专题6.2 圆与扇形的面积（举一反三讲义）数学新教材沪教版五四制六年级下册

本讲义聚焦圆与扇形的面积计算核心知识点，系统梳理圆的面积公式、圆环面积计算方法、扇形的概念及面积公式，进而延伸到组合图形、阴影部分及图形运动扫过的面积计算，构建从基础概念到综合应用的学习支架。 该资料以生活实例（如餐桌面积、扫地机器人覆盖范围）引导学生用数学眼光观察现实世界，通过例题与变式题训练提升运算能力和推理意识，助力教师课中分层教学，也便于学生课后巩固练习，查漏补缺，培养应用意识。

专题6.2 圆与扇形的面积（举一反三讲义） 【新教材沪教版五四制】 【题型1 圆的面积的计算】 1 【题型2 圆环的面积的计算】 3 【题型3 扇形的认识】 6 【题型4 与扇形的面积有关的计算】 7 【题型5 组合图形的面积的计算】 9 【题型6 阴影部分的面积的计算】 11 【题型7 图形运动扫过的面积的计算】 14 知识点1 圆的面积 1. 定义：圆所占平面的大小叫作圆的面积． 2. 设圆的半径长为r，面积为S，那么圆的面积． 3. 圆环的面积：． 【题型1 圆的面积的计算】 【例1】（25-26六年级上·黑龙江绥化·期末）如图，将一个圆分成8等份，剪开后拼成一个近似的平行四边形，这个过程中周长增加了6厘米，这个圆的面积是 平方厘米． 【答案】28.26 【分析】本题主要是考查学生对于圆的面积的计算方法的掌握情况，由图形可知增加的6厘米就是圆的半径的2倍．再根据圆的面积等于圆周率乘以半径的平方进行计算即可． 【详解】解：由图形可知，这个近似的平行四边形的短边等于原来圆的半径，长边为圆周长的一半， 设圆的半径r， 则（厘米）， ∴圆的面积为（平方厘米）， 故答案为：28.26． 【变式1-1】（25-26六年级上·黑龙江绥化·期末）如图中，O点是大圆的圆心，也是小圆直径的端点，小圆的面积是大圆的（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了圆的面积，解题的关键是掌握圆的面积公式，直接表示出小圆与大圆的面积，求比值即可． 【详解】解：设大圆半径为，小圆半径为， 小圆面积/大圆面积， 故选：A． 【变式1-2】（25-26六年级上·浙江杭州·期末）有一块正方形钢板，边长是．从钢板中切割出相同的个圆（如图），剩下废料（空白部分）的面积是( )平方分米． 【答案】 【分析】本题考查正方形与圆的面积公式，熟记相关公式是解题的关键． 计算出正方形的面积，由正方形边长得出圆的半径，再减去个圆的面积即可． 【详解】解：∵正方形边长为 ，每条边可拆成3个圆， 故圆的半径为， 正方形面积为， 个圆的面积为， 故剩下的废料面积为， 故答案为：． 【变式1-3】（25-26六年级上·黑龙江哈尔滨·期末）两圆周长差为，其中一个圆的周长为，则另一个圆的面积为 ．（结果保留π） 【答案】或 【分析】本题考查了圆的周长与面积的计算；根据两圆周长差求出半径差，再根据已知圆的周长求出其半径，分情况讨论另一个圆的半径，最后利用圆的面积公式计算 【详解】解：设两圆半径分别为和，且，则周长差为， 即，所以， 已知一个圆的周长为，设其半径为，则，解得， 若该圆是较小圆，则另一个圆半径，面积 若该圆是较大圆，则另一个圆半径，面积， 故另一个圆的面积为或； 故答案为：或． 【题型2 圆环的面积的计算】 【例2】（25-26六年级上·黑龙江哈尔滨·期中）餐厅采购了一批直径为的圆形餐桌（桌面厚度忽略不计），结合实际运营需求解决以下问题：（π取3） (1)一张圆形餐桌的桌面面积是______平方米． (2)餐厅安排就餐时，每位客人需要宽的位置就餐，则这张餐桌大约能同时容纳多少位客人就餐？ (3)餐厅计划对8张餐桌进行“桌面改造工程”：在原圆形桌面中央嵌入一个半径为的圆形装饰区域（装饰区域不做使用），剩余桌面部分铺设防滑材料，已知铺设每平方米防滑材料的成本是60元，且实际施工时所用材料比原所需材料多，求改造这些餐桌，铺设防滑材料的总成本是多少元？ 【答案】(1)3 (2)12位 (3)1188元 【分析】本题考查圆的周长、面积问题，掌握圆的周长、面积公式是解题的关键． （1）利用圆的面积公式求解； （2）用圆的周长除以每位客人所需位置的宽度即可； （3）每张餐桌铺设防滑材料的面积为餐桌面积减去中间圆形装饰区域的面积，由此可解． 【详解】（1）解：一张圆形餐桌的桌面面积是：（平方米）， 故答案为：3； （2）解：（人） 答：这张餐桌大约能同时容纳12位客人就餐； （3）解： （元） 答：铺设防滑材料的总成本是1188元． 【变式2-1】一个圆环，它的外圆直径是内圆直径的2倍，这个圆环面积（ ）内圆面积． A．大于 B．小于 C．等于 D．无法判断 【答案】A 【分析】本题考查了圆的面积以及圆环面积的计算； 设内圆的半径为a，则外圆的半径为，圆环的面积等于外圆的面积减去内圆的面积，则问题得解． 【详解】解：∵外圆直径是内圆直径的2倍， ∴外圆半径是内圆半径的2倍， 设内圆的半径为a，则外圆的半径为， ∴外圆的面积为：， 内圆的面积为：， ∴圆环的面积为：， ∴这个圆环面积大于内圆面积， 故选：A． 【变式2-2】如果一个圆环的外圆半径等于它内圆的直径，那么此圆环称为“平等圆环”，环宽（环宽等于两圆的半径之差）是10厘米的“平等圆环”面积为 平方厘米． 【答案】942 【分析】根据题意可知，环宽是10厘米，也就是内圆的半径是10厘米，外圆半径等于它内圆的直径，那么外圆的半径是厘米，根据环形面积公式：，代入求解即可． 【详解】解： （平方厘米） 故答案为：942． 【点睛】本题考查了环形面积，熟练掌握环形面积公式是解题的关键． 【变式2-3】（25-26六年级上·黑龙江绥化·期中）有一个圆形花园，其周长是米，围绕花园四周开辟一条宽米的小路，如下图．求这条小路的面积． 【答案】这条小路的面积是平方米 【分析】本题考查圆的实际应用，圆环的面积，掌握相关的知识点是解题的关键．分别求出花园的半径与大圆的半径，再用大圆的面积减去花园的面积，即可解答． 【详解】解：花园的半径：（米） 大圆的半径：（米） 这条小路的面积： （平方米）． 答：这条小路的面积是平方米． 知识点2 扇形的面积 1. 扇形的概念 由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧围成的图形，叫作扇形． 2. 扇形的面积 设组成扇形的半径为r，圆心角，弧长是l，那么． 3. 同圆中的l、、、之间的关系：，． 【题型3 扇形的认识】 【例3】（25-26六年级上·黑龙江哈尔滨·期末）下列阴影部分是扇形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了扇形的定义，扇形是由一条圆弧和经过圆弧两端的两条半径组成的图形，据此可得答案． 【详解】解：由扇形的定义可知，四个选项中只有A选项中的阴影部分是扇形， 故选：A． 【变式3-1】（2025六年级上·全国·专题练习）下列关于扇形的说法正确的是（    ） A．圆上任意一段弧和两条半径围成的图形就是扇形 B．在两个不同的圆中，半径大的扇形一定比半径小的扇形大 C．扇形是轴对称图形，且只有一条对称轴 【答案】C 【分析】此题考查了扇形，根据扇形的定义及性质逐项判断即可求解，熟练掌握圆的相关知识是解题的关键． 【详解】解：、扇形是一条弧和经过这条弧两端的两条半径所围成的图形，该选项中“任意一段弧和两条半径”没有强调“经过弧两端”，若两条半径不经过弧的两端，围成的图形不是扇形，故错误，不合题意； 、扇形的大小与圆心角和半径都有关，在同一个圆中，扇形大小与圆心角有关；在不同圆中，仅半径大不能确定扇形一定大，还需考虑圆心角大小，故错误，不合题意； 、扇形是轴对称图形，其对称轴是通过圆心且平分圆心角的直线，且只有一条，故正确，符合题意． 故选：． 【变式3-2】在圆内剪去一个圆心角为90度的最大扇形，余下部分的面积是剪去部分的（   ）倍． A．3 B．8 C．7 D．4 【答案】A 【分析】本题考查了扇形及圆心角的定义，掌握圆的圆心角是是解题的关键．圆的圆心角是，剪去扇形的圆心角是，余下部分扇形的圆心角是，即可解答． 【详解】解：， 故选：A． 【变式3-3】（25-26六年级上·全国·课后作业）河南登封“天地之中”历史建筑群是世界文化遗产之一，由郭守敬修建的“观星台”是我国最古老的天文台，距今已有700多年的历史．在观星台的顶上，还可以看到一件日晷．由铜制的指针垂直穿过圆盘中心，石制的圆盘南高北低，平行于赤道面．圆盘上等分为子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥十二时辰．表示每个时辰的扇形对应的圆心角的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，圆盘上等分为子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥十二时辰．周角的度数是，表示每个时辰的扇形对应的圆心角的度数为周角的度数÷12，据此解答即可． 本题考查了圆心角的计算，熟练掌握定义是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得， 表示每个时辰的扇形对应的圆心角的度数为． 故答案为：B． 【题型4 与扇形的面积有关的计算】 【例4】（24-25六年级下·上海闵行·期末）已知时钟的时针长10厘米，时针从9时走到12时，所扫过的面积是 平方厘米．（取） 【答案】 【分析】本题考查扇形面积的计算、圆的面积、弧长，掌握扇形面积计算公式是解题的关键．根据扇形面积公式计算即可． 【详解】解：时针从9时走到12时所扫过的度数为， 时钟的时针长10厘米，时针从9时走到12时，所扫过的面积是平方厘米． 故答案为：． 【变式4-1】（24-25七年级上·山东枣庄·月考）如图，在半径为的圆中，阴影部分扇形的面积是 （结果保留π）． 【答案】 【分析】本题考查了扇形面积，百分数的应用，利用扇形面积占圆的面积的比例求解即可． 【详解】解：由题意得：， 故答案为：． 【变式4-2】（24-25六年级下·上海闵行·期末）如果一个扇形的弧长等于它所在圆的半径，那么此扇形叫做“完美扇形”．已知某个“完美扇形”的周长等于12，那么这个扇形的面积等于 ． 【答案】 【分析】本题考查了扇形的面积公式，扇形面积公式，根据扇形的面积公式，代入计算即可． 【详解】解：∵“完美扇形”的周长等于， ∴半径r为，弧长l为， 这个扇形的面积为：． 答案为：． 【变式4-3】（25-26七年级上·安徽马鞍山·开学考试）如图是三个半径为1厘米的圆，圆心分别是三角形的三个顶点，阴影部分的三个扇形面积之和是( )（取3.14）． 【答案】 【分析】本题主要考查了扇形面积公式，解题的关键是熟练掌握扇形面积公式． 先根据三角形内角和可得扇形的三个圆心角的度数和为，再由扇形面积公式即可求解． 【详解】解：三角形内角和等于，设三个内角的度数为，即， ∴阴影部分的三个扇形面积之和：， ∴阴影部分的三个扇形面积之和是． 故答案为：． 【题型5 组合图形的面积的计算】 【例5】（25-26六年级上·黑龙江大庆·期末）扫地机器人在一块长方形场地内移动过程中，可以任意行走，碰到障碍物会自动转弯． 如图，这个扫地机器人的底面是一个直径为20厘米的圆盘． 那么机器人在扫地时底面覆盖不到的面积为（π值取3）（    ） A．100平方厘米 B．200平方厘米 C．300平方厘米 D．400平方厘米 【答案】A 【分析】本题考查圆的面积，熟练掌握基本图形的面积是解题的关键；根据题意画出示意图，进而利用正方形的面积和圆的面积求解即可． 【详解】解：如图： 机器人在扫地时底面覆盖不到的面积为（平方厘米）； 故选A． 【变式5-1】如图，长方形的面积是12平方分米，那么圆的面积是 平方分米． 【答案】 【分析】本题考查了圆的面积及长方形的面积，根据长方形的宽等于圆的半径解答即可． 【详解】设圆的半径是，则，， 四边形 的面积 ， ， 圆的面积 故答案为：． 【变式5-2】（24-25六年级下·上海·期中）一个场馆铺设了一块装饰草坪，草坪的形状如图所示，若每平方米的铺设费用是100元，则该场馆铺设该草坪需要多少费用？（取3.14） 【答案】该场馆铺设该草坪需要费用244200元 【分析】本题考查扇形、长方形面积的计算方法，掌握扇形面积和长方形面积的计算方法是正确计算的前提； 先求出草坪的面积，再求出需要的费用. 【详解】解：（平方米）， （平方米） （平方米）， 所以铺设该草坪需要费用元， 答：该场馆铺设该草坪需要费用244200元. 【变式5-3】一间房子的占地形状是长方形，长6米，宽4米，房子周围是草地．王大爷将一只羊拴在房子的外墙角处（紧靠地面），如下图．已知拴羊的绳子长6米．这只羊能吃到草的范围有多大？在下图中画出这只羊能吃到草的范围，并将范围内的草地涂上阴影．再求出这只羊能吃到草的面积．      【答案】这只羊能吃到草的面积为平方米． 【分析】这只羊能吃到草的范围是以6米为半径的圆的与以米为半径的圆的，据此画图即可；再根据圆的面积公式计算这只羊能吃到草的面积即可． 【详解】解：画图如下：      （平方米）， 答：这只羊能吃到草的面积为平方米． 【点睛】本题考查了组合图形的面积，用到圆的面积公式，关键是这只羊能吃到草的范围是以6米为半径的圆的与以米为半径的圆的． 【题型6 阴影部分的面积的计算】 【例6】如图，正方形的边长为3，正方形的边长为4，求阴影部分的面积． 【答案】 【分析】本题考查正方形、梯形、三角形及扇形的面积计算，解题关键是利用割补法，将阴影面积转化为梯形与扇形面积的和减去三角形的面积来求解．先分别求出梯形、扇形和三角形的面积，再用梯形面积加扇形面积减去三角形面积得到阴影部分面积． 【详解】解：根据题意，阴影部分面积为： ， 答：阴影部分面积为． 【变式6-1】如图中阴影部分的周长是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查不规则图形的周长，需要将不规则图形转化为规则图形，再进行求解；观察图形可得，阴影部分可看作四个圆心角为90度、半径为4的扇形和4个长度为2的线段围成，据此求解即可． 【详解】解：阴影部分可看作四个圆心角为90度、半径为4的扇形和4个长度为2的线段围成， 四个圆心角为90度、半径为4的扇形可看作一个半径为4的圆形， ∴阴影部分周长：， 故选：C． 【变式6-2】（25-26七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图是由两个相同的半圆叠拼而成的，已知三角形是一个等腰直角三角形，，图中涂色部分的面积是 ．（取） 【答案】 【分析】本题考查了三角形和圆的面积公式，将涂色部分进行拆分是解题关键．用半圆面积减三角形的面积，得到两个弓形面积，再用三角形的面积减两个弓形面积，即可求解． 【详解】解：如图，连接， ， 即图中涂色部分的面积是， 故答案为： 【变式6-3】（24-25六年级下·上海青浦·期中）如图，正方形的边长是1厘米，分别以正方形的四个顶点为圆心画扇形（如图所示），则阴影部分面积之和是 平方厘米（结果保留） 【答案】 【分析】本题考查求阴影部分的面积，用各自阴影部分所在的扇形面积减去直角三角形的面积，再相加即可得出结果． 【详解】解：∵正方形的边长是1厘米， ∴， 由题意，得：， ∴阴影部分面积之和为： （平方厘米）； 故答案为：． 【题型7 图形运动扫过的面积的计算】 【例7】（24-25六年级下·上海宝山·期中）拖拉机是一种现代农业常用的一种生产工具，如图1所示，为了在生产中提供更好的机动性能和可靠性，拖拉机的两个前轮一般会小于两个后轮.如图2，现有一辆拖拉机模型，已知前轮直径是24厘米，后轮直径是60厘米． (1)如果拖拉机模型向前行驶米，那么它的一个后轮滚动了多少圈？ (2)拖拉机前轮小的设计方便了拖拉机爬台阶，如图3所示，有一个高15厘米的台阶，求拖拉机模型的前轮从贴着台阶开始，到爬上台阶以后车轮完全经过台阶沿（图3所示的起点和终点），这一过程中前轮扫过的面积是多少平方厘米?（结果保留） 【答案】(1)100 (2)这一过程中前轮扫过的面积是平方厘米 【分析】本题考查了圆的周长和面积的应用，关键注意数据的单位换算． （1）先计算后轮滚动一圈向前行驶了厘米，据此计算即可求得答案； （2）画出图形，利用圆的面积公式和长方形的面积公式求解即可． 【详解】（1）解：由题意得一个后轮滚动一圈向前行驶了厘米， 则拖拉机模型向前行驶188.4米，那么它的一个后轮滚动了100圈， （2）解：如图，这一过程中前轮扫过的面积是如图的阴影部分，    ，， ， ， ∴这一过程中前轮扫过的面积是平方厘米 【变式7-1】正三角形在一条直线上翻滚了两次，使A点再次落在这条直线上．如果三角形的边长是6厘米，那么A点在翻滚过程中经过的路线总长度是 厘米，此时把三角形面积用15平方厘米计算，那么三角形在滚动过程中扫过的面积是 平方厘米．（取) 【答案】 24 87 【分析】本题主要考查了弧长公式和扇形的面积公式的应用．解决的关键是明确点A在翻滚的过程中经过的路线以及三角形在滚动过程中扫过的区域． 点A在翻滚过程中经过的路线总长度就是半径为6厘米、圆心角为的弧和弧的和，也就是求出一段弧的长度，再乘以2，利用弧长公式，代入数据计算即可； 三角形在滚动过程中扫过的面积就是半径为6厘米、圆心角为的两个扇形的面积与等边三角形面积的和，利用扇形的面积公式，代入数据计算即可． 【详解】解：如图， A点在翻滚过程中经过的路线总长度是（厘米）； 三角形在滚动过程中扫过的面积是（平方厘米）， 故答案为：24，87． 【变式7-2】（24-25六年级下·上海松江·期中）定义：分别以等边三角形的顶点为圆心，以其边长为半径作圆弧，由这三段圆弧组成的封闭图形称为“圆弧三角形”．例如：如图1，等边的边长为a，分别以点A、B、C为圆心，a为半径画弧，则弧、弧、弧围成的图形就是“圆弧三角形”．（以下计算结果保留π） (1)等边的边长a为时，求“圆弧三角形”的周长； (2)如图2，在第（1）题的条件下，“圆弧三角形”上有一个直径为的圆O．“圆弧三角形”保持不动，圆O紧贴“圆弧三角形”的外侧滚动一周． ①求圆心O经过的路程长； ②直接写出圆O所扫过区域的面积． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】本题考查了圆的滚动问题，涉及弧长公式和扇形面积公式，难度较大，正确理解题意，找出滚动的路径和扫过的图形是解题的关键． （1）根据题意可得，再根据弧长公式即可求解； （2）①根据圆心O经过的路径长为，再由弧长公式求解即可； ②可知阴影部分的面积就是圆O所扫过的区域面积，则，再由扇形面积公式求解． 【详解】（1）解：由题意得，， ∴， 答：“圆弧三角形”的周长为； （2）解：直径为的圆O，其半径为. ①如图： 圆心O经过的路径长为 ， 答：圆心O经过的路径长为； ②如图，阴影部分的面积就是圆O所扫过的区域面积： ∴ 答：圆O所扫过区域的面积为． 【变式7-3】（24-25六年级下·上海闵行·期中）最近在学习圆相关的知识，老师让同学们思考一个问题：为什么车轮一般要设计成圆形？经过查阅资料，组同学发现：在图形的运动中，圆形的车轮在滚动时，能使车轴与地面的距离始终保持不变，不会产生颠簸，而且能更顺畅的改变方向等等．于是，组同学思考如下问题：（本题最终结果保留） （1）已知线段，一个半径长为的圆，沿着滚动，则扫过的面积是___________ 组内同学讨论，画出圆运动过程的图形如图所示． 请你根据以上信息，完成下列各题（本题最终结果保留） （2）如图，已知线段，，，一个半径长为的圆沿着 的内侧滚动，求该圆滚动过程中所扫过的面积． （3）如图，已知线段，，，一个半径长为的圆沿着 的外侧滚动，求该圆滚动过程中所扫过的面积． （4）如图，已知线段，，，一个半径长为的圆沿着 的外侧滚动，则该圆滚动过程中所扫过的面积是___________． 【答案】（1）（2）（3）（4） 【分析】（1）扫过的面积即为一个长为，宽为圆的直径的长方形面积和一个半径长为的圆的面积； （2）该圆滚动过程中所扫过的面积为矩形的面积加上矩形的面积，加上一个圆的面积，再减去处的拐角面积，而处的拐角面积等于边长为的正方形面积减去个圆的面积； （3）该圆滚动过程中所扫过的面积为矩形的面积加上矩形的面积，加上一个圆的面积，再减去处的拐角面积，而处的拐角面积等于边长为的正方形面积减去个圆的面积； （4）该圆滚动过程中所扫过的面积为矩形的面积加上矩形的面积，加上一个圆的面积，再加上扇形的面积，而扇形的面积是半径是、圆心角是． 【详解】解：（1）由图得，扫过的面积即为一个长为，宽为圆的直径的长方形面积和一个半径长为的圆的面积， 扫过的面积是． 故答案为：． （2）该圆滚动过程如下图： 即该圆滚动过程中所扫过的面积为矩形的面积加上矩形的面积，加上一个圆的面积，再减去处的拐角面积，而处的拐角面积等于边长为的正方形面积减去个圆的面积， 扫过的面积 （3）该圆滚动过程如下图： 即该圆滚动过程中所扫过的面积为矩形的面积加上矩形的面积，加上一个圆的面积，再加上转弯处一个圆心角为直角，半径为2的扇形的面积， 扫过的面积． （4）该圆滚动过程如下图： 即该圆滚动过程中所扫过的面积为矩形的面积加上矩形的面积，加上一个圆的面积，再加上扇形的面积，而扇形的面积是半径是、圆心角是， 扫过的面积． 故答案为：． 【点睛】本题考查的知识点是含圆的组合图形的面积计算、扇形的面积公式，解题关键是理清楚圆的滚动过程． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题6.2 圆与扇形的面积（举一反三讲义） 【新教材沪教版五四制】 【题型1 圆的面积的计算】 1 【题型2 圆环的面积的计算】 2 【题型3 扇形的认识】 3 【题型4 与扇形的面积有关的计算】 4 【题型5 组合图形的面积的计算】 4 【题型6 阴影部分的面积的计算】 5 【题型7 图形运动扫过的面积的计算】 6 知识点1 圆的面积 1. 定义：圆所占平面的大小叫作圆的面积． 2. 设圆的半径长为r，面积为S，那么圆的面积． 3. 圆环的面积：． 【题型1 圆的面积的计算】 【例1】（25-26六年级上·黑龙江绥化·期末）如图，将一个圆分成8等份，剪开后拼成一个近似的平行四边形，这个过程中周长增加了6厘米，这个圆的面积是 平方厘米． 【变式1-1】（25-26六年级上·黑龙江绥化·期末）如图中，O点是大圆的圆心，也是小圆直径的端点，小圆的面积是大圆的（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】（25-26六年级上·浙江杭州·期末）有一块正方形钢板，边长是．从钢板中切割出相同的个圆（如图），剩下废料（空白部分）的面积是( )平方分米． 【变式1-3】（25-26六年级上·黑龙江哈尔滨·期末）两圆周长差为，其中一个圆的周长为，则另一个圆的面积为 ．（结果保留π） 【题型2 圆环的面积的计算】 【例2】（25-26六年级上·黑龙江哈尔滨·期中）餐厅采购了一批直径为的圆形餐桌（桌面厚度忽略不计），结合实际运营需求解决以下问题：（π取3） (1)一张圆形餐桌的桌面面积是______平方米． (2)餐厅安排就餐时，每位客人需要宽的位置就餐，则这张餐桌大约能同时容纳多少位客人就餐？ (3)餐厅计划对8张餐桌进行“桌面改造工程”：在原圆形桌面中央嵌入一个半径为的圆形装饰区域（装饰区域不做使用），剩余桌面部分铺设防滑材料，已知铺设每平方米防滑材料的成本是60元，且实际施工时所用材料比原所需材料多，求改造这些餐桌，铺设防滑材料的总成本是多少元？ 【变式2-1】一个圆环，它的外圆直径是内圆直径的2倍，这个圆环面积（ ）内圆面积． A．大于 B．小于 C．等于 D．无法判断 【变式2-2】如果一个圆环的外圆半径等于它内圆的直径，那么此圆环称为“平等圆环”，环宽（环宽等于两圆的半径之差）是10厘米的“平等圆环”面积为 平方厘米． 【变式2-3】（25-26六年级上·黑龙江绥化·期中）有一个圆形花园，其周长是米，围绕花园四周开辟一条宽米的小路，如下图．求这条小路的面积． 知识点2 扇形的面积 1. 扇形的概念 由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧围成的图形，叫作扇形． 2. 扇形的面积 设组成扇形的半径为r，圆心角，弧长是l，那么． 3. 同圆中的l、、、之间的关系：，． 【题型3 扇形的认识】 【例3】（25-26六年级上·黑龙江哈尔滨·期末）下列阴影部分是扇形的是（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】（2025六年级上·全国·专题练习）下列关于扇形的说法正确的是（    ） A．圆上任意一段弧和两条半径围成的图形就是扇形 B．在两个不同的圆中，半径大的扇形一定比半径小的扇形大 C．扇形是轴对称图形，且只有一条对称轴 【变式3-2】在圆内剪去一个圆心角为90度的最大扇形，余下部分的面积是剪去部分的（   ）倍． A．3 B．8 C．7 D．4 【变式3-3】（25-26六年级上·全国·课后作业）河南登封“天地之中”历史建筑群是世界文化遗产之一，由郭守敬修建的“观星台”是我国最古老的天文台，距今已有700多年的历史．在观星台的顶上，还可以看到一件日晷．由铜制的指针垂直穿过圆盘中心，石制的圆盘南高北低，平行于赤道面．圆盘上等分为子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥十二时辰．表示每个时辰的扇形对应的圆心角的度数为（   ） A． B． C． D． 【题型4 与扇形的面积有关的计算】 【例4】（24-25六年级下·上海闵行·期末）已知时钟的时针长10厘米，时针从9时走到12时，所扫过的面积是 平方厘米．（取） 【变式4-1】（24-25七年级上·山东枣庄·月考）如图，在半径为的圆中，阴影部分扇形的面积是 （结果保留π）． 【变式4-2】（24-25六年级下·上海闵行·期末）如果一个扇形的弧长等于它所在圆的半径，那么此扇形叫做“完美扇形”．已知某个“完美扇形”的周长等于12，那么这个扇形的面积等于 ． 【变式4-3】（25-26七年级上·安徽马鞍山·开学考试）如图是三个半径为1厘米的圆，圆心分别是三角形的三个顶点，阴影部分的三个扇形面积之和是( )（取3.14）． 【题型5 组合图形的面积的计算】 【例5】（25-26六年级上·黑龙江大庆·期末）扫地机器人在一块长方形场地内移动过程中，可以任意行走，碰到障碍物会自动转弯． 如图，这个扫地机器人的底面是一个直径为20厘米的圆盘． 那么机器人在扫地时底面覆盖不到的面积为（π值取3）（    ） A．100平方厘米 B．200平方厘米 C．300平方厘米 D．400平方厘米 【变式5-1】如图，长方形的面积是12平方分米，那么圆的面积是 平方分米． 【变式5-2】（24-25六年级下·上海·期中）一个场馆铺设了一块装饰草坪，草坪的形状如图所示，若每平方米的铺设费用是100元，则该场馆铺设该草坪需要多少费用？（取3.14） 【变式5-3】一间房子的占地形状是长方形，长6米，宽4米，房子周围是草地．王大爷将一只羊拴在房子的外墙角处（紧靠地面），如下图．已知拴羊的绳子长6米．这只羊能吃到草的范围有多大？在下图中画出这只羊能吃到草的范围，并将范围内的草地涂上阴影．再求出这只羊能吃到草的面积．      【题型6 阴影部分的面积的计算】 【例6】如图，正方形的边长为3，正方形的边长为4，求阴影部分的面积． 【变式6-1】如图中阴影部分的周长是（    ） A． B． C． D． 【变式6-2】（25-26七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图是由两个相同的半圆叠拼而成的，已知三角形是一个等腰直角三角形，，图中涂色部分的面积是 ．（取） 【变式6-3】（24-25六年级下·上海青浦·期中）如图，正方形的边长是1厘米，分别以正方形的四个顶点为圆心画扇形（如图所示），则阴影部分面积之和是 平方厘米（结果保留） 【题型7 图形运动扫过的面积的计算】 【例7】（24-25六年级下·上海宝山·期中）拖拉机是一种现代农业常用的一种生产工具，如图1所示，为了在生产中提供更好的机动性能和可靠性，拖拉机的两个前轮一般会小于两个后轮.如图2，现有一辆拖拉机模型，已知前轮直径是24厘米，后轮直径是60厘米． (1)如果拖拉机模型向前行驶米，那么它的一个后轮滚动了多少圈？ (2)拖拉机前轮小的设计方便了拖拉机爬台阶，如图3所示，有一个高15厘米的台阶，求拖拉机模型的前轮从贴着台阶开始，到爬上台阶以后车轮完全经过台阶沿（图3所示的起点和终点），这一过程中前轮扫过的面积是多少平方厘米?（结果保留） 【变式7-1】正三角形在一条直线上翻滚了两次，使A点再次落在这条直线上．如果三角形的边长是6厘米，那么A点在翻滚过程中经过的路线总长度是 厘米，此时把三角形面积用15平方厘米计算，那么三角形在滚动过程中扫过的面积是 平方厘米．（取) 【变式7-2】（24-25六年级下·上海松江·期中）定义：分别以等边三角形的顶点为圆心，以其边长为半径作圆弧，由这三段圆弧组成的封闭图形称为“圆弧三角形”．例如：如图1，等边的边长为a，分别以点A、B、C为圆心，a为半径画弧，则弧、弧、弧围成的图形就是“圆弧三角形”．（以下计算结果保留π） (1)等边的边长a为时，求“圆弧三角形”的周长； (2)如图2，在第（1）题的条件下，“圆弧三角形”上有一个直径为的圆O．“圆弧三角形”保持不动，圆O紧贴“圆弧三角形”的外侧滚动一周． ①求圆心O经过的路程长； ②直接写出圆O所扫过区域的面积． 【变式7-3】（24-25六年级下·上海闵行·期中）最近在学习圆相关的知识，老师让同学们思考一个问题：为什么车轮一般要设计成圆形？经过查阅资料，组同学发现：在图形的运动中，圆形的车轮在滚动时，能使车轴与地面的距离始终保持不变，不会产生颠簸，而且能更顺畅的改变方向等等．于是，组同学思考如下问题：（本题最终结果保留） （1）已知线段，一个半径长为的圆，沿着滚动，则扫过的面积是___________ 组内同学讨论，画出圆运动过程的图形如图所示． 请你根据以上信息，完成下列各题（本题最终结果保留） （2）如图，已知线段，，，一个半径长为的圆沿着 的内侧滚动，求该圆滚动过程中所扫过的面积． （3）如图，已知线段，，，一个半径长为的圆沿着 的外侧滚动，求该圆滚动过程中所扫过的面积． （4）如图，已知线段，，，一个半径长为的圆沿着 的外侧滚动，则该圆滚动过程中所扫过的面积是___________． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $