10.1.2 第2课时 两角和与差的正弦的应用 课时跟踪检测-【新课程学案】2025-2026学年高中数学必修第二册配套练习word（苏教版）

10.1.2 第2课时 两角和与差的正弦的应用 [课时跟踪检测] 1.已知θ为锐角，且cos=，则sin θ= (　　) A. B. C. D. 解析:选A　∵cos=>0(θ为锐角)， ∴θ+为锐角. ∴sin==. ∴sin θ=sin=sincos-cossin=×-×=. 2.若sin αcos-cos αsin=，α∈[0，2π)，则α等于 (　　) A. B. C.或 D.或 解析:选D　因为sin αcos-cos αsin=sin=，又α∈[0，2π)，所以α=或. 3.已知cos=，0<α<π，则sin α= (　　) A. B. C. D. 解析:选C　因为cos=，且0<α<π，所以<α+<. 所以sin==. 所以sin α=sin =sincos-cossin =×-×=. 4.(2022·新课标Ⅱ卷)若sin(α+β)+cos(α+β)=2cossin β，则 (　　) A.tan(α-β)=1 B.tan(α+β)=1 C.tan(α-β)=-1 D.tan(α+β)=-1 解析:选C　法一　由题意得sin αcos β+sin βcos α+cos αcos β-sin αsin β=2×(cos α-sin α)sin β，整理得sin αcos β-sin βcos α+cos αcos β+sin αsin β=0，即sin(α-β)+cos(α-β)=0，所以tan(α-β)=-1，故选C. 法二　设β=0，则sin α+cos α=0，即tan α=-1，取α=，排除A、B; 设α=0，则sin β+cos β=2sin β，tan β=1，取β=，排除D. 5.已知sin α+cos β=-，cos α+sin β=，则sin(α+β)= (　　) A. B. C.- D.- 解析:选C　因为sin α+cos β=-，cos α+sin β=， 所以(sin α+cos β)2=，(cos α+sin β)2=. 所以sin2α+2sin αcos β+cos2β=， cos2α+2cos αsin β+sin2β=， 两式相加可得sin2α+2sin αcos β+cos2β+cos2α+2cos αsin β+sin2β=. 所以2+2sin αcos β+2cos αsin β=， 即2+2(sin αcos β+cos αsin β)=. 所以2+2sin(α+β)=， 解得sin(α+β)=-. 6.在△ABC中，若2cos Bsin C=sin A，则△ABC的形状是 (　　) A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等腰直角三角形 D.等腰或直角三角形 解析:选A　由题意，sin A=sin(π-A)=sin(B+C)=sin Bcos C+sin Ccos B，则2cos Bsin C=sin Bcos C+sin Ccos B⇔sin Bcos C-cos Bsin C=sin(B-C)=0，则B=C，即△ABC的形状是等腰三角形. 7.(多选)已知cos α=，cos(α+β)=-，且α，β∈，则 (　　) A.cos β= B.sin β= C.cos(α-β)= D.sin(α-β)=- 解析:选AC　因为α∈，cos α=， 所以sin α===. 又α，β∈，所以α+β∈(0，π). 所以sin(α+β)= ==. 所以cos β=cos[(α+β)-α]=cos(α+β)cos α+sin(α+β)sin α=-+=.故A正确. 因为β∈，所以sin β===.故B错误. cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β=×+×=.故C正确. sin(α-β)=sin αcos β-cos αsin β =×-×=.故D错误. 8.(5分)已知sin 2x-cos 2x=2cos(2x-θ)(-π<θ<π)，则θ=　　　　.  解析:∵sin 2x-cos 2x=2cos(2x-θ)(-π<θ<π)，∴sin=cos(2x-θ). 即cos=cos(2x-θ)，∴θ=. 答案: 9.(5分)的值是　　　　.  解析:原式= = ==tan 60°=. 答案: 10.(5分)在锐角△ABC中，已知cos A=，sin B=，则角C的值为　　　　.  解析:因为△ABC为锐角三角形，又cos A=，sin B=，所以sin A=，cos B=. 则sin C=sin(A+B)=sin Acos B+cos Asin B=×+×=.又C∈，即C=. 答案: 11.(5分)已知tan α，tan β是方程3x2+5x-7=0的两根，则=　　　　 .  解析:由已知得tan α+tan β=-，tan αtan β=-.故= ===. 答案: 12.(10分)求证:sin(2α+β)-2cos(α+β)sin α=sin β. 证明:∵sin(2α+β)-2cos(α+β)sin α =sin[(α+β)+α]-2cos(α+β)sin α =sin(α+β)cos α+cos(α+β)sin α-2cos(α+β)sin α =sin(α+β)cos α-cos(α+β)sin α =sin[(α+β)-α]=sin β， ∴sin(2α+β)-2cos(α+β)sin α=sin β.∴原式得证. 13.(10分)已知α，β∈，cos α=，cos(α+β)=. (1)求sin β的值;(5分) (2)求2α+β的值.(5分) 解:(1)∵α，β∈，∴α+β∈(0，π).又cos α=，cos(α+β)=，∴sin α==， sin(α+β)==. ∴sin β=sin[(α+β)-α]=sin(α+β)cos α-cos(α+β)sin α=×-×=. (2)cos(2α+β)=cos[(α+β)+α] =cos(α+β)cos α-sin αsin(α+β) =×-×=0. 由α，β∈，得2α+β∈. ∴2α+β的值为. 14.(10分)若sin=，cos=，且0<α<<β<，求cos(α+β)的值. 解:∵0<α<<β<， ∴<+α<π，-<-β<0. 又sin=，cos=， ∴cos=-，sin=-. ∴cos(α+β)=sin=sin=sincos-cos·sin=×-×=-. 学科网（北京）股份有限公司 $