精品解析：甘肃省武威市普通高中教育联盟2025-2026学年高三上学期1月期末联考数学试题

高三数学 考生注意： 1．本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟． 2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚． 3．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效． 4．本卷命题范围：高考范围． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若复数满足（是虚数单位），则的虚部是（　　） A. B. C. D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】由复数的概念可得. 【详解】由题意得，的虚部是3． 故选：D． 2. 设全集是小于7的自然数，，则集合等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，利用补集的定义直接求解. 【详解】依题意，，而，所以. 【点睛】故选：C 3. 已知椭圆的左、右焦点分别为，若是椭圆上一点，则（　　） A. B. 6 C. D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】根据椭圆定义进行求解. 【详解】由椭圆方程可知，由椭圆定义可知． 故选：A． 4. 已知平面向量，若，则（ ） A. 2 B. C. 3 D. 【答案】D 【解析】 【分析】由向量垂直的坐标表示求得，再结合坐标运算及模长公式即可求解. 【详解】因为， 所以，解得， 所以， 所以， 故选：D 5. 二项式的展开式中常数项为（ ） A. 10 B. C. 5 D. 【答案】D 【解析】 【分析】由二项展开式的通项公式为，结合常数项求解即可． 【详解】根据题意二项展开式的通项公式为， 当，解得， 所以常数项为． 故选：D． 6. 设△ABC的内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，若bcosC+ccosB=2acosA，则A=（　　） A. B. C. D. 或 【答案】B 【解析】 【详解】∵bcosC+ccosB=2acosA， ∴由正弦定理可得：sinBcosC+sinCcosB=2sinAcosA， 可得：sin（B+C）=sinA=2sinAcosA， ∵A∈（0，π），sinA≠0， ∴cosA=， ∴可得A=． 故选B． 7. 设各项为正数的等比数列中，，则取最小值时，等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设公比为，利用等比数列的性质得到，再结合基本不等式求出公比，然后利用等比数列的性质可得. 【详解】设公比为， 所以， 当且仅当，即3时取等号，此时. 故选：B. 8. 已知四面体的顶点都在同一球面上，若该球的表面积为，是边长为3的正三角形，则四面体的体积的最大值为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求出球的半径及三角形外接圆半径，进而求出球心到平面的距离，从而求出到平面的距离的最大值，最后利用四面体体积公式计算求解． 【详解】设球心为，球的表面积为，解得， 是边长为3的正三角形， 的外接圆半径， 到平面的距离， 到平面的距离的最大值为， 四面体的体积的最大值为： ，故C正确． 故选：C． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知a，b，c都是实数，下列命题是真命题的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，则 D. 若，，则 【答案】BD 【解析】 【分析】利用零指数幂的定义计算求解判断选项A，根据对数的运算法则计算判断选项B，根据指数函数性质结合特殊值验证判断选项C，利用不等式性质，两边同时乘以负数时，不等号方向改变判断选项D. 【详解】若，时，则，故A错误； 若，时，，故B正确； 若，当时，，但，命题不成立，故C错误； 当时，，又，所以，故D正确. 故选：BD. 10. 已知数列为等差数列，为其前n项和，，，则（ ） A. B. 为单调递增数列 C. 使的n的最小值为18 D. 当且仅当时，最小 【答案】BC 【解析】 【分析】根据数列为等差数列，由，求得首项和公差，然后再逐项判断. 【详解】对于A：在等差数列中，，， 所以，解得 ， 则 ，故A错误； 对于B：，则 ， 所以为单调递增数列，故B正确； 对于C：，由 ，即 ， 解得，所以 的n的最小值为18，故C正确； 对于D：的对称轴为，开口方向向上， 因为为正整数，所以当或9时，取得最小值，故D错误. 故选：BC 11. 设定义在上的奇函数的导函数为，对于，都有，当时，，则（ ） A. 曲线关于轴对称 B. 是周期函数 C. 当时， D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】选项A：由，两边求导可得答案； 选项B：由，得，从而证得是周期函数； 选项C：结合的奇偶性和周期性可判断； 选项D：结合的周期性即可求. 【详解】选项A：已知是奇函数，则，两边求导得： 即， 故是偶函数，曲线关于轴对称，选项A正确; 选项B：由，替换为得： 故，则的周期为4， 替换为得：， 故可设 又由， 设, 故，由是奇函数，得 易得，替换为得： ， 故， 故的周期为4, 故选项B正确； 选项C：当时，， 令，则， 由选项B知，且是奇函数， 得， 故，则： ， 故选项C错误； 选项D：由周期为4，即，替换为得： 则，由选项B知， 故， 又， 故， 由，得，则： ，故选项D正确. 故选：ABD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. ______． 【答案】## 【解析】 【分析】利用诱导公式及特殊角的三角函数值计算可得； 【详解】解： 故答案为： 13. 已知定义在上的偶函数在上单调递减，则不等式的解集为___________． 【答案】 【解析】 【分析】利用偶函数性质将不等式转化为，再结合单调性得到，最后解绝对值不等式即可. 【详解】由题意可得在上单调递减，且为偶函数， 所以等价于， 所以，解得， 故答案为： 14. 已知双曲线，过作倾斜角分别为的两条直线，且分别与C交于不与P重合的A，B两点，则的面积为______． 【答案】5 【解析】 【分析】求得直线的方程，求得两点的坐标，判断出是直角三角形，进而计算出的面积. 【详解】将的坐标代入C的方程，成立，故点P在双曲线C上， 过点，倾斜角为，其斜率， 则的方程为，即， 代入C的方程，化简可得，解得或（舍）， 当时，，故点A的坐标为， 直线过点，倾斜角为，其斜率， 则的方程为，即， 代入C的方程，化简可得，解得（舍）或， 当时，，故点B的坐标为， 因为，所以，所以是直角三角形， 且， 故. 故答案为：5 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数． （1）求； （2）设函数，求的单调区间． 【答案】（1） （2）单调递增区间：，单调递减区间为：. 【解析】 【分析】（1）由题可知，根据可求得； （2）由（1）可知的解析式，化成的形式，根据复合函数单调区间的求法，可求得的单调区间. 【小问1详解】 因为函数，且，所以， 又，所以. 【小问2详解】 由（1）知：，所以， 所以. 令，显然是增函数. 因为当时，函数单调递增； 当时，函数单调递减. 所以当，即时，函数单调递增； 当，即时，函数单调递减. 所以函数的单调递增区间为：， 单调递减减区间为：. 16. 为研究甲、乙两种治疗方案的疗效，从选择甲、乙方案进行治疗的患者中随机抽取2000名得到如下列联表： 效果明显 效果不明显 合计 甲方案 1000 200 1200 乙方案 600 200 800 合计 1600 400 2000 （1）根据小概率值的独立性检验，分析治疗效果与选择甲、乙方案是否有关联； （2）在800名选择乙方案的患者中按效果是否明显用分层随机抽样的方法抽取8人，再从这8名患者中随机抽取4人，设表示4名患者中效果不明显的人数，求的分布列和数学期望． 附：． 0.1 0.01 0.001 2.706 6.635 10.828 【答案】（1）治疗效果与选择甲、乙方案有关联． （2） 的分布列为 0 1 2 1 【解析】 【分析】（1）根据题意，由列联表代入的计算公式计算，再根据独立性检验内容即可得到结果； （2）根据题意，由分层抽样的公式可得效果明显的患者中抽取名，从效果不明显的患者中抽取名，再由超几何分布的概率公式代入计算，即可得到分布列，从而得到期望. 【小问1详解】 零假设为：治疗效果与选择甲、乙方案无关联， ， 根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，故治疗效果与选择甲、乙方案有关联． 【小问2详解】 根据分层随机抽样方法可知，从效果明显的患者中抽取名，从效果不明显的患者中抽取名， 的取值分别为0，1，2， 则， 所以的分布列为 0 1 2 ． 17. 如图，在直四棱柱中，底面是正方形，，，，分别是，的中点. （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（1）证明：建立如图所示空间直角坐标系： 则， ， 所以，易知平面ABCD的一个法向量为：， 又，且平面， 所以平面； （2） 【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系，求得，易知平面ABCD的一个法向量为：，由证明； （2）求得平面的一个法向量，设直线与平面所成的角为，由求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）知：， 设平面的一个法向量为：， 则，即， 令，得，则， 设直线与平面所成的角为， 所以. 18. 已知抛物线上一点与焦点的距离为4，点到轴的距离为. （1）求的方程； （2）点为的准线上一动点，直线（为坐标原点）与交于另一点，过点作轴的垂线与交于点. ①求证：直线过定点； ②若，求的面积. 【答案】（1）； （2）①证明见解析；②. 【解析】 【分析】（1）设点，由已知及抛物线定义建立方程求出值，即可得到抛物线的方程. （2）①由（1）求出抛物线焦点坐标及准线方程，再设出点的坐标，并表示出点坐标，求出直线的方程即可得证；②由①中信息，利用数量积的定义，结合三角形面积公式求解. 【小问1详解】 设点，由，得， 由点到轴的距离为，得，又，则，解得， 所以抛物线的方程为. 【小问2详解】 ①由（1）得抛物线：的焦点，准线方程为， 设，由轴，且点在抛物线上，得， 直线方程为，由，得点， 当时，直线的斜率，其方程为， 整理得，因此直线过定点，当时，直线过点， 所以直线过定点. ②由①知，， 因此，， 所以的面积. 19. 已知函数，． （1）若是的极值点，求a的值并说明是极大值点还是极小值点； （2）若时，，求a的取值范围； （3）对的定义域内的任意，，证明：． 【答案】（1），是的极大值点． （2） （3）证明：因为， 所以要证成立， 只要证成立， 因为，所以只要证成立， 因为，， 所以只要证成立. 记， 则，对成立， 所以在上单调递减， 当时，，所以， 取，由知，从而， 所以成立，故原不等式成立. 【解析】 【分析】（1）根据极值点的性质得，求出，判断函数的单调性结合极值的定义判断； （2）求导，讨论函数的单调性，最值，求解的范围； （3）利用分析法将要证不等式转化为，令，记，利用导数判断单调性证明. 【小问1详解】 的定义域为，， 因为是函数的极值点，所以，解得， 当时，， 因为，；时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以是的极大值点. 【小问2详解】 ， 当时，，， 时，；时，， 在上单调递减，在上单调递增， 所以时，，不合题意. 当时，由得， 当，即时，对成立， 所以在上单调递减，所以时，合题意； 当，即时，对成立， 所以在上单调递增， 所以当时，，不合题意. 综上，a的取值范围是. 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高三数学 考生注意： 1．本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟． 2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚． 3．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效． 4．本卷命题范围：高考范围． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若复数满足（是虚数单位），则的虚部是（　　） A. B. C. D. 3 2. 设全集是小于7的自然数，，则集合等于（ ） A. B. C. D. 3. 已知椭圆的左、右焦点分别为，若是椭圆上一点，则（　　） A. B. 6 C. D. 3 4. 已知平面向量，若，则（ ） A. 2 B. C. 3 D. 5. 二项式的展开式中常数项为（ ） A. 10 B. C. 5 D. 6. 设△ABC的内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，若bcosC+ccosB=2acosA，则A=（　　） A. B. C. D. 或 7. 设各项为正数的等比数列中，，则取最小值时，等于（ ） A. B. C. D. 8. 已知四面体的顶点都在同一球面上，若该球的表面积为，是边长为3的正三角形，则四面体的体积的最大值为（　　） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知a，b，c都是实数，下列命题是真命题的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，则 D. 若，，则 10. 已知数列为等差数列，为其前n项和，，，则（ ） A. B. 为单调递增数列 C. 使的n的最小值为18 D. 当且仅当时，最小 11. 设定义在上的奇函数的导函数为，对于，都有，当时，，则（ ） A. 曲线关于轴对称 B. 是周期函数 C. 当时， D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. ______． 13. 已知定义在上的偶函数在上单调递减，则不等式的解集为___________． 14. 已知双曲线，过作倾斜角分别为的两条直线，且分别与C交于不与P重合的A，B两点，则的面积为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数． （1）求； （2）设函数，求的单调区间． 16. 为研究甲、乙两种治疗方案的疗效，从选择甲、乙方案进行治疗的患者中随机抽取2000名得到如下列联表： 效果明显 效果不明显 合计 甲方案 1000 200 1200 乙方案 600 200 800 合计 1600 400 2000 （1）根据小概率值的独立性检验，分析治疗效果与选择甲、乙方案是否有关联； （2）在800名选择乙方案的患者中按效果是否明显用分层随机抽样的方法抽取8人，再从这8名患者中随机抽取4人，设表示4名患者中效果不明显的人数，求的分布列和数学期望． 附：． 0.1 0.01 0.001 2.706 6.635 10.828 17. 如图，在直四棱柱中，底面是正方形，，，，分别是，的中点. （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值. 18. 已知抛物线上一点与焦点的距离为4，点到轴的距离为. （1）求的方程； （2）点为的准线上一动点，直线（为坐标原点）与交于另一点，过点作轴的垂线与交于点. ①求证：直线过定点； ②若，求的面积. 19. 已知函数，． （1）若是的极值点，求a的值并说明是极大值点还是极小值点； （2）若时，，求a的取值范围； （3）对的定义域内的任意，，证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $