精品解析：江苏省南通市如皋初级中学2025-2026学年上学期九年级数学第二次练习

2025——2026学年度第一学期九年级第二次练习数学 （时间：120分钟，总分150分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 将抛物线向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，所得的抛物线是（　　） A. B. C D. 【答案】C 【解析】 【分析】抛物线图象的平移规律：左加右减，上加下减，直接利用规律解题即可． 【详解】解：抛物线向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，所得的抛物线是 ， 故选C 【点睛】本题考查的是抛物线的平移，掌握“抛物线的平移规则”是解本题的关键． 2. 如图是由4个相同的小正方体组成的几何体，它的主视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了几何体的三视图，从正面看到的图形有两列，数量分别为1、2，据此即可判断答案． 【详解】解：由图形可知，主视图为 故选：D． 3. 如图，中，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先根据垂径定理得出，再根据圆周角定理可得出结论． 【详解】解：在中，，是半径， ， ． 故选：D． 【点睛】本题考查的是圆周角定理及垂径定理，根据题意作出辅助线，构造出圆心角是解答此题的关键． 4. 若在反比例函数图象的任一支上，都随的增大而增大，则下列点可能在这个函数图象上的为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据在反比例函数图象的任一支上，都随的增大而增大，得出，即可求解． 【详解】解：∵根据在反比例函数图象的任一支上，都随的增大而增大， ∴， A．，故该选项正确，符合题意； B．，故该选项不正确，不符合题意； C，D选项中的点在坐标轴上不在反比例函数图象上，不合题意， 故选：A． 【点睛】本题考查了根据反比例函数的增减性求参数，掌握反比例函数的性质是解题的关键． 5. 如图，某博物馆大厅电梯的截面图中，AB的长为12米，AB与AC的夹角为，则高BC是（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 【答案】A 【解析】 【分析】在Rt△ACB中，利用正弦定义，sinα=，代入AB值即可求解． 【详解】解：在Rt△ACB中，∠ACB=90°， ∴sinα=， ∴BC= sinαAB=12 sinα（米）， 故选：A． 【点睛】本题考查解直角三角形的应用，熟练掌握直角三角形边角关系是解题的关键． 6. 如图，在平面直角坐标系中，与是以O为位似中心的位似图形，若，，，则点D的坐标是（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是位似变换，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或根据位似图形的概念得到，根据点B、D的坐标求出相似比，再根据位似变换的性质解答即可． 【详解】解：与是以O为位似中心的位似图形， ， ∵，， 与的相似比为， 点B的坐标为， 点D的坐标是， 故选：C． 7. 一个球从地面竖直向上弹起时的速度为10米/秒，经过（秒）时球距离地面的高度（米）适用公式，那么球弹起后又回到地面所花的时间（秒）是（ ） A. 5 B. 10 C. 1 D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】根据球弹起后又回到地面时，得到，解方程即可得到答案． 【详解】解：球弹起后又回到地面时，即， 解得（不合题意，舍去），， ∴球弹起后又回到地面所花的时间（秒）是2， 故选：D 【点睛】此题考查了求二次函数自变量值，读懂题意，得到方程是解题的关键． 8. 如图，是等边三角形，被一矩形所截，被截成三等分，，若图中阴影部分的面积是18．则的面积为（ ） A. 64 B. 54 C. 44 D. 34 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定和性质是关键． 根据题意可得，，则，得到，再证明，得，，由此即可求解． 【详解】解：∵是等边三角形，被一矩形所截，被截成三等分， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：B ． 9. 如图，在中，是边上的中线，且，是边上的高．若，，则的长为（ ） A. B. C. 6 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了解直角三角形，勾股定理，等边对等角和三角形内角和定理，根据题意可得，则由等边对等角和三角形内角和定理可证明，则；利用勾股定理求出，则，则，据此可得答案． 【详解】解：∵是边上的中线，且， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是边上高， ∴， ∴， 在中，， 在中，， ∴， 故选：D． 10. 抛物线过两点，点到抛物线对称轴的距离记为，满足，则实数的取值范围是（　　） A. 2 B. 或 C. 3 D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数图象的性质，解一元一次不等式， 将代入抛物线中得，根据，且点到抛物线对称轴的距离记为，满足可得进而得出或，然后将代入中，得可得，接下来得出不等式，求出解集即可． 【详解】解：将代入抛物线中， 得， 即． 对称轴，且点到抛物线对称轴的距离记为，满足 或． 将代入中，得 ， 即， 或 或． 故选：D． 二、填空题（本大题共6小题，11∽12每小题3分，13∽16每小题4分，共22分．不需写出解答过程，请把最终结果直接填写在答题卡相应位置上） 11. 抛物线的顶点坐标是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数顶点式的特点，根据二次函数的顶点式形式为，其顶点坐标为 ，直接应用此公式求解． 【详解】解：抛物线 ， ∴顶点坐标为， 故答案为：． 12. 一个圆锥的母线长为6，底面圆的半径为4，那么这个圆锥的侧面积是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了圆锥的侧面积的计算．熟练掌握圆锥的侧面积公式（l为母线长，r为底面半径）是解题的关键．根据圆锥的侧面积公式计算即可． 【详解】解：由题意，这个圆锥的侧面积是， 故答案为：． 13. 如图，为的弦，，交于点，垂足为，，则的半径长为_____． 【答案】5 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理与勾股定理，掌握垂径定理是关键． 如图所示，连接，设，由圆的基础知识，垂径定理得到，根据勾股定理列式即可求解． 【详解】解：如图所示，连接， ∴设，则， ∵， ∴， 在中，， ∴， 解得，， ∴的半径长为5， 故答案为：5 ． 14. 《九章算术》是中国古代的数学专著，它奠定了中国古代数学的基本框架，以计算为中心，密切联系实际，以解决人们生产、生活中的数学问题为目的．书中记载了这样一个问题：“今有勾五步，股十二步．问勾中容方几何．”其大意是：如图，的两条直角边的长分别为5和12，则它的内接正方形的边长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质； 设正方形的边长为x，则，证明，利用相似三角形的性质求出x即可． 【详解】解：设正方形的边长为x，则， ∵正方形中，即， ∴， ∴，即， ∴， ∴它的内接正方形的边长为， 故答案为：． 15. 如图，矩形的顶点在反比例函数的图像上，顶点在第一象限，对角线轴，交轴于点．若矩形的面积是6，，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】方法一：根据的面积为，得出，，在中，，得出，根据勾股定理求得，根据的几何意义，即可求解． 方法二：根据已知得出则，即可求解． 【详解】解：方法一：∵， ∴ 设，则， ∴ ∵矩形的面积是6，是对角线， ∴的面积为，即 ∴ 在中， 即 即 解得： 在中， ∵对角线轴，则， ∴ ∵反比例函数图象在第二象限， ∴， 方法二：∵， ∴ 设，则， ∴， ∴， ， ∵， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了矩形的性质，反比例函数的几何意义，余弦的定义，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键． 16. 如图，在正方形中，，，分别为，的中点，为边上一动点（不与点重合），连接，过点作，且，连接，则的值为_____，线段长度的最小值为_____． 【答案】①；② 【解析】 【分析】本题考查了正方形和性质，相似三角形的判定和性质，正切值的计算等知识的综合，掌握相似三角形的判定和性质，合理作出辅助线是解题的关键． 如图所示，连接，证明，，得到，结合正方形的性质，正切值的计算即可求解；如图所示，延长交于点，设交于点，证明，得到点在线段上运动，当时，的值最小，当点重合时，的值最小，由平行四边形的判定和性质，勾股定理的计算即可求解． 【详解】解：如图所示，连接， ∵四边形是正方形， ∴， ∵点是的中点， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，则， ∴， ∴， ∴，则， ∴； 如图所示，延长交于点，设交于点， ∵， ∴，则， ∴点在线段上运动，当时，的值最小， ∵，，且， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴当点重合时，的值最小， 在中，， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴的最小值为， 故答案为：①；② ． 三、解答题（本大题共9小题，共98分．请在答题卡指定区域内作答，解答时写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. （1）计算：； （2）计算：． 【答案】 （1）；（2）1 【解析】 【分析】本题主要考查特殊角的三角函数值的混合运算，掌握特殊角的三角函数值的计算是关键． （1）分别算出特殊角的三角函数值，再根据实数的混合运算法则计算即可； （2）分别算出特殊角的三角函数值，再根据实数的混合运算法则计算即可． 【详解】解：（1） ； （2） ． 18. 如图，在中，是角平分线，点E是边上一点，且满足． （1）证明：； （2）若，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2）． 【解析】 【分析】（1）证出．根据相似三角形的判定可得出结论； （2）由相似三角形的性质可得出，则可得出答案． 【小问1详解】 证明：∵是的角平分线， ∴． ∵， ∴． 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． 19. 已知：如图，两点、是一次函数和反比例函数图像的两个交点． （1）求一次函数和反比例函数的解析式． （2）求的面积． （3）观察图像，直接写出不等式的解集． 【答案】（1）一次函数的解析式为，；（2）；（3）或 【解析】 【分析】（1）先把点A的坐标代入反比例函数解析式，即可得到m=-8，再把点B的坐标代入反比例函数解析式，即可求出n=2，然后利用待定系数法确定一次函数的解析式； （2）先求出直线y=-x-2与x轴交点C的坐标，然后利用S△AOB=S△AOC+S△BOC进行计算； （3）观察函数图象即可求得不等式的解集． 【详解】解：（1）在上， ． ∴反比例函数的解析式为． 在上， 经过，， ∴ 解之得：． ∴一次函数的解析式为． （2）是直线与轴的交点， ∴当时，． ∴点． ． （3）由图可得，不等式的解集为：或． 【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：反比例函数与一次函数的交点坐标满足两函数的解析式．解决问题的关键是掌握用待定系数法确定一次函数的解析式． 20. 如图，为的直径，与相切于点，且交直线于点． （1）求证：平分； （2）若，求的长． 【答案】（1）见详解 （2） 【解析】 【分析】（1）根据切线的性质得到，则，结合题意得到，，由等边对等角得到，等量代换即可求解； （2）运用勾股定理得到，如图所示，过点作于点，由圆内接四边形得到，证明，由此即可求解． 【小问1详解】 解：∵与相切于点， ∴，则， ∵，即， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴平分； 【小问2详解】 解：在中，， 如图所示，过点作于点， ∵平分，， ∴， ∵点在圆上， ∴四边形是的内接四边形， ∴， ∵， ∴， 在中， ， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查切线的性质，角平分线的性质定理，勾股定理，圆内接四边形的性质，全等三角形的判定和性质，掌握圆与三角形，四边形的综合知识是关键． 21. 某小区门口安装了汽车出入道闸．道闸关闭时，如图1，四边形为矩形，长3米，长1米，点与点重合．道闸打开的过程中，边固定，连杆，分别绕点，转动，且边始终与边平行． （1）如图2，当道闸打开至时，边上一点到地面的距离PE为1米，求点到的距离的长． （2）一辆轿车过道闸，已知轿车宽1.8米，高1.6米．当道闸打开至时，轿车能否驶入小区？请说明理由，（参考数据：，，） 【答案】（1）2 （2）轿车能驶入小区，理由见解析； 【解析】 【分析】（1）中，，,可得，结合，即可求出的长； （2）当时，，求出的长，与比较即可得到答案； 【小问1详解】 在中， ∵，， ∴， ∵， ∴， 【小问2详解】 当时，，则， 在中， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴轿车能驶入小区 【点睛】本题考查解直角三角形的应用，掌握直角三角形的边角关系是正确解答的前提． 22. 如图，与相切于点，为的直径，点在上，连接，且． （1）连接，求证：； （2）若，，求图中阴影部分的面积． 【答案】（1）见解析； （2）． 【解析】 【分析】（1）利用切线性质得，再通过证明，从而推出； （2）先结合已知角度推出相关角的度数，确定为等边三角形，求出圆的半径，再根据平行线间面积关系，将阴影部分面积转化为扇形的面积进行计算． 【小问1详解】 证明：如图，连接， ∵与相切， ∴， ∴， 在和中 ∴ ∴， ∴； 【小问2详解】 解：如图，连接， ∵， ∴， ∴ ∵， ∴为等边三角形， ∴， 由（1）可知：， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查圆的切线性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质以及扇形面积计算，熟练掌握圆的切线垂直于过切点的半径、全等三角形判定定理、等边三角形判定与性质及扇形面积公式是解题的关键． 23. 我们常见的炒菜锅和锅盖都是抛物线面，经过锅心和盖心的纵断面是两段抛物线组合而成的封闭图形，不妨简称为“锅线”，锅口直径为，锅深，锅盖高（锅口直径与锅盖直径视为相同），建立直角坐标系如图①所示，如果把锅纵断面的抛物线记为，把锅盖纵断面的抛物线记为． （1）求和的解析式； （2）如果炒菜时锅的水位高度是，求此时水面的直径； （3）如果将一个底面直径为，高度为的圆柱形器皿放入炒菜锅内蒸食物，锅盖能否正常盖上？请说明理由． 【答案】（1）； （2）水面的直径为 （3）锅盖不能正常盖上，理由见解析 【解析】 【分析】（1）已知、、、四点坐标，利用待定系数法即可确定两函数解析式； （2）炒菜锅里的水位高度为，即，列方程求得x的值即可得答案； （3）底面直径为、高度为圆柱形器皿能否放入锅内，需判断当时，、中的值的差与比较大小，从而可得答案． 【小问1详解】 由于抛物线、都过点、，设、的解析式为：，； 抛物线还经过， 则有：，解得： 即：抛物线； 抛物线还经过， 则有：，解得： 即：抛物线． 【小问2详解】 当炒菜锅里的水位高度为时，，即， 解得：， ∴此时水面的直径为． 【小问3详解】 锅盖不能正常盖上，理由如下： 当时，抛物线， 抛物线， 而， ∴锅盖不能正常盖上． 【点睛】考查了二次函数的综合应用，考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数图象上点的坐标特征等，注意数形结合思想在解题中的应用. 24. 已知：矩形，在边上取一点，将沿翻折，使点恰好落在边上点处． （1）如图1，若，求的度数； （2）如图2，当，且时，求的长； （3）如图3，延长，与的角平分线交于点，交于点，当时，求的值． 【答案】（1）； （2）； （3） 【解析】 【分析】（1）根据矩形的性质和三角函数定义，先得到，再由折叠的性质可得到； （2）由三等角证得，从而得，求出即可； （3）过点作于点，可证得．再根据相似三角形的性质得出对应边成比例及角平分线的性质即可得解． 【小问1详解】 解：∵四边形是矩形， ∴，，， ∵沿翻折，使点C恰好落在边上点F处， ∴，，，， ∵， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：设，∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，，且， ∴， 解得或（舍去）， ∴； 【小问3详解】 解：过点N作，垂足为G， ∵平分，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， 设，，则，， 在直角三角形中，根据勾股定理，得， ∴， 解得：， ∴， ∴． 【点睛】本题注意考查了矩形的折叠，相似三角形的判定和性质，勾股定理，解直角三角形的应用，解题时要灵活运用折叠的性质和相似三角形的判定与性质的综合应用． 25. 在平面直角坐标系中，点在抛物线F：上， （1）当时， ①求的值； ②将抛物线F平移后得抛物线G：，设抛物线F与抛物线G的交点为P，过点P的直线与抛物线F的另一个交点为M，与抛物线G的另一个交点为N，问的长是否为定值？若的长为定值，请求出这个值；若的长不为定值，请说明理由． （2）当时，若对于，都有，求的取值范围． 【答案】（1）①；②是定值，为 （2） 【解析】 【分析】（1）①在抛物线F：上，再根据对称轴公式即可求解； ②设，，，由①得，抛物线：，联立整理得到，则有，同理可得，推出，再利用勾股定理求出的长即可解答； （2）由可得，则问题转化为对于，都有，设，则函数图象开口向上，对称轴为，根据二次函数的性质可知当时，随着的增大而减小，要满足题意只需当时，据此列出关于的不等式，即可求解． 【小问1详解】 解：①当时，， ∵在抛物线F：上， ∴， ∴； ②的长为定值， 设，，， 由①得，抛物线：， 联立， 整理得：， ∴， 联立， 整理得：， ∴， ∴， ∵，， ∴ ， ∴， ∴的长为定值； 【小问2详解】 解：∵点在抛物线：上，且， ∴， ∴， ∵对于，都有， ∴对于，都有， 设，则函数图象开口向上，对称轴为， ∵， ∴当时，随着的增大而减小， ∴当时，， ∴， 解得， ∴的取值范围为． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质、一元二次方程根与系数的关系、勾股定理、二次函数与不等式，熟练掌握相关知识点是解题的关键．本题属于函数综合题，需要较强的数形结合能力，适合有能力解决压轴题的学生． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025——2026学年度第一学期九年级第二次练习数学 （时间：120分钟，总分150分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 将抛物线向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，所得的抛物线是（　　） A. B. C. D. 2. 如图是由4个相同的小正方体组成的几何体，它的主视图是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，中，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 4. 若在反比例函数图象的任一支上，都随的增大而增大，则下列点可能在这个函数图象上的为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，某博物馆大厅电梯的截面图中，AB的长为12米，AB与AC的夹角为，则高BC是（ ） A 米 B. 米 C. 米 D. 米 6. 如图，在平面直角坐标系中，与是以O为位似中心的位似图形，若，，，则点D的坐标是（    ） A. B. C. D. 7. 一个球从地面竖直向上弹起时的速度为10米/秒，经过（秒）时球距离地面的高度（米）适用公式，那么球弹起后又回到地面所花的时间（秒）是（ ） A 5 B. 10 C. 1 D. 2 8. 如图，是等边三角形，被一矩形所截，被截成三等分，，若图中阴影部分面积是18．则的面积为（ ） A. 64 B. 54 C. 44 D. 34 9. 如图，在中，是边上中线，且，是边上的高．若，，则的长为（ ） A. B. C. 6 D. 10. 抛物线过两点，点到抛物线对称轴的距离记为，满足，则实数的取值范围是（　　） A. 2 B. 或 C. 3 D. 或 二、填空题（本大题共6小题，11∽12每小题3分，13∽16每小题4分，共22分．不需写出解答过程，请把最终结果直接填写在答题卡相应位置上） 11. 抛物线的顶点坐标是_____． 12. 一个圆锥的母线长为6，底面圆的半径为4，那么这个圆锥的侧面积是______． 13. 如图，为的弦，，交于点，垂足为，，则的半径长为_____． 14. 《九章算术》是中国古代的数学专著，它奠定了中国古代数学的基本框架，以计算为中心，密切联系实际，以解决人们生产、生活中的数学问题为目的．书中记载了这样一个问题：“今有勾五步，股十二步．问勾中容方几何．”其大意是：如图，的两条直角边的长分别为5和12，则它的内接正方形的边长为______． 15. 如图，矩形的顶点在反比例函数的图像上，顶点在第一象限，对角线轴，交轴于点．若矩形的面积是6，，则__________． 16. 如图，在正方形中，，，分别为，的中点，为边上一动点（不与点重合），连接，过点作，且，连接，则的值为_____，线段长度的最小值为_____． 三、解答题（本大题共9小题，共98分．请在答题卡指定区域内作答，解答时写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. （1）计算：； （2）计算：． 18. 如图，在中，是角平分线，点E是边上一点，且满足． （1）证明：； （2）若，，求的长． 19. 已知：如图，两点、是一次函数和反比例函数图像的两个交点． （1）求一次函数和反比例函数的解析式． （2）求的面积． （3）观察图像，直接写出不等式的解集． 20. 如图，为的直径，与相切于点，且交直线于点． （1）求证：平分； （2）若，求的长． 21. 某小区门口安装了汽车出入道闸．道闸关闭时，如图1，四边形为矩形，长3米，长1米，点与点重合．道闸打开的过程中，边固定，连杆，分别绕点，转动，且边始终与边平行． （1）如图2，当道闸打开至时，边上一点到地面的距离PE为1米，求点到的距离的长． （2）一辆轿车过道闸，已知轿车宽1.8米，高1.6米．当道闸打开至时，轿车能否驶入小区？请说明理由，（参考数据：，，） 22. 如图，与相切于点，为的直径，点在上，连接，且． （1）连接，求证：； （2）若，，求图中阴影部分的面积． 23. 我们常见的炒菜锅和锅盖都是抛物线面，经过锅心和盖心的纵断面是两段抛物线组合而成的封闭图形，不妨简称为“锅线”，锅口直径为，锅深，锅盖高（锅口直径与锅盖直径视为相同），建立直角坐标系如图①所示，如果把锅纵断面的抛物线记为，把锅盖纵断面的抛物线记为． （1）求和的解析式； （2）如果炒菜时锅的水位高度是，求此时水面的直径； （3）如果将一个底面直径为，高度为圆柱形器皿放入炒菜锅内蒸食物，锅盖能否正常盖上？请说明理由． 24. 已知：矩形，在边上取一点，将沿翻折，使点恰好落在边上点处． （1）如图1，若，求的度数； （2）如图2，当，且时，求的长； （3）如图3，延长，与的角平分线交于点，交于点，当时，求的值． 25. 在平面直角坐标系中，点在抛物线F：上， （1）当时， ①求的值； ②将抛物线F平移后得抛物线G：，设抛物线F与抛物线G的交点为P，过点P的直线与抛物线F的另一个交点为M，与抛物线G的另一个交点为N，问的长是否为定值？若的长为定值，请求出这个值；若的长不为定值，请说明理由． （2）当时，若对于，都有，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $