重难点09 费马点与瓜豆模型（2大类型9种题型）（复习讲义）（全国通用）2026年中考数学一轮复习讲练测

该初中数学讲义聚焦中考几何动态最值核心考点，系统梳理费马点与瓜豆模型两大重难点，涵盖定义判定、通用方法及普通/加权费马点、直线/圆弧轨迹等细分题型，通过“考点梳理-方法归纳-真题精讲-分层训练”流程，帮助学生构建知识网络，突破动态几何转化难点。 亮点在于“模型化拆解”与“分层进阶”策略，如费马点通过旋转60°构造等边三角形转化线段和，瓜豆模型依据“一定两动、定角、定比”判定轨迹，培养几何直观与推理意识。精选2023-2025年中考真题及模拟题，设“固根基”“拓能力”分层练习，配合路径分析与最值求解步骤归纳，助力学生高效掌握动态几何方法，教师可据此精准把控复习节奏，提升学生应考能力。

重难点09费马点与瓜豆模型 目录 01深挖重难·固根基 2 02分层锤炼·验成效 15 固·重难考点 拓·创新能力 重难点一费马点 定义：平面内到三角形三个顶点距离之和最小的点，称为三角形的费马点。 判定条件： 三角形类型 费马点位置 核心特征 三个内角均小于120∘ 三角形内一点P ∠APB=∠BPC=∠CPA=120∘ 有一个内角大于等于120∘ 最大角的顶点 该顶点到三顶点距离和最小 通用步骤 1）旋转三角形：将△APB绕顶点B逆时针旋转60°，得到△A′P′B； 2）构造等边三角形：由旋转性质得PB=P′B，△PBP′为等边三角形，故PB=PP′； 3）转化线段和：PA+PB+PC=P′A′+PP′+PC； 4）求最小值：当A′、P′、P、C四点共线时，线段和最小，最小值为A′C的长度。 【扩展】 题型01普通费马点最值问题 1．（2024安徽模拟预测）如图，已知矩形，，，点为矩形内一点，点为边上任意一点，则的最小值为（   ） A． B． C． D．20 【答案】C 【分析】此题考查旋转的性质，矩形的性质，勾股定理的应用，解题关键在于利用旋转的性质求解，将绕点A逆时针旋转得到，可得，易得到和均为等边三角形，推出，可得，则共线时最短；由于点E也为动点，可得当时最短，此时易求得的值． 【详解】解：将绕点A逆时针旋转得到，则， ∴和均为等边三角形，， ∴， ∴， ∴、、共线时最短， 由于点E也为动点， ∴当时最短，而， ∴，， ∵和均为等边三角形， ∴，， ∴，， ∴， ∴的最小值为 ． 故选C． 2．（2025·西藏·中考真题）如图，在菱形中，，，连接，点P是上的一个动点，连接，，则的最小值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了旋转-最短路线问题，三角形全等的判定，菱形的性质以及等边三角形的性质．通过将绕点A顺时针方向旋转的点，此时证明和全等后找到对应的线段，的最小值即为点B，，P，D四点共线时，线段的长度即为所求． 【详解】如图，将线段绕点A顺时针方向旋转，得到线段，连接，，， 由题意知，在菱形中，，， ∴和为等边三角形， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，即点B，，P，D四点共线时，的最小， 此时最小值的长度为． 故答案为：． 3．（2024河北省模拟预测）如图，在中，，是内的动点，连接，，，则的最小值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了旋转的性质，勾股定理，等边三角形的性质与判定；过点作于点，如图，先计算出，则，，于是利用勾股定理可计算出；把绕点顺时针旋转得到，如图，连接，，根据旋转的性质得到，，，，则可判断为等边三角形，所以，由于当且仅当、、、共线时取等号，所以的最小值为，即的最小值为，过点作于点，如图，计算出，则，接着计算出，然后利用勾股定理计算出，从而得到的最小值． 【详解】解：过点作于点，如图， ， ， ， ， ， 在中，， 把绕点顺时针旋转得到，如图，连接，， ，，，， 为等边三角形， ， ， 当且仅当、、、共线时取等号 的最小值为，即的最小值为， 过点作于点，如图， ， ， ， 在中，， 的最小值为． 故答案为：． 4．（2025·辽宁沈阳·三模）如图，为正方形对角线上一动点，，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】如图将绕点顺时针旋转得到，当、、、共线时，最小，作交的延长线于，的延长线交的延长线于，在中由勾股定理即可解决问题． 本题考查正方形的性质、旋转变换等知识，解题的关键是利用旋转添加辅助线，构造全等三角形． 【详解】解：如图将绕点顺时针旋转得到，当、、、共线时，最小， 理由：，， 是等边三角形， ，， ， 当、、、共线时，最小， 作交的延长线于，的延长线交的延长线于，则四边形是矩形， 在中， ，，， ，，，， 中， ， 的最小值为， 故答案为：． 5．（2025永州市三模）如图，中，，，为内一点，，则的最小值为 ．    【答案】5 【分析】将绕点逆时针旋转得到，连接，得为等边三角形，证明点，，，共线，过点作于点，根据等腰三角形的性质证明，延长交于点，利用含30度角的直角三角形的性质和勾股定理求出，的值，根据最小，进而可以解决问题． 【详解】解：如图，将绕点逆时针旋转得到△，连接，      由旋转的性质，得，，，， ，， 为等边三角形， ，， ， 点，，共线， ， 点，，共线， 点，，，共线， 过点作于点， ， ， ， ， ， ， ， 延长交于点， ， ， ，， ，， ， ， ， ， ， ， ， 最小， 的最小值为5．    故答案为：5． 【点睛】本题考查了轴对称最短路线问题，旋转的性质，等边三角形的性质，勾股定理，解决本题的关键是利用含30度角的直角三角形的性质． 6．（2025·黑龙江佳木斯·一模）如图，在矩形中，，，点P是矩形内的一动点，则的最小值是 ． 【答案】 【分析】将绕点C逆时针旋转，得到，连接、、，则的长即为所求． 【详解】解：将绕点C逆时针旋转，得到，连接、、，则的长即为所求． 由旋转的性质可知：是等边三角形， ∴， ， ， ∴当A、P、F、E共线时，的值最小， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ， ∴， ∵， ， ∴. 故答案为：. 【点睛】本题考查轴对称最短路径问题，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题． 7．（2023·湖北随州·中考真题）1643年，法国数学家费马曾提出一个著名的几何问题：给定不在同一条直线上的三个点A，B，C，求平面上到这三个点的距离之和最小的点的位置，意大利数学家和物理学家托里拆利给出了分析和证明，该点也被称为“费马点”或“托里拆利点”，该问题也被称为“将军巡营”问题． (1)下面是该问题的一种常见的解决方法，请补充以下推理过程：（其中①处从“直角”和“等边”中选择填空，②处从“两点之间线段最短”和“三角形两边之和大于第三边”中选择填空，③处填写角度数，④处填写该三角形的某个顶点） 当的三个内角均小于时， 如图1，将绕，点C顺时针旋转得到，连接，      由，可知为 ① 三角形，故，又，故， 由 ② 可知，当B，P，，A在同一条直线上时，取最小值，如图2，最小值为，此时的P点为该三角形的“费马点”，且有 ③ ； 已知当有一个内角大于或等于时，“费马点”为该三角形的某个顶点．如图3，若，则该三角形的“费马点”为 ④ 点． (2)如图4，在中，三个内角均小于，且，已知点P为的“费马点”，求的值；    (3)如图5，设村庄A，B，C的连线构成一个三角形，且已知．现欲建一中转站P沿直线向A，B，C三个村庄铺设电缆，已知由中转站P到村庄A，B，C的铺设成本分别为a元/，a元/，元/，选取合适的P的位置，可以使总的铺设成本最低为___________元．（结果用含a的式子表示） 【答案】(1)①等边；②两点之间线段最短；③；④A． (2) (3) 【分析】（1）根据旋转的性质和两点之间线段最短进行推理分析即可得出结论； （2）根据（1）的方法将绕，点C顺时针旋转得到，即可得出可知当B，P，，A在同一条直线上时，取最小值，最小值为，在根据可证明，由勾股定理求即可， （3）由总的铺设成本，通过将绕，点C顺时针旋转得到，得到等腰直角，得到，即可得出当B，P，，A在同一条直线上时，取最小值，即取最小值为，然后根据已知和旋转性质求出即可． 【详解】（1）解：∵， ∴为等边三角形； ∴，， 又，故， 由两点之间线段最短可知，当B，P，，A在同一条直线上时，取最小值， 最小值为，此时的P点为该三角形的“费马点”， ∴，， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴，， ∴，， ∴三个顶点中，顶点A到另外两个顶点的距离和最小． 又∵已知当有一个内角大于或等于时，“费马点”为该三角形的某个顶点． ∴该三角形的“费马点”为点A， 故答案为：①等边；②两点之间线段最短；③；④． （2）将绕，点C顺时针旋转得到，连接， 由（1）可知当B，P，，A在同一条直线上时，取最小值，最小值为，    ∵， ∴， 又∵ ∴， 由旋转性质可知：， ∴， ∴最小值为， （3）∵总的铺设成本 ∴当最小时，总的铺设成本最低， 将绕，点C顺时针旋转得到，连接， 由旋转性质可知：，，，， ∴， ∴， 当B，P，，A在同一条直线上时，取最小值，即取最小值为，    过点作，垂足为， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ 的最小值为 总的铺设成本（元） 故答案为： 【点睛】本题考查了费马点求最值问题，涉及到的知识点有旋转的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理，以及两点之间线段最短等知识点，读懂题意，利用旋转作出正确的辅助线是解本题的关键． 题型02加权费马点・单系数型 8．（2025·贵州黔东南·一模）阅读材料，并解决问题： 【思维指引】（1）如图1等边内有一点P，若点P到顶点A、B、C的距离分别为3，4，5，求的度数． 解决此题，我们可以将绕顶点A旋转到处，此时，连接，借助旋转的性质可以推导出是______三角形；这样利用旋转变换，我们将三条线段 转化到一个三角形中，从而求出______； 【知识迁移】（2）如图2，在中，，，E、F为上的点且，请判断，，的数量关系，并证明你的结论． 【方法推广】（3）如图3，在中，，，，点P为内一点，连接，直接写出的最小值． 【答案】（1）等边；150；（2），理由见解析过程；（3） 【分析】（1）根据旋转变换前后的两个三角形全等，全等三角形对应边相等，全等三角形对应角相等以及等边三角形的判定和勾股定理逆定理解答； （2）根据旋转的性质可得，，，，，再求出，从而得到，然后利用“边角边”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，再利用勾股定理列式即可得证； （3）由旋转的性质可得，由等腰直角三角形的性质可得，即，则当A，P，，四点共线时，取到最小值，最小值为长，由勾股定理可求解． 【详解】解：（1）， ，，， 依题意得旋转角， 为等边三角形， ，， ， 为直角三角形，且， ； 故答案为：等边；150； （2），理由如下： 如图2，把绕点A逆时针旋转得到， 由旋转的性质得，，，，，， ， ， ， 在和中， ， ， ， ，， ， ， 由勾股定理得，， 即； （3）如图，在内部任取一点P，连接，，， 将绕点B顺时针旋转得到， 由旋转的性质得：， ， ， ， 当A，P，，四点共线时，取到最小值，最小值为长， 如图，过点A作垂线交延长线于点D， ， ， ，， 又， ， ，即的最小值为 ． 【点睛】本题是几何变换综合题，主要考查了旋转的性质，等边三角形的性质与判定，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，读懂题目信息，理解利用旋转构造出全等三角形和等边三角形以及直角三角形是解题的关键． 题型03加权费马点・多系数型 9．（2024·湖北武汉·模拟预测）如图，在中，，，在内有一点，连接，，，若的最小值为，则的值为 ．    【答案】 【分析】本题考查了图形的变换，勾股定理，最短路径的计算方法，掌握图象旋转的性质，勾股定理，最短路径的计算方法是解题的关键． 根据题意，将绕点逆时针旋转并放大倍，得，连接，根据边的关系可得，，由此可得，作直角，根据可得的长，在中，根据勾股定理即可求解． 【详解】解：如图所示，将绕点逆时针旋转并放大倍，得，连接，    ∴，，， ∴在中，， ∴， 根据两点之间线段最短， ∴在中，， ∵的最小值为，， ∴， 在中，， ∴， ∵， ∴， 延长，作点作，交于点， ∴，且， 在中，， ∴，， ∴， ∴在中，， ∴， 解得，， 故答案为： ． 10．（2023九年级下·全国·专题练习）如图，正方形的边长为4，点是正方形内部一点，求的最小值． 【答案】 【分析】延长到，使得，则，在的内部作射线，使得，使得，连接，，．先证明，可得，再证明，可得：，从而得到，计算出的长度即可． 【详解】解：延长到，使得，则，在的内部作射线，使得，使得，连接，，． ，， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， 的值最小，最小值为． 【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质，勾股定理，两点之间线段最短，正方形的性质，，正确理解费马点问题，利用相似构造与，根据系数将图形扩大或缩小构建图形是解决问题的关键． 11．（2025九年级下·全国·专题练习）在边长为的正中有一点，连接，求的最小值． 【答案】 【分析】如图所示，绕点逆时针旋转得到，取的中点，连接，由勾股定理得到，由中位线的性质得到，则，当点共线时，取得最小，最小为的值，如图所示，过点作延长线于点，在中，由勾股定理得到，由此即可求解． 【详解】解：如图所示，绕点逆时针旋转得到，取的中点，连接， ∴，， 在中，，， ∴， 在中，点是的中点， ∴，且， ∴， ∴， 当点共线时，取得最小，最小为的值， 如图所示，过点作延长线于点， ∵点是的中点， ∴， ∵是等边三角形，绕点逆时针旋转得到， ∴， ∴， ∴，， ∴， 在中，， ∴的最小值为． 【点睛】本题主要考查等边三角形的性质，旋转的性质，含角的直角三角形的性质，勾股定理，中位线的判定和性质等知识的综合，掌握等边三角形，旋转的性质，费马点求最短线段的方法是解题的关键． 重难点二瓜豆模型 模型定义：瓜豆模型也叫“主从联动模型”，即：一个动点随另一动点的运动而运动，分别叫做“主动点”与“从动点”，它们的运动轨迹相似。出自成语“种瓜得瓜，种豆得豆”，在几何上叫“种线得线，种国得圆”. 【条件】瓜豆原理运用满足的三个条件(“一定两动、定角、定比”)； ①有一个定点、两个动点，且一个动点(从动点)因另一个动点(主动点)的运动而随之运动； ②两个动点与定点所连线组成的夹角是定角; ③两个动点到定点的距离的比值是定值. 模型应用： 1) 本模型一般出现在选择题或填空题的压轴题中，可以直接利用结论秒杀. 2) 在线段最值问题中，有时可先利用“瓜豆”模型确定动点的轨迹，再根据点线最值，点圆最值来求线段最值. 3) 部分求动点轨迹长的问题中，只要确定属于“瓜豆”模型，就可以利用路径之比等于相似比，根据主动点的轨迹长直接求得. 【总结】 1）在线段最值问题中，有时可先利用“瓜豆”模型确定动点的轨迹，再根据点线最值，点圆最值来求线段最值； 2）部分求动点轨迹长的问题中，只要确定属于"瓜豆“模型，就可以利用路经之比等于相似比，根据主动点的轨迹长直接求得 题型01构造中位线 1．（24-25九年级上·四川内江·期中）如图，在平面直角坐标系中，的一条直角边在轴上，点的坐标为；中，，，，连接，点是中点，连接．将以点为旋转中心按顺时针方向旋转，在旋转过程中，线段的最小值是 ． 【答案】3 【分析】延长至E，使，连接，，即得出为中位线，得出．根据含30度角的直角三角形的性质可知，结合勾股定理可求出，由旋转可知，当点M在线段上时，有最小值，此时也最小，最后再次结合勾股定理即可求解． 【详解】解：如图，延长至E，使，连接，． ∵的一条直角边在轴上，点的坐标为， ∴，， ∴， ∴． ∵点是中点， ∴为中位线， ∴． ∵， ∴． ∵，即， ∴． ∵将以点为旋转中心按顺时针方向旋转， ∴点C在以点O为圆心，半径为4的圆上运动，如图， ∴当点M在线段上时，有最小值，此时也最小． ∵， ∴， ∴，即线段的最小值是3． 故答案为：3． 【点睛】本题考查坐标与图形，勾股定理，三角形中位线定理，含30度角的直角三角形的性质，圆外一点到圆上一点的最值问题等知识．正确作出辅助线，理解当点M在线段上时，有最小值，此时也最小是解题的关键． 2．（2023·河南周口·三模）如图，正方形的边长是8，点E是边的中点，连接，点F是线段上的一个动点，连接，点G是线段的中点，则线段的最小值为 ．    【答案】 【分析】连接，与相交于点H,取中点I，连接，由正方形的边长是8得到，，，由中位线定理得到，则三点共线，即点G的运动轨迹是线段，由，当点G和点H重合时，线段值最小，由勾股定理求出，即可得到，得到线段的最小值． 【详解】解：连接，与相交于点H,取中点I，连接，    ∵正方形的边长是8， ∴，，， ∵点G是线段的中点， ∴， ∴三点共线， ∴点G的运动轨迹是线段， ∵， ∴当点G和点H重合时，线段值最小， ∴， ∴， 即线段的最小值为． 【点睛】此题考查了正方形的性质、三角形中位线定理、勾股定理等知识，证明三点共线是解题的关键． 3．（2025九年级·全国·专题练习）如图所示，点，的半径为2，，，点是上的动点，点是的中点，求的最小值． 【答案】的最小值为． 【分析】如图，连接OP交⊙P于M′，连接OM．因为OA=AB，CM=CB，所以AC=OM，所以当OM最小时，AC最小，M运动到M′时，OM最小，由此即可解决问题． 【详解】解：如图所示，连接交于点，连接，， ， 由勾股定理得：， ，， ． 当最小时，最小 当运动到时，最小． 此时的最小值为． 【点睛】本题考查点与圆的位置关系、坐标与图形的性质、三角形中位线定理、最小值问题等知识，解题的关键是理解圆外一点到圆的最小距离以及最大距离，学会用转化的思想思考问题，所以中考常考题型． 题型02直线型轨迹 4．（2025·江苏苏州·二模）如图，菱形的边长为4，，E是的中点，F是对角线上的动点，连接．将线段绕点F按逆时针旋转，G为点E对应点，连接，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了旋转的性质、菱形的性质、等边对等角、全等三角形的性质与判定，熟练掌握相关知识点是解题的关键．将线段绕点F按顺时针旋转，得到，连接、，由旋转的性质得到，，，，通过证明得到，利用菱形的性质和等边对等角得到，，则有，分析可得点在过点且与夹角为的直线上运动，当时，有最小值，再利用等腰直角三角形的性质即可得出答案． 【详解】解：将线段绕点F按顺时针旋转，得到，连接、， 由旋转的性质得到，，，， ，即， ， ， 菱形的边长为4， ， ， ， E是的中点， ， ，， ， ， 点在过点且与夹角为的直线上运动， 当时，有最小值，此时为等腰直角三角形，则， 的最小值为，即的最小值为． 故选：A． 5．（2025河北省一模）如图，在平·面直角坐标系中，Q是直线y=﹣x+2上的一个动点，将Q绕点P(1，0)顺时针旋转90°，得到点，连接，则的最小值为(　　)      A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用等腰直角三角形构造全等三角形，求出旋转后Q′的坐标，然后根据勾股定理并利用二次函数的性质即可解决问题． 【详解】解：作QM⊥x轴于点M，Q′N⊥x轴于N，    设Q(，)，则PM=，QM=， ∵∠PMQ=∠PNQ′=∠QPQ′=90°， ∴∠QPM+∠NPQ′=∠PQ′N+∠NPQ′， ∴∠QPM=∠PQ′N， 在△PQM和△Q′PN中， ， ∴△PQM≌△Q′PN(AAS)， ∴PN=QM=，Q′N=PM=， ∴ON=1+PN=， ∴Q′(，)， ∴OQ′2=()2+()2=m2﹣5m+10=(m﹣2)2+5， 当m=2时，OQ′2有最小值为5， ∴OQ′的最小值为， 故选：B． 【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，一次函数的性质，三角形全等的判定和性质，坐标与图形的变换-旋转，二次函数的性质，勾股定理，表示出点的坐标是解题的关键． 6．（2025咸阳市模拟预测）如图，在直角坐标系中，点的坐标是，点是轴上的一个动点．以为边向右侧作等边三角形，连接，在运动过程中，的最小值为 ． 【答案】4 【分析】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，坐标与图形等知识的综合，理解等边三角形的性质，构造三角形全等，数形结合分析是解题的关键． 如图所示，以为边，在左边作等边三角形，连接，证明，得到，当时，的值最小，根据等边三角形的性质，含角的直角三角形的性质，结合坐标与图形即可求解． 【详解】解：如图所示，以为边，在左边作等边三角形，连接， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴， ∴的值最小时，的值最小， 当时，的值最小， ∵， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴， 在中，， 故答案为：4 ． 7．（2025·江苏宿迁·三模）如图，在矩形中，，，是对角线上的一动点，连接，若以为边向右上侧作等边；点从点运动到点的过程中，连接，则线段的最小值是 ． 【答案】 【分析】以为边作等边，连接．证明，得到，从而，因此是定值，即点G在与成定角的直线上运动．过点C作于点H，则点G在点H时，取得最小值，最小值为的长．当点E与点A重合时，过点G作于点M，过点F作于点N，求出，，的面积，得到，根据勾股定理求出，再由三角形的面积求出，即可解答． 【详解】解：如图，以为边作等边，连接． ∵和都是等边三角形， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∵在矩形中，，， ∴， ∴， ∴是定值，即点G在与成定角的直线上运动． 过点C作于点H，则点G在点H时，取得最小值，最小值为的长． 如图，当点E与点A重合时， 过点G作于点M，过点F作于点N， ∴， ∴． ∵是等边三角形， ∴，， ∴． ∵，， ∴， ，， ∴在中， ∵， 又， ∴， ∴， ∴点从点运动到点的过程中，线段的最小值是． 故答案为： 【点睛】本题考查全等三角形的判定及性质，等边三角形的性质，解直角三角形，正确找出点G的运动轨迹，根据三角形的面积求解是解题的关键． 8．（24-25九年级下·北京海淀·月考）如图，在中，，，P为线段上的动点（不与点C重合），将线段绕点A顺时针旋转得到线段． (1)如图1，当P是中点时，连接，求证：； (2)如图2，过点Q作直线，交直线于点M，作交射线于点N，请补全图2，探究线段和线段的等量关系并证明； (3)如图3，若，，O为的中点，M为线段上的动点，N为线段上的动点，，D为线段的中点，求线段的最小值． 【答案】(1)见解析 (2)，见解析 (3)最小值为 【分析】（1）由题意易得，然后根据可证，然后问题可求证； （2）按题意画出图形，连接，作，交于点D，证明得，，证明得，从而，再证明，进而可求出； （3）连接，先求出，，．确定点D在以点O为圆心，以1为半径的圆上运动，由可知最短时，线段值的最小．证明得，从而可知点Q在与成角的射线上运动，当时，的值最小，即线段取得的最小值，求出，即可求出线段的最小值． 【详解】（1）证明：由旋转可知：， ∵，点P是中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：由题意可得如图： 连接，作，交于点D， ∵， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：连接， ∵，， O为的中点， ∴，， ∴． ∵，D为线段的中点， ∴， ∴点D在以点O为圆心，以1为半径的圆上运动． ∵， ∴最短时，线段值的最小． 由旋转的性质得， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴点Q在与成角的射线上运动， ∴当时，的值最小，即线段取得的最小值． ∵， ∴线段取得的最小值为． 【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，解直角三角形，圆的性质，垂线段最短，确定点Q的轨迹是解（3）的关键． 题型03圆弧型轨迹 9．（2023江都区模拟）如图，A是上任意一点，点C在外，已知是等边三角形，则的面积的最大值为（ ） A． B．4 C． D．6 【答案】A 【分析】以为边向上作等边三角形，连接，证明得到，分析出点D的运动轨迹是以点M为圆心，长为半径的圆，在求出点D到线段的最大距离，即可求出面积的最大值． 【详解】解：如图，以为边向上作等边三角形，连接， ∵， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴， ∴点D的运动轨迹是以点M为圆心，长为半径的圆，要使的面积最大，则求出点D到线段的最大距离， ∵是边长为4的等边三角形， ∴点M到的距离为， ∴点D到的最大距离为， ∴的面积最大值是， 故选A． 【点睛】本题考查了动点轨迹是圆的问题，解决本题的关键是利用构造全等三角形找到动点D的轨迹圆，再求出圆上一点到定线段距离的最大值． 10．（2025厦门市模拟）如图，在Rt△ABC中，，，BC＝2，线段BC绕点B旋转到BD，连AD，E为AD的中点，连接CE，则CE的最大值是 ． 【答案】3 【分析】通过已知求得D在以B为圆心，BD长为半径的圆上运动，∵E为AD的中点， ∴E在以BA中点为圆心，长为半径的圆上运动，再运用圆外一定点到圆上动点距离的最大值=定点与圆心的距离+圆的半径，求得CE的最大值． 【详解】解：∵BC＝2，线段BC绕点B旋转到BD， ∴BD＝2， ∴． 由题意可知，D在以B为圆心，BD长为半径的圆上运动， ∵E为AD的中点， ∴E在以BA中点为圆心，长为半径的圆上运动， CE的最大值即C到BA中点的距离加上长． ∵，，BC＝2， ∴C到BA中点的距离即， 又∵， ∴CE的最大值即． 故答案为3． 【点睛】本题考查了与圆相关的动点问题，正确识别E点运动轨迹是解题的关键． 11．（2025·佛山市一模）如图，线段为的直径，点在的延长线上，，，点是上一动点，连接，以为斜边在的上方作，且使得，连接，则长的最大值为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质、两圆的位置关系、轨迹等知识，如图，作，使得，，则，，，由，推出，即（定长），由点是定点，是定长，推出点在半径为的上，由此即可解决问题，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题． 【详解】解：如图，作，使得，，则，，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 即（定长）， ∵点是定点，是定长， ∴点在半径为的上， ∵， ∴的最大值为， 故答案为：． 12．（24-25九年级上·湖北荆州·期中）在矩形中，，点在上，点在平面内，，，连按，将线段绕着点顺时针旋转得到，则线段的最大值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查矩形的性质，旋转的性质，勾股定理等知识，将线段绕点顺时针旋转得，得 ，将线段绕点顺时针旋转得，得 ，证明，得判断要使最大，则三点共线时最大，最大值为，根据勾股定理可求出即可得出结论 【详解】解：∵在平面内，且， ∴在以为圆心，3为半径的圆上，如图， 将线段绕点顺时针旋转得， ∴ ， 将线段绕点顺时针旋转得， ∴ ， ∴ ∴ ∴， ∴ ∴在点为圆心，3为半径的圆上， 要使最大，则三点共线时最大，最大值为； ∵四边形是矩形， ∴ ∵ ∴ ∴， ∴ ∴ ∴的最大值为， 故答案为：． 13．（2025·河南信阳·三模）如图，M是等边三角形的边的中点，P是平面内一点，连接，将线段以点A为中心逆时针旋转，得到线段，连接．若，点M，P之间的距离为1，则的最小值为 ，的最大值为 ． 【答案】 【分析】连接，将绕点逆时针旋转得到，连接，，，由等边三角形的性质和勾股定理求出，证明是等边三角形，得到，再证明，得到，得出点在以点为圆心、1 为半径的圆上运动，点圆位置关系即可得解． 【详解】解：如图所示，连接，将绕点逆时针旋转得到，连接，，， 点是等边三角形边的中点， ，， ， 由旋转的性质可得，，， 是等边三角形， ， ， ， ， ， 点在以点为圆心、1 为半径的圆上运动， 如图，    当点在线段上时，的值最小，最小值为， 当点在射线上时，有最大值，最大值为， 故答案为：，． 【点睛】本题主要考查了旋转的性质，等边三角形的性质与判定，勾股定理，全等三角形的性质与判定，点圆位置关系等知识点，熟练掌握其性质并能正确添加助线是解决此题的关键． 题型04加权线段和 14．（2025·四川绵阳·二模）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标是，点C的坐标是，点是x轴上的动点，点B在x轴上移动时，始终保持是等边三角形（点P不在第二象限），连接，求得的最小值为 ． 【答案】 【分析】如图1所示，以为边，向右作等边，连接，过点D作于E，先求出点D的坐标，然后证明得到，则点P在经过点D且与垂直的直线上运动，当点P运动到y轴时，如图2所示，证明此时点P的坐标为从而求出直线的解析式；如图3所示，作点A关于直线的对称点G，连接，过点P作轴于F，设直线与x轴的交点为H，先求出点H的坐标，然后证明，从而得到，则当G、P、F三点共线时，有最小值，即有最小值，再根据轴对称的性质求出点G在x轴上，则即为所求． 【详解】解：如图1所示，以为边，向右作等边，连接，过点D作于E， ∵点A的坐标是， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴， ∴点D的坐标为； ∵是等边三角形，是等边三角形， ∴，，，， ∴，即， ∴， ∴， ∴点P在经过点D且与垂直的直线上运动， 当点P运动到y轴时，如图2所示，此时点P与点C重合， ∵是等边三角形，， ∴， ∴此时点P的坐标为， 设直线的解析式为， ∴， ∴， ∴直线的解析式为； 如图3所示，作点A关于直线的对称点G，连接，过点P作轴于F，连接，设直线与x轴的交点为H， 当时，， 解得， ∴点H的坐标为， ∴， ∴， ∴， ∴， 由轴对称的性质可知， ∴， ∴当G、P、F三点共线时，有最小值，即有最小值， ∵A、G两点关于直线对称，且， ∴，即点D为的中点， ∵点A的坐标为，点D的坐标为， ∴， ∵，， ∴是等边三角形， ∵， ∴，即点G在x轴上， ∴由勾股定理得， ∴当点P运动到H点时，有最小值，即有最小值，最小值即为的长， ∴的最小值为． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的判定与性质，全等三角形的性质与判定，一次函数与几何综合，轴对称最短路径问题，解直角三角形等知识点，正确作出辅助线确定点P的运动轨迹是解题的关键． 15．（2025九年级下·全国·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点P是x轴上的一动点，连接，将线段绕点逆时针旋转得到，连接，，求的最小值． 【答案】 【分析】本题主要考查了坐标与图形，全等三角形的性质与判定，正切函数，旋转的性质等，利用旋转构造，再利用对称轴得出点为定点是解题关键．连接，将线段绕点逆时针旋转得到，连接，过点作轴于点．证明轴．，得．再作点关于的对称点，连接，，，过点作轴于点．证明，得出线段向上平移单位，向右平移3个单位得到，从而得出点为定点，再根据当、、三点共线时，时最小，求出，据此可得答案． 【详解】解：连接，将线段绕点逆时针旋转得到，连接，过点作轴于点． ∵， ∴． ∵，， ∴， ∴，． ∵的坐标为， ∴， ， ∴， ∴． ∵， ∴轴． ∵，， ∴， ∴． 作点关于的对称点，连接，，， 过点作轴于点． 则，， ∴， ∴，即相当于将线段向上平移单位，向右平移3个单位得到， ∴，即， ∴，， ∴， ∵，当、、三点共线时，时最小， ∴，即， ∴． 即最小值为． 16．（2025九年级下·全国·专题练习）如图，在矩形中，，点为边上一动点，以为边向右作直角三角形，使，连接，求的最小值．    【答案】 【详解】以为斜边向下作，使，连接，如图所示，由含的直角三角形性质得到相应边长，再由相似三角形的判定与性质得到，作点关于的对称点，连接交于点，连接，如图所示，利用含的直角三角形性质得到相应边长，再由勾股定理求出，最后由三角形三边关系确定的最小值． 【分析】解：以为斜边向下作，使，连接，如图所示：    在矩形中，，则， ， ， ， ， ， ∴， ∴， ∴． 作点关于的对称点，连接交于点，连接，如图所示：    则，，，，， ∴， ∴， ∴的最小值为． 【点睛】本题考查动点最值问题-胡不归，涉及矩形性质、含的直角三角形性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理、三角形三边关系等知识，熟练掌握动点最值问题-胡不归的解法是解决问题的关键． 题型05路径长度类问题 17．（2024·四川乐山·中考真题）如图，在菱形中，，，点P是边上一个动点，在延长线上找一点Q，使得点P和点Q关于点C对称，连接交于点M．当点P从B点运动到C点时，点M的运动路径长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】该题主要考查了菱形的性质，垂直平分线的性质和判定，全等三角形的性质和判定等知识点，解题的关键是掌握以上点M的运动路径． 过点C作交于点H，根据，四边形是菱形，得出 垂直平分，再证明垂直平分，点M在上运动，根据解直角三角形 ．即可求解． 【详解】解：过点C作交于点H，连接， ∵，四边形是菱形，， ∴，， ∴是等边三角形， ∴垂直平分， ∵， ∴， ∵点P和点Q关于点C对称， ∴，即垂直平分， ∵交于点M． ∴ ∴点M在上运动， 当点P与点B重合时，点M位于点， 此时，∵，四边形是菱形，， ∴， ∴． 故点M的运动路径长为． 故选：B． 18．（2024·江苏连云港·中考真题）如图，在中，，，．点P在边上，过点P作，垂足为D，过点D作，垂足为F．连接，取的中点E．在点P从点A到点C的运动过程中，点E所经过的路径长为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查含30度角的直角三角形，一次函数与几何的综合应用，矩形的判定和性质，两点间的距离，以为原点，建立如图所示的坐标系，设，则，利用含30度角的直角三角形的性质，求出点的坐标，得到点在直线上运动，求出点分别与重合时，点的坐标，利用两点间的距离公式进行求解即可． 【详解】解：以为原点，建立如图所示的坐标系，设，则， 则：， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 过点作，则：， ∴， ∵，，， ∴四边形为矩形， ∴， ∴， ∵为的中点， ∴， 令， 则：， ∴点在直线上运动， 当点与重合时，，此时， 当点与重合时，，此时， ∴点E所经过的路径长为； 故答案为：． 19．（2025·山东烟台·中考真题）如图，在菱形中，，对角线．点M从点A出发，沿方向以的速度向点C运动，同时，点N从点C出发，沿方向以的速度向点D运动，当一点到达终点时，另一点随之停止运动，连接，交于点P．在此过程中，点P的运动路径长为 ． 【答案】 【分析】如图，连接交于．求解，，，，设运动时间为，则，，证明，可得，作等边三角形，以为圆心，为半径作圆，取点，连接，，证明在上，且在弧上，再利用弧长公式计算即可. 【详解】解：如图，∵在菱形中，，对角线，连接交于． ∴，，，， ∵设运动时间为，则，， ∴，即， ∴， ∴， ∴， ∴， 作等边三角形，以为圆心，为半径作圆，取点，连接，， ∴，，， ∴， ∴在上，且在弧上， ∴在此过程中，点P的运动路径长为； 故答案为： 【点睛】本题考查的是菱形的性质，圆周角定理的应用，圆的确定，三角函数的应用，弧长的计算，证明在上，且在弧上是解本题的关键. 20．（2025·江苏扬州·中考真题）如图，在矩形中，，，点是边上的动点，将沿直线翻折得到，过点作，垂足为，点是线段上一点，且．当点从点运动到点时，点运动的路径长是 ． 【答案】 【分析】分点在矩形内部和点在矩形外部，两种情况进行讨论求解，当点在矩形内部时，作，交于点，证明，进而得到，进而得到点在以为直径的圆上运动，得到当点从点开始运动直至点落在上时，点的运动轨迹为半圆，当点在矩形外部时，同法可得，点在以为直径的圆上，得到当点运动到点时，点的运动轨迹是圆心角为的，求出两段路径的和即可得出结果． 【详解】解：∵矩形， ∴， ∵翻折， ∴， 当点在矩形内部时，作，交于点，则：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点在以为直径的圆上运动， ∴当点从点开始运动直至点落在上时，点的运动轨迹为半圆， ∴点的运动路径长为：； 当点在矩形的外部时，作，交的延长线于点， 同法可得：，， ∴，点在以为直径的上运动，连接， 当点运动到点时，如图： ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵折叠， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点的运动轨迹为圆心角为的，路径长为， ∴点的运动路径总长为：； 故答案为： 【点睛】本题考查矩形与折叠，相似三角形的判定和性质，圆周角定理，解直角三角形，求弧长，熟练掌握相关知识点，添加辅助线构造相似三角形，确定点的运动轨迹，是解题的关键． 21．（2025九年级下·全国·专题练习）如图，在矩形中，，动点E从点A运动到点D，以为边在的右侧构造正方形，连接，则的最小值为 ，点F运动的路径长为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是矩形及正方形的性质、全等三角形的判定与性质，延长到点P，使，连接，过点F作的垂线，垂足为H，先证，证出，得出点在以P为顶点，为一边的的的另一边上运动，求出最小值；证明 ，得出当动点E从点A运动到点D时，的长从变化到0，进而求出结论． 【详解】解：延长到点P，使，连接，过点F作的垂线，垂足为H．      在矩形中，， 在正方形中，， ， ， ∴， ∴， ∴， ∴． 点在以P为顶点，为一边的的的另一边上运动， 当时最小，最小值 ． ∵， ∴ ． 当动点E从点A运动到点D时，的长从变化到0， ∴点F运动的路径长为 ． 题型06取到最值时求其它量 22．（2025·四川宜宾·中考真题）如图，在中，，，，过点A作直线，点是直线上一动点，连结，过点作，连结使．当最短时，则的长度为（　　）    A． B．4 C． D． 【答案】B 【分析】在点A的右侧取一点G，使得，连结，，过点F作于点H，先根据相似三角形的判定与性质，推得都是定值，点F在射线上运动，从而得到当时，最短，并画出图形，再通过设未知数列方程，逐步求得和的长，最后根据相似三角形的性质，即可求得答案． 【详解】解：如图1，在点A的右侧取一点G，使得，连结，，过点F作于点H， 直线，， ， ，， ， ， ， ， ，， ，， ， ， ，， ， ， 和都是定值， 点F在射线上运动， 当时，最短（如图2所示）， 延长，相交于点N， ， 四边形是矩形， ，， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 设，则，， ， ， ， ， ， ， 解得， ，，，， ，， ， ， ， 解得， 当最短时，则的长度为4． 故选：B．    【点睛】本题考查了几何最值问题，解直角三角形，相似三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，勾股定理等知识，探究线段最短时的几何图形是解题的关键． 23．（2025·安徽宣城·一模）正方形的边长为，，分别是边，上的动点，且，连接，，交于点，连接，当的值最小时，点到的距离是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，正方形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键； 根据题意，判定，进而判定点P在以为直径的圆上，从而利用勾股定理，即可求解； 【详解】解：在正方形中， ，，， ， ， ， 点P在以为直径的圆上． 如图，设的中点为，当点，，在同一条直线上时，有最小值． ，， ． 过点作于点， ， ， ， ， ， 故选：A 24．（2025·河南周口·三模）如图，在矩形中，，动点P从点D出发，以每秒1个单位长度的速度沿向点A运动，将绕点P顺时针旋转，得到，连接．当的值最小时，点P运动的时间为（    ） A．2秒 B．2秒 C．秒 D．3秒 【答案】C 【分析】本题考查了旋转的性质，矩形的性质，等边三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，含30度角的直角三角形的性质，以为边在矩形内部作等边三角形，连接并延长交于点，过点作于点，证明，得出，，即点在垂直于的直线上运动，进而得出当点运动到点时，取得最小值，根据含度角的直角三角形的性质，即可求解． 【详解】解：如图，以为边在矩形内部作等边三角形，连接并延长交于点，过点作于点， 将绕点顺时针旋转，得到， ， 三角形是等边三角形， 又是等边三角形， ， ， ， ，， 即点在垂直于的直线上运动， ， 当点运动到点时，取得最小值， ， 四边形是矩形， ，， ， ， ， ，即取得最小值，， 动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿向点运动， 点运动的时间为， 故选：C． 25．（2025·河南南阳·二模）在矩形中，，，动点P在上运动（点P不与B，C点重合），点E在线段上，且． （1）连结，则的最小值是 ； （2）当最小时，的长为 ． 【答案】 2 【分析】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． （1）由余角的性质可得，则点E在以为直径的圆上运动，则当点E在上时，有最小值，由勾股定理可求解； （2）当与相切时，最小，由可证，，，由三角形的面积可求，通过证明 ，可得，即可求解． 【详解】解：（1）四边形是矩形， ，， ， ， ， ， 点E在以为直径的圆上运动， 如图，取的中点O，连接，交圆O于点E，此时有最小值， 点O是的中点， ， ， ， 故答案为：2； （2）当与相切时，最小， 连接，连接交于H， 由（1）可知：，，， 是的切线， ， ，， ， ，， ，， ， ， ， ，， ， ， ， ， 故答案为：． 26．（2025·河南周口·二模）如图，在等腰和等腰中，，，将绕点旋转，连接，若，则旋转过程中，当最大时，其度数为 °，当最小时，其度数为 °． 【答案】 75 15 【分析】本题考查了旋转的性质、锐角三角函数、等腰三角形的性质．此题综合性较强，解题关键是利用的轨迹圆确定出取最大值时的位置． 先分析出点轨迹为以为圆心的长为半径的圆，当与该圆相切时，最大，由此确定的最大值和最小值． 【详解】解：∵等腰中，， ∴， 由题意知，点轨迹为以为圆心的长为半径的圆， 当与该圆相切时，最大，此时， 若点E在外部时，如图1所示， ，此时最大， ∵，， ∴， ∴， ∴， 若点E在内部时，如图2所示， ，此时最小， 同理可得： 综上所述：若，则旋转过程中，当最大时，其度数为，当最小时，其度数为． 故答案为，． 1．（2023·黑龙江绥化·中考真题）如图，是边长为的等边三角形，点为高上的动点．连接，将绕点顺时针旋转得到．连接，，，则周长的最小值是 ．    【答案】/ 【分析】根据题意，证明，进而得出点在射线上运动，作点关于的对称点，连接，设交于点，则，则当三点共线时，取得最小值，即，进而求得，即可求解． 【详解】解：∵为高上的动点． ∴ ∵将绕点顺时针旋转得到．是边长为的等边三角形， ∴ ∴ ∴， ∴点在射线上运动， 如图所示，    作点关于的对称点，连接，设交于点，则 在中，，则， 则当三点共线时，取得最小值，即 ∵，， ∴ ∴ 在中，, ∴周长的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了轴对称求线段和的最值问题，等边三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，勾股定理，熟练掌握等边三角形的性质与判定以及轴对称的性质是解题的关键． 2．（2025·吉林长春·二模）【问题原型】如图①，在中，，，．点D是边上一点，，连结，试探究线段长度的最小值． 【问题探究】如图②，小明发现点C的轨迹是以的中点为圆心，半径为3的圆的一部分，因为，所以点C的变化会导致点D的变化，于是将问题进一步转化为探究点D的轨迹问题：小明过点B作，使点E和点C在直线同侧，且，连结，则，可知恒为直角，又因为点B和点E均为定点，即可确定点D的轨迹． 以下是小明证明的部分过程： 证明：过点B作，使点E和点C在直线同侧，且，连结． 证明过程缺失 …… 又，， ， ． 请你补全缺失的证明过程． 【解决问题】在图③中，点O是线段的中点，请结合上述探究过程，用圆规和无刻度的直尺，在图③中作出【问题原型】中的点D，使线段长度的最小，此时线段长度的最小值是________．（保留作图痕迹） 【答案】【问题探究】见解析；【解决问题】图见解析， 【分析】【问题探究】由证明过程知，只要补充即可；由辅助线作法知，再由已知得，则有，由此即可完成补充证明； 【解决问题】以O为圆心，为半径作；连接，则当点D在线段上时，最小，利用勾股定理求出的长，即可求出的最小值． 【详解】解：【问题探究】过点B作，使点E和点C在直线同侧，且，连结． ∴； ∵， ∴， ∴； 又，， ， ． 【问题解决】以O为圆心，为半径作，作图如下： 连接，则； 当点D在线段上时，最小，最小值为； 在中，， ∵， ∴的最小值为． 故答案为：， 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，尺规作图，勾股定理，点与圆上点距离的最值，构造全等三角形是解题的关键． 3．（2025·广东广州·二模）如图，中，，，，点是线段上的一个动点，点在的延长线上且满足连接，以为直径作，交于点，交于点． (1)证明：； (2)连接，若和相切，求线段的长； (3)点在线段上运动的过程中，当线段长度最小时，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2)； (3)四边形的面积为． 【分析】（1）利用圆周角定理求得，推出，再利用30度角的直角三角形的性质即可证明； （2）设，则，在中，求得，在中，求得，推出，得到，求得，再证明是的中位线，利用三角形中位线定理求解即可； （3）过点作于点，设，用表示出和的长，利用勾股定理得到，利用二次函数的性质求得当时， 有最小值，利用勾股定理求得，连接，作于点，利用垂径定理和勾股定理求得，推出，得到四边形是平行四边形，利用平行四边形的面积公式即可求解． 【详解】（1）证明：∵为的直径， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：设， ∴， ∵和相切， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， 在中，，， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴，， ∵， ∴是的中位线， ∴； （3）解：过点作于点， 设， ∴，， 由（1）得， ∴，， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ ， ∵，开口向上， ∴当时，有最小值，即有最小值， 此时，，，，，，， ∴， 连接，作于点， 则四边形为矩形， ∴，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴四边形的面积． 【点睛】本题考查了切线的性质，解直角三角形，相似三角形的判定和性质，二次函数的应用，勾股定理，垂径定理，正确引出辅助线解决问题是解题的关键． 4．（24-25九年级上·重庆·期末）在中，，，点是边上一点，点是边上一点，连接、，且． (1)如图1，若，，求的长； (2)如图2，为延长线上一点，连接，且，求证：； (3)如图3，连接，将沿翻折至所在平面内得到，连接交于点，连接、，当最小时，请直接写出的值． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】（1）勾股定理得出，进而可得，证明，根据全等三角形的性质，得出，进而即可求解； （2）将绕点顺时针旋转得到，点的对应点为，过点作交于点，过点作交于点，则，，证明，即可得证； （3）先证明得出，在中，，得出，进而得出当最小时，则最小，当时，最小，此时如图所示，连接，证明是直角三角形，得出，进而可得是等腰直角三角形，则得证明得出，即可求解． 【详解】（1）解：∵在中，，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 在中， ∴， ∴， ∴； （2）解：如图所示，将绕点顺时针旋转得到，点的对应点为，过点作交于点，过点作交于点， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴，，即， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， 在中， ， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：∵， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴，而是定值， ∴当最小时，则最小， ∴当时，最小，此时如图所示，连接， ∵，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵折叠， ∴，， ∴， ∴是直角三角形，即， ∴， 又∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， 又∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，勾股定理，全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，折叠的性质，正切的定义，直角三角形的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键． 5．（2025·广东广州·二模）如图，在中，，，，点是的中点，动点从点出发，沿边以每秒个单位长度的速度向终点运动，连接，将线段绕点逆时针旋转得线段，连接．设点运动的时间为秒．    (1)求的长度； (2)当的长度最小时，求的值； (3)连接，当点在的内部（包括边界）时，求点在上的运动长度． 【答案】(1) (2) (3)点的运动路径长为 【分析】本题是几何变换综合题，主要考查三角函数，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握分类讨论是解题的关键； （1）根据三角函数求出，再根据勾股定理进行计算即可； （2）根据题意证明是等腰直角三角形，当的长度最小时，的长度最小．当时，的长度最小，再根据三角函数计算结果即可； （3）分当点在上时，当点在上时两种情况进行分类讨论即可． 【详解】（1）解：在中，， 根据勾股定理可得； （2）解：是的中点，， ，， 线段绕点逆时针旋转得线段， 是等腰直角三角形， ， ， 当的长度最小时，的长度最小． 当时，的长度最小， 此时， ， 解得； （3）解：点的运动路径长为． 如图，当点在上时，   是的中点，， ， ， 又， ， ， 解得， ， 当点在上时，，   ， 又， ， ， 解得， 由图可知，当点在的内部（包括边界）时，点在上的运动长度为． 6．（2024·湖北·模拟预测）阅读以下材料并完成问题 材料一：数形结合是一种重要的数学思想如可看做是图一中的长，可看做是的长． 材料二：费马点问题是一个古老的数学问题．费马点即在中有一点使得的值最小．著名法学家费马给出的证明方法如下： 将绕点向外旋转得到，并连接易得是等边三角形、，则，则，所以的值最小为． 请结合以上两材料求出的最小值    【答案】 【分析】本题考查坐标与图形，含30度角的直角三角形的性质，等边三角形的性质，勾股定理，将原式转化为，构造直角三角形，，，以为坐标原点构造直角坐标系，设为，进而得到，，，将绕点点逆时针旋转得到，并做，根据旋转的性质，含30度角的性质，求出的长，根据，进行求解即可． 【详解】解：原式 可看做下图中的，其中为 则，， 将绕点点逆时针旋转得到，并做 ，，，，， ，为等边三角形， ，，， 又 ， ∵， ∴， ∴的最小值为； 的最小值为．    7．（2025·陕西西安·模拟预测）（）提出问题： 如图，在中，，，则的外接圆的半径是___________． （）问题拓展： 如图，在等边中有一点，，，，求的度数？ （）问题应用： 某校研学旅行安排在秦岭终南山下的薰衣草庄园，庄园内一块矩形薰衣草地如图所示、睿智小组给薰衣草地绘制图形并标上字母，在矩形中有、两点，在内，在内，测量米、米、，，，在四边形中种植普罗旺斯薰衣草，每平方米的费用是元．种植普罗旺斯薰衣草费用的最小值是多少？ 【答案】（）；（）；（）元 【分析】（）设点为的外接圆圆心，连接，过点作于，由垂径定理得，由圆周角定理得，进而由等腰三角形的性质得，再解直角三角形即可求解； （）将绕点逆时针旋转到，连接，可得是等边三角形，即得，，再证明，得到，，由勾股定理的逆定理得，即得到，再根据全等三角形的性质即可求解； （）由勾股定理得，把顺时针旋转得到，连接，可得，，，，即得是等边三角形，得到米，得到平方米，又可得，作的外接圆，可知点在上运动（不含端点），连接，设与相交于点，当时，取最小值，的值最大，此时的面积最大，由得到，可知当的面积最大时，四边形的面积最小，此时种植普罗旺斯薰衣草的费用最小值，据此求出的面积最大值进而即可求解． 【详解】解：如图，设点为的外接圆圆心，连接，过点作于， 则，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 即的外接圆的半径是， 故答案为：； （）∵是等边三角形， ∴，， 如图，将绕点逆时针旋转到，连接， 则， ∴是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，， 又∵， ∴， ∴是直角三角形，， ∴， ∴； （）解：∵米，米，， ∴米， ∵，， ∴， ∵， ∴把顺时针旋转得到，连接，则，，，， ∴是等边三角形， ∴米， ∴平方米， ∵， ∴， ∴， 如图，作的外接圆， ∵米，， ∴点在上运动（不含端点）， 连接，设与相交于点，当时，取最小值，的值最大，此时的面积最大， ∵， ∴， ∴当的面积最大时，四边形的面积最小，此时种植普罗旺斯薰衣草的费用最小值， 当时，如图，则米， ∵，， ∴， ∴， ∴米， ∴平方米， ∴种植普罗旺斯薰衣草费用的最小值为元． 【点睛】本题考查了旋转的性质，圆周角定理，垂径定理，解直角三角形，等腰三角形的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，点和圆的位置关系，线段垂直平分线的性质等，正确作出辅助线是解题的关键． 8．（2025·陕西咸阳·二模）综合与实践： (1)如图1，在中，，，将绕点C顺时针旋转得到，使点B 的对应点 D 恰好落在边上．则 ； (2)如图2，在中，，点D为边的中点，， 如果在平面内有一点P，且点 P到点D的距离为1，则线段长度的最大值是 ； (3)如图3是某公园的设计示意图，已知，，．弧的半径为米，圆心角为，为方便游客游览的体验感，现计划在该区域内铺设三条赏花小路，，，且满足点P在图形内部，Q在弧上．为了节约成本，三条小路的长度和（即）越小费用越低，求铺设这三条小路的长度之和的最小值（小路宽度不计）． 【答案】(1) (2) (3)米 【分析】（1）在等腰中，易得，根据点B的对应点D恰好落在边上，即，求出，根据即可求解； （2）连接，在中，易得，根据已知，可得点P在以D为圆心，半径为1的圆上，，即、、三点共线时取最值； （3）将绕点顺时针旋转得到，则、都是等边三角形，，根据弧的半径为米，圆心角为，过点作于点，可得，在等边中，求出点到的距离为，从而求出，即可求解． 【详解】（1）解：在中，，， ， 点B的对应点D恰好落在边上， ， ， ， ， 故答案为：； （2）如图所示，连接， 在中， ，点D为边的中点，， ， ， 点P在以D为圆心，半径为1的圆上， ， 故答案为：； （3）如图所示，将绕点顺时针旋转得到， 则，，，， 、都是等边三角形， ， ， 弧的半径为米，圆心角为， 如图所示，，， 过点作于点， ，， ， ， ， 在等边中，点到的距离为， ， ， 铺设这三条小路的长度之和的最小值为米． 【点睛】本题是几何变换综合题，考查了旋转的性质、等腰三角形的性质、等边三角形的判定及性质、垂径定理等知识点，熟练掌握以上知识点，添加适当的辅助线是解题的关键． 1．（2025·广东深圳·模拟预测）【问题呈现】小华遇到这样一个问题，如图1，中，，，，在内部有一点，连接、、，求的最小值． 【问题解决】小华是这样思考的：要解决这个问题，首先应想办法将这三条端点重合于一点的线段分离，然后再将它们连接成一条折线，并让折线的两个端点为定点，这样依据“两点之间，线段最短”，就可以求出这三条线段和的最小值了．他先后尝试了翻折、旋转、平移的方法，发现通过旋转可以解决这个问题．他的做法是，如图2，将绕点顺时针旋转，得到，连接、，则的长即为所求． (1)请你写出图2中，的最小值为______； (2)【类比应用】如图3，直角坐标系中有菱形，点与原点重合，坐标为，，若在菱形内部有一动点，试求的最小值，并求出此时点的坐标是多少； (3)【生活实际】如图4，一个矩形菜地的三个顶点处建有三个菜窖，现打算在矩形菜地内部建一个蔬菜运输点，经研究发现，运输点到三个菜窖的总路程至少为千米，若，则此矩形菜地的面积至少为______平方千米． 【答案】(1) (2)的最小值为，此时 (3) 【分析】（1）结合旋转性质得，则，，，故，运用勾股定理列式计算，即可作答． （2）模仿题干，将绕点顺时针旋转，得到，连接，，，当、、、四点共线时，值最小，最小值为线段的长，设交于点．得出是等边三角形，则，再根据菱形的性质得，同理得，故，结合解直角三角形的正列式，，整理得，即可作答． （3）如图4中，将绕点逆时针旋转得到，连接，过点作交的延长线于．当共线时，的值最小，最小值为线段的长．则，，因为运输点到三个菜窖的总路程至少为千米，列式，即可作答． 【详解】（1）解：依题意，如图2中， 将绕点顺时针旋转，得到， ， ，，， ， ， ． 在中， ，，， ， 即的最小值为． （2）解：如图3中，连接，将绕点顺时针旋转，得到，连接，，，当、、、四点共线时，值最小，最小值为线段的长，设交于点． 将绕点顺时针旋转，得到， ， ，， 是等边三角形， ，． 菱形中，， ， ， ， 同理，， ． 连接，交于点， 则． 在中， ，，， ， ， ， ． 的最小值为， 此时． （3）解：如图4中，将绕点逆时针旋转得到，连接，过点作交的延长线于．当共线时，的值最小，最小值为线段的长． 设千米，则千米， 千米，，， ， （千米），（千米）， ， ∵运输点到三个菜窖的总路程至少为千米， ∴千米， ， ， ， 的最小值为2千米，的最小值为千米， 此矩形菜地的面积的最小值为平方千米． 【点睛】本题考查了最短路径，勾股定理，旋转性质，等边三角形的判定与性质，菱形的性质，解直角三角形的相关运算，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 2．（2021九年级·全国·专题练习）如图，在中，，在内部有一点P，连接、、．（加权费马点）求： （1）的最小值； （2）的最小值 （3）的最小值； （4）的最小值 （5）的最小值； （6）的最小值 （7）的最小值； （8）的最小值 【答案】（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）26；（7）；（8） 【分析】（1）将绕点B顺时针旋转得到，则，，，可以推出为等边三角形，得到，则，即可得到A、P、、四点共线时，最小，最小值为，然后证明，由此利用勾股定理求解即可； （2）将绕点C逆时针旋转得到，则可证明，从而得到，则当A、P、、四点共线时最小，最小值为，过点A再作的垂线，垂足为E，利用勾股定理求出，，由此即可得到答案； （3）将绕点C逆时针旋转得到，则可证明，则，故当A、P、、四点共线时最小，最小值为，过点A再作的垂线，垂足为E，利用勾股定理求出，，由此即可得到答案； （4）将绕点C顺时针旋转，得到，再将以点C为位似中心放大2倍，得到，连接，先证明，则可以得到，故当，，，共线时最小，最小为，然后证明，即可利用勾股定理求解； （5）将绕点C顺时针旋转，得到，再将以点C为位似中心缩小2倍，得到，同（4）原理可证得当，，，共线时最小，最小为，然后证明，由此求解即可； （6）由可由（5）得：的最小值为26； （7）由可由（4）得的最小值为； （8）将绕点C顺时针旋转，得到，再将以点C为位似中心缩小倍，得到，同理可以证得当A、P、、，共线时的值最小．在中，，，过点作交延长线于E，然后求出，的长，由此即可求解． 【详解】解：（1）如图3-2，将绕点B顺时针旋转得到， ∴，，， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∴A、P、、四点共线时，最小，最小值为 同理可证为等边三角形， ∴，， ∴， ∴； ∴的最小值为； （2）如图3-4，将绕点C逆时针旋转得到， ∴，，，，， ∴， ∴， ∴当A、P、、四点共线时，最小，最小值为 ∵， ∴ ∴， 过点A再作的垂线，垂足为E， ∴， ∴， ∴ ∴，， ∴， ∴的最小值为； （3）如图3-6，将绕点C逆时针旋转得到， ∴，，，，， ∴， 过点C作于E， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴当A、P、、四点共线时，最小，最小值为 ∵， ∴ ∴， 过点A再作的垂线，垂足为E， ∴， ∴ ∴， ∴ ∴， ∴的最小值为； （4）如图3-8，将绕点C顺时针旋转，得到，再将以点C为位似中心放大2倍，得到，连接 由旋转的性质得，，，， ∴，，，是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴当，，，共线时最小，最小为， ∵， ∴， ∴的最小值为； （5）如图3-10，将绕点C顺时针旋转，得到，再将以点C为位似中心缩小2倍，得到， 同（4）原理可证得当，，，共线时最小，最小为， ∵，在中，， ， 最小为； （6）∵ ∴由（5）得：的最小值为26； （7）∵ ∴由（4）得的最小值为； （8）如图3-12，将绕点C顺时针旋转，得到，再将以点C为位似中心缩小倍，得到， 同理可以证得当A、P、、，共线时的值最小． 在中，，， 过点作交延长线于E， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴的最小值为． 【点睛】本题主要考查了旋转的性质，勾股定理，位似，含30度角的直角三角形的性质，等边三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定等等，解题的关键在于能够作出辅助线，找到P点在什么位置时，线段的和最小． 3．（2025·四川广元·中考真题）综合与实践 （1）【初步感知】如图①，和中，，，，求的度数； （2）【深入探究】如图②，在矩形中，，点E是线段上一点，连接，过点A在上方作，使，连接，请证明，并直接写出点F到的距离的最大值； （3）【学以致用】如图③，梯形中，，，，，点E是线段的中点，点F是线段上一点，连接，过点E在上方作，使，当的面积最小时，求的长． 【答案】（1）；（2）证明见解析；F到的距离的最大值为；（3） 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质、直角三角形的性质、矩形和梯形的面积计算及几何最值问题，解题的关键是通过角度关系和线段比例证明相似三角形，利用面积关系转化线段关系，结合图形性质求解． （1）初步感知：由推出，结合得比例式，证明，利用得出的度数． （2）深入探究：由矩形面积和面积关系得的定值，结合和矩形中，证明；得出，即可得出在以为直径的圆上运动，进而根据题意，即可求解． （3）学以致用：先计算梯形面积和面积，结合得的定值；根据（2）构造矩形，证明，得出，得出在为直径的圆上，进而求得出当的面积最小时，得出是等腰直角三角形，勾股定理即可得出长． 【详解】（1）解：∵ ∴，即． ． ∴（两边对应成比例且夹角相等）． ∵， ∴． （2）证明：∵， ∴，即， ∴ ∵四边形是矩形，， ∴，， ∵， ∴ ∴ ∴ ∴ ∴在以为直径的圆上运动， ∴到的最大距离为； （3）解：∵梯形中，，，，， ∴， ∵， ∴，即， ∵点E是线段的中点， ∴， 如图，取，作矩形，则，，连接， ∴， ∴， ∴， 又， ∴， ∴， ∴， ∴在为直径的圆上， ∴当的面积最小时，在过点且垂直于的直线上，则此时是等腰直角三角形， ∴． 4．（2025·黑龙江齐齐哈尔·一模）综合与实践 在数学兴趣小组活动中，小亮进行数学探究活动． (1)是边长为3的等边三角形，E是边上的一点，且，小亮以为边作等边，如图（1）所示．则的长为 ．（直接写出结果，不说明理由） (2)是边长为3的等边三角形，E是边上的一个动点，小亮以为边作等边，如图（2）所示．在点E从点C到点A的运动过程中，求点F所经过的路径长． 思路梳理并填空：当点E不与点A重合时，如图，连接， ∵、都是等边三角形， ∴，，， ∴① ； ∴， ∴， ∴， 又， ∴， ∴②______∥______； 当点E在点A处时，点F与点C重合． 当点E在点C处时，． ∴③点F所经过的路径长为 ． (3)是边长为3的等边三角形，M是高上的一个动点，小亮以为边作等边，如图（3）所示．在点M从点C到点D的运动过程中，求点N所经过的路径长． (4)正方形的边长为3，E是边上的一个动点，在点E从点C到点B的运动过程中，小亮以B为顶点作正方形，其中点F，G都在直线上，如图（4）．当点E到达点B时，点F，G，H与点B重合．则点H所经过的路径长为 ．（直接写出结果，不说明理由） 【答案】(1)1 (2)①；；②；；③3 (3)点N所经过的路径长为 (4) 【分析】（1）证明，则，问题即解决； （2）读懂每步推理的依据，即可完成； （3）取的中点H，连接，证明，则当点M在点C处时，，且，此时在中即可求得的长，从而求得结果； （4）当E、B不重合时，取的中点M，连接，可证，可得H、G、C三点共线，可得；当点E在C处时，，所以可确定点H所经过的路径，从而求得路径长． 【详解】（1）解：∵都是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：1； （2）解：当点E不与点A重合时，如图，连接， ∵都是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 又， ∴， ∴， 当点E在点A处时，点F与点C重合． 当点E在点C处时，． ∴点F所经过的路径长为3． 故答案为：①；；②；；③3； （3）解：如图（3），取的中点H，连接，则， ∵是等边三角形，， ∴，， ∴， ∴是等边三角形， ∵是等边三角形， 由（2）知， ∴， 即， 当点M在点D处时，点N与点H重合， 当点M在点C处时，，且， 在中，， ∴， 所以点N所经过的路径长为； （4）解：如图①，当点E不与点B重合时，取的中点M，连接， 由四边形和四边形都是正方形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴H、G、C三点共线， ∵是斜边上的中线， ∴， 当点E在C处时，如图②，， 所以点H所经过的路径长为：以点M为圆心，半径为，圆心角为的弧， 此时弧长为：， 故答案为：． 【点睛】本题是三角形全等的综合，考查了正方形的性质，等边三角形的性质，解直角三角形，全等三角形的判定与性质，弧长的计算等知识；关键是正确寻找到点的运动路径，这是属于几何压轴题． 5．（2024·吉林长春·中考真题）【问题呈现】 小明在数学兴趣小组活动时遇到一个几何问题：如图①，在等边中，，点、分别在边、上，且，试探究线段长度的最小值． 【问题分析】 小明通过构造平行四边形，将双动点问题转化为单动点问题，再通过定角发现这个动点的运动路径，进而解决上述几何问题． 【问题解决】 如图②，过点、分别作、的平行线，并交于点，作射线．在【问题呈现】的条件下，完成下列问题： （1）证明：； （2）的大小为 度，线段长度的最小值为________． 【方法应用】 某种简易房屋在整体运输前需用钢丝绳进行加固处理，如图③．小明收集了该房屋的相关数据，并画出了示意图，如图④，是等腰三角形，四边形是矩形，米，．是一条两端点位置和长度均可调节的钢丝绳，点在上，点在上．在调整钢丝绳端点位置时，其长度也随之改变，但需始终保持．钢丝绳长度的最小值为多少米． 【答案】问题解决：（1）见解析（2）30，；方法应用：线段长度的最小值为米 【分析】（1）过点、分别作、的平行线，并交于点，作射线，根据平行四边形性质证明结论即可； （2）先证明，根据垂线段最短求出最小值； （3）过点、分别作、的平行线，并交于点，作射线，连接，求出，进而得，利用垂线段最短求出即可． 【详解】解：问题解决：（1）证明：过点、分别作、的平行线，并交于点，作射线， 四边形是平行四边形， ； （2）在等边中，， ； 当时，最小，此时最小， 在中， ， 线段长度的最小值为； 方法应用：过点、分别作、的平行线，并交于点，作射线，连接， 四边形是平行四边形， ， 四边形是矩形， 当时，最小，此时最小， 作于点R， 在中， ， 在中， ， 线段长度的最小值为米． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、三角形外角的性质，垂线段最短及矩形性质，熟练掌握相关性质是解题关键． 6．（24-25九年级下·重庆北碚·自主招生）在中，，，为的中点，为上一点． (1)如图1，若，，求的长； (2)如图2，若为外部一点，为的中点，将绕点按顺时针方向旋转到（，均在直线的左侧），连接、．若，求证：； (3)将沿直线翻折至所在平面内得到，连接，将绕点按顺时针方向旋转得到线段，连接，当线段取得最小值时，请直接写出的值． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质与判定，旋转的性质，全等三角形的性质与判定，勾股定理，求一点到圆上的距离的最值问题，熟练掌握旋转的性质是解题的关键； （1）根据等腰三角形的性质，以及勾股定理求得，作的中点，连接，进而根据中位线的性质求得，进而求得，在中，勾股定理即可求解； （2）连接，过点作交于点，延长交于点，交的延长线于点，证明得出，，证明是等腰直角三角形，进而证明得出，即可得证； （3）连接，将绕点按顺时针方向旋转得到线段，证明，得出，设，则，，则，即在以为圆心的上运动，当在上，取得最小值，最小值为，进而求得的值． 【详解】（1）解：在中，， ∴ ∵， ∴， 如图，作的中点，连接， ∴，， ∵， ∴ ∴ ∴ ∵， ∴ 在中，; （2）证明：如图，连接，过点作交于点，延长交于点，交的延长线于点， ∵在中，，，为的中点，为的中点， ∴， ∴ ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵将绕点按顺时针方向旋转到 ∴， ∴，即 ∴ ∴，， ∴ 又∵ ∴ ∵， ∴ ∴是等腰直角三角形， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴，， ∴ ∴ 在 ∴ ∴ ∴，即 （3）解：如图所示，连接，将绕点按顺时针方向旋转得到线段， ∴ ∵将绕点按顺时针方向旋转得到线段， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵在中，，，为的中点， ∴ 设，则，， ∵将沿直线翻折至所在平面内得到， ∴ ∴，即在以为圆心的上运动 连接过点作于点，则 ∵ ∴， ∴是等腰直角三角形，则 ∴ ∴ ∵ ∴当在上，取得最小值，最小值为 ∴ 1/10 学科网（北京）股份有限公司 $ 重难点09费马点与瓜豆模型 目录 01深挖重难·固根基 2 02分层锤炼·验成效 15 固·重难考点 拓·创新能力 重难点一费马点 定义：平面内到三角形三个顶点距离之和最小的点，称为三角形的费马点。 判定条件： 三角形类型 费马点位置 核心特征 三个内角均小于120∘ 三角形内一点P ∠APB=∠BPC=∠CPA=120∘ 有一个内角大于等于120∘ 最大角的顶点 该顶点到三顶点距离和最小 通用步骤 1）旋转三角形：将△APB绕顶点B逆时针旋转60°，得到△A′P′B； 2）构造等边三角形：由旋转性质得PB=P′B，△PBP′为等边三角形，故PB=PP′； 3）转化线段和：PA+PB+PC=P′A′+PP′+PC； 4）求最小值：当A′、P′、P、C四点共线时，线段和最小，最小值为A′C的长度。 【扩展】 题型01普通费马点最值问题 1．（2024安徽模拟预测）如图，已知矩形，，，点为矩形内一点，点为边上任意一点，则的最小值为（   ） A． B． C． D．20 2．（2025·西藏·中考真题）如图，在菱形中，，，连接，点P是上的一个动点，连接，，则的最小值是 ． 3．（2024河北省模拟预测）如图，在中，，是内的动点，连接，，，则的最小值是 ． 4．（2025·辽宁沈阳·三模）如图，为正方形对角线上一动点，，则的最小值为 ． 5．（2025永州市三模）如图，中，，，为内一点，，则的最小值为 ．    6．（2025·黑龙江佳木斯·一模）如图，在矩形中，，，点P是矩形内的一动点，则的最小值是 ． 7．（2023·湖北随州·中考真题）1643年，法国数学家费马曾提出一个著名的几何问题：给定不在同一条直线上的三个点A，B，C，求平面上到这三个点的距离之和最小的点的位置，意大利数学家和物理学家托里拆利给出了分析和证明，该点也被称为“费马点”或“托里拆利点”，该问题也被称为“将军巡营”问题． (1)下面是该问题的一种常见的解决方法，请补充以下推理过程：（其中①处从“直角”和“等边”中选择填空，②处从“两点之间线段最短”和“三角形两边之和大于第三边”中选择填空，③处填写角度数，④处填写该三角形的某个顶点） 当的三个内角均小于时， 如图1，将绕，点C顺时针旋转得到，连接，      由，可知为 ① 三角形，故，又，故， 由 ② 可知，当B，P，，A在同一条直线上时，取最小值，如图2，最小值为，此时的P点为该三角形的“费马点”，且有 ③ ； 已知当有一个内角大于或等于时，“费马点”为该三角形的某个顶点．如图3，若，则该三角形的“费马点”为 ④ 点． (2)如图4，在中，三个内角均小于，且，已知点P为的“费马点”，求的值；    (3)如图5，设村庄A，B，C的连线构成一个三角形，且已知．现欲建一中转站P沿直线向A，B，C三个村庄铺设电缆，已知由中转站P到村庄A，B，C的铺设成本分别为a元/，a元/，元/，选取合适的P的位置，可以使总的铺设成本最低为___________元．（结果用含a的式子表示） 题型02加权费马点・单系数型 8．（2025·贵州黔东南·一模）阅读材料，并解决问题： 【思维指引】（1）如图1等边内有一点P，若点P到顶点A、B、C的距离分别为3，4，5，求的度数． 解决此题，我们可以将绕顶点A旋转到处，此时，连接，借助旋转的性质可以推导出是______三角形；这样利用旋转变换，我们将三条线段 转化到一个三角形中，从而求出______； 【知识迁移】（2）如图2，在中，，，E、F为上的点且，请判断，，的数量关系，并证明你的结论． 【方法推广】（3）如图3，在中，，，，点P为内一点，连接，直接写出的最小值． 题型03加权费马点・多系数型 9．（2024·湖北武汉·模拟预测）如图，在中，，，在内有一点，连接，，，若的最小值为，则的值为 ．    10．（2023九年级下·全国·专题练习）如图，正方形的边长为4，点是正方形内部一点，求的最小值． 11．（2025九年级下·全国·专题练习）在边长为的正中有一点，连接，求的最小值． 重难点二瓜豆模型 模型定义：瓜豆模型也叫“主从联动模型”，即：一个动点随另一动点的运动而运动，分别叫做“主动点”与“从动点”，它们的运动轨迹相似。出自成语“种瓜得瓜，种豆得豆”，在几何上叫“种线得线，种国得圆”. 【条件】瓜豆原理运用满足的三个条件(“一定两动、定角、定比”)； ①有一个定点、两个动点，且一个动点(从动点)因另一个动点(主动点)的运动而随之运动； ②两个动点与定点所连线组成的夹角是定角; ③两个动点到定点的距离的比值是定值. 模型应用： 1) 本模型一般出现在选择题或填空题的压轴题中，可以直接利用结论秒杀. 2) 在线段最值问题中，有时可先利用“瓜豆”模型确定动点的轨迹，再根据点线最值，点圆最值来求线段最值. 3) 部分求动点轨迹长的问题中，只要确定属于“瓜豆”模型，就可以利用路径之比等于相似比，根据主动点的轨迹长直接求得. 【总结】 1）在线段最值问题中，有时可先利用“瓜豆”模型确定动点的轨迹，再根据点线最值，点圆最值来求线段最值； 2）部分求动点轨迹长的问题中，只要确定属于"瓜豆“模型，就可以利用路经之比等于相似比，根据主动点的轨迹长直接求得 题型01构造中位线 1．（24-25九年级上·四川内江·期中）如图，在平面直角坐标系中，的一条直角边在轴上，点的坐标为；中，，，，连接，点是中点，连接．将以点为旋转中心按顺时针方向旋转，在旋转过程中，线段的最小值是 ． 2．（2023·河南周口·三模）如图，正方形的边长是8，点E是边的中点，连接，点F是线段上的一个动点，连接，点G是线段的中点，则线段的最小值为 ．    3．（2025九年级·全国·专题练习）如图所示，点，的半径为2，，，点是上的动点，点是的中点，求的最小值． 题型02直线型轨迹 4．（2025·江苏苏州·二模）如图，菱形的边长为4，，E是的中点，F是对角线上的动点，连接．将线段绕点F按逆时针旋转，G为点E对应点，连接，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 5．（2025河北省一模）如图，在平·面直角坐标系中，Q是直线y=﹣x+2上的一个动点，将Q绕点P(1，0)顺时针旋转90°，得到点，连接，则的最小值为(　　)      A． B． C． D． 6．（2025咸阳市模拟预测）如图，在直角坐标系中，点的坐标是，点是轴上的一个动点．以为边向右侧作等边三角形，连接，在运动过程中，的最小值为 ． 7．（2025·江苏宿迁·三模）如图，在矩形中，，，是对角线上的一动点，连接，若以为边向右上侧作等边；点从点运动到点的过程中，连接，则线段的最小值是 ． 8．（24-25九年级下·北京海淀·月考）如图，在中，，，P为线段上的动点（不与点C重合），将线段绕点A顺时针旋转得到线段． (1)如图1，当P是中点时，连接，求证：； (2)如图2，过点Q作直线，交直线于点M，作交射线于点N，请补全图2，探究线段和线段的等量关系并证明； (3)如图3，若，，O为的中点，M为线段上的动点，N为线段上的动点，，D为线段的中点，求线段的最小值． 题型03圆弧型轨迹 9．（2023江都区模拟）如图，A是上任意一点，点C在外，已知是等边三角形，则的面积的最大值为（ ） A． B．4 C． D．6 10．（2025厦门市模拟）如图，在Rt△ABC中，，，BC＝2，线段BC绕点B旋转到BD，连AD，E为AD的中点，连接CE，则CE的最大值是 ． 11．（2025·佛山市一模）如图，线段为的直径，点在的延长线上，，，点是上一动点，连接，以为斜边在的上方作，且使得，连接，则长的最大值为 ． 12．（24-25九年级上·湖北荆州·期中）在矩形中，，点在上，点在平面内，，，连按，将线段绕着点顺时针旋转得到，则线段的最大值为 ． 13．（2025·河南信阳·三模）如图，M是等边三角形的边的中点，P是平面内一点，连接，将线段以点A为中心逆时针旋转，得到线段，连接．若，点M，P之间的距离为1，则的最小值为 ，的最大值为 ． 题型04加权线段和 14．（2025·四川绵阳·二模）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标是，点C的坐标是，点是x轴上的动点，点B在x轴上移动时，始终保持是等边三角形（点P不在第二象限），连接，求得的最小值为 ． 15．（2025九年级下·全国·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点P是x轴上的一动点，连接，将线段绕点逆时针旋转得到，连接，，求的最小值． 16．（2025九年级下·全国·专题练习）如图，在矩形中，，点为边上一动点，以为边向右作直角三角形，使，连接，求的最小值．    题型05路径长度类问题 17．（2024·四川乐山·中考真题）如图，在菱形中，，，点P是边上一个动点，在延长线上找一点Q，使得点P和点Q关于点C对称，连接交于点M．当点P从B点运动到C点时，点M的运动路径长为（   ） A． B． C． D． 18．（2024·江苏连云港·中考真题）如图，在中，，，．点P在边上，过点P作，垂足为D，过点D作，垂足为F．连接，取的中点E．在点P从点A到点C的运动过程中，点E所经过的路径长为 ． 19．（2025·山东烟台·中考真题）如图，在菱形中，，对角线．点M从点A出发，沿方向以的速度向点C运动，同时，点N从点C出发，沿方向以的速度向点D运动，当一点到达终点时，另一点随之停止运动，连接，交于点P．在此过程中，点P的运动路径长为 ． 20．（2025·江苏扬州·中考真题）如图，在矩形中，，，点是边上的动点，将沿直线翻折得到，过点作，垂足为，点是线段上一点，且．当点从点运动到点时，点运动的路径长是 ． 21．（2025九年级下·全国·专题练习）如图，在矩形中，，动点E从点A运动到点D，以为边在的右侧构造正方形，连接，则的最小值为 ，点F运动的路径长为 ． 题型06取到最值时求其它量 22．（2025·四川宜宾·中考真题）如图，在中，，，，过点A作直线，点是直线上一动点，连结，过点作，连结使．当最短时，则的长度为（　　）    A． B．4 C． D． 23．（2025·安徽宣城·一模）正方形的边长为，，分别是边，上的动点，且，连接，，交于点，连接，当的值最小时，点到的距离是（   ） A． B． C． D． 24．（2025·河南周口·三模）如图，在矩形中，，动点P从点D出发，以每秒1个单位长度的速度沿向点A运动，将绕点P顺时针旋转，得到，连接．当的值最小时，点P运动的时间为（    ） A．2秒 B．2秒 C．秒 D．3秒 25．（2025·河南南阳·二模）在矩形中，，，动点P在上运动（点P不与B，C点重合），点E在线段上，且． （1）连结，则的最小值是 ； （2）当最小时，的长为 ． 26．（2025·河南周口·二模）如图，在等腰和等腰中，，，将绕点旋转，连接，若，则旋转过程中，当最大时，其度数为 °，当最小时，其度数为 °． 1．（2023·黑龙江绥化·中考真题）如图，是边长为的等边三角形，点为高上的动点．连接，将绕点顺时针旋转得到．连接，，，则周长的最小值是 ．    2．（2025·吉林长春·二模）【问题原型】如图①，在中，，，．点D是边上一点，，连结，试探究线段长度的最小值． 【问题探究】如图②，小明发现点C的轨迹是以的中点为圆心，半径为3的圆的一部分，因为，所以点C的变化会导致点D的变化，于是将问题进一步转化为探究点D的轨迹问题：小明过点B作，使点E和点C在直线同侧，且，连结，则，可知恒为直角，又因为点B和点E均为定点，即可确定点D的轨迹． 以下是小明证明的部分过程： 证明：过点B作，使点E和点C在直线同侧，且，连结． 证明过程缺失 …… 又，， ， ． 请你补全缺失的证明过程． 【解决问题】在图③中，点O是线段的中点，请结合上述探究过程，用圆规和无刻度的直尺，在图③中作出【问题原型】中的点D，使线段长度的最小，此时线段长度的最小值是________．（保留作图痕迹） 3．（2025·广东广州·二模）如图，中，，，，点是线段上的一个动点，点在的延长线上且满足连接，以为直径作，交于点，交于点． (1)证明：； (2)连接，若和相切，求线段的长； (3)点在线段上运动的过程中，当线段长度最小时，求四边形的面积． 4．（24-25九年级上·重庆·期末）在中，，，点是边上一点，点是边上一点，连接、，且． (1)如图1，若，，求的长； (2)如图2，为延长线上一点，连接，且，求证：； (3)如图3，连接，将沿翻折至所在平面内得到，连接交于点，连接、，当最小时，请直接写出的值． 5．（2025·广东广州·二模）如图，在中，，，，点是的中点，动点从点出发，沿边以每秒个单位长度的速度向终点运动，连接，将线段绕点逆时针旋转得线段，连接．设点运动的时间为秒．    (1)求的长度； (2)当的长度最小时，求的值； (3)连接，当点在的内部（包括边界）时，求点在上的运动长度． 6．（2024·湖北·模拟预测）阅读以下材料并完成问题 材料一：数形结合是一种重要的数学思想如可看做是图一中的长，可看做是的长． 材料二：费马点问题是一个古老的数学问题．费马点即在中有一点使得的值最小．著名法学家费马给出的证明方法如下： 将绕点向外旋转得到，并连接易得是等边三角形、，则，则，所以的值最小为． 请结合以上两材料求出的最小值      7．（2025·陕西西安·模拟预测）（）提出问题： 如图，在中，，，则的外接圆的半径是___________． （）问题拓展： 如图，在等边中有一点，，，，求的度数？ （）问题应用： 某校研学旅行安排在秦岭终南山下的薰衣草庄园，庄园内一块矩形薰衣草地如图所示、睿智小组给薰衣草地绘制图形并标上字母，在矩形中有、两点，在内，在内，测量米、米、，，，在四边形中种植普罗旺斯薰衣草，每平方米的费用是元．种植普罗旺斯薰衣草费用的最小值是多少？ 8．（2025·陕西咸阳·二模）综合与实践： (1)如图1，在中，，，将绕点C顺时针旋转得到，使点B 的对应点 D 恰好落在边上．则 ； (2)如图2，在中，，点D为边的中点，， 如果在平面内有一点P，且点 P到点D的距离为1，则线段长度的最大值是 ； (3)如图3是某公园的设计示意图，已知，，．弧的半径为米，圆心角为，为方便游客游览的体验感，现计划在该区域内铺设三条赏花小路，，，且满足点P在图形内部，Q在弧上．为了节约成本，三条小路的长度和（即）越小费用越低，求铺设这三条小路的长度之和的最小值（小路宽度不计）． 1．（2025·广东深圳·模拟预测）【问题呈现】小华遇到这样一个问题，如图1，中，，，，在内部有一点，连接、、，求的最小值． 【问题解决】小华是这样思考的：要解决这个问题，首先应想办法将这三条端点重合于一点的线段分离，然后再将它们连接成一条折线，并让折线的两个端点为定点，这样依据“两点之间，线段最短”，就可以求出这三条线段和的最小值了．他先后尝试了翻折、旋转、平移的方法，发现通过旋转可以解决这个问题．他的做法是，如图2，将绕点顺时针旋转，得到，连接、，则的长即为所求． (1)请你写出图2中，的最小值为______； (2)【类比应用】如图3，直角坐标系中有菱形，点与原点重合，坐标为，，若在菱形内部有一动点，试求的最小值，并求出此时点的坐标是多少； (3)【生活实际】如图4，一个矩形菜地的三个顶点处建有三个菜窖，现打算在矩形菜地内部建一个蔬菜运输点，经研究发现，运输点到三个菜窖的总路程至少为千米，若，则此矩形菜地的面积至少为______平方千米． 2．（2021九年级·全国·专题练习）如图，在中，，在内部有一点P，连接、、．（加权费马点）求： （1）的最小值； （2）的最小值 （3）的最小值； （4）的最小值 （5）的最小值； （6）的最小值 （7）的最小值； （8）的最小值 3．（2025·四川广元·中考真题）综合与实践 （1）【初步感知】如图①，和中，，，，求的度数； （2）【深入探究】如图②，在矩形中，，点E是线段上一点，连接，过点A在上方作，使，连接，请证明，并直接写出点F到的距离的最大值； （3）【学以致用】如图③，梯形中，，，，，点E是线段的中点，点F是线段上一点，连接，过点E在上方作，使，当的面积最小时，求的长． 4．（2025·黑龙江齐齐哈尔·一模）综合与实践 在数学兴趣小组活动中，小亮进行数学探究活动． (1)是边长为3的等边三角形，E是边上的一点，且，小亮以为边作等边，如图（1）所示．则的长为 ．（直接写出结果，不说明理由） (2)是边长为3的等边三角形，E是边上的一个动点，小亮以为边作等边，如图（2）所示．在点E从点C到点A的运动过程中，求点F所经过的路径长． 思路梳理并填空：当点E不与点A重合时，如图，连接， ∵、都是等边三角形， ∴，，， ∴① ； ∴， ∴， ∴， 又， ∴， ∴②______∥______； 当点E在点A处时，点F与点C重合． 当点E在点C处时，． ∴③点F所经过的路径长为 ． (3)是边长为3的等边三角形，M是高上的一个动点，小亮以为边作等边，如图（3）所示．在点M从点C到点D的运动过程中，求点N所经过的路径长． (4)正方形的边长为3，E是边上的一个动点，在点E从点C到点B的运动过程中，小亮以B为顶点作正方形，其中点F，G都在直线上，如图（4）．当点E到达点B时，点F，G，H与点B重合．则点H所经过的路径长为 ．（直接写出结果，不说明理由） 5．（2024·吉林长春·中考真题）【问题呈现】 小明在数学兴趣小组活动时遇到一个几何问题：如图①，在等边中，，点、分别在边、上，且，试探究线段长度的最小值． 【问题分析】 小明通过构造平行四边形，将双动点问题转化为单动点问题，再通过定角发现这个动点的运动路径，进而解决上述几何问题． 【问题解决】 如图②，过点、分别作、的平行线，并交于点，作射线．在【问题呈现】的条件下，完成下列问题： （1）证明：； （2）的大小为 度，线段长度的最小值为________． 【方法应用】 某种简易房屋在整体运输前需用钢丝绳进行加固处理，如图③．小明收集了该房屋的相关数据，并画出了示意图，如图④，是等腰三角形，四边形是矩形，米，．是一条两端点位置和长度均可调节的钢丝绳，点在上，点在上．在调整钢丝绳端点位置时，其长度也随之改变，但需始终保持．钢丝绳长度的最小值为多少米． 6．（24-25九年级下·重庆北碚·自主招生）在中，，，为的中点，为上一点． (1)如图1，若，，求的长； (2)如图2，若为外部一点，为的中点，将绕点按顺时针方向旋转到（，均在直线的左侧），连接、．若，求证：； (3)将沿直线翻折至所在平面内得到，连接，将绕点按顺时针方向旋转得到线段，连接，当线段取得最小值时，请直接写出的值． 1/10 学科网（北京）股份有限公司 $