重难点02 锐角三角函数（复习讲义）（江苏专用）2026年中考数学一轮复习讲练测

该初中数学中考复习讲义聚焦“锐角三角函数”专题，覆盖三角函数概念、特殊角值、几何综合应用、实际应用四大中考核心考点，以“重难点梳理-题型突破-真题演练-分层检验”为架构，通过深挖概念本质、典例精讲中考真题、变式训练强化方法，帮助学生系统构建知识网络，精准突破网格计算、解直角三角形等难点。 亮点在于“素养导向”的教学设计，如通过网格三角函数值计算培养几何直观，结合仰角俯角问题强化模型意识，利用综合题变式训练提升推理能力。分层练习匹配不同学生需求，真题案例直击中考命题规律，助力学生高效掌握解题技巧，教师可据此把控复习节奏，实现针对性提分。

第四章 三角形 重难点02 锐角三角函数 目 录 01 深挖重难·固根基 1 02 分层锤炼·验成效 18 重难点一 三角函数概念 锐角三角函数的概念 在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=c，BC=a，AC=b， 正弦：sinA=； 余弦：cosA=； 正切：tanA=． 题型01利用概念计算三角函数值 / 【典例】（2025·江苏常州·中考真题）如图，在中，，，，则的值是（   ） A． B． C． D． 【变式】 1．（2025·广东深圳·中考真题）如图为人行天桥的示意图，若高长为10米，斜道长为30米，则的值为（   ） A． B．3 C． D． 2．（2025·广东深圳·三模）中，，是斜边的中点，将沿折叠，得，与交于点，若，则的值为 ． 题型02计算网格中的三角函数值 / 【典例】（2025·江苏南通·中考真题）如图，网格图中每个小正方形的面积都为．经过网格点的一条直线，把网格图分成了两个部分，其中的面积为，则的值为 ． 【变式】 1．（2025·江苏无锡·二模）如图，在的网格图中，点A、B、C、D都在小正方形的顶点上，、相交于点E，则的值是 ． 2．（2025·山东威海·中考真题）如图，点A在反比例函数的图象上，点B在反比例函数的图象上，连接．若，则 ． 重难点二 特殊角的三角函数 特殊角的三角函数值 α sinα cosα tanα 30° 45° 1 60° 题型01 含特殊角三角函数的混合运算 / 【典例】（2025·江苏盐城·中考真题）计算：． 【变式】 1．（2025·江苏镇江·中考真题）计算：． 2．（2025·江苏宿迁·中考真题）计算：． 重难点三 解几何综合问题 1.解直角三角形的应用: (1)仰角和俯角问题： 仰角：在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫做仰角． 俯角：在视线与水平线所成的角中，视线在水平线下方的角叫做俯角． (2)坡度和坡角问题： 坡度：坡面的铅直高度h和水平宽度l的比叫做坡面的坡度（或坡比），记作i=． 坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作α，i=tanα．坡度越大，α角越大，坡面越陡． (3)方向角问题： 指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角叫做方向角． 特别的， 北偏东45度也叫东北方向；北偏西45度也叫西北方向； 南偏东45度也叫东南方向；南偏西45度也叫西南方向。 2.解直角三角形实际应用的一般步骤 （1）审题，根据题意画出相应图形，建立数学模型； （2）转化：将实际条件转化为几何图形中的边、角或它们之间的关系，把实际问题转化为解直角三角形问题； （3）解决：选择合适的边角关系式，解决问题； （4）检验：检验答案是否符合实际生活． 题型01 利用三角函数求解三角形运动中问题 / 【典例】（2025·湖北·中考真题）在中，，将绕点旋转得到，点的对应点落在边上，连接． (1)如图1，求证：； (2)如图2，当时，求的长； (3)如图3，过点作的平行线交的延长线于点，过点作的平行线交于点G，与交于点． ①求证：； ②当时，直接写出的值． 【变式】 1．（2025·江苏苏州·中考真题）综合与实践 小明同学用一副三角板进行自主探究．如图，中，，中，． 【观察感知】 （1）如图①，将这副三角板的直角顶点和两条直角边分别重合，交于点F，求的度数和线段的长．（结果保留根号） 【探索发现】 （2）在图①的基础上，保持不动，把绕点C按逆时针方向旋转一定的角度，使得点A落在边上（如图②）． ①求线段的长；（结果保留根号） ②判断与的位置关系，并说明理由． 2．（2025·四川·中考真题）和中，，． 【初步感知】 （1）如图1，若，连接，则与之间的数量关系是____，位置关系是_____；（直接写出结论，不写推理过程） 【深入探究】 （2）如图2，若，将绕点C旋转，设直线与交于点M，与交于点N，试确定与之间的数量关系和位置关系，并说明理由； 【迁移应用】 （3）如图3，当点D在内部，且时，若，，连接，作于点F，交于点G，求的长． 题型02 利用三角函数求解四边形中的问题 / 【典例】（2025·内蒙古·中考真题）如图，是一个平行四边形纸片，是一条对角线，，． (1)如图1，将平行四边形纸片沿折叠，点的对应点落在点处，交于点． ①试猜想与的数量关系，并说明理由； ②求的面积； (2)如图2，点，分别在平行四边形纸片的，边上，连接，且，将平行四边形纸片沿折叠，使点的对应点落在边上，求的长． 【变式】 1．（2025·四川资阳·中考真题）在四边形中，是边上的一点，是对角线的中点． (1)如图1，四边形是正方形，连接，作交于点，求证：； (2)如图2，四边形是平行四边形，，连接，作交于点，连接，求的值； (3)如图3，四边形是菱形，，连接交于点是边上的一点，，若，求的长． 2．（2025·浙江·中考真题）在菱形中，． (1)如图1，求的值． (2)如图2，E是延长线上的一点，连接，作与关于直线对称，交射线于点P，连接． ①当时，求的长． ②求的最小值． 题型03 利用三角函数求解圆中的问题 / 【典例】（2025·四川乐山·中考真题）如图，为的外接圆，直径垂直于弦，垂足为点．点为圆外一点，连结、、，． (1)求证：为的切线； (2)若，，，求的长． 【变式】 1．（2025·四川内江·中考真题）如图，在中，，的平分线交于点D，点O是边上一点，以点O为圆心、长为半径作圆，恰好经过点D，交于点E． (1)求证：直线是的切线； (2)若点E为的中点，，求阴影部分的面积； (3)连接，若，求的值． 2．（2025·江苏无锡·二模）如图，为圆的直径，、为圆上不同于、的两点，过点作圆的切线交直线于点，直线于点． (1)求证：； (2)若，且，求的长． 重难点四 锐角三角函数应用 1.解直角三角形的应用: (1)仰角和俯角问题： 仰角：在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫做仰角． 俯角：在视线与水平线所成的角中，视线在水平线下方的角叫做俯角． (2)坡度和坡角问题： 坡度：坡面的铅直高度h和水平宽度l的比叫做坡面的坡度（或坡比），记作i=． 坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作α，i=tanα．坡度越大，α角越大，坡面越陡． (3)方向角问题： 指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角叫做方向角． 特别的， 北偏东45度也叫东北方向；北偏西45度也叫西北方向； 南偏东45度也叫东南方向；南偏西45度也叫西南方向。 2.解直角三角形实际应用的一般步骤 （1）审题，根据题意画出相应图形，建立数学模型； （2）转化：将实际条件转化为几何图形中的边、角或它们之间的关系，把实际问题转化为解直角三角形问题； （3）解决：选择合适的边角关系式，解决问题； （4）检验：检验答案是否符合实际生活． 题型01 利用三角函数解决实际问题 / 【典例】（2025·贵州·模拟预测）一酒精消毒瓶如图①，为喷嘴，为按压柄，为伸缩连杆，和为导管，其示意图如图②，，，． (1)当按压柄按压到底时，转动到，此时（如图③）．求旋转的角度； (2)求点D到直线的距离（结果精确到）．（参考数据：，，，，，） 【变式】 1．（2025·福建福州·一模）综合与实践：探究遮阳伞下的影子长度． 素材1：图1是某款自动旋转遮阳伞，伞面完全张开时张角呈，图2是其侧面示意图． 已知支架长为米，且垂直于地面，悬托架米，点固定在伞面上，且伞面直径是的4倍．当伞面完全张开时，点始终共线．为实现遮阳效果最佳，伞面装有接收器可以根据太阳光线的角度变化，自动调整手柄沿着移动，以保证太阳光线与始终垂直． 素材2：某地区某天下午不同时间的太阳高度角（太阳光线与地面的夹角）参照表： 时刻 12点 13点 14点 15点 16点 17点 太阳高度角（度） 90 75 60 45 30 15 素材3：小明坐在露营椅上的高度（头顶到地面距离）约为1米，如图2，小明坐的位置记为点． 任务1： （1）某一时刻测得米， ①请直接写出________； ②请求出此时影子的长度； 任务2： （2）这天14点，小明坐在离支架3米处的点，请判断此时小明是否会被太阳光照射到？请你说明理由． 2．（2025·重庆·模拟预测）如图是某湿地公园健身步道示意图．小明准备从点A出发到公园广场点F处玩耍，已知从点A到点F有两条路线可以选择：①A→B→C→F；②A→D→E→F．经勘测，F在A的正东方向，且在C的正南方向450米处，在E的正北方向360米处，A在B的南偏西方向，D在A的东南方向，C、E分别在B、D的正东方向且米．（参考数据：，） (1)求路线①的长度．（结果精确到个位） (2)由于路线②道路较窄，平均步行速度为，路线①平均步行速度，请通过计算说明小明应该选择哪条路线才能尽快到达广场． 1．（2025·广西·中考真题）在中，，则（   ） A． B． C． D． 2．（2025·广东·中考真题）如图，在矩形中，，是边上的三等分点，连接，相交于点，连接．若，，则的值是（   ） A． B． C． D． 3．（2025·天津·中考真题）的值等于（   ） A．0 B．1 C． D． 4．（2025·四川绵阳·中考真题）如图，在正方形中，点在的延长线上，点是的中点，连接并延长交于点，连接，则（） A． B． C． D．2 5．（2025·青海西宁·中考真题）如图，用四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，得到大正方形和小正方形，连接交于点P．若，则的值是（   ） A． B． C． D． 6．（2025·江苏镇江·中考真题）如图，小丽从点出发，沿坡度为的坡道向上走了120米到达点，则她沿垂直方向升高了（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 7．（2025·江苏无锡·中考真题）如图，与相切于点，连接，过点作的垂线，交于点，连接，交线段于点．若，则的值为 ． 8．（2025·江苏扬州·中考真题）如图1，棱长为的密封透明正方体容器水平放置在桌面上，其中水面高度．将此正方体放在坡角为的斜坡上，此时水面恰好与点齐平，其主视图如图2所示，则 ． 9．（2025·山东滨州·中考真题）【活动背景】 如图，建筑物、的高度不可直接测量．为测量建筑物、的高度，技术员小李用皮尺测得A、B之间的水平距离为，用测角仪在C处测得D点的俯角为，测得B点的俯角为． 【问题解决】 (1)请运用技术员小李提供的数据求出建筑物、的高度（结果保留整数）；（参考数据：，，，，，） (2)请再设计一种测量建筑物、高度的方案（建筑物的宽度忽略不计），画出平面示意图，把应测数据在示意图中用字母标记出来，并用含字母的式子表示出建筑物、的高度．（可提供的测量工具：皮尺、测角仪） 10．（2025·青海西宁·中考真题）综合与实践 【问题提出】 原题呈现（人教版九年级下册85页第14题） 如图1，在锐角中，探究，，之间的关系． 【问题探究】 将下列探究过程补充完整： （1）如图1，过点A作，垂足为D，过点B作，垂足为E． 在中，，   ∴， 在中，，   ∴， ∴，即， 同理，在中，_____， 在中，_____， ∴___________， 即， ∴； 【结论应用】 （2）如图2，在中，，，．求，的长．（结果保留小数点后一位；参考数据：，．） 【深度探究】 （3）如图3，是锐角的外接圆，半径为． 求证：． 【拓展应用】 （4）如图4，在中，，，，D是线段上的一个动点，以为直径的分别交，于点E，F，连接．则线段长度的最小值是________． 1．（2025·江苏苏州·中考真题）两个智能机器人在如图所示的区域工作，，，直线为生产流水线，且平分的面积（即D为中点）．机器人甲从点A出发，沿的方向以的速度匀速运动，其所在位置用点P表示，机器人乙从点B出发，沿的方向以的速度匀速运动，其所在位置用点Q表示．两个机器人同时出发，设机器人运动的时间为，记点P到的距离（即垂线段的长）为，点Q到的距离（即垂线段的长）为．当机器人乙到达终点时，两个机器人立即同时停止运动，此时与t的部分对应数值如下表： 0 5.5 0 16 16 0 (1)机器人乙运动的路线长为________m； (2)求的值； (3)当机器人甲、乙到生产流水线的距离相等（即）时，求t的值． 2．（2025·江苏连云港·中考真题）已知是的高，是的外接圆． (1)请你在图1中用无刻度的直尺和圆规，作的外接圆（保留作图痕迹，不写作法）； (2)如图2，若的半径为，求证：； (3)如图3，延长交于点，过点的切线交的延长线于点．若，，，求的长． 3．（2025·四川南充·中考真题）如图，中，于点D，以为直径的交于点E，交于点F，M为线段上一点，． (1)求证：是的切线． (2)若， ，求的长． 4．（2025·江苏淮安·中考真题）综合与实践 【主题】雨天撑伞的学问 【情境】图（1）、图（2）是小丽在雨天水平撑伞的示意图，她的身体侧面可以近似看作矩形，米，米，雨伞撑开的宽度米，伞柄的部分长为米，点为中点，，点到地面的距离是米，手臂可以水平向前最长伸出米，雨线与地面的夹角为，雨线与平行，与地面平行． 【问题感知】（1）①在图（1）、图（2）中，点到地面的距离是 米； ②如图（1）所示，，若小丽将伞拿在胸前（与在同一条直线上），则小丽身体被雨水淋湿的部分 米．（参考数据：，，） 【问题探究】（2）如图（2）所示，，设小丽将手臂水平前伸了米（即线段的长度），身体被雨水淋湿部分的长度为米，求与的函数表达式，并写出头部不被淋湿情况下的取值范围． 【问题解决】（3）在（2）的条件下，小丽发现水平撑伞身体始终有部分会被淋湿，于是她将雨伞绕点顺时针旋转一定角度（点到地面的距离保持不变），使得与雨线垂直，如图（3）所示，试问：小丽在旋转雨伞后，是否可以通过调节手臂水平前伸长度，使得全身都不会被雨淋湿？如果可以，请求出的最小值；如果不可以，请说明理由． 21 / 21 学科网（北京）股份有限公司 $ 第四章 三角形 重难点02 锐角三角函数 目 录 01 深挖重难·固根基 1 02 分层锤炼·验成效 18 重难点一 三角函数概念 锐角三角函数的概念 在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=c，BC=a，AC=b， 正弦：sinA=； 余弦：cosA=； 正切：tanA=． 题型01利用概念计算三角函数值 / 【典例】（2025·江苏常州·中考真题）如图，在中，，，，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查锐角三角函数定义，勾股定理，熟练掌握锐角的正弦的定义是解本题的关键．先利用勾股定理求出，再在中利用即可求解． 【详解】解：∵在中，，，， ∴， ∴， 故选：C． 【变式】 1．（2025·广东深圳·中考真题）如图为人行天桥的示意图，若高长为10米，斜道长为30米，则的值为（   ） A． B．3 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了正弦，理解正弦的定义是解题关键． 根据正弦的定义求解即可． 【详解】解：∵长为10米，斜道长为30米， ∴根据题意得：， 故选：D 2．（2025·广东深圳·三模）中，，是斜边的中点，将沿折叠，得，与交于点，若，则的值为 ． 【答案】 【分析】连接，交于点，根据折叠的性质可知为的中点，，又因为点是的中点，可知是的中位线，利用中位线的性质，可得：，根据相似三角形的性质结合，可知与的相似比为，设，则，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可知，根据中位线的性质定理可得，从而可得：，利用勾股定理可以求出，根据正弦的定义即可求出结果． 【详解】解：如下图所示，连接，交于点， 将沿折叠得到， 为的中点，且， 是斜边的中点， ，， ， ， 与的相似比为， 设，则， ，， 在中，是斜边的中点， ， ， 在中，， 在中，， 在中，， ， 故答案为：． 题型02计算网格中的三角函数值 / 【典例】（2025·江苏南通·中考真题）如图，网格图中每个小正方形的面积都为．经过网格点的一条直线，把网格图分成了两个部分，其中的面积为，则的值为 ． 【答案】 【分析】设，证明，可求得，根据的面积为，得到，求得，解方程得，根据勾股定理可得，从而可得的值． 【详解】解：如图，在图中标注，， 设， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵的面积为，网格图中每个小正方形的面积都是， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得，，（舍去）， ∵ ∴， ∴， ∴ 故答案为：． 【变式】 1．（2025·江苏无锡·二模）如图，在的网格图中，点A、B、C、D都在小正方形的顶点上，、相交于点E，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了解直角三角形及勾股定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．连接，，过点作，垂足为，先利用勾股定理求出和的长，再利用面积法求出的长，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的值，最后根据题意可得：，从而可得，即可解答． 【详解】解：如图：连接，，过点作，垂足为， 由题意得：，， 的面积 ， ， ∴， ∴， 在中，， 由题意得：， ， ， 故答案为：． 2．（2025·山东威海·中考真题）如图，点A在反比例函数的图象上，点B在反比例函数的图象上，连接．若，则 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了求角的正切值，相似三角形的性质与判定，反比例函数比例系数的几何意义，过点A作轴于C，过点B作轴，可证明，得到，再根据反比例函数比例系数的几何意义得到，则，据此可得答案． 【详解】解：如图所示，过点A作轴于C，过点B作轴于D， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵点A在反比例函数的图象上，点B在反比例函数的图象上， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 重难点二 特殊角的三角函数 特殊角的三角函数值 α sinα cosα tanα 30° 45° 1 60° 题型01 含特殊角三角函数的混合运算 / 【典例】（2025·江苏盐城·中考真题）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了含特殊角的三角函数值的混合运算，零指数幂等知识点，正确计算是解题的关键． 分别计算零指数幂和有理数的乘方，代入特殊角的三角函数值并计算乘法，再进行加减计算即可． 【详解】解： ． 【变式】 1．（2025·江苏镇江·中考真题）计算：． 【答案】4 【分析】本题考查特殊角的三角函数值，零次幂，负指数幂，掌握算理是解决问题的关键．先计算特殊角的三角函数值，零次幂，负指数幂，再进行加减运算即可． 【详解】解：， ， ， ． 2．（2025·江苏宿迁·中考真题）计算：． 【答案】． 【分析】本题考查了实数的混合运算，根据二次根式的性质，特殊三角函数值，化简绝对值进行运算，然后合并即可，掌握以上知识是解题的关键． 【详解】解： ． 重难点三 解几何综合问题 1.解直角三角形的应用: (1)仰角和俯角问题： 仰角：在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫做仰角． 俯角：在视线与水平线所成的角中，视线在水平线下方的角叫做俯角． (2)坡度和坡角问题： 坡度：坡面的铅直高度h和水平宽度l的比叫做坡面的坡度（或坡比），记作i=． 坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作α，i=tanα．坡度越大，α角越大，坡面越陡． (3)方向角问题： 指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角叫做方向角． 特别的， 北偏东45度也叫东北方向；北偏西45度也叫西北方向； 南偏东45度也叫东南方向；南偏西45度也叫西南方向。 2.解直角三角形实际应用的一般步骤 （1）审题，根据题意画出相应图形，建立数学模型； （2）转化：将实际条件转化为几何图形中的边、角或它们之间的关系，把实际问题转化为解直角三角形问题； （3）解决：选择合适的边角关系式，解决问题； （4）检验：检验答案是否符合实际生活． 题型01 利用三角函数求解三角形运动中问题 / 【典例】（2025·湖北·中考真题）在中，，将绕点旋转得到，点的对应点落在边上，连接． (1)如图1，求证：； (2)如图2，当时，求的长； (3)如图3，过点作的平行线交的延长线于点，过点作的平行线交于点G，与交于点． ①求证：； ②当时，直接写出的值． 【答案】(1)见解析 (2) (3)①见解析；② 【分析】（1）根据旋转可得，则，即可证明． （2）根据，，可得，即可得出，过作，则，即，在中勾股定理求出，则，在中勾股定理求出，根据，得出，即可求出． （3）①设旋转角为，则，根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理即可得出，，根据，得出，，即可得，根据，得出，即可得，证明，得出，结合，得出； ②根据，设，证明四边形是平行四边形，得出，由①得，在中，勾股定理得出，则，则，根据，得出，根据，得出，证明，，则，求出，由①可得，得出，证出点四点共圆，根据圆周角定理得出，证明，得出，设，则，根据旋转可得，则，联立求出，再根据即可求解． 【详解】（1）证明：∵将绕点旋转得到，点的对应点落在边上， ∴， ∴， ∴． （2）解：∵，， ∴， ∴， 过作， ∴， ∴， 在中， 即， 解得：，（舍去）， ∴， 在中， ∴， ∵， ∴， 即， ∴． （3）①证明：设旋转角为， 则， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； ②解：∵， ∴设， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， 由①得， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 即， 即， ∴， ∴， ∴， 即， ∴， 由①可得， ∴， ∴点四点共圆， ∴， ∵， ∴， ∴， 设， 则， 根据旋转可得， ∴， 联立可得， ∴． 【变式】 1．（2025·江苏苏州·中考真题）综合与实践 小明同学用一副三角板进行自主探究．如图，中，，中，． 【观察感知】 （1）如图①，将这副三角板的直角顶点和两条直角边分别重合，交于点F，求的度数和线段的长．（结果保留根号） 【探索发现】 （2）在图①的基础上，保持不动，把绕点C按逆时针方向旋转一定的角度，使得点A落在边上（如图②）． ①求线段的长；（结果保留根号） ②判断与的位置关系，并说明理由． 【答案】（1），；（2）①；②，理由见解析 【分析】本题考查了等腰三角形的性质、解直角三角形、勾股定理等知识，熟练掌握解直角三角形的方法是解题关键． （1）先根据等腰三角形的性质可得，再求出，然后根据三角形的外角性质即可得；最后根据解直角三角形可得的长，根据线段的和差即可得； （2）①过点作，垂足为，先解直角三角形可得的长，再利用勾股定理可得的长，然后根据线段的和差即可得； ②根据等腰三角形的性质可得，则可得，由此即可得． 【详解】解：（1）∵中，， ∴， ∵中，， ∴， ∴； 在中，， 在中，， ∴． （2）①如图，过点作，垂足为， 中，， ． 中，． ∴， ． ②，理由如下： ∵在中，， ∴， 又∵， ∴， ∴． 2．（2025·四川·中考真题）和中，，． 【初步感知】 （1）如图1，若，连接，则与之间的数量关系是____，位置关系是_____；（直接写出结论，不写推理过程） 【深入探究】 （2）如图2，若，将绕点C旋转，设直线与交于点M，与交于点N，试确定与之间的数量关系和位置关系，并说明理由； 【迁移应用】 （3）如图3，当点D在内部，且时，若，，连接，作于点F，交于点G，求的长． 【答案】（1），；（2）数量关系：，位置关系：，理由见解析；（3） 【分析】（1）证明，则，，再由对顶角结合互余的性质证明； （2）证明，则，，，再由对顶角结合互余的性质证明； （3）先求出，，过点作平行线交延长线于点，则，过点作延长线的垂线，垂足为点，证明，则，求出，即可证明，则，证明，则，求出，，则，那么由勾股定理得，再对运用面积法求解，最后由求解即可． 【详解】（1）解：如图， ， ，， 又， ， 即， 在△和△中， ， ， ，， 设与交于点， ，， ， ∴， ∴， 故答案为：，； （2）解：数量关系：，位置关系：． 理由如下：， ，即， 又， ， ，， ，， ， 则， 即； （3）解：∵，， ∴，， 过点作平行线交延长线于点，则，过点作延长线的垂线，垂足为点， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设， 则在中，由勾股定理得， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 题型02 利用三角函数求解四边形中的问题 / 【典例】（2025·内蒙古·中考真题）如图，是一个平行四边形纸片，是一条对角线，，．    (1)如图1，将平行四边形纸片沿折叠，点的对应点落在点处，交于点． ①试猜想与的数量关系，并说明理由； ②求的面积； (2)如图2，点，分别在平行四边形纸片的，边上，连接，且，将平行四边形纸片沿折叠，使点的对应点落在边上，求的长． 【答案】(1)①，理由略；② (2) 【分析】本题考查平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，三角函数，相似三角形的判定与性质，勾股定理。熟练掌握相关性质是解题的关键． （1）①由翻折得，，利用四边形是平行四边形，可证明，，再证明，即可求证； ②由，得，过点作于点，过点作于点，利用等腰三角形性质得，求出，可得，利用勾股定理求出，即可求解； （2）过点作于点，连接交于点，过点作于点，由翻折的性质得，同（2）可得，利用，求出，可得，证明，得出，求出，证明，利用相似三角形的性质即可求解． 【详解】（1）解：①由翻折得，， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴，， 又∵， ∴， ∴； ②由， ∴， 如图，过点作于点，过点作于点，    ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：过点作于点，连接交于点，过点作于点，    由翻折的性质得， 同（2）可得， ∴， ∴， 即， 得， ∴， ∵平行四边形中，，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 即， 解得：． 【变式】 1．（2025·四川资阳·中考真题）在四边形中，是边上的一点，是对角线的中点． (1)如图1，四边形是正方形，连接，作交于点，求证：； (2)如图2，四边形是平行四边形，，连接，作交于点，连接，求的值； (3)如图3，四边形是菱形，，连接交于点是边上的一点，，若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）连接，根据正方形的性质，利用得到，即可证明结论； （2）过点A作于点G，过点F作于点，根据勾股定理求出长，然后根据平行四边形的面积公式求出长，根据正切得到长，然后设，则，求出长，再根据正切得到求出a的值，解答即可； （3）过点D作于点P，作于点Q，设，求出，，然后表示，，在射线上截取，在射线上截取，根据全等得到，，，然后根据勾股定理求出x值，再根据相似三角形的对应边成比例解答即可． 【详解】（1）证明：连接， ∵是正方形，， ∴，，， ∴， ∴， ∴； （2）解：过点A作于点G，过点F作于点， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，即， 设，则， ∴， 同理可得，即， 解得， ∴， 又∵O是的中点， ∴， ∴， ∴； （3）解：过点D作于点P，作于点Q，设， ∵是菱形， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴，， 在射线上截取，在射线上截取， ∵是菱形， ∴，， ∴，， 又∵， ∴， ∴，， 同理：，， ∴， ∴， ∴，即， ∴， 解得， 又∵， ∴，， ∴， ∴，即， 解得：， 又∵O是的中点， ∴， ∴． 2．（2025·浙江·中考真题）在菱形中，． (1)如图1，求的值． (2)如图2，E是延长线上的一点，连接，作与关于直线对称，交射线于点P，连接． ①当时，求的长． ②求的最小值． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】（1）先根据菱形的性质可得，再根据勾股定理可得，然后根据正弦的定义求解即可得； （2）①连接，设交于点，同理求出，则；证明，得到，由轴对称的性质可得，则，据此可得，即可得到； ②由勾股定理得，根据，可求出，根据，可推出当有最小值时，有最小值，即此时有最大值，即当有最小值时，有最小值；过点B作于H，于T，由等面积法可得，则由轴对称的性质可得，由勾股定理得，则当有最小值时，有最小值，由垂线段最短可知，故当点P与点T重合时，有最小值，最小值为，据此求解即可． 【详解】（1）解：如图1，设交于点， ∵在菱形中，， ∴， ∴， ∴； （2）解：①如图所示，连接，设交于点， ∵四边形是菱形， ∴，，，， ∴， ∴； ∵，， ∴， ∴， 由轴对称的性质可得， ∴， ∴， ∴； ②在中，由勾股定理得 ∵， ∴ ， ∵， ∴要使的值最小，则要最大， ∴要有最小值， 又∵的值随着的值增大而增大， ∴的值随着的值增大而增大， ∴当有最小值时，有最小值，即此时有最大值， ∴当有最小值时，有最小值； 如图所示，过点B作于H，于T， ∵， ∴， ∴由轴对称的性质可得， 在中，由勾股定理得， ∴当有最小值时，有最小值， 由垂线段最短可知， ∴当点P与点T重合时，有最小值，最小值为， ∴， ∴． 题型03 利用三角函数求解圆中的问题 / 【典例】（2025·四川乐山·中考真题）如图，为的外接圆，直径垂直于弦，垂足为点．点为圆外一点，连结、、，． (1)求证：为的切线； (2)若，，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）先由垂径定理得到，则，再导角证明，则，即可证明； （2）可证明四边形是平行四边形，则，，然后解求出，连接，设，则，在中，由勾股定理得，求出，再由即可求解． 【详解】（1）证明：∵直径垂直于弦， ∴，， ∴， ∴ ∵ ∴， ∴， ∴， 即， ∵为半径， ∴为的切线； （2）解：∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵， ∴， 设， ∴， ∴， ∴， 连接，如图： 设，则 在中，由勾股定理得， ∴， 解得：， ∴． 【变式】 1．（2025·四川内江·中考真题）如图，在中，，的平分线交于点D，点O是边上一点，以点O为圆心、长为半径作圆，恰好经过点D，交于点E． (1)求证：直线是的切线； (2)若点E为的中点，，求阴影部分的面积； (3)连接，若，求的值． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】本题主要考查了求不规则图形面积，解直角三角形，相似三角形的性质与判定，切线的判定，勾股定理等等，熟知相关知识是解题的关键． （1）连接，由角平分线的定义得到，再由等边对等角得到，则，据此可证明，得到，由此可证明是的切线； （2）根据线段之间的关系证明，解直角三角形可得，则可求出，再根据列式计算即可； （3）由直径所对的圆周角是直角得到，解得到，设，由勾股定理可得；证明，进而证明，得到，则，，进而可求出，再根据余弦的定义可得答案． 【详解】（1）证明：如图所示，连接， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是的半径， ∴是的切线； （2）解：∵点E为的中点， ∴， ∵， ∴， 由（1）可得， 在中，， ∴， ∴， ∴； （3）解：∵是的直径， ∴， 在中，， 设， ∴； ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，． 2．（2025·江苏无锡·二模）如图，为圆的直径，、为圆上不同于、的两点，过点作圆的切线交直线于点，直线于点． (1)求证：； (2)若，且，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2)2 【分析】（1）连接，根据等腰三角形性质和外角的性质得出，根据切线的性质得出，即可证得，根据平行线的性质得出，即可证得； （2）连接，根据圆周角定理得出，求出，利用写出比例，列出方程即可求解． 本题考查了圆切线的性质，平行线的判定和性质，三角形相似的判定和性质，解直角三角形等，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】（1）连接， ∵切于是的半径， （2）∵为所对圆周角， ∴， ∴． 连接， ∵为的直径， ， ， ， ， ， ∴设则 ， ∴， ， ， ， ． 重难点四 锐角三角函数应用 1.解直角三角形的应用: (1)仰角和俯角问题： 仰角：在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫做仰角． 俯角：在视线与水平线所成的角中，视线在水平线下方的角叫做俯角． (2)坡度和坡角问题： 坡度：坡面的铅直高度h和水平宽度l的比叫做坡面的坡度（或坡比），记作i=． 坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作α，i=tanα．坡度越大，α角越大，坡面越陡． (3)方向角问题： 指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角叫做方向角． 特别的， 北偏东45度也叫东北方向；北偏西45度也叫西北方向； 南偏东45度也叫东南方向；南偏西45度也叫西南方向。 2.解直角三角形实际应用的一般步骤 （1）审题，根据题意画出相应图形，建立数学模型； （2）转化：将实际条件转化为几何图形中的边、角或它们之间的关系，把实际问题转化为解直角三角形问题； （3）解决：选择合适的边角关系式，解决问题； （4）检验：检验答案是否符合实际生活． 题型01 利用三角函数解决实际问题 / 【典例】（2025·贵州·模拟预测）一酒精消毒瓶如图①，为喷嘴，为按压柄，为伸缩连杆，和为导管，其示意图如图②，，，． (1)当按压柄按压到底时，转动到，此时（如图③）．求旋转的角度； (2)求点D到直线的距离（结果精确到）．（参考数据：，，，，，） 【答案】(1)旋转的角度为 (2)点D到直线EF的距离为 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． （1）根据平行线的性质可求出，从而求出； （2）过点D作，垂足为G，过点E作，垂足为H，分别在和中，利用锐角三角函数的定义求出，的长，进行计算即可解答． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵， ∴， 答：旋转的角度为； （2）如图③，过点D作，垂足为G，过点E作，垂足为H， 在中，， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴点D到直线的距离为． 【变式】 1．（2025·福建福州·一模）综合与实践：探究遮阳伞下的影子长度． 素材1：图1是某款自动旋转遮阳伞，伞面完全张开时张角呈，图2是其侧面示意图． 已知支架长为米，且垂直于地面，悬托架米，点固定在伞面上，且伞面直径是的4倍．当伞面完全张开时，点始终共线．为实现遮阳效果最佳，伞面装有接收器可以根据太阳光线的角度变化，自动调整手柄沿着移动，以保证太阳光线与始终垂直． 素材2：某地区某天下午不同时间的太阳高度角（太阳光线与地面的夹角）参照表： 时刻 12点 13点 14点 15点 16点 17点 太阳高度角（度） 90 75 60 45 30 15 素材3：小明坐在露营椅上的高度（头顶到地面距离）约为1米，如图2，小明坐的位置记为点． 任务1： （1）某一时刻测得米， ①请直接写出________； ②请求出此时影子的长度； 任务2： （2）这天14点，小明坐在离支架3米处的点，请判断此时小明是否会被太阳光照射到？请你说明理由． 【答案】任务米，;米；任务小明会被照射到 【分析】本题主要考查真实情景下的解直角三角形的实际运用，涉及正弦、余弦、正切三角函数的运用，等腰三角形的性质与勾股定理，矩形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，熟练掌握三角函数是解题关键． 任务1：①由可得答案；如图，过作于，结合等腰三角形的性质与勾股定理可得，进一步可得答案；②先过点作于点，过点作于点，再求出，从而结合，可证，最后利用三角函数即可得出的长度； 任务2：如图，过点作交于点，在中，米米，可得米，在中，米，在中，米，在中，当时，米，进一步求解即可． 【详解】解：任务1：悬托架米，点固定在伞面上，且伞面直径是的4倍， （米）， 如图，过作于，而， 故答案为：; ②如图，过点作于点，过点作于点， 结合题意可得：四边形为矩形， 由条件可知米， 在中，， 又， 解得：米， 此时影子的长度为米； 任务2：小明会被照射到．理由如下： 如图，过点作交于点 由条件可知， 由条件可知是等边三角形， 米， . 米， 米， 当时，米， 小明刚好被照射到时离点的距离为， 小明会被照射到. 2．（2025·重庆·模拟预测）如图是某湿地公园健身步道示意图．小明准备从点A出发到公园广场点F处玩耍，已知从点A到点F有两条路线可以选择：①A→B→C→F；②A→D→E→F．经勘测，F在A的正东方向，且在C的正南方向450米处，在E的正北方向360米处，A在B的南偏西方向，D在A的东南方向，C、E分别在B、D的正东方向且米．（参考数据：，） (1)求路线①的长度．（结果精确到个位） (2)由于路线②道路较窄，平均步行速度为，路线①平均步行速度，请通过计算说明小明应该选择哪条路线才能尽快到达广场． 【答案】(1)1369米 (2)选择路线① 【分析】本题主要考查解直角三角形的应用，解题的关键是理解题意； （1）过点B作于点M．由题意知，四边形是矩形，，，则有，然后根据三角函数可进行求解； （2）过点D作于点N，由题意，四边形是矩形，，，则有，进而根据三角函数可进行求解． 【详解】（1）解：过点B作于点M． 由题意知，四边形是矩形，，， ∴． ∵在中， ∴（米）． ∴路线①的长度为： ． 答：路线①的长度约为1369米． （2）解：过点D作于点N， 由题意，四边形是矩形，，， ∴， 在中，∴米，米， 由（1）知，（米）， 米， ∴米． ∴米， ∴路线②需要的时间为： ， 路线①需要的时间为： ， ∵， ∴小明应选择路线①才能尽快到达广场． 答：小明应选择路线①才能尽快到达广场． 1．（2025·广西·中考真题）在中，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查锐角三角函数的定义．根据锐角三角函数定义直接进行解答，即可． 【详解】解：∵在中，， ∴． 故选：B 2．（2025·广东·中考真题）如图，在矩形中，，是边上的三等分点，连接，相交于点，连接．若，，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查矩形的性质，相似三角形的判定和性质，求角的正切值，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据矩形的性质，证明，得到，然后过点作，得到，根据相似三角形对应边成比例分别求出的长，进而求出的长，再利用正切的定义求解即可． 【详解】解：∵矩形，，是边上的三等分点，，， ∴，，，，， ∴， ∴， ∴， 过点作，则， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴； 故选：B． 3．（2025·天津·中考真题）的值等于（   ） A．0 B．1 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查特殊角的三角函数值的计算，代入各特殊角的三角函数值后按运算顺序计算，即可求解． 【详解】解： 故选：A． 4．（2025·四川绵阳·中考真题）如图，在正方形中，点在的延长线上，点是的中点，连接并延长交于点，连接，则（） A． B． C． D．2 【答案】B 【分析】先根据正方形边长和已知条件求出各线段长度，通过证明三角形全等得到的长度，再利用勾股定理求出、、的长度，最后通过勾股定理逆定理判断三角形形状，进而求出． 【详解】解：∵正方形中，， ∴，． ∵， ∴． ∵是的中点， ∴． ∵，，， ∴（）， ∴，． 在中，，， ∴． 在中，，， ∴． 在中，，， ∴． ∵， ∴是直角三角形，且． ∴． 故选：． 5．（2025·青海西宁·中考真题）如图，用四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，得到大正方形和小正方形，连接交于点P．若，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查求角的正切值，相似三角形的判定和性质，三线合一，全等三角形的性质，根据题意，设，，则：，三线合一，得到，进而得到，证明，得到，进而求出的数量关系，再根据正切的定义，进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：， ∴设，，则：， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即：， 解得或（不合题意，舍去）； 在中，； 故选A． 6．（2025·江苏镇江·中考真题）如图，小丽从点出发，沿坡度为的坡道向上走了120米到达点，则她沿垂直方向升高了（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】D 【分析】本题考查了解直角三角形，熟练掌握解直角三角形的方法是解题关键．如图（见解析），根据可得的长，由此即可得． 【详解】解：如图，由题意得：，米， ∴， ∴米， 即她沿垂直方向升高了米， 故选：D． 7．（2025·江苏无锡·中考真题）如图，与相切于点，连接，过点作的垂线，交于点，连接，交线段于点．若，则的值为 ． 【答案】 【分析】利用平行线的判定与性质证明，再求得，再利用直角三角形的边角关系解答即可． 【详解】解：∵与相切于点B， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． ∴． 故答案为：． 8．（2025·江苏扬州·中考真题）如图1，棱长为的密封透明正方体容器水平放置在桌面上，其中水面高度．将此正方体放在坡角为的斜坡上，此时水面恰好与点齐平，其主视图如图2所示，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了求角的正切值、一元一次方程的几何应用、主视图、平行线的性质等知识，熟练掌握正切的定义是解题关键．延长，交直线于点，设，则，先根据水的体积不变建立方程，解方程可得的值，再根据平行线的性质可得，然后根据正切的定义计算即可得． 【详解】解：如图，延长，交直线于点， 由题意得：， 设，则， ∵密封透明正方体容器水平放置在桌面上与放在坡角为的斜坡上，容器里水的体积不变；且放在坡角为的斜坡上时，水的体积等于长为、宽为、高为的长方体的体积与长为、宽为、高为的长方体的体积的一半之和， ∴， 解得， 即， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 9．（2025·山东滨州·中考真题）【活动背景】 如图，建筑物、的高度不可直接测量．为测量建筑物、的高度，技术员小李用皮尺测得A、B之间的水平距离为，用测角仪在C处测得D点的俯角为，测得B点的俯角为． 【问题解决】 (1)请运用技术员小李提供的数据求出建筑物、的高度（结果保留整数）；（参考数据：，，，，，） (2)请再设计一种测量建筑物、高度的方案（建筑物的宽度忽略不计），画出平面示意图，把应测数据在示意图中用字母标记出来，并用含字母的式子表示出建筑物、的高度．（可提供的测量工具：皮尺、测角仪） 【答案】(1)建筑物的高度约为，建筑物的高度约为； (2)图见解析，建筑物的高度为，建筑物的高度为． 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，掌握锐角三角函数是解题关键． （1）过点作于点，则四边形是矩形，由题意可知，，，，在直角三角形中，利用正切值求解即可； （2）画出示意图，用皮尺测得A、B之间的水平距离为，用测角仪在A处测得D点的仰角为，在B处测得C点的仰角为．再利用正切值求解即可． 【详解】（1）解：如图，过点作于点，则四边形是矩形， 由题意可知，，，， ，， 在中，， ， 在中，， ， ， ， 答：建筑物的高度约为，建筑物的高度约为； （2）解：平面示意图如下： 用皮尺测得A、B之间的水平距离为，用测角仪在A处测得D点的仰角为，在B处测得C点的仰角为． 在中，， 在中，， 10．（2025·青海西宁·中考真题）综合与实践 【问题提出】 原题呈现（人教版九年级下册85页第14题） 如图1，在锐角中，探究，，之间的关系． 【问题探究】 将下列探究过程补充完整： （1）如图1，过点A作，垂足为D，过点B作，垂足为E． 在中，，   ∴， 在中，，   ∴， ∴，即， 同理，在中，_____， 在中，_____， ∴___________， 即， ∴； 【结论应用】 （2）如图2，在中，，，．求，的长．（结果保留小数点后一位；参考数据：，．） 【深度探究】 （3）如图3，是锐角的外接圆，半径为． 求证：． 【拓展应用】 （4）如图4，在中，，，，D是线段上的一个动点，以为直径的分别交，于点E，F，连接．则线段长度的最小值是________． 【答案】（1），，，；（2），；（3）证明见解析；（4）． 【分析】（1）根据三角函数的定义，类比题目求解即可； （2）根据（1）中结论可知，代入相关数值求解即可； （3）连接，延长分别交于D，E，连接，根据直径对直角和圆周角定理可知，，根据三角函数的定义，分别在，，，中，可得，，即可得证； （4）过O作，连接，，根据垂径定理，圆周角定理和三角函数可得，当时，最小，此时也最小，根据三角函数求出最小值，即可得解． 【详解】（1）解：同理，在中，， 在中  ，， ∴， 即， ∴； 故答案为：，，，； （2）解：， ， 由（1）知：， ， ，， ，； （3）证明：连接，延长分别交于D，E，连接，则， ， 是直径， ， 在中，， ∴， 在中，，   ∴， ∴ ， 同理，在中，， 在中，可得， ， ∴； （4）解：过O作，连接，， ， ， ， ， ， ， 在中，， ， ， 当时，最小，此时也最小， 过A作于， 在中，， ， ， 长度的最小值是， 故答案为：． 1．（2025·江苏苏州·中考真题）两个智能机器人在如图所示的区域工作，，，直线为生产流水线，且平分的面积（即D为中点）．机器人甲从点A出发，沿的方向以的速度匀速运动，其所在位置用点P表示，机器人乙从点B出发，沿的方向以的速度匀速运动，其所在位置用点Q表示．两个机器人同时出发，设机器人运动的时间为，记点P到的距离（即垂线段的长）为，点Q到的距离（即垂线段的长）为．当机器人乙到达终点时，两个机器人立即同时停止运动，此时与t的部分对应数值如下表： 0 5.5 0 16 16 0 (1)机器人乙运动的路线长为________m； (2)求的值； (3)当机器人甲、乙到生产流水线的距离相等（即）时，求t的值． 【答案】(1)55 (2) (3)或 【分析】（1）利用勾股定理求解即可； （2）利用直角三角形斜边中线的性质求得，得到，，推出，，分当点Q在上和点Q在上时，两种情况讨论，分别求得，，据此求解即可； （3）根据题意求得，分当点Q在上和点Q在上时两种情况讨论，列式一元一次方程方程，求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵D为中点， ∴， ∵， ∴机器人乙运动的路线长为， 故答案为：55； （2）解：根据题意，得， ∵中，，为中点， ∴， ∴，， ∴，， 当点Q在上时，， ∴，解得， 当点Q在上时，作，垂足为H（如图）， 则． ∵， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴； （3）解：当时，， 此时，， ∴， ∴， ∴， 当点Q在上时，由，得， 解得． 当点Q在上时，由，得， 解得． ∴或． 2．（2025·江苏连云港·中考真题）已知是的高，是的外接圆． (1)请你在图1中用无刻度的直尺和圆规，作的外接圆（保留作图痕迹，不写作法）； (2)如图2，若的半径为，求证：； (3)如图3，延长交于点，过点的切线交的延长线于点．若，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了作三角形的外接圆，相似三角形的性质与判定，切线的性质，解直角三角形，熟练掌握以上知识是解题的关键； （1）分别作的垂直平分线交于点，以为半径作圆，即可求解． （2）作的直径，连接，证明，根据相似三角形的性质，即可求解； （3）连接，根据为的切线，得出，进而证明是等边三角形，得出，在，中分别求得，根据（2）的结论求得，即可求解． 【详解】（1）解：如图所示， （2）解：如图2，作的直径，连接， ∴，， ∵是的高， ∴． ∵， ∴． ∴，即， ∴． （3）如图3，连接， ∵为的切线， ∴． ∵，， ∴， ∴，． ∵， ∴是等边三角形，， ∴，， ∴． 在中，，，， ∴，， 在中，， 在中，， 代入，得， 即． 3．（2025·四川南充·中考真题）如图，中，于点D，以为直径的交于点E，交于点F，M为线段上一点，． (1)求证：是的切线． (2)若， ，求的长． 【答案】(1)详见解析 (2) 【分析】本题主要考查了切线的证明、直径所对的圆周角等于90度、全等三角形的判定与性质、解直角三角形等知识点．熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）如图：连接，利用证明 得到即可证明是的切线； （2）如图：连接，先说明，即．再根据圆周角定理可得；设，，由勾股定理可得，即．解答，进而得到、；由全等三角形的性质可得，进而得到；则，然后求得即可解答． 【详解】（1）证明：如图：连接， 在与中， ， ∴． ∴， ∴为的切线． （2）解：如图：连接． ∵，， ∴． ∴．． ∵为直径， ∴，． 设，，， ∴． ∴，，． ∵， ∴． ∵， ∵， ∴， ∴， ∴． ∴． ∴． 4．（2025·江苏淮安·中考真题）综合与实践 【主题】雨天撑伞的学问 【情境】图（1）、图（2）是小丽在雨天水平撑伞的示意图，她的身体侧面可以近似看作矩形，米，米，雨伞撑开的宽度米，伞柄的部分长为米，点为中点，，点到地面的距离是米，手臂可以水平向前最长伸出米，雨线与地面的夹角为，雨线与平行，与地面平行． 【问题感知】（1）①在图（1）、图（2）中，点到地面的距离是 米； ②如图（1）所示，，若小丽将伞拿在胸前（与在同一条直线上），则小丽身体被雨水淋湿的部分 米．（参考数据：，，） 【问题探究】（2）如图（2）所示，，设小丽将手臂水平前伸了米（即线段的长度），身体被雨水淋湿部分的长度为米，求与的函数表达式，并写出头部不被淋湿情况下的取值范围． 【问题解决】（3）在（2）的条件下，小丽发现水平撑伞身体始终有部分会被淋湿，于是她将雨伞绕点顺时针旋转一定角度（点到地面的距离保持不变），使得与雨线垂直，如图（3）所示，试问：小丽在旋转雨伞后，是否可以通过调节手臂水平前伸长度，使得全身都不会被雨淋湿？如果可以，请求出的最小值；如果不可以，请说明理由． 【答案】（1）①；②；（2）；（3）可以，的最小值为． 【分析】本题主要考查实际情景中的数学问题，涉及解直角三角形，平行线的性质，解题的关键是通过作辅助线构建直角三角形进行求解． （1）①根据题意，直接求线段长即可；②利用平行线的性质，两直线平行同位角相等，再借助直接三角形求解； （2）延长交于点，先求出相关角，再利用，接着可得，延长交于点，过作交于，为保证头部不被淋湿，即，建立不等式求解即可； （3）设小丽将手臂水平前伸了米时，身体恰好不会被淋湿，计算出此时的值，再判断此时头部是否被淋湿即可． 【详解】解：（1）①由题意知，米，米， 米， 即点到地面的距离是米， 故答案为：； ②米，点为中点， 米， ， ， ， ， 在中，米， 米， 故答案为：； （2）如图，延长交于点， 则， 米， ， ， ， ， 在中，米， ， 即， 延长交于点，过作交于， 则（米），，， 为使头部不被淋湿， 所以， 解得，又， 所以； ； （3）设小丽将手臂水平前伸了米时，身体恰好不会被淋湿，如图， 延长交于点，过作交于， 延长交于，过作交于， 则，，， ， 所以在中，，， 在中，， 所以， 在中，， 又， 所以此时头部不会被淋湿， 综上，可以通过调节手臂水平前伸长度，使得全身都不会被雨淋湿，的最小值为． 2 / 40 学科网（北京）股份有限公司 $