精品解析：湖南省长沙华益中学2025～2026学年上学期第三次月考九年级数学试题

数学大练习 分值：120分 时量：120min 一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的．本大题共10个小题，每小题3分，共30分） 1. 在0.2，，﹣1，四个数中，属于无理数的是（ ） A. 0.2 B. C. ﹣1 D. 2. 2025年2月2日是第29个“世界湿地日”，主题是“保护湿地共筑未来”国家林草局公布的最新数据显示，全国湿地面积稳定保持在56350000公顷以上，将数据56350000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 2025年4月24日，神舟二十号载人飞船成功发射，以壮丽升空将第10个中国航天日从纪念变为庆祝．下列航天图案是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如果点在第四象限，那么m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 2025年1月，中共中央、国务院印发《教育强国建设规划纲要（2024−2035年）》，其中就提出了中小学生每天综合体育活动时间不低于2小时的要求．某校为了解学生的综合体育活动情况，对部分学生在一周内的综合体育活动时间统计如下表： 时间/h 人数 则这些学生的综合体育活动时间的众数和中位数分别是（ ） A. 13，13 B. 12，14 C. 13，15 D. 13，14 7. 如图，在中，，是边上的点，将沿直线折叠，点的对应点恰好落在边上．若，则的大小是（ ） A. B. C. D. 8. 若，反比例函数的图象在（ ） A. 第一、二象限 B. 第一、三象限 C. 第二、四象限 D. 第三、四象限 9. 如图，以点O为位似中心，作四边形的位似图形，已知，若四边形的面积是2，则四边形的面积是（　　） A. 4 B. 6 C. D. 10. 某款网红“不倒翁”的示意图如图所示，、分别与优弧所在的圆O相切于点A、B，连接并延长交优弧于点M．若该圆的半径为4，，则的值为（ ） A. 2 B. C. D. 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分） 11. 若分式的值为0，则_____________． 12. 已知实数a，b，满足，，则的值为______． 13. 已知圆锥的底面圆半径为2，母线长为6，则该圆锥的侧面积为________． 14. 已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是______ ． 15. 筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理，如图，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心为圆心的圆，如图，已知圆心在水面上方，且被水面截得的弦长为米，的半径长为米．若点为运行轨道的最低点，则点到弦所在直线的距离是________米． 16. 如图，直线与反比例函数的图象相交于点，将直线向上平移3个单位长度与反比例函数的图象相交于点，轴于点，交于点，，若，则的值为_____． 三、解答题（本大题共9个小题，第17、18、19题每小题6分，第20、21题每小题8分，第22、23题每小题9分，第24、25题每小题10分，共72分） 17. 计算：． 18. 先化简，再求值：其中，． 19. 暑假期间，小明一家到某旅游风景区登山．他们从山底A处出发，先步行到达B处，再从B处坐缆车到达山顶C处．已知山坡的坡角，缆车的行驶路线与水平面的夹角，这座山的高度，A，B，C，D在同一平面内． （1）求小明一家步行上升的垂直高度（结果取整数）； （2）求缆车的行驶路线的长（结果取整数）．（参考数据：，，；，，） 20. 2025年4月19日，烟台市民文化艺术季启幕．某校带领甲、乙两个社团参观甲骨学发展史馆，领略殷商文明甲骨文化穿越千年的不朽魅力．活动结束后，两个社团进行了一次满分为10分的甲骨学发展史测试，并对所有学生的成绩进行了收集、整理、分析，信息如下： ①甲社团的成绩（单位：分）情况如下： 6，6，6，6，7，7，7，7，6，7，7，6，7，8，8，8，8，9，8，8，9，9，9，8，8，9，9，9，7，9，6，9，9，10，8，8，9，9，10，10． ②乙社团的平均成绩为（分）． ③将两个社团的成绩绘制成如下不完整的统计图： 根据以上信息，解决下列问题： （1）将条形统计图补充完整； （2）成绩为8分的学生在_______社团的排名更靠前（填“甲”或“乙”）； （3）已知甲社团的满分学生中有两名女生，现从甲社团满分学生中随机抽取两人，参加甲骨学发展史宣讲活动．请用树状图或表格求所抽取的两人恰好是一名男生和一名女生的概率． 21. 如图，中，，垂足为D，，垂足为E，与相交于点F，． （1）求证：； （2）若，求的长 22. “靖州杨梅”——湖南省靖州县特产，全国农产品地理标志．靖州杨梅已有上千年的栽培史，以色泽呈乌、酸甜适度、果大核小、品质优良、营养丰富而著称．《靖州乡土志》诗云：“木洞杨梅尤擅名，申园梨栗亦争鸣，百钱且得论摊买，恨不移根植上京．”目前，靖州杨梅主要分为台梅和乌梅两种．某水果商为了解靖州杨梅的市场销售情况，购进台梅和乌梅两种进行试销．在试销中，水果商将两种杨梅搭配销售，若购买台梅4千克，乌梅3千克，共需192元；若购买台梅3千克，乌梅4千克，共需172元． （1）求台梅和乌梅每千克各多少元？ （2）一顾客用不超过2600元购买这两种杨梅共100千克，要求台梅尽量多，他最多能购买台梅多少千克？ 23. 如图，在矩形中，对角线与交于点，点在边上，与交于点，． （1）求证：； （2）已知，，求的面积． 24. 如图，在四边形中，，点是边上的一点． （1）如图1，若，，，当时，求的长． （2）如图2，若，，，以为直径的恰好与边相切于点，试判断关于的一元二次方程根的情况，并说明理由． （3）如图3，已知，，作的外接圆交线段于点，连接、、、，令，，求关于的函数解析式．（不考虑自变量的取值范围）． 25. 已知是自变量的函数，当时，称函数为函数的“升幂函数”．例如：函数，当时，则函数是函数的“升幂函数”． （1）①函数的“升幂函数”的函数表达式为________； ②若函数的“升幂函数”为，函数的“升幂函数”为，则函数与的图象的交点坐标为________； （2）已知是一次函数的“升幂函数”，且对任意的，总有；当时，函数的最大值为4，求一次函数的解析式： （3）二次函数的图象如图所示，且是一次函数的“升幂函数”，若函数图象的对称轴与轴交于点，函数的图象交轴于点，点的坐标为，点的坐标为，已知且，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学大练习 分值：120分 时量：120min 一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的．本大题共10个小题，每小题3分，共30分） 1. 在0.2，，﹣1，四个数中，属于无理数的是（ ） A. 0.2 B. C. ﹣1 D. 【答案】D 【解析】 【分析】按照无理数的定义逐个来判定即可． 【详解】解：A、0.2属于有理数，故A不符合题意； B、＝3，为有理数，故B不符合题意； C、﹣1为有理数，故C不符合题意； D、为开不尽方根，故D符合题意． 故选：D． 【点睛】此题主要考查无理数的识别，解题的关键是熟知无理数的定义． 2. 2025年2月2日是第29个“世界湿地日”，主题是“保护湿地共筑未来”国家林草局公布的最新数据显示，全国湿地面积稳定保持在56350000公顷以上，将数据56350000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查科学记数法，需将大数表示为的形式，其中，n为整数． 【详解】解：，且，， 选项A中，不正确；选项C和D中a值不符合，故错误， 故选B． 3. 2025年4月24日，神舟二十号载人飞船成功发射，以壮丽升空将第10个中国航天日从纪念变为庆祝．下列航天图案是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形的识别，把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形． 根据中心对称图形的定义判断即可． 【详解】解：A、图形不是中心对称图形，不符合题意，选项错误； B、图形是中心对称图形，符合题意，选项正确； C、图形不是中心对称图形，不符合题意，选项错误； D、图形不是中心对称图形，不符合题意，选项错误． 故选：B． 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查整式的运算，包括合并同类项、单项式乘除法及幂的乘方，需逐一验证各选项的正确性．根据合并同类项、单项式乘除法及幂的乘方逐一分析判断即可． 【详解】解：选项A：．合并同类项需满足相同次数，但与次数不同，无法合并，结果应为，故A错误． 选项B：．单项式乘法中，系数相乘（），变量部分指数相加（），结果为，故B正确． 选项C：．单项式除法中，系数相除（），变量部分指数相减（），结果为，但选项写为，符号错误，故C错误． 选项D：．幂的乘方需对系数和变量分别乘方：系数为，变量为，结果应为，但选项写为，系数错误，故D错误． 故选：B． 5. 如果点在第四象限，那么m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据第四象限点的符号特点得出关于m的不等式组，解不等式组即可求得m的取值． 【详解】解：∵点P（m+1，2m-3）在第四象限， ∴， 解得-1＜m＜， 故选：C． 【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，第四象限点的符号特点，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 6. 2025年1月，中共中央、国务院印发《教育强国建设规划纲要（2024−2035年）》，其中就提出了中小学生每天综合体育活动时间不低于2小时的要求．某校为了解学生的综合体育活动情况，对部分学生在一周内的综合体育活动时间统计如下表： 时间/h 人数 则这些学生的综合体育活动时间的众数和中位数分别是（ ） A. 13，13 B. 12，14 C. 13，15 D. 13，14 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了求众数和中位数；一组数据中出现次数最多的数据叫做众数；将一组数据按照从小到大(或从大到小)的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数，据此求解即可． 【详解】解：由表格知，一周内体育活动时间为小时的有人，人数最多， 所以这些学生阅读时间的众数是； 因为共有人， 所以中位数是排序后第25，26名的平均数，即． 这些学生的综合体育活动时间的众数和中位数分别是,； 故选：A． 7. 如图，在中，，是边上的点，将沿直线折叠，点的对应点恰好落在边上．若，则的大小是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了折叠的性质、三角形内角和定理、等边对等角等知识．根据三角形内角和定理求出，由折叠得到，根据三角形外角的性质即可得到答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∵将沿直线折叠，点的对应点恰好落在边上． ∴， ∴ 故选：C 8. 若，反比例函数的图象在（ ） A. 第一、二象限 B. 第一、三象限 C. 第二、四象限 D. 第三、四象限 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是绝对值的化简，反比例函数图象的性质，由绝对值的性质得出k的符号，再根据反比例函数的图象性质确定其所在象限． 【详解】解：确定k的符号： 由题设条件且，根据绝对值的非负性，右边，即．又因，故为负数． ∵反比例函数的图象位置由的符号决定： 当时，图象位于第一、三象限； 当时，图象位于第二、四象限． 因为负数，故图象在第二、四象限． 综上，正确答案为选项C． 故选：C 9. 如图，以点O为位似中心，作四边形的位似图形，已知，若四边形的面积是2，则四边形的面积是（　　） A. 4 B. 6 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】直接利用位似图形的性质，求出面积比，即可求解． 【详解】∵以点O为位似中心，作四边形的位似图形，， ∴， 则四边形面积为． 故选：D． 【点睛】本题考查了位似图形的性质，位似图形面积比等于相似比的平方，据此即可求解． 10. 某款网红“不倒翁”的示意图如图所示，、分别与优弧所在的圆O相切于点A、B，连接并延长交优弧于点M．若该圆的半径为4，，则的值为（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了切线的性质，圆周角定理，解直角三角形的应用，连接，，利用切线的性质可得，从而利用证明，然后利用全等三角形的性质可得，再利用圆周角定理可得，从而可得，最后在中，利用勾股定理求出的长，从而利用锐角三角函数的定义求出的值，即可解答． 【详解】连接，， ∵、分别与优弧所在的圆O相切于点A、B， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，，， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分） 11. 若分式的值为0，则_____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了分式值为0的条件．熟知分式值为0的条件是分母不为0分子为0是解题的关键． 【详解】解：∵分式的值为0， ∴， ∴， 故答案为：． 12. 已知实数a，b，满足，，则的值为______． 【答案】42 【解析】 【分析】首先提取公因式，将已知整体代入求出即可． 【详解】 ． 故答案为：42． 【点睛】此题考查了求代数式的值，提公因式法因式分解，整体思想的应用，解题的关键是掌握以上知识点． 13. 已知圆锥的底面圆半径为2，母线长为6，则该圆锥的侧面积为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了圆锥的侧面积计算，根据（r为底面圆半径，l为母线长）进行求解即可． 【详解】解：， ∴该圆锥的侧面积为， 故答案为：． 14. 已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是______ ． 【答案】 【解析】 【分析】根据方程有两个不相等的实数根结合根的判别式即可得出关于的一元一次不等式，解之即可得出的取值范围． 【详解】解：关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ， 解得：． 故答案为：． 【点睛】本题考查了根的判别式，熟练掌握“当方程有两个不相等的实数根时，根的判别式”是解题的关键． 15. 筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理，如图，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心为圆心的圆，如图，已知圆心在水面上方，且被水面截得的弦长为米，的半径长为米．若点为运行轨道的最低点，则点到弦所在直线的距离是________米． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理的应用、勾股定理等知识．首先连接交于点．利用垂径定理以及勾股定理求出，再根据求出结果． 【详解】解：如下图所示，连接、， 交于点，则有， ， 又， 在中，， 故答案为： ． 16. 如图，直线与反比例函数的图象相交于点，将直线向上平移3个单位长度与反比例函数的图象相交于点，轴于点，交于点，，若，则的值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数，正比例函数，平移的性质，平行线分线段成比例，中位线的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键；过点作轴于点，根据平行线分线段成比例可得，是的中位线，进而得出，，代入，即可求解． 【详解】解：如图，过点作轴于点， ∵轴于点， ∴ ∴ ∵，， ∴， ∴，则 ∴是的中位线， ∵， ∵ ∴ ∴ 解得： 故答案为：． 三、解答题（本大题共9个小题，第17、18、19题每小题6分，第20、21题每小题8分，第22、23题每小题9分，第24、25题每小题10分，共72分） 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的计算、特殊角的三角函数值、绝对值、负指数幂，准确计算是解题的关键． 直接利用二次根式的性质以及特殊角的三角函数值、负整数指数幂、绝对值的性质分别化简得出答案． 【详解】解：原式 ． 18. 先化简，再求值：其中，． 【答案】，16 【解析】 【分析】本题考查了单项式乘多项式、完全平方公式、平方差公式，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先根据单项式乘多项式、完全平方公式、平方差公式进行展开，再合并同类项，得，然后把，分别代入进行计算，即可作答． 【详解】解： ∵，， ∴． 19. 暑假期间，小明一家到某旅游风景区登山．他们从山底A处出发，先步行到达B处，再从B处坐缆车到达山顶C处．已知山坡的坡角，缆车的行驶路线与水平面的夹角，这座山的高度，A，B，C，D在同一平面内． （1）求小明一家步行上升的垂直高度（结果取整数）； （2）求缆车的行驶路线的长（结果取整数）．（参考数据：，，；，，） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用---坡度坡角问题，熟记锐角三角函数的定义是解题的关键． （1）过点作于，根据正弦的定义求出； （2）过点作于，根据矩形的性质求出，进而求出，再根据正弦的定义计算即可． 【小问1详解】 解：如图，过点作于， 在中，，m， 则m， 答：小明一家步行上升的垂直高度约为； 【小问2详解】 解：如图，过点作于， 则四边形为矩形， ， ， ， 在中，， 则， 答： 缆车的行驶路线的长约为． 20. 2025年4月19日，烟台市民文化艺术季启幕．某校带领甲、乙两个社团参观甲骨学发展史馆，领略殷商文明甲骨文化穿越千年的不朽魅力．活动结束后，两个社团进行了一次满分为10分的甲骨学发展史测试，并对所有学生的成绩进行了收集、整理、分析，信息如下： ①甲社团的成绩（单位：分）情况如下： 6，6，6，6，7，7，7，7，6，7，7，6，7，8，8，8，8，9，8，8，9，9，9，8，8，9，9，9，7，9，6，9，9，10，8，8，9，9，10，10． ②乙社团的平均成绩为（分）． ③将两个社团的成绩绘制成如下不完整的统计图： 根据以上信息，解决下列问题： （1）将条形统计图补充完整； （2）成绩为8分的学生在_______社团的排名更靠前（填“甲”或“乙”）； （3）已知甲社团的满分学生中有两名女生，现从甲社团满分学生中随机抽取两人，参加甲骨学发展史宣讲活动．请用树状图或表格求所抽取的两人恰好是一名男生和一名女生的概率． 【答案】（1） 补全图形如下： ； （2）成绩为8分的学生在乙社团的排名更靠前 （3） 【解析】 【分析】（1）先分别求解甲社团满分分有3人；乙社团分有人；补全图形即可； （2）先分别求解甲社团的成绩的中位数为（分）；乙社团的成绩的中位数为（分），再进一步求解即可； （3）记男生为甲，两个女生分别为乙，丙，画树状图，共有6种等可能的结果，其中抽取两人恰好是一名男生和一名女生的结果有4种，再由概率公式求解即可． 【小问1详解】 解：∵由统计数据可得：甲社团满分分有3人；乙社团分有人； 【小问2详解】 解：①甲社团的成绩（单位：分）情况如下： 6，6，6，6，6，6，6，7，7，7，7， 7，7，7， 7，8，8，8，8，8，8， 8，8，8，8，9，9，9，9，9，9， 9， 9，9，9， 9，9，10，10，10． ∴排在第，位的数据为， ∴甲社团的成绩的中位数为（分）； ∵乙社团排在第，位的数据为，， ∴乙社团的成绩的中位数为（分）； ∴成绩为8分的学生在乙社团的排名更靠前； 【小问3详解】 解：记男生为甲，两个女生分别为乙，丙， 画树状图如下： 共有6种等可能的结果，其中抽取两人恰好是一名男生和一名女生的结果有4种， ∴两人恰好是一名男生和一名女生的概率为． 【点睛】本题考查的是从统计数据，平均数公式中获取信息，求解中位数，利用中位数做决策，利用画树状图或列表法求解随机事件的概率，掌握统计的基础知识是解本题的关键． 21. 如图，中，，垂足为D，，垂足为E，与相交于点F，． （1）求证：； （2）若，求的长 【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴； （2）7 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，线段的和差，垂直的定义，解题的关键是掌握全等三角形的判定和性质． （1）先证明，然后根据，再结合已知条件可得结论； （2）根据，得出，根据得出，最后根据线段和差间的关系，得出答案即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 22. “靖州杨梅”——湖南省靖州县特产，全国农产品地理标志．靖州杨梅已有上千年的栽培史，以色泽呈乌、酸甜适度、果大核小、品质优良、营养丰富而著称．《靖州乡土志》诗云：“木洞杨梅尤擅名，申园梨栗亦争鸣，百钱且得论摊买，恨不移根植上京．”目前，靖州杨梅主要分为台梅和乌梅两种．某水果商为了解靖州杨梅的市场销售情况，购进台梅和乌梅两种进行试销．在试销中，水果商将两种杨梅搭配销售，若购买台梅4千克，乌梅3千克，共需192元；若购买台梅3千克，乌梅4千克，共需172元． （1）求台梅和乌梅每千克各多少元？ （2）一顾客用不超过2600元购买这两种杨梅共100千克，要求台梅尽量多，他最多能购买台梅多少千克？ 【答案】（1）台梅每千克36元，乌梅每千克16元 （2）50千克 【解析】 【分析】本题考查的是二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，确定相等关系是解本题的关键． （1）设台梅每千克x元，乌梅每千克y元，购买台梅4千克，乌梅3千克，共需192元；若购买台梅3千克，乌梅4千克，共需172元人民币，再建立方程组即可； （2）设最多能购买台梅千克，，根据顾客用不超过2600元购买这两种杨梅共100千克，再建立不等式即可． 【小问1详解】 解：设台梅每千克x元，乌梅每千克y元，则 ， 解得：， 答：台梅每千克36元，乌梅每千克16元； 【小问2详解】 设最多能购买台梅千克，则 ， ∴， 解得：， 答：最多能购买台梅50千克． 23. 如图，在矩形中，对角线与交于点，点在边上，与交于点，． （1）求证：； （2）已知，，求的面积． 【答案】（1） 证明：∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； （2）的面积为． 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质，掌握知识点的应用是解题的关键． （）由矩形的性质得出，则，又，故有，然后用相似三角形的判定方法即可求证； （）由四边形是矩形，则，，，由（）得，则，求得，再证明，故有，从而可得，即有，最后求出即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵四边形是矩形， ∴，，， 由（）得， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的面积为． 24. 如图，在四边形中，，点是边上的一点． （1）如图1，若，，，当时，求的长． （2）如图2，若，，，以为直径的恰好与边相切于点，试判断关于的一元二次方程根的情况，并说明理由． （3）如图3，已知，，作的外接圆交线段于点，连接、、、，令，，求关于的函数解析式．（不考虑自变量的取值范围）． 【答案】（1）或 （2） 解：连接，以为直径且与相切于， ， 又， ， 是中点， 是中点，即， 过作交的延长线于，则四边形是矩形，则，， ，， 根据勾股定理，， 又，且，所以， 则，展开可得，化简得， 对于一元二次方程，判别式， 所以该一元二次方程有两个相等的实数根； （3） 【解析】 【分析】（1）设，则，得出，从而证明，得出，代入求出的值； （2）连接，证明，由勾股定理代入得出，从而判断方程根的情况； （3）利用相似三角形的判定和性质进一步得出，再利用相似三角形的判定和性质得出，，，，然后代入中化简即可得出答案． 【小问1详解】 设，则， ，， ， 又， ， 由此可得， ， 已知，，代入可得， 即，解得或， 所以的长为或； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：， 是外接圆的直径，故， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，，， ∴，， ∴ 同理， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 整理得：， ， ∵点P，Q不重合， ∴， ∴， ∴，即， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ， ∴，， ∴ ∴． 【点睛】本题考查勾股定理，圆与直线的位置关系，一元二次方程根的判别式，三角形相似的判定和性质，圆周角定理等相关内容，是需要熟练掌握各难点的综合题型． 25. 已知是自变量的函数，当时，称函数为函数的“升幂函数”．例如：函数，当时，则函数是函数的“升幂函数”． （1）①函数的“升幂函数”的函数表达式为________； ②若函数的“升幂函数”为，函数的“升幂函数”为，则函数与的图象的交点坐标为________； （2）已知是一次函数的“升幂函数”，且对任意的，总有；当时，函数的最大值为4，求一次函数的解析式： （3）二次函数的图象如图所示，且是一次函数的“升幂函数”，若函数图象的对称轴与轴交于点，函数的图象交轴于点，点的坐标为，点的坐标为，已知且，求的取值范围． 【答案】（1）①；②， （2）或 （3） 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，一次函数的图象与性质，新概念，理解新概念，掌握二次函数的图象与性质是关键． （1）①根据“升幂函数”的含义即可求解；②根据“升幂函数”的含义求得，再联立解方程组即可； （2）根据“升幂函数”的含义，得到，再结合题意可推出，再分，讨论最值，根据最值求解即可； （3）先根据题意得到，结合求解即可． 【小问1详解】 解：①根据题意，； ②，， 联立，即，整理得，解得或， 当时，；当时，， 所以交点坐标为，； 故答案为：①；②，； 【小问2详解】 ， 因为对任意的，总有， 即方程有两相同的根， ， 即， 所以， ①当时，抛物线开口向上，离对称轴越远函数值越大， 在上，时取得最大值，， 由最大值为，得， 解得， 则， 此时， ②当时，抛物线开口向下，离对称轴越近函数值越大， 在上，当时取得最大值，， 由最大值为，得， 解得， 则， 此时， 综上所述：一次函数的解析式为或； 【小问3详解】 是的“升幂函数”， ， 二次函数的图象如图所示， ，对称轴，则， ，， 又，， 在的右侧， ， 在的右侧，如图， ，即四边形为平行四边形， ，即，故， ， ， ， 解得：， 对于，可看成关于的二次函数，开口向上，对称轴为， 此时离对称轴越近函数值越小，离对称轴越远函数值越大， 又∵， 当时，， 又∵当时，， ∴； 即当时，， 综上，的取值范围是． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $