这个定值；如果变化，求出最小值． 【答案】（1）证明见解析；（2）四边形AECF的面积不变，△CEF的周长发生变化．面积为，周长最小值为4+2． 【知识点】（特殊）平行四边形的动点问题 【分析】（1）连接AC，根据菱形的性质以及∠BAD=120°得出∠BAE=∠FAC以及△ABC和△ACD为正三角形，从而得出△ABE和△ACF全等，从而得出答案； （2）根据三角形全等得出△ABE的面积=△ACF的面积，从而得出四边形AECF的面积=△ABC的面积，从而求出△ABC的面积得出四边形的面积，根据垂线段最短得出当正三角形AEF的边AE与BC垂直时，边AE最短，从而求出最小值． 【详解】（1）如图，连接AC∵四边形ABCD为菱形，∠BAD=120°， ∠BAE+∠EAC=60°，∠FAC+∠EAC=60°，∴∠BAE=∠FAC ∵∠BAD=120°，∴∠ABC=60°．∴△ABC和△ACD为等边三角形 ∴∠ACF=60°，AC=AB ∴∠ABE=∠AFC  ∴在△ABE和△ACF中，∵∠BAE=∠FAC，AB=AC，∠ABE=∠AFC，∴△ABE≌△ACF（ASA） ∴BE=CF （2）四边形AECF的面积不变，△CEF的周长发生变化．理由如下： 由（1）得△ABE≌△ACF，则．∴，是定值 作AH⊥BC于H点，则BH=2， ． △CEF的周长=CE+CF+EF=CE+BE+EF=BC+EF=BC+AE 由“垂线段最短”可知：当正三角形AEF的边AE与BC垂直时，边AE最短． 故△AEF的周长会随着AE的变化而变化，且当AE最短时，△CEF的周长会最小=4+， 【点睛】本题考查了菱形的性质；三角形全等的判定与性质；垂线段的性质等，综合性较强，正确添加辅助线，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键． 1 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $定义： 菱形的定义 注意： 对称性： 边： 菱形的性质 角： 菱形 对角线： 判定方 菱形的判定 易错警 面积公 菱形的面积 常见关 四条边都相等的四边形叫作菱形 符号表示：在菱形ABCD中，AB=BC=CD=DA。 菱形的定义既是性质也是判定依据。 中心对称图形，对称中心是对角线交点。 轴对称图形，对称轴是对角线所在直线。 对边平行：AB‖CD,AD‖BC。 四条边都相等：AB=BC=CD=DA。 对角相等：∠ABC=∠CDA,∠BCD=∠DAB。 邻角互补：例如∠DAB+∠ABC=180°。 两条对角线互相垂直平分：AC⊥BD,OA=OC,OB=OD。 每条对角线平分一组对角：例如∠BAC=∠DAC。 定义法：四条边都相等的四边形是菱形。 法： 定理1：有一组邻边相等的平行四边形是菱形。 定理2：对角线互相垂直的平行四边形是菱形。 判定时需明确基础（平行四边形或四边形）。 示： 定理1和定理2需同时满足两个条件。 般方法：S=a·h(底乘高)。 式： 特殊方法：S=号·AC·BD(对角线乘积的一半)。 S△AOD=S△COD=S△COB=S△AOB=S菱形ABCD。 系： 若对角线交于点0，则： S△ABD=S△ABC=号S菱形ABCD· 寒假预习第04讲 菱形 1.理解菱形的概念及菱形的对称性. 2.掌握“菱形的四条边都相等”和“菱形的对角线互相垂直，并且每条对角线平分一组对角”的性质定理. 3.掌握“四条边相等的四边形是菱形”和“对角线互相垂直的平行四边形是菱形”的判定定理. 4.会综合运用菱形的判定及性质解决简单的几何问题. 定义 四条边都相等的四边形叫作菱形. 菱形的定义既是菱形的性质，也是菱形的判定. 如图2338，地砖、自动伸缩门都有菱形图案. 图2338 菱形是特殊的平行四边形，除具有平行四边形的一切性质之外，还有其他性质，菱形的性质可从对称性、边、角、对角线来研究，如下表: 图形 性质 符号表示 对称性 是中心对称图形，对称中心是对角线的交点 是轴对称图形，对称轴是对角线所在的直线 边 对边平行 四条边都相等 对角相等 角 邻角互补 对角线 两条对角线互相垂直平分 每条对角线平分一组对角 如图，在菱形中，，对角线交于点，为的中点，连接，则的度数为（   ） A． B． C． D． 如图，在菱形中，于点E，于点F．求证：． 1.菱形的判定方法 元素 判定 图示 文字语言 符号语言 边 定义法 四条边都相等的四边形叫作菱形. ∵ ， ∴ 四边形 A B C D 是菱形 定理1 有一组邻边相等的平行四边形叫是菱形 在中，∵ 是菱形 对角线 定理2 对角线互相垂 直的平行四边 形是菱形 在中， ∵ ， ∴ 是菱形 在用菱形的定义判定一个四边形是菱形时，先判定这个四边形是平行四边形，再证一组邻边相等. 2.四边形、平行四边形、菱形的关系 1．四边形→平行四边形 当四边形满足以下任一条件时，可判定为平行四边形： 一组对边平行且相等 两组对边分别平行 两组对边分别相等 2．平行四边形 → 菱形 当平行四边形满足以下任一条件时，可判定为菱形： 一组邻边相等 对角线互相垂直 3．四边形 → 菱形（直接判定） 当四边形的四条边都相等时，可直接判定为菱形。 (1)菱形是特殊的平行四边形，它具有平行四边形所有的性质.(2)菱形是轴对称图形，有两条对称轴，是对角线所在的直线.(3)菱形的两条对角线互相垂直，并且把菱形分成四个全等的直角三角形，进而可得菱形边长的平方等于两条对角线长一半的平方和.(4)菱形的四条边相等，故可连接对角线构造等腰三角形，利用等腰三角形的性质解题. 四边相等的四边形一定是（　　） A．矩形 B．菱形 C．平行四边形 D．无法判定 如图，在矩形中，交于点交于点．求证：四边形是菱形． 如图，四边形是矩形，，交的延长线于点，，交的延长线于点，连接． 求证：四边形是菱形． 面积计算方法 一般方法 特殊方法 基本图形 计算公式 常见关系 若菱形 A B C D 的对角线相交于点 ，则 （1）Rt Rt Rt Rt ； （2） ； （3） 若菱形 A B C D 的对角线相交于点，则 （1） ； （2） ； （3） 如图，在菱形中，对角线，则的面积为（    ） A．9 B．10 C．11 D．12 有一内角为60°或120°的菱形，较短对角线把菱形分成两个全等的等边三角形.较短对角线的长等于菱形的边长，较长对角线的长等于菱形边长的倍. 考点1：利用菱形的性质求角度 例1 如图，菱形中，连接，若，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 【变式1】在菱形中，，则 度． 【变式2】如图，在菱形中，的垂直平分线交对角线于点F，垂足为点E，若，那么的大小为 ． 【变式3】如图，在中，O为的中点，点E，F分别在上，经过点O，． (1)求证：四边形为菱形； (2)若E为的中点，，．求的长． 考点2：利用菱形的性质求线段长 例2 在边长为13的菱形中有一条对角线长为24，则另一条对角线长度为 ． 【变式1】菱形的一个锐角为，边长为20厘米，则此菱形较长的对角线的长等于 厘米． 【变式2】面积为S的菱形一条对角线是另一条的2倍，则其边长为（   ） A． B． C． D． 【变式3】如图，菱形，对角线，相交于点，测得，，过点作于点，那么的长为 ． 考点3： 利用菱形的性质求面积 例3 已知菱形的周长为，对角线之和为8，则菱形的面积为 ． 【变式1】如图，菱形的面积为36，点、分别在边、上，，如果的面积为6，那么的面积为 ． 【变式2】若菱形周长为，两对角线之和为，则菱形面积为 ． 【变式3】已知菱形的两条对角线的长分别是6和8，则菱形的面积为 ． 考点4：利用菱形的性质证明 例4 已知：在菱形中，，，垂足为、． (1)如图①，如果，求证：； (2)如图②，如果对角线与、交于点、，且，求证：． 【变式1】已知：如图，在中，E、F分别为边的中点，是对角线，交的延长线于G． (1)求证：； (2)若四边形是菱形，则四边形 是什么特殊四边形？并证明你的结论． 【变式2】已知，如图，是矩形的对角线的垂直平分线，与对角线及边、分别交于点O，E，F．    (1)求证：四边形是菱形； (2)如果，求的值． 【变式3】“数学探究小组”研究如下问题：如图1，点是矩形内一点，求作一个四边形，使得四边形的四边分别等于，并且两条对角线互相垂直． 小组成员小杰提出了如下的作法：①过点作并截取；②分别连接．那么四边形就是所求作的四边形． (1)请判断小杰的作法是否正确，并说明理由； (2)如图2，请根据上述信息提出一个类似问题：点是菱形内一点，求作一个四边形，使得___________，并且___________；（请作出图形并简要说明作法） 考点5：添一个条件使四边形是菱形 例5 已知四边形中，对角线与相交于点O，，，再添加一个条件使四边形是菱形，添加条件不正确的是（　　） A． B． C． D． 【变式1】如图，四边形的对角线互相平分，要使它变为菱形，需要添加的条件是（　　） A． B． C． D． 【变式2】已知四边形，，、是它的两条对角线，下列条件中，不能判定四边形是菱形的是（   ） A． B． C． D． 【变式3】已知平行四边形的对角线相交于点O．下列补充条件中，能判定这个平行四边形是菱形的是（    ） A． B． C． D． 考点6：证明四边形是菱形 例6 如图，在矩形中，于点，点是边上一点，若平分，交于点G，于点F． (1)求证：； (2)求证：四边形是菱形． 【变式1】已知：如图，平行四边形中，点E在边上，点F在线段延长线上，且，平分，求证：四边形为菱形． 【变式2】如图，平行四边形中，为对角线上任一点． (1)连接、，若，求证：四边形是菱形； (2)若在上，连接、，若，，判断四边形的形状并证明． 【变式3】如图，等腰中，，O为边的中点，射线交的延长线于点C，． (1)求证：四边形为菱形； (2)若，点E、F分别在射线、射线上，且，求证：； (3)在（2）的条件下，连接，若为直角三角形，，直接写出的长． 考点7：根据菱形的性质与判定求角度 例7 如图，在中，与交于点，点为中点，若，则（    ） A． B． C． D． 【变式1】如图，数学活动课上，老师给每位同学发放两根长度相等的木条和一根橡皮筋，要求大家根据所给的材料在平面内制作一个菱形．小明先用两根木条钉成一个角形框架，然后将橡皮筋两端分别固定在点处，拉动橡皮筋上到处．当四边形是菱形时，小明量得橡皮筋是固定时长的倍，则 ． 【变式2】如图，某同学按如下步骤作四边形：①画；②以点为圆心，1个单位长为半径画弧，分别交，于点，；③分别以点，为圆心，1个单位长为半径画弧，两弧交于点；④连接，，．若，则 ． 【变式3】按如下步骤作四边形：（1）画；（2）以点为圆心，个单位长为半径画弧，分别交、于点、：（3）分别以点和点为圆心，个单位长为半径画弧，两弧交于点；（）连接、、．若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 考点8：根据菱形的性质与判定求线段长 例8 已知平行四边形中，，，且，则平行四边形的周长为 ． 【变式1】如图，在中，以点A为圆心AB长为半径作弧交于点F，分别以点B、F为圆心，大于的长度为半径作弧，交于点G，连接并延长交于点E，，，则的长为 ． 【变式2】如图，平行四边形中，，，，点E、F分别是边、边的中点，点M是与的交点，点N是与的交点，则四边形的周长是 ． 考点9：根据菱形的性质与判定求面积 例9 已知四边形ABCD是菱形，周长是40，如果AC＝16，那么菱形ABCD的面积为 ． 【变式1】如图，菱形ABCD的对角线相交于点O，若AB＝5，OA＝4，则菱形ABCD的面积 ． 【变式2】如图，矩形的对角线，相交于点O，，． (1)判断四边形的形状，并进行证明； (2)若，，求四边形的面积． 【变式3】如图，在中，，为的中点，，，交于点，连结，． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，则四边形的面积是________． 1. 如图，四边形是菱形，点，分别在，边上，添加以下条件不能判定的是（    ） A． B． C． D． 2. 如图，点E在菱形ABCD的AB边上，点F在BC边的延长线上，连接CE，DF，对于下列条件：①；②；③；④，只选其中一个添加，不能确定的是（    ）     A．① B．② C．③ D．④ 3．如图，在菱形中，对角线、相交于点O，下列结论中不一定成立的是（    ）． A． B． C． D． 4．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E为CD的中点．若OE＝3，则菱形ABCD的周长为（    ） A．6 B．12 C．24 D．48 5．如图，在菱形中，，分别以，为圆心，以大于长为半径，作弧交于两点，过此两点的直线交边于点，连接，，则的度数为 ． 6．如图，已知菱形ABCD中，，对角线BD长6cm，点O为BD的中点，过点A作AE⊥BC交CB的延长线于点E，连接OE，则线段OE的长度是 ． 7．如图，矩形的对角线与相交于点O，，直线是线段的垂直平分线，分别交，于点F，G，连接． (1)判断四边形的形状，并说明理由； (2)当时，求四边形的面积． 1．如图，在给定的平行四边形上，作一个菱形，甲、乙二人的做法如下：甲：分别以、为圆心，长为半径画弧，交于点，交于点，连接，则四边形为菱形；乙：以为圆心，长为半径画弧，交于点，连接，作的垂直平分线交于，则四边形为菱形；根据两人的做法可判断（    ） A．甲正确，乙错误 B．乙正确，甲错误 C．甲、乙均正确 D．甲、乙均错误 2．嘉嘉自编一题：“如图，在四边形中，对角线交于点O，，．求证：四边形是菱形．”并将自己的证明过程与同学淇淇交流． 证明：∵，， ∴AC垂直平分， ∴，， ∴四边形是菱形． 淇淇看完后认为这个题目需要补充一个条件才能证明．下列正确的是（    ） A．题目严谨，不用添加条件 B．题目不严谨，可补充： C．题目不严谨，可补充： D．题目不严谨，可补充： 3．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点P为AB边上一动点（不与点A，B重合），于点E，于点F，若，则EF的最小值为 ． 4．如图，已知菱形ABCD的边长为6，点M是对角线AC上的一动点，目∠ABC＝120°，则MA+MB+MD的最小值是 ． 5．如图，菱形的边长为26，对角线的长为48，延长至E，平分，点G是上任意一点，则的面积为 ． 6．某校开展了一次综合实践活动，参加该活动的每个学生持有两张宽为6cm，长足够的矩形纸条．探究两张纸条叠放在一起，重叠部分的形状和面积．如图1所示，一张纸条水平放置不动，另一张纸条与它成45°的角，将该纸条从右往左平移． (1)写出在平移过程中，重叠部分可能出现的形状． (2)当重叠部分的形状为如图2所示的四边形时． ①求证：四边形是菱形． ②求菱形的面积． 7．如图所示，在菱形ABCD中，AB=4，∠BAD=120°，△AEF为正三角形，点E、F分别在菱形的边BC、CD上滑动，且E、F不与B、C、D重合． （1）证明不论E、F在BC．CD上如何滑动，总有BE=CF； （2）当点E、F在BC．CD上滑动时，分别探讨四边形AECF的面积和△CEF的周长是否发生变化？如果不变，求出这个定值；如果变化，求出最小值． 1 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $