重难点01 三角形的全等与相似（复习讲义）（江苏专用）2026年中考数学一轮复习讲练测

该初中数学中考复习讲义聚焦三角形全等与相似及特殊三角形（直角、等腰）等核心考点，按“性质判定-题型分类-典例变式”架构梳理知识，通过考点表格化梳理、解题方法归纳、中考真题精讲等环节，帮助学生系统突破证明推理、计算应用等难点，体现复习的系统性和针对性。 亮点在于以核心素养为导向，如通过“正方形中全等证明线段相等”典例培养推理意识，结合勾股定理解决折叠问题发展几何直观。设置“深挖重难-分层锤炼”双模块，真题变式与分层练习结合，助力教师精准把控复习节奏，高效提升学生综合解题与应考能力。

第四章 三角形 重难点01 三角形的全等与相似 目 录 01 深挖重难·固根基 1 02 分层锤炼·验成效 18 重难点一 全等三角形 1.全等三角形的性质：（下表图中AM,AM’为中线，AD,AD’为角平分线，AH,AH’为高） 文字语言 图形语言 符号语言 全等三角形的对应边相等，对应角相等； 全等三角形的周长相等， 面积相等； 全等三角形对应的中线、高线、角平分线都相等． 2.全等三角形的判定方法 文字语言 图形语言 符号语言 简记 有三边对应相等的两个三角形全等 SSS 有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等 SAS 有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等． ASA 有两角和它们所对的任意一边对应相等的两个三角形全等 AAS 有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等 HL 题型01利用全等证明线段关系 / 【典例】（2025·陕西·中考真题）如图，在正方形中，点，分别在边，上，且．求证：． 【变式】 1．（2025·陕西·中考真题）如图，点是的边延长线上一点，，，．求证：． 2．（2025·福建·中考真题）如图，点E，F分别在的延长线上，．求证：． 题型02利用全等证明角的关系 / 【典例】（2025·山东淄博·中考真题）已知：如图：在中，，分别为边，的中点，．求证： (1)； (2)． 【变式】 1．（2025·江苏无锡·中考真题）如图，在矩形中，点在延长线上，点在延长线上，且，连接、． 求证： (1)； (2)． 2．（2025·陕西渭南·一模）如图，在正方形中，点E、F分别是边、的中点，连接、．求证：． 重难点二 直角三角形 1.直角三角形的定义、性质 1. 直角三角形的定义：有一个角是直角的三角形叫做直角三角形． 2. 直角三角形的性质： 性质1：（边关系）勾股定理：（如图①） 性质2：（角关系）直角三角形两锐角互余： 3.直角三角形的判定方法： 方法1：通过计算证明一个角为90°； 方法2：证明三角形中有两个角的和互余； 方法3：勾股定理的逆定理； 如果三角形的三条边a、b、c有关系：a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形。 题型01 直角三角形的斜边中线性质 / 【典例】（2025·黑龙江哈尔滨·中考真题）如图，中，，点为的中点，以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点，，分别以点，为圆心，大于的长的一半为半径画弧，两弧交于点，画射线交于点，连接，则的长是（   ） A．5 B． C．8 D． 【变式】 1．（2025·四川巴中·中考真题）在中，，，D为中点，点E在线段上，满足，连接并延长交于点F，当面积最大时，线段等于（   ） A． B．2 C．2 D．4 2．（2025·江苏镇江·中考真题）如图，在等腰直角三角形中，，，是的中点，是边上的动点，作，交于点，延长到点，使得．当面积最大时，的长等于 ． 题型02 勾股定理解决折叠问题 / 【典例】（2025·江苏苏州·中考真题）如图，在正方形中，E为边的中点，连接，将沿翻折，得到，连接，则下列结论不正确的是（   ） A． B． C．的面积的面积 D．四边形的面积的面积 【变式】 1．（2025·江苏苏州·二模）如图，在中，，，，点在线段上，且，是线段上的一点，连接，将四边形沿直线翻折，得到四边形，当点恰好落在线段上时， ． 2．（2025·江苏扬州·二模）如图，为矩形的对角线，将边沿折叠，使点落在上的点处，将边沿折叠，使点落在上的点处． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，求四边形的面积． 题型03 勾股定理的应用 / 【典例】（2025·江苏宿迁·模拟预测）如图，用3个棱长为1的正方体搭成一个几何体，沿着该几何体的表面从点到点的所有路径中，最短路径的长是 ． 【变式】 1．（2025·江苏镇江·中考真题）小方根据我国古代数学著作《九章算术》中的一道“折竹”问题改编了一个情境：如图，一根竹子原来高1丈（1丈尺），折断后顶端触到墙上距地面9尺的点处，墙脚离竹根处3尺远．请你解答：折断处离地面多高？ 2．（2025·江苏南京·一模）如图，A，B分别是棱长为1的正方体两个相邻的面的中心．将这个正方体的表面展开成平面图形后，点A，B之间的最大距离是 ． 重难点三 等腰三角形 1. 等腰三角形的定义 文字语言：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形。 符号语言：AB=AC,则△ABC叫做等腰三角形 2. 等腰三角形的性质 性质1：等腰三角形的两腰相等。 性质2：等腰三角形的两个底角相等（简称：等边对等角）。 ∵AB=AC,∴∠B=∠C 性质3：等腰三角形顶角平分线平分底边并且垂直于底边，即等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高重合．（简称：三线合一） 符号语言：（三种不同形式） 形式① 形式② 形式③ ∵AB=AC,∠BAD=∠CAD ∴BD=CD,AD⊥BC ∵AB=AC, BD=CD ∴∠BAD=∠CAD,AD⊥BC ∵AB=AC, AD⊥BC ∴BD=CD, ∠BAD=∠CAD 性质4：等腰三角形是轴对称图形，对称轴是顶角平分线所在直线． 3．等腰三角形的两个判定方法 方法1：有两条边相等的三角形是等腰三角形（定义）。 符号语言：∵AB=AC,∴△ABC是等腰三角形 方法2：有两个角相等的三角形是等腰三角形。（简称：等角对等边） 符号语言：∵∠B=∠C ,∴△ABC是等腰三角形 题型01 等腰三角形的概念 / 【典例】（2025·江苏南京·中考真题）若等腰三角形的周长为12，则它的腰长可以是 ．（写出一个即可） 【变式】 1．（2025·江苏淮安·中考真题）若等腰三角形的一个底角为，则它的顶角的度数是 ． 2．（2025·江苏宿迁·中考真题）等腰三角形的两边长分别为和，则该等腰三角形的周长为 ． 题型02 等腰三角形的性质与判定 / 【典例】（2025·江苏淮安·一模）如图，已知点E是矩形内一点，，求证：． 【变式】 1．（2024·江苏常州·中考真题）如图，B、E、C、F是直线l上的四点，相交于点G，，，． (1)求证：是等腰三角形； (2)连接，则与l的位置关系是________． 2．（2024·江苏南通·中考真题）综合与实践：九年级某学习小组围绕“三角形的角平分线”开展主题学习活动． 【特例探究】 （1）如图①，②，③是三个等腰三角形（相关条件见图中标注），列表分析两腰之和与两腰之积． 等腰三角形两腰之和与两腰之积分析表 图序 角平分线的长 的度数 腰长 两腰之和 两腰之积 图① 1 2 4 4 图② 1 2 图③ 1 ______ ______ ______ 请补全表格中数据，并完成以下猜想． 已知的角平分线，，，用含的等式写出两腰之和与两腰之积之间的数量关系：______． 【变式思考】 （2）已知的角平分线，，用等式写出两边之和与两边之积之间的数量关系，并证明． 【拓展运用】 （3）如图④，中，，点D在边上，．以点C为圆心，长为半径作弧与线段相交于点E，过点E作任意直线与边，分别交于M，N两点．请补全图形，并分析的值是否变化？ 重难点四 相似三角形 1．相似三角形定义：对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形，相似三角形对应边的比叫做相似比． 2．相似三角形性质： （1）相似三角形的对应角相等，对应边成比例； （2）相似三角形的对应线段（高、中线、角平分线）成比例； （3）相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方． 3．相似三角形判定方法： （1）有两角对应相等，两三角形相似； （2）两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似； （3）三边对应成比例，两三角形相似； （4）平行线分线段成比例推论． 题型01 相似三角形的性质与判定 / 【典例】（2025·江苏南通·中考真题）如图，矩形中，对角线相交于点．是的中点，交于点． (1)求证：； (2)设的角平分线交于点． ①当时，求点到的距离； ②若，作直线分别交于两点，求的值． 【变式】 1．（2025·江苏盐城·模拟预测）如图，在中，，，以为直径的交于点D，，垂足为E，的延长线交于点F． (1)求的值 (2)求证： (3)若，则 2．（2025·江苏无锡·模拟预测）在矩形中，，点是射线上异于两点的一个动点，连接，过点作于点，交射线于点． (1)如图，点在线段上， ①求证：； ②连接，设四边形的面积为，在点运动的过程中，均有成立，求的最小值． (2)在点运动的过程中，是否存在使四点构成的四边形为轴对称图形，若存在，求出相应的长；若不存在，请说明理由． 题型02 相似三角形的应用 / 【典例】（2025·江苏南京·二模）如图，夜晚，小亮从点A朝着路灯P的正下方沿直线走到点B． (1)若他在点A处的影长为，他的身高为，路灯高P距离地面的高度为，求此时他到路灯的水平距离； (2)已知他在点A，B处的影长之差为，他的身高为，求路灯P离地面的高度（用含b，h的式子表示）． 【变式】 1．（2025·江苏苏州·一模）综合与实践：古井探秘． 【了解】 在中国传统文化中，人们常以“井”寓意家乡．在江南水乡的苏州，水井更是独特的文化符号．图①是苏州平江区居民老宅的水井，该井的内部为圆柱体形状，图②是该井的侧面示意图，其中为井口直径，，为水面直径，且．为经水面所成的虚像（与关于对称），点P为观测点，，分别与相交于点M，N． 【发现】 如图②，当观测点P在上自由移动时，的长度是否会发生改变？如果不变，求出的长；如果改变，请说明理由； 【探索】 图③是当观测点P在井口的上方处（即图④中的）时，拍摄的一张照片．量得照片中的水面直径，井口的倒影直径．请你利用示意图④，求出井口到水面距离AC的长． 2．（2025·江苏南京·一模）身高的小明在步道上散步，步道旁竖立着一盏路灯，其光源N到地面的距离为． (1)如图（1），步道为直线型（记为直线）． ①当小明步行到点A处时，路灯光线与地面的夹角（）以及影子和步道的夹角（）均为，则影子顶端（点B）到步道的距离（）为 ； ②在小明散步过程中，试说明影子顶端到步道的距离不变． (2)如图（2），步道为圆型（记为），其半径为．小明在步道上散步一周，直接写出影子顶端D运动的路径长． 1．（2025·江苏无锡·模拟预测）如图，在中，，平分，过点B作，垂足为点D，连接，若，，则的面积为（　　） A．1.4 B．2 C．0.6 D．1 2．（2025·江苏连云港·中考真题）如图，在中，，的垂直平分线分别交、于点D、E，的垂直平分线分别交、于点F、G，则的周长为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 3．（2025·江苏常州·一模）如图，中，，，点是中点，点在上且，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，则的长为（　　） A． B． C． D． 4．（2025·江苏苏州·二模）如图，四边形是矩形，过点的直线分别与，的延长线交于点，，且，点，分别在，上，且，连接，，则下列四个结论：①；②；③；④，其中正确的是（   ） A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．①②③④ 5．（2025·江苏镇江·一模）如图，在中，，平分，，垂足为D，交于点E．若，则的长为（　　） A．6 B． C．7 D． 6．（2025·江苏常州·三模）如图，在等腰中，直角边，D为的中点，E为边上的动点，交于点F，M为的中点，当点E从点B运动到点A时，点M所经过的路线长为（   ） A． B． C． D． 7．（2025·江苏苏州·二模）如图，在矩形中，点E，F分别是边的中点，连接，点M，N分别是的中点，连接，若，则MN的长度为（　　） A． B． C． D． 8．（2025·江苏南京·三模）如图，在等边中，点，分别是边、上的动点，且以为边作等边，使点与点在直线同侧，交于点，交于点给出下面四个结论： ； ； 若，则； 若则四边形是菱形． 上述结论中．所有正确结论的序号是（    ） A． B． C． D． 9．（2025·江苏常州·模拟预测）如图，点A、D、C、F在同一条直线上，，，． (1)求证：； (2)求证：． 10．（2025·吉林长春·一模）如图，在中，，，，为的中点．动点在边上，过点作的垂线交折线于点．以为邻边构造矩形． (1)的长为___________，的长为___________； (2)当点落在上时，证明； (3)当点落在的边上时，用圆规和无刻度的直尺在备用图中作出矩形（保留作图痕迹），并求此时的长； (4)沿直线将矩形剪开，得到两个图形，用这两个图形拼成不重叠且无缝隙的图形恰好是三角形．请直接写出所有符合条件的的长． 1．（2025·江苏苏州·模拟预测）如图1，在中，，，点D，E均在边上（点D在点E的左侧），且． (1)如图1，将绕点A逆时针旋转得到，连接，求证：； (2)如图2，若，求证：； (3)如图3，若，，求线段的长度． 2．（2025·江苏苏州·二模）在中，，，点是上一个动点（点不与，重合），以点为旋转中心，将线段顺时针旋转得到线段． (1)如图1，求的度数； (2)如图2，连接，当时，的大小是否发生变化？如果不变，求的度数：如果变化，请说明理由； (3)如图3，点是上的中点，以点为旋转中心，将线段逆时针转得到线段，连接，若，求线段的取值范围． 3．（2025·江苏无锡·中考真题）某校数学研究性学习小组为测量物体的高度，开展了如下综合与实践活动． 【活动主题】测量物体的高度 【测量工具】卷尺、标杆 【活动过程】 活动1：测量校内旗杆的高度 该小组在校内进行了旗杆高度的测量活动（示意图1）．在点处竖立标杆，直立在点处的小军从点处看到标杆顶、旗杆顶在同一条直线上．已知旗杆底端与、在同一条直线上，，． （1）求旗杆的高度． 活动2：测量南禅寺妙光塔的高度 南禅寺妙光塔，简称“妙光塔”，始建于北宋雍熙年间，是无锡著名的文物保护单位之一、该小组为全面了解本土历史文物，决定走出校园去测量妙光塔的高度．他们到达妙光塔后，发现塔顶和塔底中心均无法到达．经研究，设计并实施了如下测量活动（示意图2）．在地面一条水平步道上的点处竖立标杆，直立在点处的小军从点处看到标杆顶、塔顶在同一条直线上．小军沿的方向走到点处，此时标杆竖立于处，从点处看到标杆顶、塔顶在同一条直线上．已知、和在同一平面内，点在同一条直线上，，． （2）求妙光塔的高度． 22 / 22 学科网（北京）股份有限公司 $ 第四章 三角形 重难点01 三角形的全等与相似 目 录 01 深挖重难·固根基 1 02 分层锤炼·验成效 18 重难点一 全等三角形 1.全等三角形的性质：（下表图中AM,AM’为中线，AD,AD’为角平分线，AH,AH’为高） 文字语言 图形语言 符号语言 全等三角形的对应边相等，对应角相等； 全等三角形的周长相等， 面积相等； 全等三角形对应的中线、高线、角平分线都相等． 2.全等三角形的判定方法 文字语言 图形语言 符号语言 简记 有三边对应相等的两个三角形全等 SSS 有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等 SAS 有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等． ASA 有两角和它们所对的任意一边对应相等的两个三角形全等 AAS 有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等 HL 题型01利用全等证明线段关系 / 【典例】（2025·陕西·中考真题）如图，在正方形中，点，分别在边，上，且．求证：． 【答案】证明见解析 【分析】本题考查正方形的性质和全等三角形的判定与性质，运用全等转化思想．解题关键是利用正方形的边和角的性质证明三角形全等，进而通过线段的和差关系推导结论；易错点是对正方形性质理解不全面，或全等三角形的对应关系判断错误． 先根据正方形性质得出，，结合已知，证明，得到．再由正方形中，通过，推出． 【详解】证明：四边形是正方形， ． ， ， ， ，即． 【变式】 1．（2025·陕西·中考真题）如图，点是的边延长线上一点，，，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 先根据平行得到，再证明即可． 【详解】证明：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴． 2．（2025·福建·中考真题）如图，点E，F分别在的延长线上，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质、补角的性质等基础知识，考查推理能力、几何直观等．先证明，证明，即可得出结论． 【详解】证明：， ． 在和中， ， ， ． 题型02利用全等证明角的关系 / 【典例】（2025·山东淄博·中考真题）已知：如图：在中，，分别为边，的中点，．求证： (1)； (2)． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查三角形的中位线，全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质； （1）证明是的中位线，即可得到，进而得到，然后利用证明三角形全等； （2）根据全等三角形的对应角相等得到，即可得到，进而证明四边形是平行四边形，根据平行四边形的对角相等得到结论即可． 【详解】（1）证明：∵，分别为边，的中点， ∴是的中位线，， ∴， ∴， 又∵， ∴； （2）证明：∵， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∴． 【变式】 1．（2025·江苏无锡·中考真题）如图，在矩形中，点在延长线上，点在延长线上，且，连接、． 求证： (1)； (2)． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查矩形的性质，全等三角形的判定和性质： （1） 结合矩形的性质，根据“边角边”证明； （2）根据全等三角形的对应边相等得，结合，可得． 【详解】（1）证明：四边形是矩形， ，， ， 在和中， ， ； （2）证明：， ， 又， ， ． 2．（2025·陕西渭南·一模）如图，在正方形中，点E、F分别是边、的中点，连接、．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质，要证明，只要证明即可． 【详解】证明：四边形是正方形， ，， 点E、F分别是边、的中点， ． 在和中， ，，， ， ． 重难点二 直角三角形 1.直角三角形的定义、性质 1. 直角三角形的定义：有一个角是直角的三角形叫做直角三角形． 2. 直角三角形的性质： 性质1：（边关系）勾股定理：（如图①） 性质2：（角关系）直角三角形两锐角互余： 3.直角三角形的判定方法： 方法1：通过计算证明一个角为90°； 方法2：证明三角形中有两个角的和互余； 方法3：勾股定理的逆定理； 如果三角形的三条边a、b、c有关系：a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形。 题型01 直角三角形的斜边中线性质 / 【典例】（2025·黑龙江哈尔滨·中考真题）如图，中，，点为的中点，以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点，，分别以点，为圆心，大于的长的一半为半径画弧，两弧交于点，画射线交于点，连接，则的长是（   ） A．5 B． C．8 D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了尺规作图-角平分线，等腰三角形的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半等知识点，熟练掌握以上知识点并能灵活运用是解决此题的关键．由作图可得平分，由得，再由点为的中点得，进而即可得解． 【详解】解：由作图知，平分， ∵， ∴， ∵点为的中点， ∴， 故选：A． 【变式】 1．（2025·四川巴中·中考真题）在中，，，D为中点，点E在线段上，满足，连接并延长交于点F，当面积最大时，线段等于（   ） A． B．2 C．2 D．4 【答案】B 【分析】延长至点，使，证明，进而推出，即可得到点是的中点，再根据直角三角形的性质可知点在以点为圆心，为半径的圆上，当时，取的最大值，即此时面积最大，然后根据弧、弦、圆心角的关系可知，最后利用勾股定理即可解答． 【详解】解：如图，延长至点，使， D为中点， ， ， ， ， ， ， ， ，， ∴，即， ， 点是的中点， ，D为中点， ， 点在以点为圆心，为半径的圆上，如图， 当时，边上的高取的最大值，即此时面积最大， ， ，即为等腰直角三角形， ∵，， ， ． 故选：B． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，直角三角形的性质，弧、弦、圆心角的关系，勾股定理等知识点，正确作出辅助线是解题的关键． 2．（2025·江苏镇江·中考真题）如图，在等腰直角三角形中，，，是的中点，是边上的动点，作，交于点，延长到点，使得．当面积最大时，的长等于 ． 【答案】2 【分析】连接，取的中点，连接并延长交于点，证明，得到，证明，得到，，进而得到，推出为等腰直角三角形，求出，设，则：，，根据面积，转化为二次函数求最值即可． 【详解】解：连接，取的中点，连接并延长交于点， ∵，，是的中点， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵为的中点． ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴，， ∴，即：， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， 设，则：，， ∴， ∴面积， ∴当时，面积的面积最大； 此时； 故答案为：2． 题型02 勾股定理解决折叠问题 / 【典例】（2025·江苏苏州·中考真题）如图，在正方形中，E为边的中点，连接，将沿翻折，得到，连接，则下列结论不正确的是（   ） A． B． C．的面积的面积 D．四边形的面积的面积 【答案】D 【分析】本题考查了正方形与折叠问题，相似三角形的判定和性质，勾股定理等．过点作，分别交、于点、，由折叠的性质得，求得，推出，由是的外角，可求得，即可判断选项A；设，，则，，证明，利用相似三角形的性质列式求得，求得，，，再根据勾股定理和三角形面积公式求得即可判断其余选项． 【详解】解：过点作，分别交、于点、， 由折叠的性质得，， ∵E为边的中点， ∴， ∴， ∴， ∵是的外角， ∴， ∴， ∴，故选项A正确，不符合题意； ∵正方形， ∴，， 设， ∵E为边的中点， ∴， 由折叠的性质得，，， ∵， ∴四边形和为矩形， ∴，， 设，则，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， 解得， ∴，，， ∴，， ∴，故选项B正确，不符合题意； ∵的面积，的面积， ∴的面积的面积，故选项C正确，不符合题意； ∵四边形的面积等于的面积的面积， 的面积， ∴四边形的面积的面积，故选项D不正确，符合题意； 故选：D． 【变式】 1．（2025·江苏苏州·二模）如图，在中，，，，点在线段上，且，是线段上的一点，连接，将四边形沿直线翻折，得到四边形，当点恰好落在线段上时， ． 【答案】 【分析】作交于点，有折叠性质得到，，后，再由勾股定理求出，结合、求出、，由勾股定理求出后，根据即可得解． 【详解】解：作交于点， 由折叠性质 可得，，， ， ， ， 即， ， ， 即，， 中，， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查的知识点是折叠性质、勾股定理解直角三角形、解直角三角形的相关计算，解题关键是熟练掌握解直角三角形的相关计算． 2．（2025·江苏扬州·二模）如图，为矩形的对角线，将边沿折叠，使点落在上的点处，将边沿折叠，使点落在上的点处． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，求四边形的面积． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】本题主要考查矩形的性质、平行四边形的判定、折叠的性质及勾股定理，熟练掌握矩形的性质、平行四边形的判定、折叠的性质及勾股定理是解题的关键； （1）由题意易得，由折叠的性质可知：，然后可得，进而问题可求证； （2）由题意易得，由折叠的性质可知：，设，则有，然后根据勾股定理可进行求解． 【详解】（1）证明：∵四边形是矩形， ∴， ∴， 由折叠的性质可知：， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形； （2）解：在矩形中，，， ∴， 由折叠的性质可知：， 设，则有， ∴在中，由勾股定理可得：， 解得：， ∴， ∴． 题型03 勾股定理的应用 / 【典例】（2025·江苏宿迁·模拟预测）如图，用3个棱长为1的正方体搭成一个几何体，沿着该几何体的表面从点到点的所有路径中，最短路径的长是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了两点之间线段最短，以及勾股定理，正确画出侧面展开图，确定两点之间线段最短是解题的关键． 先画出侧面展开图，根据两点之间践段最短，利用勾股定理求出线段的长即可． 【详解】解：向正表面展开，如图， ∴最短路径的长是， 向左表面展开，如图， ∴最短路径的长是， 向上表面展开，如图， ∴最短路径的长是， ∵， ∴最短路径的长是， 故答案为：． 【变式】 1．（2025·江苏镇江·中考真题）小方根据我国古代数学著作《九章算术》中的一道“折竹”问题改编了一个情境：如图，一根竹子原来高1丈（1丈尺），折断后顶端触到墙上距地面9尺的点处，墙脚离竹根处3尺远．请你解答：折断处离地面多高？ 【答案】5尺 【分析】本题考查了矩形的判定与性质、勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理的应用是解题关键．过点作于点，先证出四边形是矩形，则可得尺，，再设尺，则尺，尺，在中，利用勾股定理求解即可得． 【详解】解：如图，过点作于点， 由题意得：，尺，尺，尺， ∴四边形是矩形， ∴尺，， 设尺，则尺，尺， 在中，由勾股定理得：，即， 解得， 即尺， 答：折断处离地面5尺． 2．（2025·江苏南京·一模）如图，A，B分别是棱长为1的正方体两个相邻的面的中心．将这个正方体的表面展开成平面图形后，点A，B之间的最大距离是 ． 【答案】 【分析】该题考查了勾股定理和正方体展开图，根据题意和正方体的11种表面展开图的特征得出要使点A，B之间的最大距离则时则点A，B最远，结合题意画出展开图求解即可． 【详解】解：根据点A，B的位置关系和正方体的表面展开图可得：当点A，B的位置在如图所示位置时，点A，B之间的最大距离， 点A，B之间的最大距离， 故答案为：． 重难点三 等腰三角形 1. 等腰三角形的定义 文字语言：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形。 符号语言：AB=AC,则△ABC叫做等腰三角形 2. 等腰三角形的性质 性质1：等腰三角形的两腰相等。 性质2：等腰三角形的两个底角相等（简称：等边对等角）。 ∵AB=AC,∴∠B=∠C 性质3：等腰三角形顶角平分线平分底边并且垂直于底边，即等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高重合．（简称：三线合一） 符号语言：（三种不同形式） 形式① 形式② 形式③ ∵AB=AC,∠BAD=∠CAD ∴BD=CD,AD⊥BC ∵AB=AC, BD=CD ∴∠BAD=∠CAD,AD⊥BC ∵AB=AC, AD⊥BC ∴BD=CD, ∠BAD=∠CAD 性质4：等腰三角形是轴对称图形，对称轴是顶角平分线所在直线． 3．等腰三角形的两个判定方法 方法1：有两条边相等的三角形是等腰三角形（定义）。 符号语言：∵AB=AC,∴△ABC是等腰三角形 方法2：有两个角相等的三角形是等腰三角形。（简称：等角对等边） 符号语言：∵∠B=∠C ,∴△ABC是等腰三角形 题型01 等腰三角形的概念 / 【典例】（2025·江苏南京·中考真题）若等腰三角形的周长为12，则它的腰长可以是 ．（写出一个即可） 【答案】5（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质及三角形三边关系，熟知等腰三角形的性质及三角形三边关系是解题的关键．可令等腰三角形的腰长为，底长为，结合等腰三角形的性质及三角形三边的关系即可解决问题． 【详解】解：设腰长为，底长为， 则， ∴． 根据三角形三边的关系可知，， 解得：， 又，即， 解得：， ∴， 故答案为：5（答案不唯一）． 【变式】 1．（2025·江苏淮安·中考真题）若等腰三角形的一个底角为，则它的顶角的度数是 ． 【答案】 【分析】本题考查等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，根据等腰三角形两底角相等，结合三角形的内角和定理，进行求解即可． 【详解】解：∵等腰三角形的一个底角为， ∴另一个底角的度数也为， ∴它的顶角的度数是； 故答案为：． 2．（2025·江苏宿迁·中考真题）等腰三角形的两边长分别为和，则该等腰三角形的周长为 ． 【答案】10 【分析】本题考查等腰三角形，分情况讨论，先利用三角形三边关系判断能否构成三角形，再计算周长即可． 【详解】解：当腰长为时，三条边长为，，，，不能构成三角形，不符合题意； 当腰长为时，三条边长为，，，，能构成三角形， 周长为：， 故答案为：10． 题型02 等腰三角形的性质与判定 / 【典例】（2025·江苏淮安·一模）如图，已知点E是矩形内一点，，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质；证明三角形全等是解决问题的关键．证出，由证明，得出对应边相等即可． 【详解】证明：四边形是矩形， ， ， ， 在与中， ， ， ． 【变式】 1．（2024·江苏常州·中考真题）如图，B、E、C、F是直线l上的四点，相交于点G，，，． (1)求证：是等腰三角形； (2)连接，则与l的位置关系是________． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定，平行线的判定： （1）证明，得到，即可得证； （2）根据线段的和差关系，易得，根据三角形的内角和定理，得到，即可得出结论． 【详解】（1）证明：在和中 ， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； （2）∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∵， ∴， ∴． 2．（2024·江苏南通·中考真题）综合与实践：九年级某学习小组围绕“三角形的角平分线”开展主题学习活动． 【特例探究】 （1）如图①，②，③是三个等腰三角形（相关条件见图中标注），列表分析两腰之和与两腰之积． 等腰三角形两腰之和与两腰之积分析表 图序 角平分线的长 的度数 腰长 两腰之和 两腰之积 图① 1 2 4 4 图② 1 2 图③ 1 ______ ______ ______ 请补全表格中数据，并完成以下猜想． 已知的角平分线，，，用含的等式写出两腰之和与两腰之积之间的数量关系：______． 【变式思考】 （2）已知的角平分线，，用等式写出两边之和与两边之积之间的数量关系，并证明． 【拓展运用】 （3）如图④，中，，点D在边上，．以点C为圆心，长为半径作弧与线段相交于点E，过点E作任意直线与边，分别交于M，N两点．请补全图形，并分析的值是否变化？ 【答案】（1）见解析； ，（2），证明见解析；（3）是定值 【分析】（1）根据特殊角的三角函数值分别计算，再填表即可；再由可得结论； （2）如图，延长至使，连接，过作于，延长交于，证明为等边三角形，，，设，，利用相似三角形的性质求解，再进一步可得； （3）根据题目要求画图，设，运用等腰三角形性质和三角形内角和定理可求得，过点作于，于，过点作于，利用，即可求得答案． 【详解】解：（1）∵，是的角平分线，， ∴， ∴； ∴，； 图序 角平分线的长 的度数 腰长 两腰之和 两腰之积 图① 1 2 4 4 图② 1 2 图③ 1 如图，由（1）可得：， ∴， ∴，， ∴； （2）猜想：，理由如下： 如图，延长至使，连接，过作于，延长交于， ∵，平分， ∴为等边三角形，，， 设，， ∴，，而， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴，， ∵， ∴，即， 解得：， ∴； ， ∴； （3）补全图形如图所示： 设， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 解得：， ， 如图，过点作于，于，过点作于， ， ， ，，， ， 在中，， ， ， ， ， ， 由是确定的，由作图可得为定长，而和为定值， 为定值， 即为定值． 重难点四 相似三角形 1．相似三角形定义：对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形，相似三角形对应边的比叫做相似比． 2．相似三角形性质： （1）相似三角形的对应角相等，对应边成比例； （2）相似三角形的对应线段（高、中线、角平分线）成比例； （3）相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方． 3．相似三角形判定方法： （1）有两角对应相等，两三角形相似； （2）两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似； （3）三边对应成比例，两三角形相似； （4）平行线分线段成比例推论． 题型01 相似三角形的性质与判定 / 【典例】（2025·江苏南通·中考真题）如图，矩形中，对角线相交于点．是的中点，交于点． (1)求证：； (2)设的角平分线交于点． ①当时，求点到的距离； ②若，作直线分别交于两点，求的值． 【答案】(1)见解析； (2)①2；②． 【分析】本题考查的是矩形的性质、平行四边形性质与判定及相似三角形判定与性质， （1）先证明，根据相似三角形性质即可证明结论； （2）①过点作，垂足为，设，借助三角形面积求出即可；②作，垂足为，作，垂足为，设，借助三角形面积求出，再通过求出，证明四边形是平行四边形，从而证明，即可求出结论． 【详解】（1）证明：∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∵是的中点， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：①在中，∵， ∴， ∴， 如图，过点作，垂足为， 设，则， ∴， 即， ∴点到的距离为2； ②如图，作，垂足为，作，垂足为， 设， ， ， 在中，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， 即， ∴，， ∴， ∴． 【变式】 1．（2025·江苏盐城·模拟预测）如图，在中，，，以为直径的交于点D，，垂足为E，的延长线交于点F． (1)求的值 (2)求证： (3)若，则 【答案】(1) (2)见解析 (3)2 【分析】（1）根据题意，得，，解答即可． （2）根据等角的正弦相等，证明比例式成立，再利用两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，证明即可． （3）过点O作于点G，利用三角形相似的判定和性质，勾股定理，三角函数的应用，解答即可． 【详解】（1）解：∵，，以为直径的交于点D，， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴． （2）证明：根据（1）证明，得， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． （3）解：过点O作于点G， ∴， ∴， ∵为的直径， ∴， 由（1）得， 设， 则， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴ 解得． ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了圆的性质，余角的性质，三角函数的应用，三角形相似的判定和性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质，熟练掌握三角函数的应用，勾股定理，三角形相似的判定和性质，等腰直角三角形的性质是解题的关键． 2．（2025·江苏无锡·模拟预测）在矩形中，，点是射线上异于两点的一个动点，连接，过点作于点，交射线于点． (1)如图，点在线段上， ①求证：； ②连接，设四边形的面积为，在点运动的过程中，均有成立，求的最小值． (2)在点运动的过程中，是否存在使四点构成的四边形为轴对称图形，若存在，求出相应的长；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)①证明过程见详解；②的最小值 (2)存在，，理由见详解 【分析】（1）①根据矩形的性质，垂直的定义得到，由此即可求解； ②根据得到，当取最大值是即可求解； （2）根据题意，分类讨论：当点在线段上时；当点在射线上，在射线上，根据相似三角形的判定和性质即可求解． 【详解】（1）解：①证明：∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； ②如图所示，连接， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴当点在上（点异于两点）运动时，点在以为直径的圆弧上运动，设圆心为，交于点，连接交于点，当时，，此时的值最大，则的值最大， ∵点是的中点， ∴，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的最大值为， ∵， ∴的最小值为； （2）解：存在，，理由如下， 如图所示，假设点重合时，（题意中点不重合），，， ∴， ∴， ∴， 如图所示，当时，， ∴， ∵， ∴，即， 解得，， ∵， ∴，则，， ∵， ∴，则， ∴， ∴点在之间，不存在使四点构成的四边形为轴对称图形； 当点与重合时，不符合题意； 如图所示，当点在射线上，点在射线上时，点四点构成的四边形为轴对称图形， ∴， ∵于点， ∴，， ∵， ∴，且， ∴， ∴，， ∵， ∴，则， ∴； 综上所述，点运动的过程中，存在使四点构成的四边形为轴对称图形，． 题型02 相似三角形的应用 / 【典例】（2025·江苏南京·二模）如图，夜晚，小亮从点A朝着路灯P的正下方沿直线走到点B． (1)若他在点A处的影长为，他的身高为，路灯高P距离地面的高度为，求此时他到路灯的水平距离； (2)已知他在点A，B处的影长之差为，他的身高为，求路灯P离地面的高度（用含b，h的式子表示）． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． （1）根据，可得，即可求解； （2）过点C作，交于点G．可得，从而得到，进而得到．然后根据，可得，再由，即可求解． 【详解】（1）证明：， ， ，即． ， ． （2）解：过点C作，交于点G． ， ． ， ． ． ． ， · ， ． ． ． 因此，路灯P离地面的高度为 【变式】 1．（2025·江苏苏州·一模）综合与实践：古井探秘． 【了解】 在中国传统文化中，人们常以“井”寓意家乡．在江南水乡的苏州，水井更是独特的文化符号．图①是苏州平江区居民老宅的水井，该井的内部为圆柱体形状，图②是该井的侧面示意图，其中为井口直径，，为水面直径，且．为经水面所成的虚像（与关于对称），点P为观测点，，分别与相交于点M，N． 【发现】 如图②，当观测点P在上自由移动时，的长度是否会发生改变？如果不变，求出的长；如果改变，请说明理由； 【探索】 图③是当观测点P在井口的上方处（即图④中的）时，拍摄的一张照片．量得照片中的水面直径，井口的倒影直径．请你利用示意图④，求出井口到水面距离AC的长． 【答案】[发现]不会发生改变，；[探索] 【分析】本题主要考查了相似三角形的应用．掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． [发现]证明，根据相似三角形的性质即可得出，进而可得出答案． [探索]根据题意画出图形，然后延长交与点L，交于点K，得出，由相似三角形的性质得出，进而可得出答案． 【详解】解：[发现]∵与关于对称，，且，分别与相交于点M，N． ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， 即当观测点P在上自由移动时，的长度是不会发生改变，且． [探索]根据题意画图，然后延长交与点L，交于点K， 则， 同上可知：， 可知， ∴ 即， 解得： 即井口到水面距离AC的长． 2．（2025·江苏南京·一模）身高的小明在步道上散步，步道旁竖立着一盏路灯，其光源N到地面的距离为． (1)如图（1），步道为直线型（记为直线）． ①当小明步行到点A处时，路灯光线与地面的夹角（）以及影子和步道的夹角（）均为，则影子顶端（点B）到步道的距离（）为 ； ②在小明散步过程中，试说明影子顶端到步道的距离不变． (2)如图（2），步道为圆型（记为），其半径为．小明在步道上散步一周，直接写出影子顶端D运动的路径长． 【答案】(1)①；②见解析 (2) 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质； （1）①如图，由题意得，，，中，，，中，，即可求解； ②作，垂足为D，设小明头顶为E， 由题意得，，则，得到，再由垂直得到，推出，即，是定值，是定值，即影子顶端到步道的距离不变； （2）设小明头顶为E，连接，过作交延长线于，由题意得，，则，，再由，得到，得到，则由是定值，得到是定值，即位置固定不变，由半径为，即，得到，确定点运动轨迹为以为圆心，为半径的圆，据此求解即可． 【详解】（1）解：①如图，由题意得， 当小明步行到点A处时，路灯光线与地面的夹角（）以及影子和步道的夹角（）均为时，即， ∴中，，， ∴中，， ∴影子顶端（点B）到步道的距离（）为， 故答案为：； ②方法一：如图，作，垂足为D，设小明头顶为E， 由题意得，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵是定值， ∴是定值， 即影子顶端到步道的距离不变； 方法二： 如图，设小明头顶为，当他走到上任意位置（记为点D）时，他的头顶G，影子为，连接，作，垂足为H， 由题意得，，， ∴， ∴， 同理，， 又∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴是定值， 即影子顶端到步道的距离不变； （2）解：如图，设小明头顶为E，连接，过作交延长线于， 由题意得，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∵是定值， ∴是定值，即位置固定不变， ∵半径为，即， ∴， ∴点运动轨迹为以为圆心，为半径的圆， ∴小明在步道上散步一周，直接写出影子顶端D运动的路径长为c． 1．（2025·江苏无锡·模拟预测）如图，在中，，平分，过点B作，垂足为点D，连接，若，，则的面积为（　　） A．1.4 B．2 C．0.6 D．1 【答案】C 【分析】本题考查勾股定理，全等三角形的判定和性质，延长交于点，证明，得到，勾股定理求出的长，进而求出的长，根据同高三角形的面积比等于底边比，求出，再根据三角形的中线平分面积，求出的面积即可． 【详解】解：延长交于点， ∵平分，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； 故选C． 2．（2025·江苏连云港·中考真题）如图，在中，，的垂直平分线分别交、于点D、E，的垂直平分线分别交、于点F、G，则的周长为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，由线段垂直平分线的性质可得，，再由三角形的周长公式计算即可得解，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解此题的关键． 【详解】解：∵垂直平分，垂直平分， ∴，， ∴的周长为， 故选：C． 3．（2025·江苏常州·一模）如图，中，，，点是中点，点在上且，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，则的长为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】如图所示，连接并延长，过点E作交于点G，过点F作交延长线于点H，得到，平分，，求出，然后证明出，得到，代数求出，，，然后证明出，得到，，最后利用勾股定理求解即可． 【详解】如图所示，连接并延长，过点E作交于点G，过点F作交延长线于点H ∵中，，，点是中点， ∴，平分， ∴ ∵， ∴ ∵， ∴ ∴ ∴，即 ∴， ∴ ∵， ∴ ∴ ∵线段绕点顺时针旋转得到线段 ∴， ∴ ∴ ∴， ∴ ∴． 故选：C． 4．（2025·江苏苏州·二模）如图，四边形是矩形，过点的直线分别与，的延长线交于点，，且，点，分别在，上，且，连接，，则下列四个结论：①；②；③；④，其中正确的是（   ） A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．①②③④ 【答案】A 【分析】本题主要考查相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，根据矩形的性质、相似三角形的判定和性质即可判断①②，过点作，交的延长线于点，连接，利用全等三角形的判定和性质，勾股定理即可判断③④，解答本题的关键是理解题意，综合运用这些知识点依次判断即可得出结果． 【详解】解：四边形是矩形， ，， ， ， ， ，， ，， ． ，， ． ， ， ， ． ， △△， ， 选项①、②都是正确的； 如图，过点作，交的延长线于点，连接， ， 在和中， ， ， ，，． ， ． 在中，根据勾股定理，得， ． ，， 垂直平分， ， ， 选项③正确， 由所给条件无法证明， 选项④不正确； 故选：A． 5．（2025·江苏镇江·一模）如图，在中，，平分，，垂足为D，交于点E．若，则的长为（　　） A．6 B． C．7 D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了直角三角形的性质，勾股定理，等腰三角形的性质与判定，取的中点，连接，根据等边对等角得到，由直角三角形的性质得到，则由等边对等角和角平分线的定义可推出，得到，则可证明，得到；再利用勾股定理求出的长即可得到答案． 【详解】解：如图所示，取的中点，连接， ∵， ∴； ∵，点为的中点， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 在中，由勾股定理得， ∴， 故选：B． 6．（2025·江苏常州·三模）如图，在等腰中，直角边，D为的中点，E为边上的动点，交于点F，M为的中点，当点E从点B运动到点A时，点M所经过的路线长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】如图所示，连接，，，勾股定理求出，然后由M为的中点得到，得到点M在线段的垂直平分线上，交于点G，交于点H，即交于点O，为点M所经过的路线长，然后利用平行线分线段成比例得到为的中位线，进而求解即可． 【详解】解：如图所示，连接，， ∵在等腰中，直角边， ∴， ∵交于点F，M为的中点， ∴， ∴ ∴点M在线段的垂直平分线上，交于点G，交于点H，即交于点O， ∴为点M所经过的路线长 ∴ ∵D为的中点 ∴ ∴ ∴ ∴为的中位线 ∴ ∴点M所经过的路线长为． 故选：B． 7．（2025·江苏苏州·二模）如图，在矩形中，点E，F分别是边的中点，连接，点M，N分别是的中点，连接，若，则MN的长度为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了矩形的性质、全等三角形的判定和性质、三角形的中位线定理、勾股定理等知识点，掌握知识的灵活运用相关性质定理是解题的关键． 如图：连接并延长交于P，连接，根据矩形的性质得到，，根据全等三角形的性质得到，根据勾股定理和三角形的中位线定理解答即可． 【详解】解：如图：连接并延长交于P，连接， ∵四边形是矩形， ∴， ∵点E，F分别是边的中点，， ∴，， ∵， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵点M是的中点， ∴． 故选：C． 8．（2025·江苏南京·三模）如图，在等边中，点，分别是边、上的动点，且以为边作等边，使点与点在直线同侧，交于点，交于点给出下面四个结论： ； ； 若，则； 若则四边形是菱形． 上述结论中．所有正确结论的序号是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，等边三角形的性质，勾股定理等知识，综合运用相关知识是解题的关键 ①正确．利用等边三角形的性质以及三角形外角的性质证明即可；②正确．证明，可得结论；③正确．证明即可；④正确．证明四边形四边相等即可． 【详解】解：，都是等边三角形， ， ， ， ， ，故①正确； ， ，， ， ， ，即， ， ；故②正确； 是等边三角形， ， ， ， 是等边三角形， ， ， ，即，故③正确； ， ， ， ， 是等边三角形， ， 四边形是菱形，故④正确． 故选：D． 9．（2025·江苏常州·模拟预测）如图，点A、D、C、F在同一条直线上，，，． (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，平行线的判定； （1）三边相等的两个三角形全等，由得即，与就具备了全等的条件； （2）全等三角形的对应角相等，由得到，这两个角是一组同位角，同位角相等两直线平行. 【详解】（1）证明：∵， ∴，即， 在与中 ∴. （2）（2）证明：∵， ∴， ∴． 10．（2025·吉林长春·一模）如图，在中，，，，为的中点．动点在边上，过点作的垂线交折线于点．以为邻边构造矩形． (1)的长为___________，的长为___________； (2)当点落在上时，证明； (3)当点落在的边上时，用圆规和无刻度的直尺在备用图中作出矩形（保留作图痕迹），并求此时的长； (4)沿直线将矩形剪开，得到两个图形，用这两个图形拼成不重叠且无缝隙的图形恰好是三角形．请直接写出所有符合条件的的长． 【答案】(1)6； (2)证明见解析 (3)作图见解析，2 (4)2，3， 【分析】（1）根据含30度角的直角三角形的性质，勾股定理分别求得，即可求解； （2）根据，，即可得证； （3）在中，根据列式计算，即可求解． （4）根据题意，分三种情况讨论，①当经过的中点时，②当重合时，③当经过的中点时，分别画出图形，解直角三角形，即可求解． 【详解】（1）在中，，，， ∴，； 故答案为：6；． （2）证明：∵， ∴ ∵， ∴ ∵ ∴ （3）解：如图， ∵四边形是矩形， ∴ ∴ ∴ ∴， 在中， ∴ 解得： （4）解：①当经过的中点时，符合题意，如图 ∴ 由（3）可得 ∴是等边三角形， ∴， 由（3）可得， ∴ ∴； ②当重合时，符合题意，如图， ∴ ③当经过的中点时，符合题意，如图 ∵，， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴． 综上所述，所有符合条件的的长为2，3，． 1．（2025·江苏苏州·模拟预测）如图1，在中，，，点D，E均在边上（点D在点E的左侧），且． (1)如图1，将绕点A逆时针旋转得到，连接，求证：； (2)如图2，若，求证：； (3)如图3，若，，求线段的长度． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）由旋转得，由，，可得，进而可得，，根据“边角边”可证； （2）将绕点A逆时针旋转得到，连接，，先求出，进而可得，在中，，根据（1）中的方法，同理可证明，得出，问题得证； （3）将绕点A逆时针旋转得到，连接，，过F点作，交的延长线于点G，可得是等边三角形，根据（1）中的方法可证明：，即，根据旋转的性质有，，再证，利用含30度角的直角三角形的性质和勾股定理解，，问题得解． 【详解】（1）证明：根据旋转的性质，可得：， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， 又∵，， ∴； （2）证明：将绕点A逆时针旋转得到，连接，， ∵，， ∴， 根据旋转的性质，可得：，， ∴， ∴在中，， 根据（1）中的方法，同理可证明， ∴， 又∵， ∴； （3）证明：将绕点A逆时针旋转得到，连接，，过F点作，交的延长线于点G，如图， ∵，， ∴是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， 根据（1）中的方法可证明：， ∴， 根据旋转的性质有：，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴在中，， ， ∴， ∵在中，， ∴， 解得：． 2．（2025·江苏苏州·二模）在中，，，点是上一个动点（点不与，重合），以点为旋转中心，将线段顺时针旋转得到线段． (1)如图1，求的度数； (2)如图2，连接，当时，的大小是否发生变化？如果不变，求的度数：如果变化，请说明理由； (3)如图3，点是上的中点，以点为旋转中心，将线段逆时针转得到线段，连接，若，求线段的取值范围． 【答案】(1) (2)的大小不发生变化，，理由见解析 (3) 【分析】（1）由等边对等角和三角形内角和定理得到； （2）连接交于点O，证明得，再证明即可求出的度数； （3）过点C作于H，求出，则；由旋转的性质得，，，设，则；如图所示，过点D作于G，则可得到，，由勾股定理得；证明，在中，由勾股定理得 ；再求出，即可得到的范围． 【详解】（1）解：∵，， ∴． （2）解：的大小不发生变化，，理由如下： 连接交于点O， 由旋转的性质得，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴ ∴， ∵， ∴， ∴； （3）解：如图所示，过点作于，过点作于， ∵，， ∴， ∵，， ∴； 由旋转的性质得，，， 设， ∵点是上的中点， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴，， 在中，由勾股定理得， ∴, ∵， ∴， 在中，由勾股定理得， ∵点D是上一个动点（点D不与A，B重合）， ∴，即， ∴， ∴． 3．（2025·江苏无锡·中考真题）某校数学研究性学习小组为测量物体的高度，开展了如下综合与实践活动． 【活动主题】测量物体的高度 【测量工具】卷尺、标杆 【活动过程】 活动1：测量校内旗杆的高度 该小组在校内进行了旗杆高度的测量活动（示意图1）．在点处竖立标杆，直立在点处的小军从点处看到标杆顶、旗杆顶在同一条直线上．已知旗杆底端与、在同一条直线上，，． （1）求旗杆的高度． 活动2：测量南禅寺妙光塔的高度 南禅寺妙光塔，简称“妙光塔”，始建于北宋雍熙年间，是无锡著名的文物保护单位之一、该小组为全面了解本土历史文物，决定走出校园去测量妙光塔的高度．他们到达妙光塔后，发现塔顶和塔底中心均无法到达．经研究，设计并实施了如下测量活动（示意图2）．在地面一条水平步道上的点处竖立标杆，直立在点处的小军从点处看到标杆顶、塔顶在同一条直线上．小军沿的方向走到点处，此时标杆竖立于处，从点处看到标杆顶、塔顶在同一条直线上．已知、和在同一平面内，点在同一条直线上，，． （2）求妙光塔的高度． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查相似三角形的应用，添加辅助线构造相似三角形是解题的关键． （1）于点H，交于点G，得矩形，，证明，根据对应边成比例得，代入数据求解即可； （2）于点H，交于点M，交于点，同（1）证明，推出，同理可得，推出，代入数值计算出，再代入，求出，进而即可求解． 【详解】解：（1）如图，于点H，交于点G， 则四边形，均为矩形， ，，， ， 由题意知， ，， ， ，即， 解得， ， 即旗杆的高度为． （2）如图，于点H，交于点M，交于点， ， 点P在线段上，四边形，，，均为矩形， ，，， ， ， 由题意知， ，， ， ， 同理可得， ， ， ，， ， 解得， ， 代入，得：， 解得， 即妙光塔的高度为． 2 / 64 学科网（北京）股份有限公司 $