精品解析：甘肃省天水市清水县多校联考2025-2026学年高三上学期1月期末检测数学试题

2025-2026年清水高三上学期期末检测考试 数学试卷 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合. 1. 若复数为纯虚数，则（ ） A. B. 0 C. 2 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意得出 ，即可求出结果. 【详解】由复数是纯虚数，得，解得， 则，，所以. 故选：D 2. 在研究变量与之间的关系时，进行实验后得到了一组样本数据利用此样本数据求得的经验回归方程为，现发现数据和误差较大，剔除这两对数据后，求得的经验回归方程为，且则（ ） A. 8 B. 12 C. 16 D. 20 【答案】C 【解析】 【分析】由题意，求出剔除后的平均数，进而求出剔除前的平均数，根据回归直线必过样本点中心得到，进而得到，将点代入，即可求解. 【详解】设没剔除两对数据前的平均数分别为，， 剔除两对数据后的平均数分别为，， 因为， 所以，， 则， 所以， 又因为， 所以， 解得. 故选：C. 3. 记等比数列的前项和为，若，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】利用等比数列的性质，成等比数列，可解出. 【详解】因为数列为等比数列，且等比数列的前项和为， 所以成等比数列，则， 即，解得或. 设等比数列公比为，则， ，则，得. 故选：B 4. 已知第二象限角满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据二倍角公式化简求值. 【详解】由题意可得，即， 根据二倍角公式展开即：，解得或， 又因为第二象限角，故，则，， 故． 故选：D． 5. 定义在R上的奇函数，满足，且当时，不等式恒成立，则函数的零点的个数为（    ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】根据题干不等式，构造函数，根据函数导数判断函数单调性，画出函数图像，根据基本初等函数图像性质，以及函数零点和函数图像交点之间的关系，判断结果即可. 【详解】设函数，则， 可知当时，不等式恒成立，即恒成立， 所以当时，，在上单调递增， 因为是R上的奇函数，即， 可得，所以函数是R上的偶函数， 所以在上单调递减， 因为，，所以， 函数的零点的个数，即方程的解的个数， 即函数和函数图像交点的个数，在坐标系中作出函数大致图像，如下图所示， 由图像可知，函数和函数图像有3个交点，所以函数的零点的个数为3. 故选：D. 6. 不等式在上恒成立的一个充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】分别讨论和的情况，可求得不等式恒成立的充要条件；依次判断各选项的推出关系即可得到结果. 【详解】若不等式在上恒成立， 则当时，恒成立，满足题意； 当时，，解得：； 若不等式在上恒成立，则； 对于A，，， 是不等式在上恒成立的充分不必要条件，A正确； 对于B，是不等式在上恒成立的充要条件，B错误； 对于C，，， 是不等式在上恒成立的既不充分也不必要条件，C错误； 对于D，，， 是不等式在上恒成立的既不充分也不必要条件，D错误. 故选：A. 7. 已知，若正实数m，n满足，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】用导数的性质判断函数的单调性，根据奇偶函数的定义、基本不等式进行求解即可. 【详解】显然该函数的定义域为全体实数， 因为， 所以该函数是奇函数， ， ，即， 当且仅当时取等号，即当时取等号， 所以有，当时取等号， 而，当且仅当时取等号， 显然与不能同时成立， 所以， 所以该函数是实数集上的增函数，且又是奇函数， 所以 ， 令， 因为m，n是正实数， 所以， 所以， 即，当且仅当时取等号，即当时取等号， 所以当时，的最小值为， 故选：D 8. 已知三棱锥的每个顶点都在球的球面上，平面平面，，，，，则球的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】分别过外心，外心，做平面PBC，平面ABC垂线，交点为O，则O为球心，然后结合题目数据可得答案. 【详解】因，则为直角三角形，取AB中点为，则为外心. 取BC中点为D，连接PD，则外心在PD上. 因，则，又平面平面，平面平面，平面，则平面. 连接，因平面，则， 现分别过外心，外心，做平面PBC，平面ABC垂线，交点为O， 因过三角形外心垂直于三角形所在平面上的垂线上的点到三角形顶点距离相同， 则两垂线交点O到三棱锥各顶点距离相同，即O为球心. 又注意到，则四边形为矩形. 因，，，则. 则，，得在外. 因为外心，则，设， 则，则. 又，，则，则球体半径为3， 故球体体积：. 故选：B 【点睛】结论点睛：对于有两个侧面垂直的三棱锥，其外接球半径， 其中为两侧面外接圆半径，为两侧面公共棱长度. 二、多项选择题 9. 已知点，直线，，，平面，，则下列命题正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，，，，则 C. 若，，，则 D. 若，，，，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据线面判断的判定定理即可判断A；根据线面垂直的判定定理即可B；根据线面平行的性质即可C；根据面面垂直的性质即可判断D. 【详解】A：若，有可能，故A错误； B：若，则，这是线面垂直的判定定理，故B正确； C：若，则，这是线面平行的性质定理，故C正确； D：若，则，这是面面垂直性质定理，故D正确. 故选：BCD 10. 已知数列是单调递增的等比数列，且，，则（ ） A. B. ． C. 与的等比中项为4 D. 数列是公差为的等差数列 【答案】BD 【解析】 【分析】由等比数列的性质可得，联立可求解，从而求出通项公式，依次代入判断选项即可. 【详解】因为数列是单调递增的等比数列，所以． 由，解得或（舍去）， 则数列的公比，，，则，与的等比中项为，所以AC错误，B正确； 因为， 所以数列是公差为的等差数列，所以D正确； 故选：BD． 11. 已知定义在上的偶函数可导，的导数为是奇函数，则（ ） A. B. 的一个周期为8 C. D. 的图象关于对称 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性、周期性以及导数的运算法则逐项判断即可. 【详解】因为奇函数，所以， 令，可得，解得，A错误； 因为是偶函数，则，且， 用代替可得，即. 又，则，所以，从而有， 所以的一个周期为8，B正确； 因为是偶函数，则，两边求导得， 所以是奇函数，所以，C正确； 由，两边同时对求导得， 即，所以函数的图象关于直线对称，D正确. 故选：BCD 三、填空题 12. 平面向量，若，则______. 【答案】 【解析】 【分析】先由向量垂直得出，再由坐标运算及模长公式计算求解. 【详解】由，得，解得. 则，. 故答案为：. 13. 已知的展开式中各项系数之和为64，则该展开式中的系数为___________． 【答案】1215 【解析】 【分析】根据给定条件，利用赋值法求出指数，再利用二项式定理求解. 【详解】由的展开式中各项系数之和为64，得当时，， 即，解得，则展开式中含的项为， 所以所求展开式中的系数为1215. 故答案为：1215 14. 已知函数，若曲线与直线在区间上有且仅有2个交点，则的取值范围为______. 【答案】 【解析】 【分析】化简函数，令，得到，结合余弦函数的性质，得到这2个交点的横坐标分别为，列出不等式，即可求解. 【详解】由函数 ， 令，因为，可得， 因为曲线与直线在区间上有且仅有2个交点， 则曲线与直线在区间上有且仅有2个交点， 则这2个交点的横坐标分别为，则， 解得，即实数的取值范围为 故答案为： 四、解答题 15. 如图，在中，，，，点D在边BC的延长线上. （1）求的面积； （2）若，，求CE的长. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）在中利用正弦定理求出角，再利用两角和的正弦公式求出，然后利用三角形的面积公式可求得结果， （2）方法1：由题意可得，代值计算即可，方法2：在中利用余弦定理求出，则可求得，再在利用正弦定理求出，从而可求出，然后在中利用余弦定理可求得. 【小问1详解】 中，， 因为，，所以， 所以， 因为 ， 所以； 【小问2详解】 方法1：因为, 所以, 所以 ， 则. 方法2：在中，由余弦定理得 ， 因为为线段上靠近的三等分点， 所以， 因为， 所以， 因为为锐角， 所以， 在中，由余弦定理得， ， 所以. 16. 如图，在长方体中，，，． （1）证明：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）建立如图所示的空间直角坐标系，利用向量的数量积为零证明，，再由线面垂直的判定定理得到即可； （2）求出平面的法向量，代入空间线面角公式求解即可； 【小问1详解】 由长方体可知，，两两垂直，以为坐标原点， 向量，，分别为，，轴建立如图所示的空间直角坐标系， 有，，，，，，． 因，，， 所以，， 所以，， 又因为，平面，所以平面； 【小问2详解】 设平面的法向量为， 由，，有 取，，，可得平面的一个法向量为， 设直线与平面所成的角为， 因为，所以， ，， 所以， 所以直线与平面所成的角的正弦值为． 17. 为普及学生对工具的使用，某校开展了关于运用知识的竞赛活动，经过多轮比拼，甲乙两人进入决赛，在决赛中有两道题：一道为抢答题，且只能被一人抢到，甲、乙两人抢到的概率均为；另一道为必答题，甲、乙两人都要回答，已知甲能正确回答每道题的概率均为，乙能正确回答每道题的概率均为，且甲、乙两人各题是否答对互不影响． （1）求抢答题被回答正确的概率； （2）记正确回答必答题的人数为X，求X的分布列和数学期望． 【答案】（1）； （2）分布列见解析，期望为. 【解析】 【分析】（1）设出合理事件，再利用全概率公式即可得到答案； （2）写出的可能取值有：0，1，2，再分别计算得到其分布列，最后利用期望公式计算即可. 【小问1详解】 设＂甲抢到抢答题＂为事件，＂抢答题被回答正确＂为事件， 由题意可知：， 由全概率公式可得， 所以抢答题被回答正确的概率为． 【小问2详解】 由题意可知：的可能取值有：0，1，2，则有： ， ， ， 所以的分布列为： 0 1 2 期望． 18. 已知各项均为正数的等差数列的公差不等于，，设、、是公比为的等比数列的前三项. （1）求数列，的通项公式； （2）设，求数列的前项和为， （3）设，求数列的前项和为 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）应用等比数列列式化简结合等差数列通项公式基本量运算求解； （2）代入计算应用裂项相消计算求解； （3）两次应用错位相减法计算求解. 【小问1详解】 由已知、、成等比数列，则，即， 整理可得，，， 所以，， ，， 【小问2详解】 ， 【小问3详解】 两式相减得 令 19. 已知函数. （1）当时，过原点的直线与曲线相切于点，证明：为定值. （2）已知恰有两个零点恰有两个零点，且. （i）求的取值范围； （ii）证明：. 【答案】（1）证明见解析 （2）（i）；（ii）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据导数的几何意义求出切线方程，再由切线过原点，代入运算得证； （2）（i）解法一，对函数求导，判断单调性和极值，得到，又，可得恰有两个零点等价于恰有两个零点，得解；法二，令，得，令，得，设，求导判断单调性极值数形结合求解； （ii）由（i）得，进而得到，，利用基本不等式将问题转化为证明，利用分析法证，即证，构造函数，利用导数证明，即可. 【小问1详解】 因为， 所以曲线在点处的切线方程为， 由该切线过原点，得， 整理得，故为定值； 【小问2详解】 （i）解法一，， 令，得单调递增， 令，得单调递减； 故的极大值为， 当时，，当时，， 当时，，当时，， 若恰有两个零点，则，得； 由， 可得恰有两个零点等价于恰有两个零点，且， 故的取值范围是； 解法二： 令，得，令，得， 设，则， 由，得单调递增，由，得单调递减； 由，得单调递增，由，得单调递减； 故的极大值为的极大值为； 当时，，当时，， 当时，，当时，； 由图可知，的取值范围是； （ii）由（i）得，所以， 因为，所以，即， 同理得， 故， 因为， 又因为，所以，得， 则， 所以； 先证， 要证，只需证， 因为，所以， 而在上单调递减，所以只需证， 即证； 设， 则 ， 因为，所以，得， 而，所以， 得在上单调递增，所以， 则，即，得证； 令， 得在上单调递增， 所以， 故. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026年清水高三上学期期末检测考试 数学试卷 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合. 1. 若复数为纯虚数，则（ ） A. B. 0 C. 2 D. 4 2. 在研究变量与之间的关系时，进行实验后得到了一组样本数据利用此样本数据求得的经验回归方程为，现发现数据和误差较大，剔除这两对数据后，求得的经验回归方程为，且则（ ） A. 8 B. 12 C. 16 D. 20 3. 记等比数列的前项和为，若，则（ ） A 1 B. 2 C. 3 D. 4 4. 已知第二象限角满足，则（ ） A. B. C. D. 5. 定义在R上的奇函数，满足，且当时，不等式恒成立，则函数的零点的个数为（    ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 6. 不等式在上恒成立的一个充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 7. 已知，若正实数m，n满足，则最小值为（ ） A. B. C. D. 8. 已知三棱锥的每个顶点都在球的球面上，平面平面，，，，，则球的体积为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题 9. 已知点，直线，，，平面，，则下列命题正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，，，，则 C. 若，，，则 D. 若，，，，则 10. 已知数列是单调递增的等比数列，且，，则（ ） A. B. ． C. 与的等比中项为4 D. 数列是公差为的等差数列 11. 已知定义在上的偶函数可导，的导数为是奇函数，则（ ） A. B. 的一个周期为8 C. D. 的图象关于对称 三、填空题 12. 平面向量，若，则______. 13. 已知的展开式中各项系数之和为64，则该展开式中的系数为___________． 14. 已知函数，若曲线与直线在区间上有且仅有2个交点，则的取值范围为______. 四、解答题 15. 如图，在中，，，，点D在边BC的延长线上. （1）求的面积； （2）若，，求CE长. 16. 如图，在长方体中，，，． （1）证明：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值． 17. 为普及学生对工具的使用，某校开展了关于运用知识的竞赛活动，经过多轮比拼，甲乙两人进入决赛，在决赛中有两道题：一道为抢答题，且只能被一人抢到，甲、乙两人抢到的概率均为；另一道为必答题，甲、乙两人都要回答，已知甲能正确回答每道题的概率均为，乙能正确回答每道题的概率均为，且甲、乙两人各题是否答对互不影响． （1）求抢答题被回答正确概率； （2）记正确回答必答题的人数为X，求X的分布列和数学期望． 18. 已知各项均为正数的等差数列的公差不等于，，设、、是公比为的等比数列的前三项. （1）求数列，的通项公式； （2）设，求数列的前项和为， （3）设，求数列的前项和为 19. 已知函数. （1）当时，过原点的直线与曲线相切于点，证明：为定值. （2）已知恰有两个零点恰有两个零点，且. （i）求取值范围； （ii）证明：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $