精品解析：宁夏银川市第十八中学2025-2026学年上学期期末考试九年级数学试卷

银川市第十八中学2025-2026学年第一学期期末考试 九年级数学试卷 一、选择题：（本题8个小题，每小题3分，共24分） 1. 如图1为云纹青铜大铙，它是西周乐器、鼓饰变形兽面纹，两侧饰云雷纹，浑大厚重，作风稳重古朴，代表了我国古代青铜文化曾经的历史和辉煌、图2为其示意图，它的左视图是（ ） A. B. C. D. 2. 玻璃瓶中装入不同量的水，敲击时能发出不同的音符.实验发现，当液面高度与瓶高之比为黄金比时，可以敲击出音符“”的声音．若，且敲击时发出音符“”的声音，则液面高度约为（ ） A. B. C. D. 3. 如图1所示，是地理学科实践课上第一小组同学在一张面积为的长方形卡纸上绘制的山东省政区图（图中阴影部分），他们想了解该图案的面积是多少，经研究采取了以下办法：将长方形卡纸水平放置在地面上，在适当位置随机地朝长方形区域扔小球，并记录小球落在不规则图案上的次数（球扔在界线上或长方形区域外不计试验结果）．他们将若干次有效试验的结果绘制成了如图2所示的统计图，由此估计不规则图案的面积大约为（ ） A. B. C. D. 4. 关于二次函数，下列说法正确的是（ ） A. 函数图象的开口向下 B. 函数图象的顶点坐标是 C. 该函数的最大值是6 D. 当时，y的值随x值的增大而增大 5. 如图，在中，点D，E，F分别在边上，且，，下列四种说法： ①四边形是平行四边形： ②如果，那么四边形是矩形； ③如果平分，那么四边形是菱形； ④如果，且，那么四边形是正方形．其中，正确的有（ ） A. ①② B. ①②④ C. ①②③ D. ①②③④ 6. 2025年2月10日上午，第九届亚洲冬季运动会越野滑雪男子10公里（自由技术）比赛项目在黑龙江亚布力滑雪场开启激烈比拼．如图，一名滑雪运动员沿着倾斜角为的斜坡，从点滑行到点．若米，则这名滑雪运动员下降的高度为（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 7. 一种燕尾夹如图1所示，图2是闭合状态的示意图，，，，图3是打开状态的示意图，其中，则打开状态下，两点之间的距离为（ ） A. 4cm B. C. 3cm D. 8. 新定义：若一个点的纵坐标是横坐标的2倍，则称这个点为两倍点．若一个函数的图象上存在“两倍点”，则称这个函数为“两倍函数”，如点和都是“两倍点”，若二次函数（c为常数）为两倍函数，且图象上有唯一的“两倍点”，则c的值是（ ） A. B. C. D. 二、填空题：（本题8个小题，每小题3分，共24分） 9. 已知函数是反比例函数，图象在第二、四象限，则m的值是_______． 10. 已知，，则的值为________． 11. 某圆柱体的实物图和它的主视图如图所示．若，则该圆柱体的侧面积等于__________． 12. 我们知道方程的解是，，现给出另一个方程，它的解是___． 13. 如图，过原点的直线与反比例函数的图象交于，两点，则的值为______． 14. 已知抛物线y＝x2﹣2x＋c经过点A（﹣1，y1）和B（2，y2），比较y1与y2的大小：y1______y2（选择“＞”或“＜”或“＝”填入空格）． 15. 已知锐角中，，，，那么___________度． 16. 如图，一张三角形纸片，其中，，．某同学将纸片做两次折叠：第一次使点A落在C处，折痕记为m；然后将纸片展平做第二次折叠，使点A落在B处，折痕记为n．则________． 三、解答题（本题共6个小题．每小题4分，共36分） 17. （1）计算，； （2）解方程：． 18. 在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别是，，． （1）画出关于x轴对称的． （2）画出以点O为位似中心的位似三角形（关于点O异侧），且与的位似比为． （3）求的面积（写出求解过程） 19. 物理变化和化学变化的区别在于是否有新物质的生成．某学习小组在延时课上制作了A，B，C，D四张卡片，四张卡片除图片内容不同外，其他没有区别：A．铁钉生锈 B．滴水成冰 C．矿石粉碎 D．牛奶变质，小夏一下子就分辨出：A、D是化学变化，B、C是物理变化，结果得到了老师和同学们的赞许．小冬从小夏手中接过这四张卡片，放置于暗箱中摇匀，想和小组成员们接着进行数学概率实验． （1）小临从四张卡片中随机抽取一张，抽中C卡片的概率是______； （2）小敏从四张卡片中随机抽取两张，用列表法或画树状图法求小敏抽取两张卡片内容均为化学变化的概率． 20. 如图，正方形的边长为S，点E，F分别是，上的两个动点，且． （1）求证； （2）在点E移动过程中，当取何值时，有最大值？最大值是多少？ 21. 如图1是小明在健身器材上进行仰卧起坐锻炼时的情景，图2是小明锻炼时上半身由位置运动到底面垂直的位置时的示意图，已知米，米，（参考数据：，） （1）求的长； （2）若米，求M、N两点的距离（精确到0.1米）. 22. 如图，矩形中，． （1）求作正方形，使得点E，G分别落在边上，点F，H落在上；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） （2）若，求（1）中所作的正方形的边长． 四、解答题：（本题共4个小题．22.23各8分．25，26各10分） 23. 已知一次函数（a为常数）与x轴交于点A，与反比例函数交于B、C两点，B点的横坐标为． （1）求出一次函数的解析式，并在图中直接画出它的图像； （2）求出点C的坐标，并根据图像写出当时对应自变量x的取值范围； 24. 如图1，在纸片中，，点D在边上，．沿过点D的直线折叠该纸片，使的对应线段与平行，且折痕与边交于点E，得到，然后展平． （1）判断四边形的形状，并说明理由； （2）如图2，继续沿过点D的直线折叠该纸片，使点A的对应点落在射线上，且折痕与边交于点F，然后展平．连接交边于点G，连接．若，判断与的位置关系，并说明理由． 25. “秋风起，吃腊味”，某腊肠店销售A，B两类腊肠．A类腊肠进价元/件，B类腊肠进价元/件．已知购买2件A类腊肠和1件B类腊肠需元，购买3件A类腊肠和5件B类腊肠需元． （1）求A类腊肠和B类腊肠每件的售价各是多少元？ （2）A类腊肠供货充足，按原价销售每天可售出件．市场调查反映，若每降价1元，每天可多售出件（每件售价不低于进价）．设每件A类腊肠降价x元，每天的销售量为y件，请直接写出y与x的函数关系式，以及自变量x的取值范围． （3）在（2）的条件下，设该店每天销售A类腊肠的利润为w元，请求出w与x的函数关系式，并求出每天每件A类腊肠降价多少元时利润最大，最大利润是多少元？ 26. 综合与实践 问题情境：青蛙腾空阶段的运动路线可看作抛物线．我国某科研团队根据青蛙的生物特征和运动机理设计出了仿青蛙机器人，其起跳后的运动路线与实际情况中青蛙腾空阶段的运动路线相吻合． 实验数据：仿青蛙机器人从水平地面起跳，并落在水平地面上，其运动路线的最高点距地面，起跳点与落地点的距离为． 数学建模：如图，将仿青蛙机器人的运动路线抽象为抛物线，其顶点为N，对称轴为直线l，仿青蛙机器人在水平地面上的起跳点为O，落地点为M．以O为原点，所在直线为x轴，过点O与所在水平地面垂直的直线为y轴，建立平面直角坐标系． （1）请直接写出顶点N的坐标，并求该抛物线的函数表达式； 问题解决：已知仿青蛙机器人起跳后的运动路线形状保持不变，即抛物线的形状不变． （2）如图1，若仿青蛙机器人从点O正上方的点P处起跳，落地点为Q，点P的坐标为，点Q在x轴的正半轴上．求起跳点P与落地点Q的水平距离的长； （3）实验表明：仿青蛙机器人在跃过障碍物时，与障碍物上表面的每个点在竖直方向上的距离不少于，才能安全通过．如图，水平地面上有一个障碍物，其纵切面为四边形，其中，．仿青蛙机器人从距离左侧处的地面起跳，发现不能安全通过该障碍物．若团队人员在起跳处放置一个平台，仿青蛙机器人从平台上起跳，则刚好安全通过该障碍物．请直接写出该平台的高度（平台的大小忽略不计，障碍物的纵切面与仿青蛙机器人的运动路线在同一竖直平面内）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 银川市第十八中学2025-2026学年第一学期期末考试 九年级数学试卷 一、选择题：（本题8个小题，每小题3分，共24分） 1. 如图1为云纹青铜大铙，它是西周乐器、鼓饰变形兽面纹，两侧饰云雷纹，浑大厚重，作风稳重古朴，代表了我国古代青铜文化曾经的历史和辉煌、图2为其示意图，它的左视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】该题考查了几何体的三视图，根据左视图是从左侧看到的求解即可． 【详解】解：它的左视图是， 故选：A． 2. 玻璃瓶中装入不同量的水，敲击时能发出不同的音符.实验发现，当液面高度与瓶高之比为黄金比时，可以敲击出音符“”的声音．若，且敲击时发出音符“”的声音，则液面高度约为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了黄金分割，熟知黄金分割的定义是解题的关键．根据黄金分割的定义进行计算即可． 【详解】解：∵液面高度与瓶高之比为黄金比， ∴， 故选：B． 3. 如图1所示，是地理学科实践课上第一小组同学在一张面积为的长方形卡纸上绘制的山东省政区图（图中阴影部分），他们想了解该图案的面积是多少，经研究采取了以下办法：将长方形卡纸水平放置在地面上，在适当位置随机地朝长方形区域扔小球，并记录小球落在不规则图案上的次数（球扔在界线上或长方形区域外不计试验结果）．他们将若干次有效试验的结果绘制成了如图2所示的统计图，由此估计不规则图案的面积大约为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查利用频率估算概率，几何概率，先根据折线图，利用频率估算出概率，再利用几何概率的计算公式，进行求解即可． 【详解】解：由图可知，随着试验次数的增加，频率稳定在左右， ∴， ∴不规则图案的面积为； 故选B． 4. 关于二次函数，下列说法正确的是（ ） A. 函数图象的开口向下 B. 函数图象的顶点坐标是 C. 该函数的最大值是6 D. 当时，y的值随x值的增大而增大 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，根据顶点式的图象和性质，进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴抛物线的开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为， ∴当时，函数有最小值为 6 ，当时，的值随值的增大而增大； ∴当时，y的值随x值的增大而增大 故选：D． 5. 如图，在中，点D，E，F分别在边上，且，，下列四种说法： ①四边形是平行四边形： ②如果，那么四边形是矩形； ③如果平分，那么四边形是菱形； ④如果，且，那么四边形是正方形．其中，正确的有（ ） A. ①② B. ①②④ C. ①②③ D. ①②③④ 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定，矩形的判定，菱形的判定，正方形的判定，等腰三角形的性质，熟练掌握判定和性质是解题的关键．根据平行四边形的定义，一个角是直角的平行四边形是矩形，一组邻边相等的平行四边形是菱形，正方形的判定解答即可． 【详解】解：∵，， 四边形是平行四边形，故选项①正确； ∵， 平行四边形为矩形，故选项②正确； 又平分， ， 又， ， ， ， 平行四边形为菱形，故选项③正确； 又，， 平分， 同理可得平行四边形为菱形，但不一定为直角， 故菱形不一定为正方形；故选项④错误； 则其中正确的是①②③ ． 故选：C． 6. 2025年2月10日上午，第九届亚洲冬季运动会越野滑雪男子10公里（自由技术）比赛项目在黑龙江亚布力滑雪场开启激烈比拼．如图，一名滑雪运动员沿着倾斜角为的斜坡，从点滑行到点．若米，则这名滑雪运动员下降的高度为（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用—坡度坡角问题，根据正弦的定义解答即可． 【详解】解：在中，，，如图， ∵， ∴米， 故选：B． 7. 一种燕尾夹如图1所示，图2是闭合状态的示意图，，，，图3是打开状态的示意图，其中，则打开状态下，两点之间的距离为（ ） A. 4cm B. C. 3cm D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质、平行线等分线段定理，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 延长、交于点，连接，根据题意可得，进而证得，根据平行线等分线段定理可证得，设，则，进而证得，根据相似三角形的性质可求出的值，再证明，利用相似三角形的性质求出的长即可． 【详解】解：延长、交于点，连接，如图： 设，则， 解得 、 故选：D． 8. 新定义：若一个点的纵坐标是横坐标的2倍，则称这个点为两倍点．若一个函数的图象上存在“两倍点”，则称这个函数为“两倍函数”，如点和都是“两倍点”，若二次函数（c为常数）为两倍函数，且图象上有唯一的“两倍点”，则c的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了二倍函数的定义、二次函数与一元二次方程、一元二次方程根的判别式等知识点，将函数问题转化为方程问题是解题的关键． 由两倍点定义，点满足纵坐标为横坐标的2倍，即，代入二次函数得方程，图象有唯一两倍点等价于方程有唯一解，即判别式为零，据此列方程求得c的值即可． 【详解】解：设两倍点为，代入得：， ∴， ∵图象有唯一两倍点， ∴方程有唯一实数解， ∴，解得：． 故选C． 二、填空题：（本题8个小题，每小题3分，共24分） 9. 已知函数是反比例函数，图象在第二、四象限，则m的值是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的定义，根据反比例函数的定义，指数部分应为，且图象在第二、四象限时比例系数小于0． 【详解】解：∵函数是反比例函数， ∴， 解得，或， 又∵图象在第二、四象限， ∴比例系数，即， ∴不符合，符合， 故答案为． 10. 已知，，则的值为________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查了分式求值，熟练掌握分式的性质，是解题的关键．由已知等式可得，代入所求表达式并利用分式性质化简计算即可． 【详解】解：由且，得， 把代入得： ． 故答案为：． 11. 某圆柱体的实物图和它的主视图如图所示．若，则该圆柱体的侧面积等于__________． 【答案】 【解析】 【分析】首先求出圆柱底面圆的半径，然后利用圆柱的侧面积公式求解即可． 【详解】∵， ∴圆柱底面圆的半径为2， ∴该圆柱体的侧面积等于． 故答案为：． 【点睛】此题考查了圆柱的侧面积，解题的关键是熟练掌握圆柱的侧面积公式． 12. 我们知道方程的解是，，现给出另一个方程，它的解是___． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，根据已知方程的解，通过代换法求解新方程． 【详解】解：设， 则原方程化为， 因为方程的解是，， 所以或，即或， 解得或． 故答案为：，． 13. 如图，过原点的直线与反比例函数的图象交于，两点，则的值为______． 【答案】9 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，求反比例函数的解析式，关于原点对称的点的性质，先根据题意得出，，解得，，即，再把代入进行计算，即可作答． 【详解】解：∵过原点的直线与反比例函数的图象交于，两点， ∴，两点关于原点对称， 即A的横坐标与B的横坐标互为相反数，A的纵坐标与B的纵坐标互为相反数， ∴，， ∴，， ∴， 把代入， 得， 解得， 故答案为：9． 14. 已知抛物线y＝x2﹣2x＋c经过点A（﹣1，y1）和B（2，y2），比较y1与y2的大小：y1______y2（选择“＞”或“＜”或“＝”填入空格）． 【答案】＞ 【解析】 【分析】根据二次函数的性质，当抛物线开口向上时，抛物线上距离对称轴越近的点的y值越小即可判断． 【详解】解：∵抛物线y＝x2−2x＋c开口向上，对称轴为x＝＝1， ∴抛物线上距离对称轴越近的点的y值越小， ∵， ∴y1＞y2 故答案为＞． 【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征及二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标满足其解析式，熟练掌握二次函数的性质是解题关键． 15. 已知锐角中，，，，那么___________度． 【答案】45 【解析】 【分析】过A作AD⊥BC于D，求出AD长，根据勾股定理求出BD，从而得出CD长，继而得出是等腰直角三角形，即可得出的度数． 【详解】过A作AD⊥BC于D，则∠ADB=∠ADC =90°， 在Rt中， AB=5， ∴ ∴AD=4， ∴， ∵， ∴CD=BC-BD=7-3=4， ∴是等腰直角三角形， ∴∠C =45°． 故答案为：45． 【点睛】本题考查了解直角三角形，勾股定理，等知识点的应用，正弦函数的定义，是所对的直角边与斜边的比是解题的关键． 16. 如图，一张三角形纸片，其中，，．某同学将纸片做两次折叠：第一次使点A落在C处，折痕记为m；然后将纸片展平做第二次折叠，使点A落在B处，折痕记为n．则________． 【答案】15 【解析】 【分析】由三角形中位线定理求出；由勾股定理求出，证明，得出对应边成比例求出即可． 【详解】解：如图所示： 由折叠的性质得：是线段的垂直平分线， ∴是的中位线， ， ， ， 由折叠的性质得：， ， ， ， 解得：，即， ∴， 故答案为：15． 【点睛】本题考查了折叠的性质、三角形中位线定理，勾股定理，相似三角形的判定与性质，掌握知识点是解题的关键． 三、解答题（本题共6个小题．每小题4分，共36分） 17. （1）计算，； （2）解方程：． 【答案】（1），（2）, 【解析】 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值、负整数指数幂和零指数幂的混合运算及配方法解一元二次方程． （1）先计算特殊角的三角函数值，再计算负整数指数幂和零指数幂，最后代入原式进行加减运算即可； （2）利用配方法先将常数项移到方程右边，然后方程两边同时加上一次项系数一半的平方，使方程左边化为完全平方式进 行求解． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：， 移项，得 配方，得， ， ， ∴或， ∴，． 18. 在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别是，，． （1）画出关于x轴对称的． （2）画出以点O为位似中心的位似三角形（关于点O异侧），且与的位似比为． （3）求的面积（写出求解过程） 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3）12 【解析】 【分析】本题考查作图-位似变换、作图-轴对称变换，熟练掌握位似的性质、轴对称的性质是解答本题的关键． （1）根据轴对称的性质作图，即可得出答案． （2）根据位似的性质作图，即可得出答案． （3）根据三角形面积公式求解即可． 【小问1详解】 解：如图，即为所求． 【小问2详解】 解：如图，即为所求． 【小问3详解】 解：的面积． 19. 物理变化和化学变化的区别在于是否有新物质的生成．某学习小组在延时课上制作了A，B，C，D四张卡片，四张卡片除图片内容不同外，其他没有区别：A．铁钉生锈 B．滴水成冰 C．矿石粉碎 D．牛奶变质，小夏一下子就分辨出：A、D是化学变化，B、C是物理变化，结果得到了老师和同学们的赞许．小冬从小夏手中接过这四张卡片，放置于暗箱中摇匀，想和小组成员们接着进行数学概率实验． （1）小临从四张卡片中随机抽取一张，抽中C卡片的概率是______； （2）小敏从四张卡片中随机抽取两张，用列表法或画树状图法求小敏抽取两张卡片内容均为化学变化的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查的是根据概率公式求概率，用树状图法求概率． （1）直接由概率公式求解即可； （2）画树状图求概率即可求解． 【小问1详解】 解：总共有4张卡片，随机抽取一张，抽中卡片的概率是． 故答案为：． 【小问2详解】 解：化学变化是和，列表如下： 总共有种等可能结果，其中两张卡片均为化学变化（即包含和）的结果有种：和 所以概率为． 20. 如图，正方形的边长为S，点E，F分别是，上的两个动点，且． （1）求证； （2）在点E移动过程中，当取何值时，有最大值？最大值是多少？ 【答案】（1）证明见解析 （2）当时，有最大值，最大值是 【解析】 【分析】本题考查正方形的性质、相似三角形的判定与性质、二次函数的性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． （1）根据正方形的性质证得，根据余角的性质证得，进而证得； （2）设、，根据相似三角形的性质得到，进而得到，根据二次函数的性质进行解答即可． 【小问1详解】 证明：四边形是正方形， ， ， ， ， ， ， ； 【小问2详解】 解：设、， 由（1）知， ，即， ， 当时，取得最大值，最大值为， 即当时，有最大值，最大值是． 21. 如图1是小明在健身器材上进行仰卧起坐锻炼时的情景，图2是小明锻炼时上半身由位置运动到底面垂直的位置时的示意图，已知米，米，（参考数据：，） （1）求的长； （2）若米，求M、N两点的距离（精确到0.1米）. 【答案】（1）米 （2）米 【解析】 【分析】（1）过作于，可得四边形为矩形，利用锐角三角函数即可求出的长； （2）过作交射线于点，则，利用30度角的直角三角形即可求出M，N两点的距离． 【小问1详解】 解：如图，过作于，则四边形为矩形， ∴米，米， ∴（米） 在中， ∵ ∴（米）； 【小问2详解】 如图，过作交射线于点，则， ∴， ∵米， ∴， ∵米， ∴米， ∴， ∴， 在中，（米）， ∴M，N两点的距离约为米． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，解决本题的关键是掌握锐角三角函数． 22. 如图，矩形中，． （1）求作正方形，使得点E，G分别落在边上，点F，H落在上；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） （2）若，求（1）中所作的正方形的边长． 【答案】（1） 如图，四边形就是所求作的正方形． （2） 【解析】 【分析】（1）作的中垂线交于点，交于点，以为直径画圆，交于点，即可得到正方形； （2）勾股定理求出的长，进而求出的长，证明，求出的长，再根据正方形的性质，结合勾股定理求出的长即可． 【小问1详解】 解：由作图可知，，， ∵矩形， ∴， ∴，， ∴， ∴， 由作图可知，， ∴四边形为矩形， ∵， ∴四边形为正方形； 【小问2详解】 由（1）知：，， 四边形是矩形， ， 在中，， ， ． ， ． 又， ， ，即， ． 在中，， ， ∴正方形EFGH的边长为． 【点睛】本题考查尺规作图、矩形的性质、线段垂直平分线的性质、正方形的判定与性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质等知识点，考查推理能力、运算能力、几何直观与空间观念，考查化归与转化思想、函数与方程思想等，熟练掌握相关知识点，是解题的关键． 四、解答题：（本题共4个小题．22.23各8分．25，26各10分） 23. 已知一次函数（a为常数）与x轴交于点A，与反比例函数交于B、C两点，B点的横坐标为． （1）求出一次函数的解析式，并在图中直接画出它的图像； （2）求出点C的坐标，并根据图像写出当时对应自变量x的取值范围； 【答案】（1）；图像见解析 （2）；或 【解析】 【分析】本题考查反比例函数与一次函数综合，熟练掌握反比例函数与一次函数的图像性质是解题的关键． （1）先求出点B的坐标，再利用待定系数法求解一次函数的解析式即可； （2）联立反比例函数与一次函数的解析式，求出点C的坐标，再根据图像解答即可． 【小问1详解】 解：将B点的横坐标为代入反比例函数得， 则点B的坐标为， 将代入一次函数得 ， 解得， 则一次函数解析式为， 当时，， 则一次函数图像过点、， 函数图像如图所示： 【小问2详解】 解：根据题意得， 解得或， 由于点B的坐标为， 则点C的坐标为， 由（1）图像可得，当时对应自变量x的取值范围是或． 24. 如图1，在纸片中，，点D在边上，．沿过点D的直线折叠该纸片，使的对应线段与平行，且折痕与边交于点E，得到，然后展平． （1）判断四边形的形状，并说明理由； （2）如图2，继续沿过点D的直线折叠该纸片，使点A的对应点落在射线上，且折痕与边交于点F，然后展平．连接交边于点G，连接．若，判断与的位置关系，并说明理由． 【答案】（1）四边形是菱形；理由见解析 （2），理由见解析 【解析】 【分析】（1）由折叠的性质可得，，再根据平行线的性质可得，进而得到，由等角对等边推出，从而证明，即可四边形是菱形； （2）由（1）推出，由折叠的性质得到，结合已知可得，进而推出，得到，再根据三角形内角和定理即可求出，即可得到与的位置关系． 【小问1详解】 解：四边形是菱形，理由如下： 由折叠的性质可得，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形； 【小问2详解】 解：，理由如下： 由（1）知四边形是菱形， ∴， 由折叠的性质得到， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查折叠的性质，菱形的判定与性质，平行线的性质，三角形内角和定理，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握相关的判定和性质，是解题的关键． 25. “秋风起，吃腊味”，某腊肠店销售A，B两类腊肠．A类腊肠进价元/件，B类腊肠进价元/件．已知购买2件A类腊肠和1件B类腊肠需元，购买3件A类腊肠和5件B类腊肠需元． （1）求A类腊肠和B类腊肠每件的售价各是多少元？ （2）A类腊肠供货充足，按原价销售每天可售出件．市场调查反映，若每降价1元，每天可多售出件（每件售价不低于进价）．设每件A类腊肠降价x元，每天的销售量为y件，请直接写出y与x的函数关系式，以及自变量x的取值范围． （3）在（2）的条件下，设该店每天销售A类腊肠的利润为w元，请求出w与x的函数关系式，并求出每天每件A类腊肠降价多少元时利润最大，最大利润是多少元？ 【答案】（1）A类腊肠的售价为元/件，B类腊肠的售价为元/件 （2）（） （3）²，每件A类腊肠降价2元时利润最大，最大利润为元 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的应用，一元一次方程的应用，根据实际问题列一次函数关系式，解答本题的关键是找准等量关系，列出二次函数或一元一次方程． （1）根据题意设每件类腊肠的售价为元，则每件类腊肠的售价为元，进一步得到关于的一元一次方程求解即可； （2）根据降价1元，每天可多售出件列出函数关系式，结合进价与售价，且每件售价不低于进价得到得取值范围； （3）结合（2）中类腊肠降价元与每天的销售量件，得到类腊肠的利润，整理得到关于的二次函数，利用二次函数的性质求解即可． 【小问1详解】 解：设每件类腊肠的售价为元，则每件类腊肠的售价为元， 根据题意得， 解得， 则每件类腊肠的售价（元， 答：类腊肠的售价为元件，类腊肠的售价为元件； 【小问2详解】 解：由题意得， 类腊肠进价元件，售价为元件，且每件售价不低于进价， ， 答：； 【小问3详解】 解： ， ， 当时，有最大值， 答：类腊肠每件售价降价2元时，每天销售利润最大，最大利润为元． 26. 综合与实践 问题情境：青蛙腾空阶段的运动路线可看作抛物线．我国某科研团队根据青蛙的生物特征和运动机理设计出了仿青蛙机器人，其起跳后的运动路线与实际情况中青蛙腾空阶段的运动路线相吻合． 实验数据：仿青蛙机器人从水平地面起跳，并落在水平地面上，其运动路线的最高点距地面，起跳点与落地点的距离为． 数学建模：如图，将仿青蛙机器人的运动路线抽象为抛物线，其顶点为N，对称轴为直线l，仿青蛙机器人在水平地面上的起跳点为O，落地点为M．以O为原点，所在直线为x轴，过点O与所在水平地面垂直的直线为y轴，建立平面直角坐标系． （1）请直接写出顶点N的坐标，并求该抛物线的函数表达式； 问题解决：已知仿青蛙机器人起跳后的运动路线形状保持不变，即抛物线的形状不变． （2）如图1，若仿青蛙机器人从点O正上方的点P处起跳，落地点为Q，点P的坐标为，点Q在x轴的正半轴上．求起跳点P与落地点Q的水平距离的长； （3）实验表明：仿青蛙机器人在跃过障碍物时，与障碍物上表面的每个点在竖直方向上的距离不少于，才能安全通过．如图，水平地面上有一个障碍物，其纵切面为四边形，其中，．仿青蛙机器人从距离左侧处的地面起跳，发现不能安全通过该障碍物．若团队人员在起跳处放置一个平台，仿青蛙机器人从平台上起跳，则刚好安全通过该障碍物．请直接写出该平台的高度（平台的大小忽略不计，障碍物的纵切面与仿青蛙机器人的运动路线在同一竖直平面内）． 【答案】（1），；（2）起跳点P与落地点Q的水平距离的长为；（3） 【解析】 【分析】本题考查二次函数的实际应用，读懂题意，正确的列出函数关系式，是解题的关键： （1）根据起跳点与落地点的距离为，得到对称轴为直线，根据运动路线的最高点距地面，得到顶点纵坐标为，写出顶点坐标，列出顶点式，把代入，求出函数解析式即可； （2）根据抛物线的形状不变，利用平移思想，写出新的函数解析式，令，求出的值，进而求出的长即可； （3）设该平台的高度为，根据题意，得到新的抛物线的解析式为：，根据仿青蛙机器人从平台上起跳，则刚好安全通过该障碍物，得到抛物线过点，代入求解即可； 【详解】解：（1）由题意，得：抛物线的对称轴为直线，顶点纵坐标为， ∴顶点坐标为， 设抛物线的函数解析式为：， ∵图象过原点， ∴，解：， ∴； （2）∵抛物线的形状不变，点， 故第二次的函数图象可以看作由（1）的抛物线向上平移75个单位长度，得到的， ∴新的抛物线的解析式为：， 当时，， 解得：，（舍去）； 故起跳点P与落地点Q的水平距离的长为； （3）设该平台的高度为，由题意，设新的函数解析式为：， ∵，仿青蛙机器人从距离左侧处的地面起跳， 由题意，仿青蛙机器人经过正上方处，即抛物线经过点，即：， ∴把代入，得：，解得：； 故设该平台的高度为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $