第05讲 两角和与差的三角函数（七大题型+思维导图+知识梳理+课后作业）（寒假预习讲义）-2026年高一数学寒假预科讲义（苏教版）

第05讲 两角和与差的三角函数 【苏教版】 模块一 两角和与差的余弦 1．两角差的余弦公式 对于任意角α，β有. 此公式给出了任意角α,β的正弦、余弦与其差角α-β的余弦之间的关系，称为差角的余弦公式，简记作 . 公式巧记为：两角差的余弦值等于两角的同名三角函数值乘积的和. 2．两角和的余弦公式 公式的结构特征 3．两角和与差的余弦公式的记忆技巧 两角和与差的余弦公式可以记忆为“余余正正，符号相反”. (1)“余余正正”表示展开后的两项分别为两角的余弦乘余弦、正弦乘正弦； (2)“符号相反”表示展开后两项之间的连接符号与展开前两角之间的连接符号相反，即两角和时用“-”，两角差时用“+”. 【注意】两角和与差的余弦公式可以正用、逆用，关键在于能识别角之间的差别跟联系，利用诱导公式、角的合理拆分与配凑后，再使用公式. 【题型1 用和、差角的余弦公式化简、求值】 【例1】（24-25高二下·浙江温州·期末）计算：（     ） A． B． C． D． 【变式1.1】（24-25高一下·四川资阳·期末）已知，，则（   ） A． B． C． D． 【变式1.2】（24-25高一下·江苏连云港·期末）（   ） A． B． C． D． 【变式1.3】（24-25高一下·江苏盐城·期中）已知，，则（   ） A． B． C． D． 【题型2 逆用和、差角的余弦公式化简、求值】 【例2】（24-25高一下·广东茂名·期中）式子的值为（    ） A． B． C． D． 【变式2.1】（24-25高一下·江苏扬州·期中）（   ） A． B． C． D． 【变式2.2】（24-25高一下·江西南昌·期中）化简的结果是（    ） A． B． C． D． 【变式2.3】（2025·北京朝阳·一模）已知，，则（   ） A． B． C． D．1 模块二 两角和与差的正弦 1．两角和与差的正弦公式 (1)两角和与差的正弦公式的结构特征 (2)两角和的正弦公式：sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ. (3)两角差的正弦公式：sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ. (4)两角和与差的正弦公式的记忆技巧 两角和与差的正弦公式可以记忆为“正余余正，符号相同”. ①“正余余正”表示展开后的两项分别为两角的正弦乘余弦、余弦乘正弦； ②“符号相同”表示展开后两项之间的连接符号与展开前两角之间的连接符号相同，即两角和时用“+”，两角差时用“-”. 【注意】两角和与差的正弦公式可以正用、逆用，关键在于能识别角之间的差别跟联系，利用诱导公式、角的合理拆分与配凑后，再使用公式. 【题型3 用和、差角的正弦公式化简、求值】 【例3】（24-25高一下·北京顺义·期末）已知为第二象限角，且，则（   ） A． B． C． D． 【变式3.1】（24-25高一下·河南洛阳·期末）已知，，则（   ） A． B． C． D． 【变式3.2】（25-26高一上·全国·课后作业）已知，且及，求的值. 【变式3.3】（24-25高三上·吉林松原·期末）已知为锐角，. (1)求的值； (2)若，且，求的值. 【题型4 逆用和、差角的正弦公式化简、求值】 【例4】（24-25高一下·广东汕尾·期末）（    ） A． B． C． D． 【变式4.1】（24-25高一下·甘肃庆阳·期末）（   ） A． B． C． D． 【变式4.2】（24-25高一下·江苏常州·期末）（    ） A． B． C． D． 【变式4.3】（24-25高一下·黑龙江齐齐哈尔·期中）的值为（    ） A． B． C． D．1 模块三 两角和与差的正切 1．两角和与差的正切公式 (1)两角和与差的正切公式的结构特征 符号变化规律可简记为“分子同，分母反”. (2)两角和的正切公式：. (3)两角差的正切公式：. 2．两角和与差的三角函数公式的逆用及变形 运用两角和与差的三角函数公式时，不但要熟悉公式的正用，还要熟悉公式的逆用及变形应用，如的多种变形等.公式的逆用和变形应用更能拓展思路，培养从正向思维向逆向思维转化的能力. 【题型5 用和、差角的正切公式化简、求值】 【例5】（25-26高一上·全国·课前预习）已知，则（   ） A． B． C． D． 【变式5.1】（24-25高一下·辽宁·期末）已知，，则（    ） A． B． C． D． 【变式5.2】（25-26高一上·全国·课后作业）已知，且，求角的值. 【变式5.3】（24-25高一下·全国·课堂例题）求值： (1)； (2)； (3)． 【题型6 逆用和、差角的正切公式化简、求值】 【例6】（24-25高一下·江西上饶·期中）（   ） A． B． C． D． 【变式6.1】（24-25高三上·云南·月考）的值为（    ） A． B． C． D． 【变式6.2】（25-26高三上·云南昆明·期中）（   ） A．0 B． C．2 D． 【变式6.3】（24-25高一下·江苏徐州·月考）的值为（    ） A． B． C．3 D． 【题型7 求特殊角的三角函数值】 【例7】（24-25高一下·全国·课后作业）的值是（    ） A． B． C． D． 【变式7.1】（24-25高一下·江西赣州·月考）计算（    ） A． B． C． D． 【变式7.2】（24-25高一上·新疆喀什·月考）的值为（ ） A． B． C． D． 【变式7.3】（24-25高二下·云南红河·期中）（   ） A． B． C． D． 一、单选题 1．（25-26高一·全国·假期作业）的值等于（   ） A．0 B． C． D． 2．（24-25高一上·福建莆田·期末）已知，则（ ） A．2 B．-2 C． D． 3．（25-26高三上·湖南·开学考试）已知，则（   ） A． B． C． D． 4．（25-26高一上·贵州·期末）的值为（    ） A．1 B． C． D． 5．（25-26高一上·全国·课前预习）已知，且是第三象限角，则（   ） A． B． C． D． 6．（25-26高三上·四川广安·月考）已知，满足 ，则值为（    ） A． B． C． D． 7．（25-26高一上·全国·单元测试）已知角的终边过点，则（   ） A． B． C． D． 8．（25-26高三上·黑龙江牡丹江·月考）已知，则（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（24-25高一下·江苏苏州·月考）若，则的可能值有（   ） A． B． C． D． 10．（24-25高一下·江苏南通·月考）下列四个选项中，结果正确的是（    ） A． B． C． D． 11．（24-25高一下·江苏南通·月考）若，则下列等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 三、填空题 12．（24-25高一下·江西吉安·期末） ． 13．（24-25高一上·天津·期末）已知，，则 . 14．（25-26高三上·陕西渭南·月考）已知，若，，则的值为 . 四、解答题 15．（24-25高一下·甘肃武威·期中）已知，为第二象限角．求的值． 16．（25-26高一上·上海闵行·月考）已知，. (1)求的值； (2)若，，求的值. 17．（24-25高一下·甘肃酒泉·期中）（1）若，求的值. （2）已知，求的值. 18．（2025高一上·全国·专题练习）已知． (1)求的值； (2)求的值． 19．（24-25高一下·四川成都·期末）已知． (1)求的值； (2)若，求的值． 第 1 页 共 23 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第05讲 两角和与差的三角函数 【苏教版】 模块一 两角和与差的余弦 1．两角差的余弦公式 对于任意角α，β有. 此公式给出了任意角α,β的正弦、余弦与其差角α-β的余弦之间的关系，称为差角的余弦公式，简记作 . 公式巧记为：两角差的余弦值等于两角的同名三角函数值乘积的和. 2．两角和的余弦公式 公式的结构特征 3．两角和与差的余弦公式的记忆技巧 两角和与差的余弦公式可以记忆为“余余正正，符号相反”. (1)“余余正正”表示展开后的两项分别为两角的余弦乘余弦、正弦乘正弦； (2)“符号相反”表示展开后两项之间的连接符号与展开前两角之间的连接符号相反，即两角和时用“-”，两角差时用“+”. 【注意】两角和与差的余弦公式可以正用、逆用，关键在于能识别角之间的差别跟联系，利用诱导公式、角的合理拆分与配凑后，再使用公式. 【题型1 用和、差角的余弦公式化简、求值】 【例1】（24-25高二下·浙江温州·期末）计算：（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】利用两角和的余弦公式求解即可. 【解答过程】由两角和的余弦公式得. 故选：D. 【变式1.1】（24-25高一下·四川资阳·期末）已知，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】利用两角和的余弦公式，以及切化弦可求得，的值，进而利用两角和的余弦公式可求值. 【解答过程】因为，所以， 因为，所以， 所以，， 所以. 故选：A. 【变式1.2】（24-25高一下·江苏连云港·期末）（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据，利用两角和差的三角公式化简所给的式子，可得结论． 【解答过程】， ， ， ， 故选：D． 【变式1.3】（24-25高一下·江苏盐城·期中）已知，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】利用两角和的余弦公式求出，再由两角差的余弦公式计算可得. 【解答过程】因为，又， 所以， 所以. 故选：D. 【题型2 逆用和、差角的余弦公式化简、求值】 【例2】（24-25高一下·广东茂名·期中）式子的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】逆用和角余弦公式化简求值即可. 【解答过程】. 故选：A. 【变式2.1】（24-25高一下·江苏扬州·期中）（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据给定条件，逆用差角的余弦公式求解. 【解答过程】. 故选：C. 【变式2.2】（24-25高一下·江西南昌·期中）化简的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据给定条件，逆用和角的余弦公式化简即得. 【解答过程】依题意，原式. 故选：C. 【变式2.3】（2025·北京朝阳·一模）已知，，则（   ） A． B． C． D．1 【答案】B 【解题思路】将给定的两个等式平方相加，再逆用差角的余弦公式即得. 【解答过程】由，，得， 整理得，所以. 故选：B. 模块二 两角和与差的正弦 1．两角和与差的正弦公式 (1)两角和与差的正弦公式的结构特征 (2)两角和的正弦公式：sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ. (3)两角差的正弦公式：sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ. (4)两角和与差的正弦公式的记忆技巧 两角和与差的正弦公式可以记忆为“正余余正，符号相同”. ①“正余余正”表示展开后的两项分别为两角的正弦乘余弦、余弦乘正弦； ②“符号相同”表示展开后两项之间的连接符号与展开前两角之间的连接符号相同，即两角和时用“+”，两角差时用“-”. 【注意】两角和与差的正弦公式可以正用、逆用，关键在于能识别角之间的差别跟联系，利用诱导公式、角的合理拆分与配凑后，再使用公式. 【题型3 用和、差角的正弦公式化简、求值】 【例3】（24-25高一下·北京顺义·期末）已知为第二象限角，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】先根据同角三角函数关系结合角的象限计算得出，最后应用两角和正弦公式计算求解. 【解答过程】因为为第二象限角，且， 所以， 则. 故选：B. 【变式3.1】（24-25高一下·河南洛阳·期末）已知，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】利用两角和的正弦公式，及同角三角函数的关系可求得，进而利用两角差的正弦公式即可求解. 【解答过程】由，可得， 由，可得，所以， 所以， 所以. 故选：B. 【变式3.2】（25-26高一上·全国·课后作业）已知，且及，求的值. 【答案】 【解题思路】由同角三角函数的基本关系可得的值，结合两角和的正弦公式即可得的值. 【解答过程】由可得， 由，得， 则， 由于，所以. 【变式3.3】（24-25高三上·吉林松原·期末）已知为锐角，. (1)求的值； (2)若，且，求的值. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）利用同角三角函数的商数关系求解即可； （2）根据和正弦的两角差公式求解即可. 【解答过程】（1）因为为锐角，，从而， 所以 . （2）由及，，解得，， 又，所以， 所以， 所以 ， 因为，所以. 【题型4 逆用和、差角的正弦公式化简、求值】 【例4】（24-25高一下·广东汕尾·期末）（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】逆用差角的正弦公式求解. 【解答过程】. 故选：B. 【变式4.1】（24-25高一下·甘肃庆阳·期末）（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】由诱导公式及正弦和角公式逆用可求值. 【解答过程】 . 故选：B. 【变式4.2】（24-25高一下·江苏常州·期末）（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】由两角差的正弦公式逆用即可求解. 【解答过程】. 故选：B. 【变式4.3】（24-25高一下·黑龙江齐齐哈尔·期中）的值为（    ） A． B． C． D．1 【答案】B 【解题思路】逆用两角差的正弦公式求解即可 【解答过程】. 故选：B. 模块三 两角和与差的正切 1．两角和与差的正切公式 (1)两角和与差的正切公式的结构特征 符号变化规律可简记为“分子同，分母反”. (2)两角和的正切公式：. (3)两角差的正切公式：. 2．两角和与差的三角函数公式的逆用及变形 运用两角和与差的三角函数公式时，不但要熟悉公式的正用，还要熟悉公式的逆用及变形应用，如的多种变形等.公式的逆用和变形应用更能拓展思路，培养从正向思维向逆向思维转化的能力. 【题型5 用和、差角的正切公式化简、求值】 【例5】（25-26高一上·全国·课前预习）已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据两角和的正切公式，代入已知计算求解. 【解答过程】根据两角和的正切公式， 代入已知可得， . 故选：A. 【变式5.1】（24-25高一下·辽宁·期末）已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】利用和角的正切公式可得，结合角的范围即得答案. 【解答过程】由已知可得：， 所以， 又，则，故. 故选：C. 【变式5.2】（25-26高一上·全国·课后作业）已知，且，求角的值. 【答案】 【解题思路】由同角三角函数的基本关系求得的值，易知，结合两角差的正切公式即得角的值. 【解答过程】因为，所以. 因为，所以， 所以. 因为，故. 因为，所以. 【变式5.3】（24-25高一下·全国·课堂例题）求值： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【解题思路】利用正切的两角和差公式化简求值即可. 【解答过程】（1）． （2）由的变形得: ， 所以． （3） ． 【题型6 逆用和、差角的正切公式化简、求值】 【例6】（24-25高一下·江西上饶·期中）（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】逆用两角差的正切公式，即可求得答案. 【解答过程】． 故选：A. 【变式6.1】（24-25高三上·云南·月考）的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】逆用两角和的正切公式求解即可. 【解答过程】 . 故选：B. 【变式6.2】（25-26高三上·云南昆明·期中）（   ） A．0 B． C．2 D． 【答案】B 【解题思路】利用诱导公式先求出的值，再利用正切和角公式的逆用可得得值. 【解答过程】， ， 所以原式. 故选：B. 【变式6.3】（24-25高一下·江苏徐州·月考）的值为（    ） A． B． C．3 D． 【答案】B 【解题思路】利用正切的和角公式，逆用即可求出结果. 【解答过程】 . 故选：B. 【题型7 求特殊角的三角函数值】 【例7】（24-25高一下·全国·课后作业）的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据及两角差的余弦公式直接求解. 【解答过程】 . 故选:C. 【变式7.1】（24-25高一下·江西赣州·月考）计算（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】将看成，根据诱导公式以及两角和的正弦公式，化简计算，即可得出答案. 【解答过程】 . 故选：D． 【变式7.2】（24-25高一上·新疆喀什·月考）的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】转化为两角和的余弦公式求解. 【解答过程】 . 故选：C. 【变式7.3】（24-25高二下·云南红河·期中）（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】将15°变成，75°变成，然后利用和差倍角的正切值进行计算. 【解答过程】. 所以. 故选：D. 一、单选题 1．（25-26高一·全国·假期作业）的值等于（   ） A．0 B． C． D． 【答案】C 【解题思路】结合诱导公式根据余弦的和差公式求解即可. 【解答过程】 . 故选：C. 2．（24-25高一上·福建莆田·期末）已知，则（ ） A．2 B．-2 C． D． 【答案】A 【解题思路】由两角差的正切展开式计算可得. 【解答过程】，解得. 故选：A. 3．（25-26高三上·湖南·开学考试）已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据三角恒等变换以及诱导公式计算即可． 【解答过程】因为， 所以，故． 故选：B. 4．（25-26高一上·贵州·期末）的值为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【解题思路】由结合两角和的正切公式即可求解. 【解答过程】 ． 故选：C． 5．（25-26高一上·全国·课前预习）已知，且是第三象限角，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】利用平方关系求出，然后结合和角的余弦公式可得. 【解答过程】因为，且是第三象限角，所以， 则， 故选：D. 6．（25-26高三上·四川广安·月考）已知，满足 ，则值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】利用，结合两角和的正弦公式求出，再根据，展开后即可求得答案. 【解答过程】由题意知，即， 而，故， 故， 故选：B. 7．（25-26高一上·全国·单元测试）已知角的终边过点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】由三角函数定义求出和，再由诱导公式结合两角差的正弦公式计算即可. 【解答过程】由题意得，， 则. 故选：B. 8．（25-26高三上·黑龙江牡丹江·月考）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】由题可知，进而根据计算即可. 【解答过程】由，得， 因为， 所以， 所以 . 故选：D. 二、多选题 9．（24-25高一下·江苏苏州·月考）若，则的可能值有（   ） A． B． C． D． 【答案】BD 【解题思路】根据两角和的余弦公式可知，，选项代入进行判断即可. 【解答过程】因为， 又， 则且， 选项中，当 或时均符合，当 或时不符合. 故选：BD. 10．（24-25高一下·江苏南通·月考）下列四个选项中，结果正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【解题思路】结合两角差公式逐项判断即可. 【解答过程】，A错误； 因为， 所以，B正确； 因为，， ，C正确； ，D错误； 故选：BC. 11．（24-25高一下·江苏南通·月考）若，则下列等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【解题思路】根据两角和差的正余弦公式，结合已知条件，依次判断即可. 【解答过程】对于A，，则，，不一定为0，故选项A错误； 对于B，，则，，故选项B正确； 对于C，，故选项C正确； 对于D，，故选项D错误. 故选：BC. 三、填空题 12．（24-25高一下·江西吉安·期末） ． 【答案】 【解题思路】利用诱导公式与和差公式计算即可. 【解答过程】原式 . 故答案为：． 13．（24-25高一上·天津·期末）已知，，则 . 【答案】 【解题思路】利用两角差的正切公式可求的值. 【解答过程】因为， ， 所以. 故答案为：. 14．（25-26高三上·陕西渭南·月考）已知，若，，则的值为 . 【答案】 【解题思路】先利用同角的正余弦的平方关系可求得，，再根据两角差的正弦公式求值即可. 【解答过程】因为，所以， 因为，， 所以，， 所以 . 故答案为：. 四、解答题 15．（24-25高一下·甘肃武威·期中）已知，为第二象限角．求的值． 【答案】 【解题思路】根据同角的平方关系可得，结合两角差的余弦公式计算即可求解. 【解答过程】由为第二象限角， 得， 所以. 16．（25-26高一上·上海闵行·月考）已知，. (1)求的值； (2)若，，求的值. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）根据同角三角函数关系，以及两角差的余弦公式，求出结果即可. （2）根据同角三角函数关系，以及两角差的正弦公式，求出结果即可. 【解答过程】（1）因为，，所以. 可得. （2）因为，，所以， 可得. 17．（24-25高一下·甘肃酒泉·期中）（1）若，求的值. （2）已知，求的值. 【答案】（1）；（2）. 【解题思路】（1）把给定两个等式两边平方，再逆用和角的余弦公式计算得解. （2）利用同角公式，差角的余弦公式求解. 【解答过程】（1）由，得， 则，即， 所以. （2）由，得，又， 则， 所以 . 18．（2025高一上·全国·专题练习）已知． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1)； (2). 【解题思路】（1）根据两角和的正切公式化简，求出； （2）利用和差角公式先化简目标式，再利用两角差的正切公式求解目标式的值. 【解答过程】（1）， ，解得． （2）原式 ． 19．（24-25高一下·四川成都·期末）已知． (1)求的值； (2)若，求的值． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）利用同角公式及差角的正弦公式求解. （2）利用同角公式及差角的正弦公式求出即可. 【解答过程】（1）由，得， 所以. （2）由，得，由， 得，则 ， 所以. 第 1 页 共 23 页 学科网（北京）股份有限公司 $