精品解析：江苏省如皋经济技术开发区实验初中2024-2025学年上学期9月份反馈练习九年级数学

开发区九年级数学学科9月份反馈练习 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1. 若抛物线的开口向下，则a的值可以是（ ） A. 1 B. C. 2 D. 5 2. 二次函数的最小值是（ ） A. B. 1 C. 2 D. 3 3. 下列说法错误的是（　 　） A. 直径是圆中最长的弦 B. 长度相等的两条弧是等弧 C. 面积相等的两个圆是等圆 D. 半径相等的两个半圆是等弧 4. 将抛物线向左平移2个单位，再向上平移3个单位，得到的抛物线的解析式为（ ） A. B. C. D. 5. 若二次函数经过原点，则值为（ ） A. B. 4 C. 或4 D. 无法确定 6. 关于二次函数的性质说法正确的是（ ） A. 对称轴为 B. 函数最小值为2 C. 当时，y随x的增大而增大 D. 当时，y随x的增大而减小 7. 若二次函数图象经过点，，则与的大小关系为（　　） A. B. C. D. 不能确定 8. 如图，抛物线y=x2﹣2x与直线y=3相交于点A、B，P是x轴上一点，若PA+PB最小，则点P的坐标为（　　） A. （﹣l，0） B. （0，0） C. （1，0） D. （3，0） 9. 二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，其对称轴为直线x＝﹣，且与x轴的一个交点坐标为（﹣2，0）．下列结论：①abc＞0；②a＝b；③2a+c＝0；④关于x的一元二次方程ax2+bx+c﹣1＝0有两个相等的实数根．其中正确结论的序号是（　　） A. ①③ B. ②④ C. ③④ D. ②③ 10 对于一个函数，当自变量x取a时，其函数值y等于2a，我们称a为这个函数的二倍数．若二次函数y＝x2+x+c（c为常数）有两个不相等且小于1的二倍数，则c的取值范围是（　　） A. c＜ B. 0＜c＜ C. ﹣1＜c＜ D. ﹣1＜c＜0 二．填空题（共8小题，满分30分） 11. 抛物线的顶点坐标为______________________________． 12. 函数是二次函数，则a的值是 _______． 13. 若一条抛物线开口向下，且与y轴交于，则该抛物线的解析式可能是___________（答案不唯一）． 14. 若抛物线（是常数）与轴没有交点，则的取值范围是________． 15. 如图，AB是⊙O的直径，CD为⊙O的一条弦，CD⊥AB于点E，已知CD=4，AE=1，则⊙O的半径为______． 16. 如图为二次函数图象的一部分，其对称轴为直线．若其与x轴一交点为，则由图象可知，不等式的解集是_______． 17. 行驶中的汽车刹车后，由于惯性的作用，还会继续向前滑行一段距离，这段距离称为“刹车距离”．某车的刹车距离与车速之间的函数关系式是，则在限速的高速公路上，该车的正常刹车距离最大为_________． 18. 当时，关于的二次函数的图象在轴上方，则的取值范围为 ____________________． 三．解答题（共8小题，满分90分） 19. 已知：如图，AB是⊙O的弦，半径OC、OD分别交AB于点E、F，且OE=OF. 求证：AE=BF. 20. 将抛物线向右平移1个单位后经过点．求平移后的解析式． 21 如图，已知二次函数图象经过点和． （1）求该二次函数的表达式及图象的顶点坐标． （2）当时，请根据图象直接写出x的取值范围． 22. 已知二次函数（m是常数）． （1）求证：不论m为何值，该函数的图象与x轴有两个公共点； （2）若该抛物线与x轴的两个交点分别为，，且，求m的值． 23. 为充分发挥劳动教育的综合育人功能，某校想借助如图所示的直角墙角（两边足够长），用长的篱笆围出一块矩形蔬菜种植园（篱笆只围两边）． （1）若种植园的面积为，求的长； （2）点P处有一棵银杏树，它与墙的距离分别是和，要将这棵树围在种植园内（含边界，不考虑树的粗细），求种植园面积的最大值． 24. 如图是一个半圆形桥洞的截面示意图，圆心为，直径是河底线，弦是水位线，，米，于点，此时测得． （1）求的长： （2）如果水位以0.4米/小时的速度上升，则经过多长时间桥洞会刚刚被灌满？ 25. 一名在校大学生利用“互联网+”自主创业，销售一种产品，这种产品的成本价10元/件，已知销售价不低于成本价，且物价部门规定这种产品的销售价不高于16元/件，市场调查发现，该产品每天的销售量（件与销售价（元/件）之间的函数关系如图所示． （1）求与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围； （2）求每天的销售利润W（元与销售价（元/件）之间的函数关系式，并求出每件销售价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？ 26. 如图，直线y＝x+2与抛物线y＝ax2+bx+6（a≠0）相交于和B(4，6)，点P是线段AB上异于A、B的动点，过点P作PC⊥x轴于点D，交抛物线于点C． （1）求抛物线的解析式； （2）当C为抛物线顶点的时候，求BCE的面积； （3）是否存在这样的点P，使BCE的面积有最大值，若存在，求出这个最大值，若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 开发区九年级数学学科9月份反馈练习 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1. 若抛物线的开口向下，则a的值可以是（ ） A. 1 B. C. 2 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次函数的性质，根据时，抛物线的开口向下，进行判断即可． 【详解】解：∵抛物线的开口向下， ∴， ∴a的值可以是； 故选B． 2. 二次函数的最小值是（ ） A. B. 1 C. 2 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，掌握二次函数顶点式的图象与性质是解题的关键． 根据二次函数的顶点式，直接判断最小值． 【详解】解：二次函数，顶点坐标为， ∵， ∴当时，有最小值 3 ， 故选： D． 3. 下列说法错误的是（　 　） A. 直径是圆中最长的弦 B. 长度相等的两条弧是等弧 C. 面积相等的两个圆是等圆 D. 半径相等的两个半圆是等弧 【答案】B 【解析】 【分析】根据直径的定义对进行判断；根据等弧的定义对进行判断；根据等圆的定义对进行判断；根据半圆和等弧的定义对进行判断． 【详解】解：A、直径是圆中最长的弦，所以选项的说法正确，不符合题意； B、在同圆或等圆中，长度相等的两条弧是等弧，所以选项的说法错误，符合题意； C、面积相等的两个圆的半径相等，则它们是等圆，所以选项的说法正确，不符合题意； D、半径相等的两个半圆是等弧，所以选项的说法正确，不符合题意． 故选：B． 【点睛】本题考查了圆的认识，解题的关键是掌握与圆有关的概念（弦、直径、半径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧等）． 4. 将抛物线向左平移2个单位，再向上平移3个单位，得到的抛物线的解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次函数的平移，根据二次函数的平移规律“左加右减，上加下减”即可求解． 【详解】解：将抛物线向左平移2个单位得到抛物线， 再向上平移3个单位，得到抛物线， 故选：B． 5. 若二次函数经过原点，则的值为（ ） A. B. 4 C. 或4 D. 无法确定 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查二次函数的定义，二次函数图象上点的坐标特征，注意二次函数的二次项系数不能为0，这是容易出错的地方． 由题意二次函数的解析式为：知，则，再根据二次函数的图象经过原点，把代入二次函数，解出的值． 【详解】解：二次函数的解析式为：， ∴， ， 二次函数的图象经过原点， ， 或， ∵， ． 故选：B． 6. 关于二次函数的性质说法正确的是（ ） A. 对称轴为 B. 函数最小值为2 C. 当时，y随x的增大而增大 D. 当时，y随x的增大而减小 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次函数的性质，根据二次函数的性质，逐一进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴对称轴为直线，函数的最小值为2；故A选项错误，B选项正确； ∴当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小；故C，D选项错误； 故选B． 7. 若二次函数的图象经过点，，则与的大小关系为（　　） A. B. C. D. 不能确定 【答案】A 【解析】 【分析】根据二次函数的对称轴以及开口方向可知，离对称轴越远，函数值越大，判断即可． 【详解】解：∵二次函数解析式为：， ∴对称轴为：， ∴点到对称轴的距离大于点到对称轴的距离， ∵， ∴，故A正确． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了比较函数值的大小，根据二次函数开口方向以及对称轴结合点到对称轴的距离是解本题的关键． 8. 如图，抛物线y=x2﹣2x与直线y=3相交于点A、B，P是x轴上一点，若PA+PB最小，则点P的坐标为（　　） A. （﹣l，0） B. （0，0） C. （1，0） D. （3，0） 【答案】C 【解析】 【详解】解：如图，作点B关于x轴的对称点B′，连接AB′与x轴的交点即为点P． 当y=3时代入抛物线解析式得： x2﹣2x﹣3=0，解得x=3或x=﹣1． 则由图可知点A（﹣1，3），点B（3，3），∴B′（3，﹣3）． 设直线AB′的解析式为：y=kx+b． 代入A，B′求得：，设该直线与x轴的交点为P．当y=0时，x=1，∴点P（1，0）． 故选C． 9. 二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，其对称轴为直线x＝﹣，且与x轴的一个交点坐标为（﹣2，0）．下列结论：①abc＞0；②a＝b；③2a+c＝0；④关于x的一元二次方程ax2+bx+c﹣1＝0有两个相等的实数根．其中正确结论的序号是（　　） A. ①③ B. ②④ C. ③④ D. ②③ 【答案】D 【解析】 【分析】根据对称轴、开口方向、与y轴的交点位置即可判断a、b、c与0的大小关系，然后将由对称可知a＝b，从而可判断答案． 【详解】解：①由图可知：a＞0，c＜0，＜0， ∴b＞0， ∴abc＜0，故①不符合题意． ②由题意可知：＝， ∴b＝a，故②符合题意． ③将（﹣2，0）代入y＝ax2+bx+c， ∴4a﹣2b+c＝0， ∵a＝b， ∴2a+c＝0，故③符合题意． ④由图象可知：二次函数y＝ax2+bx+c的最小值小于0， 令y＝1代入y＝ax2+bx+c， ∴ax2+bx+c＝1有两个不相同的解，故④不符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查二次函数的图像与系数的关系，解题的关键是正确地由图象得出a、b、c的数量关系，本题属于基础题型． 10. 对于一个函数，当自变量x取a时，其函数值y等于2a，我们称a为这个函数的二倍数．若二次函数y＝x2+x+c（c为常数）有两个不相等且小于1的二倍数，则c的取值范围是（　　） A. c＜ B. 0＜c＜ C. ﹣1＜c＜ D. ﹣1＜c＜0 【答案】B 【解析】 【分析】由函数的二倍数概念得出x1、x2是方程x2+x+c=2x的两个实数根，由△＞0且x=1时y＞0，即可求解． 【详解】解：由题意知二次函数y=x2+x+c有两个不相等且小于1的二倍数， ∴x1、x2是方程x2+x+c=2x的两个不相等实数根，且x1、x2都小于1， 整理，得：x2-x+c=0， 由x2-x+c=0有两个不相等的实数根知：△＞0，即1-4c＞0①， 令y=x2-x+c，画出该二次函数的草图如下： 而x1、x2（设x2在x1的右侧）都小于1，即当x=1时，y=x2-x+c=c＞0②， 联立①②并解得： 0＜c＜， 故选：B． 【点睛】本题主要考查二次函数图象与系数的关系，解题的关键是理解并掌握不动点的概念，并据此得出关于c的不等式． 二．填空题（共8小题，满分30分） 11. 抛物线的顶点坐标为______________________________． 【答案】(1，8) 【解析】 【分析】根据题意可知，本题考查二次函数的性质，根据二次函数的顶点式，进行求解． 【详解】解：由二次函数性质可知，的顶点坐标为(，) ∴的顶点坐标为(1，8) 故答案为：(1，8) 【点睛】本题考查了二次函数的性质，先把函数解析式配成顶点式根据顶点式即可得到顶点坐标． 12. 函数是二次函数，则a的值是 _______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的定义，熟练掌握二次函数的定义是解题的关键；由题意易得且，然后求解即可． 【详解】解：由题意得：且， 解得：； 故答案为：． 13. 若一条抛物线的开口向下，且与y轴交于，则该抛物线的解析式可能是___________（答案不唯一）． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象和性质．对于二次函数（a，b，c为常数，），当时，抛物线开口向上；当时，抛物线开口向下．据二次函数的性质，所写出的函数解析式a是负数，即可． 【详解】解：开口向下，并且与y轴交于点的抛物线的表达式为， 故答案为：（答案不唯一）． 14. 若抛物线（是常数）与轴没有交点，则的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了抛物线与x轴的交点问题，掌握抛物线与x轴没有交点与没有实数根是解题的关键． 由抛物线与x轴没有交点，运用根的判别式列出关于c的一元一次不等式求解即可． 【详解】解：∵抛物线与x轴没有交点， ∴没有实数根， ∴，． 故答案为：． 15. 如图，AB是⊙O的直径，CD为⊙O的一条弦，CD⊥AB于点E，已知CD=4，AE=1，则⊙O的半径为______． 【答案】 【解析】 【详解】试题分析：连接OC，则OC=r，OE=r－1，CE=CD=2，根据Rt△OCE的勾股定理可得：，解得：r=． 考点：垂径定理． 16. 如图为二次函数图象的一部分，其对称轴为直线．若其与x轴一交点为，则由图象可知，不等式的解集是_______． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了利用二次函数的图象求不等式的解集，根据二次函数与不等式的关系解答即可，正确掌握二次函数与不等式的关系是解题的关键． 【详解】解：∵抛物线的对称轴为直线，图象与x轴一交点为, ∴图象与x轴的另一交点为， ∵抛物线开口向上， ∴当时，即， 故答案为：． 17. 行驶中的汽车刹车后，由于惯性的作用，还会继续向前滑行一段距离，这段距离称为“刹车距离”．某车的刹车距离与车速之间的函数关系式是，则在限速的高速公路上，该车的正常刹车距离最大为_________． 【答案】21 【解析】 【分析】依据题意，将代入，计算即可得出答案．本题主要考查了二次函数的应用，解题时要能读懂题目，理解题意，正确进行计算是关键． 【详解】解：由题意，在中， 当时，， 若该车以的速度行驶，则该车的刹车距离为． 故答案为：21． 18. 当时，关于的二次函数的图象在轴上方，则的取值范围为 ____________________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图形和性质，解题的关键是掌握分类讨论思想，能够求出时的最小值； 先求出二次函数图象的对称轴，再分和两种情况，分别求出的最小值，令最小值大于0即可求解． 【详解】解：二次函数的图象的对称轴为：． 当时，抛物线开口向下， ∵，， ∴时，取最小值，最小值为：， ∵图象在轴上方， ∴， ∴解得：， ∴； 当时，抛物线开口向上， ∵，对称轴为：， ∴时，取最小值，最小值为， ∵图象在轴上方， ∴， 解得：， ∴， 综上可知：的取值范围为或， 故答案为：或． 三．解答题（共8小题，满分90分） 19. 已知：如图，AB是⊙O的弦，半径OC、OD分别交AB于点E、F，且OE=OF. 求证：AE=BF. 【答案】见试题解析 【解析】 【分析】利用垂径定理得，再由等腰三角形“三线合一”的性质得．还可以连接，证明得 【详解】过点作于点 则 又∵ ∴ ∴ 20. 将抛物线向右平移1个单位后经过点．求平移后的解析式． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的平移及待定系数法求函数解析式，熟练掌握二次函数的平移是解题的关键；根据向右平移1个单位则横坐标加1，求出平移后的抛物线顶点坐标，然后写出顶点式解析式，再将经过的点的坐标代入求出a的值，从而得解． 【详解】解：∵抛物线向右平移1个单位， ∴平移后抛物线顶点坐标为，解析式为， ∵抛物线向右平移1个单位后经过点， ∴， 解得， ∴平移后的解析式为． 21. 如图，已知二次函数图象经过点和． （1）求该二次函数的表达式及图象的顶点坐标． （2）当时，请根据图象直接写出x的取值范围． 【答案】（1），顶点坐标为； （2） 【解析】 【分析】（1）把和代入，建立方程组求解解析式即可，再把解析式化为顶点式，可得顶点坐标； （2）把代入函数解析式求解的值，再利用函数图象可得时的取值范围． 【小问1详解】 解：∵二次函数图象经过点和． ∴，解得：， ∴抛物线为， ∴顶点坐标为：； 【小问2详解】 当时，， ∴ 解得：，， 如图，当时， ∴． 【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解二次函数的解析式，二次函数的顶点坐标，利用图象法解不等式，熟练的运用数形结合的方法解题是关键． 22. 已知二次函数（m是常数）． （1）求证：不论m为何值，该函数的图象与x轴有两个公共点； （2）若该抛物线与x轴的两个交点分别为，，且，求m的值． 【答案】（1）见详解 （2） 【解析】 【分析】（1）由根的判别式：时，图象与x轴有两个公共点；时，图象与x轴有一个公共点；时，图象与x轴有没有公共点；据此进行求解即可． （2）可得，，代入即可求解． 【小问1详解】 解：由题意得 ，，， ， 不论m为何值，该函数的图象与x轴有两个公共点． 【小问2详解】 解：由题意得： ， ， ， ， 整理得：， ， 故的值为． 【点睛】本题考查了二次函数与一元二次方程的关系，根的判别式，根与系数的关系，理解二者之间的关系，掌握解法是解题的关键． 23. 为充分发挥劳动教育的综合育人功能，某校想借助如图所示的直角墙角（两边足够长），用长的篱笆围出一块矩形蔬菜种植园（篱笆只围两边）． （1）若种植园的面积为，求的长； （2）点P处有一棵银杏树，它与墙距离分别是和，要将这棵树围在种植园内（含边界，不考虑树的粗细），求种植园面积的最大值． 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用，一元二次方程的应用： （1）设，则，根据题意，列出方程，即可求解； （2）设种植园面积为，根据题意，列出S关于x的函数关系式，再根据二次函数的性质，即可求解． 【小问1详解】 解：设，则， 由题意，得． 解得：，． 所以的长为或． 小问2详解】 解：设种植园面积为， 则． 由题意，得， ∴． 在中， ∵， ∴当时，S随x的增大而增大． ∴当时，S有最大值为． 所以种植园面积的最大值为． 24. 如图是一个半圆形桥洞的截面示意图，圆心为，直径是河底线，弦是水位线，，米，于点，此时测得． （1）求的长： （2）如果水位以0.4米/小时速度上升，则经过多长时间桥洞会刚刚被灌满？ 【答案】（1）米 （2）经过5小时桥洞会刚刚被灌满 【解析】 【分析】（1）连接，根据垂径定理可得，勾股定理求得，进而求得； （2）延长交于点，由（1）求得，进而求得，根据题意即可求解． 【小问1详解】 解：如图，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， 设， 在中，， ∴， ∵直径是河底线，， ∴， 解得， ∴，， ∴米， 【小问2详解】 如图，延长交于点， 由（1）可得， ∴ ∵水位以0.4米小时的速度上升， ∴（小时）， 即经过5小时桥洞会刚刚被灌满． 【点睛】本题考查了垂径定理，勾股定理，掌握垂径定理是解题的关键． 25. 一名在校大学生利用“互联网+”自主创业，销售一种产品，这种产品的成本价10元/件，已知销售价不低于成本价，且物价部门规定这种产品的销售价不高于16元/件，市场调查发现，该产品每天的销售量（件与销售价（元/件）之间的函数关系如图所示． （1）求与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围； （2）求每天的销售利润W（元与销售价（元/件）之间的函数关系式，并求出每件销售价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？ 【答案】（1） （2），，144元 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求解可得关于的函数解析式； （2）根据“总利润每件的利润销售量”可得函数解析式，将其配方成顶点式，利用二次函数的性质进一步求解可得． 【详解】（1）设与函数解析式为， 将、代入，得：， 解得：， 所以与的函数解析式为； （2）根据题意知， ， ， 当时，随的增大而增大， ， 当时，取得最大值，最大值为144， 答：每件销售价为16元时，每天的销售利润最大，最大利润是144元． 【点睛】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是熟练掌握待定系数法求函数解析式及根据相等关系列出二次函数解析式及二次函数的性质． 26. 如图，直线y＝x+2与抛物线y＝ax2+bx+6（a≠0）相交于和B(4，6)，点P是线段AB上异于A、B的动点，过点P作PC⊥x轴于点D，交抛物线于点C． （1）求抛物线的解析式； （2）当C为抛物线顶点的时候，求BCE的面积； （3）是否存在这样的点P，使BCE的面积有最大值，若存在，求出这个最大值，若不存在，请说明理由． 【答案】（1）y＝2x2﹣8x+6；（2）18；（3）存在， 【解析】 【分析】（1）将点、的代入抛物线表达式，即可求解； （2）的面积； （3），即可求解． 【详解】解：（1）将点、的代入抛物线表达式得：，解得：， 故抛物线的表达式为：； （2）函数的对称轴为：，则点， 当时，，点， 则， 的面积； （3）存在，理由： 设点，点 ， ，故有最大值，当时，最大值为：． 【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、图形的面积计算等，解题的关键是利用数形结合的思想来求解，是二次函数基本题，难度不大． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $