第8章 平面向量（复习课件）数学沪教版必修第二册

单元复习课件 第8章平面向量 沪教版2020必修第二册·高一 学习内容导览 单元知识图谱 2 单元复习目标 1 3 考点串讲 针对训练 5 题型剖析 4 6 课堂总结 1. 通过复习平面向量的知识点，形成知识网络，进一步体会知识点之间的内在联系. 2. 知道向量是沟通代数、几何与三角的桥梁，体会向量这一重要工具的应用价值，提升直观想象、逻辑推理素养. 单元学习目标 单元知识图谱 考点串讲 相同 相反 (λμ) λ＋μ λ＋λ 考点串讲 ·＝||||cos 考点串讲 平面向量基本定理 如果1,2是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任一向量,有且只有一对实数λ1,λ2,使=λ11+λ22. 基底 如果1,2不共线,那么我们把{1,2}叫做表示这一平面内所有向量的一个基底. 注意 （1）基底向量 <m></m> , <m></m> 必须是同一平面内的两个不共线的向量， 零向量不能作为基底向量； （2）基底给定，同一向量的分解形式唯一. 4.平面向量基本定理 考点串讲 5.向量的坐标表示 在直角坐标系中，把向量的起点放到坐标原点，向量就直接用它的终点 坐标(x,y)表示为=(x,y)，称为向量的坐标表示，这样，向量就可以写成 坐标轴正方向上单位向量的线性组合=xy. 给定平面上两点A(x1,y1)与B(x2,y2)，则AB=(x2-x1,y2-y1). 考点串讲 (x1＋x2，y1＋y2) (x1－x2，y1－y2) (λx1，λy1) x1x2＋y1y2 x1x2＋y1y2＝0 x1y2=x2y1 考点串讲 题型一、平面向量的概念 例1.下列说法正确的是( ) A.非零向量与是两平行向量 B.若，,则 C.若与都是单位向量，则 D.若两个单位向量平行，则这两个单位向量相等 A 【解】易知A正确；若，满足,但不一定平行，B错误; 单位向量 的方向均不确定，故C错误； 两个单位向量平行时，这两个单位向量的方向可能相反， 所以这两个单位向量不一定相等，故D错误.故选A . 题型剖析 针对训练 题型二、平面向量的线性运算 例2.在中，为的中点，为的中点，设，， 则 ( ) C A. B. C. D. 【解析】 解法一 因为为的中点，为 的中点，所以 .故选C. 解法二 因为是的中点，所以 ,又为的中点， 所以， 故选C. 题型剖析 题型二、平面向量的线性运算 题型剖析 针对训练 针对训练 3.在梯形中，，，与相交于点 ，则下列结 论不正确的是( ) C A. B. C. D. 【解析】对于选项A,，故选项A正确． 对于选项B，由题知，所以 ， 故，故选项B正确． 对于选项C, ，故选项C错误． 针对训练 题型三、平面向量共线定理 题型剖析 针对训练 2.已知<m></m>,<m></m>是平面内两个不共线的向量，，， ，若，， 三点共线，则实数 的值为( ) A A. B.0 C.1 D.2 【解析】 解法一 因为，，，所以 ， ，又，， 三点共线， 所以存在唯一的实数 ，使得，即， 所以解得 故选A. 解法二 根据题意，设,则 ,因为， 是 平面内两个不共线的向量，所以得 故选A. 针对训练 3.已知,不共线，,,要使, 能作为表示平面内 所有向量的一个基底，则实数 的取值范围是_________________. 【解析】 根据题意，要使{,}作为表示平面内所有向量的一个基底， 则与不共线，反之，当与共线时，必存在实数，使,， 即,可得解得所以， 即实数 的取值范围是 . 针对训练 题型四、平面向量的投影与数量积 例5.已知平面向量，的夹角为，且，， 则在上的投影向量为( ) D A. B. C. D. 【解析】因为，所以， 又向量，的夹角为，且 ，所以 ，所以在上的投影向量为 , .故选D. 题型剖析 题型四、平面向量的投影与数量积 例6.已知，向量在向量上的投影向量为，则 ( ) A.4 B.8 C. D. 【解析】因为向量在向量上的投影向量为，所以， 即，因为 ，所以 ，即，所以 ，故选C. 题型剖析 题型四、平面向量的投影与数量积 例7.在矩形中，若,,且,则 的值为( ) A. B.1 C. D.2 【解析】以为坐标原点，,所在直线分别为, 轴建立如图所示的平面直角坐标系， 设,,则,,,,由，可得,所以 , 又,，所以由,可得, 解得或 （舍去）， 则 .故选D. 题型剖析 1.已知向量，满足,， ,则 ( ) C A. B. C.1 D.2 【解析】由，可得， 又,，所以 ，故选C. 2.已知向量,,满足, ,且，则, ( ) A. B. C. D. D 针对训练 3.已知向量，满足，则向量在向量 上的投影向量为( ) B A. B. C. D. 【解析】, 所以向量在向量 上的投影向量为 ，故选B. 针对训练 4.若，，，则以， 为邻边的平行四边形 的面积是_____. 【解析】 第1步：求 由,得， 由题意知 ，所以 . 第2步：求平行四边形的面积 连接,则以,为邻边的平行四边形的面积 . 针对训练 5.已知是圆中长度为3的一条弦，其中为圆心，则 _ _. 【解析】 如图，取的中点为，连接，则 ， 由向量数量积的几何意义知 . 针对训练 6.如图，在中，已知， ， ，是的中点， ，设与相交于点，则 _____. 【解析】 因为是的中点，所以， . 因为，所以 ， 所以 ，所以 ， 所以, . 针对训练 7.如图，在直角梯形中， ，，，点,分别为,的 中点，在，， 边上运动（包含端点），则 的取值范围为( ) A. B. C. D. A 【解析】依题意，以为坐标原点建立平面直角坐标系，如图，则,, , ,,，当在边上运动时，记 ，则 ,，所以，则；当在 边上运 动时，记，则，所以， 则 ；当在边上运动时，记 ，则 ，所以 ， 则.综上, .故选A. 针对训练 题型五、平面向量的坐标表示 例8.已知平面向量，点，则点 的坐标为( ) A. B. C. D. B 【解析】设点坐标为，则， 所以得所以点 的坐标为 .故选B. 题型剖析 题型五、平面向量的坐标表示 例9.(1)已知向量=(1,2),=(2,-3),若向量满足(+)∥,⊥(+), 则等于(　　) 题型剖析 (2，4) 针对训练 2.已知向量，.若，，三点共线，则 ____. 【解析】 因为，，三点共线，所以与共线，所以存在唯一的实数 使 成立，因为，且, 所以解得 针对训练 3.已知平面向量=(3,4),=(9,12),=(4,-3),若=2-,=+c,求向量,的夹角的大小. 针对训练 题型六、平面向量的应用 例10.长江流域内某地南北两岸平行，已知游船在静水中的航行速度的 大小，水流的速度 的大小，如图，设和 所成的角为，若游船从 航行到正北方向上位于北岸的码 头处，则 ( ) B A. B. C. D. 【解析】由题意知 ，则 ，所以 ．故选B． 题型剖析 1. 如图,用两根绳子把重10 N的物体W吊在水平杆子AB上,∠ACW=150°,∠BCW=120°,求A和B处所受绳子的拉力的大小(忽略绳子质量). 针对训练 数学运算 逻辑推理 直观想象 数学抽象 向量是什么 向量怎么算 向量怎么用 课堂总结 感谢聆听! 1．向量的有关概念 名称 定义 表示 向量 在平面中，既有大小又有方向的量 用 ， ， ，…或eq \o(AB,\s\up16(→))，eq \o(BC,\s\up16(→))，…表示 向量的模 向量 的大小，也就是表示向量 的有向线段eq \o(AB,\s\up16(→))的长度(或称模) | |或|eq \o(AB,\s\up16(→))| 零向量 模为0的向量、方向任意 用 表示 单位向量 模等于1个单位的向量 用 表示，| |＝1 平行向量 方向相同或相反的非零向量(或称共线向量) ∥ 相等向量 方向相同、模相等的向量 ＝ 负向量 方向相反、模相等的向量 向量 的相反向量是－ 说明：零向量的方向是不确定的、任意的． 规定：零向量与任一向量平行． 2．向量的线性运算 向量运算 法则(或几何意义) 运算律 加法 INCLUDEPICTURE "474SX209.TIF" \* MERGEFORMAT 交换律： ＝eq \x(\s\up1(01))_______； 结合律：( )＋ ＝eq \x(\s\up1(02))_______ 减法 ＝eq \x(\s\up1(03))__________ 数乘 |λ |＝|λ|| |，当λ>0时，λ 的方向与 的方向eq \x(\s\up1(04))_______； 当λ<0时，λ 的方向与 的方向eq \x(\s\up1(05))_______； 当λ＝0时，λ ＝eq \x(\s\up1(06))_______ λ(μ )＝eq \x(\s\up1(07))________； (λ＋μ) ＝eq \x(\s\up1(08))________； λ( )＝eq \x(\s\up1(09))________ 3.向量的投影与数量积 (1)向量的夹角：向量 与 的夹角记为< , >,其值0≤< , >≤π． (2)向量的投影：向量 在非零向量 方向上的投影是 . 其中，系数 称为向量 在向量 方向上的数量投影. (3)向量 与 的数量积定义为 . (4)向量的数量积满足交换律，并且是线性的（即对向量的加减满足分配律，且可与实数的乘法交换）. 规定：零向量与任一向量的数量积为0. 6．向量的坐标运算 设 ＝(x1，y1)， ＝(x2，y2)，则 ＋ ＝________________， － ＝________________，λ ＝________________， | |＝________________， =________________． 7.向量共线的坐标表示 设 ＝(x1，y1)， ＝(x2，y2)，，其中 ≠ ，则 (1) ∥ ⇔________________． (2) ⊥ ⇔________________． (3)cos< , >=________________． 2,1)eq \r(x＋yeq \o\al(2,1)) ＝2,1)eq \f(x1x2＋y1y2,\r(x＋yeq \o\al(2,1))\r(xeq \o\al(2,2)＋yeq \o\al(2,2))) 1.下列命题中的真命题是(　　) A．若| |＝| |，则 ＝ B．若A，B，C，D是不共线的四点，则“eq \o(AB,\s\up16(→))＝eq \o(DC,\s\up16(→))”是“四边形ABCD为平行四边形”的充要条件 C．零向量是唯一没有方向的向量 D． ＝ 的充要条件是| |＝| |且 ∥ 例3.若|eq \o(AB,\s\up16(→))|＝|eq \o(AC,\s\up16(→))|＝|eq \o(AB,\s\up16(→))－eq \o(AC,\s\up16(→))|＝2，则|eq \o(AB,\s\up16(→))＋eq \o(AC,\s\up16(→))|＝________． 解析　因为|eq \o(AB,\s\up16(→))|＝|eq \o(AC,\s\up16(→))|＝|eq \o(AB,\s\up16(→))－eq \o(AC,\s\up16(→))|＝2，所以△ABC是边长为2的正三角形，所以|eq \o(AB,\s\up16(→))＋eq \o(AC,\s\up16(→))|为△ABC的边BC上的高的2倍，所以|eq \o(AB,\s\up16(→))＋eq \o(AC,\s\up16(→))|＝2eq \r(3). 2eq \r(3) 解析　eq \o(CD,\s\up16(→))＝eq \f(2,3) eq \o(CA,\s\up16(→))＋eq \f(1,3) eq \o(CB,\s\up16(→))，即eq \o(CB,\s\up16(→))＝－2eq \o(CA,\s\up16(→))＋3eq \o(CD,\s\up16(→))＝－2＋3故选B. 1.在△ABC中，点D在边AB上，BD＝2DA，记eq \o(CA,\s\up16(→))＝ ，eq \o(CD,\s\up16(→))＝ ，则eq \o(CB,\s\up16(→))＝(　　) A．3 －2 B．－2 ＋3 C．3 ＋2 D．2 ＋3 解析　由题意可得eq \o(AB,\s\up16(→))＝eq \o(AE,\s\up16(→))＋eq \o(EB,\s\up16(→))＝eq \o(AE,\s\up16(→))＋eq \f(1,2) eq \o(DA,\s\up16(→))＝eq \o(AE,\s\up16(→))＋eq \f(1,2)(eq \o(DF,\s\up16(→))＋eq \o(FA,\s\up16(→)))＝eq \o(AE,\s\up16(→))＋eq \f(1,2)(eq \o(DF,\s\up16(→))－eq \f(1,3) eq \o(AE,\s\up16(→)))＝eq \f(1,2) eq \o(DF,\s\up16(→))＋eq \f(5,6) eq \o(AE,\s\up16(→))，所以m＝eq \f(1,2)，n＝eq \f(5,6)，所以m＋n＝eq \f(4,3).故选D. 2.在平行四边形ABCD中，eq \o(BE,\s\up16(→))＝eq \f(1,2) eq \o(BC,\s\up16(→))，eq \o(AF,\s\up16(→))＝eq \f(1,3) eq \o(AE,\s\up16(→)).若eq \o(AB,\s\up16(→))＝meq \o(DF,\s\up16(→))＋neq \o(AE,\s\up16(→))，则m＋n＝(　　) A．eq \f(1,2) B．eq \f(3,4) C．eq \f(5,6) D．eq \f(4,3) 例4.设两个非零向量与不共线．若eq \o(AB,\s\up16(→))＝＋，eq \o(BC,\s\up16(→))＝2＋8，eq \o(CD,\s\up16(→))＝3(－)，求证：A，B，D三点共线． 证明　∵eq \o(AB,\s\up16(→))＝＋，eq \o(BC,\s\up16(→))＝2＋8，eq \o(CD,\s\up16(→))＝3(－)，∴eq \o(BD,\s\up16(→))＝eq \o(BC,\s\up16(→))＋eq \o(CD,\s\up16(→))＝2＋8＋3(－)＝2＋8＋3－3＝5(＋)＝5eq \o(AB,\s\up16(→))，∴eq \o(AB,\s\up16(→))，eq \o(BD,\s\up16(→))共线，又它们有公共点B，∴A，B，D三点共线． 1. 若，是两个不共线的向量，已知eq \o(MN,\s\up16(→))＝－2，eq \o(PN,\s\up16(→))＝2＋k，eq \o(PQ,\s\up16(→))＝3－，若M，N，Q三点共线，则k＝(　　) A．－1 B．1 C．eq \f(3,2) D．2 解析　由题意知，eq \o(NQ,\s\up16(→))＝eq \o(PQ,\s\up16(→))－eq \o(PN,\s\up16(→))＝－(k＋1)，因为M，N，Q三点共线，所以存在实数λ，使得eq \o(MN,\s\up16(→))＝λeq \o(NQ,\s\up16(→))，即－2＝λ[－(k＋1)]，解得λ＝1，k＝1. (A)(,) (B)(-,) (C)(,) (D)(-,-) 解析:(1)设=(x,y),则+=(x+1,y+2),+=(3,-1), 由题意知解得即=(-,-).故选D. (2) 已知向量=(1,2),=(-2,-4),||=,若(-)·=,则与的夹角为(　　) (A) (B) (C) (D) 解析:(2)由·=-10,得(-)·=·-·=·+10=,所以·=-,设与的夹角为θ, 则cos θ===-.因为θ∈[0,π],所以θ=.故选C. 在梯形ABCD中，AB∥CD，且DC＝2AB，若点A(1，2)，B(2，1)，C(4，2)， 则点D的坐标为________． 解析　∵在梯形ABCD中，DC＝2AB，AB∥CD，∴eq \o(DC,\s\up16(→))＝2eq \o(AB,\s\up16(→))，设点D的坐标为(x，y)，则eq \o(DC,\s\up16(→))＝(4－x，2－y)，又eq \o(AB,\s\up16(→))＝(1，－1)，∴(4－x，2－y)＝2(1，－1)，即eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(4－x＝2，,2－y＝－2，))∴eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝2，,y＝4，)) ∴点D的坐标为(2，4)． 解:因为=(9,12),=(4,-3).所以=2-=(6,8)-(9,12)=(-3,-4), =+=(3,4)+(4,-3)=(7,1). 设,的夹角为θ, 则cos θ====-. 因为θ∈[0,π], 所以θ=,即,的夹角为. 解:设A,B处所受绳子的拉力分别为F1,F2,物体10 N的重力用F表示,则F1+F2=F.以点C为F1,F2的始点,作平行四边形CFWE,则CW为对角线, =F1,=F2,=F, ∠FCW=180°-150°=30°, ∠ECW=180°-120°=60°, 所以∠FCE=90°.所以四边形CFWE为矩形. 所以|F1|=||=||cos 30°=10×=5(N). |F2|=||=||cos 60°=10×=5(N). 所以A处受绳子的拉力大小为5 N,B处受绳子的拉力大小为5 N. $