寒假作业14 几何12大模型专项训练（巩固培优）八年级数学新教材人教版

完成时间： 月 日 天气： 作业14 几何12大模型专项训练 【模型1 “A字”模型】 1．如图，将一个三角形剪去一个角后，∠1+∠2＝230°，则∠A等于（　　） A．35° B．50° C．65° D．70° 【分析】先根据平角定理，求出∠3+∠4，再根据三角形内角和求出∠A即可． 【解答】解：如图所示： ∵∠1+∠3＝180°，∠2+∠4＝180°， ∴∠1+∠3+∠2+∠4＝360°， ∵∠1+∠2＝230°， ∴∠3+∠4＝360°﹣230°＝130°， ∵∠A+∠3+∠4＝180°， ∴∠A＝180°﹣（∠3+∠4）＝180°﹣130°＝50°， 故选：B． 2．探索归纳： （1）如图1，已知△ABC为直角三角形，∠A＝90°，若沿图中虚线剪去∠A，则∠1+∠2＝　 　 ； （2）如图2，已知△ABC中，∠A＝30°，剪去∠A后成四边形，则∠1+∠2＝　 　 ； （3）如图2，根据（1）与（2）的求解过程，你归纳猜想∠1+∠2与∠A的关系是 　 ； （4）如图3，若没有剪掉，而是把它折成如图3形状，试探究∠1+∠2与∠A的关系，并说明理由． 【分析】（1）利用三角形的外角定理及直角三角形的性质求解； （2）利用三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和求解； （3）根据（1）、（2）中思路即可求解； （4）根据折叠对应角相等，得到∠AFE＝∠PFE，∠AEF＝∠PEF，进而求出∠1＝180°﹣2∠AFE，∠2＝180°﹣2∠AEF，最后利用∠AFE+∠AEF＝180°﹣∠A即可求解． 【解答】解：（1）如图所示： 在△AEF中，由外角性质可知， ∠1＝∠A+∠EFA＝90°+∠EFA，∠2＝∠A+∠AEF＝90°+∠AEF， ∴∠1+∠2 ＝（90°+∠EFA）+（90°+∠AEF） ＝180°+∠EFA+∠AEF， ∵△ABC为直角三角形，∠A＝90°， ∴∠EFA+∠AEF ＝180°﹣∠A ＝90°， ∴∠1+∠2 ＝180°+90° ＝270°． 故答案为：270°． （2）解：如图所示： 在△AEF中，由外角性质可知， ∠1＝∠A+∠EFA，∠2＝∠A+∠AEF， ∵∠A＝30°， ∴∠1+∠2 ＝（∠A+∠EFA）+（∠A+∠AEF） ＝（∠A+∠EFA+∠AEF）+∠A ＝180°+30°＝210°． （3）由（1）、（2）中思路，由三角形外角性质可知：∠1＝∠A+∠EFA，∠2＝∠A+∠AEF， ∴∠1+∠2 ＝（∠A+∠EFA）+（∠A+∠AEF） ＝（∠A+∠EFA+∠AEF）+∠A ＝180°+∠A， ∴∠1+∠2与∠A的关系是∠1+∠2＝180°+∠A， 故答案为：∠1+∠2＝180°+∠A． （4）∠1+∠2与∠A的关系为∠1+∠2＝2∠A，理由如下： 如图， ∵△EFP是由△EFA折叠得到的， ∴∠AFE＝∠PFE，∠AEF＝∠PEF， ∴∠1＝180°﹣2∠AFE，∠2＝180°﹣2∠AEF， ∴∠1+∠2 ＝（180°﹣2∠AFE）+（180°﹣2∠AEF） ＝360°﹣2（∠AFE+∠AEF）， 又∵∠AFE+∠AEF＝180°﹣∠A， ∴∠1+∠2 ＝360°﹣2（180°﹣∠A） ＝2∠A， ∴∠1+∠2与∠A的关系为∠1+∠2＝2∠A． 3．在△ABC和△DEF中，∠A＝40°，∠E+∠F＝70°，将△DEF放置在△ABC上，使得∠D的两条边DE、DF分别经过点B、C． （1）当将△DEF如图1放置在△ABC上时，求∠ABD+∠ACD的大小； （2）当将△DEF如图2放置在△ABC上时，求∠ABD+∠ACD的大小． 【分析】（1）根据三角形的内角和可知：∠D＝180°﹣70°＝110°，所以∠ABC+∠ACB＝140°，∠DBC+BCD＝70°； （2）根据三角形的内角和可知：∠D＝180°﹣70°＝110°，所以∠DBC+∠DCB＝70°，所以∠ABD+∠ACD＝（∠ABC+∠ACB）﹣（∠BCD+∠CBD）＝70°； 【解答】解：（1）由题意可知：∠D＝180°﹣70°＝110°， ∴∠DBC+∠DCB＝180°﹣∠D＝70°， ∵∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝140°， ∴∠ABD+∠ACD＝（∠ABC+∠DBC）+（∠ACB+∠DCB）＝210° （2）在△ABC中，∠A＝40°， ∴∠ABC+∠ACB＝140°， 在△DEF中，∠E+∠F＝70°， ∴∠D＝110°， ∴∠BCD+∠CBD＝180°﹣∠D＝70°， ∴∠ABD+∠ACD＝（∠ABC+∠ACB）﹣（∠BCD+∠CBD）＝70． 【模型2 “8字”模型】 4．如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F等于（　　） A．240° B．300° C．360° D．540° 【分析】连接BD，根据三角形内角和定理与对顶角的性质得出∠E+∠F＝∠GDB+∠GBD，再根据四边形内角和等于360°，即可得出答案． 【解答】解：连接BD， ∵∠E+∠F＝∠GDB+∠GBD， 又∵∠A+∠C+∠CDB+∠DBA＝360°， ∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠GDB+∠GBD＝360°， ∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝360°． 故选：C． 5．如图1，线段AB、CD相交于点O，连接AD、CB，我们把形如图1的图形称之为“8字形”．如图2，在图1的条件下，∠DAB和∠BCD的平分线AP和CP相交于点P，并且与CD、AB分别相交于M、N．试解答下列问题： （1）在图1中，证明：∠A+∠D＝∠C+∠B； （2）仔细观察，在图2中“8字形”的个数：　6　 个； （3）图2中，当∠D＝50度，∠B＝40度时，求∠P的度数． （4）图2中∠D和∠B为任意角时，其他条件不变，试问∠P与∠D、∠B之间存在着怎样的数量关系．（直接写出结果，不必证明）． 【分析】（1）根据三角形内角和定理即可得出∠A+∠D＝∠C+∠B； （2）根据“8字形”的定义，仔细观察图形即可得出“8字形”共有6个； （3）先根据“8字形”中的角的规律，可得∠DAP+∠D＝∠P+∠DCP①，∠PCB+∠B＝∠PAB+∠P②，再根据角平分线的定义，得出∠DAP＝∠PAB，∠DCP＝∠PCB，将①+②，可得2∠P＝∠D+∠B，进而求出∠P的度数； （4）同（3），根据“8字形”中的角的规律及角平分线的定义，即可得出2∠P＝∠D+∠B． 【解答】（1）证明：∵∠A+∠D+∠AOD＝∠C+∠B+∠BOC＝180°，∠AOD＝∠BOC， ∴∠A+∠D＝∠C+∠B； （2）解：①线段AB、CD相交于点O，形成“8字形”； ②线段AN、CM相交于点O，形成“8字形”； ③线段AB、CP相交于点N，形成“8字形”； ④线段AB、CM相交于点O，形成“8字形”； ⑤线段AP、CD相交于点M，形成“8字形”； ⑥线段AN、CD相交于点O，形成“8字形”； 故“8字形”共有6个， 故答案为：6； （3）解：∠DAP+∠D＝∠P+∠DCP①， ∠PCB+∠B＝∠PAB+∠P②， ∵∠DAB和∠BCD的平分线AP和CP相交于点P， ∴∠DAP＝∠PAB，∠DCP＝∠PCB， ①+②得： ∠DAP+∠D+∠PCB+∠B＝∠P+∠DCP+∠PAB+∠P， 即2∠P＝∠D+∠B， 又∵∠D＝50度，∠B＝40度， ∴2∠P＝50°+40°， ∴∠P＝45°； （4）解：关系：∠D+∠1＝∠P+∠3①， ∠B+∠4＝∠P+∠2②， ①+②得： ∠D+∠1+∠4+∠B＝∠P+∠3+∠2+∠P， ∵∠DAB和∠DCB的平分线AP和CP相交于点P， ∴∠1＝∠2，∠3＝∠4， ∴2∠P＝∠D+∠B． 6．【问题背景】 （1）如图1的图形我们把它称为“8字形”，请说明∠A+∠B＝∠C+∠D； 【简单应用】 （2）如图2，AP、CP分别平分∠BAD、∠BCD，若∠ABC＝44°，∠ADC＝18°，求∠P的度数； 【问题探究】 （3）如图3，直线AP平分∠BAD的外角∠FAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，若∠ABC＝46°，∠ADC＝26°，请猜想∠P的度数，并说明理由． 【拓展延伸】 （4）在图4中，若设∠ABC＝α，∠ADC＝β，AP平分∠BAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，猜想∠P与∠ABC、∠ADC的关系，直接写出结论（用α、β表示∠P）． 【分析】（1）利用三角形内角和求解即可． （2）利用（1）中结论可得出∠1+∠B＝∠3+∠P，∠4+∠D＝∠2+∠P，两式相加，然后再根据角平分线的定义得出∠1＝∠2，∠3＝∠4，进而可得出2∠P＝∠B+∠D＝62°，即可求出∠P． （3）由角平分线的定义得出∠1＝∠2，∠3＝∠4，由补角的定义和性质得出∠PAD＝180°﹣∠2，∠PCD＝180°﹣∠3，由（1）中结论得出∠P+∠PAB＝∠B+∠4，∠P+∠PAD＝∠D+∠PCD，代入可进一步得出答案． （4）由角平分线的定义设∠BAP＝x，∠PCE＝y，则∠PAO＝x，∠PCB＝y，由（1）中结论得出∠PAO+∠P＝∠PCD+∠ADC，∠ABC+∠BAO＝∠OCD+∠D，x+∠P＝180°﹣y+β，α+2x＝180°﹣2y+β，整理即可得出∠P． 【解答】（1）证明：在△AEB中，∠A+∠B+∠AEB＝180°， 在△CED中，∠C+∠D+∠CED＝180°， ∵∠AEB＝∠CED， ∴∠A+∠B＝∠C+∠D； （2）解：由（1）得∠1+∠B＝∠3+∠P，∠4+∠D＝∠2+∠P， ∴∠1+∠B+∠4+∠D＝∠3+∠P+∠2+∠P， ∵AP、CP分别平分∠BAD、∠BCD， ∴∠1＝∠2，∠3＝∠4， ∴2∠P＝∠B+∠D＝44°+18°＝62°， ∴∠P＝31°； （3）解：∠P＝36°，理由如下： 如图， ∵AP平分∠BAD的外角∠FAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE， ∴∠1＝∠2，∠3＝∠4， ∴∠PAD＝180°﹣∠2∠PCD＝180°﹣∠3， ∵∠PAB＝∠1，∠P+∠PAB＝∠B+∠4， ∴∠P+∠1＝∠B+∠4， ∵∠P+∠PAD＝∠D+∠PCD， ∵∠P+（180°﹣∠2）＝∠D+（180°﹣∠3）， 即∠P﹣∠2＝∠D﹣∠3，∠P﹣∠1＝∠D﹣∠4， ∠P﹣（∠B+∠4﹣∠P）＝∠D﹣∠4， ∴2∠P＝∠B+∠D， ∴． （4）解：． ∵AP平分∠BAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE， ∴设∠BAP＝x，∠PCE＝y，则∠PAO＝x，∠PCB＝y， ∵∠PAO+∠P＝∠PCD+∠ADC，∠ABC+∠BAO＝∠OCD+∠D， ∴x+∠P＝∠PCD+β，α+∠BAO＝∠OCD+β， ∴x+∠P＝180°﹣y+β，α+2x＝180°﹣2y+β， ∴． 【模型3 “燕尾”模型】 7．已知：点D是△ABC所在平面内一点，连接AD、CD． （1）如图1，若∠A＝28°，∠B＝72°，∠C＝11°，求∠ADC； （2）如图2，若存在一点P，使得PB平分∠ABC，同时PD平分∠ADC，探究∠A，∠P，∠C的关系并证明． 【分析】（1）如图1，延长AD交BC于E．利用三角形的外角的性质即可解决问题； （2）∠A﹣∠C＝2∠P，利用三角形的外角的性质可以推出：∠A+∠1＝∠P+∠3，由∠1＝∠2，∠3＝∠4，推出∠A+∠2＝∠P+∠4，由（1）知∠4＝∠2+∠P+∠C，可得∠A+∠2＝∠P+∠2+∠P+∠C即可解决问题； 【解答】解：（1）如图1，延长AD交BC于E． 在△ABE中，∠AEC＝∠A+∠B＝28°+72°＝100°， 在△DEC中，∠ADC＝∠AEC+∠C＝100°+11°＝111°． （2）∠A﹣∠C＝2∠P，理由如下： 如图2，∠5＝∠A+∠1，∠5＝∠P+∠3， ∴∠A+∠1＝∠P+∠3， ∵PB平分∠ABC，PD平分∠ADC， ∴∠1＝∠2，∠3＝∠4， ∴∠A+∠2＝∠P+∠4， 由（1）知∠4＝∠2+∠P+∠C， ∴∠A+∠2＝∠P+∠2+∠P+∠C， ∴∠A﹣∠C＝2∠P． 8．【模型建立】（1）如图①，凹四边形ABOC．因为酷似燕尾，所以称之“燕尾型”求证：∠BOC＝∠A+∠B+∠C； 【模型应用】（2）一张帆布折椅的侧面示意图如图②所示，∠A＝38°，∠D＝12°，∠ABC＝64°，∠BCD＝46°，求椅面和椅背的夹角∠AED的度数； 【模型迁移】（3）如图③，∠ABC＝100°，∠DEF＝130°，求∠A+∠C+∠D+∠F的度数． 【分析】（1）连接OA，并延长，如图①所示：根据三角形外角的性质即可得到结论； （2）根据三角形内角和定理即可得到结论； （3）连接AD，如图③所示：根据三角形外角的性质和三角形内角和定理即可得到结论． 【解答】（1）证明：连接OA，并延长，如图①所示： ∵∠BOM是△ABO的外角， ∴∠BAO+∠B＝∠BOM．① ∵∠COM是△AOC的外角， ∴∠CAO+∠C＝∠COM．② ①+②得，∠BAO+∠B+∠CAO+∠C＝∠BOM+∠COM， 即∠BOC＝∠A+∠B+∠C． （2）解：∵∠ABC＝64°，∠BCD＝46°， ∴∠CAO＝180°﹣∠ABC﹣∠BCD＝180°﹣64°﹣46°＝70°， ∴∠BAO＝∠CAO＝70°． 由【探究】可知∠AED＝∠A+∠D+∠BAO＝38°+12°+70°＝120°； （3）解：连接AD，如图③所示： 由【探究】可知∠F+∠FAD+∠EDA＝∠DEF③，∠BAD+∠ADC+∠C＝∠ABC④， ③+④，得∠F+∠FAD+∠EDA+∠BAD+∠ADC+∠C＝∠DEF+∠ABC＝130°+100°＝230°， ∴原图中∠A+∠C+∠D+∠F＝230°． 9．（1）如图①，∠A＝52°，∠B＝25°，∠C＝30°，∠D＝35°，∠E＝72°，求∠F的度数； （2）如图②，∠EGC＝105°，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F． 【分析】（1）延长DE交AB于点H，延长DF交AC于点G，先求出∠BHE，再求出∠AHE，进而得出答案； （2）由三角形外角的性质可得∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝∠EGC+∠EGC，进而得出答案． 【解答】解：（1）延长DE交AB于点H，延长DF交AC于点G， ∵∠B＝25°，∠E＝72°， ∴∠BHE＝∠E﹣∠B＝72°﹣25°＝47°， ∴∠AHE＝180°﹣∠BHE＝180°﹣47°＝133°， ∵∠A＝52°，∠D＝35°， ∴∠AGD＝360°﹣∠A﹣∠D﹣∠AHE＝360°﹣52°﹣35°﹣133°＝140°， ∴∠CGD＝180°﹣∠AGD＝180°﹣140°＝40°， ∴∠DFC＝∠CGD+∠C＝40°+30°＝70°． （2）由三角形外角的性质可得， 则∠E+∠D＝∠EHC，∠A+∠F＝∠BKF， ∴∠EHC+∠C＝∠EGC＝105°，∠BKF+∠B＝∠EGC＝105°， ∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝∠EGC+∠EGC＝105°+105°＝210°． 10．探究与发现： 如图1所示的图形，像我们常见的学习用品——圆规．我们不妨把这样图形叫做“规形图”，那么在这一个简单的图形中，到底隐藏了哪些数学知识呢？下面就请你发挥你的聪明才智，解决以下问题： （1）观察“规形图”，试探究∠BDC与∠A、∠B、∠C之间的关系，并说明理由； （2）请你直接利用以上结论，解决以下三个问题： ①如图2，把一块三角尺XYZ放置在△ABC上，使三角尺的两条直角边XY、XZ恰好经过点B、C，若∠A＝50°，则∠ABX+∠ACX＝　　 °； ②如图3，DC平分∠ADB，EC平分∠AEB，若∠DAE＝50°，∠DBE＝130°，则∠DCE＝　　 °； ③如图4，∠ABD，∠ACD的10等分线相交于点G1，G2…，G9，若∠BDC＝140°，∠BG1C＝77°，求∠A的度数． 【分析】（1）根据题意观察图形连接AD并延长至点F，由外角定理可知，一个三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和，则容易得到∠BDF＝∠BAD+∠B，∠CDF＝∠C+∠CAD，相加即可得结论； （2）①由（1）的结论可得∠ABX+∠ACX+∠A＝∠BXC，然后把∠A＝50°，∠BXC＝90°代入上式即可得到∠ABX+∠ACX的值． ②结合图形可得∠DBE＝∠DAE+∠ADB+∠AEB，代入∠DAE＝50°，∠DBE＝130°即可得到∠ADB+∠AEB的值，再利用上面得出的结论可知∠DCE（∠ADB+∠AEB）+∠A，易得答案． ③由（2）的方法，进而可得答案． 【解答】解：（1）连接AD并延长至点F， 由外角定理可得∠BDF＝∠BAD+∠B，∠CDF＝∠C+∠CAD； 且∠BDC＝∠BDF+∠CDF及∠BAC＝∠BAD+∠CAD； 相加可得∠BDC＝∠BAC+∠B+∠C； （2）①由（1）的结论易得：∠ABX+∠ACX+∠A＝∠BXC， 又因为∠A＝50°，∠BXC＝90°， 所以∠ABX+∠ACX＝90°﹣50°＝40°； 故答案为：40． ②由（1）的结论易得∠DBE＝∠A+∠ADB+∠AEB，易得∠ADB+∠AEB＝80°； 而∠DCE（∠ADB+∠AEB）+∠A， 代入∠DAE＝50°，∠DBE＝130°，易得∠DCE＝90°； 故答案为：90°． ③∠BG1C（∠ABD+∠ACD）+∠A， ∵∠BG1C＝77°， ∴设∠A为x°， ∵∠ABD+∠ACD＝140°﹣x° ∴（140﹣x）+x＝77， 14x+x＝77， x＝70 ∴∠A为70°． 【模型4 “双角平分线”模型】 11．如图，在△ABC中，∠ABC，∠ACB的平分线BE，CD相交于点F，∠A＝60°，则∠BFC等于（　　） A．100° B．110° C．120° D．150° 【分析】由∠A＝60°，求得∠ABC+∠ACB＝120°，因为∠ABC，∠ACB的平分线BE，CD相交于点F，所以∠FBC∠ABC，∠FCB∠ACB，则∠FBC+∠FCB（∠ABC+∠ACB）＝60°，求得∠BFC＝180°﹣（∠FBC+∠FCB）＝120°，于是得到问题的答案． 【解答】解：∵在△ABC中，∠A＝60°， ∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝120°， ∵∠ABC，∠ACB的平分线BE，CD相交于点F， ∴∠FBC∠ABC，∠FCB∠ACB， ∴∠FBC+∠FCB（∠ABC+∠ACB）＝60°， ∴∠BFC＝180°﹣（∠FBC+∠FCB）＝120°， 故选：C． 12．如图在△ABC中，BO，CO分别平分∠ABC，∠ACB，交于O，CE为外角∠ACD的平分线，BO的延长线交CE于点E，记∠BAC＝∠1，∠BEC＝∠2，则以下结论①∠1＝2∠2，②∠BOC＝3∠2，③∠BOC＝90°+∠1，④∠BOC＝90°+∠2正确的是（　　） A．①②③ B．①③④ C．①④ D．①②④ 【分析】依据角平分线的性质以及三角形外角性质，即可得到∠1＝2∠2，∠BOC＝90°∠1，∠BOC＝90°+∠2． 【解答】解：∵CE为外角∠ACD的平分线，BE平分∠ABC， ∴∠DCE∠ACD，∠DBE∠ABC， 又∵∠DCE是△BCE的外角， ∴∠2＝∠DCE﹣∠DBE， （∠ACD﹣∠ABC） ∠1，故①正确； ∵BO，CO分别平分∠ABC，∠ACB， ∴∠OBCABC，∠OCB∠ACB， ∴∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB） ＝180°（∠ABC+∠ACB） ＝180°（180°﹣∠1） ＝90°∠1，故②、③错误； ∵OC平分∠ACB，CE平分∠ACD， ∴∠ACO∠ACB，∠ACEACD， ∴∠OCE（∠ACB+∠ACD）180°＝90°， ∵∠BOC是△COE的外角， ∴∠BOC＝∠OCE+∠2＝90°+∠2，故④正确； 故选：C． 13．如图，在△ABC中，点O是△ABC内部∠ABC的平分线上一点，连接OC，点P是∠BOC、∠OCB平分线的交点，若∠P＝100°，则∠ABC的度数为　 　 °． 【分析】先求出∠POC+∠PCO的度数，进一步得到∠BOC+∠BCO的度数，据此得到∠OBC的度数，最后根据角平分线的定义即可解决问题． 【解答】解：由题知， 因为点P是∠BOC、∠OCB平分线的交点， 所以∠BOC＝2∠POC，∠BCO＝2∠PCO， 所以∠BOC+∠BCO＝2（∠POC+∠PCO）． 因为∠P＝100°， 所以∠POC+∠PCO＝80°， 所以∠BOC+∠BCO＝2×80°＝160°． 因为∠OBC+∠BOC+∠BCO＝180°， 所以∠OBC＝20°． 因为点O是△ABC内部∠ABC的平分线上一点， 所以∠ABC＝2∠OBC＝40°． 故答案为：40． 14．在△ABC中，∠ABC，∠ACB的平分线交于点O，∠ACB的外角平分线所在直线与∠ABC的平分线相交于点D，与∠ABC的外角平分线相交于点E，则下列结论一定正确的是 　 　 ．（填写所有正确结论的序号） ①；②；③∠E＝∠A；④∠E+∠DCF＝90°+∠ABD． 【分析】由角平分线的定义可得∠OBC+∠OCB（∠ABC+∠ACB），再由三角形的内角和定理可求解∠BOC＝90°∠A，即可判定①；由角平分线的定义可得∠DCF∠ACF，结合三角形外角的额性质可判定②；由三角形外角的性质可得∠MBC+∠BCN＝180°+∠A，再利用角平分线的定义及三角形的内角和定理可判定③；利用三角形外角的性质可得∠E+∠DCF＝90°+∠DBC，结合∠ABD＝∠DBC可判定④． 【解答】解：∵∠ABC，∠ACB的平分线交于点O， ∴∠ABD＝∠OBC∠ABC，∠OCB＝∠ACO∠ACB， ∴∠OBC+∠OCB（∠ABC+∠ACB）， ∵∠A+∠ABC+∠ACB＝180°， ∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A， ∵∠BOC+∠OBC+∠OCB＝180°， ∴∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝180°（180°﹣∠A）＝90°∠A，故①正确， ∵CD平分∠ACF， ∴∠DCF∠ACF， ∵∠ACF＝∠ABC+∠A，∠DCF＝∠OBC+∠D， ∴∠D∠A，故②正确； ∵∠MBC＝∠A+∠ACB，∠BCN＝∠A+∠ABC，∠ACB+∠A+∠ABC＝180°， ∴∠MBC+∠BCN＝∠A+∠ACB+∠A+∠ABC＝180°+∠A， ∵BE平分∠MBC，CE平分∠BCN， ∴∠MBC＝2∠EBC，∠BCN＝2∠BCE， ∴∠EBC+∠BCE＝90°∠A， ∵∠E+∠EBC++BCE＝180°， ∴∠E＝180°﹣（∠EBC+∠BCE）＝180°﹣（90°∠A）＝90°∠A，故③错误； ∵∠DCF＝∠DBC+∠D， ∴∠E+∠DCF＝90°∠A+∠DBC∠A＝90°+∠DBC， ∵∠ABD＝∠DBC， ∴∠E+∠DCF＝90°+∠ABD．故④正确， 综上正确的有：①②④． 【模型5 “倍长中线”模型】 15．阅读下列材料，解决相应问题： 数学活动课上，老师提出了如下问题：如图1，已知△ABC中，AD是BC边上的中线． 求证：AB+AC＞2AD． 证明方法如下： 证明：如图2，延长AD至E，使DE＝AD， ∵AD是BC边上的中线， ∴BD＝CD， 在△BDE和△CDA中， ， ∴△BDE≌△CDA， ∴BE＝CA， 在△ABE中，AB+BE＞AE， ∴AB+AC＞2AD． 归纳总结：上述方法是通过延长中线AD，使DE＝AD，构造了一对全等三角形，将AB，AC，AD转化到一个三角形中，进而解决问题，这种方法叫做“倍长中线法”．“倍长中线法”多用于构造全等三角形和证明边之间的关系． 解决下列问题： （1）如图3，AB＝3，AC＝4，则AD的取值范围是 　 　 ； （2）如图4，在图3的基础上，分别以AB和AC为边作等腰直角三角形，在Rt△ABE中，∠BAE＝90°，AB＝AE；Rt△ACF中，∠CAF＝90°，AC＝AF．连接EF．试探究EF与AD的数量关系，并说明理由． 【分析】（1）延长AD至点E，使DE＝AD，连接CE，证明△ABD≌△ECD（SAS），得出AB＝EC＝4，由三角形三边关系可得出答案； （2）延长AD至点M，使DM＝AD，连接CM，证明△ABD≌△MCD（SAS），由全等三角形的性质得出AB＝MC，∠ABD＝∠DCM，证明△EAF≌△MCA（SAS），由全等三角形的性质得出AM＝EF，则可得出答案． 【解答】解：（1）延长AD至点E，使DE＝AD，连接CE，如图所示： ∴AE＝2AD， ∵AD是中线， ∴CD＝BD， 在△ABD和△ECD中， ， ∴△ABD≌△ECD（SAS）， ∴AB＝EC＝3， 在△ACE中，AC﹣CE＜AE＜AC+CE， ∴AC﹣AB＜AE＜AC+AB， ∵AB＝3，AC＝4， 即4﹣3＜2AD＜4+3， ∴1＜2AD＜7， ∴， 故答案为：； （2）EF＝2AD． 理由如下： 延长AD至点M，使DM＝AD，连接CM，如图所示： ∵AD是中线， ∴BD＝CD， 在△ABD和△MCD中， ， ∴△ABD≌△MCD（SAS）， ∴∠ABD＝∠MCD，AB＝MC， ∴AE＝CM，AB∥CM， ∴∠ACM+∠BAC＝180°， ∵∠CAF＝∠BAE＝90°， ∴∠EAF+∠BAC＝180°， ∴∠EAF＝∠ACM， 又∵AF＝AC， ∴△EAF≌△MCA（SAS）， ∴EF＝MA， ∵AM＝2AD， ∴EF＝2AD． 16．【问题背景】如图①：在△ABC中，若AB＝6，AC＝4，点D为BC边的中点，求BC边上的中线AD的取值范围．可使用倍长中线法：延长AD到点E，使DE＝AD，再连接BE，可证△ACD≌△EBD，从而把AB、AC，2AD集中在△ABE中，利用三角形三边的关系即可判断中线AD的取值范围． （1）【探究应用】如图②，在△ABC中，点D是BC的中点，DE⊥DF于点D，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连接EF，判断BE+CF与EF的大小关系，并说明理由； （2）【问题拓展】如图③，在四边形ABCD中，AB∥CD，AF与DC的延长线交于点F，点E是BC的中点，若AE是∠BAF的角平分线，试探究线段AB、AF、CF之间的数量关系，并说明理由． 【分析】（1）由已知得出AB﹣BE＜AE＜AB+BE，即6﹣4＜AE＜6+4，AD为AE的一半，即可得出答案； （2）延长FD至点M，使DM＝DF，连接BM，EM，可得△BMD≌△CFD，得出BM＝CF，由线段垂直平分线的性质得出EM＝EF，在△BME中，由三角形的三边关系得出BE+BM＞EM即可得出结论； （3）延长AE，DF交于点G，根据平行和角平分线可证AF＝FG，也可证得△ABE≌△GCE，从而可得AB＝CG，即可得到结论． 【解答】解：（1）如图①，延长AD到点E，使DE＝AD，连接BE， ∵D是BC的中点， ∴BD＝CD， ∵∠ADC＝∠BDE， ∴△ACD≌△EBD（SAS）， ∴BE＝AC＝4， 在△ABE中，AB﹣BE＜AE＜AB+BE， ∴6﹣4＜AE＜6+4， ∴2＜AE＜10， ∴1＜AD＜5， 故答案为：1＜AD＜5； （2）BE+CF＞EF，理由如下： 延长FD至点M，使DM＝DF，连接BM、EM，如图②所示． 同（1）得：△BMD≌△CFD（SAS）， ∴BM＝CF， ∵DE⊥DF，DM＝DF， ∴EM＝EF， 在△BME中，由三角形的三边关系得： BE+BM＞EM， ∴BE+CF＞EF； （3）AF+CF＝AB，理由如下： 如图③，延长AE，DF交于点G， ∵AB∥CD， ∴∠BAG＝∠G， 在△ABE和△GCE中， CE＝BE，∠BAG＝∠G，∠AEB＝∠GEC， ∴△ABE≌△GEC（AAS）， ∴CG＝AB， ∵AE是∠BAF的平分线， ∴∠BAG＝∠GAF， ∴∠FAG＝∠G， ∴AF＝GF， ∵FG+CF＝CG， ∴AF+CF＝AB． 17．中线是三角形中的重要线段之一，在利用中线解决几何问题时，常常采用“倍长中线法”添加辅助线． （1）如图①，△ABC中，若AB＝4，AC＝6，求BC边上的中线AD的取值范围； 同学们经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD至点E，使DE＝DA，连接BE． 请你根据同学们的方法解答下面的问题： ①根据题意，补全图形； ②由已知和作图能得到△ADC≌△EDB，其依据是 （用字母表示）； ③由三角形的三边关系可以求得AD的取值范围是 　 　 （直接填空）； （2）如图②，在△ABC和△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC+∠DAE＝180°，连接BE，CD，若AM为△ACD的中线，猜想AM与BE的数量关系并说明理由． 【分析】（1）①补全图形，如图①所示： ②根据三角形中线定义得CD＝BD，进而可依据“SAS”判定△ADC和△EDB全等，由此可得出答案； ③根据全等三角形性质得AC＝BE＝6，AE＝2AD，再根据三角形三边之间关系得BE﹣AB＜AE＜BE+AB，即6﹣4＜2AD＜6+4，由此可得出AD的取值范围； （2）延长AM到N，使AM＝MN，连接CN，则AN＝2AM，先证明△ADM和△NCM全等得AD＝CN，∠DAM＝∠N，则AD∥CN，进而得∠DAC+∠ACN＝180°，再由∠BAC+∠DAE＝180°得∠BAE+∠DAC＝180°，则∠ACN＝∠BAE，由此可依据“SAS”判定△ACN和△BAE全等，则AN＝BE，由此可得AM与BE的数量关系． 【解答】解：（1）①补全图形，如图①所示： ②∵AD是BC边上的中线， ∴CD＝BD， 在△ADC和△EDB中， ， ∴△ADC≌△EDB（SAS）， 故答案为：SAS． ③∵△ADC≌△EDB， ∴AC＝BE， ∵AB＝4，AC＝6，DE＝DA， ∴BE＝AC＝6，AE＝2AD， 在△ABE中，BE﹣AB＜AE＜BE+AB， ∴6﹣4＜2AD＜6+4， ∴1＜AD＜5， 即AD的取值范围是1＜AD＜5， 故答案为：1＜AD＜5． （2）猜想：BE＝2AM，理由如下： 延长AM到N，使AM＝MN，连接CN，如图②所示： 则AN＝2AM， ∵AM为△ACD的中线， ∴DM＝CM， 在△ADM和△NCM中， ， ∴△ADM≌△NCM（SAS）， ∴AD＝CN，∠DAM＝∠N， ∴AD∥CN， ∴∠DAC+∠ACN＝180°， ∵∠BAC+∠DAE＝180°， ∴∠BAE+∠DAC＝180°， ∴∠ACN＝∠BAE， ∵AD＝AE，AD＝CN， ∴CN＝AE， 在△ACN和△BAE中， ， ∴△ACN≌△BAE（SAS）， ∴AN＝BE， ∵AN＝2AM， ∴BE＝2AM． 【模型6 “一线三等角”模型】 18．如图，在△ABC中，AB＝AC＝4，∠B＝40°，点D在线段BC上运动（点D不与点B、C重合），连接AD，作∠ADE＝40°，DE交线段AC于点E． （1）当∠BDA＝120°时，∠EDC＝　 　 ，∠AED＝　 　 ； （2）线段DC的长度为何值时，△ABD≌△DCE，请说明理由； （3）在点D的运动过程中，当△ADE是等腰三角形时，求∠CDE的度数． 【分析】（1）由平角的定义求出∠CDA，进而求出∠CDE的度数，最后根据三角形内角和定理求出∠DEC，由三角形内角和定理可判断∠BDA的变化； （2）当DC＝4时，由“ASA”可证△ABD≌△DCE； （3）根据题意进行分类讨论：①当AD＝AE时，不符合题意，舍去；②当AD＝ED时；③当AE＝DE时． 【解答】解：（1）∵∠BDA＝120°， ∴∠CDA＝180°﹣120°＝60°， ∵∠ADE＝40°， ∴∠EDC＝∠CDA﹣∠ADE＝60°﹣40°＝20°， ∵AB＝AC， ∴∠B＝∠C＝40°， ∴∠AED＝∠C+∠EDC＝40°+20°＝60°， 故答案为：20°；60°； （2）当DC＝4时，△ABD≌△DCE；理由如下： ∵∠ADC＝∠B+∠BAD＝∠ADE+∠CDE，∠ADE＝40°，∠B＝40°， ∴∠BAD＝∠CDE， ∵AB＝4， ∴DC＝AB， 在△ABD和△DCE中， ， ∴△ABD≌△DCE（ASA）； （3）当△ADE是等腰三角形时，分情况讨论： ①当AD＝AE时， ∵∠ADE＝40°， ∴∠AED＝40°， 又∵∠ACD＝40°， ∴点E和点C重合，不符合题意，舍去； ②当AD＝ED时， ∵∠ADE＝40°， ∴， ∵∠B＝∠C＝40° ∴∠CDE＝∠DEA﹣∠C＝70°﹣40°＝30°； ③当AE＝DE时， ∵∠ADE＝40°， ∴∠DAE＝40°，∠DEA＝180°﹣40°﹣40°＝100°， ∵∠C＝40°， ∴∠CDE＝∠DEA﹣∠C＝100°﹣40°＝60°； 综上所述：∠CDE的度数为30°或60°． 19．CD经过∠BCA顶点C的一条直线，CA＝CB．E，F分别是直线CD上两点，且∠BEC＝∠CFA＝∠α． （1）若直线CD经过∠BCA的内部，且E，F在射线CD上，请解决下面两个问题： ①如图1，若∠BCA＝90°，∠α＝90°，则BE　 　 CF；EF　 　 |BE﹣AF|（填“＞”，“＜”或“＝”）； ②如图2，若0°＜∠BCA＜180°，请添加一个关于∠α与∠BCA关系的条件 　 　 ，使①中的两个结论仍然成立． （2）如图3，若直线CD经过∠BCA的外部，∠α＝∠BCA，请提出EF，BE，AF三条线段数量关系的合理猜想并给出理由． 【分析】（1）①求出∠BEC＝∠AFC＝90°，∠CBE＝∠ACF，根据AAS证△BCE≌△CAF，推出BE＝CF，CE＝AF即可； ②求出∠BEC＝∠AFC，∠CBE＝∠ACF，根据AAS证△BCE≌△CAF，推出BE＝CF，CE＝AF即可； （2）求出∠BEC＝∠AFC，∠CBE＝∠ACF，根据AAS证△BCE≌△CAF，推出BE＝CF，CE＝AF即可． 【解答】解：（1）①如图1中， E点在F点的左侧， ∵BE⊥CD，AF⊥CD，∠ACB＝90°， ∴∠BEC＝∠AFC＝90°， ∴∠BCE+∠ACF＝90°，∠CBE+∠BCE＝90°， ∴∠CBE＝∠ACF， 在△BCE和△CAF中， ， ∴△BCE≌△CAF（AAS）， ∴BE＝CF，CE＝AF， ∴EF＝CF﹣CE＝BE﹣AF， 当E在F的右侧时，同理可证EF＝AF﹣BE， ∴EF＝|BE﹣AF|； ②∠α+∠ACB＝180°时，①中两个结论仍然成立； 证明：如图2中， ∵∠BEC＝∠CFA＝∠a，∠α+∠ACB＝180°， ∴∠CBE＝∠ACF， 在△BCE和△CAF中， ， ∴△BCE≌△CAF（AAS）， ∴BE＝CF，CE＝AF， ∴EF＝CF﹣CE＝BE﹣AF， 当E在F的右侧时，同理可证EF＝AF﹣BE， ∴EF＝|BE﹣AF|； 故答案为∠α+∠ACB＝180°． （2）结论：EF＝BE+AF． 理由：如图3中， ∵∠BEC＝∠CFA＝∠a，∠a＝∠BCA， 又∵∠EBC+∠BCE+∠BEC＝180°，∠BCE+∠ACF+∠ACB＝180°， ∴∠EBC+∠BCE＝∠BCE+∠ACF， ∴∠EBC＝∠ACF， 在△BEC和△CFA中， ， ∴△BEC≌△CFA（AAS）， ∴AF＝CE，BE＝CF， ∵EF＝CE+CF， ∴EF＝BE+AF． 故答案为：＝，EF＝|BE﹣AF|；②∠α+∠ACB＝180°时． 20．“一线三垂直”模型是“一线三等角”模型的特殊情况，即三个等角的度数为90°，且三组边相互垂直，所以称为“一线三垂直”模型．当模型中有一组对应边长相等时，模型中必定存在全等三角形． 【模型呈现】 （1）如图1，在等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，过点C作直线DE，AD⊥DE于点D，BE⊥DE于点E，猜想AD、BE与DE之间满足的数量关系，并说明理由； 【模型应用】 （2）如图2，在等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，过点C作直线CE，过点A作AD⊥CE于点D，过点B作BE⊥CE于点E，AD＝10，BE＝4，则DE的长为 　 　 ． 【深入探究】 （3）如图3，∠BAD＝∠CAE＝90°，AB＝AD，AC＝AE，连接BC，DE，且BC⊥AF于点F，DE与直线AF交于点G．若BC＝21，AF＝12，求△ADG的面积． 【分析】（1）证明△ACD和△CBE全等得AD＝CE，CD＝BE，进而得AD+BE＝CE+CD＝DE，由此可得出AD、BE与DE之间满足的数量关系； （2）证明△ACD和△CBE全等得CD＝BE，AD＝CE，进而得DE＝CE﹣CD＝AD﹣BE，由此即可得出DE的长； （3）过点D作DP⊥直线FG于点P，过点E作EQ⊥直线FG于点Q，同（1）证明△ABF和△DAP全等，△ACF和△EAQ全等，则BF＝AP，AF＝DP，CF＝AQ，AF＝EQ，进而得BC＝BF+CF＝2AP+PQ＝21，AF＝DP＝EQ＝12，再证明△DPG和△EQG中得PG＝QG，则PQ＝2PG，继而得AG＝AP+PG，然后由三角形的面积公式即可求出△ADG的面积． 【解答】解：（1）AD、BE与DE之间满足的数量关系是：AD+BE＝DE，理由如下： 如图1所示： 在等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC， ∴∠1+∠3＝90°， ∵AD⊥DE于点D，BE⊥DE于点E， ∴∠D＝∠E＝90°， ∴∠1+∠2＝90°， ∴∠2＝∠3， 在△ACD和△CBE中， ， ∴△ACD≌△CBE（AAS）， ∴AD＝CE，CD＝BE， ∴AD+BE＝CE+CD＝DE； （2）如图2所示： 在等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC， ∴∠1+∠2＝90°， ∵AD⊥CE于点D，BE⊥CE于点E， ∴∠ADC＝∠E＝90°， ∴∠2+∠3＝90°， ∴∠3＝∠1， 在△ACD和△CBE中， ， ∴△ACD≌△CBE（ASA）， ∴CD＝BE，AD＝CE， ∴DE＝CE﹣CD＝AD﹣BE， ∵AD＝10，BE＝4， ∴DE＝6， 故答案为：6； （3）过点D作DP⊥直线FG于点P，过点E作EQ⊥直线FG于点Q，如图3所示： 同（1）证明：△ABF≌△DAP，△ACF≌△EAQ， ∴BF＝AP，AF＝DP，CF＝AQ，AF＝EQ， ∴BC＝BF+CF＝AP+AQ＝AP+AP+PQ＝2AP+PQ，AF＝DP＝EQ， ∵BC＝21，AF＝12， ∴2AP+PQ＝21，DP＝EQ＝12， ∵DP⊥直线FG，EQ⊥直线FG于点Q， ∴∠DPG＝∠EQG＝90°， 在△DPG和△EQG中， ， ∴△DPG≌△EQG（AAS）， ∴PG＝QG， ∴PQ＝2PG， ∴2AP+2PG＝21， ∴AG＝AP+PG， ∴△ADG的面积为：AG•DP63． 21．“在一条直线上有三个直角顶点”的几何图形，我们一般称其为“一线三垂直”图形，随着几何学习的深入，我们还将对这类图形有更深入的探索： （1）如图1，△ABC、△ADB和△ACE都是直角三角形，其中AC＝AB，且直角顶点都在直线l上，探索AD、BD、DE之间的数量关系，并证明你的结论． （2）如图2，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，过点A作直线AE，BD⊥AE于点D，CE⊥AE于点E，若BD＝12，DE＝7，请直接写出△ACE的面积 　 　 ； （3）如图3，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠ACB＝∠AED＝90°，AC＝BC，AE＝DE，且点E在BC上，连接BD，试猜想线段AB与线段BD的位置关系，并证明你的结论． 【分析】（1）证明△AEC和△BDA全等得AE＝BD，进而得AD+BD＝AD+AE＝DE，由此即可得出AD、BD、DE之间的数量关系； （2）证明△BDA和△AEC全等得BD＝AE，AD＝CD，再根据BD＝12，DE＝7得BD＝AE＝12，EC＝5，再根据三角形的面积公式即可得出△ACE的面积； （3）在CA上截取CF＝CE，连接EF，证明△CDF是等腰直角三角形得∠AFE＝135°，证明△AFE和△EBD全等得∠AFD＝∠EBD＝135°，进而得∠ABD＝90°，由此即可得出线段AB与线段BD的位置关系． 【解答】解：（1）AD、BD、DE之间的数量关系是：AD+BD＝DE，证明如下： 如图1所示： ∵△ABC是直角三角形，且AC＝AB， ∴∠BAC＝90°， ∴∠1+∠2＝90°， ∵△ADB和△ACE都是直角三角形，且直角顶点都在直线l上， ∴∠AEC＝∠BDA＝90°， ∴∠1+∠3＝90°， ∴∠2＝∠3， 在△AEC和△BDA中， ， ∴△AEC≌△BDA（AAS）， ∴AE＝BD， ∴AD+BD＝AD+AE＝DE； （2）如图2所示： 在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC， ∴∠1+∠2＝90°， ∵BD⊥AE，CE⊥AE， ∴∠BDA＝∠E＝90°， ∴∠2+∠3＝90°， ∴∠3＝∠1， 在△BDA和△AEC中， ， ∴△BDA≌△AEC（AAS）， ∴BD＝AE，AD＝CE， ∵DE＝AE﹣AD＝BD﹣EC， ∵BD＝12，DE＝7， ∴BD＝AE＝12，7＝12﹣EC， ∴EC＝12﹣7＝5， ∴△ACE的面积为：CE•AE5×12＝30， 故答案为：30； （3）线段AB与线段BD的位置关系是：AB⊥BD，证明如下： 在CA上截取CF＝CE，连接EF，如图3所示： ∵△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠ACB＝∠AED＝90°， ∴AC＝BC，∠ABC＝45°，AE＝DE，∠1+∠AEC＝90°，∠2+∠AEC＝90°， ∴∠1＝∠2， ∵CF＝CE，∠ACB＝90°， ∴△CDF是等腰直角三角形， ∴∠3＝45°， ∴∠AFE＝180°﹣∠3＝135°， ∵AC﹣CF＝BC﹣CE， ∴AF＝EB， 在△AFE和△EBD中， ， ∴△AFE≌△EBD（SAS）， ∴∠AFE＝∠EBD＝135°， ∴∠ABD＝∠EBD﹣∠ABC＝135°﹣45°＝90°， ∴AB⊥BD． 【模型7 “角平分线”模型】 22．如图，BP是∠ABC的平分线，AP⊥BP于P连接PC，若△ABC的面积为2cm2，则△PBC的面积为 　1　 cm2． 【分析】延长AP交BC于点D，证明△APB≌△DPB（ASA）得到AP＝DP，根据三角形中线的性质即可求解． 【解答】解：延长AP交BC于点D，如图所示： ∵BP是∠ABC的平分线，AP⊥BP， ∴∠ABP＝∠DBP，∠APB＝∠DPB＝90°， 在△APB与△DPB中， ， ∴△APB≌△DPB（ASA）， ∴AP＝DP， ∴S△BDPS△ABD，S△CDPS△ADC， ∴S△PBC＝S△BDP+S△CDPS△CDAS△BDAS△ABC＝1cm2． 故答案为：1． 23．如图，△ABC中，∠BAC＝36°，AD平分∠BAC，AE⊥AD交BC的延长线于E，若CE＝BA+AC，则∠B＝　 　 ． 【分析】延长BA至M，使AM＝AC，连接EM，证明∴△AME≌△ACE从而得∠M＝∠ACE＝36°+∠B，CE＝ME，即可得ME＝BM，则∠B＝∠BEM，在△BME中利用内角和定理得方程36°+∠B+∠B+∠B＝180°，即可求得∠B的值． 【解答】解：延长BA至M，使AM＝AC，连接EM， ∵∠ACE是△ABC的外角，∠BAC＝36°， ∴∠ACE＝∠B+∠BAC＝36°+∠B， ∵∠BAC＝36°，AD平分∠BAC， ∴∠BAD＝∠CAD＝18°， ∵AE⊥AD， ∴∠DAE＝90°， ∴∠MAE＝180°﹣∠BAD﹣∠DAE＝180°﹣18°﹣90°＝72°， ∠CAE＝∠DAE﹣∠DAC＝90°﹣18°＝72°， 在△AME与△ACE中： ∴△AME≌△ACE（SAS）， ∴∠M＝∠ACE＝36°+∠B，CE＝ME， ∵CE＝BA+AC，AC＝AM， ∴CE＝AB+AM＝BM， ∴ME＝BM， ∴∠B＝∠BEM， ∵∠M+∠B+∠BEM＝180°， ∴36°+∠B+∠B+∠B＝180°， 解得：∠B＝48°， 故答案为：48°． 24．如图，已知在四边形ABCD中，BD是∠ABC的平分线，AD＝CD．求证：∠A+∠C＝180°． 【分析】可考虑两种方法，一是作DF⊥BC于点F，DE⊥BA交BA的延长线于点E，由角平分线的性质得DE＝DF，而AD＝CD，可根据“HL”证明Rt△DAE≌Rt△DCF，得∠DAE＝∠C，由∠BAD+∠DAE＝180°，得∠BAD+∠C＝180°；二是在BC上截取HB＝AB，连接HD，可根据“SAS”证明△HBD≌△ABD，得∠BHD＝∠A，HD＝AD＝CD，则∠CHD＝∠C，由∠BHD+∠CHD＝180°，得∠A+∠C＝180°． 【解答】证明方法一：如图1，作DF⊥BC于点F，DE⊥BA交BA的延长线于点E，则∠E＝∠DFC＝90°， ∵BD是∠ABC的平分线， ∴DE＝DF， 在Rt△DAE和Rt△DCF中， ， ∴Rt△DAE≌Rt△DCF（HL）， ∴∠DAE＝∠C， ∵∠BAD+∠DAE＝180°， ∴∠BAD+∠C＝180°． 证明方法二：如图2，在BC上截取HB＝AB，连接HD， ∵BD是∠ABC的平分线， ∴∠HBD＝∠ABD， 在△HBD和△ABD中， ， ∴△HBD≌△ABD（SAS）， ∴∠BHD＝∠A，HD＝AD， ∵AD＝CD， ∴HD＝CD， ∴∠CHD＝∠C， ∵∠BHD+∠CHD＝180°， ∴∠A+∠C＝180°． 25．如图，△ABC中，∠ABC＝60°，AD、CE分别平分∠BAC、∠ACB，AD、CE相交于点P （1）求∠CPD的度数； （2）若AE＝3，CD＝7，求线段AC的长． 【分析】（1）利用∠ABC＝60°，AD、CE分别平分∠BAC，∠ACB，即可得出答案； （2）由题中条件可得△APE≌△APF，进而得出∠APE＝∠APF，通过角之间的转化可得出△CPF≌△CPD，进而可得出线段之间的关系，即可得出结论． 【解答】解：（1）∵∠ABC＝60°，AD、CE分别平分∠BAC，∠ACB， ∴∠BAC+∠BCA＝120°，∠PAC+∠PCA（∠BAC+∠BCA）＝60°， ∴∠APC＝120°， ∴∠CPD＝60°． （2）如图，在AC上截取AF＝AE，连接PF． ∵AD平分∠BAC， ∴∠BAD＝∠CAD， 在△APE和△APF中 ， ∴△APE≌△APF（SAS）， ∴∠APE＝∠APF， ∵∠APC＝120°， ∴∠APE＝60°， ∴∠APF＝∠CPD＝60°＝∠CPF， 在△CPF和△CPD中， ， ∴△CPF≌△CPD（ASA） ∴CF＝CD， ∴AC＝AF+CF＝AE+CD＝3+7＝10． 【模型8 “半角”模型】 26．（1）如图①，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B＝∠D＝90°，∠BAD＝60°，E、F分别是边BC、CD上的点，且∠EAF＝30°，连接EF，试判断BE，EF，DF之间的数量关系，并说明理由； （2）如图②，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E、F分别是边BC、CD上的点，且∠EAF∠BAD，连接EF．探究（1）中的结论是否成立，请说明理由； （3）在（2）的条件下，若点E、F分别在边CB、DC的延长线上，探究BE、EF、DF之间的数量关系，并说明理由． 【分析】（1）结论：EF＝BE+DF．如图①中，延长CD得到M，使得DM＝EB．证明△ABE≌△ADM（SAS），推出AE＝AM，∠BAE＝∠DAM，再证明△EAF≌△MAF（SAS），可得结论； （2）结论不变，证明方法类似（1）； （3）结论：EF＝DF﹣BE．如图③中，在DC上取一点M，使得DM＝EB．证明方法类似（1）． 【解答】解：（1）结论：EF＝BE+DF． 理由：如图①中，延长CD得到M，使得DM＝EB． 在△ABE和△ADM中， ， ∴△ABE≌△ADM（SAS）， ∴AE＝AM，∠BAE＝∠DAM， ∴∠EAM＝∠BAD＝60°， ∴∠EAF＝∠MAF＝30°， 在△EAF和△MAF中， ， ∴△EAF≌△MAF（SAS）， ∴EF＝FM＝BE+DF； （2）结论不变：EF＝BE+DF． 理由：如图②中，延长CD得到M，使得DM＝EB． ∵∠B+∠ADC＝180°，∠ADC+∠ADM＝180°， ∴∠B＝∠ADM， 在△ABE和△ADM中， ， ∴△ABE≌△ADM（SAS）， ∴AE＝AM，∠BAE＝∠DAM， ∴∠EAM＝∠BAD， ∵∠EAF∠BAD， ∴∠EAF＝∠MAF， 在△EAF和△MAF中， ， ∴△EAF≌△MAF（SAS）， ∴EF＝FM＝BE+DF； （3）结论：EF＝DF﹣BE． 理由：如图③中，在DC上取一点M，使得DM＝EB． ∵∠ABC+∠ADC＝180°，∠ABC+∠ABE＝180°， ∴∠D＝∠ABE， 在△ABE和△ADM中， ， ∴△ABE≌△ADM（SAS）， ∴AE＝AM，∠BAE＝∠DAM， ∴∠EAM＝∠BAD， ∵∠EAF∠BAD， ∴∠EAF＝∠MAF， 在△EAF和△MAF中， ， ∴△EAF≌△MAF（SAS）， ∴EF＝FM＝DF﹣BE； 27．【基本模型】如图，ABCD是正方形，∠EAF＝45°，当E在BC边上，F在CD边上时，如图1，BE、DF与EF之间的数量关系为 ． 【模型运用】当E点在BC的延长线上，F在CD的延长线上时，如图2，请你探究BE、DF与EF之间的数量关系，并证明你的结论： ． 【拓展延伸】如图3，已知AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E在线段BC上，F在线段CD上，，请你直接写出BE、DF与EF之间的数量关系． 【分析】【基本模型】结论：EF＝BE+DF．将△ADF绕点A顺时针旋转，使AD与AB重合，得到△ABF′，然后求出∠EAF′＝∠EAF＝45°，利用“边角边”证明△AEF和△AEF′全等，根据全等三角形对应边相等可得EF＝EF′，从而得解； 【模型运用】结论：EF＝BE﹣DF，证明方法类似（1）； 【拓展延伸】结论：EF＝BE+DF．将△ADF绕点A顺时针旋转，使AD与AB重合，得到△ABF′，根据旋转变换的性质可得△ADF和△ABF′全等，根据全等三角形对应角相等可得∠BAF′＝∠DAF，对应边相等可得AF′＝AF，BF′＝DF，对应角相等可得∠ABF′＝∠D，再根据∠EAF∠BAD证明∠EAF′＝∠EAF，并证明E、B、F′三点共线，然后利用“边角边”证明△AEF和△AEF′全等，根据全等三角形对应边相等可得EF′＝EF，从而得解． 【解答】解：【基本模型】结论：EF＝BE+DF． 理由：如图1，将△ADF绕点A顺时针旋转，使AD与AB重合，得到△ABF′， ∵∠EAF＝45°， ∴∠EAF′＝∠EAF＝45°， 在△AEF和△AEF′中， ， ∴△AEF≌△AEF′（SAS）， ∴EF＝EF′， 又EF′＝BE+BF′＝BE+DF， ∴EF＝BE+DF． 故答案为：EF＝BE+DF； 【模型运用】结论：EF＝BE﹣DF． 理由：如图2，将△ADF绕点A顺时针旋转，使AD与AB重合，得到△ABF′， ∵∠EAF＝45°， ∴∠EAF′＝∠EAF＝45°， 在△AEF和△AEF′中， ， ∴△AEF≌△AEF′（SAS）， ∴EF＝EF′， 又EF′＝BE﹣BF′＝BE﹣DF， ∴EF＝BE﹣DF． 故答案为：EF＝BE﹣DF； 【拓展延伸】结论：EF＝BE+DF． 理由：如图3，将△ADF绕点A顺时针旋转，使AD与AB重合，得到△ABF′， 则△ADF≌△ABF′， ∴∠BAF′＝∠DAF，AF′＝AF，BF′＝DF，∠ABF′＝∠D， 又∵∠EAF∠BAD， ∴∠EAF＝∠DAF+∠BAE＝∠BAE+∠BAF′， ∴∠EAF＝∠EAF′， 又∵∠ABC+∠D＝180°， ∴∠ABF′+∠ABE＝180°， ∴F′、B、E三点共线， 在△AEF与△AEF′中， ， ∴△AEF≌△AEF′（SAS）， ∴EF＝EF′， 又∵EF′＝BE+BF′， ∴EF＝BE+DF． 28．（1）问题背景：如图1，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝120°，∠B＝∠ADC＝90°，E、F分别是BC、CD上的点，且∠EAF＝60°．探究图中线段BE，EF，FD之间的数量关系； （2）探索延伸：如图2，若在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°．E、F分别是BC、CD上的点．且．上述结论是否仍然成立，并说明理由； （3）结论应用：如图3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（O处）北偏西30°的A处，舰艇乙在指挥中心南偏东70°的B处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等．接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以60海里/小时的速度前进，舰艇乙沿北偏东50°的方向以80海里/小时的速度前进，1.5小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达E、F处，且两舰艇与指挥中心O之间的夹角∠EOF＝70°，试求此时两舰艇之间的距离． 【分析】（1）延长FD到G，使DG＝BE，连接AG，先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，则可得到结论； （2）延长FD到G，使DG＝BE，连接AG，证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，则结论可求； （3）连接EF，延长AE、BF交于点C，利用已知条件得到：四边形OABC中：OA＝OB，∠OAC+∠OBC＝180°且∠EOF＝∠AOB，符合【探索延伸】具备的条件，则EF＝AE+BF． 【解答】解：（1）延长FD到G，使DG＝BE，连接AG，如图， 在Rt△ABE和Rt△ADG中， ， ∴△ABE≌△ADG（SAS）， ∴AE＝AG，∠BAE＝∠DAG， ∵∠BAD＝∠BAE+∠EAD，∠EAG＝∠EAD+∠DAG， ∴∠BAD＝∠EAG． ∵∠EAF∠BAD， ∴∠EAF∠EAG， ∴∠EAF＝∠GAF． 在△AEF和△AGF中， ， ∴△AEF≌△AGF（SAS）， ∴EF＝FG， ∵GF＝GD+DF＝DF+BE， ∴EF＝BE+DF； 故答案为：EF＝BE+FD； （2）结论仍然成立：EF＝BE+DF． 证明：延长FD到G，使DG＝BE，连接AG，如图， ∵∠B+∠ADC＝180°，∠ADC+∠ADG＝180°， ∴∠B＝∠ADG， 在△ABE和△ADG中， ， ∴△ABE≌△ADG（SAS）， ∴AE＝AG，∠BAE＝∠DAG， ∵∠BAD＝∠BAE+∠EAD，∠EAG＝∠EAD+∠DAG， ∴∠BAD＝∠EAG． ∵∠EAF∠BAD， ∴∠EAF∠EAG， ∴∠EAF＝∠GAF． 在△AEF和△AGF中， ， ∴△AEF≌△AGF（SAS）， ∴EF＝FG， ∵GF＝GD+DF＝DF+BE， ∴EF＝BE+DF； （3）连接EF，延长AE、BF交于点C，如图， ∵∠AOB＝30°+90°+（90°﹣70°）＝140°，∠EOF＝70°， ∴∠EOF∠AOB， ∵OA＝OB，∠OAC+∠OBC＝（90°﹣30°）+（70°+50°）＝180°， ∴四边形OABC中：OA＝OB，∠OAC+∠OBC＝180°， ∴四边形OABC符合探索延伸中的条件， ∴结论EF＝AE+BF成立， 即EF＝AE+BF＝1.5×60+1.5×80＝210（海里）， ∴此时两舰艇之间的距离是210海里． 【模型9 “手拉手”模型】 29．如图，CA＝CB，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝α，AD、BE交于点H，连CH． （1）求证：△ACD≌△BCE； （2）求证：HC平分∠AHE； （3）求∠CHE的度数．（用含α的式子表示） 【分析】（1）由CA＝CB，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝α，利用SAS，即可判定：△ACD≌△BCE； （2）首先作CM⊥AD于M，CN⊥BE于N，由△ACD≌△BCE，可证∠CAD＝∠CBE，再证△ACM≌△BCN，（或证△ECN≌△DCM），可得CM＝CN，即可证得HC平分∠AHE； （3）由△ACD≌△BCE，可得∠CAD＝∠CBE，继而求得∠AHB＝∠ACB＝α，则可求得∠CHE的度数． 【解答】（1）证明：∵∠ACB＝∠DCE＝α， ∴∠ACD＝∠BCE， 在△ACD和△BCE中， ， ∴△ACD≌△BCE（SAS）； （2）证明：过点C作CM⊥AD于M，CN⊥BE于N， ∵△ACD≌△BCE， ∴∠CAM＝∠CBN， 在△ACM和△BCN中， ， ∴△ACM≌△BCN（AAS）， ∴CM＝CN， ∴HC平分∠AHE； （3）∵△ACD≌△BCE， ∴∠CAD＝∠CBE， ∴∠AHB＝∠ACB＝α， ∴∠AHE＝180°﹣α， ∴∠CHE∠AHE＝90°α． 30．如图1，在△ABC中，∠ACB为锐角，点D为射线BC上一动点，连接AD，以AD为一边且在AD的右侧作等腰Rt△ADE，如果AB＝AC，∠BAC＝90°．解答下列问题： （1）如图1，当点D在线段BC上时（与点B不重合），线段CE，BD之间的位置关系为 ，数量关系为 CE＝BD ； （2）如图2，当点D在线段BC的延长线上时，（1）中的结论是否仍然成立，为什么？ （3）如图3，如果AB≠AC，∠BAC≠90°，当∠BCA＝45°时，请你判断线段CE，BD之间的位置关系，并说明理由． 【分析】（1）易证∠B＝∠ACB＝45°，再证△ABD≌△ACE（SAS），得出∠ACE＝∠B＝45°，CE＝BD，则∠ECB＝∠ACE+∠ACB＝90°，即可得出答案； （2）同（1）证△ABD≌△ACE（SAS），得出∠ACE＝∠B＝45°，CE＝BD，则∠ECB＝∠ACE+∠ACB＝90°，即可得出（1）中的结论仍然成立； （3）过点A作AP⊥AC交BC于点P，则∠APC＝45°，AP＝AC，证△APD≌△ACE（SAS），得出∠ACE＝∠APD＝45°，则∠ECB＝∠ACE+∠ACB＝90°，即可得出结论． 【解答】解：（1）∵AB＝AC，∠BAC＝90°， ∴∠B＝∠ACB＝45°， ∵△DAE是等腰直角三角形， ∴AD＝AE，∠DAE＝90°， ∵∠BAD＝90°﹣∠DAC，∠CAE＝90°﹣∠DAC， ∴∠BAD＝∠CAE， 在△ABD和△ACE 中， ， ∴△ABD≌△ACE（SAS）， ∴∠ACE＝∠B＝45°，CE＝BD， ∴∠ECB＝∠ACE+∠ACB＝45°+45°＝90°， 即CE⊥BD， 故答案为：CE⊥BD，CE＝BD； （2）当点D在线段BC的延长线上时，（1）中的结论仍然成立，理由如下： ∵AB＝AC，∠BAC＝90°， ∴∠B＝∠ACB＝45°， ∵△DAE是等腰直角三角形， ∴AD＝AE，∠DAE＝90°， ∵∠BAD＝90°+∠DAC，∠CAE＝90°+∠DAC， ∴∠BAD＝∠CAE， 在△ABD和△ACE 中， ， ∴△ABD≌△ACE（SAS）， ∴∠ACE＝∠B＝45°，CE＝BD， ∴∠ECB＝∠ACE+∠ACB＝45°+45°＝90°， 即CE⊥BD， ∴（1）中的结论仍然成立； （3）如图3，当∠ACB＝45°时，CE⊥BD，理由如下： 过点A作AP⊥AC交BC于点P， 则∠APC＝45°，AP＝AC， ∵∠DAP＝90°﹣∠DAC，∠EAC＝90°﹣∠DAC， ∴∠DAP＝∠EAC， 在△APD和△ACE中， ， ∴△APD≌△ACE（SAS）， ∴∠ACE＝∠APD＝45°， ∴∠ECB＝∠ACE+∠ACB＝45°+45°＝90°， 即 CE⊥BC． 31．综合实践：在学习全等三角形的知识时，数学兴趣小组发现这样一个模型：它是由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成的，在相对位置变化的同时，始终存在一对全等三角形，兴趣小组成员经过研讨给出定义：如果两个等腰三角形的顶角相等，且顶角的顶点互相重合，则称此图形为“手拉手全等模型”，因为顶点相连的四条边，可以形象地看作两双手，所以通常称为“手拉手模型”，如图1，△ABC与△ADE都是等腰三角形，其中∠BAC＝∠DAE，则△BAD≌△CAE（SAS）． 【初步把握】如图2，△ABC与△ADE都是等腰三角形，AB＝AC，AD＝AE，且∠BAC＝∠DAE，请直接写出图中的一对全等三角形：　 ； 【深入研究】如图3，已知△ABC，以AB、AC为边分别向外作等边△ABD和等边△ACE，BE、CD交于点Q，求∠DQB的大小． 【拓展延伸】如图4，在两个等腰直角△ABC和△ADE中，AB＝AC，AE＝AD，∠BAC＝∠DAE＝90°，连接BD，CE，交于点P，请判断BD和CE的关系，并说明理由． 【分析】【初步把握】先证明∠BAD＝∠CAE，再利用“SAS”证明△BAD≌△CAE即可； 【深入研究】由等边三角形的性质可得AB＝AD，AE＝AC，∠BAD＝∠CAE＝60°，再证明∠DAC＝∠BAE，进而证明△ABE≌△ADC（SAS），得出∠ADC＝∠ABE，即可得解； 【拓展延伸】证明△ABD≌△ACE（SAS），得出BD＝CE，∠ABD＝∠ACE，即可得解． 【解答】解：【初步把握】△BAD≌△CAE；理由如下： ∵∠BAC＝∠DAE，∠BAC+∠CAD＝∠BAD，∠DAE+∠CAD＝∠CAE， ∴∠BAD＝∠CAE， 在△BAD和△CAE中， ， ∴△BAD≌△CAE（SAS）， 故答案为：△BAD≌△CAE； 【深入研究】∵以AB、AC为边分别向外作等边△ABD和等边△ACE， ∴∠BAD＝∠CAE＝60°，AB＝AD，AE＝AC， ∴∠BAD+∠BAC＝∠CAE+∠BAC， ∴∠DAC＝∠BAE， 在△ABE和△ADC中， ， ∴△ABE≌△ADC（SAS）， ∴∠ADC＝∠ABE． ∵∠BQD+∠ABE＝∠BAD+∠ADC， ∴∠DQB＝∠DAB＝60°； 【拓展延伸】BD＝CE，BD⊥CE；理由如下： ∵∠BAC＝∠DAE＝90°，∠BAC+∠BAE＝∠CAE，∠DAE+∠BAE＝∠BAD， ∴∠CAE＝∠BAD， 在△ABD和△ACE中， ， ∴△ABD≌△ACE（SAS）， ∴∠ABD＝∠ACE，BD＝CE， ∵∠BPC+∠ABD＝∠BAC+∠ACE， ∴∠BPC＝∠BAC＝90°， ∴BD⊥CE． 【模型10 将军饮马之“两定一动”模型】 32．如图，等边△ABC中，D为AC中点，点P、Q分别为AB、AD上的点，BP＝AQ＝4，QD＝3，在BD上有一动点E，则PE+QE的最小值为 　 　． 【分析】作点Q关于BD的对称点Q′，连接PQ′交BD于E，连接QE，此时PE+EQ的值最小．最小值PE+QE＝PE+EQ′＝PQ′． 【解答】解：如图，∵△ABC是等边三角形， ∴BA＝BC，∠A＝60° ∵D为AC中点， ∴BD⊥AC， 作点Q关于BD的对称点Q′，连接PQ′交BD于E，连接QE，此时PE+EQ的值最小．最小值PE+QE＝PE+EQ′＝PQ′， ∵BP＝AQ＝4，QD＝3， ∴AD＝DC＝AQ+QD＝7，QD＝DQ′＝3 ∴CQ′＝CD﹣DQ′＝4＝BP， ∴AP＝AQ′＝10， ∵∠A＝60°， ∴△APQ′是等边三角形， ∴PQ′＝PA＝10， ∴PE+QE的最小值为10． 故答案为：10． 33．如图，△ABC是等边三角形，AD是BC边上的高，E点是AC边的中点，P是AD上的一个动点，连接PE、PC，当PC+PE的值最小时，则∠APE的度数为 　 　． 【分析】作点E关于AD的对称点F，然后连接CF，交AD于点H，连接HE，由轴对称的性质及两点之间线段最短可得CF即为PC+PE的最小值，进而由等边三角形的性质可求解． 【解答】解：作点E关于AD的对称点F，然后连接CF，交AD于点H，连接HE， ∵△ABC是等边三角形， ∴AB＝AC＝BC，∠B＝∠ACB＝∠BAC＝60°， ∵AD⊥BC， ∴AD平分∠BAC，BD＝DC， ∵点E是AC的中点，AD垂直平分EF， ∴点F是AB的中点， ∴CF⊥AB，CF平分∠ACB， ∴∠BCF＝30°， ∴当点P与点H重合时，根据轴对称的性质及两点之间线段最短可得此时PC+PE为最小值，即为CF的长， ∴∠DHC＝∠FHP＝60°， ∵AD垂直平分EF， ∴FH＝HE， ∴∠FHP＝∠PHE＝60°， 即∠APE＝60°， 故答案为：60°． 34．如图，在等边△ABC中，D为AC中点，点P，Q分别为AB，AD上的点，BP＝AQ＝3，QD＝2，在BD上有一动点E，则PE+QE的最小值为 　 　． 【分析】作点Q关于BD的对称点Q′，连接PQ′交BD于E，连接QE，此时PE+EQ的值最小．最小值PE+QE＝PE+EQ′＝PQ′，求出PQ′即可． 【解答】解：∵△ABC是等边三角形， ∴BA＝BC， ∵D为AC中点， ∴BD⊥AC， ∵AQ＝3，QD＝2， ∴AD＝DC＝AQ+QD＝5， 如图，作点Q关于BD的对称点Q′，连接PQ′交BD于E，连接QE， PE+QE＝PE+EQ′ 当点P，E，Q′共线时，PE+EQ的值最小．最小值为PQ′， ∵AQ＝3，AD＝DC＝5， ∴QD＝DQ′＝2， ∴CQ′＝BP＝3， ∴AP＝AQ′＝7， ∵∠A＝60°， ∴△APQ′是等边三角形， ∴PQ′＝PA＝7， ∴PE+QE的最小值为7． 故答案为：7． 35．如图，在△ABC中，∠ACB＝80°，AC＝BC，点C在直线MN上，∠BCN＝30°，点P为MN上一动点，连接AP，BP．当AP+BP的值最小时，∠CBP的度数为 　 　度． 【分析】作点B关于直线MN的对称点D，连接AD，BD，CD，当点P为AD与MN的交点时，AP+BP的值最小．由轴对称易证∠CBP＝∠CDP，结合∠BCN＝30°证得△BCD是等边三角形，可得AC＝CD，结合已知根据等腰三角形性质可求出∠CDP，即可解决问题． 【解答】解：如图，作点B关于直线MN的对称点D，连接AD，BD，CD，当点P为AD与MN的交点时，AP+BP的值最小． 由轴对称可得：∠DCN＝∠BCN＝30°，CB＝CD，PB＝PD， ∴∠CBD＝∠CDB，∠PBD＝∠PDB， ∴∠CBD﹣∠PBD＝∠CDB﹣∠PDB， 即∠CBP＝∠CDP， ∵∠BCD＝∠DCN+∠BCN＝30°+30°＝60°，CB＝CD， ∴△BCD是等边三角形， ∴∠CDB＝60°， ∵AC＝BC， ∴AC＝CD， ∴∠CAD＝∠CDA， ∵∠CAD+∠CDA＝180°﹣∠ACD＝180°﹣（∠ACB+∠BCD）＝180°﹣（80°+60°）＝40°， ∴∠CAD＝∠CDA＝20°， ∴∠CBP＝∠CDA＝20°． 故答案为：20． 【模型11 将军饮马之“两动一定”模型】 36．如图，已知∠AOB＝30°，P为∠AOB内一定点；M，N分别是射线OA，射线OB上的点，若△PMN的周长最小值为6，则OP＝　 　． 【分析】设点P关于OA的对称点为C，关于OB的对称点为D，当点F、E在CD上时，△PEF的周长最小． 【解答】解：分别作点P关于OA、OB的对称点C、D，连接CD，分别交OA、OB于点E、F，连接OP、OC、OD、PE、PF． ∵点P关于OA的对称点为C，关于OB的对称点为D， ∴PE＝CE，OP＝OC，∠COA＝∠POA； ∵点P关于OB的对称点为D， ∴PF＝DF，OP＝OD，∠DOB＝∠POB， ∴OC＝OD＝OP，∠COD＝∠COA+∠POA+∠POB+∠DOB＝2∠POA+2∠POB＝2∠AOB＝60°， ∴△COD是等边三角形， ∴CD＝OC＝OD． ∴△PEF的周长的最小值＝PE+EF+PF＝CE+EF+DF≥CD＝6． ∴OP＝6． 故答案为：6． 37．如图，∠AOB＝30°，P是∠AOB内的一个定点，OP＝12cm，C，D分别是OA，OB上的动点，连接CP，DP，CD，则△CPD周长的最小值为 　 　． 【分析】分别作点P关于OA，OB的对称点E，F，连接CE，DF，EF，OF，OE，则有CP＝CE，DP＝DF，要使△CPD周长的最小值，即使DP+CP+CD＝CE+DF+CD为最小值即可，然后问题可求解． 【解答】解：分别作点P关于OA，OB的对称点E，F，连接CE，DF，EF，OF，OE，如图所示： 由轴对称可知：CP＝CE，DP＝DF，OF＝OP＝OE＝12cm，∠FOD＝∠POD，∠EOC＝∠POC， ∵∠AOB＝30°，即∠AOB＝∠POD+∠POC＝30°， ∴∠FOD+∠COE＝30°， ∴∠EOF＝60°， ∴△EOF是等边三角形， ∴EF＝OE＝12cm， ∵C△CPD＝DP+CP+CD＝CE+DF+CD， ∴要使△CPD周长的最小值，即使DP+CP+CD＝CE+DF+CD为最小值，所以当点E、F、D、C四点共线时，取得最小值，为EF的值， ∴△CPD周长的最小值为12cm； 故答案为：12cm． 38．如图，等腰△ABC中，∠BAC＝100°，BD平分∠ABC，点N为BD上一点，点M为BC上一点，且BN＝MC，若当AM+AN的最小值为4时，AB的长度是 　 　． 【分析】作∠BCE＝∠ABD＝20°，使得CE＝AB，连接EM，依据△ABN≌△ECM（SAS），即可得到AN＝EM，进而得出当A，M，E三点共线时，AN+AM的最小值等于AE的长，再根据△ACE是等边三角形，即可得到AB的长． 【解答】解：如图所示，作∠BCE＝∠ABD＝20°，使得CE＝AB，连接EM， 在△ABN和△ECM中， ， ∴△ABN≌△ECM（SAS）， ∴AN＝EM， ∴AN+AM＝EM+AM， 当A，M，E三点共线时，AN+AM的最小值等于AE的长， 又∵AM+AN的最小值为4， ∴AE的长为4， ∵∠BAC＝100°，AB＝AC， ∴∠ABC＝∠ACB＝40°， ∵CE＝AB＝AC，∠ACE＝40°+20°＝60°， ∴△ACE是等边三角形， ∴AC＝AE＝4， ∴AB＝4， 故答案为：4． 39．如图，在△ABC中，AB＝10，BC＝12，AD＝8，AD垂直平分BC，若E，F分别是AD和AC上的动点，则EC+EF的最小值是　　． 【分析】连接BE，过B作BG⊥AC于G；由AD垂直平分BC，得AB＝AC＝10，BE＝CE，则EC+EF＝BE+EF≥BF，当B、E、F三点共线，且BF⊥AC即BF，BG重合时，BF最小，从而EC+EF最小；利用面积相等关系即可求得最小值． 【解答】解：如图，连接BE，过B作BG⊥AC于G； ∵AD垂直平分BC， ∴AC＝AB＝10，BE＝CE， ∴EC+EF＝BE+EF≥BF， ∴当B、E、F三点共线时，BF最小， 此时BF⊥AC，即F、G重合， ∴BF与BG重合， 从而EC+EF最小，最小值为线段BG的长； ∵， ∴． 故答案为：． 【模型12 将军饮马之“两定两动”模型】 40．如图，∠AOB＝20°，M，N分别为OA，OB上的点，OM＝ON＝3，P，Q分别为OA，OB上的动点，则MQ+PQ+PN的最小值为 　 　． 【分析】作点M关于OB的对称点M′，点N关于OA的对称点N′，连接M′N′交OA于点P′，交OB于点Q′，连接PN′、QM′，P′N，根据轴对称的性质，得到MP+PQ+QN的最小值为M′N′，推出△M′ON′为等边三角形，进一步得出结果． 【解答】解：如图，作点M关于OB的对称点M′，点N关于OA的对称点N′，连接M′N′交OA于点P′，交OB于点Q′，连接PN′、QM′，P′N， 则MQ＝M′Q，PN＝PN′， ∴MQ+PQ+PN＝M′Q+PQ+PN′≥M′N′， ∴MQ+PQ+PN的最小值为M′N′的长． ∵OM＝OM′，ON＝ON′，MM′⊥OB，NN′⊥OA， ∠M′OB＝∠AOB＝20°，∠N′OA＝∠AOB＝20°， ∴∠M'ON'＝60°， ∴△M′ON′为等边三角形， ∴M′N′＝OM′＝3， 即MP+PQ+QN 的值最小为3； 故答案为：3 41．已知：如图，∠AOB＝30°，点M，N分别是边OA，OB上的定点，点P，Q分别是边OB，OA上的动点，记∠MPQ＝α，∠PQN＝β．当MP+PQ+QN最小时，则β﹣α＝　 　． 【分析】作M关于OB的对称点M′，N关于OA的对称点N′，连接M′N′交OA于Q，交OB于P，则MP+PQ+QN最小，易知∠OPM＝∠OPM′＝∠NPQ，∠OQP＝∠AQN′＝∠AQN，根据三角形的外角的性质和平角的定义即可得到结论． 【解答】解：如图，作M关于OB的对称点M′，N关于OA的对称点N′，连接M′N′交OA于Q，交OB于P，则MP+PQ+QN最小， ∴∠OPM＝∠OPM′＝∠NPQ，∠OQP＝∠AQN′＝∠AQN， ∴∠QPN（180°﹣α） ∵∠QPN＝∠AOB+∠OQP ＝∠AOB+∠AQN' ＝∠AOB ＝30°（180°﹣β）， ∴（180°﹣α）＝30°（180°﹣β）， ∴180°﹣α＝60°+（180°﹣β）， ∴180°﹣α＝240°﹣β， ∴β﹣α＝240°﹣180°， ∴β﹣α＝60°， 故答案为60°． 42．在△ABC中，若AB＝AC，∠A＝40°，点E、F分别为AC和AB上的动点，BE与CF相交于G点，当BE+EF+CF的值最小时，则∠ABE＝　 　°． 【分析】将△ABC沿着AC翻折，再沿着AB′翻折，连接BC′交AB′于点F′，交AC于点E，在AB边上截取AF＝AF′，连接EF，根据垂线段最短即可解决问题． 【解答】解：如图，将△ABC沿着AC翻折，再沿着AB′翻折，连接BC′交AB′于点F′，交AC于点E， 在AB边上截取AF＝AF′，连接EF， ∴EF＝EF′， ∴BE+EF+CF＝BE+EF′+F′C″＝BC″最小， ∵AB＝AC，∠A＝40°， 由翻折可知：∠BAC＝∠B′AC＝∠B′AC″＝40°，AB＝AB′＝AC″， 在△ABC′中，3×40°+2∠ABE＝180°， ∴∠ABE＝30°， 故答案为：30． 43．如图，∠BAC＝38°，点D，点P分别是AB，AC上的定点，∠DPA＜14°，点E，点F分别是AC，AB上的动点，当DE+EF+FP的值最小时，∠EFP﹣∠DEF＝　 　． 【分析】作点P关于AB的对称点P'，点D关于AC的对称点D'，如图，由此可知DE+EF+FP＝D'E+EF+FP'≥D'P'，可得当D'，E，F，P'在同一直线上时，DE+EF+FP的值最小，根据轴对称的性质及三角形内角和定理可得，∠PAP'+∠P'+∠AED+∠DEF＝∠FEP+∠APF+∠EFP，进而得∠PAP'+∠DEF＝∠EFP，即可得答案． 【解答】解：作点P关于AB的对称点P'，点D关于AC的对称点D'，如图， 则：FP＝FP'，DE＝D′E， ∴DE+EF+FP＝D'E+EF+FP'≥D'P'， ∴当D'，E，F，P'在同一直线上时，DE+EF+FP的值最小，如图，连接AP′，AD' 由轴对称可知，∠BAP'＝∠ABC＝38°，即：∠PAP'＝76°，∠AED＝AED'＝∠FEP，∠P'＝∠APF， 由三角形的内角和可得：∠PAP'+∠P'+∠AED+∠DEF＝∠FEP+∠APF+∠EFP， 则：∠PAP'+∠DEF＝∠EFP， ∴∠EFP﹣∠DEF＝∠PAP'＝76°， 故答案为：76°． 第 1 页 共 3 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 完成时间： 月 日 天气： 作业14 几何12大模型专项训练 【模型1 “A字”模型】 1．如图，将一个三角形剪去一个角后，∠1+∠2＝230°，则∠A等于（　　） A．35° B．50° C．65° D．70° 2．探索归纳： （1）如图1，已知△ABC为直角三角形，∠A＝90°，若沿图中虚线剪去∠A，则∠1+∠2＝　 　 ； （2）如图2，已知△ABC中，∠A＝30°，剪去∠A后成四边形，则∠1+∠2＝　 　 ； （3）如图2，根据（1）与（2）的求解过程，你归纳猜想∠1+∠2与∠A的关系是 　 ； （4）如图3，若没有剪掉，而是把它折成如图3形状，试探究∠1+∠2与∠A的关系，并说明理由． 3．在△ABC和△DEF中，∠A＝40°，∠E+∠F＝70°，将△DEF放置在△ABC上，使得∠D的两条边DE、DF分别经过点B、C． （1）当将△DEF如图1放置在△ABC上时，求∠ABD+∠ACD的大小； （2）当将△DEF如图2放置在△ABC上时，求∠ABD+∠ACD的大小． 【模型2 “8字”模型】 4．如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F等于（　　） A．240° B．300° C．360° D．540° 5．如图1，线段AB、CD相交于点O，连接AD、CB，我们把形如图1的图形称之为“8字形”．如图2，在图1的条件下，∠DAB和∠BCD的平分线AP和CP相交于点P，并且与CD、AB分别相交于M、N．试解答下列问题： （1）在图1中，证明：∠A+∠D＝∠C+∠B； （2）仔细观察，在图2中“8字形”的个数：　6　 个； （3）图2中，当∠D＝50度，∠B＝40度时，求∠P的度数． （4）图2中∠D和∠B为任意角时，其他条件不变，试问∠P与∠D、∠B之间存在着怎样的数量关系．（直接写出结果，不必证明）． 6．【问题背景】 （1）如图1的图形我们把它称为“8字形”，请说明∠A+∠B＝∠C+∠D； 【简单应用】 （2）如图2，AP、CP分别平分∠BAD、∠BCD，若∠ABC＝44°，∠ADC＝18°，求∠P的度数； 【问题探究】 （3）如图3，直线AP平分∠BAD的外角∠FAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，若∠ABC＝46°，∠ADC＝26°，请猜想∠P的度数，并说明理由． 【拓展延伸】 （4）在图4中，若设∠ABC＝α，∠ADC＝β，AP平分∠BAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，猜想∠P与∠ABC、∠ADC的关系，直接写出结论（用α、β表示∠P）． 【模型3 “燕尾”模型】 7．已知：点D是△ABC所在平面内一点，连接AD、CD． （1）如图1，若∠A＝28°，∠B＝72°，∠C＝11°，求∠ADC； （2）如图2，若存在一点P，使得PB平分∠ABC，同时PD平分∠ADC，探究∠A，∠P，∠C的关系并证明． 8．【模型建立】（1）如图①，凹四边形ABOC．因为酷似燕尾，所以称之“燕尾型”求证：∠BOC＝∠A+∠B+∠C； 【模型应用】（2）一张帆布折椅的侧面示意图如图②所示，∠A＝38°，∠D＝12°，∠ABC＝64°，∠BCD＝46°，求椅面和椅背的夹角∠AED的度数； 【模型迁移】（3）如图③，∠ABC＝100°，∠DEF＝130°，求∠A+∠C+∠D+∠F的度数． 9．（1）如图①，∠A＝52°，∠B＝25°，∠C＝30°，∠D＝35°，∠E＝72°，求∠F的度数； （2）如图②，∠EGC＝105°，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F． 10．探究与发现： 如图1所示的图形，像我们常见的学习用品——圆规．我们不妨把这样图形叫做“规形图”，那么在这一个简单的图形中，到底隐藏了哪些数学知识呢？下面就请你发挥你的聪明才智，解决以下问题： （1）观察“规形图”，试探究∠BDC与∠A、∠B、∠C之间的关系，并说明理由； （2）请你直接利用以上结论，解决以下三个问题： ①如图2，把一块三角尺XYZ放置在△ABC上，使三角尺的两条直角边XY、XZ恰好经过点B、C，若∠A＝50°，则∠ABX+∠ACX＝　　 °； ②如图3，DC平分∠ADB，EC平分∠AEB，若∠DAE＝50°，∠DBE＝130°，则∠DCE＝　　 °； ③如图4，∠ABD，∠ACD的10等分线相交于点G1，G2…，G9，若∠BDC＝140°，∠BG1C＝77°，求∠A的度数． 【模型4 “双角平分线”模型】 11．如图，在△ABC中，∠ABC，∠ACB的平分线BE，CD相交于点F，∠A＝60°，则∠BFC等于（　　） A．100° B．110° C．120° D．150° 12．如图在△ABC中，BO，CO分别平分∠ABC，∠ACB，交于O，CE为外角∠ACD的平分线，BO的延长线交CE于点E，记∠BAC＝∠1，∠BEC＝∠2，则以下结论①∠1＝2∠2，②∠BOC＝3∠2，③∠BOC＝90°+∠1，④∠BOC＝90°+∠2正确的是（　　） A．①②③ B．①③④ C．①④ D．①②④ 13．如图，在△ABC中，点O是△ABC内部∠ABC的平分线上一点，连接OC，点P是∠BOC、∠OCB平分线的交点，若∠P＝100°，则∠ABC的度数为　 　 °． 14．在△ABC中，∠ABC，∠ACB的平分线交于点O，∠ACB的外角平分线所在直线与∠ABC的平分线相交于点D，与∠ABC的外角平分线相交于点E，则下列结论一定正确的是 　 　 ．（填写所有正确结论的序号） ①；②；③∠E＝∠A；④∠E+∠DCF＝90°+∠ABD． 【模型5 “倍长中线”模型】 15．阅读下列材料，解决相应问题： 数学活动课上，老师提出了如下问题：如图1，已知△ABC中，AD是BC边上的中线． 求证：AB+AC＞2AD． 证明方法如下： 证明：如图2，延长AD至E，使DE＝AD， ∵AD是BC边上的中线， ∴BD＝CD， 在△BDE和△CDA中， ， ∴△BDE≌△CDA， ∴BE＝CA， 在△ABE中，AB+BE＞AE， ∴AB+AC＞2AD． 归纳总结：上述方法是通过延长中线AD，使DE＝AD，构造了一对全等三角形，将AB，AC，AD转化到一个三角形中，进而解决问题，这种方法叫做“倍长中线法”．“倍长中线法”多用于构造全等三角形和证明边之间的关系． 解决下列问题： （1）如图3，AB＝3，AC＝4，则AD的取值范围是 　 　 ； （2）如图4，在图3的基础上，分别以AB和AC为边作等腰直角三角形，在Rt△ABE中，∠BAE＝90°，AB＝AE；Rt△ACF中，∠CAF＝90°，AC＝AF．连接EF．试探究EF与AD的数量关系，并说明理由． 16．【问题背景】如图①：在△ABC中，若AB＝6，AC＝4，点D为BC边的中点，求BC边上的中线AD的取值范围．可使用倍长中线法：延长AD到点E，使DE＝AD，再连接BE，可证△ACD≌△EBD，从而把AB、AC，2AD集中在△ABE中，利用三角形三边的关系即可判断中线AD的取值范围． （1）【探究应用】如图②，在△ABC中，点D是BC的中点，DE⊥DF于点D，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连接EF，判断BE+CF与EF的大小关系，并说明理由； （2）【问题拓展】如图③，在四边形ABCD中，AB∥CD，AF与DC的延长线交于点F，点E是BC的中点，若AE是∠BAF的角平分线，试探究线段AB、AF、CF之间的数量关系，并说明理由． 17．中线是三角形中的重要线段之一，在利用中线解决几何问题时，常常采用“倍长中线法”添加辅助线． （1）如图①，△ABC中，若AB＝4，AC＝6，求BC边上的中线AD的取值范围； 同学们经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD至点E，使DE＝DA，连接BE． 请你根据同学们的方法解答下面的问题： ①根据题意，补全图形； ②由已知和作图能得到△ADC≌△EDB，其依据是 （用字母表示）； ③由三角形的三边关系可以求得AD的取值范围是 　 　 （直接填空）； （2）如图②，在△ABC和△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC+∠DAE＝180°，连接BE，CD，若AM为△ACD的中线，猜想AM与BE的数量关系并说明理由． 【模型6 “一线三等角”模型】 18．如图，在△ABC中，AB＝AC＝4，∠B＝40°，点D在线段BC上运动（点D不与点B、C重合），连接AD，作∠ADE＝40°，DE交线段AC于点E． （1）当∠BDA＝120°时，∠EDC＝　 　 ，∠AED＝　 　 ； （2）线段DC的长度为何值时，△ABD≌△DCE，请说明理由； （3）在点D的运动过程中，当△ADE是等腰三角形时，求∠CDE的度数． 19．CD经过∠BCA顶点C的一条直线，CA＝CB．E，F分别是直线CD上两点，且∠BEC＝∠CFA＝∠α． （1）若直线CD经过∠BCA的内部，且E，F在射线CD上，请解决下面两个问题： ①如图1，若∠BCA＝90°，∠α＝90°，则BE　 　 CF；EF　 　 |BE﹣AF|（填“＞”，“＜”或“＝”）； ②如图2，若0°＜∠BCA＜180°，请添加一个关于∠α与∠BCA关系的条件 　 　 ，使①中的两个结论仍然成立． （2）如图3，若直线CD经过∠BCA的外部，∠α＝∠BCA，请提出EF，BE，AF三条线段数量关系的合理猜想并给出理由． 20．“一线三垂直”模型是“一线三等角”模型的特殊情况，即三个等角的度数为90°，且三组边相互垂直，所以称为“一线三垂直”模型．当模型中有一组对应边长相等时，模型中必定存在全等三角形． 【模型呈现】 （1）如图1，在等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，过点C作直线DE，AD⊥DE于点D，BE⊥DE于点E，猜想AD、BE与DE之间满足的数量关系，并说明理由； 【模型应用】 （2）如图2，在等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，过点C作直线CE，过点A作AD⊥CE于点D，过点B作BE⊥CE于点E，AD＝10，BE＝4，则DE的长为 　 　 ． 【深入探究】 （3）如图3，∠BAD＝∠CAE＝90°，AB＝AD，AC＝AE，连接BC，DE，且BC⊥AF于点F，DE与直线AF交于点G．若BC＝21，AF＝12，求△ADG的面积． 21．“在一条直线上有三个直角顶点”的几何图形，我们一般称其为“一线三垂直”图形，随着几何学习的深入，我们还将对这类图形有更深入的探索： （1）如图1，△ABC、△ADB和△ACE都是直角三角形，其中AC＝AB，且直角顶点都在直线l上，探索AD、BD、DE之间的数量关系，并证明你的结论． （2）如图2，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，过点A作直线AE，BD⊥AE于点D，CE⊥AE于点E，若BD＝12，DE＝7，请直接写出△ACE的面积 　 　 ； （3）如图3，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠ACB＝∠AED＝90°，AC＝BC，AE＝DE，且点E在BC上，连接BD，试猜想线段AB与线段BD的位置关系，并证明你的结论． 【模型7 “角平分线”模型】 22．如图，BP是∠ABC的平分线，AP⊥BP于P连接PC，若△ABC的面积为2cm2，则△PBC的面积为 　1　 cm2． 23．如图，△ABC中，∠BAC＝36°，AD平分∠BAC，AE⊥AD交BC的延长线于E，若CE＝BA+AC，则∠B＝　 　 ． 24．如图，已知在四边形ABCD中，BD是∠ABC的平分线，AD＝CD．求证：∠A+∠C＝180°． 25．如图，△ABC中，∠ABC＝60°，AD、CE分别平分∠BAC、∠ACB，AD、CE相交于点P （1）求∠CPD的度数； （2）若AE＝3，CD＝7，求线段AC的长． 【模型8 “半角”模型】 26．（1）如图①，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B＝∠D＝90°，∠BAD＝60°，E、F分别是边BC、CD上的点，且∠EAF＝30°，连接EF，试判断BE，EF，DF之间的数量关系，并说明理由； （2）如图②，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E、F分别是边BC、CD上的点，且∠EAF∠BAD，连接EF．探究（1）中的结论是否成立，请说明理由； （3）在（2）的条件下，若点E、F分别在边CB、DC的延长线上，探究BE、EF、DF之间的数量关系，并说明理由． 27．【基本模型】如图，ABCD是正方形，∠EAF＝45°，当E在BC边上，F在CD边上时，如图1，BE、DF与EF之间的数量关系为 ． 【模型运用】当E点在BC的延长线上，F在CD的延长线上时，如图2，请你探究BE、DF与EF之间的数量关系，并证明你的结论： ． 【拓展延伸】如图3，已知AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E在线段BC上，F在线段CD上，，请你直接写出BE、DF与EF之间的数量关系． 28．（1）问题背景：如图1，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝120°，∠B＝∠ADC＝90°，E、F分别是BC、CD上的点，且∠EAF＝60°．探究图中线段BE，EF，FD之间的数量关系； （2）探索延伸：如图2，若在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°．E、F分别是BC、CD上的点．且．上述结论是否仍然成立，并说明理由； （3）结论应用：如图3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（O处）北偏西30°的A处，舰艇乙在指挥中心南偏东70°的B处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等．接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以60海里/小时的速度前进，舰艇乙沿北偏东50°的方向以80海里/小时的速度前进，1.5小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达E、F处，且两舰艇与指挥中心O之间的夹角∠EOF＝70°，试求此时两舰艇之间的距离． 【模型9 “手拉手”模型】 29．如图，CA＝CB，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝α，AD、BE交于点H，连CH． （1）求证：△ACD≌△BCE； （2）求证：HC平分∠AHE； （3）求∠CHE的度数．（用含α的式子表示） 30．如图1，在△ABC中，∠ACB为锐角，点D为射线BC上一动点，连接AD，以AD为一边且在AD的右侧作等腰Rt△ADE，如果AB＝AC，∠BAC＝90°．解答下列问题： （1）如图1，当点D在线段BC上时（与点B不重合），线段CE，BD之间的位置关系为 ，数量关系为 ； （2）如图2，当点D在线段BC的延长线上时，（1）中的结论是否仍然成立，为什么？ （3）如图3，如果AB≠AC，∠BAC≠90°，当∠BCA＝45°时，请你判断线段CE，BD之间的位置关系，并说明理由． 31．综合实践：在学习全等三角形的知识时，数学兴趣小组发现这样一个模型：它是由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成的，在相对位置变化的同时，始终存在一对全等三角形，兴趣小组成员经过研讨给出定义：如果两个等腰三角形的顶角相等，且顶角的顶点互相重合，则称此图形为“手拉手全等模型”，因为顶点相连的四条边，可以形象地看作两双手，所以通常称为“手拉手模型”，如图1，△ABC与△ADE都是等腰三角形，其中∠BAC＝∠DAE，则△BAD≌△CAE（SAS）． 【初步把握】如图2，△ABC与△ADE都是等腰三角形，AB＝AC，AD＝AE，且∠BAC＝∠DAE，请直接写出图中的一对全等三角形：　 ； 【深入研究】如图3，已知△ABC，以AB、AC为边分别向外作等边△ABD和等边△ACE，BE、CD交于点Q，求∠DQB的大小． 【拓展延伸】如图4，在两个等腰直角△ABC和△ADE中，AB＝AC，AE＝AD，∠BAC＝∠DAE＝90°，连接BD，CE，交于点P，请判断BD和CE的关系，并说明理由． 【模型10 将军饮马之“两定一动”模型】 32．如图，等边△ABC中，D为AC中点，点P、Q分别为AB、AD上的点，BP＝AQ＝4，QD＝3，在BD上有一动点E，则PE+QE的最小值为 　 　． 33．如图，△ABC是等边三角形，AD是BC边上的高，E点是AC边的中点，P是AD上的一个动点，连接PE、PC，当PC+PE的值最小时，则∠APE的度数为 　 　． 34．如图，在等边△ABC中，D为AC中点，点P，Q分别为AB，AD上的点，BP＝AQ＝3，QD＝2，在BD上有一动点E，则PE+QE的最小值为 　 　． 35．如图，在△ABC中，∠ACB＝80°，AC＝BC，点C在直线MN上，∠BCN＝30°，点P为MN上一动点，连接AP，BP．当AP+BP的值最小时，∠CBP的度数为 　 　度． 【模型11 将军饮马之“两动一定”模型】 36．如图，已知∠AOB＝30°，P为∠AOB内一定点；M，N分别是射线OA，射线OB上的点，若△PMN的周长最小值为6，则OP＝　 　． 37．如图，∠AOB＝30°，P是∠AOB内的一个定点，OP＝12cm，C，D分别是OA，OB上的动点，连接CP，DP，CD，则△CPD周长的最小值为 　 　． 38．如图，等腰△ABC中，∠BAC＝100°，BD平分∠ABC，点N为BD上一点，点M为BC上一点，且BN＝MC，若当AM+AN的最小值为4时，AB的长度是 　 　． 39．如图，在△ABC中，AB＝10，BC＝12，AD＝8，AD垂直平分BC，若E，F分别是AD和AC上的动点，则EC+EF的最小值是　　． 【模型12 将军饮马之“两定两动”模型】 40．如图，∠AOB＝20°，M，N分别为OA，OB上的点，OM＝ON＝3，P，Q分别为OA，OB上的动点，则MQ+PQ+PN的最小值为 　 　． 41．已知：如图，∠AOB＝30°，点M，N分别是边OA，OB上的定点，点P，Q分别是边OB，OA上的动点，记∠MPQ＝α，∠PQN＝β．当MP+PQ+QN最小时，则β﹣α＝　 　． 42．在△ABC中，若AB＝AC，∠A＝40°，点E、F分别为AC和AB上的动点，BE与CF相交于G点，当BE+EF+CF的值最小时，则∠ABE＝　 　°． 43．如图，∠BAC＝38°，点D，点P分别是AB，AC上的定点，∠DPA＜14°，点E，点F分别是AC，AB上的动点，当DE+EF+FP的值最小时，∠EFP﹣∠DEF＝　 　． 第 1 页 共 3 页 学科网（北京）股份有限公司 $