专题2.2 一元二次方程及其应用（举一反三专项训练）-【上好课】2026年中考数学一轮复习举一反三系列（全国版）

专题2.2 一元二次方程及其应用（举一反三专项训练） 【全国通用】 目录 第一部分 题型专练 【考点一 一元二次方程的定义及其解】 2 【题型1 一元二次方程的概念】 2 【题型2 一元二次方程一般式】 3 【题型3 由一元二次方程解的求值】 5 【题型4 一元二次方程解的估算】 7 【考点二 解一元二次方程】 9 【题型5 一元二次方程的一般解法】 9 【题型6 配方法的应用】 11 【题型7 换元法求一元二次方程】 15 【考点三 一元二次方程的根的判别式】 18 【题型8 利用根的判别式判断方程根的情况】 18 【题型9 由方程根的情况求参数的取值范围】 21 【考点四 一元二次方程的根与系数的关系】 24 【题型10 利用根与系数的关系求代数式的值】 24 【题型11 利用根与系数的关系构造方程】 26 【考点五 一元二次方程的应用】 29 【题型12 根据实际问题抽象出一元二次方程】 29 【题型13 一元二次方程的应用】 31 第二部分 分层突破 A组 基础跟踪练 B组 培优提升练 【考点一 一元二次方程的定义及其解】 【题型1 一元二次方程的概念】 1．（2025·四川雅安·一模）下列方程是一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义，解决此题的关键是掌握一元二次方程的定义． 根据一元二次方程的定义（只含一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式方程）判断各选项即可． 【详解】解：A：当时，方程变为，不是二次方程，不符合题意； B：方程中含有分式，不是整式方程，不符合题意； C：方程中含有两个未知数x和y，不是一元方程，不符合题意； D：方程只含未知数x，且最高次数为2，是整式方程，符合题意． 故选：D． 2．（2025·四川广元·一模）关于x的方程是一元二次方程，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义，熟练掌握定义是解题的关键． 根据一元二次方程的定义，未知数的最高次数为2且二次项系数不为0，列出条件求解． 【详解】解：由题意，得且， 解得或， 当时，，不符合题意； 当时，，符合题意． 故答案为：． 3．（2025·四川广元·中考真题）若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程的定义，根据判别式可得，根据一元二次方程的定义可得，据此求解即可． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个相等的实数根， ∴， ∴， 故答案为：． 4．（2025·北京·模拟预测）若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的值可以是（   ） A．0 B．1 C． D．3 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程根的情况，熟练掌握根的判别式是解题的关键． 根据一元二次方程有两个不相等的实数根，可得，求出，然后由得到，进而求解即可． 【详解】解：根据题意，得， 解得， ∵， ∴， ∴m的值可以是0． 故选：A． 【题型2 一元二次方程一般式】 5．（2025·贵州毕节·模拟预测）一元二次方程的常数项是（   ） A．2 B． C． D．1 【答案】C 【分析】本题考查一元二次方程的一般式．按照定义即可找到常数项． 【详解】解：已知一元二次方程，则其常数项为． 故选：C． 6．方程化为一般形式后，a，b，c的值为（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的一般式，解题的关键是熟记一元二次方程一般式的概念．将化为一般形式即可求解． 【详解】解：将化为一般形式为：， 由此可知：，，． 故选：C． 7．（2025·云南昆明·模拟预测）将关于的方程化为一般形式后，其二次项系数、一次项系数和常数项分别是（    ） A．2，2，5 B．2，，5 C．2，2， D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，一元二次方程的一般形式是：（是常数，且）． 先将一元二次方程化为一般形式，即可得到答案． 【详解】解：∵原方程为 ， 展开得 ， ∴ ， 移项得 ， ∴ 一般形式为 ， ∴ 二次项系数为 2，一次项系数为 ，常数项为 ， 故选：D 8．（2025·河北·模拟预测）方程的一般形式是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查一元二次方程的定义，熟记一元二次方程的一般式定义是解决问题的关键． 先去括号，再合并同类项，最后按照一元二次方程的一般式形式化简即可得到答案． 【详解】解：， ， 则， 即， 故选：B． 【题型3 由一元二次方程解的求值】 9．（2025·贵州铜仁·模拟预测）若0是关于的一元二次方程的一根，则值为（   ） A．1 B．0 C．1或0 D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解的定义，解一元二次方程，一元二次方程的定义，一元二次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值，据此把代入原方程中求出的值，再根据二次项系数不为0列式求解即可． 【详解】解：∵0是关于的一元二次方程的一根， ∴， 解得或， 又∵， ∴， ∴， 故选：B． 10．（2025·江西新余·模拟预测）如果2是方程的一个根，那么c的值是（   ） A．3 B．2 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一元二次方程的根的定义．解题运用“代入求值”思想，将方程的根代入方程转化为关于c的一元一次方程求解．解题关键是准确代入根并正确运算，易错点为代入或后续计算时出错． 根据方程根的定义，把代入方程，得到，然后通过移项、计算，求出c的值． 【详解】解：由题意，将代入方程，得： 解得． 故选：A． 11．（2025·江苏苏州·模拟预测）若是方程的根，则代数式的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查代数式求值，涉及方程根的定义、整体代入法求代数式值、分式的混合运算等知识，根据题中所给代数式的结构特征，结合已知条件，恒等变形代值求解即可得到答案，熟练掌握分式混合运算法则化简求值是解决问题的关键． 【详解】解： 是方程的根， ，即， ， 故答案为：． 12．（2025·广东佛山·二模）关于x的一元二次方程的一个根为，设，则M与方程根的判别式△之间的数量关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了根的判别式以及一元二次方程的根、完全平方公式．根据题意可以先对M化简，从而可以得到M和的关系，本题得以解决． 【详解】解：∵是关于的一元二次方程的一个根， ∴，， ∴， ∴ ， 故选：A． 【题型4 一元二次方程解的估算】 13．（2025·宁夏吴忠·二模）观察下列表格，可知一元二次方程：的一个近似解是（   ） 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 0.11 0.24 0.39 0.56 0.75 0.96 1.19 1.44 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的近似解，根据表格中的数据可知 当时，，所以方程的一个近似解是． 【详解】解： ， 由表中数据可知：当时，， 一元二次方程的解是． 故选：C． 14．（2025·贵州六盘水·模拟预测）观察下列表格，一元二次方程的一个解x所在的范围是（    ） x 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 0.19 0.44 0.71 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查估算一元二次方程的解，根据图表，找到相邻两个的值，使的值为一正一负，即可得出结果． 【详解】解：由表格可知，当时，，当时，， ∴当时，存在一个的值，使， ∴一元二次方程的一个解x所在的范围是； 故选B． 15．（2025·山东青岛·模拟预测）由下表估算一元二次方程的一个根的范围 ． 1.0 1.1 1.2 1.3 1.4 13 14.41 15.84 17.29 18.76 【答案】 【分析】本题考查估算一元二次方程的近似解，观察表格中的数据确定16所在范围是解题的关键． 观察表格的值，确定与16最接近时x的范围即可求解． 【详解】解：∵， ∴一元二次方程的一个根的范围为， 故答案为：． 16．（2025·江苏扬州·模拟预测）根据关于x的一元二次方程x2+px+q=0，可列表如下：则方程x2+px+q=0的正数解满足（　　） x 0 0.5 1 1.1 1.2 1.3 x2+px+q ﹣15 ﹣8.75 ﹣2 ﹣0.59 0.84 2.29 A．解的整数部分是0，十分位是5 B．解的整数部分是0，十分位是8 C．解的整数部分是1，十分位是1 D．解的整数部分是1，十分位是2 【答案】C 【分析】通过观察表格可得x2+px+q=0时，1.1＜x＜1.2，即可求解． 【详解】解：由表格可知， 当x=1.1时，x2+px+q＜0， 当x=1.2时，x2+px+q＞0， ∴x2+px+q=0时，1.1＜x＜1.2， ∴解的整数部分是1，十分位是1， 故选：C． 【点睛】本题考查一元二次方程的解，通过观察所给的信息，确定一元二次方程解的范围是解题的关键． 【考点二 解一元二次方程】 【题型5 一元二次方程的一般解法】 17．（2025·陕西渭南·一模）对于任意实数m、n，定义新运算，，例如：，则方程的根是（   ） A． B． C．， D．， 【答案】C 【分析】本题考查了新定义，以及解一元二次方程，根据新运算的定义，将方程转化为一元二次方程，然后求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴或， ∴或， 故方程根为． 故选：C． 18．（2025·辽宁抚顺·一模）解方程 (1)（配方法）； (2)（公式法） 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查一元二次方程的解法，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）将常数项移至等号的右边，然后配方解方程即可； （2）一元二次方程的求根公式为，代入计算即可． 【详解】（1）解： ， （2）解： ，，， ， ，． 19．（2025·广东广州·二模）已知多项式 (1)化简多项式； (2)若，求A的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了整式的混合运算-化简求值，解一元二次方程，准确熟练地进行计算是解题的关键 （1）利用完全平方公式，多项式乘多项式的法则进行计算，即可解答； （2）根据平方根的定义可得，然后代入（1）中的结论进行计算，即可解答． 【详解】（1）解： ； （2）， ， 20．（2025·湖北·模拟预测）代数基本定理是代数学中的一个核心定理，它指出：任何一个一元n次复系数多项式方程在复数域内都恰好有n个根（重根按重数计算）．对于给定的方程，这是一个3次方程，根据代数基本定理可知它在复数范围内有3个根．已知其中一个根为，请你运用代数基本定理所蕴含的数学思想，求出该方程剩下的两个实数根 和 ，并在解题过程中深入体会代数基本定理在求解多项式方程时所起到的重要作用． 【答案】 【分析】本题考查了代数基本定理解高次方程，解一元二次方程． 设另外两根是的根，由其中一个根为，则可化为，求出，，得到，求解即可． 【详解】设另外两根是的根， ∵已知其中一个根为， ∴可化为， 即， 计算得， 可得，， ∴， 解得，， 故答案为：，． 【题型6 配方法的应用】 21．（2025·江苏无锡·模拟预测）配方法是数学中重要的一种思想方法．它是指将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法．这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题．我们定义：一个整数能表示成（a、b是整数）的形式，则称这个数为“完美数”．例如，5是“完美数”．理由：因为，所以5是“完美数”． 【解决问题】（1）已知34是“完美数”，请将它写成（a、b是整数）的形式　　； （2）若可配方成（m、n为常数），则　　； 【探究问题】（1）已知，则　　； （2）已知（x、y是整数，k是常数），要使S为“完美数”，试求出符合条件的一个k值，并说明理由． 【拓展结论】已知实数x、y满足，求的最值． 【答案】解决问题：（1）；（2）；探究问题：（1）；（2）当时，为“完美数”，理由见解析；拓展结论：当时，最大，最大值为 【分析】本题主要考查了配方法的应用，非负数的性质，熟知完全平方公式是解题的关键． [解决问题]（1）把34分为两个整数的平方即可； （2）原式利用完全平方公式配方后，确定出与的值，即可求出的值； [探究问题]（1）已知等式利用完全平方公式配方后，根据非负数的性质求出与的值，即可求出的值； （2）根据为“完美数”，利用完全平方公式配方，确定出的值即可； [拓展结论]由已知等式表示出，代入中，配方后再利用非负数的性质求出最大值即可． 【详解】解：解决问题：（1）根据题意得：； 故答案为：； （2）根据题意得：， ，， ∴； 故答案为：； 探究问题：（1）∵， ∴， ∴， ，， ，， 解得：，， ∴； 故答案为：； （2）当时，为“完美数”，理由如下： ， ，是整数， ，也是整数， 是一个“完美数”； 拓展结论：， ，即， ， ， ∵， ∴， ∴ ∴当时，最大，最大值为． 22．一元二次方程配方为，则k的值是 ． 【答案】１ 【分析】将原方程变形成与相同的形式，即可求解． 【详解】解： ∴ 故答案为：1． 【点睛】本题主要考查解一元二次方程中的配方法，掌握配方法的解题步骤是解本题的关键． 23．（2024·内蒙古包头·模拟预测）若是方程的一个解，则代数式的最小值为 ． 【答案】36 【分析】该题主要考查了二元一次方程的解，完全平方公式等知识点，解题的关键是掌握以上知识点． 将代入求出，再代入化简即可得即可求解； 【详解】解：∵是方程的一个解， ∴， ∴， ∴ ， ∴代数式的最小值为36． 故答案为：36． 24．（2024·湖北襄阳·模拟预测）如图，平面直角坐标系中，已知点，，P 为y轴正半轴上一个动点，将线段 绕点P逆时针旋转，点A的对应点为Q，则线段的最小值是    【答案】 【分析】过点 Q 作轴于点C，轴于点 D，证明，可得，，设，可得，表示出，利用配方法求出的最小值即可． 【详解】解∶如图，过点 Q 作轴于点C，轴于点 D，    由旋转得：，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， 设，则， ∴， ∵， ∴， ∴当时，取最小值， ∴的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，旋转的性质，坐标与图形性质，勾股定理的应用，配方法的应用，作出合适的辅助线，设出点P坐标，能够表示出点Q的坐标是解题的关键． 【题型7 换元法求一元二次方程】 25．若关于x的方程的解是，，则关于y的方程的解是 ． 【答案】， 【分析】本题考查了一元二次方程的解，由关于x的一元二次方程的解是，，可得出关于的方程的解为或，解之即可得出结论． 【详解】解：∵关于x的方程的解是，， ∴关于的方程的解为或， 解得：或， ∴关于y的方程的解为，． 故答案为：，． 26．若，则 ． 【答案】6 【分析】本题考查了换元法解一元二次方程．解答该题时，注意中的t的取值范围：． 设．则原方程转化为关于t的一元二次方程，即；然后解关于t的方程即可． 【详解】解：设，则， ∴， 解得或（不合题意，舍去）； 故． 故答案为：6． 27．（2025·山东青岛·模拟预测）若实数满足方程，那么的值为（） A． B．5 C．或5 D．3或 【答案】B 【分析】此题考查了换元法解一元二次方程，一元二次方程的解，熟记解题步骤是解题的关键．设，则原方程转化为关于的新方程，通过解新方程来求的值，即的值． 【详解】解：设， 原方程变形为， 整理得：， 解得：， 当时，， 即， 此时； 当时，， 即， 此时； 此时方程无实数根； 故选：B． 28．（2024·江苏扬州·一模）阅读感悟： 已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍． 解：设所求方程的根为，则．所以． 把代入已知方程，得． 化简，得， 故所求方程为． 这种利用方程的代换求新方程的方法，我们称为“换元法”． 请用阅读材料提供的“换元法”求新方程（要求：把所求方程化为一般形式． 解决问题： (1)已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别比已知方程的根大1．则所求方程为：______； (2)方程 的两个根与方程______的两个根互为倒数． (3)已知关于的一元二次方程的两个实数根分别为1和，求关于的一元二次方程的两个实数根． 【答案】(1) (2) (3)2025和2022 【分析】本题考查了解一元二次方程，理解题意，熟练掌握换元法是解此题的关键． （1）仿照例子，写出已知方程和所求方程的根的关系，进行替换，化简可得所求方程； （2）仿照例子，写出已知方程和所求方程的根的关系，进行替换，化简可得所求方程； （3）由（2）可得：关于的一元二次方程的根与关于的一元二次方程的根互为倒数，可求出关于的一元二次方程的两个实数根，即可得解． 【详解】（1）解：设所求方程的根为，则， ， 把代入已知方程得：， 化简得：， 故答案为：； （2）解：设所求方程的根为，则， ， 把代入已知方程得：， 化简得：， 故答案为：； （3）解：， ， 由（2）可得：关于的一元二次方程的根与关于的一元二次方程的根互为倒数， ， 关于的一元二次方程的两个实数根分别为1和， 关于的一元二次方程的两个实数根分别为和， 或， 解得：或， 关于的一元二次方程的两个实数根分别为或． 【考点三 一元二次方程的根的判别式】 【题型8 利用根的判别式判断方程根的情况】 29．（2025·四川南充·一模）关于x的一元二次方程． (1)判断方程根的情况，并说明理由； (2)若方程有一个根不小于3，求k的取值范围． 【答案】(1)方程总有两个实数根，理由见解析 (2) 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式和性质．结合二次函数的单调性，求解参数的取值范围是解题关键 （1）计算判别式，据此判断方程实数根个数； （2）先求出方程的根，再结合“根不小于3”的条件，确定参数的范围． 【详解】（1）解： ， 方程总有两个实数根． （2）解： ， ，， 方程有一个根不小于3， ， ． 答：k的取值范围为． 30．（2025·吉林四平·三模）一元二次方程根的情况是 ． 【答案】有两个不相等的实数根 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，解题的关键是熟练掌握当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根．据此即可求解． 求出的值，再判断符号即可． 【详解】解：一元二次方程，， ∴ ， ∴方程有两个不相等的实数根， 故答案为：有两个不相等的实数根． 31．（2025·云南·模拟预测）体重为衡量个人健康的重要指标之一，表一为成年人利用身高（公尺）计算理想体重（公斤）的三种方式，由于这些计算方式没有考虑脂肪及肌肉重量占体重的比例，因此结果仅供参考．我们都可将个人的实际体重归类为表二的其中一种类别．身体质量指数即指数，是国际上常用的衡量人体胖瘦程度以及是否健康的一个指标，计算公式为：体重身高的平方（体重单位：千克；身高单位：米）．国家卫健委制定的中国标准如表二． 表一 女性理想体重 男性理想体重 算法① 身高身高 身高身高 算法② （身高） （身高） 算法③ （身高） （身高） 表二 实际体重 类别 指数范围 大于理想体重的 a肥胖 介于理想体重的 b过重 介于理想体重的 c正常 介于理想体重的 d过轻 小于理想体重的 e消瘦 以下为甲、乙两个关于成年女性理想体重的叙述：对于甲、乙两个叙述，下列判断何者正确？（ ） （甲）有的女性使用算法①与算法②算出的理想体重会相同 （乙）有的女性使用算法②与算法③算出的理想体重会相同 A．甲乙皆正确 B．甲乙皆错误 C．甲正确乙错误 D．甲错误乙正确 【答案】D 【分析】本题考查一元一次方程的应用，一元二次方程的应用以及根的判别式，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键，假设甲叙述正确，设女性的身高为公尺，根据题意得，再根据根的判别式即可判断，假设乙叙述正确，设女性的身高为公尺，根据题意得，解出的值，从而得到答案． 【详解】解：假设甲叙述正确，设女性的身高为公尺，根据题意得： ， 整理得：， ∴， ∴原方程没有实数根， ∴假设不成立，即甲叙述错误； 假设乙叙述正确，设女性的身高为公尺，根据题意得：， 解得：， ∴当女性的身高为1.5公尺时，使用算法②与算法③算出的理想体重会相同， ∴假设成立，即乙叙述正确； 故选：D． 32．（2025·上海静安·二模）同时抛掷红、绿两枚六面编号分别是1～6（整数）的质地均匀的正方体骰子，如果将红色骰子正面朝上的编号作为方程的一次项系数的值，绿色骰子正面朝上的编号作为常数项的值，那么得到的方程有两个相等的实数根的概率是 ． 【答案】 【分析】本题考查用列表法或画树状图法求概率以及一元二次方程的性质．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．根据题意列出表格，然后由表格即可求得所有等可能的结果和得到的方程有两个相等的实数根的结果数，再用概率公式可得答案． 【详解】解：列表得： 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 ∴共可以得到36个不同形式的一元二次方程，其中得到的方程有两个相等的实数根的有：共2种， ∴得到的方程有两个相等的实数根的概率为， 故答案为：． 【题型9 由方程根的情况求参数的取值范围】 33．（2025·天津东丽·模拟预测）（1）解一元二次方程：； （2）已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，． ①求k的取值范围； ②若，求k的值． 【答案】（1），；（2）①；② 【分析】本题考查了解一元二次方程，一元二次方程判别式的意义及根与系数的关系； （1）方程整理后，利用公式法求解即可； （2）①由关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，可知，据此进行计算即可；②利用根与系数的关系得出，求出k并舍去不合题意的值即可． 【详解】解：（1）移项整理得：， ， ∴， 解得：，； （2）①∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， 整理得：， 解得：； ②∵方程的两个根分别为，， ∴， ∴， 解得：或， 又∵， ∴． 34．（2025·四川广安·一模）若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值是（    ） A．2 B． C．4 D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式的意义．一元二次方程有两个相等的实数根时，判别式，由此建立方程求解的值． 【详解】解：∵方程有两个相等的实数根， ∴， 解得：． 故选：B． 35．（2025·贵州遵义·一模）新定义：，例如：． 已知关于x的方程有实数根，则k的取值范围为 ． 【答案】 【分析】根据新定义将方程转化为一元二次方程，利用判别式求参数范围即可． 本题考查了新定义，一元二次方程根的判别式，熟练掌握判别式是解题的关键． 【详解】解：由新定义得 ， 整理，得， 故． 由方程有实数根， 则判别式， 解得． 故答案为：． 36．（2024·上海·模拟预测）若是关于的方程的两实数根，，则之间距离的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程根和系数的关系，两点间距离公式，根的判别式，完全平方公式，二次函数的性质，利用根和系数的关系可得，，进而得到，再利用根的判别式可得，得到，最后利用二次函数的性质即可求解，掌握一元二次方程根和系数的关系及根的判别式是解题的关键． 【详解】解：∵是关于的方程的两实数根， ∴，， ∴ ∵， ∴， ∵， ∴当时，取最小值，最小值为， ∴的最小值为，即之间距离的最小值为， 故答案为：． 【考点四 一元二次方程的根与系数的关系】 【题型10 利用根与系数的关系求代数式的值】 37．（2025·上海杨浦·模拟预测）已知关于的方程的两个根分别为． (1)是这个方程的解吗？请说明理由； (2)与是正数还是负数？请说明理由． 【答案】(1)不是，理由见解析 (2)负数，理由见解析 【分析】本题考查了一元二次方程根的含义，根与系数的关系以及绝对值和算术平方根的非负性，解题的关键是理解方程根的含义以及一元二次方程根与系数的关系． （1）根据方程解的含义，将代入方程，验证是否成立即可； （2）根据根与系数的关系，得到，，判断它们的符号从而确定与的符号． 【详解】（1）解：不是，理由如下： 根据方根解的含义，将代入方程可得，， ∵，， ∴， 显然不成立， ∴不是这个方程的解； （2）解：与是负数，理由如下： 关于的方程的两个根分别为， 由根与系数的关系可得，，， ∵，， ∴，， ∴，， ∴与是负数． 38．（2025·四川宜宾·模拟预测）设，是方程的两个实数根，则的值为（   ） A．2019 B．2020 C．2021 D．2022 【答案】C 【分析】本题考查了根与系数的关系和一元二次方程的解，代数式求值，求出和是解此题的关键． 根据根与系数的关系和一元二次方程的解得出，，将变形后代入，即可求出答案． 【详解】解：∵a，b是方程的两个实数根， ∴， ∴． 故选：C． 39．（2025·四川绵阳·一模）关于x的方程有两个实数根，，满足，则m的值为（   ） A．5 B． C．5或 D．5或 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握公式是解题的关键．首先利用根与系数的关系，可得，从而得到异号，然后分两种情况讨论，结合根与系数的关系求解即可． 【详解】解：∵方程有两个实数根，， ∴， ∴异号， 当时， ∵ ， ∴，即， ∴，解得：， 此时原方程为， 解得：， 经验证， ，成立，故符合题意； 当时， ∵ ， ∴，即， ∴，解得：， 此时原方程为， 解得：， 经验证， ，成立，故符合题意． 综上所述，或． 故选：D 40．设是方程的两实数根，则 ． 【答案】 【分析】先将代入方程得到，推出，将其代入所求代数式中得 ，根据根与系数关系式求得，即可得到答案. 【详解】∵是方程的两实数根， ∴, ∴, ∴, ∴ , ∵是方程的两实数根， ∴, ∴2016， 故答案为：2016. 【点睛】此题考查等式的性质，方程的解，一元二次方程根与系数的关系式，根据原方程求出 是解此题的关键，将高次项降次也是此题解题入手之处. 【题型11 利用根与系数的关系构造方程】 41．（2025·四川宜宾·三模）已知，则 ． 【答案】7 【分析】本题考查一元二次方程的解，一元二次方程的根与系数的关系，由已知条件可得m和n是关于x的一元二次方程的两个根，再根据一元二次方程的根与系数的关系，可得，，代入求值即可． 【详解】解： ， m和n是关于x的一元二次方程的两个根， ，， ， 故答案为：7． 42．已知，，，，求的最小值是 ． 【答案】6 【分析】本题考查了根与系数的关系以及二次函数的最值，利用根与系数的关系找出是解题的关键．由题意可知m、n是关于x的方程的两个根，根据根与系数的关系可得出、，将其代入中即可求出结论． 【详解】∵，，且， ∴m、n是关于x的方程的两个根， ∴、， ∴ ∵， ∴当时，取最小值， ∴的最小值． 故答案为6． 43．已知互不相等的三个实数a、b、c满足，，求的值 ． 【答案】﹣2 【分析】将已知的两等式去分母得到关系式a2+3a+c=0和b2+3b+c=0，把a、b看成方程x2+3x+c=0的两根，由根与系数的关系得到a+b=﹣3，ab=c，所求式子变形后，把a+b=﹣3，ab=c代入，即可求出值． 【详解】由=﹣a﹣3得：a2+3a+c=0①； 由=﹣b﹣3得： b2+3b+c=0②； ∵a≠b，∴a、b可以看成方程x2+3x+c=0的两根，∴a+b=﹣3，ab=c； ∴+﹣=====﹣2． 故答案为﹣2． 【点睛】本题考查了根与系数的关系以及分式的加减运算，灵活变换已知等式是解答本题的关键． 44．如果a、b、c为互不相等的实数，且满足关系式与，那么a的取值范围是 ． 【答案】且 且且 【分析】 本题考查了整式的运算与一元二次方程的应用，解题关键是掌握运算公式，善于利用一元二次方程之中根与系数的关系解决数字之间的关系，本题根据a、b、c为互不相等的实数，先求出，再利用它们相等时分别求出a的值再舍去即可． 【详解】解： 即有 又 所以b,c可作为一元二次方程③的两个不相等实数根， 故 解得. 若当或时，那么a也是方程③的解， 即或 解得, 或 当时，由与，得与， ∴ 解得 (舍去)， 所以a的取值范围为且且且 故答案为:且 且且 【考点五 一元二次方程的应用】 【题型12 根据实际问题抽象出一元二次方程】 45．（2025·福建漳州·模拟预测）俗语有云：“一天不练手脚慢，两天不练丢一半，三天不练门外汉，四天不练瞪眼看．”其意思是知识和技艺在学习后，如果不及时复习，那么学习过的东西就会被遗忘．假设每天“遗忘”的百分比是一样的，根据“两天不练丢一半”，设每天“遗忘”的百分比为，则满足方程（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，读懂题意，根据题中的数量关系正确列出方程是解题的关键．设每天遗忘的百分比为x，根据“两天不练丢一半”列出方程解答即可． 【详解】解：设每天遗忘的百分比为x， 则根据题意可得：， 故选：D． 46．（2025·河北保定·模拟预测）两个连续偶数的积为48，设较大的偶数为x，则得到关于x的方程是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的运用，要注意两个连续的偶数相差2而不是1．两个连续的偶数相差2，设较大的偶数为x，则较小的数为，再根据两数的积为48即可得出答案． 【详解】解：设较大的偶数为x，则较小的数为， 根据题意得： 故答案为：． 47．（2024·青海西宁·中考真题）如图，小区物业规划在一个长，宽的矩形场地上，修建一个小型停车场，阴影部分为停车位所在区域，两侧是宽的道路，中间是宽的道路．如果阴影部分的总面积是，那么x满足的方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 根据矩形场地的长、宽及道路的宽度，可得出停车位（即阴影部分）可合成长为，宽为的矩形，结合阴影部分的总面积是，即可列出关于x的一元二次方程，此题得解． 【详解】解：∵矩形场地的长为长，宽，且所修建停车位的两侧是宽x m的道路，中间是宽的道路， ∴停车位（即阴影部分）可合成长为，宽为的矩形． 根据题意，得， 化简，得． 故选：A． 48．（2025·贵州·一模）我国古代数学著作《增删算法统宗》记载“圆中方形”问题：“今有圆田一段，中间有个方池，丈量田地待耕犁，恰好三分在记，池面至周有数，每边三步无疑．内方圆径若能知，堪作算中第一．”其大意为：有一块圆形的田，中间有一块正方形水池，测量出除水池外圆内可耕地的面积恰好72平方步，从水池边到圆周，每边相距3步远．如果你能求出正方形边长和圆的直径，那么你的计算水平就是第一了．如图，设正方形的边长是x步，则列出的方程是 ． 【答案】 【分析】本题考查了由实际问题列出一元二次方程、圆的面积公式，由题图易得，圆的直径为，则半径则为，圆的面积为，再根据题意列出一元二次方程即可，理解题意，找准等量关系是解此题的关键． 【详解】解：由题图易得，圆的直径为，则半径则为，圆的面积为， 可得方程， 故答案为：． 【题型13 一元二次方程的应用】 49．（2025·江苏南通·中考真题）综合与实践：学校数学兴趣小组围绕“校园花圃方案设计”开展主题学习活动，已知花圃一边靠墙（墙的长度不限），其余部分用总长为的栅栏围成，兴趣小组设计了以下两种方案： 方案一 方案二 如图1，围成一个面积为的矩形花圃． 如图2，围成矩形花圃，有栅栏（栅栏宽度忽略不计）将该花圃分隔为两个不同矩形区域，用来种植不同花卉，并在花圃两侧各留一个宽为的进出口（此处不用栅栏）． (1)求方案一中与墙垂直的边的长度； (2)要使方案二中花圃的面积最大，与墙平行的边的长度为多少米？ 【答案】(1)15米； (2)当与墙平行的边的长度为33米时，花圃的面积最大． 【分析】考查了一元二次方程的应用以及二次函数的实际应用，熟练掌握矩形的周长、面积公式，以及二次函数的性质（如顶点式求最值）是解题的关键． （1）设与墙垂直的边为，根据矩形周长（栅栏总长）表示出与墙平行的边，再结合面积公式列方程求解． （2）设与墙平行的边为，根据栅栏总长和出口情况表示出与墙垂直的边，从而得出面积函数，利用二次函数性质求最大值时的值． 【详解】（1）解：设与墙垂直的边的长度为，则与墙平行的边的长度为， 根据题意得， 解得 答：与墙垂直的边的长度为15米； （2）解：设与墙平行的长度为，花圃的面积为， 根据题意得 ∴ ∵， ∴当时，有最大值363， 答：当与墙平行的边的长度为33米时，花圃的面积最大． 50．（2024·福建龙岩·二模）运动创造美好生活！一天小美和小丽相约一起去沿河步道跑步．若两人同时从A地出发，匀速跑向距离9000米处的B地，小美的跑步速度是小丽跑步速度的1.2倍，那么小美比小丽早5分钟到达B地． (1)求小美每分钟跑多少米？ (2)若从A地到达B地后，小美以跑步形式继续前进到C地．从小美跑步开始，前20分钟内，平均每分钟消耗热量15卡，超过20分钟后，每多跑步1分钟，平均每分钟消耗的热量就增加1卡，在整个锻炼过程中，小美共消耗1650卡的热量，小美从A地到C地锻炼共用多少分钟． 【答案】(1)小美每分钟跑360米 (2)小美从A地到C地锻炼共用50分钟 【分析】本题考查了分式方程的应用和一元二次方程的应用，找出等量关系列方程是解题的关键． （1）设小丽每分钟跑x米，则小美每分钟跑米，根据“小红的跑步时间-小明的跑步时间=5”列分式方程求解即可； （2）设小美从A地到C地锻炼共用y分钟，根据“在整个锻炼过程中，小美共消耗1650卡的热量”列出关于y的一元二次方程，求解取其符合题意的值即可． 【详解】（1）解：设小丽每分钟跑x米，则小美每分钟跑米， 根据题意，得， 解得：， 经检验，既是所列分式方程的解，也符合题意， 则， 答：小美每分钟跑360米． （2）设小美从A地到C地锻炼共用y分钟， 根据题意，得， 解得：，（不符合题意，舍去）， 答：小美从A地到C地锻炼共用50分钟． 51．（2025·山东临沂·一模）在我国，端午节作为传统佳节，历来有吃粽子的习俗．某食品加工厂拥有，两条不同的粽子生产线，生产线每小时加工粽子个，生产线每小时加工粽子个． (1)若生产线，一共加工小时，且生产粽子总数量不少于个，则B生产线至少加工多少小时？ (2)原计划，生产线每天均工作小时．由于改进了生产工艺，在实际生产过程中，生产线每小时比原计划多生产个（），生产线每小时比原计划多生产个．若生产线每天比原计划少工作小时，生产线每天比原计划少工作小时，这样一天恰好生产粽子个，求的值． 【答案】(1)B生产线至少加工6小时 (2)a的值为2 【分析】本题主要考查了一元一次不等式的应用、一元二次方程的应用．解决本题的关键是根据题目中所给的数量关系列出不等式和方程求解． 设生产线加工小时，则生产线加工小时，根据生产线，一共加工小时，且生产粽子总数量不少于个，列不等式求解即可； 根据一天恰好生产了个粽子，可列关于的一元二次方程，解方程即可求出的值． 【详解】（1）解：设生产线加工小时，则生产线加工小时， 根据题意可得：，    解得： 答：生产线至少加工小时； （2）解：由题意可得：，     整理得：，    解得，（不符合题意，舍去），   答：的值为． 52．（2025·湖北武汉·模拟预测）【问题背景】（1）小明以“种植农作物”为主题在自己家100平方米的土地上进行课外实践活动，现有、两种农作物的相关信息如表： 作物 作物 每平方米种植株数（株） 单株产量（千克） （2）经调研发现：种植作物，每平方米每增加株，作物的单株产量就减少千克； （3）若同时种植、两种作物，实行分区域种植． 【问题解决】 (1)种植作物，设每平方米增加株（为正整数），用含的代数式表示： ①每平方米有________株；②单株产量为________千克． (2)要使作物每平方产量达到千克，则每平方米作物应种植多少株？ (3)设这平方米的土地中有平方米用来种植作物（），且要求每平方米种植作物产量达到最大，其余区域按每平方米种植株作物，当这平方米的总产量不低于千克时，求的取值范围． 【答案】(1)， (2)每平方米应种植株或株 (3) 【分析】本题考查二次函数，一元二次方程以及一元一次不等式的应用，关键是找到等量关系列出函数解析式和一元二次方程． （1）根据题意直接得出结论； （2）根据单株产量每平米的株数列出方程，解方程即可； （3）现根据种植作物每平米的产量单株产量每平米的株数列出函数解析式，根据函数的性质求出种植作物每平米的最高产量，再根据平米种植作物和作物的产量之和列出不等式，解不等式即可． 【详解】（1）解：设每平方米增加株作物（为正整数），则每平方米有株，单株产量为千克， 故答案为：，； （2）根据题意得：， 整理得：， 解得：， ∴或， 答：每平方米应种植株或株； （3）设种植作物每平方米的产量为千克， 根据题意得：， ∵， ∴当时，有最大值，最大值为， ∴种植作物每平方米最大产量为千克， 根据题意得：， 解得， 又∵ 则的取值范围是， 故答案为：． A组 基础跟踪练 一、单选题 1．（2025·四川广元·一模）根据实际问题中的相等关系，设未知数列出了下列方程，其中一元二次方程是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义， 一元二次方程需满足：只含一个未知数、未知数最高次数为2、且为整式方程，逐一分析各选项． 【详解】解：选项A：含两个未知数x和y，不符合题意； 选项B：仅未知数x，最高次数2，整式方程，符合题意； 选项C：含分式，非整式方程，不符合题意； 选项D：化简得，即，为一元一次方程，不符合题意． 故选：B． 2．（2025·河南濮阳·一模）一元二次方程的常数项是（   ） A． B．2 C． D．3 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的一般式．将方程化为标准形式，常数项为，据此进行分析，即可作答． 【详解】解：∵， ∴移项得， ∴常数项为， 故选：C． 3．若一元二次方程中的a，b，c满足，则方程必有根（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元二次方程的根的定义，熟练掌握能使方程左右两边同时成立的未知数的值是解题的关键．根据一元二次方程的根的定义，即可求解． 【详解】解：∵当方程可化为． ∴方程必有一根为． 故选：C． 4．（2025·新疆·模拟预测）如果关于x一元二次方程有两个不相等的实数根，那么实数m的取值范围为(   ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根，若，则方程有两个相等的实数根，若，则方程没有实数根，据此求解即可． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴ >， ∴， 故选：C． 5．（2025·四川广元·一模）若方程的两根为，，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，分式的化简求值． 先求出，，将通分计算即可． 【详解】解：∵方程的两根为，， ∴，， ∴． 故选：A． 二、填空题 6．（2025·江苏无锡·模拟预测）方程的根为 【答案】， 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握直接开平方法，因式分解法，配方法和公式法是解题的关键． 利用因式分解法求解即可． 【详解】解： 或， ∴，， 故答案为：，． 7．（2025·宁夏银川·三模）若是关于x的方程的解，则的值为 ． 【答案】2019 【分析】把代入方程求出，代入原式计算即可求出值． 此题考查了一元二次方程的解，解答本题的关键要明确：方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值． 【详解】解：把代入方程得：， 则原式， 故答案为： 8．（2025·湖南娄底·三模）定义：如果一元二次方程满足．那么我们称这个方程为“湘”方程．已知方程是“湘”方程．且有两个相等的实数根，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了新定义，解一元二次方程，根的判别式；由新定义得是的根，可得方程是“湘”方程，由根的判别式得，即可求解；理解新定义，能熟练解方程并能利用根的判别式求解是解题的关键． 【详解】解： ， ， 是的根， 方程是“湘”方程， ， ， ， 方程有两个相等的实数根， ， ， 解得：， ， ； 故答案为：． 9．（2025·安徽合肥·三模）设某矩形的长和宽分别等于方程的正实数根，若矩形的周长和面积相等，则p、q的关系为 ． 【答案】且 【分析】本题考查了根与系数的关系，设，是关于x的一元二次方程的两正实数根，利用根与系数的关系，可得出，,结合矩形的周长和面积相等，即可找出p、q的关系． 【详解】解：设，是关于x的一元二次方程的两正实数根， ∴，，且， ∵矩形的周长和面积相等， ∴， ∴， ∴且． 故答案为：且． 10．（2025·吉林辽源·三模）周瑜，东汉末年名将．建安十三年（公元208年），周瑜率江东孙氏集团军队与刘备军队联合，赤壁之战大败曹军，由此奠定了三分天下的基础．建安十五年（公元210年）病逝于巴丘（今湖南岳阳）．关于其去世的年龄可以表述如下：“周瑜早逝英年两位数．十位恰小个位三，个位平方与寿符，周瑜去世年龄为几何．”设周瑜去世年龄的十位数字为，则可列方程为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设周瑜去世年龄的十位数字为，依题意列出方程即可，掌握一元二次方程的应用是解题的关键． 【详解】解：设周瑜去世年龄的十位数字为，依题意可得： ， 故答案为：． 三、解答题 11．（2025·河南濮阳·一模）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)，； (2)，． 【分析】本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法． （1）先移项得，再根据直接开平方法即可求出答案； （2）先移项得，再根据配方法即可求出答案． 【详解】（1）解：， ， ， ∴，； （2）解：， ， ， ， ， ， ∴，． 12．（2025·青海西宁·二模）关于x的一元二次方程的一个整数解满足． (1)求m的值； (2)求的另一个解． 【答案】(1) (2)2 【分析】本题考查了一元二次方程的解，以及解一元二次方程，解不等式组，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先根据不等式组的整数解得，再把代入方程，求出，即可作答． （2）将代入，则，化简得，即可作答． 【详解】（1）解：依题意满足的整数是， 将代入方程， 得， ∴ 解得； （2）解：将代入， 得方程为， 则， ∴， 故， ∴； ∴方程的另一个解为2． 13．（2025·山东临沂·模拟预测）已知关于的一元二次方程． (1)求证：无论为何值时，方程总有两个不相等实数根； (2)若方程的两个根为，，且满足，求的值． 【答案】(1)详见解析 (2)或1 【分析】本题考查了一元二次方程的判别式与根与系数的关系． （1）计算判别式的值，再利用配方法得到，然后根据判别式的意义得到结论； （2）根据根与系数的关系得到，，而，然后解关于的方程即可． 【详解】（1）证明：， ，， ， ， ， ， ， ， ， 无论为何值时，方程总有两个不相等实数根． （2）由，得， ， ， ， ， 解得：  ， 或1． 14．（2025·陕西咸阳·模拟预测）在2025年跳水世界杯女子十米台单人赛中，中国队包揽冠亚军．某商场为宣传体育精神，计划在如图所示的长，宽的矩形海报上分别展示全红婵和陈芋汐两位运动健儿的照片，每幅小矩形照片（铺灰部分）的面积均为，若海报外沿与照片之间及相邻照片之间的空白区域的宽度均相等，求空白区域的宽度． 【答案】空白区域的宽度为． 【分析】本题主要考查一元二次方程的应用．设空白区域的宽度为，然后根据矩形面积可列出方程进行求解． 【详解】解：设空白区域的宽度为，由题意得： 解得：，（不符合题意，舍去）， 答：空白区域的宽度为． 15．（2025·广东汕头·一模）为实施乡村振兴战略，某地大力推行果树种植直销一体化发展模式某果农种植了一批樱桃和枇杷，并直播带货进行销售，已知该果农第一季度樱桃销售量为千克，销售均价为元千克，枇杷的销售量为千克，销售均价为元千克；第二季度樱桃的销售量比第一季度减少了，销售均价与第一季度相同，枇杷的销售量比第一季度增加了，但销售均价比第一季度减少了若该果农第一季度销售樱桃和枇杷的销售总金额与第二季度销售樱桃和枇杷的销售总金额相同，求的值． 【答案】12.5 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，根据该果农第一季度销售樱桃和枇杷的销售总金额与第二季度销售樱桃和枇杷的销售总金额相同为等量关系列出关于的一元二次方程，再设，将方程换成关于x的一元二次方程求解即可得出答案． 【详解】解：由题意得：， 设， 则原方程可化为：， 整理得：， 解得：（不合题意，舍去， ， 即， 答：的值为 B组 培优提升练 一、单选题 1．（2025·新疆·一模）若关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围是（    ） A． B． C．且 D．且 【答案】D 【分析】本题考查一元二次方程的定义和根的判别式，根据方程有实数根需满足二次项系数不为零且判别式非负解答即可． 【详解】∵ 方程 是一元二次方程， ∴ ， ∵ 方程有实数根， ∴ 判别式， 解得， ∴ 且． 故选：D． 2．（2025·贵州贵阳·一模）根据表格中的信息，估计一元二次方程的一个解的范围是（    ） x 0 1 2 5 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查估算一元二次方程的近似值．由表格数据可知当时，的值大于0，当时，的值小于0，因此的一个解的取值范围是． 【详解】解：由表格数据可知当时，的值大于0， 当时，的值小于0， 因此的一个解的取值范围是． 故选：A． 3．（2025·河南平顶山·模拟预测）把多项式进行配方，结果为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查的是配方法的应用，依据题意，利用配方法把原式化为的形式即可判断得解．掌握完全平方公式是解题的关键． 【详解】解：由题意可得，． 故选：C． 4．（2025·四川雅安·一模）已知方程的解是，，则另一个方程的解是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】本题主要考查了换元法解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解是解题的关键． 通过变量代换，将新方程转化为已知方程的形式，利用已知解求解即可． 【详解】解：设，则新方程化为， ∵方程的解为，， ∴或， 解得或， ∴新方程的解为，． 故选：B． 5．（2025·四川绵阳·一模）若关于的方程的一根大于，另一根小于，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二次函数、一元二次方程综合，熟记二次函数图象与性质、一元二次方程根与系数的关系、一元二次方程根的情况与判别式关系是解决问题的关键． 令，根据二次函数图象与性质即可判断A选项正确；由一元二次方程根与系数的关系判断B、D错误；由一元二次方程根的情况与判别式的关系判断C错误，从而得到答案． 【详解】解：A、令， ∵二次项系数， 抛物线开口向下， 关于的方程的一根大于，另一根小于， ∴当时，，即， 选项结论正确，符合题意； B、设关于的方程的两个根为， 则， 关于的方程的一根大于，另一根小于， 若，则，即不一定为， 选项结论错误，不符合题意； C、关于的方程的一根大于，另一根小于， 一元二次方程有两个不相等的实数根，即， 选项结论错误，不符合题意； D、设关于的方程的两个根为， 则，即， 关于的方程的一根大于，另一根小于， 若，则，，即不一定小于， 选项结论错误，不符合题意； 故选：A． 二、填空题 6．（2025·福建南平·模拟预测）若是关于x的一元二次方程，则a的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义，含有一个未知数且最高次数为2的方程叫作一元二次方程． 根据一元二次方程的定义列式计算即可． 【详解】解：∵是关于x的一元二次方程， ∴且，解得：． 故答案为：． 7．（2025·内蒙古·二模）已知 是一元二次方程的两个根，且该方程的两根满足，则的值为 ，方程的两根为 ． 【答案】 ， 【分析】本题主要考查了一元二次方程的根与系数的关系，解分式方程，解一元二次方程等知识点，熟练掌握一元二次方程的根与系数的关系是解题的关键． 根据一元二次方程的根与系数的关系可得，，根据可得，解分式方程即可求出，然后将代入一元二次方程，解方程即可求出方程的两个根． 【详解】解：由题意可得：，， ∵， ∴， 解得：， 经检验，是原方程的解． ∴原方程， 解得：，， 故答案为：；，． 8．（2025·江西·模拟预测）已知关于x的一元二次方程 ，其中一根是另一根的2倍，则a的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的根与系数的关系，熟练掌握根与系数的关系是解题的关键． 【详解】解：设其中一根为，另一根为， 则， 解得， 故答案为：． 9．（2025·山东青岛·模拟预测）某公园举办美食节，利用一块矩形空地搭建美食摊位，布局如图所示．已知 ，阴影部分为美食摊位，需要铺上防污地毯，其余部分均为宽度为的道路．已知铺防污地毯的面积为，则道路的宽度为 ． 【答案】4 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程是解题关键． 根据道路的宽为米，根据题意得，然后解方程并检验即可 【详解】解：根据道路的宽为米， 根据题意得，， 整理得：， 解得：（舍去），， 则道路的宽为米， 故答案为：4． 10．（2025·广东揭阳·一模）已知和为方程的两个实数根，且，则实数n的最大值为 ． 【答案】 【分析】本题考查根与系数的关系，二次函数的最值问题，根据根解析式的关系可得，，进而结合已知条件，表示出的函数关系式，根据二次函数的性质，即可求解． 【详解】解：∵和为方程的两个实数根， ∴， ∵ ∴ ∵， ∴ ∵ ∴存在最大值，最大值为 故答案为：． 三、解答题 11．（2025·河北唐山·二模）课堂上老师设计了一种运算：．例如，． (1)已知x为非零实数，计算：； (2)将任意x的值代入进行运算，发现运算结果总是不超过12，请验证这个结论． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查的是新定义运算的含义，同底数幂的乘方运算，同底数幂的乘法运算，合并同类项，以及配方法的应用． （1）根据新定义运算代入计算即可． （2）根据新定义运算可得，再进一步结合配方法证明即可 【详解】（1）解：； （2）证明： ， ∵， ∴， ∴， 即无论x为何值，运算结果都不超过12． 12．（2025·河南郑州·一模）如果一元二次方程（）满足，那么我们称这个方程为“凤凰方程”． (1)判断一元二次方程是否为凤凰方程，说明理由． (2)已知是关于的凤凰方程，求的值． 【答案】(1)是凤凰方程，理由见解析 (2) 【分析】（）由方程得出的值，再根据凤凰方程的定义判断即可； （）由方程得出的值，再根据凤凰方程的定义得到关于的方程解答即可； 本题考查了一元二次方程的解，理解“凤凰方程”的定义是解题的关键． 【详解】（1）解：是凤凰方程，理由如下： 由方程可得，，，， ∴， ∴一元二次方程是凤凰方程； （2）解：由方程得，，，， ∵是关于的凤凰方程， ∴， ∴． 13．（2025·安徽淮南·模拟预测）园林部门计划在某公园建一个长方形苗圃．苗圃的一面靠墙（墙最大可用长度为14米），另三边用木栏围成，中间也用垂直于墙的木栏隔开，分成两个区域，并在如图所示的两处各留2米宽的门（门不用木栏），建成后所用木栏总长32米，设苗圃的一边长为米．    (1)长为________米（包含门宽，用含的代数式表示） (2)若苗圃的面积为，求的值； (3)苗圃的面积是否可以达到，请说明理由． 【答案】(1) (2)的值为8 (3)苗圃的面积不可以达到，理由见解析 【分析】本题主要考查一元二次方程的实际应用，列代数式，解题的关键在于读懂题意，根据已知列方程求解． （1）根据木栏总长32米，如图所示的两处各留2米宽的门求出长； （2）根据题意得即可得到答案； （3）列出面积表达式，将代入判断即可． 【详解】（1）解：依据题意，， 解得， 故答案为：； （2）解：根据题意得， 即， 化简得， 解得，， 当时，， （舍去）， ； （3）解：不可以达到．理由如下： 若可以达到，则， 化简得：， ，无解， ∴苗圃的面积不可以达到． 14．（2025·云南曲靖·二模）在代数中，一元二次方程的一般形式为，设该方程的两个根为，，则根与系数之间存在以下关系式（也称韦达定理）：， 这些关系在解决一元二次方程相关的问题时非常有用． 已知二次函数的图象过点，当时y随x的增大而增大，当时y随x的增大而减小．若实数m，n满足，． (1)求此二次函数的解析式（也称表达式）； (2)若，试判断T是否为定值，若为定值，请求出T的值；若不为定值，请说明理由． 【答案】(1) (2)T为定值2或 【分析】本题考查了二次函数解析式的求解以及代数式定值的判断．解题关键是利用二次函数对称轴性质和已知点坐标确定解析式，借助韦达定理分析根与系数关系并分情况化简代数式． （1）利用二次函数对称轴公式，结合已知对称轴及求出．将点代入含值的二次函数表达式求出，从而确定二次函数解析式． （2）先依据韦达定理明确、作为方程两根的关系，即与的值，以及、的值．分和两种情况，对的表达式化简计算，判断是否为定值并求值． 【详解】（1）解：∵当时y随x的增大而增大，当时y随x的增大而减小， ∴二次函数的对称轴为， ∵图象过点， ∴， 解得， ∴该二次函数的解析式为； （2）解：T为定值，理由如下： ∵实数，满足，，由（1）知，，即，是方程的两个根． ∴在方程中，，， ∴，． 同时，由可得；由可得． 当时 ． 当时 ∵；． ∴ ∵， 把，代入： 综上，为定值，的值为或． 15．（2025·湖北武汉·模拟预测）问题背景 教室改造采光窗户，如图（1），窗户上半部分是两个正方形组成的矩形，下半部分是两个长方形组成的矩形． 建立模型 如图（2），不考虑边框的宽度，将窗户抽象成几何图形，图中所有线段总长．设的长为， （1）直接用含的式子表示出矩形窗户和矩形窗户的透光面积； （2）当窗户的总面积为时，求的长； 方案解决 （3）窗户的面积越大，采光效果越好，基于美观的考虑，要求，请设计一个使采光效果最佳的方案，确定的长． 【答案】（1）；（2）；（3）见解析 【分析】本题主要涉及矩形的面积公式以及一元二次方程的应用、二次函数的应用．由图形找准数量关系正确列式计算是解题的关键． （1）根据矩形面积公式，用含x的式子表示出相关边长，进而得到面积表达式； （2）根据窗户总面积列出方程求解； （3）先根据条件得到面积关于x的函数，再结合的条件求函数的最大值以及对应的x值． 【详解】解：（1）观察图形可知，， 因为图中所有线段总长，其中横向的线段有3条长度为的，纵向的线段有3条长度为以及3条长度为的， 所以可列出，即， 那么． 矩形的面积． 矩形的面积； （2）由题意得：， 解方程，得． 当时，．不合题意，舍去． 当时，． （3）窗户采光面积． ， ， ． ，抛物线开口向下， 当时，随的增加而增加， 在的范围内，当时，即时，采光面积最大． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题2.2 一元二次方程及其应用（举一反三专项训练） 【全国通用】 目录 第一部分 题型专练 【考点一 一元二次方程的定义及其解】 2 【题型1 一元二次方程的概念】 2 【题型2 一元二次方程一般式】 2 【题型3 由一元二次方程解的求值】 2 【题型4 一元二次方程解的估算】 3 【考点二 解一元二次方程】 4 【题型5 一元二次方程的一般解法】 4 【题型6 配方法的应用】 4 【题型7 换元法求一元二次方程】 5 【考点三 一元二次方程的根的判别式】 6 【题型8 利用根的判别式判断方程根的情况】 6 【题型9 由方程根的情况求参数的取值范围】 7 【考点四 一元二次方程的根与系数的关系】 8 【题型10 利用根与系数的关系求代数式的值】 8 【题型11 利用根与系数的关系构造方程】 8 【考点五 一元二次方程的应用】 8 【题型12 根据实际问题抽象出一元二次方程】 8 【题型13 一元二次方程的应用】 9 第二部分 分层突破 A组 基础跟踪练 B组 培优提升练 【考点一 一元二次方程的定义及其解】 【题型1 一元二次方程的概念】 1．（2025·四川雅安·一模）下列方程是一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 2．（2025·四川广元·一模）关于x的方程是一元二次方程，则 ． 3．（2025·四川广元·中考真题）若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则 ． 4．（2025·北京·模拟预测）若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的值可以是（   ） A．0 B．1 C． D．3 【题型2 一元二次方程一般式】 5．（2025·贵州毕节·模拟预测）一元二次方程的常数项是（   ） A．2 B． C． D．1 6．方程化为一般形式后，a，b，c的值为（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 7．（2025·云南昆明·模拟预测）将关于的方程化为一般形式后，其二次项系数、一次项系数和常数项分别是（    ） A．2，2，5 B．2，，5 C．2，2， D． 8．（2025·河北·模拟预测）方程的一般形式是（   ） A． B． C． D． 【题型3 由一元二次方程解的求值】 9．（2025·贵州铜仁·模拟预测）若0是关于的一元二次方程的一根，则值为（   ） A．1 B．0 C．1或0 D． 10．（2025·江西新余·模拟预测）如果2是方程的一个根，那么c的值是（   ） A．3 B．2 C． D． 11．（2025·江苏苏州·模拟预测）若是方程的根，则代数式的值是 ． 12．（2025·广东佛山·二模）关于x的一元二次方程的一个根为，设，则M与方程根的判别式△之间的数量关系是（   ） A． B． C． D． 【题型4 一元二次方程解的估算】 13．（2025·宁夏吴忠·二模）观察下列表格，可知一元二次方程：的一个近似解是（   ） 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 0.11 0.24 0.39 0.56 0.75 0.96 1.19 1.44 A． B． C． D． 14．（2025·贵州六盘水·模拟预测）观察下列表格，一元二次方程的一个解x所在的范围是（    ） x 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 0.19 0.44 0.71 A． B． C． D． 15．（2025·山东青岛·模拟预测）由下表估算一元二次方程的一个根的范围 ． 1.0 1.1 1.2 1.3 1.4 13 14.41 15.84 17.29 18.76 16．（2025·江苏扬州·模拟预测）根据关于x的一元二次方程x2+px+q=0，可列表如下：则方程x2+px+q=0的正数解满足（　　） x 0 0.5 1 1.1 1.2 1.3 x2+px+q ﹣15 ﹣8.75 ﹣2 ﹣0.59 0.84 2.29 A．解的整数部分是0，十分位是5 B．解的整数部分是0，十分位是8 C．解的整数部分是1，十分位是1 D．解的整数部分是1，十分位是2 【考点二 解一元二次方程】 【题型5 一元二次方程的一般解法】 17．（2025·陕西渭南·一模）对于任意实数m、n，定义新运算，，例如：，则方程的根是（   ） A． B． C．， D．， 18．（2025·辽宁抚顺·一模）解方程 (1)（配方法）； (2)（公式法） 19．（2025·广东广州·二模）已知多项式 (1)化简多项式； (2)若，求A的值． 20．（2025·湖北·模拟预测）代数基本定理是代数学中的一个核心定理，它指出：任何一个一元n次复系数多项式方程在复数域内都恰好有n个根（重根按重数计算）．对于给定的方程，这是一个3次方程，根据代数基本定理可知它在复数范围内有3个根．已知其中一个根为，请你运用代数基本定理所蕴含的数学思想，求出该方程剩下的两个实数根 和 ，并在解题过程中深入体会代数基本定理在求解多项式方程时所起到的重要作用． 【题型6 配方法的应用】 21．（2025·江苏无锡·模拟预测）配方法是数学中重要的一种思想方法．它是指将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法．这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题．我们定义：一个整数能表示成（a、b是整数）的形式，则称这个数为“完美数”．例如，5是“完美数”．理由：因为，所以5是“完美数”． 【解决问题】（1）已知34是“完美数”，请将它写成（a、b是整数）的形式　　； （2）若可配方成（m、n为常数），则　　； 【探究问题】（1）已知，则　　； （2）已知（x、y是整数，k是常数），要使S为“完美数”，试求出符合条件的一个k值，并说明理由． 【拓展结论】已知实数x、y满足，求的最值． 22．一元二次方程配方为，则k的值是 ． 23．（2024·内蒙古包头·模拟预测）若是方程的一个解，则代数式的最小值为 ． 24．（2024·湖北襄阳·模拟预测）如图，平面直角坐标系中，已知点，，P 为y轴正半轴上一个动点，将线段 绕点P逆时针旋转，点A的对应点为Q，则线段的最小值是    【题型7 换元法求一元二次方程】 25．若关于x的方程的解是，，则关于y的方程的解是 ． 26．若，则 ． 27．（2025·山东青岛·模拟预测）若实数满足方程，那么的值为（） A． B．5 C．或5 D．3或 28．（2024·江苏扬州·一模）阅读感悟： 已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍． 解：设所求方程的根为，则．所以． 把代入已知方程，得． 化简，得， 故所求方程为． 这种利用方程的代换求新方程的方法，我们称为“换元法”． 请用阅读材料提供的“换元法”求新方程（要求：把所求方程化为一般形式． 解决问题： (1)已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别比已知方程的根大1．则所求方程为：______； (2)方程 的两个根与方程______的两个根互为倒数． (3)已知关于的一元二次方程的两个实数根分别为1和，求关于的一元二次方程的两个实数根． 【考点三 一元二次方程的根的判别式】 【题型8 利用根的判别式判断方程根的情况】 29．（2025·四川南充·一模）关于x的一元二次方程． (1)判断方程根的情况，并说明理由； (2)若方程有一个根不小于3，求k的取值范围． 30．（2025·吉林四平·三模）一元二次方程根的情况是 ． 31．（2025·云南·模拟预测）体重为衡量个人健康的重要指标之一，表一为成年人利用身高（公尺）计算理想体重（公斤）的三种方式，由于这些计算方式没有考虑脂肪及肌肉重量占体重的比例，因此结果仅供参考．我们都可将个人的实际体重归类为表二的其中一种类别．身体质量指数即指数，是国际上常用的衡量人体胖瘦程度以及是否健康的一个指标，计算公式为：体重身高的平方（体重单位：千克；身高单位：米）．国家卫健委制定的中国标准如表二． 表一 女性理想体重 男性理想体重 算法① 身高身高 身高身高 算法② （身高） （身高） 算法③ （身高） （身高） 表二 实际体重 类别 指数范围 大于理想体重的 a肥胖 介于理想体重的 b过重 介于理想体重的 c正常 介于理想体重的 d过轻 小于理想体重的 e消瘦 以下为甲、乙两个关于成年女性理想体重的叙述：对于甲、乙两个叙述，下列判断何者正确？（ ） （甲）有的女性使用算法①与算法②算出的理想体重会相同 （乙）有的女性使用算法②与算法③算出的理想体重会相同 A．甲乙皆正确 B．甲乙皆错误 C．甲正确乙错误 D．甲错误乙正确 32．（2025·上海静安·二模）同时抛掷红、绿两枚六面编号分别是1～6（整数）的质地均匀的正方体骰子，如果将红色骰子正面朝上的编号作为方程的一次项系数的值，绿色骰子正面朝上的编号作为常数项的值，那么得到的方程有两个相等的实数根的概率是 ． 【题型9 由方程根的情况求参数的取值范围】 33．（2025·天津东丽·模拟预测）（1）解一元二次方程：； （2）已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，． ①求k的取值范围； ②若，求k的值． 34．（2025·四川广安·一模）若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值是（    ） A．2 B． C．4 D． 35．（2025·贵州遵义·一模）新定义：，例如：． 已知关于x的方程有实数根，则k的取值范围为 ． 36．（2024·上海·模拟预测）若是关于的方程的两实数根，，则之间距离的最小值为 ． 【考点四 一元二次方程的根与系数的关系】 【题型10 利用根与系数的关系求代数式的值】 37．（2025·上海杨浦·模拟预测）已知关于的方程的两个根分别为． (1)是这个方程的解吗？请说明理由； (2)与是正数还是负数？请说明理由． 38．（2025·四川宜宾·模拟预测）设，是方程的两个实数根，则的值为（   ） A．2019 B．2020 C．2021 D．2022 39．（2025·四川绵阳·一模）关于x的方程有两个实数根，，满足，则m的值为（   ） A．5 B． C．5或 D．5或 40．设是方程的两实数根，则 ． 【题型11 利用根与系数的关系构造方程】 41．（2025·四川宜宾·三模）已知，则 ． 42．已知，，，，求的最小值是 ． 43．已知互不相等的三个实数a、b、c满足，，求的值 ． 44．如果a、b、c为互不相等的实数，且满足关系式与，那么a的取值范围是 ． 【考点五 一元二次方程的应用】 【题型12 根据实际问题抽象出一元二次方程】 45．（2025·福建漳州·模拟预测）俗语有云：“一天不练手脚慢，两天不练丢一半，三天不练门外汉，四天不练瞪眼看．”其意思是知识和技艺在学习后，如果不及时复习，那么学习过的东西就会被遗忘．假设每天“遗忘”的百分比是一样的，根据“两天不练丢一半”，设每天“遗忘”的百分比为，则满足方程（   ） A． B． C． D． 46．（2025·河北保定·模拟预测）两个连续偶数的积为48，设较大的偶数为x，则得到关于x的方程是 ． 47．（2024·青海西宁·中考真题）如图，小区物业规划在一个长，宽的矩形场地上，修建一个小型停车场，阴影部分为停车位所在区域，两侧是宽的道路，中间是宽的道路．如果阴影部分的总面积是，那么x满足的方程是（   ） A． B． C． D． 48．（2025·贵州·一模）我国古代数学著作《增删算法统宗》记载“圆中方形”问题：“今有圆田一段，中间有个方池，丈量田地待耕犁，恰好三分在记，池面至周有数，每边三步无疑．内方圆径若能知，堪作算中第一．”其大意为：有一块圆形的田，中间有一块正方形水池，测量出除水池外圆内可耕地的面积恰好72平方步，从水池边到圆周，每边相距3步远．如果你能求出正方形边长和圆的直径，那么你的计算水平就是第一了．如图，设正方形的边长是x步，则列出的方程是 ． 【题型13 一元二次方程的应用】 49．（2025·江苏南通·中考真题）综合与实践：学校数学兴趣小组围绕“校园花圃方案设计”开展主题学习活动，已知花圃一边靠墙（墙的长度不限），其余部分用总长为的栅栏围成，兴趣小组设计了以下两种方案： 方案一 方案二 如图1，围成一个面积为的矩形花圃． 如图2，围成矩形花圃，有栅栏（栅栏宽度忽略不计）将该花圃分隔为两个不同矩形区域，用来种植不同花卉，并在花圃两侧各留一个宽为的进出口（此处不用栅栏）． (1)求方案一中与墙垂直的边的长度； (2)要使方案二中花圃的面积最大，与墙平行的边的长度为多少米？ 50．（2024·福建龙岩·二模）运动创造美好生活！一天小美和小丽相约一起去沿河步道跑步．若两人同时从A地出发，匀速跑向距离9000米处的B地，小美的跑步速度是小丽跑步速度的1.2倍，那么小美比小丽早5分钟到达B地． (1)求小美每分钟跑多少米？ (2)若从A地到达B地后，小美以跑步形式继续前进到C地．从小美跑步开始，前20分钟内，平均每分钟消耗热量15卡，超过20分钟后，每多跑步1分钟，平均每分钟消耗的热量就增加1卡，在整个锻炼过程中，小美共消耗1650卡的热量，小美从A地到C地锻炼共用多少分钟． 51．（2025·山东临沂·一模）在我国，端午节作为传统佳节，历来有吃粽子的习俗．某食品加工厂拥有，两条不同的粽子生产线，生产线每小时加工粽子个，生产线每小时加工粽子个． (1)若生产线，一共加工小时，且生产粽子总数量不少于个，则B生产线至少加工多少小时？ (2)原计划，生产线每天均工作小时．由于改进了生产工艺，在实际生产过程中，生产线每小时比原计划多生产个（），生产线每小时比原计划多生产个．若生产线每天比原计划少工作小时，生产线每天比原计划少工作小时，这样一天恰好生产粽子个，求的值． 52．（2025·湖北武汉·模拟预测）【问题背景】（1）小明以“种植农作物”为主题在自己家100平方米的土地上进行课外实践活动，现有、两种农作物的相关信息如表： 作物 作物 每平方米种植株数（株） 单株产量（千克） （2）经调研发现：种植作物，每平方米每增加株，作物的单株产量就减少千克； （3）若同时种植、两种作物，实行分区域种植． 【问题解决】 (1)种植作物，设每平方米增加株（为正整数），用含的代数式表示： ①每平方米有________株；②单株产量为________千克． (2)要使作物每平方产量达到千克，则每平方米作物应种植多少株？ (3)设这平方米的土地中有平方米用来种植作物（），且要求每平方米种植作物产量达到最大，其余区域按每平方米种植株作物，当这平方米的总产量不低于千克时，求的取值范围． A组 基础跟踪练 一、单选题 1．（2025·四川广元·一模）根据实际问题中的相等关系，设未知数列出了下列方程，其中一元二次方程是（     ） A． B． C． D． 2．（2025·河南濮阳·一模）一元二次方程的常数项是（   ） A． B．2 C． D．3 3．若一元二次方程中的a，b，c满足，则方程必有根（    ） A． B． C． D． 4．（2025·新疆·模拟预测）如果关于x一元二次方程有两个不相等的实数根，那么实数m的取值范围为(   ) A． B． C． D． 5．（2025·四川广元·一模）若方程的两根为，，则的值为（     ） A． B． C． D． 二、填空题 6．（2025·江苏无锡·模拟预测）方程的根为 7．（2025·宁夏银川·三模）若是关于x的方程的解，则的值为 ． 8．（2025·湖南娄底·三模）定义：如果一元二次方程满足．那么我们称这个方程为“湘”方程．已知方程是“湘”方程．且有两个相等的实数根，则 ． 9．（2025·安徽合肥·三模）设某矩形的长和宽分别等于方程的正实数根，若矩形的周长和面积相等，则p、q的关系为 ． 10．（2025·吉林辽源·三模）周瑜，东汉末年名将．建安十三年（公元208年），周瑜率江东孙氏集团军队与刘备军队联合，赤壁之战大败曹军，由此奠定了三分天下的基础．建安十五年（公元210年）病逝于巴丘（今湖南岳阳）．关于其去世的年龄可以表述如下：“周瑜早逝英年两位数．十位恰小个位三，个位平方与寿符，周瑜去世年龄为几何．”设周瑜去世年龄的十位数字为，则可列方程为 ． 三、解答题 11．（2025·河南濮阳·一模）解方程： (1)； (2)． 12．（2025·青海西宁·二模）关于x的一元二次方程的一个整数解满足． (1)求m的值； (2)求的另一个解． 13．（2025·山东临沂·模拟预测）已知关于的一元二次方程． (1)求证：无论为何值时，方程总有两个不相等实数根； (2)若方程的两个根为，，且满足，求的值． 14．（2025·陕西咸阳·模拟预测）在2025年跳水世界杯女子十米台单人赛中，中国队包揽冠亚军．某商场为宣传体育精神，计划在如图所示的长，宽的矩形海报上分别展示全红婵和陈芋汐两位运动健儿的照片，每幅小矩形照片（铺灰部分）的面积均为，若海报外沿与照片之间及相邻照片之间的空白区域的宽度均相等，求空白区域的宽度． 15．（2025·广东汕头·一模）为实施乡村振兴战略，某地大力推行果树种植直销一体化发展模式某果农种植了一批樱桃和枇杷，并直播带货进行销售，已知该果农第一季度樱桃销售量为千克，销售均价为元千克，枇杷的销售量为千克，销售均价为元千克；第二季度樱桃的销售量比第一季度减少了，销售均价与第一季度相同，枇杷的销售量比第一季度增加了，但销售均价比第一季度减少了若该果农第一季度销售樱桃和枇杷的销售总金额与第二季度销售樱桃和枇杷的销售总金额相同，求的值． B组 培优提升练 一、单选题 1．（2025·新疆·一模）若关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围是（    ） A． B． C．且 D．且 2．（2025·贵州贵阳·一模）根据表格中的信息，估计一元二次方程的一个解的范围是（    ） x 0 1 2 5 A． B． C． D． 3．（2025·河南平顶山·模拟预测）把多项式进行配方，结果为（   ） A． B． C． D． 4．（2025·四川雅安·一模）已知方程的解是，，则另一个方程的解是（    ） A．， B．， C．， D．， 5．（2025·四川绵阳·一模）若关于的方程的一根大于，另一根小于，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 6．（2025·福建南平·模拟预测）若是关于x的一元二次方程，则a的值为 ． 7．（2025·内蒙古·二模）已知 是一元二次方程的两个根，且该方程的两根满足，则的值为 ，方程的两根为 ． 8．（2025·江西·模拟预测）已知关于x的一元二次方程 ，其中一根是另一根的2倍，则a的值为 ． 9．（2025·山东青岛·模拟预测）某公园举办美食节，利用一块矩形空地搭建美食摊位，布局如图所示．已知 ，阴影部分为美食摊位，需要铺上防污地毯，其余部分均为宽度为的道路．已知铺防污地毯的面积为，则道路的宽度为 ． 10．（2025·广东揭阳·一模）已知和为方程的两个实数根，且，则实数n的最大值为 ． 三、解答题 11．（2025·河北唐山·二模）课堂上老师设计了一种运算：．例如，． (1)已知x为非零实数，计算：； (2)将任意x的值代入进行运算，发现运算结果总是不超过12，请验证这个结论． 12．（2025·河南郑州·一模）如果一元二次方程（）满足，那么我们称这个方程为“凤凰方程”． (1)判断一元二次方程是否为凤凰方程，说明理由． (2)已知是关于的凤凰方程，求的值． 13．（2025·安徽淮南·模拟预测）园林部门计划在某公园建一个长方形苗圃．苗圃的一面靠墙（墙最大可用长度为14米），另三边用木栏围成，中间也用垂直于墙的木栏隔开，分成两个区域，并在如图所示的两处各留2米宽的门（门不用木栏），建成后所用木栏总长32米，设苗圃的一边长为米．    (1)长为________米（包含门宽，用含的代数式表示） (2)若苗圃的面积为，求的值； (3)苗圃的面积是否可以达到，请说明理由． 14．（2025·云南曲靖·二模）在代数中，一元二次方程的一般形式为，设该方程的两个根为，，则根与系数之间存在以下关系式（也称韦达定理）：， 这些关系在解决一元二次方程相关的问题时非常有用． 已知二次函数的图象过点，当时y随x的增大而增大，当时y随x的增大而减小．若实数m，n满足，． (1)求此二次函数的解析式（也称表达式）； (2)若，试判断T是否为定值，若为定值，请求出T的值；若不为定值，请说明理由． 15．（2025·湖北武汉·模拟预测）问题背景 教室改造采光窗户，如图（1），窗户上半部分是两个正方形组成的矩形，下半部分是两个长方形组成的矩形． 建立模型 如图（2），不考虑边框的宽度，将窗户抽象成几何图形，图中所有线段总长．设的长为， （1）直接用含的式子表示出矩形窗户和矩形窗户的透光面积； （2）当窗户的总面积为时，求的长； 方案解决 （3）窗户的面积越大，采光效果越好，基于美观的考虑，要求，请设计一个使采光效果最佳的方案，确定的长． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $