专题8.1平行四边形题型突破讲义(常考题型精析+强化题型+寒假预习)2025-2026学年苏科版八年级数学下册

专题8.1平行四边形题型突破讲义 学习重点（必掌握！） 1.定义核心：两组对边分别平行的四边形 = 平行四边形（记作□ABCD） 2.性质大招：对边平行且相等；对角相等、邻角互补 3.对称特点：中心对称图形，对角线交点是对称中心 4.基础应用：用性质算边长、角度、周长 学习难点（啃下它！） 1.辅助线秘诀：连对角线，把平行四边形转成全等三角形 2.综合运用：结合平行线、三角形知识解题 3.易混区分：平行四边形（两组对边平行）≠ 梯形（一组对边平行） ❌ 易错提醒（别踩坑！） ❶ 一组对边平行的四边形不是平行四边形（是梯形！） ❷ 算周长别漏乘 2 → 周长 = 2×（邻边之和） ❸ 写证明必须带前提 “四边形是平行四边形” 记忆口诀：平行四边形，对边平行又相等；对角相等邻角补，中心对称记清楚！ 基础 过关题 1.利用平行四边形的性质求解 2.利用平行四边形的性质证明 3.证明四边形是平行四边形 4.添一个条件成为平行四边形 能力 提升题 5.平行四边形性质的其他应用 6.判断能否构成平行四边形 7.由平行四边形的判定与性质求解 8.平行四边形性质和判定的应用 拓展 拔高题 9.求三点构成平行四边形的点数 10.全等三角形拼平行四边形问题 【题型1.利用平行四边形的性质求解】 1．如图，平行四边形，根据图中尺规作图的痕迹，判断下列结论中不一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了作图-基本作图：作已知角的角平分线．平行四边形的性质．利用基本作图可对A选项直接进行判断；再根据平行四边形的性质得到，，所以，则可对B选项进行判断；同时得到，所以，则可对C、D选项进行判断． 【详解】解：由作图得平分， ∴，所以A选项不符合题意， ∵四边形为平行四边形， ∴，， ∴， ∴，即，所以B选项不符合题意， ∴， ∴， ∴，所以C选项不符合题意， 与不能确定相等，所以D选项符合题意． 故选：D． 2．如图，平行四边形中，对角线、相交于，过点作交于点，若，，，则的长为（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行四边形的性质，勾股定理以及勾股定理的逆定理，证明是直角三角形是解题的关键．连接，根据已知条件证明是直角三角形，进而可得是等腰直角三角形，根据勾股定理即可求解． 【详解】解：如图，连接，   平行四边形中，， 垂直平分， ，，， ，， ，， ， 是直角三角形，是等腰直角三角形， ． 故选B． 3．如图，在▱中，，，、的平分线分别交于、，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，等腰三角形的判定方法：等角对等边，以及平行线的性质，正确证明是关键． 根据角平分线的定义以及平行线的性质可以证得，然后根据等角对等边得到，同理，再依据即可求解． 【详解】解：平分，即， 又中，， ， ， ， 同理：， ． 故答案是：． 4．如图，在中，连接，将绕点顺时针旋转一定角度，得到，点分别旋转到了点．已知点在边上，，，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查平行四边形的性质、旋转的性质、勾股定理的应用：作于点，根据平行四边形性质可得，再根据边之间的关系可得，由旋转可得，则由旋转可得，求出，再根据边之间的关系可得，再根据勾股定理即可求出答案． 【详解】解：作于点，则， ∵四边形是平行四边形， ， ， ， 由旋转可得， ， ， ， ， 故答案为：． 【题型2.利用平行四边形的性质证明】 5．如图，在平行四边形中，．按下列步骤作图：①以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点E，F；②分别以点E，F为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点；③连接并延长交于点．则的长是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了角平分线的画法，平行四边形的性质，等腰三角形的判定，由作图可知是的平分线，得，由平行四边形的性质得，，即得，得到，即可得，进而根据线段的和差关系即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：由作图可得，是的平分线， ∴， ∵四边形是平行四边形，， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 6．如图，中，对角线、相交于，、是对角线上两点，要使，还需添加一个条件 （写出一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定等知识点，灵活运用全等三角形的判定定理成为解题的关键． 先根据平行四边形的性质可得、，然后根据添加条件即可． 【详解】解：添加． 四边形是平行四边形，，， ∴， 在和中， ， ， 故答案为：（答案不唯一）． 7．如图，在平行四边形中，，作于点，点是的中点，连接，，关于下列四个结论：；；； 则所有正确结论的序号是 ． 【答案】①②③④ 【分析】本题考查了平行四边形的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形斜边中线的性质等知识点，难度较大，解题的关键是正确添加辅助线构造全等三角形． 先根据平行四边形的性质证明，再由证明，则，即可等量代换证明①；延长，交于点，证明，根据直角三角形斜边中线得到，即可证明②；根据互余关系证明③；由，得到，由为中点，得到，即可证明④． 【详解】解：四边形为平行四边形， ，，， ， 点是的中点， ， ， ， ， ， ，故正确； 延长，交于点， ∵， ∴， ∵点为中点， ∴ ∴， ∴， ∵，， ∴， ， ，故正确； ，， ， ， 即， ， ， ，故正确； ∵， ∴， ∵为中点， ∴，故④正确 故答案为： 8．在平行四边形中，的平分线交直线于点E，的平分线交直线于点F，，，则线段的长为 ． 【答案】8或12/12或8 【分析】本题考查平行四边形的性质、角平分线的定义，等角对等边等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．由于平行四边形的两组对边互相平行，又平分，由此可以推出所以，则；同理可得，，再分两种为情况：F点在D、E之间；F点在C、E之间．求得各自的便可得． 【详解】解：∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∴， 则； 同理可得，， 当点F在D、E之间时，如图1， ∵， ∴； 当点F在C、E之间时，如图2， ∵， ∴． 故答案为：8或12． 9．如图，平行四边形的对角线，相交于点，平分，分别交，于点，，连接，，，则下列结论：①；②；③；④．正确的个数有（）． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，等腰三角形的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，解答本题的关键是熟练掌握勾股定理的运用，先根据角平分线和平行线的性质得，则，由有一个角是的等腰三角形是等边三角形得是等边三角形，由外角的性质和等腰三角形的性质得，最后由平行线的性质可作判断；求出，根据平行四边形的面积公式可作判断：先根据三角形中位线定理得，然后求出，即可判断；利用勾股定理分别求出和，即可求的长，即可判断． 【详解】解：平行四边形的对角线相交于点平分，， ， ， ， ， 是等边三角形， ， ， ， ， ， ， ， ， ，故结论正确，符合题意； ， ，故结论正确，符合题意； ， ， ， ， ，故结论③正确，符合题意； 在中，，由勾股定理得：， ， 在中，，由勾股定理得：， ，故结论正确，符合题意； 综上所述，结论正确的是，共4个， 故选：． 【题型3.证明四边形是平行四边形】 10．已知一个四边形的四边长顺次为a，b，c，d，且满足，则此四边形是（    ） A．长方形 B．等腰梯形 C．正方形 D．平行四边形 【答案】D 【分析】本题考查了平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的判定方法是解题的关键． 根据题意，得到，从而有，，结合两组对边分别相等的四边形是平行四边形，得到结果． 【详解】解：， ∴ ， 即 ， ∵ ，， 且 ， 即 ，， ∴ 四边形两组对边分别相等， ∴ 此四边形为平行四边形. 故选：D． 11．如图，取两根长度不等的细木棒，将它们的中点重合固定（记为点）．转动木棒，在由锐角变成钝角的过程中，分析以木棒四个端点为顶点的四边形，下列结论不一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定定理（对角线互相平分的四边形是平行四边形）以及平行四边形的性质（对边平行且相等），解题的关键在于利用对角线互相平分的性质判断四边形为平行四边形，再应用平行四边形的对边平行且相等的性质．先根据已知条件判断四边形的形状，再根据平行四边形的性质判定即可． 【详解】O是的中点，即， 四边形是平行四边形， ， 故选：． 12．在中，点D，E分别是上的点，且，点F是延长线上一点，连接．添加下列条件：①；②；③；④．能使四边形是平行四边形的是 （填上所有符合要求的条件的序号）． 【答案】①②④ 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定，掌握常见的平行四边形的判定定理成为解题的关键． 根据平行四边形的判定定理逐项判定即可． 【详解】解：①∵， ∴四边形为平行四边形；故选项①符合题意； ②∵， ∴四边形为平行四边形；故选项②符合题意； ③由，不能判定四边形为平行四边形；故选项③不符合题意； ④∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形；故选项④符合题意； 综上所述：能使四边形是平行四边形的是①②④． 故答案为：①②④． 13．在《圆锥曲线论》中有一个著名的“阿波罗尼奥斯定理”，这个定理可以表述为：平行四边形对角线的平方和等于各边的平方和． 如图，在中，，，，D是的中点，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行四边形的判定和性质，熟练运用阿波罗尼奥斯定理是解题的关键． 延长到E，使，连接，，根据线段中点的定义得到，推出四边形是平行四边形，得到，，根据阿波罗尼奥斯定理解方程即可得出结论． 【详解】解：延长到E，使，连接，， 点D是的中点， ， ， 四边形是平行四边形， ，， 由阿波罗尼奥斯定理得：， ， ， ， 故答案为：． 解答题 14．如图所示，在四边形中，于点E，于点F，，．求证： (1)； (2)四边形是平行四边形． 【答案】(1)见解析； (2)见解析． 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质和判定，平行线的判定，全等三角形的性质和判定等知识点的理解和掌握，能证出和是证此题的关键．题型较好． （1）由，，根据垂直的定义得到，和已知，，推出； （2）根据全等三角形的性质得到，，进一步推出，根据平行四边形的判定即可得到答案． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， 在与中， ， ∴． （2）证明：∵， ∴，， ∴， ∴四边形是平行四边形． 【题型4.添一条件成为平行四边形】 15．如图，四边形的对角线交于点，已知，添加下列其中一个条件，能判定四边形为平行四边形的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行四边形的判定，熟记“一组对边平行且相等的四边形为平行四边形”是解题的关键．由平行四边形的判定定理即可得出结论． 【详解】解：添加，能判定四边形是平行四边形的是，理由如下： ， 又， 四边形是平行四边形， 只有B选项符合题意，其他选项不能判定四边形是平行四边形， 故选：B． 16．如图，在中，对角线相交于点O，E，F是对角线上的两点．要添加一个条件使四边形是平行四边形，不能添加（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是平行四边形的判定与性质，解题的关键是灵活运用平行四边形的判定与性质．根据可得，利用平行四边形的判定可知，如，则四边形是平行四边形． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， A．如， 则， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴A选项不符合题意， B．如添加，无法证明四边形是平行四边形， ∴B选项不符合题意， C.如， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴C选项不符合题意， D．如， 则， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形； ∴D选项不符合题意， 故选：B． 17．如图，在四边形中，，，．动点从点出发，以的速度向点运动．同时，动点从点出发，以的速度向点运动．规定其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．从运动开始，当运动时间 时，四边形为平行四边形． 【答案】 【分析】本题考查了平行四边形的判定，由题意可得，，进而根据平行四边形的判定列出方程解答即可求解，掌握平行四边形的判定定理是解题的关键． 【详解】解：由题意得，，， ∵， ∴当时，四边形是平行四边形， 即， 解得， 故答案为：． 18．如图，平行四边形中，E，F是对角线上的两点，有如下四个条件：①；②；③；④，如果从中选择一个作为添加条件，使四边形是平行四边形，那么这个添加的条件可以是 （填写序号）． 【答案】②（或③，或④） 【分析】本题考查平行四边形的判定及性质，全等三角形的判定及性质． 若添加条件①，无法证明四边形是平行四边形．若添加条件②，连接，交于点O，根据平行四边形的性质得到，，进而得到，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形可得证；若添加条件③，根据平行四边形的性质可证得，得到，，进而得到，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形即可得证；若添加条件④，可根据对角线互相平分的四边形是平行四边形可得证． 【详解】解：若添加条件①，无法证明四边形是平行四边形． 若添加条件②，可得四边形是平行四边形． 理由如下： 连接，交于点O ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴，即， ∴四边形是平行四边形． 若添加条件③，可得四边形是平行四边形． 理由如下： ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴，即， ∴， ∴四边形是平行四边形． 若添加条件④，可得四边形是平行四边形． 理由如下： 连接，交于点O ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴，即， ∴四边形是平行四边形． 综上所述，添加的条件可以是②或③或④． 故答案为：②（或③，或④） 【题型5.平行四边形性质的其他应用】 19．为更好地开展劳动教育课程，学校计划将一块空地（如图）修建一条笔直的小路（小路宽度忽略不计）．有两个要求：经过边上一点；分成面积相等的两部分．则小路除了经过点外，还经过（   ） A．点 B．的中点 C．的中点 D．边上的点，且 【答案】B 【分析】本题考查了平行四边形的性质，根据平行四边形的性质即可得出答案，熟练掌握平行四边形的性质是解此题的关键． 【详解】解：由平行四边形的性质结合题意得：小路除了经过点外，还经过的中点， 故选：B． 20．在平行四边形中，若一个角为其邻角的2倍，则这个平行四边形中两邻角的度数分别是 ． 【答案】120°和60° 【分析】根据平行四边形的性质可以得到，，，即可得到，再根据，求解即可． 【详解】解：如图所示，， ∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：60°，120°，60°，120°． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，解题的关键在于能够熟练掌握平行四边形的性质． 21．如图，四边形ABCD是平行四边形，O是两条对角线的交点，过O点的三条直线将四边形ABCD分成阴影和空白部分，若阴影部分的面积8cm2，则四边形ABCD的面积为 cm2． 【答案】16 【分析】根据中心对称的性质判断出阴影部分的面积等于平行四边形面积的一半，即可得出结果． 【详解】解：∵O是平行四边形两条对角线的交点，平行四边形ABCD是中心对称图形， ∴△OEF≌△OHM，四边形OFBG≌四边形OMDN，四边形OGCH≌四边形ONAE， ∴S平行四边形ABCD=2阴影部分的面积=2×8=16（cm2）． 故答案为：16． 【点睛】本题考查了中心对称，平行四边形的性质，熟记性质并判断出阴影部分的面积等于平行四边形的面积的一半是解题的关键． 22．如图，中，对角线、相交于，、是对角线上两点，要使，还需添加一个条件 （写出一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定等知识点，灵活运用全等三角形的判定定理成为解题的关键． 先根据平行四边形的性质可得、，然后根据添加条件即可． 【详解】解：添加． 四边形是平行四边形，，， ∴， 在和中， ， ， 故答案为：（答案不唯一）． 23．如图，在中，、分别是、边上的点，与交于点，与交于点，若，，则图中阴影部分的面积为 ． 【答案】50 【分析】连接E、F两点，由三角形的面积公式我们可以推出S△EFC=S△BCF，S△EFD=S△ADF，所以S△EFQ=S△BCQ，S△EFP=S△APD，因此可以推出阴影部分的面积就是S△APD+S△BQC． 【详解】解：如图，连接E、F两点， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD， ∴△EFC的FC边上的高与△BCF的FC边上的高相等， ∴S△EFC=S△BCF， ∴S△EFC－S△QFC =S△BCF－S△QFC， 即S△EFQ=S△BCQ， 同理：S△EFD=S△ADF， ∴S△EFP=S△APD， ∵S△APD=20cm2，S△BQC=30cm2， ∴S四边形EPFQ= S△APD + S△BQC =50cm2， 故答案为：50． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，解答此题关键是作出辅助线，找出同底等高的三角形． 【题型6.判断能否构成平行四边形】 24．根据下列四边形中所标的数据，一定能判定为平行四边形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行四边形的判定，熟练掌握判定定理是解题的关键．根据平行四边形的判定定理逐一判断选项即可． 【详解】解：A、 根据题意，得， 故，不平行，不是平行四边形，不符合题意； B、根据题意，只有一组平行的对边，故不是平行四边形，不符合题意； C、根据题意，得一组对边平行且相等，故一定是平行四边形，符合题意； D、根据题意，只有一组对边相等，无法判定是平行四边形，不符合题意； 故选：C． 25．能判定四边形为平行四边形的条件是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】本题考查了平行四边形的判定，熟练掌握该知识点是解题的关键．根据平行四边形的判定方法一一判断即可得出答案． 【详解】解：A、若，，无法判定四边形为平行四边形，故此选项错误； B、，，无法判定四边形为平行四边形，故此选项错误； C、，，根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形，可判定四边形为平行四边形，故此选项正确； D、，，此条件下四边形还可能是等腰梯形，故此选项错误． 故选：C． 26．如图所示的是某小区门口汽车出入道闸示意图．四边形ABCD在长方形道闸（）打开的过程中，边AB固定，连杆AD，BC分别绕点A，B转动，且边DC始终与边AB平行，则在转动的过程中，AD与BC的关系为 ． 【答案】平行且相等/ 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，掌握一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，平行四边形的对边平行且相等是解题的关键． 根据已知条件且，利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形判定四边形为平行四边形，再结合平行四边形的性质，得出与的关系． 【详解】解：∵，且， ∴四边形是平行四边形， ∴且，即与的关系为平行且相等． 故答案为：平行且相等（或）． 27．如图，直线，，．若的面积是，则四边形的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行四边形的判定与面积公式，三角形的面积公式等知识点，熟练掌握平行四边形的判定与面积公式是解答本题的关键． 过点作于点，根据的面积是，得到，再根据题意证明四边形是平行四边形，求出四边形的面积即可． 【详解】解：过点作于点，如图： 的面积是， ， ， ，， 四边形是平行四边形， 四边形的面积为：， 故答案为：． 【题型7.由平行四边形的判定与性质求解】 28．在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，且，．若，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行四边形的性质和判定，熟练掌握平行四边形的判定方法是解题的关键． 由，可知四边形是平行四边形，再根据平行四边形邻角互补的性质求解的度数即可． 【详解】解：如图： ∵ ，， ∴ 四边形是平行四边形． ． ． ， ． 故答案为：． 29．如图，在中，，将沿向右平移得到，若四边形的面积等于8，则平移的距离等于 ． 【答案】2 【分析】本题考查平移的性质，平行四边形的判定和性质，根据平移的性质推出四边形为平行四边形，利用平行四边形的面积公式进行求解即可． 【详解】解：∵平移， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴四边形的面积， ∴，即平移距离为2； 故答案为：2 30．如图，点在的对角线上，过点作，．已知，，，则四边形的面积是（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【分析】本题考查了平行四边形的判定及性质，根据平行四边形的判定及性质解答即可． 【详解】解：如图，点P在平行四边形的对角线上，过点P作，， ∴四边形，四边形为平行四边形， 由条件可知，，， ∴，， ∴， 故选：B． 31．如图，已知的面积为，点在线段上，点在线段的延长线上，且，四边形是平行四边形，与交于点，则图中阴影部分的面积为（      ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行四边形的性质和判定，三角形的面积的应用，根据等底等高的三角形面积相等得出的面积和的面积相等，的面积和的面积相等，推出阴影部分的面积等于平行四边形的面积的一半，求出的值即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，连接，设点到距离为， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵边上的高和的边上的高相同， ∴的面积和的面积相等，同理的面积和的面积相等，即阴影部分的面积等于平行四边形的面积的一半，是， ∵的面积是，， ∴， ∴， ∴阴影部分的面积是， 故选：． 32．如图，点，的坐标分别为，，将线段平移到，点，的坐标分别为，，则线段在平移过程中扫过的面积为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了平面直角坐标系中的平移变换，及求平行四边形的面积．熟练掌握坐标变化与图形变换之间的规律是解题的关键．对照点A，B的坐标和，的坐标，找出平移的方式，从而求出，的坐标．连接，，求出的面积，则可知的面积，即线段扫过的面积． 【详解】解：∵点，的坐标分别为，，平移后，的坐标分别是，，可知平移后对应点的横坐标增加了，纵坐标增加了，    ， ∴ 连接，，，则四边形是平行四边形， ， ∴， ， ． ∴线段在平移过程中扫过的图形面积为． 故答案为：． 33．如图，在四边形中，，对角线，．当（a为变量）时，．则四边形的面积等于（   ） A．12 B．24 C．30 D．48 【答案】B 【分析】本题考查平行四边形的判定和性质，勾股定理，三角形的面积，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造特殊四边形解决问题． 过点D作交的延长线于点T．根据梯形的面积的面积求解即可． 【详解】解：如图，过点D作交的延长线于点T． ∵，，即， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∴的面积的面积的面积， ∴梯形的面积的面积， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴梯形的面积的面积． 故选：B． 解答题 34．如图，在中，，点D在边BC所在的直线上，过点D作交AB于点E，交AC于点F． (1)当点D在边BC上时，如图①，求证：． (2)当点D在边BC的延长线上时，如图②；当点D在边BC的反向延长线上时，如图③．请分别写出图②、图③中DE，DF，AC之间的数量关系，不需要证明． (3)若，，求DF的长． 【答案】(1)见解析 (2)当点D在边BC的延长线上时，；当点D在边BC的反向延长线上时， (3)DF的长为2或10 【分析】（1）要证明，先利用两组对边分别平行判定四边形为平行四边形，得到；再结合等腰三角形的性质，推出，从而得到；最后通过线段和的关系，结合完成证明； （2）当点在延长线或反向延长线上时，仍先判定四边形为平行四边形，再结合等腰三角形性质证，通过线段的和差关系，分别推导的数量关系； （3）分三种位置情况，代入，结合（1）（2）的结论计算的长度． 【详解】（1）证明：∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴ ， ∴， ∵，且， ∴． （2）解：当在延长线上时：； 当在反向延长线上时：． （3）解：情况1：在上由（1）知， 代入，得， 解得； 情况2：在延长线上由（2）知， 代入得（无解，舍去）； 情况3：在反向延长线上由（2）知， 代入得， 解得：． 综上所述，的长为或． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质、等腰三角形的性质、分类讨论思想，掌握利用平行四边形和等腰三角形的性质推导线段关系，结合分类讨论解决多位置问题是解题的关键． 【题型8.平行四边形性质和判定的应用】 35．在平面直角坐标系中，互不重合的四个点，直线与x轴交于E点，直线与x轴交于F点，折线段E→D→F的长度记为，E→A→B→F的长度记为，E→A→C→B→F的长度记为，对于的大小关系，下列判断正确的是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的三边关系以及平行四边形的判定与性质，根据题意得出、四边形是平行四边形是解题关键． 【详解】解：由题意得： ∵ ∴ ∵； ∴且 ∴四边形是平行四边形 ∴ ∴ 故选：C 36．如图，，，，，则线段的长为 ．    【答案】 【分析】过点作，且，连接，，根据平行四边形的判定和性质可得，，根据平行线的性质可得，，根据等边三角形的判定和性质可得，，根据等角对等边可得，根据勾股定理求得，即可求解． 【详解】解：过点作，且，连接，，如图：    ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∵，，， ∴，， 又∵，， ∴，， ∵，， ∴三角形是等边三角形， ∴，， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，，即， ∴， 解得：， 即． 故答案为：． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质，平行线的性质，等边三角形的性质，等角对等边，勾股定理等，熟练掌握以上判定和性质是解题的关键． 37．如图，已知四边形中，，，，下列说法：①；②平分；③；④．其中正确的有（   ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④ 【答案】A 【分析】根据平行线性质求出，得出平行四边形，即可推出；根据平行线的性质，然后根据等腰三角形的性质得平分；由，四边形是平行四边形，可得，进而由等边对等角可得：，然后由，可得，然后由角的和差计算及等量代换可得：，然后根据外角的性质可得：，进而可得：；根据等底等高的三角形面积相等即可推出． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， 故①正确； ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴平分，故②正确； ∵，四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴，故④错误； ∵， ∴的边上的高和的边上的高相等， ∴由三角形面积公式得：， 都减去的面积得：，故③正确； 故选：A． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质和判定，平行线性质，等腰三角形的性质，三角形的面积的应用等． 38．如图，在平面直角坐标系中，对于点，给出如下定义：当点满足时，称点Q是点P的等积点．已知点．    （1）在，，中，点P的等积点是 ． （2）点Q是点P的等积点，点C在x正半轴上，以O，P，Q，C为顶点的四边形是平行四边形，则点C的坐标为 ． 【答案】 . 【分析】（1）根据定义通过计算可知，即可知道点P的等积点； （2）设，则，即，可知点Q在直线上，且，当点Q在x轴上方时，则；当点Q在x轴上方时，则，分别求出x的值再求出点C的坐标即可． 【详解】（1）解：根据题意得， 因为，所以不是点P的等积点， 因为，所以是点P的等积点， 因为，所以不是点P的等积点， 故答案为：； （2）解：如图1所示：    设，则，即， 可知点Q在直线上，且， 作轴于点D，轴于点F，则，， ∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∵，， ∴， ∴，， 若点Q在x轴上方，则，即， 所以； 当点Q在x轴上方时，则，即， 所以； 因为点C在x正半轴上， 所以点C的坐标为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了图形与坐标、一次函数的图象与性质、平行四边形的判定、全等三角形的判定与性质、新定义问题的求解、数形结合与分类讨论数学思想的运用等知识与方法． 39．如图，在平行四边形中，cm，cm，点在边上以的速度从点向点运动，点在边上，以的速度从点出发，在上运动到点后返回点，其中一点到达终点时，两点同时停止运动，在运动过程中，当以，，，四点为顶点的四边形为平行四边形时，点运动的时间为（   ） A．2s B．s C．4s D．5s 【答案】B 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，进行分类讨论是解题的关键． 根据平行四边形的性质得出，分情况讨论，再列出方程，求出方程的解即可． 【详解】解：设经过t秒，以点，，，为顶点组成平行四边形， ∵在边上运动， ∴， ∵以点，，，为顶点组成平行四边形， ∴， 分以下情况：①点Q的运动路线是 由题意得：， 解得：，不符合题意． ②点Q的运动路线是 由题意得：， 解得：；符合题意． 点Q的运动路线是 由题意得：， 解得：；不合题意． 点Q的运动路线是 由题意得：， 解得：，不合题意． 故选：B． 解答题 40．如图，在平行四边形中，，，点在边上以每秒的速度从点向点运动，点在边上以每秒的速度从点出发，在间往返运动，两个点同时出发，当点到达点时停止运动，同时点也停止运动．设运动时间为秒，开始运动以后，当为何值时，以，，，为顶点的四边形是平行四边形？ 【答案】 【分析】此题考查了平行四边形的判定和性质，注意能求出符合条件的所有情况是解此题的关键，注意掌握分类讨论思想的应用．设经过秒，根据平行四边形的判定可得当时，以点，，，为顶点组成平行四边形，然后分情况讨论，再列出方程，求出方程的解即可． 【详解】解：∵平行四边形是平行四边形， ∴，， ∵要使以点，，，为顶点组成平行四边形， ∴只需， ∵点从点到点需要，点从到需要， 分为以下情况： 当时，即点的运动路线在时， 由题意，得：， 解得：，此时不符合题意； ②当时，点的运动路线在时， 由题意，得：， 解得：； ③当时，点的运动路线在时， 由题意，得：， 解得：，此时不符合题意； 综上所述，． 41．如图，在中，对角线相交于点，，，．点从点出发沿方向以的速度匀速运动，到点时停止运动，连接并延长交于点．设运动时间为． (1)当为何值时，四边形是平行四边形？并说明理由； (2)当时，求四边形的面积． 【答案】(1)，理由见解析； (2)． 【分析】当运动的时间为时，，，因为四边形是平行四边形，所以，当时，四边形是平行四边形，可得关于的方程，解方程求出的值； 过点作于点，过点作于点，利用三角形的面积公式求出的长度，从而可求的面积，根据三角形中位线的性质可求出的长度，从而可求的面积，用的面积减去的面积即可得到四边形的面积． 【详解】（1）解：当时，四边形是平行四边形， 理由如下： 四边形是平行四边形， ，，， ， 在和中，， ， ． ， ． ， ，即时， 四边形是平行四边形， 解得：； （2）解：如图所示，过点作于点，过点作于点， ，，， 在中，由勾股定理，得， 由三角形的面积公式，得， ， ， ， ， ， ， ， 当时，， ， ． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定和性质、动点问题、勾股定理、全等三角形的判定与性质．本题的综合性较强，解决本题的关键是根据平行四边形的判定定理确定边之间需要满足的条件，根据条件列方程． 【题型9.求三点构平行四边形的点数】 42．在下面的网格图中有三个点，其中点和点在网格线的交点处，点在网格线上．请在本网格图中找出点，使得以为顶点的四边形是平行四边形，符合要求的点有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】本题考查了平行四边形的判定，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形解答即可求解，掌握平行四边形的判定是解题的关键． 【详解】解：当为平行四边形的对角线时，点的位置如图所示： 当为平行四边形的对角线时，点的位置如图所示： ∴符合要求的点有个， 故选：． 43．以点O、A、B、C为顶点的平行四边形放置在平面直角坐标系中，其中点O为坐标原点．若点C的坐标是，点A的坐标是，则点B的坐标是（    ） A．或 B．或 C．或或 D．或或 【答案】D 【分析】先根据题意画出图形，然后分为边和对角线两种情况，分别根据平行四边形的判定和平移的性质即可解答． 【详解】解：如图：当为对角线时，点的坐标为，即； 当为边时，点的坐标为，即；点的坐标为，即． 故选D． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定、平移的性质等知识点，掌握分类讨论思想是解答本题的关键． 44．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，点A、B、C在网格中的位置如图所示，建立适当的平面直角坐标系，使点A、B、C的坐标分别为、、，在平面直角坐标系中找一点D，使以A、B、C、D四点为顶点的四边形是平行四边形，请写出所有符合条件的点D的坐标： ． 【答案】或或 【分析】此题主要考查平行四边形的判定，分三种情形，可以以、或为一条对角线，画出平行四边形即可. 【详解】解：根据题意得，建立如图直角坐标系． 当，时，； 当，时，； 当，时，． 故答案为：或或． 45．中，点、、的坐标分别为、、，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】过作，过作，可求直线解析式为及直线解析式为，由，即可求解． 【详解】解：如图，过作，过作，    设直线解析式为，则有 ， 解得：， 直线解析式为， 可设直线解析式为， 经过点， ， 解得：， 直线解析式为， ， ， 解得：， ． 故答案：． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定方法，待定系数法求一次函数解析式，两直线平行时解析式中相等，掌握解法是解题的关键． 【题型10.全等三角形拼平行四边形问题】 46．用两块全等的含角的三角尺拼成平行四边形，可拼成的不同的平行四边形有（   ）． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的判定是解题的关键．以三角尺的三边为对角线，分别拼成不同的平行四边形，即可得出结论． 【详解】解：如图所示， 用两块全等的含角的三角尺拼成平行四边形，可拼成的不同的平行四边形有3个． 故选：C． 47．用两块相同的三角板能拼出多少个形状不同的平行四边形（    ） A．3个 B．4个 C．3或4个 D．2或3个 【答案】D 【分析】根据三角板不同形状分类讨论，分别以三组对应边为对角线拼成平行四边形，判断平行四边形数量． 【详解】解：三边互不相等三角板，如图，分别以三组对应边为对角线，可以拼成三个形状不同的平行四边形；   . 两直角边相等的三角板，如图中，平行四边形，形状一样，故分别以三组对应边为对角线，可以拼成两个不同形状的平行四边形；    故选：D． 【点睛】本题考查全等三角形的性质，平行四边形的判定，注意根据三角板的不同形状分情况讨论是解题的关键． 48．如图，由六个全等的正三角形拼成的图中，平行四边形的个数为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【分析】本题主要考查了正多边形的判定，以及平行四边形的判定，由是由六个全等的正三角形拼成的，可得出是正六边形，进而可得出，则四边形是平行四边形，同理可得出四边形，四边形，四边形，四边形，四边形都是平行四边形． 【详解】解：∵是由六个全等的正三角形拼成的， ∴是正六边形， ∴，，是正六边形的对角线， 可得， ∴四边形是平行四边形， 同理：四边形，四边形，四边形，四边形，四边形都是平行四边形，共6个， 故选C． 49如图，在中，对角线，，垂足为，且，，则与之间的距离为 ． 【答案】． 【分析】设与之间的距离为，由条件可知的面积是的面积的2倍，可求得的面积，，因此可求得的长． 【详解】解：∵四边形为平行四边形， ∴，， ， ∴， ∵，，， ∴， ∴， 设与之间的距离为， ∵， ∴， ∴， 解得， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查平行四边形的性质，由已知条件得到四边形ABCD的面积是△ABC的面积的2倍是解题的关键（本题也可以采用等底等高的三角形的面积是平行四边形面积的一半来求解）． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题8.1平行四边形题型突破讲义 学习重点（必掌握！） 1.定义核心：两组对边分别平行的四边形 = 平行四边形（记作□ABCD） 2.性质大招：对边平行且相等；对角相等、邻角互补 3.对称特点：中心对称图形，对角线交点是对称中心 4.基础应用：用性质算边长、角度、周长 学习难点（啃下它！） 1.辅助线秘诀：连对角线，把平行四边形转成全等三角形 2.综合运用：结合平行线、三角形知识解题 3.易混区分：平行四边形（两组对边平行）≠ 梯形（一组对边平行） ❌ 易错提醒（别踩坑！） ❶ 一组对边平行的四边形不是平行四边形（是梯形！） ❷ 算周长别漏乘 2 → 周长 = 2×（邻边之和） ❸ 写证明必须带前提 “四边形是平行四边形” 记忆口诀：平行四边形，对边平行又相等；对角相等邻角补，中心对称记清楚！ 基础 过关题 1.利用平行四边形的性质求解 2.利用平行四边形的性质证明 3.证明四边形是平行四边形 4.添一个条件成为平行四边形 能力 提升题 5.平行四边形性质的其他应用 6.判断能否构成平行四边形 7.由平行四边形的判定与性质求解 8.平行四边形性质和判定的应用 拓展 拔高题 9.求三点构成平行四边形的点数 10.全等三角形拼平行四边形问题 【题型1.利用平行四边形的性质求解】 1．如图，平行四边形，根据图中尺规作图的痕迹，判断下列结论中不一定成立的是（   ） A． B． C． D． 2．如图，平行四边形中，对角线、相交于，过点作交于点，若，，，则的长为（   ）    A． B． C． D． 3．如图，在▱中，，，、的平分线分别交于、，则的长为 ． 4．如图，在中，连接，将绕点顺时针旋转一定角度，得到，点分别旋转到了点．已知点在边上，，，则的长为 ． 【题型2.利用平行四边形的性质证明】 5．如图，在平行四边形中，．按下列步骤作图：①以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点E，F；②分别以点E，F为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点；③连接并延长交于点．则的长是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 6．如图，中，对角线、相交于，、是对角线上两点，要使，还需添加一个条件 （写出一个即可） 7．如图，在平行四边形中，，作于点，点是的中点，连接，，关于下列四个结论：；；； 则所有正确结论的序号是 ． 8．在平行四边形中，的平分线交直线于点E，的平分线交直线于点F，，，则线段的长为 ． 9．如图，平行四边形的对角线，相交于点，平分，分别交，于点，，连接，，，则下列结论：①；②；③；④．正确的个数有（）． A．1 B．2 C．3 D．4 【题型3.证明四边形是平行四边形】 10．已知一个四边形的四边长顺次为a，b，c，d，且满足，则此四边形是（    ） A．长方形 B．等腰梯形 C．正方形 D．平行四边形 11．如图，取两根长度不等的细木棒，将它们的中点重合固定（记为点）．转动木棒，在由锐角变成钝角的过程中，分析以木棒四个端点为顶点的四边形，下列结论不一定成立的是（   ） A． B． C． D． 12．在中，点D，E分别是上的点，且，点F是延长线上一点，连接．添加下列条件：①；②；③；④．能使四边形是平行四边形的是 （填上所有符合要求的条件的序号）． 13．在《圆锥曲线论》中有一个著名的“阿波罗尼奥斯定理”，这个定理可以表述为：平行四边形对角线的平方和等于各边的平方和． 如图，在中，，，，D是的中点，则的长为 ． 解答题 14．如图所示，在四边形中，于点E，于点F，，．求证： (1)； (2)四边形是平行四边形． 【题型4.添一条件成为平行四边形】 15．如图，四边形的对角线交于点，已知，添加下列其中一个条件，能判定四边形为平行四边形的是（ ） A． B． C． D． 16．如图，在中，对角线相交于点O，E，F是对角线上的两点．要添加一个条件使四边形是平行四边形，不能添加（    ） A． B． C． D． 17．如图，在四边形中，，，．动点从点出发，以的速度向点运动．同时，动点从点出发，以的速度向点运动．规定其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．从运动开始，当运动时间 时，四边形为平行四边形． 18．如图，平行四边形中，E，F是对角线上的两点，有如下四个条件：①；②；③；④，如果从中选择一个作为添加条件，使四边形是平行四边形，那么这个添加的条件可以是 （填写序号）． 【题型5.平行四边形性质的其他应用】 19．为更好地开展劳动教育课程，学校计划将一块空地（如图）修建一条笔直的小路（小路宽度忽略不计）．有两个要求：经过边上一点；分成面积相等的两部分．则小路除了经过点外，还经过（   ） A．点 B．的中点 C．的中点 D．边上的点，且 20．在平行四边形中，若一个角为其邻角的2倍，则这个平行四边形中两邻角的度数分别是 ． 21．如图，四边形ABCD是平行四边形，O是两条对角线的交点，过O点的三条直线将四边形ABCD分成阴影和空白部分，若阴影部分的面积8cm2，则四边形ABCD的面积为 cm2． 22．如图，中，对角线、相交于，、是对角线上两点，要使，还需添加一个条件 （写出一个即可） 23．如图，在中，、分别是、边上的点，与交于点，与交于点，若，，则图中阴影部分的面积为 ． 【题型6.判断能否构成平行四边形】 24．根据下列四边形中所标的数据，一定能判定为平行四边形的是（   ） A． B． C． D． 25．能判定四边形为平行四边形的条件是（    ） A．， B．， C．， D．， 26．如图所示的是某小区门口汽车出入道闸示意图．四边形ABCD在长方形道闸（）打开的过程中，边AB固定，连杆AD，BC分别绕点A，B转动，且边DC始终与边AB平行，则在转动的过程中，AD与BC的关系为 ． 27．如图，直线，，．若的面积是，则四边形的面积为 ． 【题型7.由平行四边形的判定与性质求解】 28．在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，且，．若，则的度数为 ． 29．如图，在中，，将沿向右平移得到，若四边形的面积等于8，则平移的距离等于 ． 30．如图，点在的对角线上，过点作，．已知，，，则四边形的面积是（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 31．如图，已知的面积为，点在线段上，点在线段的延长线上，且，四边形是平行四边形，与交于点，则图中阴影部分的面积为（      ）． A． B． C． D． 32．如图，点，的坐标分别为，，将线段平移到，点，的坐标分别为，，则线段在平移过程中扫过的面积为 ． 33．如图，在四边形中，，对角线，．当（a为变量）时，．则四边形的面积等于（   ） A．12 B．24 C．30 D．48 解答题 34．如图，在中，，点D在边BC所在的直线上，过点D作交AB于点E，交AC于点F． (1)当点D在边BC上时，如图①，求证：． (2)当点D在边BC的延长线上时，如图②；当点D在边BC的反向延长线上时，如图③．请分别写出图②、图③中DE，DF，AC之间的数量关系，不需要证明． (3)若，，求DF的长． 【题型8.平行四边形性质和判定的应用】 35．在平面直角坐标系中，互不重合的四个点，直线与x轴交于E点，直线与x轴交于F点，折线段E→D→F的长度记为，E→A→B→F的长度记为，E→A→C→B→F的长度记为，对于的大小关系，下列判断正确的是（  ） A． B． C． D． 36．如图，，，，，则线段的长为 ．    37．如图，已知四边形中，，，，下列说法：①；②平分；③；④．其中正确的有（   ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④ 38．如图，在平面直角坐标系中，对于点，给出如下定义：当点满足时，称点Q是点P的等积点．已知点．    （1）在，，中，点P的等积点是 ． （2）点Q是点P的等积点，点C在x正半轴上，以O，P，Q，C为顶点的四边形是平行四边形，则点C的坐标为 ． 39．如图，在平行四边形中，cm，cm，点在边上以的速度从点向点运动，点在边上，以的速度从点出发，在上运动到点后返回点，其中一点到达终点时，两点同时停止运动，在运动过程中，当以，，，四点为顶点的四边形为平行四边形时，点运动的时间为（   ） A．2s B．s C．4s D．5s 解答题 40．如图，在平行四边形中，，，点在边上以每秒的速度从点向点运动，点在边上以每秒的速度从点出发，在间往返运动，两个点同时出发，当点到达点时停止运动，同时点也停止运动．设运动时间为秒，开始运动以后，当为何值时，以，，，为顶点的四边形是平行四边形？ 41．如图，在中，对角线相交于点，，，．点从点出发沿方向以的速度匀速运动，到点时停止运动，连接并延长交于点．设运动时间为． (1)当为何值时，四边形是平行四边形？并说明理由； (2)当时，求四边形的面积． 【题型9.求三点构平行四边形的点数】 42．在下面的网格图中有三个点，其中点和点在网格线的交点处，点在网格线上．请在本网格图中找出点，使得以为顶点的四边形是平行四边形，符合要求的点有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 43．以点O、A、B、C为顶点的平行四边形放置在平面直角坐标系中，其中点O为坐标原点．若点C的坐标是，点A的坐标是，则点B的坐标是（    ） A．或 B．或 C．或或 D．或或 44．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，点A、B、C在网格中的位置如图所示，建立适当的平面直角坐标系，使点A、B、C的坐标分别为、、，在平面直角坐标系中找一点D，使以A、B、C、D四点为顶点的四边形是平行四边形，请写出所有符合条件的点D的坐标： ． 45．中，点、、的坐标分别为、、，则点的坐标为 ． 【题型10.全等三角形拼平行四边形问题】 46．用两块全等的含角的三角尺拼成平行四边形，可拼成的不同的平行四边形有（   ）． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 47．用两块相同的三角板能拼出多少个形状不同的平行四边形（    ） A．3个 B．4个 C．3或4个 D．2或3个 48．如图，由六个全等的正三角形拼成的图中，平行四边形的个数为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 49如图，在中，对角线，，垂足为，且，，则与之间的距离为 ． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $