专题6.2 空间向量的数量积运算（高效培优讲义）数学苏教版高二选择性必修第二册

专题6.2 空间向量的数量积运算 教学目标 1. 掌握空间向量的夹角的概念，空间向量的数量积的概念、性质和运算律． 2. 掌握投影向量的概念，理解向量在向量上的投影向量、向量在平面上的投影向量． 3.在向量的数量积由平面向空间推广的过程中，提升逻辑推理素养；在空间向量的数量积运算过程中，提升数学运算素养． 教学重难点 1.重点 空间向量的数量积的概念、性质和运算律，投影向量的概念； 2.难点 空间向量的数量积的运用. 知识点01 空间向量的夹角与数量积 空间向量的数量积 类比平面向量，探究空间向量的夹角、数量积的概念及运算律． (1) 空间向量的夹角： ①定义：已知两个非零向量a，b，过空间任意一点O，作＝a，＝b，则∠AOB叫作向量a与向量b的夹角，记作〈a，b〉． 　　　　 ②范围：0≤〈a，b〉≤π. 特别提醒：当〈a，b〉＝0时，a与b同向；当〈a，b〉＝π时，a与b反向；当〈a，b〉＝时，a与b互相垂直，记作a⊥b. (2) 空间向量的数量积及运算律： ①定义：设a，b是空间两个非零向量，我们把数量|a||b|cos 〈a，b〉叫作向量a，b的数量积，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos 〈a，b〉． 规定：零向量与任一向量的数量积为0. ②数量积的运算律 交换律 a·b＝b·a 数乘向量与 数量积的结合律 (λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb) (λ∈R) 分配律 (a＋b)·c＝a·c＋b·c （3）空间向量夹角的计算 求两个向量的夹角：利用公式＝求，进而确定． 【即学即练】 1．（多选）下列各命题中，正确的命题的个数为（ ） A. B. C. D.． 【答案】ABC 【分析】根据向量的平方等于模的平方即可求得A正确；利用平面向量数量积的结合律可判断BC，利用平面向量数量积为常数可判断D不正确. 【解析】A是向量模的计算公式，命题正确；B是向量数乘运算的结合律，命题正确；，C命题正确；与向量共线，与向量共线，D命题不正确． 故选：ABC． 2．在棱长为2的正方体中，（ ） A． B． C．2 D．4 【答案】D 【分析】根据向量数量积定义计算即可. 【解析】 在棱长为2的正方体中, 易知， 因为，与的夹角为， 所以与的夹角为， . 故选：D 知识点02 向量的投影 1．向量的投影 (1)如图(1)，在空间，向量a向向量b投影，由于它们是自由向量，因此可以先将它们平移到同一个平面α内，进而利用平面上向量的投影，得到与向量b共线的向量c，c＝|a|cos，向量c称为向量a在向量b上的投影向量．类似地，可以将向量a向直线l投影(如图(2))． (2)如图(3)，向量a向平面β投影，就是分别由向量a的起点A和终点B作平面β的垂线，垂足分别为，得到，向量称为向量a在平面β上的投影向量．这时，向量a，的夹角就是向量a所在直线与平面β所成的角． 【即学即练】 1．已知向量满足，，且，则向量在向量上的投影向量为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据数量积的运算律可求得，根据投影向量定义直接求解即可. 【解析】，，， ，， ，，. 故选：C. 2．已知，空间向量为单位向量，，则空间向量在向量方向上投影的模为 ． 【答案】2 【分析】利用投影的定义计算然后求模即可． 【解析】 空间向量在向量方向上的投影为， 所以投影的模为． 故答案为：． 题型01 空间向量数量积的概念辨析 【典例1】对任意的空间向量，下列说法正确的是（ ） A．若，，则 B． C． D．若，则 【答案】C 【分析】根据空间向量的概念逐项判断即可. 【解析】选项A：若，，则与不一定平行，如在正方体中，    满足，，此时，故A说法错误； 选项B：表示与共线的向量，表示与共线的向量，所以与不一定相等，B说法错误； 选项C：向量的数量积满足乘法分配律，所以，C说法正确； 选项D：若，则与模长相等，方向不一定，所以与不一定相等，D说法错误； 故选：C. (1)向量a，b的数量积记为a·b，而不能表示为a×b或者ab. (2)向量的数量积的结果为实数，而不是向量，它可以是正数、负数或零，其符号由夹角θ的范围决定． ①当θ为锐角时，a·b>0；但当a·b>0时，θ不一定为锐角，因为θ也可能为0. ②当θ为钝角时，a·b<0；但当a·b<0时，θ不一定为钝角，因为θ也可能为π. (3)空间向量的数量积运算不满足消去律和结合律．即a·b＝a·c⇒b＝c，(a·b)·c＝a·(b·c)都不成立． 【变式1】对于任意空间向量，，，下列说法正确的是（ ） A．若且，则 B． C．若，且，则 D． 【答案】B 【分析】根据数量积的运算律即可判断BCD，根据向量共线的性质即可求解A. 【解析】对于A，若，则且，不能得到，故A错误， 对于B，，B正确， 对于C，若，且，则，则，无法得出，所以C错误， 对于D，表示与共线的向量，而表示与共线的向量，所以与不一定相等，故D错误， 故选：B. 【变式2】（多选）设，，都是非零空间向量，则下列等式正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】本题考查空间向量加减法和数量积的运算律，根据运算律判断即可． 【解析】由向量加法的结合律知A项正确；由向量数量积的运算律知B项、D项正确；C项若，不共线且不垂直，则，故C不一定正确． 故选：ABD. 【变式3】（多选）设、为空间中的任意两个非零向量，下列各式中正确的有（ ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】 利用空间数量积的定义、运算性质逐项判断，可得出合适的选项. 【解析】对于A选项，向量不能作除法，A错； 对于B选项，，B对； 对于C选项，，C错； 对于D选项，，D对. 故选：BD. 题型02 空间向量数量积的运算 【典例1】在正三棱锥中，是的中心，，则等于（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，结合正三棱锥的结构特征求出，再利用数量积的运算律计算即得. 【解析】在正三棱锥中，为正的中心，， 则平面，而平面，于是，，且， 所以. 故选：D 求空间向量数量积的步骤： ①将各向量分解成已知模和夹角的向量的组合形式． ②利用向量的运算律将数量积展开，转化为已知模和夹角的向量的数量积． ③代入求解． 【变式1】已知正四面体的棱长为1，如图所示,则 A．1 B． C．2 D． 【答案】； 【分析】根据空间向量的数量积的运算性质求解即可. 【解析】 . 故选：A 【变式2】在正四面体中，棱长为2，且E是棱中点，则的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】在正四面体中，根据向量的数量积的运算，即可求解 【解析】如图所示， 由正四面体的性质可得，， 由E是棱中点， ， 故选：A． 【变式3】（多选）已知长方体，下列向量的数量积可以为0的是（ ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】当四边形ADD1A1为正方形时，可证AD1⊥B1C可判断A；当四边形ABCD为正方形时，可证AC⊥BD1可判断B；由长方体的性质可证AB⊥AD1，分别可得数量积为0，可判断C；可推在△BCD1中，∠BCD1为直角，可判BC与BD1不可能垂直，可得结论可判断D. 【解析】选项A，当四边形ADD1A1为正方形时，可得AD1⊥A1D，而A1D∥B1C，可得AD1⊥B1C，此时有，故正A确； 选项B，当四边形ABCD为正方形时，可得AC⊥BD，，， 平面BB1D1D，可得AC⊥平面BB1D1D，故有AC⊥BD1，此时有，故B正确； 选项C，由长方体的性质可得AB⊥平面ADD1A1，平面ADD1A1，可得AB⊥AD1，此时必有0，故C正确； 选项D，由长方体的性质可得BC⊥平面CDD1C1，平面CDD1C1，可得BC⊥CD1，△BCD1为直角三角形，∠BCD1为直角，故BC与BD1不可能垂直，即，故D错误. 故选：ABC. 【变式4】已知是空间中的三个单位向量，若，则的最大值为__________- 【答案】 【分析】根据题意可求得，再结合数量积的定义分析运算. 【解析】因为，则， ， 又， 故当，即与同向时，有最大值. 所以. 故答案为： 【变式5】已知正四面体的棱长为1，如图所示.若E，F分别是，的中点，求： (1)； (2)； (3). 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】根据空间向量的数量积的定义求解各小题即可. 【解析】（1）由题意，E，F分别是，的中点， 则 . （2）. （3） . 题型03 利用空间向量的数量积求角度问题 【典例1】已知空间向量，的夹角为，且，，则与的夹角是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据数量积的运算律以及模长公式，结合夹角公式即可代入求解. 【解析】由，的夹角为，且，得， ， 设与的夹角为，则， 由于，故 故选：A. 求两个向量的夹角：利用公式＝求，进而确定 注：(1)只有两个非零空间向量才有夹角，当两个非零空间向量共线同向时，夹角为0，共线反向时，夹角为π. 对空间任意两个非零向量a，b有：①〈a，b〉＝〈b，a〉；②〈－a，b〉＝〈a，－b〉＝π－〈a，b〉；③〈－a，－b〉＝〈a，b〉 【变式1】已知空间向量，，满足，，且，则与的夹角大小为（ ） A．30° B．60° C．120° D．150° 【答案】C 【分析】由，利用向量数量积的运算律有，即可求与的夹角大小. 【解析】由题设，则， 所以，又，可得，即. 故选：C. 【变式2】如图，在正三棱柱中，若，则与所成角的大小为（ ） A．60° B．90° C．105° D．75° 【答案】B 【分析】取向量为空间向量的一组基底向量，表示出与，再借助空间向量运算即可计算作答. 【解析】在正三棱柱中，向量不共面，，， 令，则，而，， 于是得， 因此，， 所以与所成角的大小为. 故选：B 【变式3】如图所示，在平行六面体中，以顶点为端点的三条棱的长度都为1，且两两夹角为，则与夹角的余弦值为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设向量，根据向量的运算法则，求得和，且，结合向量的夹角公式，即可求解. 【解析】设向量，且， 可得， 则，所以， ， 所以， 且， 所以. 故选：B. 题型04 利用空间向量的数量积求模问题 【典例1】已知空间中非零向量，，且，，，则的值为（ ） A． B．133 C． D．61 【答案】A 【分析】利用空间向量的数量积运算、把空间向量的模转化为向量的数量积运算求解问题即可． 【解析】因为，，， 所以 故选：A． 利用公式和，可以解决求空间向量模的问题。 【变式1】如图，空间四边形中，，，，点，分别在，上，且，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先根据空间向量线性运算法则用，，表示出，再根据数量积的运算律计算可得. 【解析】解：，， ． 又，，， 所以，，， 所以 ， 所以. 故选：A． 【变式2】已知向量两两夹角为，且，则 ． 【答案】 【分析】利用空间向量数量积公式计算出，从而求出答案. 【解析】由题意可得： ， 故. 故答案为：. 【变式3】已知平行六面体，，，，，设，，； （1）试用、、表示； （2）求的长度； 【答案】（1）；（2）. 【解析】（1）根据空间向量的线性运算法则，由此能求出结果． （2）由．，，由此能求出的长度． 【解析】解：（1） ． （2）． ，， ，，设，，； ， 的长度为． 题型05 空间向量垂直的应用 【典例1】如图，设动点在棱长为的正方体的对角线上（不含端点），，当为直角时，的值是（ ）    A．2 B．1 C． D． 【答案】D 【分析】用表示，再根据它们的数量积为零可求的值. 【解析】由题设有， 故， 而， 同理，， 因为为直角，故， 故，故， 故（舍）或， 故选：D. 当直接证明线线垂直但条件不易利用时,常常考虑证明两线段所对应的向量的数量积等于零.利用向量证明垂直的一般方法是把线段转化为向量,并用已知向量表示未知向量,然后通过向量的运算以及数量积和垂直条件来完成位置关系的判定. 【变式1】已知空间中四点A，B，E，C，若，则 .（填“”“ //”或“”） 【答案】 【分析】由已知可得，再判断垂直关系. 【解析】由，得， 所以. 故答案为： 【变式2】如图，已知三棱锥的侧棱，，且两两所成的角均为60°．若空间中的点D，E满足，，则的最大值为__________ 【答案】 【分析】先利用余弦定理求出，再对已知式子化简可得，，从而可得点D，E分别在以AB，AC为直径的球面上，进而可求出的最大值. 【解析】因为，，且两两所成的角均为60°， 所以， ． 由，得， 所以， 由，得， 所以，所以， 因此点D，E分别在以AB，AC为直径的球面上，两个球的半径分别为，， 设点，分别是AB，AC的中点，则， 所以DE的最大值为， 故答案为：． 【变式3】如图，正方体的棱长是，和相交于点． (1)求； (2)判断与是否垂直． 【答案】（1）；（2）垂直 【分析】（1）根据数量积的定义直接计算即可； （2）计算与的数量积，根据结果可得答案. 【解析】（1）正方体中，， 故. （2）由题意， ， ， 故与垂直. 题型06 空间向量数量积的应用 【典例1】如图，正方体的棱长是，和相交于点． (1)求； (2)求与的夹角的余弦值； (3)判断与是否垂直． 【答案】（1）；（2）；（3）垂直 【分析】（1）利用数量积的公式可得； （2）先用表示，利用数量积运算律可得、进而利用公式可得与的夹角的余弦值. （3）利用数量积运算律得，进而可得与是否垂直． 【解析】（1）正方体中，， 故. （2）由题意知，， ， ， 故， 故. （3）由题意， ， ， 故与垂直. 空间向量数量积的应用： ①利用公式和，可以解决空间中有关距离或长度的问题； ②利用公式＝可以解决两向量夹角，特别是两异面直线夹角的问题. 【变式1】如图，在平行六面体中，，，，，，，与相交于点．        (1)求； (2)求的长． 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）根据，代入数值直接求得结果； （2）化简可得，然后采用先平方再开方的方法求解出，则的长可知. 【解析】（1）. （2）因为， 所以 ， 所以的长为. 【变式2】平行六面体中，，，为与的交点. (1)用向量表示； (2)求线段的长及向量与的夹角. 【答案】(1)；(2)，答案见解析 【分析】（1）因为为与的交点，得到，再由空间向量的线性运算，即可求解； （2）根据，结合向量的运算，求得，再由空间向量的线性运算和数量积的运算，即可求解. 【解析】（1）解：因为为与的交点，所以， 又因为， 所以. （2）解：因为 ，所以， 因为，所以 . 【变式3】如图，在六棱柱中，底面是正六边形，设，．    (1)用分别表示． (2)若，求： （ⅰ）； （ⅱ）． 【答案】（1），；（2）（i）；（ii） 【分析】（1）连接，结合空间向量的线性运算以为基底表示向量即可； （2）确定空间基底向量的模长与数量积，结合空间向量的数量积的运算性质分别求解，即可得结论. 【解析】（1）如图，连接，    因为六边形为正六边形， 所以，则， 所以，； （2）因为六边形为正六边形，所以， 又， 所以， （i） ； （ii）因为， 所以 . 题型07 投影向量的求解及其应用 【典例1】如图，在三棱锥中，平面，，，． (1)确定在平面上的投影向量，并求； (2)确定在上的投影向量，并求． 【答案】(1)在平面上的投影向量为，； (2)在上的投影向量为，. 【分析】（1）根据平面可得在平面上的投影向量，由空间向量的线性运算以及数量积的定义计算的值即可求解； （2）由投影向量的定义可得在上的投影向量，由数量积的几何意义可得的值. 【解析】（1）因为平面，所以在平面上的投影向量为， 因为平面，面，可得，所以， 因为，所以， 所以 . （2）由（1）知：，， 所以在上的投影向量为： ， 由数量积的几何意义可得：. 在空间，向量向向量投影，由于它们是自由向量，因此可以先将它们平移到同一个平面内，进而利用平面上向量的投影，得到与向量共线的向量，向量称为向量在向量上的投影向量． 【变式1】在空间四边形中，，则在上的投影向量为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】在四面体中，用向量加法法则表示，再结合投影向量的计算方法求解. 【解析】在四面体中，因为， 设，且，， 则， 在上的投影向量为. 故选：B. 【变式2】已知，空间向量为单位向量，，则空间向量在向量方向上的投影向量的模长为（ ） A．2 B． C． D． 【答案】A 【分析】由空间向量在向量方向上的投影数量为，运算即可得解. 【解析】由题意，，，， 则空间向量在向量方向上的投影数量为. 所以所求投影向量的模长为2. 故选：A. 【变式3】已知向量，满足，其中是单位向量，则在方向上的投影向量是 ． 【答案】 【分析】由，求得，再利用在上的投影向量定义求解. 【解析】∵是单位向量，∴． ∵，∴， 化简得，即， ∴在方向上的投影向量是， 故答案为：. 1．若，，为两两垂直的三个空间单位向量，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用空间向量的数量积性质即可求解. 【解析】依题意得，，； 所以， 故选：B. 2．如图，在棱长为2的正方体中，E是棱的中点，则（ ） A．4 B．5 C．6 D． 【答案】B 【分析】根据，计算可求数量积. 【解析】 . 故选：B. 3．已知平行六面体中，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用向量的线性运算法则和数量积的性质化简条件可求，结合向量夹角公式可求解. 【解析】如图： ， 所以. 故选：B． 4．如图，，分别是圆台上、下底面的两条直径，且，，是弧靠近点的三等分点，则在上的投影向量是（ ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】作出在上的投影向量，从而求得正确答案. 【解析】如图，取在下底面的投影C，作，垂足为D. 连接，，，则，在上的投影向量是. 设上底面的半径为r，则，. 故在上的投影向量是. 故选：C 5．已知球内切于正四面体，且正四面体的棱长为，线段是球的一条动直径（，是直径的两端点），点是正四面体的表面上的一个动点，则的最大值是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先算出内切球的半径，（为正四面体的棱长），然后再利用向量数量积进行运算． 【解析】解：由正四面体棱长为，其内切圆的半径为， 由题意，，是直径的两端点，可得，， 则， 当点在正四面体顶点时，最大，且最大值为， 则的最大值为， 故答案为：． 6．若空间向量满足，则在方向上投影的最大值是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设向量的夹角为，根据题意，求得，得到所以在方向上的投影为，结合基本不等式，即可求解. 【解析】因为，设向量的夹角为， 所以，可得， 解得， 所以在方向上的投影为 ，当且仅当时，即时，等号成立， 所以在方向上的投影的最大值为． 故选：C. 7.（多选）若、、是空间任意三个向量，，下列关系中，不恒成立的是（ ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】根据数量积的运算律判断A、B，根据向量数乘的运算律判断C，利用反例说明D. 【解析】对于A：，则表示与向量共线的一个向量， ，则表示与向量共线的一个向量， 故A错误； 对于B：，，故B错误； 对于C：根据向量数乘的分配律知，故C正确； 对于D：若与不共线时，不存在使得， 且当，时与共线，但是也不存在使得，故D错误； 故选：ABD 8．（多选）如图，在平行六面体中，其中以顶点A为端点的三条棱长均为6，且彼此夹角都是，下列说法中不正确的是（ ）    A． B． C．向量与夹角是 D．向量与所成角的余弦值为 【答案】CD 【分析】根据题意，利用空间向量的线性运算和数量积运算，对选项中的命题进行分析判断，能求出结果. 【解析】在平行六面体中，其中以顶点为端点的三条棱长均为6 ，且彼此夹角都是， . 对于A， ， ， A正确； 对于B， ， ，即，B正确； 对于C，连接，由题意可知是等边三角形，则， ，且向量与的夹角是， 向量与夹角是，C错误； 对于D，， ， ， ，D错误. 故选：CD 9.（多选）如图，正八面体棱长为1，M为线段上的动点（包括端点），则（ ） A． B．的最小值为 C．当时，AM与BC的夹角为 D． 【答案】BC 【分析】根据体积公式即可求解A，根据平面中两点距离最小即可求解B，根据线线垂直可得线面垂直，进而求解C，根据数量积的运算律即可求解D. 【解析】对于A,连接相交于，故 ，，A错误； 对于B，因与均是边长为1的正三角形，故可将沿翻折， 使其与共面，得到菱形，则，B正确； 对于C，由且,平面, 故平面，平面，， 若，平面,则平面， 故，知M与C重合，AM与BC的夹角为，C正确； 对于D，，， 由于平面，故平面， 平面，故 （与的夹角为钝角），D错误． 故选：BC. 10．如图所示，已知平面，则 ．    【答案】12 【分析】首先表示向量，平方后，利用数量积公式，即可求解. 【解析】， , 因为平面，平面， 所以，， 所以， 则. 故答案为： 11．如图，在棱长为的正四面体中，分别为棱的中点，则 ．    【答案】/ 【分析】根据向量线性运算，将转化为，根据向量数量积的定义和运算律可求得结果. 【解析】. 故答案为：. 12．已知正四面体的棱长为4，空间内动点满足，则的最大值为 . 【答案】 【分析】利用空间向量的线性运算得到轨迹，再把目标式表示为函数，利用三角函数有界性求解即可. 【解析】   设的中点为，因为动点满足，所以， 即点在以为球心，以为半径的球面上. 因为，所以. 因为正四面体的棱长为4，所以， 在三角形中，，. 取的中点为，， 所以在上的投影向量的模为，所以. 设，夹角为， 所以. 因为， 所以，即的最大值为. 故答案为： 13．如图，在棱长为1的正方体中，G、H分别是侧面和的中心．设，，． (1)用向量、、表示、； (2)求； (3)判断与是否垂直． 【答案】(1)，；(2)；(3)垂直 【分析】根据向量的线性运算法则和向量的数量积的运算公式，准确运算，即可求解. 【解析】（1）解：根据空间向量的运算法则，可得， . （2）解：根据空间向量的运算法则和数量积的运算公式，可得， 则. （3）解：根据空间向量的运算法则，可得； 则， 所以与垂直． 14．如图，在三棱锥中，，，两两垂直，且，为的中点. (1)证明：；（用向量方法证明） (2)求直线与所成角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析；（2） 【分析】（1）根据空间向量的线性运算易得，，进而结合空间向量的数量积计算即可； （2）利用空间向量的数量积的定义求解即可. 【解析】（1）证明：由题意，因为，， 所以 ， 所以，即. （2）由（1）知，， 所以 ， 又， 所以， 即直线与所成角的余弦值为. 2 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题6.2 空间向量的数量积运算 教学目标 1. 掌握空间向量的夹角的概念，空间向量的数量积的概念、性质和运算律． 2. 掌握投影向量的概念，理解向量在向量上的投影向量、向量在平面上的投影向量． 3.在向量的数量积由平面向空间推广的过程中，提升逻辑推理素养；在空间向量的数量积运算过程中，提升数学运算素养． 教学重难点 1.重点 空间向量的数量积的概念、性质和运算律，投影向量的概念； 2.难点 空间向量的数量积的运用. 知识点01 空间向量的夹角与数量积 空间向量的数量积 类比平面向量，探究空间向量的夹角、数量积的概念及运算律． (1) 空间向量的夹角： ①定义：已知两个非零向量a，b，过空间任意一点O，作＝a，＝b，则∠AOB叫作向量a与向量b的夹角，记作〈a，b〉． 　　　　 ②范围：0≤〈a，b〉≤π. 特别提醒：当〈a，b〉＝0时，a与b同向；当〈a，b〉＝π时，a与b反向；当〈a，b〉＝时，a与b互相垂直，记作a⊥b. (2) 空间向量的数量积及运算律： ①定义：设a，b是空间两个非零向量，我们把数量|a||b|cos 〈a，b〉叫作向量a，b的数量积，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos 〈a，b〉． 规定：零向量与任一向量的数量积为0. ②数量积的运算律 交换律 数乘向量与 数量积的结合律 分配律 （3）空间向量夹角的计算 求两个向量的夹角：利用公式＝求，进而确定． 【即学即练】 1．（多选）下列各命题中，正确的命题的个数为（ ） A. B. C. D.． 2．在棱长为2的正方体中，（ ） A． B． C．2 D．4 知识点02 向量的投影 1．向量的投影 (1)如图(1)，在空间，向量a向向量b投影，由于它们是自由向量，因此可以先将它们平移到同一个平面α内，进而利用平面上向量的投影，得到与向量b共线的向量c，c＝|a|cos，向量c称为向量a在向量b上的投影向量．类似地，可以将向量a向直线l投影(如图(2))． (2)如图(3)，向量a向平面β投影，就是分别由向量a的起点A和终点B作平面β的垂线，垂足分别为，得到，向量称为向量a在平面β上的投影向量．这时，向量a，的夹角就是向量a所在直线与平面β所成的角． 【即学即练】 1．已知向量满足，，且，则向量在向量上的投影向量为（ ） A． B． C． D． 2．已知，空间向量为单位向量，，则空间向量在向量方向上投影的模为 ． 题型01 空间向量数量积的概念辨析 【典例1】对任意的空间向量，下列说法正确的是（ ） A．若，，则 B． C． D．若，则 (1)向量a，b的数量积记为a·b，而不能表示为a×b或者ab. (2)向量的数量积的结果为实数，而不是向量，它可以是正数、负数或零，其符号由夹角θ的范围决定． ①当θ为锐角时，a·b>0；但当a·b>0时，θ不一定为锐角，因为θ也可能为0. ②当θ为钝角时，a·b<0；但当a·b<0时，θ不一定为钝角，因为θ也可能为π. (3)空间向量的数量积运算不满足消去律和结合律．即a·b＝a·c⇒b＝c，(a·b)·c＝a·(b·c)都不成立． 【变式1】对于任意空间向量，，，下列说法正确的是（ ） A．若且，则 B． C．若，且，则 D． 【变式2】（多选）设，，都是非零空间向量，则下列等式正确的是（ ） A． B． C． D． 【变式3】（多选）设、为空间中的任意两个非零向量，下列各式中正确的有（ ） A． B． C． D． 题型02 空间向量数量积的运算 【典例1】在正三棱锥中，是的中心，，则等于（ ） A． B． C． D． 求空间向量数量积的步骤： ①将各向量分解成已知模和夹角的向量的组合形式． ②利用向量的运算律将数量积展开，转化为已知模和夹角的向量的数量积． ③代入求解． 【变式1】已知正四面体的棱长为1，如图所示,则 A．1 B． C．2 D． 【变式2】在正四面体中，棱长为2，且E是棱中点，则的值为（ ） A． B． C． D． 【变式3】（多选）已知长方体，下列向量的数量积可以为0的是（ ） A． B． C． D． 【变式4】已知是空间中的三个单位向量，若，则的最大值为__________- 【变式5】已知正四面体的棱长为1，如图所示.若E，F分别是，的中点，求： (1)； (2)； (3). 题型03 利用空间向量的数量积求角度问题 【典例1】已知空间向量，的夹角为，且，，则与的夹角是（ ） A． B． C． D． 求两个向量的夹角：利用公式＝求，进而确定 注：(1)只有两个非零空间向量才有夹角，当两个非零空间向量共线同向时，夹角为0，共线反向时，夹角为π. 对空间任意两个非零向量a，b有：①〈a，b〉＝〈b，a〉；②〈－a，b〉＝〈a，－b〉＝π－〈a，b〉；③〈－a，－b〉＝〈a，b〉 【变式1】已知空间向量，，满足，，且，则与的夹角大小为（ ） A．30° B．60° C．120° D．150° 【变式2】如图，在正三棱柱中，若，则与所成角的大小为（ ） A．60° B．90° C．105° D．75° 【变式3】如图所示，在平行六面体中，以顶点为端点的三条棱的长度都为1，且两两夹角为，则与夹角的余弦值为（ ） A． B． C． D． 题型04 利用空间向量的数量积求模问题 【典例1】已知空间中非零向量，，且，，，则的值为（ ） A． B．133 C． D．61 利用公式和，可以解决求空间向量模的问题。 【变式1】如图，空间四边形中，，，，点，分别在，上，且，，则（ ） A． B． C． D． 【变式2】已知向量两两夹角为，且，则 ． 【变式3】已知平行六面体，，，，，设，，； （1）试用、、表示； （2）求的长度； 题型05 空间向量垂直的应用 【典例1】如图，设动点在棱长为的正方体的对角线上（不含端点），，当为直角时，的值是（ ）    A．2 B．1 C． D． 当直接证明线线垂直但条件不易利用时,常常考虑证明两线段所对应的向量的数量积等于零.利用向量证明垂直的一般方法是把线段转化为向量,并用已知向量表示未知向量,然后通过向量的运算以及数量积和垂直条件来完成位置关系的判定. 【变式1】已知空间中四点A，B，E，C，若，则__________.（填“”“ //”或“”） 【变式2】如图，已知三棱锥的侧棱，，且两两所成的角均为60°．若空间中的点D，E满足，，则的最大值为__________ 【变式3】如图，正方体的棱长是，和相交于点． (1)求； (2)判断与是否垂直． 题型06 空间向量数量积的应用 【典例1】如图，正方体的棱长是，和相交于点． (1)求； (2)求与的夹角的余弦值； (3)判断与是否垂直． 空间向量数量积的应用： ①利用公式和，可以解决空间中有关距离或长度的问题； ②利用公式＝可以解决两向量夹角，特别是两异面直线夹角的问题. 【变式1】如图，在平行六面体中，，，，，，，与相交于点．        (1)求； (2)求的长． 【变式2】平行六面体中，，，为与的交点. (1)用向量表示； (2)求线段的长及向量与的夹角. 【变式3】如图，在六棱柱中，底面是正六边形，设，．    (1)用分别表示． (2)若，求： （ⅰ）； （ⅱ）． 题型07 投影向量的求解及其应用 【典例1】如图，在三棱锥中，平面，，，． (1)确定在平面上的投影向量，并求； (2)确定在上的投影向量，并求． 在空间，向量向向量投影，由于它们是自由向量，因此可以先将它们平移到同一个平面内，进而利用平面上向量的投影，得到与向量共线的向量，向量称为向量在向量上的投影向量． 【变式1】在空间四边形中，，则在上的投影向量为（ ） A． B． C． D． 【变式2】已知，空间向量为单位向量，，则空间向量在向量方向上的投影向量的模长为（ ） A．2 B． C． D． 【变式3】已知向量，满足，其中是单位向量，则在方向上的投影向量是 ． 1．若，，为两两垂直的三个空间单位向量，则（ ） A． B． C． D． 2．如图，在棱长为2的正方体中，E是棱的中点，则（ ） A．4 B．5 C．6 D． 3．已知平行六面体中，则（ ） A． B． C． D． 4．如图，，分别是圆台上、下底面的两条直径，且，，是弧靠近点的三等分点，则在上的投影向量是（ ）    A． B． C． D． 5．已知球内切于正四面体，且正四面体的棱长为，线段是球的一条动直径（，是直径的两端点），点是正四面体的表面上的一个动点，则的最大值是（ ） A． B． C． D． 6．若空间向量满足，则在方向上投影的最大值是（ ） A． B． C． D． 7.（多选）若、、是空间任意三个向量，，下列关系中，不恒成立的是（ ） A． B． C． D． 8．（多选）如图，在平行六面体中，其中以顶点A为端点的三条棱长均为6，且彼此夹角都是，下列说法中不正确的是（ ）    A． B． C．向量与夹角是 D．向量与所成角的余弦值为 9.（多选）如图，正八面体棱长为1，M为线段上的动点（包括端点），则（ ） A． B．的最小值为 C．当时，AM与BC的夹角为 D． 10．如图所示，已知平面，则 ．    11．如图，在棱长为的正四面体中，分别为棱的中点，则 ．    12．已知正四面体的棱长为4，空间内动点满足，则的最大值为 . 13．如图，在棱长为1的正方体中，G、H分别是侧面和的中心．设，，． (1)用向量、、表示、； (2)求； (3)判断与是否垂直． 14．如图，在三棱锥中，，，两两垂直，且，为的中点. (1)证明：；（用向量方法证明） (2)求直线与所成角的余弦值. 2 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $