第05讲 平行线（6知识点+15考点+过关检测）（寒假预习讲义）七年级数学新教材沪教版五四制

第05讲 平行线 内容导航——预习三步曲 第一步：导 串知识 识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标明确内容掌握 第二步：学 析教材 学知识：教材精讲精析、全方位预习 练考点 强知识：核心题型举一反三精准练 第三步：测 过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点1 ：平行线的定义与表示 ◆1、平行线定义：在同一个平面内，不相交的两条直线叫做平行线． 记作：AB∥CD； 记作：a∥b； 读作：直线AB平行于直线CD． 读作：直线a平行于直线b． 【注意】 1、在同一平面内，不重合的两条直线只有两种位置关系：相交和平行．(重合的直线视为一条直线) 2、.线段或射线平行是指它们所在的直线平行． ◆2、平行线的画法 ◆过直线外一点画已知直线的平行线的方法： 一“落”把三角尺一边落在已知直线上； 二“靠”把直尺紧靠三角尺的另一边； 三“移”沿直尺移动三角尺，使三角尺与已知直线重合的边过已知点；四“画”沿三角尺过已知点的边画直线． 1．经过直线上一点不能作已知直线的平行线． 2．画线段或射线的平行线是指画它们所在直线的平行线． 3．借助三角尺画平行线时，必须保持紧靠，否则画出的直线不平行. 如图所示，能相交的是 　 　，平行的是 　 　．（填序号） 知识点2 ：平行公理 ◆1、平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与该直线平行. ◆2、平行公理得到的定理：在同一平面上，如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行. 也就是说：如图，如果b∥a，c∥a，那么b∥c. 几何语言：∵ b∥a，c∥a，∴ b∥c. 【注意】 1、平行公理的推论中，三条直线可以不在同一个平面内． 2、平行公理中强调“直线外一点”，因为若点在直线上，不可能有平行线；“有且只有”强调这样的直线是存在的，也是唯一的． 如图，已知直线a和直线a外一点A． （1）完成下列画图：过点A画AB⊥a，垂足为点B，画AC∥a； （2）过点A你能画几条直线和a垂直？为什么？过点A你能画几条直线和a平行？为什么？（3）说出直线AC与直线AB的位置关系． 知识点3：同位角、内错角、同旁内角 ◆1、同位角 两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的同侧，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同位角． ◆2、内错角 两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线（截线）的两旁，则这样一对角叫做内错角． ◆3、同旁内角 两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同旁内角． ◆4、 同位角、内错角、同旁内角的特征 【注意】三线八角中的某两个角是不是同位角、内错角或同旁内角，完全由那两个角在图形中的相对位置决定．在复杂的图形中判别三类角时，应从角的两边入手，具有上述关系的角必有两边在同一直线上，此直线即为截线，而另外不在同一直线上的两边，它们所在的直线即为被截的线．同位角的边构成“F“形，内错角的边构成“Z“形，同旁内角的边构成“U”形． 如图，已知射线BA，BC被直线EF所截，则与是（   ） A．对顶角 B．同位角 C．内错角 D．邻补角 知识点4：平行线的判定方法 ◆1、平行线的判定： 判定方法1：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行． 简单说成：同位角相等，两直线平行． 几何语言表示： ∵∠2＝∠3(已知)， ∴a∥b(同位角相等，两直线平行)． 判定方法2：两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行． 简单说成：内错角相等，两直线平行． 几何语言表示： ∵∠2＝∠4(已知)， ∴a∥b.(内错角相等，两直线平行)． 判定方法3：两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行． 简单说成：同旁内角互补，两直线平行． 几何语言表示： ∵∠1＋∠2＝180°(已知)， ∴a∥b(同旁内角互补，两直线平行)． ◆2、在同一平面内，垂直于同一条直线的两直线垂直． 几何语言表示： 直线a，b，c在同一平面内， ∵a⊥c，b⊥c，∴a∥b． 【注意】三条直线在“同一平面内”是前提，没有这个条件结论不一定成立. ◆3、判定两直线平行的方法 （1）平行线的定义； （2）平行公理的推论（如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行）； （3利用同位角相等说明两直线平行； （4）利用内错角相等说明两直线平行； （5）利用同旁内角互补说明两直线平行； （6）同一平面内，垂直于同一直线的两直线平行. 如图，直线a、b被直线c所截，下列选项中不一定能判定的是（    ） A． B． C． D． 知识点5：反证法 ◆1、反证法：假设命题的结论不成立，由此经过推理得出矛盾，由矛盾断定所作假设不正确，从而得到原命题成立，这种方法叫做反证法. 反证法是一种间接证明命题的方法. ◆2、用反证法证明命题的一般步骤： ①假设原命题不成立； ②以此为依据进行推理，产生矛盾（与公理、定理或条件矛盾）； ③得出假设不成立，从而原命题成立. 用反证法证明“若在同一平面内，，，则”时，应假设（    ） A．与平行 B．与相交 C． D．与不平行，与不平行 知识点6：平行线的性质 ◆1、平行线性质定理 性质定理1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等． 简单说成：两直线平行，同位角相等． 几何语言表示： ∵a∥b(已知)， ∴∠2＝∠3(两直线平行，同位角相等)． 性质定理2：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等． 简单说成：两直线平行，同位角相等． 几何语言表示： ∵a∥b(已知)， ∴∠2＝∠4.(两直线平行，内错角相等)． 性质定理3：两条平行线被地三条直线所截，同旁内角互补． 简单说成：两直线平行，同旁内角互补． 几何语言表示： ∵a∥b(已知)， ∴∠1＋∠2＝180°(同旁内角互补，两直线平行)． ◆2、平行线的判定与性质 （1） 平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系． 平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系． （2）应用平行线的判定和性质定理时，一定要弄清题设和结论，切莫混淆． （3）平行线的判定与性质的联系与区别： 区别：性质由形到数，用于推导角的关系并计算；判定由数到形，用于判定两直线平行． 联系：性质与判定的已知和结论正好相反，都是角的关系与平行线相关． （4）辅助线规律，经常作出两平行线平行的直线或作出联系两直线的截线，构造出三类角． 如图，直线m∥n，且分别与直线l交于A，B两点，把一块含60°角的三角尺按如图所示的位置摆放，若∠2＝98°，则∠1＝　 　． 【题型1 平面内两直线的位置关系】 【典例1】（24-25七年级下·上海闵行·月考）下列语句中，正确的有（　　）个． ①过一点有且只有一条直线与已知直线平行； ②过一点有且只有一条直线与已知直线垂直； ③在同一平面内，两条直线的位置关系只有相交和平行两种； ④垂直于同一条直线的两条直线垂直． A．1 B．2 C．3 D．4 【变式1】（24-25七年级下·全国·单元测试）如图，已知直线与直线平行，下列表示方法正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】如图，直线和直线的位置关系是（    ） A．平行 B．相交 C．垂直 D．不平行也不相交 【变式3】（25-26七年级上·全国·课后作业）将一张长方形纸片按如图所示方式对折两次，第二次对折产生的折痕与第一次对折产生的折痕之间的位置关系是（   ） A．平行 B．垂直 C．平行或垂直 D．无法确定 【题型2 作已知直线的平行线】 【典例1】（24-25七年级下·上海·期中）如图，在中，，点是延长线上一点，过点画直线，过点画射线交于点． (1)按题意画图，将图形补充完整； (2)若比的4倍少，则______． 【变式1】（24-25七年级下·上海·期中）按下列要求画图并填空： 如图，点P为内部一点， (1)过点P画出，交于E． (2)过点P画出于F． (3)点E到直线的距离是线段______的长． 【变式2】（24-25七年级下·上海闵行·月考）如图，直线与直线相交，点为直线、外一点，根据下列语句画图： (1)过点画直线交于点； (2)过点画直线，垂足为点； (3)过点画的垂线段，垂足为点． 【题型3 平行公理的应用】 【典例1】已知直线及其外一点B，过B点作，过B点作，点A，C分别为直线，上任意一点，那么A，B，C三点一定在同一条直线上，依据是 ． 【变式1】（25-26七年级下·全国·课后作业）在同一平面内有2026条互不重合的直线，，…，，如果，，，，…，以此类推，那么与的位置关系是（    ） A．垂直 B．平行 C．垂直或平行 D．不能确定 【变式2】如图，当风车的一片叶子旋转到与地面平行时，叶子所在的直线与地面 ，理由是 ． 【变式3】如图，，，则点M，C，N在同一条直线上，理由是 . 【题型4 平行公理推论的应用】 【典例1】已知a∥b，c∥d，若由此得出b∥d，则直线a和c应满足的位置关系是（　　） A．在同一个平面内 B．不相交 C．平行或重合 D．不在同一个平面内 【变式1】下面推理正确的是（　　） A．∵a∥b，b∥c，∴c∥d B．∵a∥c，b∥d，∴c∥d C．∵a∥b，a∥c，∴b∥c D．∵a∥b，c∥d，∴a∥c 【变式2】下列语句正确的有（　　）个 ①任意两条直线的位置关系不是相交就是平行 ②过一点有且只有一条直线和已知直线平行 ③过两条直线a，b外一点P，画直线c，使c∥a，且c∥b ④若直线a∥b，b∥c，则c∥a． A．4 B．3 C．2 D．1 【题型5 反证法】 【典例1】“证明：若，则”，用反证法证明这个结论时，应先假设（   ） A． B． C． D． 【变式1】用反证法证明：中，，则，第一步应假设（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25七年级下·上海松江·月考）用反证法证明：已知，，是平面内3条不同的直线，如果，，那么 ． 证明：假设 ，那么它们相交于一点． 因为，，过点的两条直线、都与直线垂直．这与基本事实“ ”矛盾，故假设不成立．所以 ． 【变式3】（25-26八年级上·全国·课后作业）已知：如图，直线，直线分别与直线，交于点G，H，和是同位角．求证：． 【题型6 同位角、内错角、同旁内角】 【典例1】（24-25七年级下·全国·课后作业）下列各选项中，和是同位角的是（    ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26七年级下·全国·课后作业）下列图形中，与是内错角的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】如图，直线、被直线所截，与是同旁内角的是（   ） A． B． C． D． 【变式3】如图所示，下列说法错误的是（   ） A．与是同位角 B．与是内错角 C．与是同旁内角 D．与是同旁内角 【题型7 添加条件判定两直线平行】 【典例1】（24-25七年级下·上海虹口·期末）如图，要使得与互补，可以添加的条件是（   ） A． B． C． D． 【变式1】（23-24七年级下·全国·单元测试）如图，下列条件中，不能判断直线的是（　　） A． B． C． D． 【变式2】（23-24七年级下·上海虹口·期中）如图， 点 D、C分别在、上，相交于点O， 下列条件中，不能判定的是（      ） A． B． ． C． D．． 【变式3】（24-25七年级下·上海杨浦·期中）如图，下列条件可以推出的有（   ） ①；        ②；     ③；    ④． A． ①④ B．②③ C．①③ D．②④ 【题型8 平行线判定的证明】 【典例1】（24-25七年级下·上海·月考）如图，，，，证明：． 【变式1】 （23-24七年级下·上海宝山·期中）如图，已知，，试说明的理由． 【变式2】（24-25七年级下·上海静安·期末）如图，已知点E、D、C、F在一条直线上，，平分，． （1）与平行吗？请说明理由； （2）与的位置关系如何？为什么？ 注：本题第（1）、（2）小题在下面的解答过程的空格内填写理由或数学式； 解：（1），理由如下： ∵（平角的定义）， （已知）， ∴ （        ）， ∴ （        ）． （2）与的位置关系是： ． ∵平分（已知）， ∴（角平分线的定义）， 又∵（已知）， ∴ ， ∴ （        ）． 【变式3】（24-25七年级下·上海崇明·期中）四边形中，点，点分别是，上一点，直线分别交，的延长线于，．，； (1)求证：； (2)若，那么会和平行吗？为什么？ 【题型9 利用平行线的性质求角度】 【典例1】如图，a∥b，∠1＝40°，∠2＝∠3，则∠4＝（　　） A．70° B．110° C．140° D．150° 【变式1】（24-25七年级下·上海·月考）如图，直线，点、、分别在直线、、上，若，，则 ． 【变式2】（24-25七年级下·上海青浦·期中）如图，平分，且．如果，那么 ． 【变式3】（23-24七年级下·上海长宁·期末）如图， 已知，，，试求的度数．    【题型10 借助三角板求角的度数 】 【典例1】将一直角三角板与两边平行的纸条如图所示放置，对于下列结论：①；②；③；④．其中正确结论的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式1】将一副三角板按如图所示摆放在两条平行线内，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25七年级下·上海·期末）如图，直线，将三角板的直角顶点放在直线上，如果，那么的度数是 ． 【题型11 利用平行线的性质探究角的关系 】 【典例1】如图，已知直线，则、、之间的关系是（ ） A． B． C． D． 【变式1】如图，已知，，则下列各式中一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级上·四川达州·开学考试）如图，直线，点O在直线上，下列结论正确的是（ ） A． B． C． D． 【题型12 平行线的性质在生活中的应用】 【典例1】五线谱是一种记谱法，通过在五根等距离的平行线上标以不同的音符构成旋律．如图，和是五线谱上的两条线，点在，之间的一条平行线上，若，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【变式1】在一个由工程车搭建的创意展览场景中，小明站在工程车旁边观察，发现从某个角度看，工作篮底部与支撑平台平行．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25七年级下·上海·月考）如图所示，修高速公路需开凿隧道，为节省时间，现从山的两侧、处同时开工．如果在处测得隧道的走向是北偏东，那么在处应按 方向开工，才能使隧道准确接通． 【变式3】如图①，“二八大杠”传统老式自行车承载了一代人的回忆，图②是它的几何示意图．已知，，当，时，的度数为 ． 【题型13 利用平行线解决折叠问题】 【典例1】（24-25七年级下·上海·期末）如图，将长方形纸条折叠，．按如图折叠，，则 ． 【变式1】（24-25七年级下·上海·期末）如图，现有一张长方形纸片，点，在上，点，在上，分别沿，折叠，使点和点都落在点处，点的对应点为点．点对应点为点．若.，则的度数为（　　） A．104° B．106° C．96° D．132° 【变式2】（24-25七年级下·上海黄浦·期中）如图①，已知长方形纸带，，，，点、分别在边，上，，如图②，将纸带先沿直线折叠后，点、分别落在、的位置，如图③，将纸带再沿折叠一次，使点落在线段上点的位置，那么的度数为 ． 【题型14 平行线的性质与判定求角度】 【典例1】（24-25七年级下·上海·月考）如图，已知，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【变式1】如图，，，，则等于（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25七年级下·上海·期中）如图①为北斗七星的位置图，如图②将北斗七星分别标为、、、、、、，将、、、、、、顺次首尾连接．若、、三点共线，恰好经过点，且，，，则 ． 【变式3】（2023·上海·模拟预测）如图，，，，那么 度． 【题型15 平行线的综合题】 【典例1】（24-25七年级下·上海闵行·月考）（1）问题：如图（1），若，，，求的度数． （2）问题迁移：如图（2），，点在的上方，问：、、之间有何数量关系?请说明理由． （3）联想拓展：如图（3），在（2）的条件下，已知，的平分线和的平分线相交于点，用含有的式子表示的度数．（直接写答案） 【变式1】（24-25七年级下·上海奉贤·期中）在学习了《相交线与平行线》后，数学小组进行探究平行线的“等角转化”功能的活动． (1)如图1，已知，． ①求证：； ②探究与之间有怎样的数量关系？并说明理由： (2)实际应用：如图2是路灯维护工程车的工作示意图，工作篮与支撑平台平行，如果，那么的度数为 ． 【变式2】（24-25七年级下·上海·期末）在学习了平行线的性质后，老师请同学们证明命题：两条平行线被第三条直线所截，一组同旁内角的平分线互相垂直． 小颖根据命题画出图形并写出如下的已知条件． 已知：如图1，，直线分别交于点E，F．的角平分线与的角平分线交于点G． (1)直线有何位置关系？直接写出结论 ． (2)在图1的基础上，分别作的角平分线与的角平分线交于点M，得到图2，求的度数． (3)如图3，，直线分别交于点E，F，点O在直线之间，且在直线右侧，的角平分线与的角平分线交于点P，请直接写出与满足的数量关系 ． 1、 选择题 1．下面各语句中，正确的有（    ） ①不相交的两条直线叫做平行线； ②在同一平面内，两条直线的位置关系只有相交和平行两种； ③如果线段和线段不相交，那么直线和直线平行； ④如果，，那么； ⑤过一点有且只有一条直线平行于已知直线． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．如图，P是直线l外一点，若经过点P画4条互不重合的直线，与直线l相交的直线至少有（    ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 3．如图，下列说法不正确的是（   ） A． B．和是同位角 C． D．和是内错角 4．（24-25七年级下·上海长宁·期末）如图，是直线上一点，平分，，，李军同学添加了一个条件后，仍不能判定，他添加的条件可能是（ ） A． B． C． D． 5．（24-25七年级下·上海崇明·期中）如图，将三角板与两边平行的直尺贴在一起，使三角板的直角顶点在直尺的一边上，若，则的度数是（　　） A． B． C． D． 6．（24-25七年级下·上海·月考）如图所示，直线、所成的角跑到画板外面去了，如何量出这两条直线所成角的度数．下列几种方法：①在直线上任取一点，过点作直线的平行线，量出与直线所成锐角的度数即为；②在直线上任取一点，过点作直线的垂线交直线于点，量出与直线所成锐角的度数即为；③在画板上任取一点，过点分别作直线、的平行线，量出它们所成锐角的度数即为．可行的是（    ） A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 7．如图，已知，连接得到，则下列各式中正确的是（   ） A． B． C． D． 8．（25-26八年级上·上海·月考）如果与的两边分别平行，比的4倍少，则的度数是（    ） A． B． C．或 D．以上都不对 2、 填空题 9．如图，在直线 的同侧有 ，， 三点，若，，那么 ，， 三点 （填“是”或“不是”）在同一条直线上，理由是 ． 10．（24-25七年级下·上海·月考）如图，已知直线、被直线所截，，且，，那么 11．（24-25七年级下·上海静安·期末）如图，已知，，，那么 ． 12．（24-25七年级下·上海浦东新·期中）如图所示，平面镜与平面镜平行，光线射向平面镜后，光的传播路线为，已知，，，那么 ． 13．（24-25七年级下·上海崇明·期中）如图，已知，平分，如果，那么 °． 14．（24-25七年级下·上海·期中）如图，已知长方形纸带，，，将纸带沿折叠后，点C、D分别落在H、G的位置，，再沿折叠， ． 3、 解答题 15．如图所示，在∠AOB内有一点P． （1）过P画l1∥OA； （2）过P画l2∥OB； （3）用量角器量一量l1与l2相交的角与∠O的大小有怎样关系？ 16．（24-25七年级下·上海嘉定·期中）如图，已知，与交于点，，，则的度数为多少？ 17．（24-25七年级下·上海·月考）一大门栏杆的平面示意图如图所示，垂直地面于点，平行于地面，若，求的度数； 解：过点作 ， _________________（______） （余下的说理过程请写在下方） 18．（24-25七年级下·上海普陀·期中）如图，已知：平分，平分，，求证：． 证明：∵， ∴____________，（______）． ∴______，（______）， ∵平分，平分， ∴，∠______． ∴． ∴． 19．（23-24七年级下·重庆渝北·期中）如图，已知，相交于点，，，分别在、、上，且，，，求证：．    20．（24-25七年级下·上海杨浦·期中）如图1，直线，直线、及直线把平面分成①、②、③、④、⑤、⑥六个部分．点P是其中的一个动点，连接、，观察、、三个角．规定：直线、、上的各点不属于①、②、③、④、⑤、⑥六个部分中的任何一个部分． (1)当动点P落在第①部分时，求证：． (2)探究：当动点P落在第②、③、⑤部分时，、、之间的关系是怎样的？请直接写出、、之间满足的关系式，不必说明理由． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 第05讲 平行线 内容导航——预习三步曲 第一步：导 串知识 识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标明确内容掌握 第二步：学 析教材 学知识：教材精讲精析、全方位预习 练考点 强知识：核心题型举一反三精准练 第三步：测 过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点1 ：平行线的定义与表示 ◆1、平行线定义：在同一个平面内，不相交的两条直线叫做平行线． 记作：AB∥CD； 记作：a∥b； 读作：直线AB平行于直线CD． 读作：直线a平行于直线b． 【注意】 1、在同一平面内，不重合的两条直线只有两种位置关系：相交和平行．(重合的直线视为一条直线) 2、.线段或射线平行是指它们所在的直线平行． ◆2、平行线的画法 ◆过直线外一点画已知直线的平行线的方法： 一“落”把三角尺一边落在已知直线上； 二“靠”把直尺紧靠三角尺的另一边； 三“移”沿直尺移动三角尺，使三角尺与已知直线重合的边过已知点； 四“画”沿三角尺过已知点的边画直线． 1．经过直线上一点不能作已知直线的平行线． 2．画线段或射线的平行线是指画它们所在直线的平行线． 3．借助三角尺画平行线时，必须保持紧靠，否则画出的直线不平行. 如图所示，能相交的是 　 　，平行的是 　 　．（填序号） 【分析】根据平行线、相交线的定义，逐项进行判断，即可正确得出结果． 【详解】解：①中一条直线，一条射线，不可相交，也不会平行； ②中一条直线，一条线段，不可相交，也不会平行； ③中一条直线，一条线段，可相交； ④中都是线段，不可延长，不可相交，也不平行， ⑤中都是直线，延长后不相交，是平行． 故答案为：③，⑤． 【点睛】本题考查平行线和相交线，解题的关键是掌握直线可以沿两个方向延伸，射线可以沿一个方向延伸，线段不能延伸． 知识点2 ：平行公理 ◆1、平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与该直线平行. ◆2、平行公理得到的定理：在同一平面上，如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行. 也就是说：如图，如果b∥a，c∥a，那么b∥c. 几何语言：∵ b∥a，c∥a，∴ b∥c. 【注意】 1、平行公理的推论中，三条直线可以不在同一个平面内． 2、平行公理中强调“直线外一点”，因为若点在直线上，不可能有平行线；“有且只有”强调这样的直线是存在的，也是唯一的． 如图，已知直线a和直线a外一点A． （1）完成下列画图：过点A画AB⊥a，垂足为点B，画AC∥a； （2）过点A你能画几条直线和a垂直？为什么？过点A你能画几条直线和a平行？为什么？（3）说出直线AC与直线AB的位置关系． 【分析】（1）根据要求画出图形即可； （2）过点A有一条直线和直线a垂直，过点A可以画一条直线和a平行． （3）结论：AC⊥AB． 【详解】解：（1）直线AB、AC如图所示； （2）过点A有一条直线和直线a垂直， 理由：过直线外一点有且只有一条直线和已知直线垂直． 过点A可以画一条直线和a平行． 理由：过直线外一点有且只有一条直线和已知直线平行． （3）结论：AC⊥AB． 【点睛】本题考查复杂作图、垂线、平行线的定义等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 知识点3：同位角、内错角、同旁内角 ◆1、同位角 两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的同侧，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同位角． ◆2、内错角 两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线（截线）的两旁，则这样一对角叫做内错角． ◆3、同旁内角 两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同旁内角． ◆4、 同位角、内错角、同旁内角的特征 【注意】三线八角中的某两个角是不是同位角、内错角或同旁内角，完全由那两个角在图形中的相对位置决定．在复杂的图形中判别三类角时，应从角的两边入手，具有上述关系的角必有两边在同一直线上，此直线即为截线，而另外不在同一直线上的两边，它们所在的直线即为被截的线．同位角的边构成“F“形，内错角的边构成“Z“形，同旁内角的边构成“U”形． 如图，已知射线BA，BC被直线EF所截，则与是（   ） A．对顶角 B．同位角 C．内错角 D．邻补角 【答案】C 【分析】本题考查内错角的判定，掌握内错角是位于截线两侧、被截直线之间的角是解题的关键． 根据与的位置：在截线两侧，且处于被截直线之间，对照各类角的定义判断． 【详解】解：射线被直线所截：与位于截线的两侧，且处于被截直线之间，符合内错角的定义． 故选：C． 知识点4：平行线的判定方法 ◆1、平行线的判定： 判定方法1：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行． 简单说成：同位角相等，两直线平行． 几何语言表示： ∵∠2＝∠3(已知)， ∴a∥b(同位角相等，两直线平行)． 判定方法2：两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行． 简单说成：内错角相等，两直线平行． 几何语言表示： ∵∠2＝∠4(已知)， ∴a∥b.(内错角相等，两直线平行)． 判定方法3：两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行． 简单说成：同旁内角互补，两直线平行． 几何语言表示： ∵∠1＋∠2＝180°(已知)， ∴a∥b(同旁内角互补，两直线平行)． ◆2、在同一平面内，垂直于同一条直线的两直线垂直． 几何语言表示： 直线a，b，c在同一平面内， ∵a⊥c，b⊥c，∴a∥b． 【注意】三条直线在“同一平面内”是前提，没有这个条件结论不一定成立. ◆3、判定两直线平行的方法 （1）平行线的定义； （2）平行公理的推论（如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行）； （3利用同位角相等说明两直线平行； （4）利用内错角相等说明两直线平行； （5）利用同旁内角互补说明两直线平行； （6）同一平面内，垂直于同一直线的两直线平行. 如图，直线a、b被直线c所截，下列选项中不一定能判定的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查平行线的判定，熟练掌握判定定理是解题的关键．根据平行的判定进行判定即可． 【详解】解：，根据同位角相等，两直线平行，可得，故选项A不符合题意； 不一定能判定，故选项B符合题意； ，根据同位角相等，两直线平行，可得，故选项C不符合题意； ，根据内错角相等，两直线平行，可得，故选项D不符合题意； 故选B． 知识点5：反证法 ◆1、反证法：假设命题的结论不成立，由此经过推理得出矛盾，由矛盾断定所作假设不正确，从而得到原命题成立，这种方法叫做反证法. 反证法是一种间接证明命题的方法. ◆2、用反证法证明命题的一般步骤： ①假设原命题不成立； ②以此为依据进行推理，产生矛盾（与公理、定理或条件矛盾）； ③得出假设不成立，从而原命题成立. 用反证法证明“若在同一平面内，，，则”时，应假设（    ） A．与平行 B．与相交 C． D．与不平行，与不平行 【答案】B 【分析】本题考查了反证法，解题的关键是区分命题的条件与结论．由于反证法的步骤是首先假设结论不成立，进而得出答案． 【详解】解：求证：，若用反证法证明该题，则需要从结论的反面出发， 第一步应假设与不平行，则与相交． 故选：B． 知识点6：平行线的性质 ◆1、平行线性质定理 性质定理1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等． 简单说成：两直线平行，同位角相等． 几何语言表示： ∵a∥b(已知)， ∴∠2＝∠3(两直线平行，同位角相等)． 性质定理2：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等． 简单说成：两直线平行，同位角相等． 几何语言表示： ∵a∥b(已知)， ∴∠2＝∠4.(两直线平行，内错角相等)． 性质定理3：两条平行线被地三条直线所截，同旁内角互补． 简单说成：两直线平行，同旁内角互补． 几何语言表示： ∵a∥b(已知)， ∴∠1＋∠2＝180°(同旁内角互补，两直线平行)． ◆2、平行线的判定与性质 （1） 平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系． 平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系． （2）应用平行线的判定和性质定理时，一定要弄清题设和结论，切莫混淆． （3）平行线的判定与性质的联系与区别： 区别：性质由形到数，用于推导角的关系并计算；判定由数到形，用于判定两直线平行． 联系：性质与判定的已知和结论正好相反，都是角的关系与平行线相关． （4）辅助线规律，经常作出两平行线平行的直线或作出联系两直线的截线，构造出三类角． 如图，直线m∥n，且分别与直线l交于A，B两点，把一块含60°角的三角尺按如图所示的位置摆放，若∠2＝98°，则∠1＝　 　． 【分析】先根据平角的定义求出∠4的度数，再根据角平分线的性质即可得出答案． 【详解】解：由已知可得，∠3＝30°， ∵∠2＝98°， ∴∠4＝180°﹣∠2﹣∠3＝52°， ∵m∥n， ∴∠1＝∠4＝52°． 故答案为：52°． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质，解题的关键是牢记平行线的性质． 【题型1 平面内两直线的位置关系】 【典例1】（24-25七年级下·上海闵行·月考）下列语句中，正确的有（　　）个． ①过一点有且只有一条直线与已知直线平行； ②过一点有且只有一条直线与已知直线垂直； ③在同一平面内，两条直线的位置关系只有相交和平行两种； ④垂直于同一条直线的两条直线垂直． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】本题主要考查了两直线的位置关系，同一平面内，两直线只有相交和平行两种位置关系，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，据此可得答案． 【详解】解：①过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，原说法错误； ②同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，原说法错误； ③在同一平面内，两条直线的位置关系只有相交和平行两种，原说法正确； ④同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行，原说法错误． 故选：A． 【变式1】（24-25七年级下·全国·单元测试）如图，已知直线与直线平行，下列表示方法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行的符号表示，属于基础知识． 直线与直线平行，可以记作为：或，即可得到答案． 【详解】解：平行用符号∥表示，直线与直线平行，，可以记作为：或． 故选：D． 【变式2】如图，直线和直线的位置关系是（    ） A．平行 B．相交 C．垂直 D．不平行也不相交 【答案】B 【分析】本题主要考查了同一平面内两条直线的位置关系，掌握在同一平面内两条直线的位置关系有平行或相交两种情形是解题的关键． 根据在同一平面内两条直线的位置关系有平行或相交两种进行判断即可． 【详解】解：如图中，直线c和直线d的位置关系是相交． 故选：B． 【变式3】（25-26七年级上·全国·课后作业）将一张长方形纸片按如图所示方式对折两次，第二次对折产生的折痕与第一次对折产生的折痕之间的位置关系是（   ） A．平行 B．垂直 C．平行或垂直 D．无法确定 【答案】A 【分析】本题主要考查了平面上直线的位置关系，掌握相关知识是解决问题的关键．根据两直线的位置关系解答即可． 【详解】解：观察图形可知，将一张长方形纸片对折两次，产生的折痕与折痕之间的位置关系是平行． 故选：A． 【题型2 作已知直线的平行线】 【典例1】（24-25七年级下·上海·期中）如图，在中，，点是延长线上一点，过点画直线，过点画射线交于点． (1)按题意画图，将图形补充完整； (2)若比的4倍少，则______． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了垂线的定义，平行线的性质，画垂线和画平行线，熟知垂线的定义和平行线的性质是解题的关键． （1）根据垂线和平行线的画法画图即可； （2）由平行线的性质得到，由垂线的定义得到，再根据已知条件得到，据此求出的度数即可得到答案． 【详解】（1）解：如图所示，直线和射线即为所求； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵比的4倍少， ∴， ∴， ∴， ∴． 【变式1】（24-25七年级下·上海·期中）按下列要求画图并填空： 如图，点P为内部一点， (1)过点P画出，交于E． (2)过点P画出于F． (3)点E到直线的距离是线段______的长． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】本题考查作平移和垂直，点与直线的距离； （1）平移直线，使经过点，与交于E，此时； （2）用三角板作即可； （3）根据点与直线的距离的定义可得点E到直线的距离是线段的长． 【详解】（1）解：如图，，此时即为所求； （2）解：如图，过点P画出于F； （3）解：∵， ∴点E到直线的距离是线段的长， 故答案为：． 【变式2】（24-25七年级下·上海闵行·月考）如图，直线与直线相交，点为直线、外一点，根据下列语句画图： (1)过点画直线交于点； (2)过点画直线，垂足为点； (3)过点画的垂线段，垂足为点． 【答案】(1)作图见解析 (2)作图见解析 (3)作图见解析 【分析】本题考查作图，平行线的定义，垂线的定义，垂线段的定义，熟练掌握这些相关定义并会作图是解题的关键． （1）利用直尺作平行线即可； （2）利用直尺作垂线即可； （3）利用直尺作垂线段即可，注意垂线段是线段． 【详解】（1）解：如图，直线即为所求作； （2）解：如图，直线即为所求作； （3）解：如图，线段即为所求作． 【题型3 平行公理的应用】 【典例1】已知直线及其外一点B，过B点作，过B点作，点A，C分别为直线，上任意一点，那么A，B，C三点一定在同一条直线上，依据是 ． 【答案】过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行 【分析】本题考查了平行公理及推论，牢记“过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行”是解题的关键．由“为直线外的一点，且，”，利用“过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行”，即可得出，，三点一定在同一条直线上． 【详解】解：点为直线外的一点，且，，（已知） ，，三点一定在同一条直线上．（过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行） 故答案为：过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行 【变式1】（25-26七年级下·全国·课后作业）在同一平面内有2026条互不重合的直线，，…，，如果，，，，…，以此类推，那么与的位置关系是（    ） A．垂直 B．平行 C．垂直或平行 D．不能确定 【答案】B 【分析】本题主要考查了平行线的性质，解题的关键是熟练掌握平行线的性质． 根据平行线的传递性，如果两条直线都与第三条直线平行，则这两条直线互相平行. 由于所有相邻直线均平行，因此与平行. 【详解】解：∵，，，，…，， ∴由平行线的传递性，. 故选：B 【变式2】如图，当风车的一片叶子旋转到与地面平行时，叶子所在的直线与地面 ，理由是 ． 【答案】 相交 过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行 【分析】本题考查了平行与相交，熟知平行于同一条直线的两条直线互相平行是解题的关键． 根据不平行于，来判定与的关系． 【详解】解：∵不平行于，， ∴不平行于（过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行） 即所在的直线与地面相交． 故答案为：相交；过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行． 【变式3】如图，，，则点M，C，N在同一条直线上，理由是 . 【答案】过直线外点有且只有条直线与这条直线平行 【分析】本题考查的是平行公理．根据平行公理可得． 【详解】解：∵，，且、经过点C， ∴过外一点C的直线和都平行于直线， ∵经过已知直线外一点，有且只有一条直线和已知直线平行， ∴点M，C，N在一条直线上， 故答案为：过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行． 【题型4 平行公理推论的应用】 【典例1】已知a∥b，c∥d，若由此得出b∥d，则直线a和c应满足的位置关系是（　　） A．在同一个平面内 B．不相交 C．平行或重合 D．不在同一个平面内 【答案】C． 【分析】根据平行推论：平行于同一条直线的两条直线互相平行，可得答案． 【详解】解：当a∥c时，a∥b，c∥d，得b∥d； 当a、c重合时，a∥b，c∥d，得b∥d， 故C正确； 故选：C． 【点睛】本题考查了平行公理及推论，利用了平行推论：平行于同一条直线的两条直线互相平行． 【变式1】下面推理正确的是（　　） A．∵a∥b，b∥c，∴c∥d B．∵a∥c，b∥d，∴c∥d C．∵a∥b，a∥c，∴b∥c D．∵a∥b，c∥d，∴a∥c 【答案】C． 【分析】根据平行公理的推论“如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线平行“进行分析，得出正确答案． 【详解】解：A、a、c都和b平行，应该推出的是a∥c，而非c∥d，故错误； B、没有两条直线都和第三条直线平行，推不出平行，故错误； C、b、c都和a平行，可推出是b∥c，故正确； D、a、c与不同的直线平行，无法推出两者也平行． 故选：C． 【点睛】本题考查的重点是平行公理的推论：如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线平行． 【变式2】下列语句正确的有（　　）个 ①任意两条直线的位置关系不是相交就是平行 ②过一点有且只有一条直线和已知直线平行 ③过两条直线a，b外一点P，画直线c，使c∥a，且c∥b ④若直线a∥b，b∥c，则c∥a． A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】D． 【分析】根据同一平面内，任意两条直线的位置关系是相交、平行；过直线外一点有且只有一条直线和已知直线平行；如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行进行分析即可． 【详解】解：①任意两条直线的位置关系不是相交就是平行，说法错误，应为根据同一平面内，任意两条直线的位置关系不是相交就是平行； ②过一点有且只有一条直线和已知直线平行，说法错误，应为过直线外一点有且只有一条直线和已知直线平行； ③过两条直线a，b外一点P，画直线c，使c∥a，且c∥b，说法错误； ④若直线a∥b，b∥c，则c∥a，说法正确； 故选：D． 【点睛】此题主要考查了平行线，关键是掌握平行公理：过直线外一点有且只有一条直线和已知直线平行；推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行． 【题型5 反证法】 【典例1】“证明：若，则”，用反证法证明这个结论时，应先假设（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．根据反证法的步骤，直接得出答案即可． 【详解】用反证法证明若，则”时，应先假设． 故选B． 【变式1】用反证法证明：中，，则，第一步应假设（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查反证法：反证法的第一步是假设结论的否定． 【详解】解：∵结论是， ∴反证法第一步应假设． 故选：C． 【变式2】（24-25七年级下·上海松江·月考）用反证法证明：已知，，是平面内3条不同的直线，如果，，那么 ． 证明：假设 ，那么它们相交于一点． 因为，，过点的两条直线、都与直线垂直．这与基本事实“ ”矛盾，故假设不成立．所以 ． 【答案】与不平行；同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 【分析】本题主要考查了反证法，同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，先假设结论不成立，即假设与不平行，那么它们相交于一点，则可推出过点的两条直线、都与直线垂直，这与“同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”矛盾，故假设不成立，据此求解即可． 【详解】证明：假设与不平行，那么它们相交于一点． ，，过点的两条直线、都与直线垂直． 这与基本事实“同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”矛盾， 故假设不成立． 所以． 故答案为：与不平行；同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直． 【变式3】（25-26八年级上·全国·课后作业）已知：如图，直线，直线分别与直线，交于点G，H，和是同位角．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了平行公理的应用，同位角相等两直线平行，用反证法证明命题，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 假设 ．过点 G作直线 ，使 ，推得，得出与平行公理矛盾，从而假设 不成立，得出结论成立． 【详解】证明：假设 ． 过点 G作直线 ， 使 ． 因为， 由平行线判定定理（同位角相等，两直线平行）， 可知 ． 又已知 ，则过 G有两条直线和都平行于， 这与平行公理（过直线外一点，有且仅有一条直线与已知直线平行）矛盾． 因此假设 不成立， 所以 ． 【题型6 同位角、内错角、同旁内角】 【典例1】（24-25七年级下·全国·课后作业）下列各选项中，和是同位角的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了同位角．同位角是两直线被第三条直线所截形成的，具有特殊位置关系的两个角，解决本题的关键是观察图中两个角的位置关系，是否符合同位角的位置关系． 两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的同侧，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同位角，由此即可判断． 【详解】解：A、和是同位角，故此选项符合题意； B、和是内错角，故此选项不符合题意； C、和是同旁内角，故此选项不符合题意； D、和是两条直线被第三条直线所截形成的，但是在截线的左侧，在截线的右侧，不是同位角，故此选项不符合题意； 故选：A． 【变式1】（25-26七年级下·全国·课后作业）下列图形中，与是内错角的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查了内错角，关键是掌握内错角的边构成“”形． 根据内错角定义：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线（截线）的两旁，则这样一对角叫做内错角进行解答即可． 【详解】解：A、是内错角，正确； B、不是内错角，错误； C、不是内错角，错误； D、不是内错角，错误； 故选：A． 【变式2】如图，直线、被直线所截，与是同旁内角的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了同旁内角的概念：两条直线被第三条直线所截，两个角都在截线的同侧，且在两条被截线之间，具有这样位置关系的一对角互为同旁内角．根据同旁内角的概念即可得到与是同旁内角． 【详解】解：与都在直线a、b之间，且它们都在直线c的同侧， 的同旁内角是． 故选：B． 【变式3】如图所示，下列说法错误的是（   ） A．与是同位角 B．与是内错角 C．与是同旁内角 D．与是同旁内角 【答案】B 【分析】根据同位角、内错角、同旁内角的定义，逐一分析每个选项．本题主要考查了同位角、内错角、同旁内角的定义，熟练掌握同位角、内错角、同旁内角的定义是解题的关键． 【详解】解：同位角是两条直线被第三条直线所截，在截线同旁，且在被截两直线同一侧的角，∠1与∠C符合同位角的定义，故选项A正确，不符合题意． 内错角是两条直线被第三条直线所截，在截线两侧，且在被截两直线之间的角，∠2与∠C不满足内错角的定义，故选项B错误，符合题意． 同旁内角是两条直线被第三条直线所截，在截线同旁，且在被截两直线之间的角，∠3与∠B符合同旁内角的定义，故选项C正确，不符合题意． 同旁内角是两条直线被第三条直线所截，在截线同旁，且在被截两直线之间的角，∠3与∠C符合同旁内角的定义，故选项D正确，不符合题意． 故选：B． 【题型7 添加条件判定两直线平行】 【典例1】（24-25七年级下·上海虹口·期末）如图，要使得与互补，可以添加的条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行线的判定以及补角，将选项作为条件代入，证明与互补即可得到答案． 【详解】当时 直线和直线平行 与互补 故选：D． 【变式1】（23-24七年级下·全国·单元测试）如图，下列条件中，不能判断直线的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查了平行线的判定，解题的关键是熟练掌握平行线的判定定理：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行． 根据平行线的判定定理逐项进行判断即可． 【详解】解：A、，不能判断直线，故此选项符合题意； B、根据同位角相等，两直线平行，可判断直线，故此选项不合题意； C、根据同旁内角互补，两直线平行，可判断直线，故此选项不合题意； D、根据内错角相等，两直线平行，可判断直线，故此选项不合题意． 故选：A． 【变式2】（23-24七年级下·上海虹口·期中）如图， 点 D、C分别在、上，相交于点O， 下列条件中，不能判定的是（      ） A． B． ． C． D．． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的判定，根据平行线的判定定理即可求解，掌握平行线的判定定理是解题的关键． 【详解】解：A、∵， ，故选项不符合题意； B、∵，，故选项不符合题意； C、，不能判定，故选项符合题意； D、∵，，故选项不符合题意； 故选：C． 【变式3】（24-25七年级下·上海杨浦·期中）如图，下列条件可以推出的有（   ） ①；        ②；     ③；    ④． A．①④ B．②③ C．①③ D．②④ 【答案】A 【分析】本题考查了平行线的判定：①内错角相等，两直线平行；②同位角相等，两直线平行；③同旁内角互补，两直线平行．根据平行线的判定定理逐项判断即可． 【详解】解：由根据内错角相等，两直线平行可得出，①符合题意； 由，根据内错角相等，两直线平行可得，②不符合题意； 由，根据同旁内角互补，两直线平行可得，③不符合题意； 由，根据同旁内角互补，两直线平行可得，④符合题意； 故选：A． 【题型8 平行线判定的证明】 【典例1】（24-25七年级下·上海·月考）如图，，，，证明：． 【答案】见解析 【分析】本题考查平行线的判定、垂直，解答本题的关键是掌握平行线的判定定理． 根据已知条件证明，再根据平行线的判定即可得出结论． 【详解】证明：∵， ∴． ∵． 又∵， ∴， ∴， ∴． 【变式1】 （23-24七年级下·上海宝山·期中）如图，已知，，试说明的理由． 【答案】见解析 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，先根据两直线平行同旁内角互补可得，进而可得，则问题得解． 【详解】∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 【变式2】（24-25七年级下·上海静安·期末）如图，已知点E、D、C、F在一条直线上，，平分，． （1）与平行吗？请说明理由； （2）与的位置关系如何？为什么？ 注：本题第（1）、（2）小题在下面的解答过程的空格内填写理由或数学式； 解：（1），理由如下： ∵（平角的定义）， （已知）， ∴ （        ）， ∴ （        ）． （2）与的位置关系是： ． ∵平分（已知）， ∴（角平分线的定义）， 又∵（已知）， ∴ ， ∴ （        ）． 【答案】见解析 【分析】本题考查平行线的判定．掌握平行线的判定方法，是解题的关键． （1）根据同角的补角相等，以及同位角相等，两直线平行，作答即可； （2）根据角平分线的定义以及内错角相等，两直线平行，作答即可． 【详解】解：解：（1），理由如下： ∵（平角的定义）， （已知）， ∴（同角的补角相等）， ∴ （同位角相等，两直线平行）． （2）与的位置关系是：． ∵平分（已知）， ∴（角平分线的定义）， 又∵（已知）， ∴， ∴（内错角相等，两直线平行）． 【变式3】（24-25七年级下·上海崇明·期中）四边形中，点，点分别是，上一点，直线分别交，的延长线于，．，； (1)求证：； (2)若，那么会和平行吗？为什么？ 【答案】(1)证明见解析 (2)，理由见解析 【分析】本题考查了同旁内角互补，两直线平行，对顶角相等，等量代换，理解相关知识是解答关键． （1）根据对顶角相等得到，再利用同旁内角互补，两直线平行即可求解； （2）根据两直线平行同旁同角互补得到，结合已知用等量代换和同旁内角互补，两直线平行求解． 【详解】（1）证明：， ． ， ， ； （2）解：． 理由如下：， ． ， ， ． 【题型9 利用平行线的性质求角度】 【典例1】如图，a∥b，∠1＝40°，∠2＝∠3，则∠4＝（　　） A．70° B．110° C．140° D．150° 【答案】B． 【分析】先根据a∥b，∠1＝40°得出∠2+∠3的度数，由平角的定义得出∠5的度数，再由∠2＝∠3得出∠2的度数，再得出∠2+∠5的度数，进而可得出结论． 【详解】解：∵a∥b，∠1＝40°， ∴∠2+∠3＝180°﹣40°＝140°， ∴∠5＝180°﹣140°＝40°， ∵∠2＝∠3， ∴∠2＝70°， ∴∠2+∠5＝70°+40°＝110°， ∴∠4＝∠2+∠5＝110°． 故选：B． 【点睛】本题考查的是平行线的性质，熟知两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等是解题的关键． 【变式1】（24-25七年级下·上海·月考）如图，直线，点、、分别在直线、、上，若，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的性质，熟记性质并准确识图是解题的关键． 根据两直线平行，同位角相等可得，内错角相等可得，然后根据计算即可得解． 【详解】解：如图， ，， ，， ． 故答案为：． 【变式2】（24-25七年级下·上海青浦·期中）如图，平分，且．如果，那么 ． 【答案】 【分析】本题考查平行线的性质，角平分线的定义，根据角平分线的定义和平行线的性质得到，即可解题． 【详解】解：∵平分， ∴， 又∵， ∴，， ∴， 故答案为：． 【变式3】（23-24七年级下·上海长宁·期末）如图， 已知，，，试求的度数．    【答案】 【分析】本题考查了平行线的性质，解题的关键是掌握两直线平行，同位角相等． 根据得出，再根据，即可得出，即可解答． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． 【题型10 借助三角板求角的度数 】 【典例1】将一直角三角板与两边平行的纸条如图所示放置，对于下列结论：①；②；③；④．其中正确结论的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】本题考查了平行线的性质，平角等于，邻补角的定义，熟记性质与概念并准确识图是解题的关键．根据平行线的性质，平角等于对各小题进行验证即可得解． 【详解】解：∵纸条的两边互相平行， ∴，，．故①②④正确： ∵三角板是直角三角板， ∴．故③正确； 综上所述，正确的个数是4． 故选：D． 【变式1】将一副三角板按如图所示摆放在两条平行线内，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角板中的角度计算，平行线的性质，找出角度之间的数量关系是解题关键．由三角板可知，，，进而求出，再根据两直线平行，同旁内角互补求解即可． 【详解】解：如图，标记各点和角度， 由三角板可知，，， ， ， ， ， ， 故选：C． 【变式2】（24-25七年级下·上海·期末）如图，直线，将三角板的直角顶点放在直线上，如果，那么的度数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的性质，由，则，然后通过即可求解，熟练掌握两直线平行，同位角相等是解题的关键． 【详解】解：如图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 【题型11 利用平行线的性质探究角的关系 】 【典例1】如图，已知直线，则、、之间的关系是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行线的性质，解决本题的关键是根据平行线的性质找到角之间的关系． 【详解】解：过向左作射线， 则， ∴， ， ， ， ． 故选：D． 【变式1】如图，已知，，则下列各式中一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的判定定理、平行线的性质定理以及角的和差关系．根据同位角相等两直线平行可得，以及两直线平行，内错角相等得，再结合两直线平行，同旁内角互补得，即可解题． 【详解】解：， ， ， 又， ， ．故选． 【变式2】（25-26八年级上·四川达州·开学考试）如图，直线，点O在直线上，下列结论正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查平行线的性质，解题的关键是熟练掌握两直线平行，内错角相等和两直线平行，同旁内角互补．根据平行线的性质得出，进而利用角的关系解答即可． 【详解】解：， ， ， ， ， ， 故选：B． 【题型12 平行线的性质在生活中的应用】 【典例1】五线谱是一种记谱法，通过在五根等距离的平行线上标以不同的音符构成旋律．如图，和是五线谱上的两条线，点在，之间的一条平行线上，若，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了平行线的性质，解题的关键是熟练掌握平行线的性质．根据平行线的性质得到，，进而求解即可． 【详解】解：如图所示， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴． 故选：A． 【变式1】在一个由工程车搭建的创意展览场景中，小明站在工程车旁边观察，发现从某个角度看，工作篮底部与支撑平台平行．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行线的性质、几何图中角度的计算，过的顶点作直线，将分成和，则，由平行线的性质得出，，即可得解． 【详解】解：如图，过的顶点作直线，将分成和， ∵， ∴， ∴，， ∴， 故选：A． 【变式2】（24-25七年级下·上海·月考）如图所示，修高速公路需开凿隧道，为节省时间，现从山的两侧、处同时开工．如果在处测得隧道的走向是北偏东，那么在处应按 方向开工，才能使隧道准确接通． 【答案】南偏西 【分析】本题考查平行线的性质和方向角在实际生活中的运用，解答此类题需要从运动的角度，正确画出方位角，利用平行线的性质解答． 如图，根据根据平行线的性质得出，再根据方位角的概念，表示出方位角，即可求解． 【详解】解：如图， 由题意得：， ∴， ∴按南偏西的方向开工． 故答案为：南偏西． 【变式3】如图①，“二八大杠”传统老式自行车承载了一代人的回忆，图②是它的几何示意图．已知，，当，时，的度数为 ． 【答案】/66度 【分析】本题考查了平行线的性质．根据，可得，根据，可得，由此可得，即可得解． 【详解】解：∵， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【题型13 利用平行线解决折叠问题】 【典例1】（24-25七年级下·上海·期末）如图，将长方形纸条折叠，．按如图折叠，，则 ． 【答案】/115度 【分析】本题考查了平行线的性质，折叠的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 根据平行线的性质得到，由折叠的性质得到，即可通过平行线的性质求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵折叠， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式1】（24-25七年级下·上海·期末）如图，现有一张长方形纸片，点，在上，点，在上，分别沿，折叠，使点和点都落在点处，点的对应点为点．点对应点为点．若.，则的度数为（　　） A．104° B．106° C．96° D．132° 【答案】C 【分析】由平行线的性质得到，．根据得到，由折叠得到，．即可由，根据三角形的内角和定理可得，由周角的定义得到答案．此题考查了平行线的性质、折叠的性质、邻补角等知识点，熟练掌握折叠的性质是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是长方形， ∴． ∴，． ∴， ∵点，在上，点，在上，分别沿，折叠，使点和点都落在点处，点的对应点为点．点对应点为点， ∴，，． ∴ ． ∴， ∴． 故选：C． 【变式2】（24-25七年级下·上海黄浦·期中）如图①，已知长方形纸带，，，，点、分别在边，上，，如图②，将纸带先沿直线折叠后，点、分别落在、的位置，如图③，将纸带再沿折叠一次，使点落在线段上点的位置，那么的度数为 ． 【答案】 【分析】此题考查了折叠的性质，平行线的性质，正确理解折叠的性质是解题的关键． 由折叠性质和平行可得，从而求得，再由即可求解． 【详解】解：由折叠可得：， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【题型14 平行线的性质与判定求角度】 【典例1】（24-25七年级下·上海·月考）如图，已知，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的性质与判定，根据，可得，进而根据平行线的性质，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 【变式1】如图，，，，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平行线的判定和性质，过点作，易得，同理，再求出比值即可． 【详解】解：过点作， ∵， ∴， ∴， ∴， 同法可得：， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴； 故选B． 【变式2】（24-25七年级下·上海·期中）如图①为北斗七星的位置图，如图②将北斗七星分别标为、、、、、、，将、、、、、、顺次首尾连接．若、、三点共线，恰好经过点，且，，，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了平行线的判定和性质，熟练掌握平行线的判定和性质是解题的关键． 过点作，则，得到，，进而得出，计算即可得到答案． 【详解】解：如图，过点作， ∵， ， ，， ， ， ． 故答案为：． 【变式3】（2023·上海·模拟预测）如图，，，，那么 度． 【答案】100 【分析】本题主要考查了平行线的判定与性质，正确作出辅助线是解题关键．过点作，设，，证明，根据“两直线平行，内错角相等”可得，，结合求得的值，进而可得的值，然后根据“两直线平行，同旁内角互补”，即可获得答案． 【详解】解：如下图，过点作， 根据题意，，， ∴可设，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为：100． 【题型15 平行线的综合题】 【典例1】（24-25七年级下·上海闵行·月考）（1）问题：如图（1），若，，，求的度数． （2）问题迁移：如图（2），，点在的上方，问：、、之间有何数量关系?请说明理由． （3）联想拓展：如图（3），在（2）的条件下，已知，的平分线和的平分线相交于点，用含有的式子表示的度数．（直接写答案） 【答案】（1）；（2），理由见解析；（3） 【分析】本题主要考查了平行线的判定和性质，熟练掌握平行线的判定和性质是解题的关键． （1）过点作，可得．再由，可得，即可求解； （2）过点作，可得，再由，可得，从而得到，即可求解； （3）过点作的平行线．可得，进而得到，，再由的平分线和的平分线交于点，可得，，再由（2）得：，可得，即可求解． 【详解】解：如图，过点作， ． ∵， ∴， ． ， ． ，即． （2），理由如下： 如图，过点作， ， ∵， ∴， ， ， ， ， （3）如图，过点作的平行线． ∵，， ∴， ，， 又的平分线和的平分线交于点， ，， 由（2）得：， ， ． 即． 【变式1】（24-25七年级下·上海奉贤·期中）在学习了《相交线与平行线》后，数学小组进行探究平行线的“等角转化”功能的活动． (1)如图1，已知，． ①求证：； ②探究与之间有怎样的数量关系？并说明理由： (2)实际应用：如图2是路灯维护工程车的工作示意图，工作篮与支撑平台平行，如果，那么的度数为 ． 【答案】(1)①见解析；②，理由见解析 (2) 【分析】本题考查了平行线的性质与判定，添加平行线求解是解答的关键． （1）①根据同旁内角互补两直线平行，即可得，根据平行线的性质可得，结合已知条件得出，根据内错角相等两直线平行，即可得证； ②过点作，根据两直线平行，内错角相等得出，，进而即可求解； （2）过点作，根据题意以及平行线的性质得出，，即可求解． 【详解】（1）①证明：∵， ∴， ∴ ∵ ∴ ∴； ②，理由如下， 如图所示，过点作 ∴ ∵ ∴ ∴ ∴； （2）解：如图所示，过点作， 依题意，， ∴ ∴，， ∵，， ∴． 【变式2】（24-25七年级下·上海·期末）在学习了平行线的性质后，老师请同学们证明命题：两条平行线被第三条直线所截，一组同旁内角的平分线互相垂直． 小颖根据命题画出图形并写出如下的已知条件． 已知：如图1，，直线分别交于点E，F．的角平分线与的角平分线交于点G． (1)直线有何位置关系？直接写出结论 ． (2)在图1的基础上，分别作的角平分线与的角平分线交于点M，得到图2，求的度数． (3)如图3，，直线分别交于点E，F，点O在直线之间，且在直线右侧，的角平分线与的角平分线交于点P，请直接写出与满足的数量关系 ． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查平行线的判定和性质，角平分线的定义，掌握平行线的性质定理是解题的关键 ． （1）由平行线的性质推出，由角平分线定义得到，由三角形内角和定理求出，推出； （2）过M作，得到，由平行线的性质推得到，同理，由角平分线定义得到，即可求出； （3）由角平分线定义得到，而，得到． 【详解】（1）解：（1）如图1，直线，理由如下： ∵， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：如图2，过M作， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 同理：， ∵平分，平分， ∴， ∴， 由（1）知， ∴； （3）解：，理由如下： ∵平分，平分， ∴， ∴， 由（2）的证明可得：， ∴． 故答案为：． 1、 选择题 1．下面各语句中，正确的有（    ） ①不相交的两条直线叫做平行线； ②在同一平面内，两条直线的位置关系只有相交和平行两种； ③如果线段和线段不相交，那么直线和直线平行； ④如果，，那么； ⑤过一点有且只有一条直线平行于已知直线． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查平行线的有关内容，掌握平行公理即推论是解题关键． 根据平行线的定义及平行公理，对选项逐一分析即可． 【详解】解：①在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，故原说法错误； ②在同一平面内，两条直线的位置关系为相交，平行，故原说法正确； ③如果线段和线段不相交，那么直线和直线平行，说法错误； ④如果，，那么，说法正确； ⑤过一点有且只有一条直线平行于已知直线，说法错误． 综上所述，正确的有②④，共个 故选：B． 2．如图，P是直线l外一点，若经过点P画4条互不重合的直线，与直线l相交的直线至少有（    ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 【答案】C 【分析】本题考查的知识点是平行公理（过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行）；解题的关键是利用平行公理，分析出过点的条直线中最多有条与直线平行，进而确定相交直线的最少数量． 【详解】过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行， 过点的条直线中最多有条与直线平行，至少有条与直线相交． 故选C． 3．如图，下列说法不正确的是（   ） A． B．和是同位角 C． D．和是内错角 【答案】A 【分析】本题考查了对顶角、同位角、内错角的定义，平行线的性质． 根据对顶角、同位角、内错角的定义，平行线的性质判断即可． 【详解】解：A． 和是同旁内角，两直线平行同旁内角互补，但图中两直线不平行，则，原说法错误 B． 和是同位角，原说法正确 C． 和是对顶角，则，原说法正确 D． 和是内错角，原说法正确 故选：A 4．（24-25七年级下·上海长宁·期末）如图，是直线上一点，平分，，，李军同学添加了一个条件后，仍不能判定，他添加的条件可能是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的判定，角平分线的性质，熟练掌握平行线的判定和性质是解答本题的关键． 根据平行线的判定定理逐项进行判断即可． 【详解】解：、平分，， ，故不符合题意； B、， 不能判断，故B符合题意， C、， 平分 ，故C不符合题意； D、， ，故D不符合题意； 故选：B． 5．（24-25七年级下·上海崇明·期中）如图，将三角板与两边平行的直尺贴在一起，使三角板的直角顶点在直尺的一边上，若，则的度数是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的性质，关键是平行线性质的熟练掌握．根据平行线的性质“两直线平行，同位角相等”即可求得． 【详解】解：，， ， ， ， 所以的度数是， 故选： C． 6．（24-25七年级下·上海·月考）如图所示，直线、所成的角跑到画板外面去了，如何量出这两条直线所成角的度数．下列几种方法：①在直线上任取一点，过点作直线的平行线，量出与直线所成锐角的度数即为；②在直线上任取一点，过点作直线的垂线交直线于点，量出与直线所成锐角的度数即为；③在画板上任取一点，过点分别作直线、的平行线，量出它们所成锐角的度数即为．可行的是（    ） A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的性质、三角形内角和定理，解题的关键是掌握平行线的性质定理． 分别画出图形，再根据平行线的性质、三角形内角和定理，逐个判断即可． 【详解】解：①如图， ∵ ∴，故①正确； ②如图， ∵ ∴ ∴，故②错误； ③如图， ∵ ∴ ∵ ∴ ∴，故③正确． ∴正确的有①③， 故选：C． 7．如图，已知，连接得到，则下列各式中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解答本题的关键． 由得，由得，整理可得． 【详解】∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选D． 8．（25-26八年级上·上海·月考）如果与的两边分别平行，比的4倍少，则的度数是（    ） A． B． C．或 D．以上都不对 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的性质，难点在于熟记两边分别平行的两个角相等或互补，是易错题．根据两边分别平行的两个角相等或互补用表示出，然后列出方程求解即可． 【详解】解：与的两边分别平行， 或， ∵比的4倍少， 或， 解得或， ∴的度数是或． 故选：C． 2、 填空题 9．如图，在直线 的同侧有 ，， 三点，若，，那么 ，， 三点 （填“是”或“不是”）在同一条直线上，理由是 ． 【答案】 是 过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行 【分析】依据过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，即可得到P，Q，R三点在同一条直线上． 【详解】解：∵，， ∴P，Q，R三点在同一条直线上，（过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行） 故答案为：是；过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行． 【点睛】本题主要考查了平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行．要准确理解“有且只有”的含义．从作图的角度说，它是“能但只能画出一条”的意思． 10．（24-25七年级下·上海·月考）如图，已知直线、被直线所截，，且，，那么 【答案】 【分析】此题考查平行线的性质，关键根据两直线平行，同旁内角互补解答． 根据两直线平行，同旁内角互补解答即可． 【详解】解：， ， 即， 解得：， ， 故答案为：． 11．（24-25七年级下·上海静安·期末）如图，已知，，，那么 ． 【答案】/75度 【分析】本题考查平行线的性质，延长交于点，根据平行线的性质，得到，根据三角形的内角和为180度，进行求解即可． 【详解】解：延长交于点， ∵， ∴， ∵，， ∴； 故答案为： 12．（24-25七年级下·上海浦东新·期中）如图所示，平面镜与平面镜平行，光线射向平面镜后，光的传播路线为，已知，，，那么 ． 【答案】 【分析】本题考查了根据平行线的性质求角度，由平行线的性质可得，结合题意即可得解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 13．（24-25七年级下·上海崇明·期中）如图，已知，平分，如果，那么 °． 【答案】50 【分析】本题考查了三角形内角和，平行线的性质，角平分线的定义，熟练掌握角的和差关系是解题的关键．首先证明，再利用三角形内角和是，求解即可． 【详解】解：， ， ， 平分， ， ， ， ， ， 解得． 故答案为：50． 14．（24-25七年级下·上海·期中）如图，已知长方形纸带，，，将纸带沿折叠后，点C、D分别落在H、G的位置，，再沿折叠， ． 【答案】 【分析】本题主要考查折叠的性质，由折叠的性质可得，，再由平行的性质得，再利用平角的性质得，则求得，再根据可得答案． 【详解】解：由折叠可得，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 3、 解答题 15．如图所示，在∠AOB内有一点P． （1）过P画l1∥OA； （2）过P画l2∥OB； （3）用量角器量一量l1与l2相交的角与∠O的大小有怎样关系？ 【分析】用两个三角板，根据同位角相等，两直线平行来画平行线，然后用量角器量一量l1与l2相交的角与∠O的关系为：相等或互补． 【解答】解：（1）（2）如图所示， （3）l1与l2夹角有两个：∠1，∠2；∠1＝∠O，∠2+∠O＝180°，所以l1和l2的夹角与∠O相等或互补． 【点评】注意∠2与∠O是互补关系，容易漏掉． 16．（24-25七年级下·上海嘉定·期中）如图，已知，与交于点，，，则的度数为多少？ 【答案】 【分析】本题考查平行线的判定及性质．过点P作，可得，根据平行线的性质求出，，进而根据角的和差即可求解． 【详解】解：过点P作， ∵，， ∴， ∴， ， ∴． 17．（24-25七年级下·上海·月考）一大门栏杆的平面示意图如图所示，垂直地面于点，平行于地面，若，求的度数； 解：过点作 ， _________________（______） （余下的说理过程请写在下方） 【答案】，过程见解析． 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，结合垂直的定义，根据平行线的判定定理与性质定理求解即可． 【详解】解：过点作， ， （平行于同一直线的两直线互相平行）， ，， ， ， 又， ，， ． 18．（24-25七年级下·上海普陀·期中）如图，已知：平分，平分，，求证：． 证明：∵， ∴____________，（______）． ∴______，（______）， ∵平分，平分， ∴，∠______． ∴． ∴． 【答案】；；同旁内角互补，两直线平行；；两直线平行，同位角相等； 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，角平分线的定义．根据平行线的判定和性质，补齐各步骤的结论和推理依据，即可得到结果． 【详解】证明：∵， ∴，（同旁内角互补，两直线平行）． ∴，（两直线平行，同位角相等）， ∵平分，平分， ∴，． ∴． ∴． 故答案为：；；同旁内角互补，两直线平行；；两直线平行，同位角相等；． 19．（23-24七年级下·重庆渝北·期中）如图，已知，相交于点，，，分别在、、上，且，，，求证：．    【答案】见解析 【分析】本题主要考查平行线的判定与性质，由可证明，得由得从而证明得由可得从而可证明 【详解】证明：∵， ∴， ∴ ∵， ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ 20．（24-25七年级下·上海杨浦·期中）如图1，直线，直线、及直线把平面分成①、②、③、④、⑤、⑥六个部分．点P是其中的一个动点，连接、，观察、、三个角．规定：直线、、上的各点不属于①、②、③、④、⑤、⑥六个部分中的任何一个部分． (1)当动点P落在第①部分时，求证：． (2)探究：当动点P落在第②、③、⑤部分时，、、之间的关系是怎样的？请直接写出、、之间满足的关系式，不必说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)当动点P落在第②部分时，， 当动点P落在第③部分时，， 当动点P落在第⑤部分时，． 【分析】本题考查了平行线的性质，平行公理的应用，熟记性质并灵活运用是解题的关键，两直线平行，同位角相等，同旁内角互补，内错角相等． （1）首先过点作的平行线，交于点，进而利用平行线的性质得出即可； （2）当动点P落在第②部分时，首先过点作的平行线，交于点，进而利用平行线的性质得出即可；当动点P落在第③部分时，过点向右作，根据平行公理可得，然后根据两直线平行，同旁内角互补用表示出，用表示出，然后结合图形整理即可得解．当动点P落在第⑤部分时，如图， 过点向右作，则，，进一步解答即可． 【详解】（1）解：如图，过点作，交于点， ，， ， ，， ； （2）解：当动点P落在第②部分时，，理由如下： 如图，过点作的平行线，交于点， ， ， ，， ； ； 如图，当动点P落在第③部分时，，理由如下： 过点向右作，则， ， ， ， ， ． 如图，当动点P落在第⑤部分时，，理由如下： 过点向右作，则， ， ， ， ， ． 2 / 2 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