13.1.1 第1课时 探索直角三角形三边关系（Word导学案）-【优翼·学练优】2025-2026学年八年级数学上册同步备课（华东师大版2024）

第13章 勾股定理 13.1 勾股定理及其逆定理 1.直角三角形三边的关系 第1课时 探索直角三角形三边的关系 学习目标： 1.掌握勾股定理，会用勾股定理进行简单的计算（重点）； 2.会用勾股定理解决简单的问题（难点）. 自主学习 一、知识链接 1. 如果一个正方形的边长是a，那么它的面积是 . 2.如果一个直角三角形的两直角边分别为a，b，那么它的面积是 . 二、新知预习 1.如图是用正方形瓷砖铺成的地面. （1）正方形P的面积为 （用AC表示）； （2）正方形Q的面积为 （用BC表示）； （3）正方形R的面积为 （用AB表示）； （4）正方形P、Q、R的面积关系，写出AC、BC、AB之间的关系为 . 思考：在上述图中随便找一个直角三角形，画出上图，它的三边都存在（4）中的关系吗？ 合作探究 一、探究过程 探究点1：勾股定理的初步认识 操作 作图：（1）画∠A=90°；（2）在两边上以A为一个端点，分别截取长为3 cm、 4 cm的线段a、b，连接两线段的另一端点，使其组成三角形，连线的长度为c. 问题1 量一量c的长度，分别计算a2、b2、c2的值，你发现了什么？ 问题2 改变a、b的长度，分别计算a2、b2、c2的值，你发现了什么？ 【要点归纳】对任意的直角三角形，如果它的两条直角边分别为a，b，斜边为c，那么一定有 ，这种关系我们称为 ，即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的 . 例1如图，已知在Rt△ABC中，∠C=， （1）若 ； （2）若 ； （3）若 ； （4）若， ， ． 【方法总结】由勾股定理的基本关系式a2+b2=c2，还可以得到一些变形式．如： 等. 【针对训练】若直角三角形的两直角边边长分别为8、15，则第三边长为 ． 【变式题】已知直角边→未知直角边 若直角三角形的两边长分别为8、15，则第三边长的平方为 ． 探究点2：利用勾股定理求面积 例2 求下列图中正方形的边长x、y的值： 【针对训练】 如图，以Rt△ABC的三边为斜边分别向外作三个等腰直角三角形，试探索这三个等腰直角三角形的面积之间的关系． 【方法总结】由等腰直角三角形的性质可得：S△ABE＝AB2，S△BCF＝BC2，S△ACH＝AC2，由AC2+BC2＝AB2，即可得出结论．同样的以三边长为直径的三个半圆的面积，也存在一定关系． 二、课堂小结 内 容 勾股定理 如果直角三角形的两直角边长分别为a,b,斜边长为c,那么a2+b2=c2.公式变形： 注 意 1.运用勾股定理的前提：必须是直角三角形； 2.看清哪个角是直角； 3.已知两边没有指明是直角边还是斜边时一定要分类讨论. 当堂检测 1.下列说法中,正确的是 （ ） A.已知a,b,c是三角形的三边，则a2+b2=c2 B.在直角三角形中，两边和的平方等于第三边的平方 C.在Rt△ABC中，∠C=90°,所以a2+b2=c2 D.在Rt△ABC中，∠B=90°,所以a2+b2=c2 2. 如图，图中阴影部分是一个正方形，则此正方形的面积为_________cm2. 第2题图 第3题图 3.如图，直线同侧有三个正方形、、，若、的面积分别为5和12，则的面积为 . 4.如图，△ABC中，AB=AC=13，BC=10． （1）求高AD的长； （2）求△ABC的面积． 拓展提升 5.在△ABC中，AB＝15，AC＝20，BC边上的高AD＝12，求BC的长.（注意三角形的高可以在三角形内部和外部，应分类讨论） 参考答案 自主学习 一、知识链接 1.a² 2.ab 2、 新知预习 1.（1）AC² （2）BC² （3）AB² （4）AB²=AC²+BC² 合作探究 一、探究过程 探究点1 操作 【要点归纳】 a²+b²=c² 勾股定理 平方 例1 （1）13 （2）6 （3）7 （4）1.5 2.5 【针对训练】17 【变式题】289或161 探究点2 例2 由图知x2=144+81，所以x=15；由图知y2=169-144，所以y=5． 【针对训练】 解：∵S△ABE，S△BCF和S△ACH分别表示以Rt△ABC的斜边AB及直角边BC和AC为斜边向外作的等腰直角三角形的面积，∴S△ABE=AB2，S△BCF=BC2，S△ACH= AC2.∵AC2+BC2=AB2，∴S△ABE=S△BCF+S△ACH． 当堂检测 1.C 2.36 3.17 4.解：（1）∵AB=AC，AD⊥BC，∴BD=CD，∵BC=10，∴BD=5．在Rt△ABD中，根据勾股定理可得AD＝12． （2）△ABC的面积=BC•AD＝×10×12＝60． 5. 解：（1）如图1，△ABC中，AB=15，AC=20，BC边上高AD=12，在Rt△ABD中，AB=15，AD=12，由勾股定理得BD=9.在Rt△ADC中，AC=20，AD=12，由勾股定理得DC=16，∴BC= BD+DC=9+16=25．如图2，同理可得BD=9，DC=16，∴BC=CD - BD=7．综上所述，BC的长为25或7． 学科网（北京）股份有限公司 $