第八章 整式乘法（举一反三讲义）数学新教材苏科版七年级下册

该初中数学整式乘法单元复习讲义通过表格系统梳理整式乘法法则，结合几何图形呈现平方差、完全平方公式的探究过程，清晰构建“法则-公式-应用”的知识脉络，突出重难点内在联系。 讲义亮点在于分层题型设计，培优篇涵盖错解分析、整体思想等基础应用，拔尖篇包含规律探究、几何背景等综合题，如杨辉三角规律题培养推理意识，助力不同层次学生提升运算能力与创新意识，为教师分层教学提供精准支持。

第八章 整式乘法（举一反三讲义）全章题型归纳 【新教材苏科版】 【培优篇】 3 【题型1 利用整式乘法求字母的值】 3 【题型2 整式乘法中的错解问题】 3 【题型3 整体思想求整式乘法的值】 3 【题型4 整式乘法的计算与化简】 4 【题型5 乘法公式变形求值】 4 【题型6 利用整式的乘法求值】 5 【拔尖篇】 5 【题型7 巧用乘法公式求值】 5 【题型8 整式乘法中不含某项问题】 5 【题型9 整式乘法中的规律性问题】 6 【题型10 乘法公式的几何背景】 8 知识点1 整式的乘法 单项式与单项式相乘 法则 单项式与单项式相乘，把它们的系数、同底数幂分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式．其实质是运用了同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方的性质 示例 单项式与多项式相乘 法则 单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加．其实质是将单项式乘多项式转化为单项式乘单项式 示例 多项式与多项式相乘 法则 多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加．其实质是把多项式相乘转化为单项式乘多项式 示例 知识点2 平方差公式 1. 平方差公式 ．也就是说，两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差．这个公式叫做（乘法的）平方差公式． 2. 平方差公式的探究 图（1）中阴影部分的面积，图（2）中阴影部分的面积，故可得=． 3. 特点 （1）等号左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数； （2）等号右边是相同项的平方减去相反项的平方； （3）公式中的a和b可以表示具体的数或单项式，也可以表示多项式． 知识点3 完全平方公式 1. 完全平方公式 ，.也就是说，两个数的和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的2倍．这两个公式叫做（乘法的)完全平方公式． 2. 完全平方公式的探究 图（1）中大正方形的面积的两种表示方法：，，故． 图（2）中阴影部分的面积的两种表示方法：，，故． 3. 特点 （1）两个公式的等号左边都是一个二项式的平方，二者仅有一个符号不同； （2）等号右边都是二次三项式，其中首尾两项是等号左边二项式中每一项的平方，中间一项是等号左边二项式中两项乘积的2倍，二者也仅有一个符号不同． 【培优篇】 【题型1 利用整式乘法求字母的值】 【例1】（25-26七年级上·上海浦东新·期中）关于的整式与的乘积中所有项的系数恰巧都是1，则 ． 【变式1-1】若，则a的值为 ，b的值为 ． 【变式1-2】已知单项式与的积为，那么、的值为（    ） A．， B．， C．， D．， 【变式1-3】在的运算结果中，项的系数是，那么的值是 ． 【题型2 整式乘法中的错解问题】 【例2】甲、乙两人分别计算．甲抄错a的符号，得到结果是，乙漏抄第二个括号中x的系数，得到结果是，问该题的正确结果是 ． 【变式2-1】某同学计算一个多项式乘时，因抄错符号，算成了加上，得到的答案是，那么正确的计算结果是 ． 【变式2-2】（24-25七年级下·江苏淮安·期中）某同学在计算一个多项式乘以时，因抄错运算符号，算成了加上，得到的结果是． (1)求这个多项式； (2)该同学若按原题正确计算了，则结果为________． 【变式2-3】欢欢与乐乐两人共同计算，欢欢抄错为，得到的结果为；乐乐抄错为，得到的结果为． 式子中的a、b的值各是多少？ 请计算出原题的正确答案． 【题型3 整体思想求整式乘法的值】 【例3】计算：． 【变式3-1】计算： ． 【变式3-2】计算： ． 【变式3-3】（24-25九年级上·重庆·月考）计算： 【题型4 整式乘法的计算与化简】 【例4】（24-25七年级下·浙江温州·期末）已知，则的值为 ． 【变式4-1】化简并求值：定义一种新的运算法则： ， 请你化简式子： ， 若， 请计算上面这个式子的值． 【变式4-2】（24-25八年级上·江西南昌·期中）定义：是多项式A化简后的项数，例如多项式，则． 一个多项式A乘多项式B化简得到多项式C（即） ， 如果， 则称B是A的“好多项式”， 如果， 则称B是A的“极好多项式”． 若，均是关于x的多项式，且B是A的“极好多项式”，则 ． 【变式4-3】（24-25八年级上·北京·期中）先阅读下面材料，再解决问题： 已知，在求关于的代数式的值时，可将变形为，就可以将表示为关于的一次多项式，从而达到“降次”的目的，我们称这样的方法为“降次代换法”． 例如：已知，求代数式的值． 解：， 原式 请用“降次代换法”，完成下列各小题： （1）若，则代数式的值为 ； （2）若，则代数式的值为 ； （3）已知，则代数式的值为 ． 【题型5 乘法公式变形求值】 【例5】（2025·湖南长沙·一模）已知，，则 ． 【变式5-1】（24-25八年级下·浙江宁波·期末）已知，则m的值为 ． 【变式5-2】（24-25八年级上·江苏南通·阶段练习）已知实数满足，，且，则的值为 ． 【变式5-3】（24-25七年级下·四川达州·期中）已知，，，，则的值等于 ． 【题型6 利用整式的乘法求值】 【例6】（24-25八年级上·辽宁盘锦·阶段练习）若，则 ． 【变式6-1】（24-25八年级上·四川南充·期末）小亮在计算的值时，把n的值看错了，其结果等于25，细心的小敏把正确的n的值代入计算，其结果也是25．为了探究明白，她又把代入，结果还是25．则m的值为 ． 【变式6-2】（24-25八年级上·江苏南通·阶段练习）若，则 ． 【变式6-3】（24-25七年级上·上海徐汇·期中）已知，，．求的值为 ． 【拔尖篇】 【题型7 巧用乘法公式求值】 【例7】已知a，b，c满足：，则的值等于______． 【变式7-1】已知：，，则的值为_____． 【变式7-2】已知，，，那么的值为（　　） A．1 B．3 C．6 D．1010 【变式7-3】已知有理数a，b，c满足，，则（    ） A． B． C． D． 【题型8 整式乘法中不含某项问题】 【例8】（24-25七年级下·陕西咸阳·期中）已知是一个多项式的完全平方，与的乘积中不含关于x的一次项，则的值是（    ） A．1 B． C． D．2 【变式8-1】若代数式的值与x的取值无关，则常数 ． 【变式8-2】若的展开式中不含的二次项和一次项． (1)求的值； (2)求的值． 【变式8-3】（24-25七年级下·浙江杭州·期中）定义，如． (1)若，求的值； (2)若的值与无关，求值． 【题型9 整式乘法中的规律性问题】 【例9】（24-25七年级下·广东佛山·阶段练习）我国南宋时期杰出的数学家杨辉是钱塘人，如图所示的图表是他在《九章算法》中记载的“杨辉三角”． 此图揭示了（n为非负整数）的展开式的项数及各项系数的有关规律，由此规律可解决如下问题： (1)请在图中括号内的数为________； (2)展开式共有________项，第3项系数为________； (3)根据上面的规律，写出的展开式：________________________________________； (4)利用上面的规律计算：． 【变式9-1】（2025·安徽滁州·三模）观察下面的一系列等式： 第1个等式：；第2个等式：； 第3个等式：；第4个等式：；…… 根据以上规律，回答下列问题： (1)写出第5个等式； (2)直接写出第n个等式（用含n的式子表示）． 【变式9-2】（24-25七年级下·河南郑州·阶段练习）观察下列等式： ； ； ； ； …… 从这些计算结果中，你能发现什么？ 我们发现一个速算法则：十位数字相同，个位数字为5的两个两位数的乘积，可以先写出它们的十位数字与其下一个自然数的乘积，再在末尾接着写上5和5的乘积25． 例如：计算，因为，所以． (1)设这两个因数的十位数字为，请用含的代数式表示上述法则：__________________=_________． (2)请用所学的数学知识说明（1）中的速算法则成立的理由． (3)善于思考的小聪通过计算：发现“十位数字相同，个位数字的和为10的两位数乘法”也有与上述材料类似的规律，设两个因数的十位数字为，个位数字分别为m，n，且，请用含的等式表示小聪发现的规律：_______． 【变式9-3】（24-25七年级下·广东佛山·阶段练习）“杨辉三角”揭示了（n为非负数）展开式的各项系数的规律．在欧洲，这个表叫做帕斯卡三角形，帕斯卡是在1654年发现这一规律的，比杨辉要迟393年，比贾宪迟600年，请仔细观察“杨辉三角”中每个数字与上一行的左右两个数字之和的关系： 根据上述规律，完成下列各题： （1）将展开后，各项的系数和为 ． （2）将展开后，各项的系数和为 ． （3） ． 类比运用：如图是世界上著名的“莱布尼茨三角形”，类比“杨辉三角”，根据你发现的规律，回答下列问题： （4）若表示第m行，从左到右数第n个数， 如表示第四行第二个数是，则表示的数是 ，表示的数是 ． 【题型10 乘法公式的几何背景】 【例10】（24-25七年级下·四川成都·期末）【基于教材】 （1）如图1，在边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形，将图1的阴影部分拼成了如图2所示的长方形，分别表示图1、图2中阴影部分的面积，可以得到的等式是 ； 【知识迁移】 （2）为落实《关于全面加强新时代大中小学劳动教育的意见》文件精神，成都市锦江区某校在图1的基础上重新设计了如图3所示的图案，其中阴影部分种植番茄．若，，求种植番茄的面积； 【拓展应用】 （3）将两张全等的长方形纸片和另两张全等的正方形纸片按如图4方式不重叠地放置在矩形内，其中长方形纸片和正方形纸片的周长相等．若四边形和四边形的面积之和为20，阴影部分的面积为16，求长方形纸片的面积． 【变式10-1】（24-25七年级下·江苏宿迁·期末）将完全平方公式：进行适当的变形解决下列问题： (1)若，，求的值； (2)填空①若，则______； ②若，则______． (3)如图，在长方形中，，，、分别是、上的点，且，分别以、为边在长方形外侧作正方形和正方形，在长方形内侧作长方形，若长方形的面积为，求图中阴影部分的面积和． 【变式10-2】（24-25六年级下·山东烟台·期末）“平方差公式”和“完全平方公式”应用非常广泛，利用公式进行计算往往会使运算更加简便，请仔细观察并解答下列问题∶ 问题一∶已知． （1） ， ； （2）请用你观察到的方法化简的结果． 问题二∶已知 （3） ， ； （4）如图1是一个长为，宽为b的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成如图2的正方形．根据图2解决以下问题：若，，求图2中大正方形的面积． 【变式10-3】（24-25七年级下·广东佛山·阶段练习）数形结合是数学学习中一种很重要的思维方法，“数”的精确描述与“形”的直观刻画，使代数问题与几何问题相互转化，例如，利用图1中图形面积的两种不同表示方式可以得到等式． 【解决问题】 （1）如图2，用四个全等的长方形（x，y为两条邻边长，且）拼成一个大正方形，内含一个小正方形，若大正方形的边长为m，小正方形的边长为n，则下列关系式中，正确的是_______．（只填序号） ①；②；③；④． （2）用四个全等的直角三角形（a，b是直角边，c是斜边）和一个边长为c的正方形拼接成一个大正方形如图3所示，根据此图形，可以得到一个关于a，b，c的等式，请你写出这个等式，并说明理由． （3）①如图4是由几个小正方形和小长方形拼成的一个边长为的大正方形，用不同的方法表示这个大正方形的面积，得到的等式为_______； ②已知，，利用①中所得到的等式，求代数式的值． 【创新设计】 （4）如图5，A型是边长为a的正方形，B型是长为b、宽为a的长方形，C型是边长为b的正方形，其中A型、B型、C型都有若干个．请你用A型、B型、C型拼出一个长方形或正方形（A型、B型、C型至少使用一次，拼接时不可有重叠、不可有缝隙），并根据你的拼图写出一个关于a，b的等式． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 第八章 整式乘法（举一反三讲义）全章题型归纳 【新教材苏科版】 【培优篇】 3 【题型1 利用整式乘法求字母的值】 3 【题型2 整式乘法中的错解问题】 4 【题型3 整体思想求整式乘法的值】 6 【题型4 整式乘法的计算与化简】 8 【题型5 乘法公式变形求值】 11 【题型6 利用整式的乘法求值】 13 【拔尖篇】 15 【题型7 巧用乘法公式求值】 15 【题型8 整式乘法中不含某项问题】 16 【题型9 整式乘法中的规律性问题】 19 【题型10 乘法公式的几何背景】 24 知识点1 整式的乘法 单项式与单项式相乘 法则 单项式与单项式相乘，把它们的系数、同底数幂分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式．其实质是运用了同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方的性质 示例 单项式与多项式相乘 法则 单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加．其实质是将单项式乘多项式转化为单项式乘单项式 示例 多项式与多项式相乘 法则 多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加．其实质是把多项式相乘转化为单项式乘多项式 示例 知识点2 平方差公式 1. 平方差公式 ．也就是说，两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差．这个公式叫做（乘法的）平方差公式． 2. 平方差公式的探究 图（1）中阴影部分的面积，图（2）中阴影部分的面积，故可得=． 3. 特点 （1）等号左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数； （2）等号右边是相同项的平方减去相反项的平方； （3）公式中的a和b可以表示具体的数或单项式，也可以表示多项式． 知识点3 完全平方公式 1. 完全平方公式 ，.也就是说，两个数的和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的2倍．这两个公式叫做（乘法的)完全平方公式． 2. 完全平方公式的探究 图（1）中大正方形的面积的两种表示方法：，，故． 图（2）中阴影部分的面积的两种表示方法：，，故． 3. 特点 （1）两个公式的等号左边都是一个二项式的平方，二者仅有一个符号不同； （2）等号右边都是二次三项式，其中首尾两项是等号左边二项式中每一项的平方，中间一项是等号左边二项式中两项乘积的2倍，二者也仅有一个符号不同． 【培优篇】 【题型1 利用整式乘法求字母的值】 【例1】（25-26七年级上·上海浦东新·期中）关于的整式与的乘积中所有项的系数恰巧都是1，则 ． 【答案】 【分析】根据整式乘法法则，计算乘积后，令所有项的系数为1，建立方程求解即可；本题主要考查了单项式乘以多项式，熟练掌握相应的运算法则是解题的关键． 【详解】解：， 由条件得， 解得， 则； 故答案为：． 【变式1-1】若，则a的值为 ，b的值为 ． 【答案】 5 【分析】本题主要考查了多项式乘以多项式，根据多项式乘以多项式的计算法则求出的结果即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， 故答案为：5；． 【变式1-2】已知单项式与的积为，那么、的值为（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】按照单项式乘单项式计算单项式与的积，再根据单项式与的积为，即可求得答案． 【详解】解：∵，单项式与的积为， ∴，， 故选：B 【点睛】此题考查了单项式的乘法运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【变式1-3】在的运算结果中，项的系数是，那么的值是 ． 【答案】10 【分析】本题主要考查了多项式的乘法，关键是掌握多项式与多项式相乘的法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另外一个多项式的每一项，再把所得的积相加．先运用多项式的乘法法则进行计算，再根据运算结果中的系数是，列出关于的等式求解即可． 【详解】解：， ， 运算结果中的系数是， ， 解得， 故答案为：10． 【题型2 整式乘法中的错解问题】 【例2】甲、乙两人分别计算．甲抄错a的符号，得到结果是，乙漏抄第二个括号中x的系数，得到结果是，问该题的正确结果是 ． 【答案】 【分析】先“将错就错”进行求解a、b的值，再将a、b值代入原式即可求解． 【详解】解：由题意得： ， ， ∴，解得：； ∴a、b的值分别为、3； ∴， ∴该题的正确答案是， 故答案为． 【点睛】本题主要考查多项式乘多项式，熟练掌握多项式乘多项式的运算法则是解题的关键． 【变式2-1】某同学计算一个多项式乘时，因抄错符号，算成了加上，得到的答案是，那么正确的计算结果是 ． 【答案】 【分析】先用错误的结果减去已知多项式求得原式，再乘以即可解答． 【详解】解：这个多项式是（x2-0.5x+1）-（-3x2）=4x2-0.5x+1， 正确的计算结果是：（4x2-0.5x+1）（-3x2）=． 故答案为． 【点睛】本题考查了单项式与多项式相乘，熟练掌握单项式与多项式相乘运算法则是解答本题的关键． 【变式2-2】（24-25七年级下·江苏淮安·期中）某同学在计算一个多项式乘以时，因抄错运算符号，算成了加上，得到的结果是． (1)求这个多项式； (2)该同学若按原题正确计算了，则结果为________． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（1）先根据题意列出抄错的式子计算，得到A即可； （2）把（1）中的结果代入原式计算得到正确答案即可； 【详解】（1）解：由题意得：， ∴， （2）解：由（1）知： ∴， 故答案为：； 【点睛】本题主要考查了整式的加减和整式的乘除，解决此题的关键是先根据题意算出A，再把A代入原式子得到正确答案，解决此题的关键是读懂题意，正确算出A的式子． 【变式2-3】欢欢与乐乐两人共同计算，欢欢抄错为，得到的结果为；乐乐抄错为，得到的结果为． 式子中的a、b的值各是多少？ 请计算出原题的正确答案． 【答案】（1），；（2）   【分析】根据由于欢欢抄错了第一个多项式中的a符号，得出的结果为，可知，于是；再根据乐乐由于漏抄了第二个多项式中的x的系数，得到的结果为，可知常数项是，可知，可得到，解关于的方程组即可求出a、b的值； 把a、b的值代入原式求出整式乘法的正确结果． 【详解】根据题意可知，由于欢欢抄错了第一个多项式中的a的符号，得到的结果为， 那么， 可得 乐乐由于漏抄了第二个多项式中的x的系数，得到的结果为， 可知 即， 可得， 解关于的方程组，可得，； 正确的式子： 【点睛】本题主要是考查多项式的乘法，正确利用法则是正确解决问题的关键． 【题型3 整体思想求整式乘法的值】 【例3】计算：． 【答案】． 【分析】本题考查了整式的混合运算，原式利用完全平方公式，以及平方差公式计算即可求出值，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 【详解】解： ． 【变式3-1】计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了完全平方公式和平方差公式，利用平方差公式化简，再利用完全平方公式展开即可得到结果，能熟练理解和灵活运用完全平方公式是解题的关键． 【详解】原式， ， ， ． 故答案为： 【变式3-2】计算： ． 【答案】 【分析】本题主要考查完全平方公式，运用完全平方公式将括号展开即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 【变式3-3】（24-25九年级上·重庆·月考）计算： 【答案】 【分析】本题主要考查了乘法公式，熟知平方差公式是解题的关键． 先利用积的乘方计算法则把原式变形为，再利用平方差公式分别计算得到，再利用多项式乘以多项式的计算法则求解即可； 【详解】解： 【题型4 整式乘法的计算与化简】 【例4】（24-25七年级下·浙江温州·期末）已知，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了整式的混合运算以及代数式求值，熟练掌握多项式乘法法则以及整体代入法是解题的关键．先对进行化简，然后将已知条件，代入化简后的式子进行计算．解题思路是先展开式子，再通过变形将式子转化为含有与的形式，最后代入求值． 【详解】解： 又∵，，将其代入上式可得： 故答案为：． 【变式4-1】化简并求值：定义一种新的运算法则： ， 请你化简式子： ， 若， 请计算上面这个式子的值． 【答案】-，－20 【分析】根据对进行化简后，将x、y的数值代入即可得出答案． 【详解】解： = = =- 当x=2，y=1时， 原式=． 【点睛】本题考查了整式的混合运算，掌握整式的混合运算的法则是解题的关键． 【变式4-2】（24-25八年级上·江西南昌·期中）定义：是多项式A化简后的项数，例如多项式，则． 一个多项式A乘多项式B化简得到多项式C（即） ， 如果， 则称B是A的“好多项式”， 如果， 则称B是A的“极好多项式”． 若，均是关于x的多项式，且B是A的“极好多项式”，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查多项式的乘法及项数的理解，熟练掌握多项式的乘法是解题关键．根据多项式的乘法及项数确定求解即可． 【详解】解： ， ∵B是A的“极好多项式”，则， 即，只有两项， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式4-3】（24-25八年级上·北京·期中）先阅读下面材料，再解决问题： 已知，在求关于的代数式的值时，可将变形为，就可以将表示为关于的一次多项式，从而达到“降次”的目的，我们称这样的方法为“降次代换法”． 例如：已知，求代数式的值． 解：， 原式 请用“降次代换法”，完成下列各小题： （1）若，则代数式的值为 ； （2）若，则代数式的值为 ； （3）已知，则代数式的值为 ． 【答案】 3 10 【分析】本题主要考查多项式乘多项式、整式的化简求值等知识点，熟练掌握整式的运算法则是解题的关键． （1）先由得出，再运用多项式乘多项式法则计算，然后将代入计算即可． （2）先由得出，然后运用整式的四则混合运算法则计算，然后将代入计算即可； （3）由可得、、 ，然后代入计算即可． 【详解】解：（1）∵， ∴， ∴ ． 故答案为：3． （2）∵， ∴， ∴ ． 故答案为：． （3）∵， ∴，， ， ∴ ． 故答案为10． 【题型5 乘法公式变形求值】 【例5】（2025·湖南长沙·一模）已知，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了平方差公式与完全平方公式．熟练掌握平方差公式与完全平方公式是解题的关键． 先利用平方差公式求出的值，再根据完全平方公式求出的值即可． 【详解】解：设， 则 ， 则， ， ， 则， ， ， ． 故答案为：． 【变式5-1】（24-25八年级下·浙江宁波·期末）已知，则m的值为 ． 【答案】1 【分析】本题考查了完全平方公式的应用． 先根据完全平方公式得到，再解方程即可． 【详解】解： 解得：， 故答案为：． 【变式5-2】（24-25八年级上·江苏南通·阶段练习）已知实数满足，，且，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查平方差公式，完全平方公式，掌握平方差公式，完全平方公式是解题的关键． 将两式相减得到，根据得到，将两式相加得到，从而根据完全平方公式即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵，即， ∴． ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 【变式5-3】（24-25七年级下·四川达州·期中）已知，，，，则的值等于 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了完全平方公式的应用，根据完全平方公式变形，将已知式子的值代入，即可求解． 【详解】解：∵，，，， ， ， ． 故答案为：． 【题型6 利用整式的乘法求值】 【例6】（24-25八年级上·辽宁盘锦·阶段练习）若，则 ． 【答案】6 【分析】本题考查了幂的运算（幂的乘方、积的乘方、同底数幂的乘法）及二元一次方程组的应用．解题的关键是将等式两边转化为同底数幂的乘积形式，利用"同底数幂相等则指数相等"建立方程求解． 将左边式子分解为以2和5为底数的幂：；对比右边，列指数相等的方程组；解方程组得，计算 【详解】∵，， ∴左边，右边， 由于等式两边同底数幂的指数必相等，可得方程组： ，解得， ∴． 故答案为：6． 【变式6-1】（24-25八年级上·四川南充·期末）小亮在计算的值时，把n的值看错了，其结果等于25，细心的小敏把正确的n的值代入计算，其结果也是25．为了探究明白，她又把代入，结果还是25．则m的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了完全平方公式与平方差公式、单项式乘以多项式等知识，熟练掌握运算法则是解题关键．先计算完全平方公式与平方差公式、单项式乘以多项式，再令化简结果等于25，计算平方根即可得． 【详解】解： ， 由题意得：， 解得， 故答案为：． 【变式6-2】（24-25八年级上·江苏南通·阶段练习）若，则 ． 【答案】3 【分析】本题考查同底数幂乘法、解一元一次方程及代数式求值，先根据同底数幂乘法法则得出关于的一元一次方程，解方程求出的值，代入其中即可得答案．熟练掌握同底数幂乘法法则是解题关键． 【详解】解：∵， ∴， 解得：， ∴． 故答案为： 【变式6-3】（24-25七年级上·上海徐汇·期中）已知，，．求的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了整式的混合运算，掌握其运算法则，整式的化简，将式子变形得是解题的关键． 根据整式的混合运算，整式的化简等方法，将式子变形得即可求解． 【详解】解：已知，，， ∵ ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为： ． 【拔尖篇】 【题型7 巧用乘法公式求值】 【例7】已知a，b，c满足：，则的值等于______． 【分析】将已知等式左右两边分别相加，再配方成非负数的和为0，求出a、b、c的值，代入即可求出式子的值． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：3． 【变式7-1】已知：，，则的值为_____． 【分析】利用完全平方公式将已知等式展开，然后将其相加即可求得的值，将其相减得到代的值，继而代入，即可得解 【详解】解： ，，①② ， ②＋①得：， ①－②得：， ， 故答案为：14 【变式7-2】已知，，，那么的值为（　　） A．1 B．3 C．6 D．1010 【分析】分别求出、、的值，然后利用完全平方公式将题目中的式子变形，再整体代入即可完成． 【详解】解：∵，，， ∴，，， ∴ 故选：B． 【变式7-3】已知有理数a，b，c满足，，则（    ） A． B． C． D． 【分析】由得，再求得得，进一步求出，，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴，， ∵， ∴， 整理，得， ∴， ∵，，， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴，， 把，，代入得： 原式， 故选：C． 【题型8 整式乘法中不含某项问题】 【例8】（24-25七年级下·陕西咸阳·期中）已知是一个多项式的完全平方，与的乘积中不含关于x的一次项，则的值是（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】B 【分析】此题考查了完全平方式，以及多项式乘多项式，利用完全平方公式，以及多项式乘以多项式法则确定出与的值，代入原式计算即可求出值．熟练掌握公式及法则是解本题的关键． 【详解】解：∵是完全平方式，不含的一次项， ∴，， 解得：，， 当，，时，， 故选：B． 【变式8-1】若代数式的值与x的取值无关，则常数 ． 【答案】3 【分析】此题考查整式的混合运算，先运算多项式乘以多项式和单项式乘以多项式，然后合并，进而根据与x的取值无关得到，解方程即可． 【详解】解：， ∵代数式的值与x的取值无关， ∴，解得， 故答案为：． 【变式8-2】若的展开式中不含的二次项和一次项． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查整式的乘法，平方差公式的应用． （1）根据整式的乘法运算法则展开，再根据展开式中不含的二次项和一次项，即整理后该项系数为零，据此建立等式求出、的值，将、的值代入中计算，即可解题． （2）把原式化为，再利用平方差公式逐步计算即可解题． 【详解】（1）解： ， ∵的展开式中不含的二次项和一次项， ∴， 解得：， ∴． （2）解： ， ， ， ， 上式． 【变式8-3】（24-25七年级下·浙江杭州·期中）定义，如． (1)若，求的值； (2)若的值与无关，求值． 【答案】(1)； (2) 【分析】本题考查新定义运算，涉及解方程及方程组、整式运算、多项式无关项问题等知识，读懂题意，掌握新定义运算，灵活转化为解方程及解方程组问题是解决问题的关键． （1）根据定义将化为，解方程即可得到答案； （2）根据定义得到，再由的值与无关，得到方程组求解即可得到答案． 【详解】（1）解： ， ，即， 解得； （2）解： ， ， 的值与无关， ， 解得， ． 【题型9 整式乘法中的规律性问题】 【例9】（24-25七年级下·广东佛山·阶段练习）我国南宋时期杰出的数学家杨辉是钱塘人，如图所示的图表是他在《九章算法》中记载的“杨辉三角”． 此图揭示了（n为非负整数）的展开式的项数及各项系数的有关规律，由此规律可解决如下问题： (1)请在图中括号内的数为________； (2)展开式共有________项，第3项系数为________； (3)根据上面的规律，写出的展开式：________________________________________； (4)利用上面的规律计算：． 【答案】(1)6 (2)， (3) (4) 【分析】本题考查了多项式乘以多项式中的规律，数字的变化规律，解题关键是找出规律． （1）根据表中数据特点解题即可； （2）先找出规律，用表示出展开式中共项数，当时，用表示出倒数第三项的系数，代入数据计算即可； （3）根据图示顺推即可得到展开式； （4）根据展开式，令，时代入展开式即可得到所求代数式的值； 【详解】（1）解：图中括号内的数为， 故答案为：6； （2）展开式有项， ，展开式有项，第三项系数为； ，展开式有项，第3项系数为3，第三项系数为； ，展开式有项，第3项系数为6，第三项系数为； 展开式有项，第3项系数为，第三项系数为； ……； 以此类推，展开式中共有项，第三项的系数， ∴展开式共有项，第3项系数为， 故答案为：，； （3）根据图示，， 故答案为：； （4）∵， 当，时，， ∴． 【变式9-1】（2025·安徽滁州·三模）观察下面的一系列等式： 第1个等式：；第2个等式：； 第3个等式：；第4个等式：；…… 根据以上规律，回答下列问题： (1)写出第5个等式； (2)直接写出第n个等式（用含n的式子表示）． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查数字类规律探究、多项式乘法中的规律性问题，找到等式左右两边变化规律是解答的关键． （1）根据前几个等式两边的变化可得结论； （2）根据前几个等式左右变化与序号的关系可得结论． 【详解】（1）解：由前几个等式变化可得：第5个等式为； （2）解：第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：；…… 依次规律， 得：第n个等式为． 证明：， ， ∴． 【变式9-2】（24-25七年级下·河南郑州·阶段练习）观察下列等式： ； ； ； ； …… 从这些计算结果中，你能发现什么？ 我们发现一个速算法则：十位数字相同，个位数字为5的两个两位数的乘积，可以先写出它们的十位数字与其下一个自然数的乘积，再在末尾接着写上5和5的乘积25． 例如：计算，因为，所以． (1)设这两个因数的十位数字为，请用含的代数式表示上述法则：__________________=_________． (2)请用所学的数学知识说明（1）中的速算法则成立的理由． (3)善于思考的小聪通过计算：发现“十位数字相同，个位数字的和为10的两位数乘法”也有与上述材料类似的规律，设两个因数的十位数字为，个位数字分别为m，n，且，请用含的等式表示小聪发现的规律：_______． 【答案】(1)，， (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了整式乘法相关的数学规律，理解题意是解题的关键． （1）根据题意直接写出答案即可； （2）观察规律求解； （3）利用代数式表示两个乘数，根据整式的运算法则计算即可． 【详解】（1）解：根据题意有：； 故答案为：，，； （2）解：设这个数的十位数字为，个位数字为，这个两位数可表示为， ； （3）解：由题意，两个因数分别表示为：，， 则 ， 故答案为：． 【变式9-3】（24-25七年级下·广东佛山·阶段练习）“杨辉三角”揭示了（n为非负数）展开式的各项系数的规律．在欧洲，这个表叫做帕斯卡三角形，帕斯卡是在1654年发现这一规律的，比杨辉要迟393年，比贾宪迟600年，请仔细观察“杨辉三角”中每个数字与上一行的左右两个数字之和的关系： 根据上述规律，完成下列各题： （1）将展开后，各项的系数和为 ． （2）将展开后，各项的系数和为 ． （3） ． 类比运用：如图是世界上著名的“莱布尼茨三角形”，类比“杨辉三角”，根据你发现的规律，回答下列问题： （4）若表示第m行，从左到右数第n个数， 如表示第四行第二个数是，则表示的数是 ，表示的数是 ． 【答案】（1）32；（2）；（3）；（4）， 【分析】此题考查多项式乘法的应用和数字类的规律题，能根据杨辉三角和“莱布尼茨三角形”得出规律是解此题的关键． （1）根据规律可知：将展开后，各项的系数和为32； （2）根据(为非负数）展开式的各项系数的规律可得结论； （3）把展开，即可得出答案； （4）著名的“莱布尼茨三角形”，规律是：①下一行的第1和第2个数相加就等于上一行的第1个数，下一行的第2和第3个数相加就等于上一行的第2个数，以此类推，②每一行的第一个数都是，经过计算可得结论． 【详解】解：（1）， 各项系数和：， 故答案为：； （2）第二行：，，各项系数和为， 第三行：，各项系数和为， … 第行：展开后各项系数和为； 故答案为：； （3）由（2）得：， 故答案为：； （4）由题意得：这个三角的规律就是下一行的第1和第2个数相加就等于上一行的第1个数，下一行的第2和第3个数相加就等于上一行的第2个数，以此类推，还发现每一行的第一个数都是； 根据规律可得：第六行：，，，，，， 第七行：，，，，，，， 第八行：，，，，，，，， ∴表示第六行第三个数，是，表示第八行第六个数，是． 【题型10 乘法公式的几何背景】 【例10】（24-25七年级下·四川成都·期末）【基于教材】 （1）如图1，在边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形，将图1的阴影部分拼成了如图2所示的长方形，分别表示图1、图2中阴影部分的面积，可以得到的等式是 ； 【知识迁移】 （2）为落实《关于全面加强新时代大中小学劳动教育的意见》文件精神，成都市锦江区某校在图1的基础上重新设计了如图3所示的图案，其中阴影部分种植番茄．若，，求种植番茄的面积； 【拓展应用】 （3）将两张全等的长方形纸片和另两张全等的正方形纸片按如图4方式不重叠地放置在矩形内，其中长方形纸片和正方形纸片的周长相等．若四边形和四边形的面积之和为20，阴影部分的面积为16，求长方形纸片的面积． 【答案】（1）；（2）；（3）12 【分析】本题主要考查了平方差公式的几何背景，完全平方公式的变形求值，解题的关键是熟练掌握平方差公式和完全平方公式． （1）根据两个图形中阴影部分面积相等，得出答案即可； （2）用大正方形面积减去两个直角三角形的面积，和一个正方形的面积，得出阴影部分的面积即可； （3）设长方形的两边分别为m、n，得出正方形的边长为，正方形的边长为，根据四边形和四边形的面积之和为20，阴影部分的面积为16，得出，，求出，，得出答案即可． 【详解】（1）解：图1中阴影部分的面积为：， 图2中阴影部分的面积为：， ∴可以得到的等式为； （2）∵，， ∴， ∵， ∴， ∴种植番茄的面积为： ； （3）设长方形的两边分别为m、n， ∵长方形纸片和正方形纸片的周长相等， ∴正方形的边长为， ∴正方形的边长为， ∵四边形和四边形的面积之和为20，阴影部分的面积为16， ∴， ， 即，， ∴，， ∵，， ∴，， ∴， ∴长方形纸片的面积为12． 【变式10-1】（24-25七年级下·江苏宿迁·期末）将完全平方公式：进行适当的变形解决下列问题： (1)若，，求的值； (2)填空①若，则______； ②若，则______． (3)如图，在长方形中，，，、分别是、上的点，且，分别以、为边在长方形外侧作正方形和正方形，在长方形内侧作长方形，若长方形的面积为，求图中阴影部分的面积和． 【答案】(1) (2)①；② (3) 【分析】（1）将两边同时平方并利用完全平方公式展开，再将已知数值代入计算即可； （2）①设，则，，利用完全平方公式求得的值即可；②设，，则，，利用完全平方公式求得的值即可； （3）由题意易得，，则，设，，那么，，利用完全平方公式求得的值即可． 本题主要考查了完全平方公式的灵活应用，熟练掌握完全平方公式的变形（如、等），并能结合题目条件准确代入计算是解题的关键． 【详解】（1）解：， ， ， ， ， ； （2）解：①设，则，， ∴， ， ， ， 即， 故答案为：； ②设，，则，， ∴， ， ， ， 即， 故答案为：； （3）解：，，， ，， ， 设，， 那么，， ， ， ， ， 即图中阴影部分的面积和为． 【变式10-2】（24-25六年级下·山东烟台·期末）“平方差公式”和“完全平方公式”应用非常广泛，利用公式进行计算往往会使运算更加简便，请仔细观察并解答下列问题∶ 问题一∶已知． （1） ， ； （2）请用你观察到的方法化简的结果． 问题二∶已知 （3） ， ； （4）如图1是一个长为，宽为b的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成如图2的正方形．根据图2解决以下问题：若，，求图2中大正方形的面积． 【答案】（1）；z；（2）；（3）；；（4）49 【分析】本题考查完全平方公式的几何背景，掌握完全平方公式的结构特征是正确解答的关键． （1）根据平方差公式进行计算即可； （2）根据平方差公式进行计算即可； （3）根据可得答案； （4）根据进行计算即可． 【详解】解：（1）． ，， 故答案为：，； （2） ； （3）， ，， 故答案为：，； （4），， ， 即大正方形的面积为49． 【变式10-3】（24-25七年级下·广东佛山·阶段练习）数形结合是数学学习中一种很重要的思维方法，“数”的精确描述与“形”的直观刻画，使代数问题与几何问题相互转化，例如，利用图1中图形面积的两种不同表示方式可以得到等式． 【解决问题】 （1）如图2，用四个全等的长方形（x，y为两条邻边长，且）拼成一个大正方形，内含一个小正方形，若大正方形的边长为m，小正方形的边长为n，则下列关系式中，正确的是_______．（只填序号） ①；②；③；④． （2）用四个全等的直角三角形（a，b是直角边，c是斜边）和一个边长为c的正方形拼接成一个大正方形如图3所示，根据此图形，可以得到一个关于a，b，c的等式，请你写出这个等式，并说明理由． （3）①如图4是由几个小正方形和小长方形拼成的一个边长为的大正方形，用不同的方法表示这个大正方形的面积，得到的等式为_______； ②已知，，利用①中所得到的等式，求代数式的值． 【创新设计】 （4）如图5，A型是边长为a的正方形，B型是长为b、宽为a的长方形，C型是边长为b的正方形，其中A型、B型、C型都有若干个．请你用A型、B型、C型拼出一个长方形或正方形（A型、B型、C型至少使用一次，拼接时不可有重叠、不可有缝隙），并根据你的拼图写出一个关于a，b的等式． 【答案】（1）①②③；（2），理由见解析；（3）①；②45；（4）见解析 【分析】本题考查完全平方公式的几何背景，掌握完全平方公式的结构特征是正确解答的关键． （1）根据拼图得出大正方形、小正方形以及长方形的边长之间的关系、面积之间的关系，逐项进行判断即可； （2）用代数式表示图形中大、小正方形面积，长方形的面积由面积之间的和差关系可得答案； （3）①由拼图可知，图4中大正方形的边长为，面积为，图4中大正方形是由三个边长为a，b，c的正方形和两个边长为a，b的长方形，两个边长为c，b的长方形，两个边长为a，c的长方形拼成，根据图4中大正方形的面积得到等式； ②由等式利用代入法即可求解． （4）画出相应的拼图，再根据面积之间的和差关系即可得出答案． 【详解】解：（1）图2中，小正方形的边长，因此①正确； 图2中大正方形的边长，因此面积为，中间小正方形的边长为，因此面积为，4个小长方形的面积为，由拼图可知，即，因此②正确； 由拼图可知，，所以，即，因此③正确； ∵，， ∴，， ∴，， ∴，故④错误； 故答案为：①②③； （2），理由如下： 图3中大正方形的面积为，小正方形的面积为，4个直角三角形的面积和为， 因此有，即； （3）①由拼图可知，图4中大正方形的边长为，∴图4中大正方形的面积为， 又∵图4中大正方形是由三个边长为a，b，c的正方形和两个边长为a，b的长方形，两个边长为c，b的长方形，两个边长为a，c的长方形拼成， ∴图4中大正方形的面积为； ②，， ． （4）画图：如图所示（画图不唯一）， 根据拼图，可得关于，的等式是： 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $