精品解析：河南省信阳市羊山中学2025-2026学年九年级上学期第四次检测（期中）数学试卷

九年级上期第四次检测（期中考试） 一、选择题（共30分） 1. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形，根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行逐一判断即可：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心． 【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误； B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误； C、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项错误； D、既是轴对称图形又是中心对称图形，故本选项正确． 故选：D． 2. 下列方程中，有两个不相等的实数根的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】解题思路为利用一元二次方程根的判别式，分别计算四个选项方程的值，根据与的大小关系判断根的情况 ．本题主要考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握根的判别式及根据判断根的情况是解题的关键． 【详解】解：选项A： ，，， ，无实数根，不符合题意； 选项B： ，，， ，有两个相等的实数根，不符合题意； 选项C： ，，， ，无实数根，不符合题意； 选项D： ，，， ，有两个不相等的实数根，符合题意； 故选：D． 3. 如图，点A，B，C在上，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查圆周角定理，掌握一条弧所对的圆周角等于这条弧所对圆心角的一半是解题的关键． 直接运用圆周角定理求解即可． 【详解】解：∵， ∴． 故选：B． 4. 在平面直角坐标系中，已知点，关于原点对称，则的值为（ ） A. B. 1 C. 7 D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】关于原点对称的点，其横纵坐标互为相反数，由此可得出的值，然后代入求解即可． 【详解】由题意，，， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查关于原点对称的点坐标的特征，熟记基本结论是解题关键． 5. 如图，在中，满足，则下列对弦与弦大小关系表述正确的是（　　） A. B. C. D. 无法确定 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查圆心角，弧，弦之间的关系，三角形的三边关系等知识，解题的关键是理解题意正确作出辅助线． 如图，取弧的中点E，连接，证明，再利用三角形的三边关系解决问题． 【详解】解：如图，取弧的中点E，连接， ，， ， ， ， ． 故选：B． 6. 下列关于圆的说法不正确的是（ ） A. 平分弧的直径垂直平分弧所对的弦 B. 平分弦的直径平分弦所对的弧 C. 垂直平分弦的直径必定经过圆心 D. 垂直于弦的直径平分弦所对的弧 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了垂径定理， 根据垂径定理及其逆定理逐项判断即可. 【详解】解：因为平分弧的直径垂直平分弧所对的弦，所以A正确； 因为平分弦（不是直径）的直径平分弧所对的弦，所以B不正确； 因为垂直平分弦的直径必定经过圆心，所以C正确； 因为垂直于弦的直径平分弦所对的弧，所以D正确. 故选：B. 7. 把抛物线经过平移得，平移方法是（ ） A. 向左平移1个单位，再向下平移3个单位 B. 向左平移1个单位，再向上平移3个单位 C. 向右平移1个单位，再向下平移3个单位 D. 向右平移1个单位，再向上平移3个单位 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了抛物线的平移规律．关键是确定平移前后抛物线的顶点坐标，寻找平移规律．根据抛物线的平移规律：上加下减，左加右减解答即可． 【详解】解：∵抛物线经过平移得，即， ∴平移方法是向左平移1个单位，再向下平移3个单位， 故选：A． 8. 如图，E、F、G、H四点分别在正方形的四条边上，．若，，则的内切圆半径为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，三角形内切圆的性质，掌握相关知识点是解题关键．根据正方形的性质证明全等，得到，设，利用勾股定理求出，，令的内切圆圆心为，连接、、，令切点为M，N，P，然后连接，，，则，，，根据内切圆的性质得到，再利用三角形的面积公式求解即可． 【详解】解：正方形ABCD， ，， ， ， ， ， 设，则， 在中，， ， 解得：或， ，， 令的内切圆圆心为，连接、、，令切点为M，N，P，然后连接，，，则，，， 内切于， ， ， ， ， 解得：，即的内切圆半径为2， 故选：B． 9. 如图，在中，，将绕点顺时针旋转得到，点B，C的对应点分别为的延长线与边相交于点，连接．若，则线段的长为（ ） A. B. C. 4 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质、线段垂直平分线的判定、旋转的性质、勾股定理等知识，熟练掌握旋转的性质是解题关键．连接，交于点，先证出，根据全等三角形的性质可得，再证出垂直平分，则可得，，然后利用勾股定理和三角形的面积公式求出的长，由此即可得． 【详解】解：如图，连接，交于点， 由旋转的性质得：，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴垂直平分， ∴，， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， 故选：D． 10. 为了实时规划路径，卫星导航系统需要计算运动点与观测点之间距离的平方．如图1，点P是一个固定观测点，运动点Q从A处出发，沿笔直公路向目的地B处运动．设为x（单位：）为y（单位：）．如图2，y关于x的函数图象与y轴交于点C，最低点，且经过和两点．下列选项正确的是（ ） A. B. C. 点C的纵坐标为240 D. 点在该函数图象上 【答案】D 【解析】 【分析】作，当时，动点运动到点的位置，得到，当点运动到点的时候，最小为，，勾股定理求出的值，判断A；当时，点运动到点，根据三线合一，得到，进而求出的值，判断B；连接，勾股定理求出的长，确定的纵坐标，判断C，求出时，点的位置，再利用勾股定理求出，判断D，即可． 【详解】解：如图，作，当时，动点运动到点的位置，则由题意和图象可知，当点运动到点的时候，最小，即：，， 在中，由勾股定理，得：， 解得：，故选项A错误； ∴，， 当时，点运动到点，则， ∴， ∵， ∴， ∴，故选项B错误； ∴当，即点在点时， ∴； ∴点的纵坐标为；故选项C错误； 当时，点运动到点，则：， ∴， ∴， ∴点在该函数图象上，故选项D正确； 故选D． 【点睛】本题考查动点的函数图象，勾股定理，垂线段最短，三线合一等知识点，熟练掌握相关知识点，从函数图象中有效的获取信息，确定点的位置，是解题的关键． 二、填空题（共15分） 11. 要组织一次足球联赛，赛制为双循环形式（每两队之间都进行两场比赛），共要比赛90场．设共有x个队参加比赛，则x满足的关系式为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，关键是根据总比赛场数作为等量关系列方程求解．设共有x个队参加比赛，根据参加一次足球联赛的每两队之间都进行两场场比赛，共要比赛90场，可列出方程． 【详解】赛制为双循环形式，每个队都要和其他队赛两场，则比赛总场数为场， 已知共比赛90场， 所以． 故答案为：． 12. 将抛物线向下平移k个单位长度．若平移后得到的抛物线与x轴有公共点，则k的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】先根据平移的规律写出抛物线向下平移k个单位长度后的抛物线的表达式，再根据平移后得到的抛物线与x轴有公共点可得，由此列不等式即可求出k的取值范围． 此题考查了二次函数图像的平移与几何变换，以及抛物线与x轴的交点问题，利用抛物线解析式的变化规律：左加右减，上加下减是解题关键． 【详解】解：将抛物线向下平移k个单位长度得， ∵与x轴有公共点， ∴， 即， 解得， 故答案为：． 13. 如图，四边形是的内接四边形，是的直径，连接，若，则_____°． 【答案】15 【解析】 【分析】本题主要考查了圆内接四边形的性质以及直径所对的圆周角等于，根据圆内接四边形的性质可得出，再根据直径所对的圆周角等于可得出，再利用角的和差关系可得出答案． 【详解】解：∵四边形是的内接四边形，且， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， 故答案为：15． 14. 已知二次函数，当自变量x满足时，y的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的最值问题；二次函数开口向上，再求出最大值和最小值即可求解的取值范围． 【详解】解：， ∴函数图象的对称轴为直线，开口向上， ∵， ∴当时，；时，，当时，， ∴的取值范围是：， 故答案为：． 15. 如图，在Rt中，，，以点C为圆心，2为半径作，过上的动点P作的切线，，过劣弧上一点Q作的另一条切线分别交，于点M，N，则周长的最小值为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查切线长定理，勾股定理，垂线段最短，先根据切线长定理得到的周长为，然后连接，，则，即可得到当时，最小时，最小，的周长最小，然后根据勾股定理解题即可． 【详解】解：∵，，是的切线， ∴，，， ∴的周长为， 连接，，则， ∵的半径不变， ∴长随着的变化而变化， 即当最小时，最小，的周长最小； ∴当时，最小， ∵，， 这时，，且点是的中点， 则， ∴， ∴的周长最小为， 故答案为：． 三、解答题（共75分） 16. 解下列一元二次方程： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程． （1）使用配方法解一元二次方程； （2）通过因式分解法求解． 【小问1详解】 解： 移项得  配方得  即  开方得  所以  【小问2详解】 解： 移项得  提取公因式得  所以  或  因此  17. 如图，三个顶点的坐标分别为，． （1）作出将向左平移4个单位，向上平移1个单位后得到的图形； （2）作出关于原点成中心对称的图形； （3）若将绕点A顺时针旋转，则点C的对应点的坐标是___________（无需作图） 【答案】（1） 解：如图，即为所求； （2） 如图，即为所求， （3） 【解析】 【分析】此题考查了平移、旋转、中心对称的作图，准确作图是关键． （1）根据平移的规律得到对应点，顺次连接即可得到答案； （2）根据中心对称得到对应点，顺次连接即可； （3）根据旋转的方式得到答案即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 将绕点A顺时针旋转，则点C的对应点的坐标是， 故答案为： 18. 某商店销售一种玩具，经市场调查发现，日销售量y（件）与每件的售价x（元）满足一次函数关系，部分数据如下表： 每件的售价x/元 … 25 28 31 … 日销售量y/件 … 15 12 9 … （1）求y与x之间的函数表达式（不要求写出自变量x的取值范围）； （2）当玩具日销售额为300元时，求每件玩具的售价． 【答案】（1） （2）10元或30元 【解析】 【分析】本题考查了一次函数解析式的求解，二次函数解析式的求解，解决本题的关键是正确求解出一次函数与二次函数的解析式． （1）先设出一次函数解析式，再根据待定系数法代值求解即可； （2）先表示出日销售额的函数表达式，再令求解x的值即可． 【小问1详解】 解：∵日销售量y（件）与每件的售价x（元）满足一次函数关系， ∴设函数表达式为， ∵当时，；当时，； ∴，解得， ∴， ∴y与x之间的函数表达式为； 【小问2详解】 解：由（1）知，， ∴日销售额， ∵玩具日销售额为300元， ∴令，即， 整理可得， 解得，， ∴每件玩具的售价为10元或30元时，日销售额为300元． 19. 如图，在正方形中，，对角线与相交于点O，点E在线段上（与端点不重合），线段绕点E逆时针旋转到的位置，点F恰好落在线段上，，垂足为H． （1）求证：； （2）设，求的最小值． 【答案】（1） 证明：根据旋转可知：，， ∵， ∴， ∵四边形为正方形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）的最小值为 【解析】 【分析】（1）根据“”证明即可； （2）根据正方形的性质得出，，，根据三角形全等的性质得出，证明为等腰直角三角形，得出，根据，根据，得出答案即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵四边形为正方形， ∴，，， ∵， ∴， ∵，， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴ ， ∵点E在线段上（与端点不重合）， ∴， ∴当时，的最小值为． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，旋转的性质，二次函数的最值，三角形全等的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握相关的判定和性质， 20. 如图，为的直径，交于点，为上一点，延长交于点，延长至，使，连接． （1）求证：为的切线； （2）若且，求的半径． 【答案】（1） 证明：如图，连接， ， ， ， ， ，， ， 即， ， 是半径， 为的切线； （2） 【解析】 【分析】本题考查了切线的判定与性质，勾股定理，熟记切线的判定定理是解题的关键． （1）连接，根据等边对等角结合对顶角相等即可推出结论； （2）设的半径，则，，在中，由勾股定理得得出方程求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：设的半径，则， ， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得，或舍去， 的半径为． 21. 请阅读下列材料，并完成相应的任务： 阿基米德折弦定理 阿基米德（archimedes，公元前287﹣公元前212年，古希腊）是有史以来最伟大的数学家之一，他与牛顿、高斯并成为三大数学王子． 阿拉伯Al﹣Binmi的译文中保存了阿基米德折弦定理的内容，苏联在1964年根据Al﹣Binmi译本出版了俄文版《阿基米德全集》，第一题就是阿基米德折弦定理． 阿基米德折弦定理：如图1，AB和BC是⊙O的两条弦（即折线ABC是圆的一条折弦），BC＞AB，M是的中点，则从M向BC所作垂线的垂足D是折弦ABC的中点，即CD=AB+BD．下面是运用“截长法”证明CD=AB+BD的部分证明过程．证明：如图2，在CB上截取CG=AB，连接MA，MB，MC和MG． ∵M是的中点， ∴MA=MC． … 任务： （1）请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分； （2）填空：如图3，已知等边△ABC内接于⊙O，AB=2，D为上一点，∠ABD=45°，AE⊥BD于点E，则△BDC的周长是 ． 【答案】 (1)证明：如图2，在CB上截取CG=AB，连接MA，MB，MC和MG． ∵M是的中点， ∴MA=MC． 在△MBA和△MGC中 ∵， ∴△MBA≌△MGC（SAS）， ∴MB=MG， 又∵MD⊥BC， ∴BD=GD， ∴DC=GC+GD=AB+BD； （2）2+2． 【解析】 【详解】试题分析：（1）首先证明△MBA≌△MGC（SAS），进而得出MB=MG，再利用等腰三角形的性质得出BD=GD，即可得出答案；（2）首先证明△ABF≌ACD（SAS），进而得出AF=AD，以及CD+DE=BE，进而求出DE的长即可得出答案． 试题解析：（1）略 （2）解：如图3，截取BF=CD，连接AF，AD，CD， 由题意可得：AB=AC，∠ABF=∠ACD， 在△ABF和△ACD中 ∵， ∴△ABF≌ACD（SAS）， ∴AF=AD， ∵AE⊥BD， ∴FE=DE，则CD+DE=BE， ∵∠ABD=45°， ∴BE==， 则△BDC的周长是2+2． 考点：三角形的外接圆与外心；等边三角形的性质． 22. 已知二次函数（m为常数）． （1）若点在该函数图像上，则 ； （2）证明：该二次函数的图像与x轴有两个不同的公共点； （3）若该函数图像上有两个点、，当时，直接写出p的取值范围． 【答案】（1）2 （2） 解：， ， ， ， 该二次函数的图像与x轴有两个不同的公共点； （3）或 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，根的判别式，掌握二次函数的性质是解题的关键． （1）将代入，解关于m的方程即可； （2）通过判别式判断二次函数图像与x轴交点情况； （3）根据二次函数的对称轴和增减性，确定p的取值范围． 【小问1详解】 解：将代入，得：， 解得， 故答案为：2； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：的对称轴为直线， 二次项系数， 二次函数图像开口向上， ， 点到对称轴的距离小于点到对称轴的距离， ， 即， 或． 23. 【综合与实践】数学综合实践课上，同学们以“等腰三角形的旋转”为主题，开展如下探究活动： （1）【操作探究】如图1，为等边三角形，将绕点A旋转，得到，连接；则______．若F是的中点，连接，则与的数量关系是______． （2）【迁移探究】如图2，将（1）中的绕点A逆时针旋转，得到，其他条件不变，求出此时的度数及与的数量关系． （3）【拓展应用】如图3，在中，，，将绕点A旋转，得到，连接，F是的中点，连接．在旋转过程中，当时，直接写出线段的长． 【答案】（1）90； （2）， （3）的长为或1 【解析】 【分析】本题考查旋转的性质，等边三角形的性质，等腰三角形的判定与性质，三角形中位线定理等，解题的关键是掌握旋转前后对应边相等、对应角相等，第三问注意分情况讨论． （1）由旋转的性质可得也是等边三角形，点A，B，D在同一直线上，利用等腰三角形的性质、平行线的性质可证；利用三角形中位线定理可得； （2）先根据旋转的性质证明是等腰直角三角形，推出，进而得出，再根据等腰直角三角形的性质即可求解； （3）分点E在下方和点E在上方两种情况，参照（2）中方法分别求解即可． 【小问1详解】 解：∵为等边三角形， ，， ∵绕点A旋转，得到， ，，点A，B，D在同一直线上， ∵， ， ，即， ∵， ， ， ， ， ∵F是的中点，， ． 故答案为：90，； 【小问2详解】 解：由旋转的性质，可知 ，，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵F是的中点， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：分以下两种情况进行讨论： ①如图3﹣1．当点E在下方时， 根据题意，得为等腰直角三角形， ∴． ∵， ∴， ∵，F是的中点， ∴， ∴； ②如图3﹣2，当点E在上方时， 同理，可得，． 综上所述，的长为或1． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级上期第四次检测（期中考试） 一、选择题（共30分） 1. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列方程中，有两个不相等的实数根的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，点A，B，C在上，若，则（ ） A. B. C. D. 4. 在平面直角坐标系中，已知点，关于原点对称，则的值为（ ） A. B. 1 C. 7 D. 5 5. 如图，在中，满足，则下列对弦与弦大小关系表述正确的是（　　） A. B. C. D. 无法确定 6. 下列关于圆的说法不正确的是（ ） A. 平分弧的直径垂直平分弧所对的弦 B. 平分弦的直径平分弦所对的弧 C. 垂直平分弦的直径必定经过圆心 D. 垂直于弦的直径平分弦所对的弧 7. 把抛物线经过平移得，平移方法是（ ） A. 向左平移1个单位，再向下平移3个单位 B. 向左平移1个单位，再向上平移3个单位 C. 向右平移1个单位，再向下平移3个单位 D. 向右平移1个单位，再向上平移3个单位 8. 如图，E、F、G、H四点分别在正方形的四条边上，．若，，则的内切圆半径为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 9. 如图，在中，，将绕点顺时针旋转得到，点B，C的对应点分别为的延长线与边相交于点，连接．若，则线段的长为（ ） A. B. C. 4 D. 10. 为了实时规划路径，卫星导航系统需要计算运动点与观测点之间距离的平方．如图1，点P是一个固定观测点，运动点Q从A处出发，沿笔直公路向目的地B处运动．设为x（单位：）为y（单位：）．如图2，y关于x的函数图象与y轴交于点C，最低点，且经过和两点．下列选项正确的是（ ） A. B. C. 点C的纵坐标为240 D. 点在该函数图象上 二、填空题（共15分） 11. 要组织一次足球联赛，赛制为双循环形式（每两队之间都进行两场比赛），共要比赛90场．设共有x个队参加比赛，则x满足的关系式为________． 12. 将抛物线向下平移k个单位长度．若平移后得到的抛物线与x轴有公共点，则k的取值范围是______． 13. 如图，四边形是的内接四边形，是的直径，连接，若，则_____°． 14. 已知二次函数，当自变量x满足时，y的取值范围是________． 15. 如图，在Rt中，，，以点C为圆心，2为半径作，过上的动点P作的切线，，过劣弧上一点Q作的另一条切线分别交，于点M，N，则周长的最小值为________． 三、解答题（共75分） 16. 解下列一元二次方程： （1）； （2）． 17. 如图，三个顶点的坐标分别为，． （1）作出将向左平移4个单位，向上平移1个单位后得到的图形； （2）作出关于原点成中心对称的图形； （3）若将绕点A顺时针旋转，则点C的对应点的坐标是___________（无需作图） 18. 某商店销售一种玩具，经市场调查发现，日销售量y（件）与每件的售价x（元）满足一次函数关系，部分数据如下表： 每件的售价x/元 … 25 28 31 … 日销售量y/件 … 15 12 9 … （1）求y与x之间的函数表达式（不要求写出自变量x的取值范围）； （2）当玩具日销售额为300元时，求每件玩具的售价． 19. 如图，在正方形中，，对角线与相交于点O，点E在线段上（与端点不重合），线段绕点E逆时针旋转到的位置，点F恰好落在线段上，，垂足为H． （1）求证：； （2）设，求的最小值． 20. 如图，为的直径，交于点，为上一点，延长交于点，延长至，使，连接． （1）求证：为的切线； （2）若且，求的半径． 21. 请阅读下列材料，并完成相应的任务： 阿基米德折弦定理 阿基米德（archimedes，公元前287﹣公元前212年，古希腊）是有史以来最伟大的数学家之一，他与牛顿、高斯并成为三大数学王子． 阿拉伯Al﹣Binmi的译文中保存了阿基米德折弦定理的内容，苏联在1964年根据Al﹣Binmi译本出版了俄文版《阿基米德全集》，第一题就是阿基米德折弦定理． 阿基米德折弦定理：如图1，AB和BC是⊙O的两条弦（即折线ABC是圆的一条折弦），BC＞AB，M是的中点，则从M向BC所作垂线的垂足D是折弦ABC的中点，即CD=AB+BD．下面是运用“截长法”证明CD=AB+BD的部分证明过程．证明：如图2，在CB上截取CG=AB，连接MA，MB，MC和MG． ∵M是的中点， ∴MA=MC． … 任务： （1）请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分； （2）填空：如图3，已知等边△ABC内接于⊙O，AB=2，D为上一点，∠ABD=45°，AE⊥BD于点E，则△BDC的周长是 ． 22. 已知二次函数（m为常数）． （1）若点在该函数图像上，则 ； （2）证明：该二次函数的图像与x轴有两个不同的公共点； （3）若该函数图像上有两个点、，当时，直接写出p的取值范围． 23. 【综合与实践】数学综合实践课上，同学们以“等腰三角形的旋转”为主题，开展如下探究活动： （1）【操作探究】如图1，为等边三角形，将绕点A旋转，得到，连接；则______．若F是的中点，连接，则与的数量关系是______． （2）【迁移探究】如图2，将（1）中的绕点A逆时针旋转，得到，其他条件不变，求出此时的度数及与的数量关系． （3）【拓展应用】如图3，在中，，，将绕点A旋转，得到，连接，F是的中点，连接．在旋转过程中，当时，直接写出线段的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $