寒假作业13 计算题11类专项训练（巩固培优）八年级数学新教材人教版

完成时间： 月 日 天气： 作业13 计算题11类专项训练 三层必刷：巩固提升+能力培优+创新题型 【题型1 幂的综合运算】 1．计算： （1）a3•a4•a+（a2）4+（﹣2a4）2． （2）（x﹣y）•（y﹣x）5•（y﹣x）6． 2．计算： （1）a3•a2•a4+（﹣a2）4+（﹣2a4）2； （2）（﹣2x2y）3+（3x2）2•（﹣x）2•（﹣y）3． 3．计算： （1）x2•x4﹣x•（﹣x）5+x2•x3•x； （2）（2m﹣n）3•（n﹣2m）4（2m﹣n）6•（2m﹣n）． 4．计算： （1）（﹣x）n•（﹣x）2n﹣1•（﹣x）n+3 （2）（m﹣n）2•[﹣（m﹣n）4]3•（n﹣m）5 （3）﹣4xy2•（xy2）2•（﹣2x2）3 （4）（﹣a3b6）2+（﹣a2b4）3． 5．计算： （1）（﹣2x2）3﹣x•x5+（﹣3x3）2． （2）（﹣2x2y）3+（﹣x3）2（﹣y）2y． （3）已知m为正整数，试计算：（﹣a3m+2）2+（﹣a）3m+1•（﹣a）3m+2•（﹣a）． 【题型2 整式的混合运算】 6．计算： （I）（2x﹣5）（2x+5）﹣（﹣2x+5）2； （Ⅱ）[（x﹣y）（x﹣2y）﹣（3x3﹣6x2y）÷3x]÷2y． 7．计算： （1）； （2）2x（x﹣3y）+（﹣x+y）（x+y）﹣（x+2y）2． 8．计算： （1）（﹣2xy）（4x2+2xy+y2）﹣7xy3； （2）（2x+2）（x﹣1）﹣（x﹣2）（x+3）； （3）（﹣5x3y2+15x2y﹣10xy2）÷5x； （4）（x+y）2（x﹣y）2﹣（x2+y2）2． 9．计算： （1）x2•x3•x4+（x3）3﹣（﹣2x4）2•x； （2）186.72﹣2×186.7×86.7+86.72； （3）（2x+3y）2﹣（2x+y）（2x﹣y）； （4）（a+2b+3c）（a+2b﹣3c）． 10．计算或化简： （1）a4•a4+（a2）4﹣（3a4）2； （2）（2x﹣1）2﹣（x﹣1）（x﹣3）； （3）[（x﹣2y）（x+2y）+（x+y）2﹣y（x﹣3y）]÷（2x）； （4）20262﹣4052×2025+20252（简便计算）． 【题型3 整式的化简求值】 11．化简求值：[（x﹣y）2﹣x（3x﹣2y）+（x+y）（x﹣y）]÷2x，其中x＝1，y＝﹣2． 12．先化简，再求值：（2x+y）（2x﹣y）﹣（x﹣2y）2+（6x4﹣10x2y2）÷（﹣2x2），其中，y＝﹣3． 13．先化简，再求值：，其中2×4x×8x＝216，4y＝2． 14．先化简，再求值： （1），其中． （2）化简求值[（x2+y2）﹣（x﹣y）2+2y（x﹣y）]÷（﹣2y），其中|x﹣1|+（y+3）2＝0． 15．（1）化简求值：（2a+b+1）（2a﹣b﹣1）﹣（a+2b）（﹣2b+a）+2b，其中a、b满足|a+b﹣3|+（ab+2）2＝0． （2）若a、b、c满足c2＝a2+b2，且，求c的值． 【题型4 因式分解】 16．因式分解： （1）﹣2m3+12m2﹣18m； （2）x2（m﹣n）+64（m﹣n）； （3）（a﹣b）（a﹣4b）+ab； （4）x2﹣y2+4y﹣4． 17．因式分解： （1）8a3b2﹣12ab3c+6a3b2c； （2）5x（x﹣y）2+10（y﹣x）3； （3）（a2+3a）2﹣（a﹣1）2； （4）（x2﹣1）2﹣6（x2﹣1）+9． 18．分解因式： （1）56a2xy+14ax2y2﹣21a2xy2； （2）； （3）（a+b）2﹣9（a﹣b）2； （4）xy（x﹣y）﹣x（x﹣y）2． 19．因式分解 （1）8a3﹣2a； （2）4xy2﹣4x2y﹣y3； （3）（5x+6）（x﹣6）+2x（6﹣x）； （4）9（2x﹣1）2﹣6（2x﹣1）+1． 20．因式分解 （1）4x2+8xy+4y2； （2）4x2（m﹣2）+y2（2﹣m）； （3）a3﹣2a2+3a﹣6； （4）（x2﹣x）2+4（x2﹣x）﹣12． 【题型5 分式的混合运算】 21．分式化简： （1）； （2）． 22．计算： （1）（﹣3xy）3•； （2）（a﹣1）． 23．计算： （1）； （2）． 24．计算： （1）； （2）． 25．计算： （1）； （2）． 【题型6 分式的化简求值】 26．先化简，再求值：，其中a从﹣1，2，3中取一个你认为合适的数代入求值． 27．先化简，再求值：，请从﹣3，﹣1，1，2四个数中选取一个你喜欢的a代入求值． 28．先化简，再求值：，从﹣2≤x＜2中选出合适的x的整数值代入求值． 29．先化简，再求值：，其中a满足等式2a2﹣6a﹣3＝0． 30．先化简，然后从﹣1≤x≤3的范围内选取一个合适的整数作为x的值代入求值． 【题型7 解分式方程】 31．解分式方程． （1）； （2）． 32．解方程： （1）； （2）． 33．解方程： （1）； （2）． 34．解分式方程： （1）； （2）． 35．解方程： （1）； （2）． 【题型8 幂的运算求值】 36．（1）am＝2，an＝3，求a2m+n的值； （2）若16m＝4×22n﹣2，27n＝9×3m+3，求（m﹣n）2025． 37．在等式的运算中规定：若ax＝ay（a＞0且a≠1，x，y是正整数），则x＝y，利用上面结论解答下列问题： （1）已知：3×2x+1×4x﹣1＝96，求x的值． （2）已知2x+3•3x+3＝36x﹣2，求x的值． （3）若2×3x+2﹣3x+1＝45，求x的值． 38．已知4m÷2n＝8，（2m）2•2n＝32． （1）求（n+2m）（2m﹣n）的值； （2）计算（﹣8）2m+n×0.1252m﹣n的结果． 39．计算： （1）若a+3b+2z﹣3＝0，求3a×27b×9z的值； （2）若22x＝3，求（23x+1）2﹣24x的值． 40．（1）已知4m÷2n＝8，（2m）2•2n＝32． ①求2m﹣n的值． ②计算（﹣8）2m+n×0.1252m﹣n的结果． （2）若2x＝3，求（23x+1÷22x）2的值． 【题型9 整式乘法中的求值问题】 41．已知（x3+mx+n）（x2﹣3x+4）的展开式中不含x3和x2项． （1）求m，n的值； （2）求（m+n）（m2﹣mn+n2）的值． 42．关于a的多项式ma2+3a﹣1与﹣4a2+（n﹣1）a﹣1的和不含a2和a． （1）求m，n的值； （2）求（4m2n﹣3mn2）﹣2（m2n+mn2）的值． 43．小红准备完成题目：计算（■x﹣1）（﹣3x+1）时，她发现第一个因式的一次项系数被一滴墨水遮挡住了． （1）她把被遮住的一次项系数猜成2，请你帮她完成计算：（2x﹣1）（﹣3x+1）； （2）老师说：“你猜错了，这个题目的正确答案是不含一次项的．”请通过计算说明原题中被遮住的一次项系数是多少？ 44．小马和小虎两人共同计算一道整式乘法题：（3x+a）（2x+b），由于小马抄错了b的符号，得到的结果为6x2﹣17x+12；由于小虎漏抄了第一个多项式中x的系数，得到的结果为2x2﹣5x﹣12． （1）求出a，b的值； （2）请你计算出这道整式乘法题的正确结果． 45．小华和小明同时计算一道整式乘法题（2x+a）（3x+b）．小华抄错了第一个多项式中a的符号，即把+a抄成了﹣a，得到结果为6x2+11x﹣10；小明把第二个多项式中的3x抄成了x，得到结果为2x2﹣9x+10． （1）求a，b的值； （2）请计算出这道题的正确结果． 【题型10 巧用乘法公式求值】 46．（1）已知a﹣b＝3，，求a2+b2的值． （2）已知（a+b）2＝18，（a﹣b）2＝2，求a2+b2和ab的值． 47．已知a﹣b＝4，ab＝12，求下列各式的值： （1）a2+b2； （2）a2﹣ab+b2； （3）（a+b）2． 48．已知x3． （1）求x2的值； （2）求x4的值． 49．已知m+n＝3，mn＝2，求下列代数式的值： （1）m3n﹣2m2n2+mn3； （2）m4+n4． 50．按要求完成下列各题： （1）已知实数a、b满足（a+b）2＝1，（a﹣b）2＝9，求a2+b2﹣ab的值； （2）已知（2024﹣a）（2025﹣a）＝2047，试求（a﹣2024）2+（2025﹣a）2的值． 【题型11 分式方程中的含参问题】 51．若关于x的不等式组无解，且关于y的分式方程有非负整数解，则满足条件的所有整数a的和为多少？ 52．已知关于x的分式方程． （1）已知m＝4，求方程的解； （2）若该分式方程无解，试求m的值． 53．已知，关于x的方程：． （1）若方程无解，求m的取值； （2）若方程的解为整数，求整数m的值． 54．小华在解分式方程时，由于印刷问题，有一个数“？”看不清楚：解方程． （1）她把这个数“？”猜成﹣3，请你帮小华解这个分式方程； （2）小华的妈妈说：“我看到标准答案是：方程的增根是x＝2，原分式方程无解”，请你求出原分式方程中“？”代表的数是多少？ 55．关于x的分式方程的解为正数，且使关于y的一元一次不等式组有解，则所有满足条件的整数a的值之和是多少？ 56．阅读材料：一般地，若ax＝N（a＞0，a≠1），则x叫做以a为底N的对数，记作：x＝logaN．比如指数式24＝16可以转化为4＝log216，对数式2＝log525可以转化为52＝25．我们根据对数的定义可得到对数的一个性质：loga（M•N）＝logaM+logaN（a＞0，a≠1，M＞0，N＞0）；理由如下：设logaM＝m，logaN＝n，则M＝am，N＝an，∴M•N＝am•an＝am+n，由对数的定义得m+n＝loga（M•N），∴loga（M•N）＝logaM+logaN． 解决问题： （1）将指数43＝64转化为对数式　 　 ； （2）①log232＝　 　 ，②log327＝　 　 ，③log71＝　 　 ； （3）证明：logalogaM﹣logaN（a＞0，a≠1，M＞0，N＞0）； 拓展运用： （4）计算：log32+log36﹣log336． 57．定义：一个多项式A乘一个多项式B，运算结果化简后得到多项式C，若C的项数比A的项数多1，则称B是A的“友好多项式”；若C的项数与A的项数相同，则称B是A的“特别友好多项式”． （1）若A＝x+3，B＝2x﹣1，请判断B是否为A的“友好多项式”，并说明理由． （2）若A＝x﹣3，B＝x2+ax+9均是关于x的多项式，且B是A的“特别友好多项式”，求a的值． 58．两个多项式相除，可以先把这两个多项式都按照同一字母降幂排列，然后再仿照两个多位数相除的计算方法用竖式进行计算．例如（6x2+7x+2）÷（2x﹣1），仿照672÷21计算如下： 因此（6x2+7x+2）÷（2x﹣1）＝3x+2．阅读完上述材料后，解决下列问题： （1）计算（3x2+10x+4）÷（3x+1），商式是 　 ，余式是　 　 ； （2）试判断x3﹣2x2﹣5x﹣2能否被x+1整除，说明理由（请用材料的竖式解答）； （3）利用上述方法解决：若多项式2x4+3x3+ax2+7x+b能被（x+2）（x﹣1）整除，求的值． 59．定义：若两个分式的和为n（n为正整数），则称这两个分式互为“n阶分式”，例如：分式，所以分式与互为“3阶分式”． （1）分式与　 　 互为“4阶分式”； （2）设正数x，y互为倒数，求证：分式与互为“2阶分式”； （3）若分式与互为“1阶分式”（其中a，b为正数），求ab的值． 60．请阅读如下材料，并解决问题： 材料1：定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”．如若：，则和都是“和谐分式”． 材料2：对于部分非和谐分式，可以转化为几个和谐分式的和．解：设，将等式右边通分，得，依据题意，得，解得，所以． （1）①分式是　 　 （填“和谐分式”或“非和谐分式”）； ②已知，则M＝　 　 ，N＝　 　 ； （2）如果分式的值为整数，求满足条件的整数x的值； （3）如果，，请用含有a和b的式子表示n2﹣n． 第 1 页 共 3 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 完成时间： 月 日 天气： 作业13 计算题11类专项训练 三层必刷：巩固提升+能力培优+创新题型 【题型1 幂的综合运算】 1．计算： （1）a3•a4•a+（a2）4+（﹣2a4）2． （2）（x﹣y）•（y﹣x）5•（y﹣x）6． 【分析】（1）先计算同底数幂的乘法，幂的乘方，积的乘方，再合并同类项即可； （2）将（x﹣y）•（y﹣x）5•（y﹣x）6化为﹣（y﹣x）•（y﹣x）5•（y﹣x）6，进而根据多项式的乘方法则计算即可． 【解答】解：（1）原式＝a8+a8+4a8＝6a8； （2）原式＝﹣（y﹣x）•（y﹣x）5•（y﹣x）6＝﹣（y﹣x）12． 2．计算： （1）a3•a2•a4+（﹣a2）4+（﹣2a4）2； （2）（﹣2x2y）3+（3x2）2•（﹣x）2•（﹣y）3． 【分析】根据单项式乘单项式，合并同类项，同底数幂的乘法，幂的乘方与积的乘方的运算法则进行计算． 【解答】解：（1）a3•a2•a4+（﹣a2）4+（﹣2a4）2 ＝a9+a8+4a8 ＝a9+5a8； （2）（﹣2x2y）3+（3x2）2•（﹣x）2•（﹣y）3 ＝﹣8x6y3+9x4•x2•（﹣y3） ＝﹣8x6y3﹣9x6y3 ＝﹣17x6y3． 3．计算： （1）x2•x4﹣x•（﹣x）5+x2•x3•x； （2）（2m﹣n）3•（n﹣2m）4（2m﹣n）6•（2m﹣n）． 【分析】（1）根据同底数幂的乘法法则计算即可． （2）根据同底数幂的乘法法则计算即可． 【解答】解：（1）x2•x4﹣x•（﹣x）5+x2•x3•x ＝x6+x6+x6 ＝3x6； （2）（2m﹣n）3•（n﹣2m）4（2m﹣n）6•（2m﹣n） ＝（2m﹣n）3•（2m﹣n）4（2m﹣n）6•（2m﹣n） ＝（2m﹣n）3+4+6+1 ＝（2m﹣n）14． 4．计算： （1）（﹣x）n•（﹣x）2n﹣1•（﹣x）n+3 （2）（m﹣n）2•[﹣（m﹣n）4]3•（n﹣m）5 （3）﹣4xy2•（xy2）2•（﹣2x2）3 （4）（﹣a3b6）2+（﹣a2b4）3． 【分析】（1）根据同底数幂的乘法法则求解； （2）先把底数化为m﹣n，然后根据同底数幂的乘法法则求解； （3）先进行积的乘方，然后根据同底数幂的乘法法则求解； （4）先进行积的乘方和幂的乘方，然后合并． 【解答】解：（1）原式＝（﹣x）n+2n﹣1+n+3 ＝（﹣x）4n+2 ＝x4n+2； （2）原式＝（m﹣n）2•（m﹣n）12•（m﹣n）5 ＝（m﹣n）19； （3）原式＝4xy2•x2y4•8x6 ＝8x9y6； （4）原式＝a6b12﹣a6b12＝0． 5．计算： （1）（﹣2x2）3﹣x•x5+（﹣3x3）2． （2）（﹣2x2y）3+（﹣x3）2（﹣y）2y． （3）已知m为正整数，试计算：（﹣a3m+2）2+（﹣a）3m+1•（﹣a）3m+2•（﹣a）． 【分析】（1）利用幂的乘方与积的乘方、同底数幂的乘法法则运算，然后合并同类项即可； （2）利用幂的乘方与积的乘方、同底数幂的乘法法则运算，然后合并同类项即可； （3）利用幂的乘方与积的乘方、同底数幂的乘法法则运算，然后合并同类项即可． 【解答】解：（1）（﹣2x2）3﹣x•x5+（﹣3x3）2 ＝﹣8x6﹣x6+9x6 ＝0； （2）（﹣2x2y）3+（﹣x3）2（﹣y）2y ＝﹣8x6y3+x6y3 ＝﹣7x6y3； （3）（﹣a3m+2）2+（﹣a）3m+1•（﹣a）3m+2•（﹣a） ＝a6m+4+（﹣a）3m+1+3m+2+1 ＝a6m+4+（﹣a）6m+4 ＝a6m+4+a6m+4 ＝2a6m+4． 【题型2 整式的混合运算】 6．计算： （I）（2x﹣5）（2x+5）﹣（﹣2x+5）2； （Ⅱ）[（x﹣y）（x﹣2y）﹣（3x3﹣6x2y）÷3x]÷2y． 【分析】（I）运用平方差、完全平方公式化简，再合并同类项即可； （Ⅱ）先计算括号，再计算除法即可． 【解答】解：（I）（2x﹣5）（2x+5）﹣（﹣2x+5）2 ＝4x2﹣25﹣（4x2﹣20x+25） ＝4x2﹣25﹣4x2+20x﹣25 ＝20x﹣50； （Ⅱ）原式＝[x2﹣2xy﹣xy+2y2﹣（x2﹣2xy）]÷2y ＝（x2﹣2xy﹣xy+2y2﹣x2+2xy）÷2y ＝（﹣xy+2y2）÷2y ． 7．计算： （1）； （2）2x（x﹣3y）+（﹣x+y）（x+y）﹣（x+2y）2． 【分析】（1）先展开完全平方、多项式乘法，再算多项式除以单项式，最后去括号，合并同类项； （2）先算单项式乘多项式，用平方差公式展开多项式乘法，再展开完全平方，最后去括号，合并同类项． 【解答】解：（1）原式 ＝x2﹣2xy+y2﹣x2﹣xy+2y2+9y2﹣6xy ＝﹣9xy+12y2． （2）2x（x﹣3y）+（﹣x+y）（x+y）﹣（x+2y）2 ＝2x2﹣6xy+（y2﹣x2）﹣（x2+4xy+4y2） ＝2x2﹣6xy+y2﹣x2﹣x2﹣4xy﹣4y2 ＝﹣10xy﹣3y2． 8．计算： （1）（﹣2xy）（4x2+2xy+y2）﹣7xy3； （2）（2x+2）（x﹣1）﹣（x﹣2）（x+3）； （3）（﹣5x3y2+15x2y﹣10xy2）÷5x； （4）（x+y）2（x﹣y）2﹣（x2+y2）2． 【分析】（1）利用单项式乘多项式的法则进行计算，即可解答； （2）利用多项式乘多项式的法则进行计算，即可解答； （3）利用多项式除以单项式的法则进行计算，即可解答； （4）利用完全平方公式，平方差公式进行计算，即可解答． 【解答】解：（1）（﹣2xy）（4x2+2xy+y2）﹣7xy3 ＝﹣8x3y﹣4x2y2﹣2xy3﹣7xy3 ＝﹣8x3y﹣4x2y2﹣9xy3； （2）（2x+2）（x﹣1）﹣（x﹣2）（x+3） ＝2x2﹣2x+2x﹣2﹣（x2+x﹣6） ＝2x2﹣2x+2x﹣2﹣x2﹣x+6 ＝x2﹣x+4； （3）（﹣5x3y2+15x2y﹣10xy2）÷5x ＝﹣5x3y2÷5x+15x2y÷5x﹣10xy2÷5x ＝﹣x2y2+3xy﹣2y2； （4）（x+y）2（x﹣y）2﹣（x2+y2）2 ＝[（x+y）（x﹣y）]2﹣（x4+2x2y2+y4） ＝（x2﹣y2）2﹣x4﹣2x2y2﹣y4 ＝﹣x4﹣2x2y2+y4﹣x4﹣2x2y2﹣y4 ＝﹣4x2y2． 9．计算： （1）x2•x3•x4+（x3）3﹣（﹣2x4）2•x； （2）186.72﹣2×186.7×86.7+86.72； （3）（2x+3y）2﹣（2x+y）（2x﹣y）； （4）（a+2b+3c）（a+2b﹣3c）． 【分析】（1）先进行同底数幂相乘、幂的乘方、积的乘方，然后进行合并同类项； （2）利用完全平方公式进行简化运算即可； （3）先利用完全平方公式、平方差公式进行运算，然后合并同类项即可； （4）先构造平方差公式，然后利用平方差公式进行运算，再运用完全平方公式进行计算即可． 【解答】解：（1）原式＝x9+x9﹣4x8•x， ＝2x9﹣4x9 ＝﹣2x9； （2）原式＝（186.7﹣86.7）2 ＝1002 ＝10000； （3）原式＝4x2+12xy+9y2﹣（4x2﹣y2）， ＝4x2+12xy+9y2﹣4x2+y2， ＝12xy+10y2； （4）原式＝[（a+2b）+3c][（a+2b）﹣3c] ＝（a+2b）2﹣（3c）2 ＝a2+4ab+4b2﹣9c2． 10．计算或化简： （1）a4•a4+（a2）4﹣（3a4）2； （2）（2x﹣1）2﹣（x﹣1）（x﹣3）； （3）[（x﹣2y）（x+2y）+（x+y）2﹣y（x﹣3y）]÷（2x）； （4）20262﹣4052×2025+20252（简便计算）． 【分析】（1）先计算同底数幂的乘法，幂的乘方，积的乘方，再合并同类项； （2）先计算完全平方式，多项式乘多项式，再去括号，合并同类项； （3）先利用平方差公式、完全平方公式、单项式乘多项式公式计算括号内的，再合并同类项，最后计算多项式除以单项式； （4）逆用完全平方公式计算． 【解答】解：（1）a4•a4+（a2）4﹣（3a4）2 ＝a8+a8﹣9a8 ＝﹣7a8； （2）（2x﹣1）2﹣（x﹣1）（x﹣3） ＝（4x2﹣4x+1）﹣（x2﹣3x﹣x+3） ＝4x2﹣4x+1﹣x2+3x+x﹣3 ＝3x2﹣2； （3）[（x﹣2y）（x+2y）+（x+y）2﹣y（x﹣3y）]÷（2x） ＝（x2﹣4y2+x2+2xy+y2﹣xy+3y2）÷（2x） ＝（2x2+xy）÷（2x） ； （4）20262﹣4052×2025+20252 ＝20262﹣2×2026×2025+20252 ＝（2026﹣2025）2 ＝12 ＝1． 【题型3 整式的化简求值】 11．化简求值：[（x﹣y）2﹣x（3x﹣2y）+（x+y）（x﹣y）]÷2x，其中x＝1，y＝﹣2． 【分析】首先利用完全平方公式、单项式与多项式的乘法法则及平方差公式对括号内的式子进行化简，然后计算多项式与单项式的除法，最后把x，y的值代入求值即可． 【解答】解：原式＝[x2﹣2xy+y2﹣3x2+2xy+x2﹣y2]÷2x ＝（﹣x2）÷2x x， 当x＝1，y＝﹣2时，原式． 12．先化简，再求值：（2x+y）（2x﹣y）﹣（x﹣2y）2+（6x4﹣10x2y2）÷（﹣2x2），其中，y＝﹣3． 【分析】先根据乘法公式和多项式除以单项式的运算法则去括号，然后合并同类项化简，最后代值计算即可得到答案． 【解答】解：原式＝4x2﹣y2﹣（x2﹣4xy+4y2）+（﹣3x2+5y2） ＝4x2﹣y2﹣x2+4xy﹣4y2﹣3x2+5y2 ＝4xy， 当，y＝﹣3时，原式． 13．先化简，再求值：，其中2×4x×8x＝216，4y＝2． 【分析】先将所求式子化简，再将x的值代入计算即可． 【解答】解： ＝2（x2+2xy+y2）+（3x3y2﹣x3y2+xy4）÷（xy2） ＝2x2+4xy+2y2+3x3y2÷（xy2）﹣x3y2÷（xy2）+xy4÷（xy2） ＝2x2+4xy+2y2+（﹣6x2）+2x2+（﹣2y2） ＝﹣2x2+4xy， ∵2×4x×8x＝216，4y＝2， ∴2×22x×23x＝216，22y＝2， ∴25x+1＝216，2y＝1， ∴5x+1＝16，y＝0.5， ∴x＝3， 当x＝3，y＝0.5时，原式＝﹣2×32+4×3×0.5＝﹣12． 14．先化简，再求值： （1），其中． （2）化简求值[（x2+y2）﹣（x﹣y）2+2y（x﹣y）]÷（﹣2y），其中|x﹣1|+（y+3）2＝0． 【分析】（1）先根据单项式与多项式的乘法法则、乘法公式化简，再去括号合并同类项，然后把代入计算； （2）先根据整式的运算法则化简，再根据非负数的性质求出x和y的值，然后代入计算即可． 【解答】解：（1） ， 当，b＝﹣1时， 原式 ； （2）[（x2+y2）﹣（x﹣y）2+2y（x﹣y）]÷（﹣2y） ＝[x2+y2﹣（x2﹣2xy+y2）+2xy﹣2y2]÷（﹣2y） ＝（x2+y2﹣x2+2xy﹣y2+2xy﹣2y2）÷（﹣2y） ＝（4xy﹣2y2）÷（﹣2y） ＝﹣2x+y， ∵|x﹣1|+（y+3）2＝0， ∴x﹣1＝0，y+3＝0， ∴x＝1，y＝﹣3， 原式＝﹣2×1+（﹣3）＝﹣5． 15．（1）化简求值：（2a+b+1）（2a﹣b﹣1）﹣（a+2b）（﹣2b+a）+2b，其中a、b满足|a+b﹣3|+（ab+2）2＝0． （2）若a、b、c满足c2＝a2+b2，且，求c的值． 【分析】（1）先根据平方差公式展开，再合并同类项得出化简结果，然后根据非负性及完全平方公式求出a2+b2＝13，最后代入计算即可得出答案； （2）先根据多项式乘多项式的运算法则展开合并得出a+b＝4，，再根据完全平方公式及等量代换即可得出c2＝9，最后求平方根即可得出答案． 【解答】解：（1）原式＝[2a+（b+1）][2a﹣（b+1）]﹣（a+2b）（a﹣2b）+2b ＝（2a）2﹣（b+1）2﹣（a2﹣4b2）+2b ＝4a2﹣（b2+2b+1）﹣a2+4b2+2b ＝4a2﹣b2﹣2b﹣1﹣a2+4b2+2b ＝3a2+3b2﹣1 ＝3（a2+b2）﹣1， 由条件可知a+b﹣3＝0，ab+2＝0， ∴a+b＝3，ab＝﹣2， ∵（a+b）2＝a2+2ab+b2， ∴32＝a2+b2+2×（﹣2）， ∴a2+b2＝13， ∴原式＝3×13﹣1＝38； （2）∵， ∴， ∴a+b＝4，， ∵（a+b）2＝a2+2ab+b2， ∴， ∴a2+b2＝9， ∵c2＝a2+b2， ∴c2＝9， ∴c＝±3． 【题型4 因式分解】 16．因式分解： （1）﹣2m3+12m2﹣18m； （2）x2（m﹣n）+64（m﹣n）； （3）（a﹣b）（a﹣4b）+ab； （4）x2﹣y2+4y﹣4． 【分析】（1）先提取公因式﹣2m，再利用完全平方公式分解因式即可； （2）提取公因式（m﹣n）即可； （3）先去括号，合并同类项，再利用完全平方公式分解因式即可； （4）先利用完全平方公式将式子整理为x2﹣（y﹣2）2，再利用平方差公式分解因式即可． 【解答】解：（1）原式＝﹣2m（m2﹣6m+9） ＝﹣2m（m﹣3）2； （2）原式＝（m﹣n）（x2+64）； （3）原式＝a2﹣ab﹣4ab+4b2+ab ＝a2﹣4ab+4b2 ＝（a﹣2b）2； （4）原式＝x2﹣（y2﹣4y+4） ＝x2﹣（y﹣2）2 ＝[x+（y﹣2）][x﹣（y﹣2）] ＝（x+y﹣2）（x﹣y+2）． 17．因式分解： （1）8a3b2﹣12ab3c+6a3b2c； （2）5x（x﹣y）2+10（y﹣x）3； （3）（a2+3a）2﹣（a﹣1）2； （4）（x2﹣1）2﹣6（x2﹣1）+9． 【分析】（1）直接提公因式2ab2即可； （2）提公因式5（x﹣y）2即可； （3）先利用平方差公式，再利用完全平方公式进行解答即可； （4）先利用完全平方公式，再利用平方差公式进行计算即可． 【解答】解：（1）原式＝2ab2（4a2﹣6bc+3a2c）； （2）原式＝5x（x﹣y）2﹣10（x﹣y）3； ＝5（x﹣y）2[x﹣2（x﹣y）] ＝5（x﹣y）2（2y﹣x）； （3）原式＝[（a2+3a）+（a﹣1）][（a2+3a）﹣（a﹣1）] ＝（a2+4a﹣1）（a2+2a+1） ＝（a2+4a﹣1）（a+1）2； （4）原式＝（x2﹣1﹣3）2 ＝（x2﹣4）2 ＝（x+2）2（x﹣2）2． 18．分解因式： （1）56a2xy+14ax2y2﹣21a2xy2； （2）； （3）（a+b）2﹣9（a﹣b）2； （4）xy（x﹣y）﹣x（x﹣y）2． 【分析】（1）利用提公因式法分解因式即可； （2）先展开，再提公因式，然后利用完全平方公式分解因式即可； （3）先利用平方差公式分解因式，再利用提公因式法分解因式即可； （4）利用提公因式法分解因式即可． 【解答】解：（1）56a2xy+14ax2y2﹣21a2xy2＝7axy（8a+2xy﹣3ay）； （2） ＝2x2﹣1﹣x4 ＝﹣（x4﹣2x2+1） ＝﹣（x2﹣1）2 ＝﹣（x+1）2（x﹣1）2； （3）（a+b）2﹣9（a﹣b）2 ＝[（a+b）+3（a﹣b）][（a+b）﹣3（a﹣b）] ＝（4a﹣2b）（4b﹣2a） ＝4（2a﹣b）（2b﹣a）； （4）xy（x﹣y）﹣x（x﹣y）2 ＝x（x﹣y）[y﹣（x﹣y）] ＝x（x﹣y）（2y﹣x）． 19．因式分解 （1）8a3﹣2a； （2）4xy2﹣4x2y﹣y3； （3）（5x+6）（x﹣6）+2x（6﹣x）； （4）9（2x﹣1）2﹣6（2x﹣1）+1． 【分析】（1）先提公因式2a，再利用平方差公式进行因式分解即可； （2）先提公因式﹣y，再利用完全平方公式进因式分解即可； （3）先提公因式（x﹣6），再提公因式3进行因式分解即可； （4）先利用完全平方公式，再利用提公因式进行因式分解即可． 【解答】解：（1）原式＝2a（4a2﹣1） ＝2a（2a+1）（2a﹣1）； （2）原式＝﹣y（4x2﹣4xy+y2） ＝﹣y（2x﹣y）2； （3）原式＝（x﹣6）（5x+6﹣2x） ＝（x﹣6）（3x+6） ＝3（x﹣6）（x+2）； （4）原式＝[3（2x﹣1）﹣1]2 ＝（6x﹣4）2 ＝4（3x﹣2）2． 20．因式分解 （1）4x2+8xy+4y2； （2）4x2（m﹣2）+y2（2﹣m）； （3）a3﹣2a2+3a﹣6； （4）（x2﹣x）2+4（x2﹣x）﹣12． 【分析】（1）提公因式后利用完全平方公式因式分解即可； （2）将原式变形后提公因式，然后利用平方差公式因式分解即可； （3）将原式分组后利用提公因式法因式分解即可； （4）利用十字相乘法因式分解即可． 【解答】解：（1）原式＝4（x2+2xy+y2） ＝4（x+y）2； （2）原式＝4x2（m﹣2）﹣y2（m﹣2） ＝（m﹣2）（4x2﹣y2） ＝（m﹣2）（2x+y）（2x﹣y）； （3）原式＝（a3﹣2a2）+（3a﹣6） ＝a2（a﹣2）+3（a﹣2） ＝（a﹣2）（a2+3）； （4）原式＝（x2﹣x﹣2）（x2﹣x+6） ＝（x+1）（x﹣2）（x2﹣x+6）． 【题型5 分式的混合运算】 21．分式化简： （1）； （2）． 【分析】（1）先利用吃饭的分配律计算，然后约分后合并同类项即可； （2）先把括号内通分，再进行同分母的减法运算，然后把除法运算化为乘法运算，最后约分即可． 【解答】解：（1）原式＝（）• •• ＝3（m+1）﹣（m﹣1） ＝3m+3﹣m+1 ＝2m+4； （2）原式 • ． 22．计算： （1）（﹣3xy）3•； （2）（a﹣1）． 【分析】（1）先算乘方，再算乘除即可； （2）先算括号里面的，再算除法即可． 【解答】解：（1）原式＝﹣27x3y3• ＝﹣27x3y3•• ＝﹣18x5； （2）原式（） •（a﹣1） ． 23．计算： （1）； （2）． 【分析】（1）结合完全平方公式先对括号内通分计算，再计算乘法约分即可； （2）根据加法结合律将分子相同的分式加括号，先对括号内通分作差计算，再对结果通分计算即可． 【解答】解：（1）原式 ＝（x+y）（x﹣y） ＝x2﹣y2； （2）原式 ． 24．计算： （1）； （2）． 【分析】（1）利用异分母分式的加减混合运算法则进行计算即可； （2）利用分式混合运算法则进行计算即可． 【解答】解：（1）原式 ； （2） ＝1． 25．计算： （1）； （2）． 【分析】（1）先把括号内通分和除法运算化为乘法运算，再进行同分母的加法运算，然后约分即可； （2）先把括号内通分，再进行同分母的减法运算，接着把除法运算化为乘法运算，约分得到原式，然后通分后进行同分母的加法运算，最后把结果写成最简分式． 【解答】解：（1）原式• • ； （2）原式 • ． 【题型6 分式的化简求值】 26．先化简，再求值：，其中a从﹣1，2，3中取一个你认为合适的数代入求值． 【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再利用分式有意义的条件选取符合条件的a的值代入计算即可． 【解答】解： ＝﹣a﹣1， 根据分式有意义的条件知a≠﹣1且a≠2， 则a＝3， 原式＝﹣3﹣1＝﹣4． 27．先化简，再求值：，请从﹣3，﹣1，1，2四个数中选取一个你喜欢的a代入求值． 【分析】先计算括号里面的，再把括号外面的除法转化成乘法，然后约分计算，最后再根据分式有意义的条件选择合适的数值代入计算即可得出答案． 【解答】解：原式 ， 当a＝﹣3或a＝2时，分式无意义， 故当a＝﹣1时，原式， 当a＝1时，原式． 28．先化简，再求值：，从﹣2≤x＜2中选出合适的x的整数值代入求值． 【分析】根据分式化简求值的步骤和方法进行即可． 【解答】解： ， 根据分式有意义的条件可知，x≠±1，x≠0． ∴当x取﹣2≤x＜2范围内的整数时，只有x＝﹣2． ∴当x＝﹣2时，原式． 29．先化简，再求值：，其中a满足等式2a2﹣6a﹣3＝0． 【分析】先化简题目中的式子，然后根据2a2﹣6a﹣3＝0，可以得到a2﹣3a，然后代入化简后的式子计算即可． 【解答】解： • • ， ∵2a2﹣6a﹣3＝0， ∴a2﹣3a， ∴原式． 30．先化简，然后从﹣1≤x≤3的范围内选取一个合适的整数作为x的值代入求值． 【分析】先计算乘法与括号内的减法，最后算减法，把使原分式有意义的整数代入计算即可． 【解答】解： • ， ∵当x＝±1，3时无意义， ∴﹣1≤x≤3中可以取得整数为0或2， 当x＝0时，原式1． 【题型7 解分式方程】 31．解分式方程． （1）； （2）． 【分析】（1）方程两边乘2x﹣3，再化简求解，检验即可； （2）方程两边乘x（x+2），再化简求解，检验即可． 【解答】解：（1）， 6﹣x＝4（2x﹣3）， ﹣9x＝﹣18， 解得：x＝2， 检验：当x＝2时，2x﹣3≠0， ∴原分式方程的解为x＝2； （2）， 3x+x+2＝4， 解得：， 检验：当时，x（x+2）≠0， ∴原分式方程的解为． 32．解方程： （1）； （2）． 【分析】（1）先去分母化为整式方程，再解整式方程，最后检验即可； （2）先去分母化为整式方程，再解整式方程，最后检验即可． 【解答】解：（1）方程两边同乘x（2x+1），得3（2x+1）+x（2x+1）＝2x•x， 解这个整式方程，得， 经检验：是原方程的解； （2）方程两边都乘以（x+1）（x﹣1）得：3（x+1）+2（x﹣1）＝6， 解这个整式方程，得x＝1， 检验：当x＝1时，（x+1）（x﹣1）＝0， 所以，x＝1是增根，原方程无解． 33．解方程： （1）； （2）． 【分析】（1）利用解分式方程的一般步骤解答即可； （2）利用解分式方程的一般步骤解答即可． 【解答】解：（1）， 方程两边同乘（x﹣1）（2x+1），得： 2x+1＝3（x﹣1）， 解这个整式方程，得： x＝4． 检验：把x＝4代入（x﹣1）（2x+1），得：（4﹣1）（8+1）≠0， ∴x＝4是原方程的解； （2）， 方程两边都乘x（x﹣1），得： 5x﹣3（x﹣1）＝x+5， 解得：x＝2． 检验：当x＝2时，x（x﹣1）≠0， ∴x＝2是分式方程的解． 34．解分式方程： （1）； （2）． 【分析】（1）把分式方程转变为整式方程，解整式方程求出x的值，然后检验即可； （2）把分式方程转变为整式方程，解整式方程求出x的值，然后检验即可． 【解答】解：（1）， 方程两边同乘3（x﹣1），得2x＝3x﹣3（x﹣1）， 去括号，得2x＝3x﹣3x+3， 解得：， 检验：把代入3（x﹣1）≠0 ∴分式方程的解为； （2）， 方程两边同乘（x+2）（x﹣2），得（x﹣2）2﹣16＝（x+2）（x﹣2）， 去括号，得x2﹣4x+4﹣16＝x2﹣4， 解得：x＝﹣2， 检验：把x＝﹣2代入（x+2）（x﹣2）＝0， ∴x＝﹣2是分式方程的增根， ∴分式方程无解． 35．解方程： （1）； （2）． 【分析】（1）把分式方程转变为整式方程，解整式方程求出x的值，然后检验即可； （2）把分式方程转变为整式方程，解整式方程求出x的值，然后检验即可． 【解答】解：（1）， 方程两边同时乘 2（x+1），得2x＝3﹣2（x+1）， 去括号，得2x＝3﹣2x﹣2， 解得：， 检验：把代入2（x+1）≠0． ∴分式方程的解为； （2）， 方程两边同时乘（2y﹣1），得y﹣2+2y﹣1＝﹣1.5， 解得：， 检验：把代入2y﹣1＝0． ∴是分式方程的增根， ∴原分式方程无解． 【题型8 幂的运算求值】 36．（1）am＝2，an＝3，求a2m+n的值； （2）若16m＝4×22n﹣2，27n＝9×3m+3，求（m﹣n）2025． 【分析】（1）化简a2m+n＝（am）2×an，再将已知代入即可； （2）由24m＝22n，33n＝3m+5，可得n＝2m，3n＝m+5，求出m、n的值即可求解． 【解答】解：（1）∵am＝2，an＝3， ∴原式＝a2m×an ＝（am）2×an ＝22×3 ＝4×3 ＝12； （2）∵16m＝4×22n﹣2， ∴24m＝22×22n﹣2＝22n， ∴n＝2m， ∵27n＝9×3m+3， ∴33n＝3m+5， ∴3n＝m+5， ∴6m＝m+5， ∴m＝1， ∴n＝2， ∴原式＝（1﹣2）2025＝﹣1． 37．在等式的运算中规定：若ax＝ay（a＞0且a≠1，x，y是正整数），则x＝y，利用上面结论解答下列问题： （1）已知：3×2x+1×4x﹣1＝96，求x的值． （2）已知2x+3•3x+3＝36x﹣2，求x的值． （3）若2×3x+2﹣3x+1＝45，求x的值． 【分析】（1）逆用幂的乘方运算法则和同底数幂乘法运算法则得到23x﹣1＝25，据此可得方程3x﹣1＝5，解方程即可得到答案； （2）逆用积的乘方和幂的乘方运算法则得出6x+3＝62x﹣4，据此得出方程x+3＝2x﹣4，解方程即可得到答案； （3）根据同底数幂乘法的逆运算法则得到2×3×3x+1﹣3x+1＝45，进一步可得3x+1＝32，则x+1＝2，解方程即可得到答案． 【解答】解：（1）3×2x+1×4x﹣1＝96， 2x+1×4x﹣1＝32， 2x+1×（22）x﹣1＝25， 2x+1×22x﹣2＝25， 23x﹣1＝25， 3x﹣1＝5， 解得：x＝2； （2）2x+3•3x+3＝36x﹣2， （2×3）x+3＝（62）x﹣2， 6x+3＝62x﹣4， x+3＝2x﹣4， 解得：x＝7； （3）2×3x+2﹣3x+1＝45， 2×3×3x+1﹣3x+1＝45， 6×3x+1﹣3x+1＝5×9， （6﹣1）3x+1＝5×32， 5×3x+1＝5×32， 3x+1＝32， 解得：x＝1． 38．已知4m÷2n＝8，（2m）2•2n＝32． （1）求（n+2m）（2m﹣n）的值； （2）计算（﹣8）2m+n×0.1252m﹣n的结果． 【分析】（1）根据同底数幂的乘法、同底数幂的除法、幂的乘方法则分别计算得出2m﹣n＝3，2m+n＝5，再计算即可； （2）把（1）中的结论代入代数式根据积的乘方法则计算即可． 【解答】解：（1）∵4m÷2n＝8， ∴（22）m÷2n＝8， ∴22m÷2n＝23， ∴22m﹣n＝23， ∴2m﹣n＝3， ∵（2m）2•2n＝32， ∴22m•2n＝32， ∴22m+n＝25， ∴2m+n＝5， ∴（n+2m）（2m﹣n）＝5×3＝15； （2）由（1）知2m﹣n＝3，2m+n＝5， ∴（﹣8）2m+n×0.1252m﹣n ＝（﹣8）5×0.1253 ＝（﹣8）3×0.1253×（﹣8）2 ＝（﹣8×0.125）3×64 ＝（﹣1）3×64 ＝﹣1×64 ＝﹣64． 39．计算： （1）若a+3b+2z﹣3＝0，求3a×27b×9z的值； （2）若22x＝3，求（23x+1）2﹣24x的值． 【分析】（1）首先根据题可知a+3b+2z＝3，再将3a×27b×9z整理为3a+3b+2z，然后代入求值即可； （2）根据幂的乘方运算法则和幂的乘方运算的逆用将原式整理为4×（22x）3﹣（22x）2，然后代入求值即可． 【解答】解：（1）由题意得a+3b+2z＝3， ∴3a×27b×9z ＝3a×33b×32z ＝3a+3b+2z ＝33 ＝27； （2）已知22x＝3， 则（23x+1）2﹣24x ＝26x+2﹣24x ＝4×（22x）3﹣（22x）2 ＝4×33﹣32 ＝108﹣9 ＝99． 40．（1）已知4m÷2n＝8，（2m）2•2n＝32． ①求2m﹣n的值． ②计算（﹣8）2m+n×0.1252m﹣n的结果． （2）若2x＝3，求（23x+1÷22x）2的值． 【分析】（1）①根据同底数幂的除法法则解答即可； ②根据同底数幂的乘法可得2m+n＝5，由①可得2m﹣n＝3，最后根据积的乘方的逆用，即可求解； （2）逆用积的乘方法则、同底数幂的乘除法法则解答即可． 【解答】解：（1）①根据题意可知，4m÷2n＝22m÷2n＝8， ∴22m﹣n＝23， 即2m﹣n＝3； ②∵（2m）2•2n＝32， ∴22m•2n＝32， ∴22m+n＝25，即2m+n＝5， ∴原式 ＝64×（﹣1） ＝﹣64； （2）原式＝（23x+1﹣2x）2 ＝（2x+1）2 ＝（2x×2）2 ＝（3×2）2 ＝36． 【题型9 整式乘法中的求值问题】 41．已知（x3+mx+n）（x2﹣3x+4）的展开式中不含x3和x2项． （1）求m，n的值； （2）求（m+n）（m2﹣mn+n2）的值． 【分析】（1）先根据多项式乘多项式的法则计算，再根据展开式中不含x3和x2项得出4+m＝0，n﹣3m＝0，即可求出m、n的值； （2）先根据多项式乘多项式的法则计算，再把m、n的值代入计算即可． 【解答】解：（1）（x3+mx+n）•（x2﹣3x+4） ＝x5﹣3x4+4x3+mx3﹣3mx2+4mx+nx2﹣3nx+4n ＝x5﹣3x4+（4+m）x3+（n﹣3m）x2+（4m﹣3n）x+4n， ∵展开式中不含x3和x2项， ∴4+m＝0，n﹣3m＝0， ∴m＝﹣4，n＝﹣12； （2）（m+n）（m2﹣mn+n2） ＝m3﹣m2n+mn2+m2n﹣mn2+n3 ＝m3+n3， 由（1）得m＝﹣4，n＝﹣12， 所以原式＝（﹣4）3+（﹣12）3＝﹣64+（﹣1728）＝﹣1792． 42．关于a的多项式ma2+3a﹣1与﹣4a2+（n﹣1）a﹣1的和不含a2和a． （1）求m，n的值； （2）求（4m2n﹣3mn2）﹣2（m2n+mn2）的值． 【分析】（1）根据整式的加减计算法则求出两个多项式的和，再根据不含a2和a项进行求解即可； （2）先根据整式的加减计算法则化简，然后代入值计算即可． 【解答】解：（1）原式＝ma2+3a﹣1﹣4a2+na﹣a﹣1＝（m﹣4）a2+（3+n﹣1）a﹣2， ∵a的多项式ma2+3a﹣1与﹣4a2+（n﹣1）a﹣1的和不含a2和a， ∴m﹣4＝0，3+n﹣1＝0， 解得：m＝4，n＝﹣2； （2）原式＝4m2n﹣3mn2﹣2m2n﹣2mn2＝2m2n﹣5mn2， 当m＝4，n＝﹣2时， 原式＝2×42×（﹣2）﹣5×4×（﹣2）2＝﹣144． 43．小红准备完成题目：计算（■x﹣1）（﹣3x+1）时，她发现第一个因式的一次项系数被一滴墨水遮挡住了． （1）她把被遮住的一次项系数猜成2，请你帮她完成计算：（2x﹣1）（﹣3x+1）； （2）老师说：“你猜错了，这个题目的正确答案是不含一次项的．”请通过计算说明原题中被遮住的一次项系数是多少？ 【分析】（1）利用多项式乘多项式的法则进行计算即可； （2）设被遮住的一次项系数为a，利用多项式乘多项式的法则展开，利用不含一次项得出ax+3x＝0，求解即可． 【解答】解：（1）由题意知：（2x﹣1）（﹣3x+1）＝﹣6x2+5x﹣1； （2）设被遮住的一次项系数为a， 即（ax﹣1）（﹣3x+1）＝﹣3ax2+ax+3x﹣1， 因为这个题目的正确答案是不含一次项的， 所以ax+3x＝0，所以a＝﹣3， 所以被遮住的一次项系数为﹣3． 44．小马和小虎两人共同计算一道整式乘法题：（3x+a）（2x+b），由于小马抄错了b的符号，得到的结果为6x2﹣17x+12；由于小虎漏抄了第一个多项式中x的系数，得到的结果为2x2﹣5x﹣12． （1）求出a，b的值； （2）请你计算出这道整式乘法题的正确结果． 【分析】（1）由于小马抄错了b的符号，进行运算可得2a﹣3b＝﹣17，由小虎漏抄了第一个多项式中x的系数，进行运算可得2a+b＝﹣5，即可求解； （2）将a，b的值代入（3x+a）（2x+b），按多项式乘多项式法则进行运算，即可求解． 【解答】解：（1）（3x+a）（2x﹣b） ＝6x2﹣3bx+2ax﹣ab ＝6x2+（2a﹣3b）x﹣ab， ∵由于小马抄错了b的符号，得到的结果为： 6x2﹣17x+12； ∴2a﹣3b＝﹣17①， ∵（x+a）（2x+b） ＝2x2+bx+2ax+ab ＝2x2+（b+2a）x+ab， ∵小虎漏抄了第一个多项式中x的系数， 得到的结果为2x2﹣5x﹣12， 2a+b＝﹣5②， 由①②解得； 故a＝﹣4，b＝3； （2）（3x+a）（2x+b） ＝（3x﹣4）（2x+3） ＝6x2+9x﹣8x﹣12 ＝6x2+x﹣12； 故这道整式乘法题的正确结果为6x2+x﹣12． 45．小华和小明同时计算一道整式乘法题（2x+a）（3x+b）．小华抄错了第一个多项式中a的符号，即把+a抄成了﹣a，得到结果为6x2+11x﹣10；小明把第二个多项式中的3x抄成了x，得到结果为2x2﹣9x+10． （1）求a，b的值； （2）请计算出这道题的正确结果． 【分析】（1）根据小华的解题过程得出（2x﹣a）（3x+b）＝6x2+11x﹣10，即可求出2b﹣3a＝11，根据小明的解题过程得出（2x+a）（x+b）＝2x2﹣9x+10，即可求出2b+a＝﹣9，从而求出a、b的值； （2）把（1）中a、b的值代入，再根据多项式乘多项式的法则计算即可． 【解答】解：（1）（2x﹣a）（3x+b）＝6x2+11x﹣10， 6x2+（2b﹣3a）x﹣ab＝6x2+11x﹣10， ∴2b﹣3a＝11①，﹣ab＝﹣10， （2x+a）（x+b）＝2x2﹣9x+10， 2x2+（2b+a）x+ab＝2x2﹣9x+10， ∴2b+a＝﹣9②，ab＝10， ①﹣②，得﹣4a＝20， 解得a＝﹣5， ∴b＝﹣2； （2）由（1）知a＝﹣5，b＝﹣2， ∴（2x+a）（3x+b） ＝（2x﹣5）（3x﹣2） ＝6x2﹣4x﹣15x+10 ＝6x2﹣19x+10． 【题型10 巧用乘法公式求值】 46．（1）已知a﹣b＝3，，求a2+b2的值． （2）已知（a+b）2＝18，（a﹣b）2＝2，求a2+b2和ab的值． 【分析】（1）利用完全平方公式变形求解即可； （2）利用完全平方公式变形求解即可． 【解答】解：（1）∵a﹣b＝3， ∴（a﹣b）2＝9． ∵a﹣b）2＝a2+b2﹣2ab， ∴a2+b2＝（a﹣b）2+2ab ＝9+2 ＝9﹣1 ＝8； （2）∵（a+b）2＝18，（a﹣b）2＝2， ∴a2+2ab+b2＝18①， a2﹣2ab+b2＝2②， 由①+②得：2a2+2b2＝20， ∴a2+b2＝10， 由①﹣②得：4ab＝16， ∴ab＝4． 47．已知a﹣b＝4，ab＝12，求下列各式的值： （1）a2+b2； （2）a2﹣ab+b2； （3）（a+b）2． 【分析】（1）原式利用完全平方公式变形可得a2+b2＝（a﹣b）2+2ab，将已知等式代入计算即可解； （2）原式利用完全平方公式变形可得a2﹣ab+b2＝（a﹣b）2+ab，将已知等式代入计算即可解； （3）根据（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab，即可求解． 【解答】解：（1）由题意可得： ∴a2+b2＝（a﹣b）2+2ab＝42+2×12＝40； （2）由题意可得：a2﹣ab+b2＝（a﹣b）2+ab＝42+12＝28； （3）∵a﹣b＝4，ab＝12， ∴（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab＝42+4×12＝64． 48．已知x3． （1）求x2的值； （2）求x4的值． 【分析】（1）在x3，的基础上，左右平方，易x2的值； （2）在x27的基础上左右平方可求x4的值． 【解答】解：（1）∵x3， ∴（x）2＝x2+29， ∴x27； （2）由（1）可知x27， ∴x4（x2）2﹣2＝49﹣2＝47． 49．已知m+n＝3，mn＝2，求下列代数式的值： （1）m3n﹣2m2n2+mn3； （2）m4+n4． 【分析】（1）首先提取公因式mn，再利用完全平方公式进行变形，最后整体代入求值即可； （2）先利用完全平方公式求出m2+n2的值，再将m4+n4化简，再整体代入求值即可． 【解答】解：（1）已知m+n＝3，mn＝2， 原式＝mn（m2﹣2mn+n2） ＝mn（m﹣n）2， ∵m+n＝3，mn＝2， ∴（m﹣n）2＝（m+n）2﹣4mn＝9﹣8＝1， ∴原式＝2×1＝2； （2）已知m+n＝3，mn＝2， 原式＝（m2+n2）2﹣2m2n2＝（m2+n2）2﹣2（mn）2， ∵m2+n2＝（m+n）2﹣2mn＝9﹣4＝5， ∴原式＝52﹣2×22＝25﹣8＝17． 50．按要求完成下列各题： （1）已知实数a、b满足（a+b）2＝1，（a﹣b）2＝9，求a2+b2﹣ab的值； （2）已知（2024﹣a）（2025﹣a）＝2047，试求（a﹣2024）2+（2025﹣a）2的值． 【分析】（1）利用完全平方公式将两式展开后利用等式的性质依次求得a2+b2＝5，ab＝﹣2即可得出结论； （2）利用完全平方公式解答即可． 【解答】解：（1）∵（a+b）2＝1，（a﹣b）2＝9， ∴a2+2ab+b2＝1①，a2﹣2ab+b2＝9②， ①+②得：2a2+2b2＝10， ∴a2+b2＝5， ①﹣②得：4ab＝﹣8， ∴ab＝﹣2， ∴a2+b2﹣ab＝5﹣（﹣2）＝5+2＝7； （2）∵（2024﹣a）（2025﹣a）＝2047， ∴（a﹣2024）（2025﹣a）＝﹣2047， ∵（a﹣2024）2+（2025﹣a）2＝[（a﹣2024）+（2025﹣a）]2﹣2（a﹣2024）2+（2025﹣a）2， ∴（a﹣2024）2+（2025﹣a）2＝12﹣2×（2047）＝1+4094＝4095． 【题型11 分式方程中的含参问题】 51．若关于x的不等式组无解，且关于y的分式方程有非负整数解，则满足条件的所有整数a的和为多少？ 【分析】由不等式组无解，可得a的范围，根据分式方程有非负整数解，可确定a的值，从而可得答案． 【解答】解：， 解得：x＞3且， 又∵不等式组无解， ∴， 解得：a≤8， ， 解得：， ∵y≠2， ∴， 解得：a≠2， ∵分式方程有非负整数解， ∴为非负整数， ∴且为整数， 解得：a≥﹣2且a≠2，a为偶数， ∴a＝8或6或4或0或﹣2， ∴满足条件的所有整数a的和为8+6+4+0﹣2＝16． 52．已知关于x的分式方程． （1）已知m＝4，求方程的解； （2）若该分式方程无解，试求m的值． 【分析】（1）先把m＝4代入分式方程，再方程两边都乘（x+2）（x﹣2），得出2（x+2）+4x＝3（x﹣2），求出方程的解，再进行检验即可； （2）方程两边都乘（x+2）（x﹣2），得出2（x+2）+mx＝3（x﹣2）①，整理后得出（m﹣1）x＝﹣10②，再分别把x＝2，x＝﹣2，代入①求出m，由②得出当m﹣1＝0时，方程无解，最后代入答案即可． 【解答】解：（1）当m＝4时， 原方程为：， 2（x+2）+4x＝3（x﹣2）， 解得：， 检验：当时，（x+2）（x﹣2）≠0， ∴是分式方程的解； （2）， 2（x+2）+mx＝3（x﹣2）①， 整理得（m﹣1）x＝﹣10②， 有三种情况： 第一种情况：当x﹣2＝0，即x＝2时，分式方程无解， 把x＝2代入①，得2×（2+2）+2m＝0， 解得：m＝﹣4； 第二种情况：当x+2＝0，即x＝﹣2时，分式方程无解， 把x＝﹣2代入①，得﹣2m＝﹣12， 解得：m＝6； 第三种情况：②（m﹣1）x＝﹣10， 当m﹣1＝0，即m＝1时，方程无解； 所以该分式方程无解时，m的值是﹣4或6或1． 53．已知，关于x的方程：． （1）若方程无解，求m的取值； （2）若方程的解为整数，求整数m的值． 【分析】（1）根据分式方程的解法得出（m﹣9）x＝3，分当x＝±1时方程有增根，当m﹣9＝0时原分式方程无解，从而求解； （2）由（m﹣9）x＝3，得，然后根据方程的解为整数得出m﹣9＝±3，m﹣9＝±1，最后求解并检验即可． 【解答】解：（1）， 去分母，得3（x﹣1）+6（x+1）＝mx， 去括号，得3x﹣3+6x+6＝mx， 移项、合并同类项，得（m﹣9）x＝3， 当x＝﹣1时，得9﹣m＝3， 解得m＝6； 当x＝1时，得m﹣9＝3， 解得m＝12， ∴若方程有增根，m的取值为6或12； ∵（m﹣9）x＝3， ∴当m﹣9＝0时原分式方程无解， ∴m＝9， ∵当m＝6或12时方程有增根， ∴若方程无解，m的取值为6或9或12； （2）由（1）知，（m﹣9）x＝3， ∴， ∵方程的解为整数， ∴m﹣9＝±3，m﹣9＝±1， 当m﹣9＝3时，m＝12（舍去）； 当m﹣9＝﹣3时，m＝6（舍去）； 当m﹣9＝1时，m＝10； 当m﹣9＝﹣1时，m＝8； ∴m＝8或10． 54．小华在解分式方程时，由于印刷问题，有一个数“？”看不清楚：解方程． （1）她把这个数“？”猜成﹣3，请你帮小华解这个分式方程； （2）小华的妈妈说：“我看到标准答案是：方程的增根是x＝2，原分式方程无解”，请你求出原分式方程中“？”代表的数是多少？ 【分析】（1）把？＝﹣3代入方程，进而利用解分式方程的方法解答即可； （2）设？为m，去分母后把增根x＝2代入整式方程求解即可． 【解答】解：（1）方程两边同时乘以（x﹣2）得2x﹣3＝3（x﹣2）， 解得x＝3， 经检验，x＝3是原分式方程的解． （2）设？为m，则分式方程为， 方程两边同时乘以（x﹣2）得2x+m＝3（x﹣2）， 由于x＝2是原分式方程的增根， 所以把x＝2代入上面的等式得4+m＝0，解得m＝﹣4， 所以，原分式方程中“？”代表的数是﹣4． 55．关于x的分式方程的解为正数，且使关于y的一元一次不等式组有解，则所有满足条件的整数a的值之和是多少？ 【分析】把分式方程与一元一次不等式的解分别求出，再根据题意求a的范围，最后确定a的整数解，再相加即可． 【解答】解：关于x的分式方程化为整式方程是：ax﹣3+（x﹣2）＝﹣（3x﹣1）， 解得：， ∵关于x的分式方程的解为正数， ∴a+4＞0， ∴a＞﹣4， ∵关于x的分式方程可能会产生增根2， ∴， ∴a≠﹣1， 解关于y的一元一次不等式组得：， ∵关于y的一元一次不等式组有解， ∴a﹣3＜0， ∴a＜3， 综上，﹣4＜a＜3且a≠﹣1， ∵a为整数， ∴a＝﹣3或﹣2或0或1或2， ∴满足条件的整数a的值之和是：﹣3﹣2+0+1+2＝﹣2． 56．阅读材料：一般地，若ax＝N（a＞0，a≠1），则x叫做以a为底N的对数，记作：x＝logaN．比如指数式24＝16可以转化为4＝log216，对数式2＝log525可以转化为52＝25．我们根据对数的定义可得到对数的一个性质：loga（M•N）＝logaM+logaN（a＞0，a≠1，M＞0，N＞0）；理由如下：设logaM＝m，logaN＝n，则M＝am，N＝an，∴M•N＝am•an＝am+n，由对数的定义得m+n＝loga（M•N），∴loga（M•N）＝logaM+logaN． 解决问题： （1）将指数43＝64转化为对数式　3＝log464　 ； （2）①log232＝　5　 ，②log327＝　3　 ，③log71＝　0　 ； （3）证明：logalogaM﹣logaN（a＞0，a≠1，M＞0，N＞0）； 拓展运用： （4）计算：log32+log36﹣log336． 【分析】（1）根据定义计算即可； （2）①根据定义计算即可； ②根据定义计算即可； ③根据定义计算即可； （3）先设logaM＝m，logaN＝n，从而可得，再根据对数的定义得出：，即可得出； （4）先由log32+log36﹣log336，得出，再化简小括号里的，可得出即可求解． 【解答】解：（1）将指数43＝64转化为对数式为：3＝log464． 故答案为：3＝log464； （2）①； ②； ③log71＝0． 故答案为：①5；②3；③0； （3）设logaM＝m，logaN＝n， 则， 由对数的定义可得：， 又∵m﹣n＝logaM﹣logaN， ∴； （4）原式 ＝﹣1． 57．定义：一个多项式A乘一个多项式B，运算结果化简后得到多项式C，若C的项数比A的项数多1，则称B是A的“友好多项式”；若C的项数与A的项数相同，则称B是A的“特别友好多项式”． （1）若A＝x+3，B＝2x﹣1，请判断B是否为A的“友好多项式”，并说明理由． （2）若A＝x﹣3，B＝x2+ax+9均是关于x的多项式，且B是A的“特别友好多项式”，求a的值． 【分析】（1）先根据题意，利用多项式乘多项式法则，求出C，然后根据已知条件中的新定义进行判断即可； （2）先计算（x﹣3）（x2+ax+9），再根据B是A的“特别友好多项式”，得到（x﹣3）（x2+ax+9）的结果只有两项，据此求解即可． 【解答】解：（1）B是A的“友好多项式”，理由如下： ∵A＝x+3，B＝2x﹣1， ∴C＝（x+3）（2x﹣1） ＝2x2+5x﹣3， ∴满足C的项数比A的项数多1， ∴B是A的“友好多项式”； （2）（x﹣3）（x2+ax+9） ＝x3+ax2+9x﹣3x2﹣3ax﹣27 ＝x3+（a﹣3）x2+（9﹣3a）x﹣27， 由条件可知a﹣3＝0且9﹣3a＝0， 解得a＝3． 58．两个多项式相除，可以先把这两个多项式都按照同一字母降幂排列，然后再仿照两个多位数相除的计算方法用竖式进行计算．例如（6x2+7x+2）÷（2x﹣1），仿照672÷21计算如下： 因此（6x2+7x+2）÷（2x﹣1）＝3x+2．阅读完上述材料后，解决下列问题： （1）计算（3x2+10x+4）÷（3x+1），商式是x+3　 ，余式是　1　 ； （2）试判断x3﹣2x2﹣5x﹣2能否被x+1整除，说明理由（请用材料的竖式解答）； （3）利用上述方法解决：若多项式2x4+3x3+ax2+7x+b能被（x+2）（x﹣1）整除，求的值． 【分析】（1）根据“短除法”进行计算即可； （2）根据“短除法”进行计算即可； （3）根据“短除法”进行计算，根据整除的定义得出a+3＝9，b＝﹣2（a+3），求出a、b的值，代入计算即可． 【解答】解：（1）（3x2+10x+4）÷（3x+1）的商式是x+3，余式是1； 故答案为：x+3，1； （2）x3﹣2x2﹣5x﹣2能被x+1整除，理由如下： （3）（x+2）（x﹣1）＝x2+x﹣2， 如图，若多项式2x4+3x3+ax2+7x+b能被（x+2）（x﹣1）整除， 所以a+3＝9，b＝﹣2（a+3）， 解得a＝6，b＝﹣18， ∴（）2． 59．定义：若两个分式的和为n（n为正整数），则称这两个分式互为“n阶分式”，例如：分式，所以分式与互为“3阶分式”． （1）分式与　　 互为“4阶分式”； （2）设正数x，y互为倒数，求证：分式与互为“2阶分式”； （3）若分式与互为“1阶分式”（其中a，b为正数），求ab的值． 【分析】（1）设另一个分式为M，根据定义，得到，据此求解即可； （2）根据题意首先利用倒数关系，将x，y进行消元，然后通过分式的加法化简即可得解； （3）根据1阶分式的要求对两者相加进行分式加法化简，通过通分化简即可得解． 【解答】解：（1）根据题意，设另一个分式为M， 则， M＝4， 解得：． 故答案为：； （2）原式， 又∵正数x，y互为倒数， ∴， ∴分式与互为“2阶分式”； （3）∵与互为“1阶分式”， ∴， ∴a（a2+8b）+8b（a+4b2）＝（a+4b2）（a2+8b）， ∴8ab＝4a2b2，其中a，b为正数， ∴ab＝2． 60．请阅读如下材料，并解决问题： 材料1：定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”．如若：，则和都是“和谐分式”． 材料2：对于部分非和谐分式，可以转化为几个和谐分式的和．解：设，将等式右边通分，得，依据题意，得，解得，所以． （1）①分式是　“非和谐分式”　 （填“和谐分式”或“非和谐分式”）； ②已知，则M＝　3　 ，N＝　﹣1　 ； （2）如果分式的值为整数，求满足条件的整数x的值； （3）如果，，请用含有a和b的式子表示n2﹣n． 【分析】（1）①由，可知该分式不是一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，即可判断是“非和谐分式”； ②由，可得M+N＝2，3M+2N＝7，求出M、N即可； （2）由x+1的值是整数，可得x+4＝1或x+4＝﹣1或x+4＝3或x+4＝﹣3，求出x的值即可； （3）由题分别得到，b，两个式子消去可得b，即可求n2﹣n． 【解答】解：（1）①，不是一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式， ∴分式是“非和谐分式”， 故答案为：“非和谐分式”； ②∵， ∴M+N＝2，3M+2N＝7， 解得M＝3，N＝﹣1； 故答案为：3，﹣1；（2）x+1， ∵分式的值是整数， ∴x+4＝1或x+4＝﹣1或x+4＝3或x+4＝﹣3， 解得x＝﹣3或﹣5或﹣1或﹣7； （3）∵， ∴a， ∴， ∵， ∴b， ∴b， ∴n2﹣n． 第 1 页 共 3 页 学科网（北京）股份有限公司 $