6.2三角形的中位线（题型专练）数学新教材北师大版八年级下册

6.2三角形的中位线 题型一   利用三角形中位线进行简单求解 1．（15-16九年级上·福建泉州·期末）如图，在中，D，E分别是边的中点．若，则（   ）． A．2 B．3 C．4 D．5 2．（25-26八年级上·山东淄博·月考）如图，的边，，上的中点分别是D，E，F，且，，则四边形的周长为（    ） A．9 B．10 C．11 D．12 3．（23-24八年级下·湖南邵阳·期中）如图，在平行四边形中，对角线相交于点，点是的中点，若，则的长为（   ） A．4 B．3 C．5 D．6 4．（25-26八年级上·湖南张家界·期末）如图，点D，E，F分别为三边的中点，若的周长为5，则的周长为（    ） A．12 B．10 C．5 D．2．5 5．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在四边形中，是上一动点，是上一定点，连接，，，分别是，的中点．当点从点向点移动时，关于线段的长度，下列结论一定正确的是（   ） A．逐渐减小 B．逐渐增大 C．不改变 D．不能确定 6．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在中，平分，且，分别为，的中点．若，则的长为 ． 7．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，为的边的中点，，，于点，连接．若为的平分线，则的长为 ． 8．（25-26八年级上·江苏盐城·月考）如图，在中，点分别是边的中点，，求的度数． 题型二   利用三角形中位线进行简单证明 1．（25-26九年级上·四川攀枝花·月考）如图，四边形各边中点分别是E、F、G、H，求证：四边形是平行四边形． 2．（24-25八年级下·陕西渭南·期末）如图所示，和分别是中和边上的中线，过点F作，过点E作，与相交于点M，连接，，求证：． 3．（25-26八年级上·江苏常州·期中）如图，在中，已知，平分，E为的中点． (1)求的长； (2)求证：． 4．（23-24八年级下·贵州黔东南·期中）如图，已知是的中位线，是延长线上一点，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，求的长． 题型三   判断结论是否正确 1．（25-26九年级上·全国·期末）如图，中，，是边上的中线．按下列步骤作图：①分别以点B，C为圆心，大于线段长度一半的长为半径作弧，相交于点M，N；②过点M，N作直线，分别交于点D，O；③连接．下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 2．（2025·江苏宿迁·中考真题）如图，在中，，点、、分别是边、、的中点，则下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 3．（2025·河北沧州·模拟预测）如图，在中，D，E分别是边，的中点．将沿折叠，使点A落在平面上的处．下列不一定正确的是（   ） A． B． C． D．是等腰三角形 4．（24-25八年级下·陕西咸阳·期末）如图，在四边形中，对角线，且平分，连接交于点，且为的中点，在上取一点，连接，使于点，取的中点，连接，延长相交于点．下列四个结论：①；②；③是的中位线；④．其中所有正确的结论为（   ） A．①③④ B．③④ C．②④ D．②③④ 5．（2025·辽宁盘锦·一模）如图，，在、上分别截取线段、，使；分别以点、为圆心，大于的长为半径画弧，在内，两弧交于点，作射线，在上取点，过点作交于点，作交于点，交于点，则下列结论中错误是（    ）    A． B． C．是等边三角形 D．是的中位线 6．（24-25八年级下·江西赣州·期中）如图，平行四边形的对角线相交于点平分，分别交，于点，连接，下列结论：①；②；③；④．其中正确的有（　　）个．    A．1 B．2 C．3 D．4 题型一   三角形中位线求解与证明综合问题 1．（2025·甘肃嘉峪关·模拟预测）如图，是边长为1的等边三角形，取边中点E，作，得到四边形，它的周长记作；取中点，作，得到四边形，它的周长记作．照此规律作下去，则 ． 2．（25-26九年级上·江苏泰州·月考）如图，已知，在中，是边上的中线，，，，，点是边上一动点，连接，若，则 ． 3．（25-26八年级上·江苏·期末）如图，在中，，，是上一点，是上一点，连接，，，分别是，的中点． (1)试探究线段与的数量关系，并说明理由； (2)若，求的长． 4．（25-26八年级上·湖北宜昌·期末）已知等边，是边上的高． (1)如图1，点E在上，以为边向下作等边，连接．求证：； (2)如图2，M是的中点，连接，求证：． 5．（25-26九年级上·山东淄博·月考）知识回顾：（1）本学期我们研究了三角形的中位线的性质．如图（1）中，是的中位线，连接．则与的数量关系为： （用符号语言表达）． 方法迁移：（2）连接梯形两腰的中点，得到的线段叫做梯形的中位线．如图（2）已知梯形中，，点M，N分别为，的中点，就是梯形的中位线．请猜想线段，，之间的关系，并说明理由． 理解内化：（3）已知梯形的中位线长为，高为，则梯形面积是 ： 6．（24-25八年级下·陕西渭南·期末）如图，的对角线，相交于点O，平分，分别交，于点E，P． (1)证明：是等腰三角形； (2)连接，若，．求的面积． 7．（25-26九年级上·北京石景山·期末）如图，在中，，，点在边上（不与点重合），作点关于直线的对称点，连接，交边于点，连接，取线段的中点，在边上取点，使得，连接． (1)求证：； (2)直接写出的大小，并证明． 题型二   利用三角形中位线求最值 1．（25-26九年级上·山东淄博·月考）如图，在中，，，，点D为上的动点，点E，F分别为，的中点，则最小值为（　　） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·山东威海·月考）如图，中，，，于点，，是半径为3的上一动点，连结，若E是的中点，连结，则长的最大值为（    ） A．8 B．8.5 C．9 D．9.5 3．（23-24九年级上·山东威海·期末）如图，在平行四边形中，，，点H、G分别是边、上的动点，其中点H不与点C重合，连接、，点E为的中点，点F为的中点，连接，则的最小值为 ． 4．（25-26九年级上·四川内江·期末）如图，在中，，，点D，点E分别是，边上的动点，连接，点F，点M分别是，的中点，则的最小值为 ． 5．（25-26八年级下·全国·周测）如图，在中，，，，N是BC边上一点，M为AB边上的动点，D，E分别为CN，MN的中点．求DE的最小值． 6．（25-26八年级下·全国·课后作业）如下图，在中，，，，，分别是边，上的动点，，分别是，的中点．求的最小值．    题型三   三角形中位线的实际应用 1．（25-26八年级上·山东济南·期中）如图，、两点分别位于一个池塘的两端，李明想用绳子测量、间的距离，但绳子不够长，一位同学帮他想了一个主意：先在地上取一个可以直接到达，的点，找到，的中点，并且测出的长为16米，则、间的距离为（   ） A．8米 B．20米 C．25米 D．32米 2．（24-25九年级上·湖南衡阳·期末）如图，要测量池塘两岸相对的A，B两点间的距离，可以在池塘外选一点C，连接，，分别取，的中点D，E，测得米，则的长是 米． 3．（21-22八年级下·全国·课后作业）要测量B，C两地的距离，小明想出一个方法：在池塘外取点A，得到线段，，并取，的中点D，E，连结．只要测出的长，就可以求得B，C两地的距离．你认为这个方法正确吗？请说明理由． 4．（24-25八年级下·湖北十堰·期末）【综合与实践】 任务 如图1，测出水池A，B两点间的距离（水池有障碍物不能直接测量）． 测量工具 皮尺 皮尺的功能：直接测量任意可到达的两点间的距离（这两点间的距离不大于皮尺的测量长度，长度单位：m）； 小明的测量及求解过程 测量过程 （1）如图2，在水池外选点C，用皮尺测得，； （2）分别在AC，BC上用皮尺测得，，测得． 求解过程 由测量可知： ∵，，，， ∴点M是AC的中点，点N是BC的中点， ∴MN是的_______． ∵， ∴_______m． (1)把小明的求解过程补充完整； (2)小明测出水池A，B两点间的距离的依据是_______． 5．（23-24八年级下·山西朔州·期末）阅读与思考 问题情境： 如图1，某小区内有一池塘，同学们想利用所学知识测量池塘两端A，B两点间的距离． 可用工具：测量长度的卷尺、测量角度的测角仪． 方法分析： “圆周率”小组的操作过程如下：如图2，取能直接到达A和B的点C，量出的长和的度数；作；在射线上找一点D，使；测出的长度，就可得到A，B两点间的距离． “智慧”小组的操作过程如下：如图3，取能直接到达A和B的点C，连接，；分别取，的中点D，E，测出的长度，乘以2就可得到A，B两点间的距离． 说明：以上各点都在同一水平面内． （1）上面操作中，“圆周率”小组通过测量的长度得到A，B两点间的距离，依据是 ．“智慧”小组通过测量的长度乘以2，就可得到A，B两点间的距离，依据是 ． 迁移应用： （2）请你设计一种与上面方法不同的测量方案，要求： ①在图1中画出可操作的方案图； ②简要说明你的操作步骤； ③测量方案中，得到A，B两点间的距离的主要依据是 ． 题型一   三角形中位线在几何图形中的运用 1．（25-26八年级上·浙江·期中）如图1，与均是以为直角的等腰直角三角形，在内部． (1)连接： ①求证：． ②如图2，当平分时，求的长． (2)如图3，连接，连接与交于，当时，判断与的数量关系并给出证明． 2．（25-26八年级上·四川成都·月考）阅读： 材料一：含角的直角三角形，角所对的直角边等于斜边的一半； 材料二：连接三角形两条边的中点，形成的线段是三角形的中位线，三角形的中位线具有以下性质：三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半． 完成以下问题：在中，，点是边上的一点． (1)已知． ①如图1，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接．若，求的值； ②如图2，以为边在其右侧作，交边于点，若，，求之长； (2)如图3，点是边的中点，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，点是边上一点，连接，满足，已知，，求之长． 3．（22-23八年级下·山东烟台·期中）问题背景：如图，在正方形中，边长为4．点M，N是边，上两点，且，连接，，与相交于点O． (1)解决问题：请判断与的关系，并说明理由； (2)探索发现：若点E，F分别是与的中点，请求出的长； (3)拓展提高：延长至P，连接，若，请直接写出线段的长． 1 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $ 6.2三角形的中位线 题型一   利用三角形中位线进行简单求解 1．（15-16九年级上·福建泉州·期末）如图，在中，D，E分别是边的中点．若，则（   ）． A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】本题主要考查了三角形中位线的判断与性质，说明是的中位线是解题的关键． 先证明是的中位线，再根据三角形中位线的性质即可解答． 【详解】解：∵在中，D，E分别是边的中点． ∴是的中位线， ∴． 故选C． 2．（25-26八年级上·山东淄博·月考）如图，的边，，上的中点分别是D，E，F，且，，则四边形的周长为（    ） A．9 B．10 C．11 D．12 【答案】C 【分析】本题考查三角形中位线的定义和性质；由三角形中位线的性质可得，，相加即可求解. 【详解】解：∵的边，，上的中点分别是D，E，F，且，， ∴、为的中位线， ∴， ∴四边形的周长为. 故选：C． 3．（23-24八年级下·湖南邵阳·期中）如图，在平行四边形中，对角线相交于点，点是的中点，若，则的长为（   ） A．4 B．3 C．5 D．6 【答案】A 【分析】本题主要考查平行四边形，三角形中位线的知识，根据四边形是平行四边形，得到；再根据点E是的中点，得出是的中位线，即可解决问题． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， 又∵点E是的中点， ∴是的中位线， ∴根据三角形的中位线定理可得：， 则． 故选：A． 4．（25-26八年级上·湖南张家界·期末）如图，点D，E，F分别为三边的中点，若的周长为5，则的周长为（    ） A．12 B．10 C．5 D．2．5 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的中位线的性质的应用，能根据三角形的中位线性质得出、、是解此题的关键．根据三角形的中位线性质得出，，，即可求出答案． 【详解】解：点、、分别为三边、、的中点， ，，， 的周长为5， ， ， 即的周长为. 故选：B． 5．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在四边形中，是上一动点，是上一定点，连接，，，分别是，的中点．当点从点向点移动时，关于线段的长度，下列结论一定正确的是（   ） A．逐渐减小 B．逐渐增大 C．不改变 D．不能确定 【答案】C 【分析】本题考查了三角形中位线的性质，熟练掌握三角形中位线的性质是解题的关键． 根据三角形中位线的性质即可求解． 【详解】解：连接，如图所示， ∵，分别是，的中点， ∴， ∵点是上一定点，是定点，的长度不变， ∴的长度不改变， 故选：C． 6．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在中，平分，且，分别为，的中点．若，则的长为 ． 【答案】2 【分析】根据已知可求得为三角形的中位线，从而可求得的长，再根据平行线的性质及等角对等边可得到，即求得了的长． 本题主要考查了平行线的性质，等腰三角形的判定及中位线的性质的综合运用，熟练掌握是解决本题的关键． 【详解】解：∵，分别为，的中点， ∴ ，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴． 故答案为：2． 7．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，为的边的中点，，，于点，连接．若为的平分线，则的长为 ． 【答案】3 【分析】本题考查的是三角形中位线定理和等腰三角形的性质的应用，掌握三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半和等腰三角形三线合一是解题的关键． 延长交于点，根据等腰三角形三线合一得到，，根据三角形中位线定理得到，代入计算即可． 【详解】解：如图，延长交于点． 为的平分线，， ，， 为的中点． 为的中点， ． 8．（25-26八年级上·江苏盐城·月考）如图，在中，点分别是边的中点，，求的度数． 【答案】 【分析】本题主要考查了三角形中位线定理，根据三角形中位线定理得到，则由平行线的性质可得到． 【详解】解：∵在中，点分别是边的中点， ∴都是的中位线， ∴， ∴， ∴． 题型二   利用三角形中位线进行简单证明 1．（25-26九年级上·四川攀枝花·月考）如图，四边形各边中点分别是E、F、G、H，求证：四边形是平行四边形． 【答案】证明见解析 【分析】本题考查中点四边形，三角形的中位线定理，根据三角形的中位线定理以及一组对边平行且相等的四边形为平行四边形，进行求证即可． 【详解】证明：连接， ∵四边形各边中点分别是E、F、G、H， 是的中位线，是的中位线， ， ， ∴四边形是平行四边形． 2．（24-25八年级下·陕西渭南·期末）如图所示，和分别是中和边上的中线，过点F作，过点E作，与相交于点M，连接，，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质与判定，三角形中位线定理，先证明四边形是平行四边形，得到，则可证明四边形是平行四边形，得到，再由三角形中位线定理可得，据此可证明． 【详解】证明：，， 四边形是平行四边形， ， 是中边上的中线， ， ， 四边形是平行四边形， ， 是中边上的中线， 为的中位线， ， ． 3．（25-26八年级上·江苏常州·期中）如图，在中，已知，平分，E为的中点． (1)求的长； (2)求证：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质，中位线的性质，掌握中位线的性质是解决本题的关键． （1）根据等腰三角形的判定和性质可得，点D是的中点，再根据点E为的中点可得，是的中位线，进而即可求解； （2）根据中位线的性质即可证明． 【详解】（1）解：∵， ∴是等腰三角形， ∵平分， ∴是边上的中线， ∴点D是的中点， 又∵点E为的中点， ∴是的中位线， ∴； （2）证明：由（1）可得，是的中位线， ∴． 4．（23-24八年级下·贵州黔东南·期中）如图，已知是的中位线，是延长线上一点，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查三角形中位线的性质，平行四边形的判定及性质，含角的直角三角形的性质，勾股定理，综合运用相关知识是解题的关键． （1）由三角形中位线的性质得到，又，故四边形两组对边分别平行，因此为平行四边形； （2）先求得，得到，再在中，根据勾股定理求得，进而由平行四边形的对边相等得到，再由三角形中位线的性质即可求解． 【详解】（1）证明：∵是的中位线， ∴，即， ∵， ∴四边形是平行四边形． （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵在中，， 即， ∴， 由（1）可知，四边形是平行四边形， ∴， ∵是的中位线， ∴． 题型三   判断结论是否正确 1．（25-26九年级上·全国·期末）如图，中，，是边上的中线．按下列步骤作图：①分别以点B，C为圆心，大于线段长度一半的长为半径作弧，相交于点M，N；②过点M，N作直线，分别交于点D，O；③连接．下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，尺规作线段垂直平分线，三角形中位线定理，三角形中线平分三角形面积等知识，掌握这些知识是关键；由作图知是线段的垂直平分线，则，从而可判断选项A正确；由三角形中位线定理可判断选项B正确；由三角形中线的性质可得，从而判断选项D正确；当时得，否则不成立，从而可判断选项C错误． 【详解】解：由作图知，是线段的垂直平分线，则，， 故选项A正确； ∵是边上的中线， ∴点E是的中点， ∵点D是的中点， ∴是的中位线， ∴， 故选项B正确； ∵是边上的中线，点D是的中点， ∴，， ∴， 故选项D正确； 当时，，否则不成立， 故选项C错误． 故选：C． 2．（2025·江苏宿迁·中考真题）如图，在中，，点、、分别是边、、的中点，则下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的中位线定理，平行四边形的判定与性质，等腰三角形的性质，熟练掌握三角形的中位线定理是解题的关键． 由题意可得为的中位线，根据三角形的中位线定理可得，则，四边形是平行四边形，即可判断A、B、D；再由，是边的中点，即可判断C． 【详解】解：点、、分别是边、、的中点 ∴为的中位线， ∴， ∴，四边形是平行四边形， ∴， 故A、B、D正确，不符合题意； ∵，是边的中点， ∴， 故C错误，符合题意， 故选：C． 3．（2025·河北沧州·模拟预测）如图，在中，D，E分别是边，的中点．将沿折叠，使点A落在平面上的处．下列不一定正确的是（   ） A． B． C． D．是等腰三角形 【答案】A 【分析】根据等腰三角形的性质可得当时，，再根据轴对称的性质可得垂直平分，即可判断选项B；由三角形中位线定理判断选项C；再由折叠的性质和平行线的性质得，最后根据等腰三角形的判定即可判断． 【详解】解：选项A：如图，当时，∵D是边的中点， ∴，故符合题意， 选项B：由题意得，点A、关于对称， ∴垂直平分， ∴，故不符合题意； 选项C：∵D，E分别是边，的中点， ∴是的中位线， ∴，故不符合题意； 选项D：∵D，E分别是边，的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴，， 由折叠的性质得，， ∴， ∴， ∴是等腰三角形，故不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题考查等腰三角形的判定与性质、折叠的性质、轴对称的性质、三角形中位线定理、平行线的性质，熟练掌握相关定理是解题的关键． 4．（24-25八年级下·陕西咸阳·期末）如图，在四边形中，对角线，且平分，连接交于点，且为的中点，在上取一点，连接，使于点，取的中点，连接，延长相交于点．下列四个结论：①；②；③是的中位线；④．其中所有正确的结论为（   ） A．①③④ B．③④ C．②④ D．②③④ 【答案】D 【分析】根据含角直角三角形的性质即可判定①；根据题意证明出，得到，然后利用三角形中位线的性质即可判定②；延长，交于点H，然后证明出，得到，然后得到是的中位线，即可判断③；得到，然后结合等边对等角得到，即可判断④． 【详解】∵，但不一定等于， ∴，故①错误； ∵， ∴， ∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵中点为F， ∴，故②正确； ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵点F为的中点， ∴是的中位线，故③正确； ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，故④正确； 综上所述，所有正确的结论为②③④． 故选：D． 【点睛】本题综合考查了中位线定理、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质和判定、角平分线的定义、平行线的性质等知识点．掌握相关结论是解题关键． 5．（2025·辽宁盘锦·一模）如图，，在、上分别截取线段、，使；分别以点、为圆心，大于的长为半径画弧，在内，两弧交于点，作射线，在上取点，过点作交于点，作交于点，交于点，则下列结论中错误是（    ）    A． B． C．是等边三角形 D．是的中位线 【答案】B 【分析】本题考查了尺规作图——作角平分线，等边三角形的判定与性质，平行线的性质，中位线定义，掌握知识点的应用是解题的关键．根据尺规作图——作角平分线即可判断A；证明是等边三角形，利用勾股定理求出，即可判断B；由等边三角形的判定即可判断C；根据等边三角形的判定与性质，中位线的定义即可判断D． 【详解】解：由作图可知，平分， ∵， ∴，故A正确； ∵， ∴，， ∵， ∴，，， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴，故B错误； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形，故C正确； ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴是的中位线，故D正确， 故选：B． 6．（24-25八年级下·江西赣州·期中）如图，平行四边形的对角线相交于点平分，分别交，于点，连接，下列结论：①；②；③；④．其中正确的有（　　）个．    A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据平行四边形的性质即可得，又平分则可得，即三角形为等边三角形，则可判断①；根据勾股定理求得，则，即可判断②，根据，可判定③；根据，，则为三角形的中位线，利用中位线的性质即可判断④． 【详解】解：四边形是平行四边形， ，，， ， 又平分， ， 为等边三角形， ， 又， ∴， ， ∴， ∵， ∴， ， ，故①正确， ∵，，， ∴ ， ∴， ，故②正确， ∵， ，故③错误， ，， 为三角形的中位线， ，， ， 又， ，故④正确． 故正确的有①②④共3个． 故选：C． 【点睛】本题考查平行四边形的性质，三角形的中位线性质，勾股定理，等边三角形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的性质是银题的关键． 题型一   三角形中位线求解与证明综合问题 1．（2025·甘肃嘉峪关·模拟预测）如图，是边长为1的等边三角形，取边中点E，作，得到四边形，它的周长记作；取中点，作，得到四边形，它的周长记作．照此规律作下去，则 ． 【答案】 【分析】本题考查三角形的中位线，平行线的性质，找规律，找出计算周长的规律是解题的关键；根据三角形的中位线求解，找规律可得，据此规律可求解. 【详解】解：∵是边长为1的等边三角形， ∴， ∵E是边中点，， ∴是的中位线， ∴， ∵， ∴四边形是菱形， ∴， 同理：以此方法得到的四边形都为菱形，且边长为前一个菱形边长的， 即，，……，， ∴. 故答案为：. 2．（25-26九年级上·江苏泰州·月考）如图，已知，在中，是边上的中线，，，，，点是边上一动点，连接，若，则 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查了三角形中位线定理，等边三角形的性质与判定，当点Q为的中点时，此时是的中位线，此时满足，，当时，则是等边三角形，据此分别求出的长即可得到答案． 【详解】解：如图所示，当点Q为的中点时， ∵是边上的中线， ∴此时是的中位线， ∴此时满足，， ∴，， 如图所示，当时，则是等边三角形， ∴， ∴； 综上所述，的长为或， 故答案为：或． 3．（25-26八年级上·江苏·期末）如图，在中，，，是上一点，是上一点，连接，，，分别是，的中点． (1)试探究线段与的数量关系，并说明理由； (2)若，求的长． 【答案】(1)，理由见解析 (2) 【分析】本题考查三角形中位线的性质，等腰三角形的性质，勾股定理； （1）取中点F，连接并延长交于点H，连接，过点N作，交延长线于点，由三角形中位线性质可得是等腰直角三角形，再利用勾股定理可得与的数量关系； （2）将代入与的关系式计算即可． 【详解】（1）解：，理由如下： 取中点F，连接并延长交于点H，连接，过点N作，交延长线于点， ∵，分别是，的中点，F是中点， ∴，， ∵,， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， 设， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 即． （2）解：∵，， ∴． 4．（25-26八年级上·湖北宜昌·期末）已知等边，是边上的高． (1)如图1，点E在上，以为边向下作等边，连接．求证：； (2)如图2，M是的中点，连接，求证：． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，中位线，掌握知识点是解题的关键． （1）推导出，得到，继而证明，则，即可解答． （2）先推导出D是中点，继而证明，则，即可解答． 【详解】（1）证明：∵和都是等边三角形， ∴； 则，即； 在和中， ； ∴， ∴． （2）证明：∵是等边三角形，是高， ∴D是中点； ∵M是的中点， ∴， ∵， ∴． 5．（25-26九年级上·山东淄博·月考）知识回顾：（1）本学期我们研究了三角形的中位线的性质．如图（1）中，是的中位线，连接．则与的数量关系为： （用符号语言表达）． 方法迁移：（2）连接梯形两腰的中点，得到的线段叫做梯形的中位线．如图（2）已知梯形中，，点M，N分别为，的中点，就是梯形的中位线．请猜想线段，，之间的关系，并说明理由． 理解内化：（3）已知梯形的中位线长为，高为，则梯形面积是 ： 【答案】（1）；（2），理由见解析；（3） 【分析】本题考查了与三角形中位线有关的求解问题，与三角形中位线有关的证明，梯形中位线定理等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用来求解． （1）先说明是的中位线，再根据三角形的中位线定理得出结论即可； 【详解】（2）先证明，从而可得，，于是有，再根据三角形的中位线定理得出，从而可得； （3）根据梯形的面积公式，结合（2）中的结论求解． （1）解：∵点E是边的中点，点F是边的中点， ∴是的中位线， ∴， 故答案为：． （2）， 理由：如图（2），连接并延长交的延长线于点E， ∵， ∴， ∵点M为的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∵M为的中点，N为的中点， ∴为的中位线， ∴， ∴． （3）∵梯形的中位线长为，高为， ∴（）， 故答案为：． 6．（24-25八年级下·陕西渭南·期末）如图，的对角线，相交于点O，平分，分别交，于点E，P． (1)证明：是等腰三角形； (2)连接，若，．求的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质、勾股定理、等腰三角形的判定与性质，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键． （1）依据题意，由平分，可得，再由四边形是平行四边形，可得，故，从而，则，故可判断得解； （2）依据题意，由（1），结合，则，从而，又四边形是平行四边形，可得，进而是的中位线，故可得的长度，求出，进而计算可以得解． 【详解】（1）证明：平分， ， 四边形是平行四边形， ， ， ， ， 是等腰三角形． （2）解：由（1）知是等腰三角形， 又， 是等边三角形， ， ， ， ， 点E为的中点，， ∵四边形是平行四边形， ∴， 是的中位线，， ，， ， ， 7．（25-26九年级上·北京石景山·期末）如图，在中，，，点在边上（不与点重合），作点关于直线的对称点，连接，交边于点，连接，取线段的中点，在边上取点，使得，连接． (1)求证：； (2)直接写出的大小，并证明． 【答案】(1)证明见解析 (2)，证明见解析 【分析】（1）连接，根据轴对称的性质得出，根据等腰直角三角形的性质得出是等腰直角三角形，即可得出，根据即可得； （2）取中点，连接、，，根据三角形中位线的性质得出，即可证明垂直平分，可证明点在直线上，根据中位线性质得出，根据平行线的性质结合等腰直角三角形的性质得出是等腰直角三角形，得出，利用证明，可得，利用角的和差关系即可求出． 【详解】（1）解：如图，连接， ∵点关于直线的对称点为，连接， ∴垂直平分， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴． （2）解：如图，取中点，连接、，， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∵为中点， ∴，， ∴， ∴垂直平分， ∵， ∴点在直线上，即点共线，， ∴， ∵作点关于直线的对称点， ∴， ∵取线段的中点， ∴， ∴，，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查轴对称的性质、三角形中位线的性质、等腰直角三角形的性质全等三角形的判定与性质、平行线的性质及垂直平分线的判定与性质，熟练掌握相关性质及判定定理是解题关键． 题型二   利用三角形中位线求最值 1．（25-26九年级上·山东淄博·月考）如图，在中，，，，点D为上的动点，点E，F分别为，的中点，则最小值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查勾股定理及三角形中位线，熟练掌握勾股定理及三角形中位线是解题的关键；连接，由题意易得，是的中位线，则有，然后可知当时，最小，进而根据等积法可进行求解． 【详解】解：如图，连接， ∵在中，，，， ∴， ∵点E，F分别为，的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴当最小时，的值最小， ∴当时，最小， 此时，， 即， ∴， ∴， 故选：C． 2．（25-26九年级上·山东威海·月考）如图，中，，，于点，，是半径为3的上一动点，连结，若E是的中点，连结，则长的最大值为（    ） A．8 B．8.5 C．9 D．9.5 【答案】A 【分析】题考查等腰三角形的性质、三角形中位线定理、勾股定理及圆的轨迹问题，解题关键是通过中位线确定E的轨迹半径，结合线段共线情况求DE的最大值．本题由等腰三角形三线合一得D是中点，勾股定理求，结合中位线得；由P的轨迹得E的轨迹半径；当D、A、E共线时，取最大值． 【详解】解：如图，取的中点F,连接、、． ∵，， ∴D为中点， ， 在中， ∵，， ∴， ∵D是中点，F是中点， ∴， ∵P在上，E是的中点， ∴E的轨迹是以A为圆心、半径为​的圆． ∴最大时，D、A、E共线， ∴． 3．（23-24九年级上·山东威海·期末）如图，在平行四边形中，，，点H、G分别是边、上的动点，其中点H不与点C重合，连接、，点E为的中点，点F为的中点，连接，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查勾股定理、含30度直角三角形的性质及三角形中位线，熟练掌握勾股定理、含30度直角三角形的性质及三角形中位线是解题的关键；连接，由题意易得是的中位线，即，当取最小值时，则也为最小，则当时，取最小，然后根据含30度直角三角形的性质及勾股定理可进行求解． 【详解】解：连接，如图所示： ∵点E为的中点，点F为的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴当取最小值时，则也为最小， ∴当时，取最小， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即的最小值为； 故答案为． 4．（25-26九年级上·四川内江·期末）如图，在中，，，点D，点E分别是，边上的动点，连接，点F，点M分别是，的中点，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是三角形中位线定理，熟记三角形中位线等于第三边的一半是解题的关键．连接，过点作于,根据三角形中位线定理得到,根据等腰三角形的性质求出，根据勾股定理求出，再根据三角形面积公式、垂线段最短解答即可. 【详解】解：如图，连接，过点作于， 点，点分别是的中点， 是的中位线， ， ， ， ， 当时，最小，此时， ， 解得：， 的最小值为， 故答案为：． 5．（25-26八年级下·全国·周测）如图，在中，，，，N是BC边上一点，M为AB边上的动点，D，E分别为CN，MN的中点．求DE的最小值． 【答案】 【分析】本题考查了垂线段最短，三角形的面积，三角形的中位线和勾股定理等知识点，熟练掌握垂线段最短和三角形的中位线性质是解此题的关键． 连接，当时，的值最小（垂线段最短），此时有最小值，根据勾股定理求出，根据三角形的面积公式求出，根据三角形的中位线得出即可． 【详解】解：如图，连接． ，分别为，的中点， ． 当时，的值最小（垂线段最短），此时有最小值． ，，， ． ， ， ． 故的最小值是． 6．（25-26八年级下·全国·课后作业）如下图，在中，，，，，分别是边，上的动点，，分别是，的中点．求的最小值．    【答案】2.4 【分析】连接，根据三角形中位线的性质定理得出，由勾股定理求出，再根据三角形等面积法求出，即可得出结果． 【详解】解：如图，连接．   ，分别是，的中点， 是的中位线， ， 当最小时，最小． 根据题意可知，当时，最小，即最小． 在中，，，， 则． 当时，， 即， 解得， 的最小值是2.4． 【点睛】题目主要考查三角形中位线定理，勾股定理解三角形，垂线段最短，掌握三角形中位线定理是解题关键． 题型三   三角形中位线的实际应用 1．（25-26八年级上·山东济南·期中）如图，、两点分别位于一个池塘的两端，李明想用绳子测量、间的距离，但绳子不够长，一位同学帮他想了一个主意：先在地上取一个可以直接到达，的点，找到，的中点，并且测出的长为16米，则、间的距离为（   ） A．8米 B．20米 C．25米 D．32米 【答案】D 【分析】本题考查了三角形中位线定理的应用． 根据三角形中位线定理求解即可． 【详解】解：D，E是，的中点， ， A，B间的距离为． 故选：D． 2．（24-25九年级上·湖南衡阳·期末）如图，要测量池塘两岸相对的A，B两点间的距离，可以在池塘外选一点C，连接，，分别取，的中点D，E，测得米，则的长是 米． 【答案】 【分析】本题主要考查了三角形中位线的性质，掌握相关知识是解决问题的关键． 根据题意可知是的中位线，再根据三角形中位线的性质得出，进而得出答案即可． 【详解】解：点，分别是，的中点， 是的中位线， 米． 故答案为：． 3．（21-22八年级下·全国·课后作业）要测量B，C两地的距离，小明想出一个方法：在池塘外取点A，得到线段，，并取，的中点D，E，连结．只要测出的长，就可以求得B，C两地的距离．你认为这个方法正确吗？请说明理由． 【答案】这种说法正确，理由见解析 【分析】连接，根据三角形的中位线定理，得出，再判断即可． 【详解】这种说法正确，理由如下： 连接， ，的中点为D，E， 是的中位线， ， 只要测出的长，就可以求得B，C两地的距离， 所以，这个说法是正确的． 【点睛】本题考查了三角形的中位线性质，熟练掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键． 4．（24-25八年级下·湖北十堰·期末）【综合与实践】 任务 如图1，测出水池A，B两点间的距离（水池有障碍物不能直接测量）． 测量工具 皮尺 皮尺的功能：直接测量任意可到达的两点间的距离（这两点间的距离不大于皮尺的测量长度，长度单位：m）； 小明的测量及求解过程 测量过程 （1）如图2，在水池外选点C，用皮尺测得，； （2）分别在AC，BC上用皮尺测得，，测得． 求解过程 由测量可知： ∵，，，， ∴点M是AC的中点，点N是BC的中点， ∴MN是的_______． ∵， ∴_______m． (1)把小明的求解过程补充完整； (2)小明测出水池A，B两点间的距离的依据是_______． 【答案】(1)中位线， (2)三角形中位线定理 【分析】本题考查了三角形中位线定理的应用． （1）根据小明的求解过程补充即可； （2）根据三角形中位线定理解答即可． 【详解】（1）由测量可知： ∵，，，， ∴点M是AC的中点，点N是BC的中点， ∴MN是的中位线． ∵， ∴． 故答案为：中位线，； （2）小明测出水池A，B两点间的距离的依据是三角形中位线定理． 故答案为：三角形中位线定理． 5．（23-24八年级下·山西朔州·期末）阅读与思考 问题情境： 如图1，某小区内有一池塘，同学们想利用所学知识测量池塘两端A，B两点间的距离． 可用工具：测量长度的卷尺、测量角度的测角仪． 方法分析： “圆周率”小组的操作过程如下：如图2，取能直接到达A和B的点C，量出的长和的度数；作；在射线上找一点D，使；测出的长度，就可得到A，B两点间的距离． “智慧”小组的操作过程如下：如图3，取能直接到达A和B的点C，连接，；分别取，的中点D，E，测出的长度，乘以2就可得到A，B两点间的距离． 说明：以上各点都在同一水平面内． （1）上面操作中，“圆周率”小组通过测量的长度得到A，B两点间的距离，依据是 ．“智慧”小组通过测量的长度乘以2，就可得到A，B两点间的距离，依据是 ． 迁移应用： （2）请你设计一种与上面方法不同的测量方案，要求： ①在图1中画出可操作的方案图； ②简要说明你的操作步骤； ③测量方案中，得到A，B两点间的距离的主要依据是 ． 【答案】（1）平行四边形对边相等；三角形的中位线等于第三边的一半；（2）①作图见解析；②步骤见解析；③全等三角形对应边相等 【分析】（1）根据平行四边形的性质和三角形的中位线性质进行解答即可； （2）构造全等三角形，画出图形，利用全等三角形的对应边进行解答即可． 【详解】解：（1）“圆周率”小组：∵， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∴“圆周率”小组通过测量的长度得到A，B两点间的距离，依据是平行四边形对边相等； “智慧”小组：∵D，E分别为，的中点， ∴为的中位线， ∴， ∴“智慧”小组通过测量的长度乘以2，就可得到A，B两点间的距离，依据是三角形的中位线等于第三边的一半； （2）①如图， ②先在平地上取一个可直接到达A，B的点C，再连接，并分别延长至点D，至点E，使， ，最后量出的距离就是的距离； ③在和中， ， ∴， ∴， ∴得到A，B两点间的距离的主要依据是全等三角形对应边相等． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定和性质的应用，三角形中位线的应用，三角形全等的应用，平行线的判定，解题的关键是理解题意熟练掌握相关的判定和性质． 题型一   三角形中位线在几何图形中的运用 1．（25-26八年级上·浙江·期中）如图1，与均是以为直角的等腰直角三角形，在内部． (1)连接： ①求证：． ②如图2，当平分时，求的长． (2)如图3，连接，连接与交于，当时，判断与的数量关系并给出证明． 【答案】(1)①见解析；② (2)，证明见解析 【分析】本题主要考查全等三角形判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、三角形中位线等知识点，正确作出辅助线、构造全等三角形成为解题的关键． （1）①由与均是以为直角的等腰直角三角形，可得，故，再由即可证明结论；②如图：延长交于K，由平分，可得是等腰直角三角形，故，求得，由勾股定理得；从而可知的长为； （2）如图∶延长到G，使，连接，证明可得，，而，即可得，故是的中位线，有，知． 【详解】（1）①证明：∵与均是以为直角的等腰直角三角形， ∴， ∴， 在和中， ， ∴； ②如图：延长交于K， ∵是以为直角的等腰直角三角形， ∴， ∵平分， ∴， ∴，是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴； 由①可知，， ∴， ∴的长为． （2）解：，证明如下： 如图：延长到G，使，连接， ∵是以为直角的等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴是以为直角的等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴ ∠DAG = ∠CAB， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是的中位线， ∴ DG = 2AF， ∴． 2．（25-26八年级上·四川成都·月考）阅读： 材料一：含角的直角三角形，角所对的直角边等于斜边的一半； 材料二：连接三角形两条边的中点，形成的线段是三角形的中位线，三角形的中位线具有以下性质：三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半． 完成以下问题：在中，，点是边上的一点． (1)已知． ①如图1，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接．若，求的值； ②如图2，以为边在其右侧作，交边于点，若，，求之长； (2)如图3，点是边的中点，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，点是边上一点，连接，满足，已知，，求之长． 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）①利用旋转的性质得到，，结合，，证明，再根据，得出，进而求出的值；②通过旋转构造全等三角形，将与已知线段建立联系，设，则，，利用勾股定理建立方程，求解即可； （2）先证明（构造辅助线），得到，利用勾股定理求出长度，利用三角形的中位线得到，由线段间的和差倍分关系即可求出的长度． 【详解】（1）解：①，， ， ，， 即 在，中， ， 在中，，， ， ； ②将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，作如图所示 由①可知， ，， ， 在，中， ， ∴ ，， ， 令，则，， ， 在中，，， ， 在，中 ， 即，解得 ． （2）取中点，连接，作交延长线于点，如图所示， 是边的中点， 是的中位线， ， ， 即 ， ， 在，中， ， 在中 ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查等腰三角形（含等边三角形）的性质、图形的旋转、全等三角形与三角形的中位线以及勾股定理，灵活运用“含角的直角三角形，角所对的直角边等于斜边的一半”是解题关键． 3．（22-23八年级下·山东烟台·期中）问题背景：如图，在正方形中，边长为4．点M，N是边，上两点，且，连接，，与相交于点O． (1)解决问题：请判断与的关系，并说明理由； (2)探索发现：若点E，F分别是与的中点，请求出的长； (3)拓展提高：延长至P，连接，若，请直接写出线段的长． 【答案】(1)且，理由见解析 (2) (3) 【分析】（1）由边角边的证明方法可证明与全等，再根据三角形全等的性质可得与的关系． （2）由角边角的证明方法证明与全等，再根据三角形全等的性质可得点E为的中点，再根据中位线的性质即可求解． （3）通过作辅助线，根据面积相等可求解三角形的高线，再由等腰直角三角形的性质可求解，再根据即可求解． 【详解】（1）解：且， 在正方形中，，， 又因为， 在与中，， 所以， 所以，, 因为， 所以， 所以在中，， 即， 综上，且． （2）解：连接延长交于点G，连接，如图， 因为在正方形中，， 所以， 又因为点E是的中点， 所以， 又因为， 在与中有， 所以， 所以，， 所以点E为的中点， 又因为点F是的中点， 所以为的中位线， 即， 因为， 且正方形中，边长为4， 所以， 在中，， 所以， 所以． （3）解：过点B作交于点H，如图， 在中，，， 所以， 又因为， 所以， 即，解得， 又因为， 所以为等腰直角三角形， 所以， 在中，，， 所以， 所以． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形中位线的性质，面积相等求解边长，勾股定理的应用．由三角形证明全等可得边长相等，角相等；再由中位线的性质可转化边长的关系；由直角三角形中面积相等求解边长是解决本题的关键． 1 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $ 6.2三角形的中位线 题型一   利用三角形中位线进行简单求解 1．【答案】C 2．【答案】C 3．【答案】A 4．【答案】B 5．【答案】C 6．【答案】2 7．【答案】3 8． 【答案】 【分析】本题主要考查了三角形中位线定理，根据三角形中位线定理得到，则由平行线的性质可得到． 【详解】解：∵在中，点分别是边的中点， ∴都是的中位线， ∴， ∴， ∴． 题型二   利用三角形中位线进行简单证明 1． 【答案】证明见解析 【分析】本题考查中点四边形，三角形的中位线定理，根据三角形的中位线定理以及一组对边平行且相等的四边形为平行四边形，进行求证即可． 【详解】证明：连接， ∵四边形各边中点分别是E、F、G、H， 是的中位线，是的中位线， ， ， ∴四边形是平行四边形． 2． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质与判定，三角形中位线定理，先证明四边形是平行四边形，得到，则可证明四边形是平行四边形，得到，再由三角形中位线定理可得，据此可证明． 【详解】证明：，， 四边形是平行四边形， ， 是中边上的中线， ， ， 四边形是平行四边形， ， 是中边上的中线， 为的中位线， ， ． 3． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质，中位线的性质，掌握中位线的性质是解决本题的关键． （1）根据等腰三角形的判定和性质可得，点D是的中点，再根据点E为的中点可得，是的中位线，进而即可求解； （2）根据中位线的性质即可证明． 【详解】（1）解：∵， ∴是等腰三角形， ∵平分， ∴是边上的中线， ∴点D是的中点， 又∵点E为的中点， ∴是的中位线， ∴； （2）证明：由（1）可得，是的中位线， ∴． 4． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查三角形中位线的性质，平行四边形的判定及性质，含角的直角三角形的性质，勾股定理，综合运用相关知识是解题的关键． （1）由三角形中位线的性质得到，又，故四边形两组对边分别平行，因此为平行四边形； （2）先求得，得到，再在中，根据勾股定理求得，进而由平行四边形的对边相等得到，再由三角形中位线的性质即可求解． 【详解】（1）证明：∵是的中位线， ∴，即， ∵， ∴四边形是平行四边形． （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵在中，， 即， ∴， 由（1）可知，四边形是平行四边形， ∴， ∵是的中位线， ∴． 题型三   判断结论是否正确 1．【答案】C 2．【答案】C 3．【答案】A 4．【答案】D 5．【答案】B 6．【答案】C 题型一   三角形中位线求解与证明综合问题 1．【答案】 2．【答案】或 3． 【答案】(1)，理由见解析 (2) 【分析】本题考查三角形中位线的性质，等腰三角形的性质，勾股定理； （1）取中点F，连接并延长交于点H，连接，过点N作，交延长线于点，由三角形中位线性质可得是等腰直角三角形，再利用勾股定理可得与的数量关系； （2）将代入与的关系式计算即可． 【详解】（1）解：，理由如下： 取中点F，连接并延长交于点H，连接，过点N作，交延长线于点， ∵，分别是，的中点，F是中点， ∴，， ∵,， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， 设， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 即． （2）解：∵，， ∴． 4． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，中位线，掌握知识点是解题的关键． （1）推导出，得到，继而证明，则，即可解答． （2）先推导出D是中点，继而证明，则，即可解答． 【详解】（1）证明：∵和都是等边三角形， ∴； 则，即； 在和中， ； ∴， ∴． （2）证明：∵是等边三角形，是高， ∴D是中点； ∵M是的中点， ∴， ∵， ∴． 5． 【答案】（1）；（2），理由见解析；（3） 【分析】本题考查了与三角形中位线有关的求解问题，与三角形中位线有关的证明，梯形中位线定理等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用来求解． （1）先说明是的中位线，再根据三角形的中位线定理得出结论即可； 【详解】（2）先证明，从而可得，，于是有，再根据三角形的中位线定理得出，从而可得； （3）根据梯形的面积公式，结合（2）中的结论求解． （1）解：∵点E是边的中点，点F是边的中点， ∴是的中位线， ∴， 故答案为：． （2）， 理由：如图（2），连接并延长交的延长线于点E， ∵， ∴， ∵点M为的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∵M为的中点，N为的中点， ∴为的中位线， ∴， ∴． （3）∵梯形的中位线长为，高为， ∴（）， 故答案为：． 6． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质、勾股定理、等腰三角形的判定与性质，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键． （1）依据题意，由平分，可得，再由四边形是平行四边形，可得，故，从而，则，故可判断得解； （2）依据题意，由（1），结合，则，从而，又四边形是平行四边形，可得，进而是的中位线，故可得的长度，求出，进而计算可以得解． 【详解】（1）证明：平分， ， 四边形是平行四边形， ， ， ， ， 是等腰三角形． （2）解：由（1）知是等腰三角形， 又， 是等边三角形， ， ， ， ， 点E为的中点，， ∵四边形是平行四边形， ∴， 是的中位线，， ，， ， ， 7． 【答案】(1)证明见解析 (2)，证明见解析 【分析】（1）连接，根据轴对称的性质得出，根据等腰直角三角形的性质得出是等腰直角三角形，即可得出，根据即可得； （2）取中点，连接、，，根据三角形中位线的性质得出，即可证明垂直平分，可证明点在直线上，根据中位线性质得出，根据平行线的性质结合等腰直角三角形的性质得出是等腰直角三角形，得出，利用证明，可得，利用角的和差关系即可求出． 【详解】（1）解：如图，连接， ∵点关于直线的对称点为，连接， ∴垂直平分， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴． （2）解：如图，取中点，连接、，， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∵为中点， ∴，， ∴， ∴垂直平分， ∵， ∴点在直线上，即点共线，， ∴， ∵作点关于直线的对称点， ∴， ∵取线段的中点， ∴， ∴，，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查轴对称的性质、三角形中位线的性质、等腰直角三角形的性质全等三角形的判定与性质、平行线的性质及垂直平分线的判定与性质，熟练掌握相关性质及判定定理是解题关键． 题型二   利用三角形中位线求最值 1．【答案】C 2．【答案】A 3．【答案】 4．【答案】 5． 【答案】 【分析】本题考查了垂线段最短，三角形的面积，三角形的中位线和勾股定理等知识点，熟练掌握垂线段最短和三角形的中位线性质是解此题的关键． 连接，当时，的值最小（垂线段最短），此时有最小值，根据勾股定理求出，根据三角形的面积公式求出，根据三角形的中位线得出即可． 【详解】解：如图，连接． ，分别为，的中点， ． 当时，的值最小（垂线段最短），此时有最小值． ，，， ． ， ， ． 故的最小值是． 6． 【答案】2.4 【分析】连接，根据三角形中位线的性质定理得出，由勾股定理求出，再根据三角形等面积法求出，即可得出结果． 【详解】解：如图，连接．   ，分别是，的中点， 是的中位线， ， 当最小时，最小． 根据题意可知，当时，最小，即最小． 在中，，，， 则． 当时，， 即， 解得， 的最小值是2.4． 【点睛】题目主要考查三角形中位线定理，勾股定理解三角形，垂线段最短，掌握三角形中位线定理是解题关键． 题型三   三角形中位线的实际应用 1．【答案】D 2．【答案】 3． 【答案】这种说法正确，理由见解析 【分析】连接，根据三角形的中位线定理，得出，再判断即可． 【详解】这种说法正确，理由如下： 连接， ，的中点为D，E， 是的中位线， ， 只要测出的长，就可以求得B，C两地的距离， 所以，这个说法是正确的． 【点睛】本题考查了三角形的中位线性质，熟练掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键． 4． 【答案】(1)中位线， (2)三角形中位线定理 【分析】本题考查了三角形中位线定理的应用． （1）根据小明的求解过程补充即可； （2）根据三角形中位线定理解答即可． 【详解】（1）由测量可知： ∵，，，， ∴点M是AC的中点，点N是BC的中点， ∴MN是的中位线． ∵， ∴． 故答案为：中位线，； （2）小明测出水池A，B两点间的距离的依据是三角形中位线定理． 故答案为：三角形中位线定理． 5． 【答案】（1）平行四边形对边相等；三角形的中位线等于第三边的一半；（2）①作图见解析；②步骤见解析；③全等三角形对应边相等 【分析】（1）根据平行四边形的性质和三角形的中位线性质进行解答即可； （2）构造全等三角形，画出图形，利用全等三角形的对应边进行解答即可． 【详解】解：（1）“圆周率”小组：∵， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∴“圆周率”小组通过测量的长度得到A，B两点间的距离，依据是平行四边形对边相等； “智慧”小组：∵D，E分别为，的中点， ∴为的中位线， ∴， ∴“智慧”小组通过测量的长度乘以2，就可得到A，B两点间的距离，依据是三角形的中位线等于第三边的一半； （2）①如图， ②先在平地上取一个可直接到达A，B的点C，再连接，并分别延长至点D，至点E，使， ，最后量出的距离就是的距离； ③在和中， ， ∴， ∴， ∴得到A，B两点间的距离的主要依据是全等三角形对应边相等． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定和性质的应用，三角形中位线的应用，三角形全等的应用，平行线的判定，解题的关键是理解题意熟练掌握相关的判定和性质． 题型一   三角形中位线在几何图形中的运用 1． 【答案】(1)①见解析；② (2)，证明见解析 【分析】本题主要考查全等三角形判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、三角形中位线等知识点，正确作出辅助线、构造全等三角形成为解题的关键． （1）①由与均是以为直角的等腰直角三角形，可得，故，再由即可证明结论；②如图：延长交于K，由平分，可得是等腰直角三角形，故，求得，由勾股定理得；从而可知的长为； （2）如图∶延长到G，使，连接，证明可得，，而，即可得，故是的中位线，有，知． 【详解】（1）①证明：∵与均是以为直角的等腰直角三角形， ∴， ∴， 在和中， ， ∴； ②如图：延长交于K， ∵是以为直角的等腰直角三角形， ∴， ∵平分， ∴， ∴，是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴； 由①可知，， ∴， ∴的长为． （2）解：，证明如下： 如图：延长到G，使，连接， ∵是以为直角的等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴是以为直角的等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴ ∠DAG = ∠CAB， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是的中位线， ∴ DG = 2AF， ∴． 2． 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）①利用旋转的性质得到，，结合，，证明，再根据，得出，进而求出的值；②通过旋转构造全等三角形，将与已知线段建立联系，设，则，，利用勾股定理建立方程，求解即可； （2）先证明（构造辅助线），得到，利用勾股定理求出长度，利用三角形的中位线得到，由线段间的和差倍分关系即可求出的长度． 【详解】（1）解：①，， ， ，， 即 在，中， ， 在中，，， ， ； ②将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，作如图所示 由①可知， ，， ， 在，中， ， ∴ ，， ， 令，则，， ， 在中，，， ， 在，中 ， 即，解得 ． （2）取中点，连接，作交延长线于点，如图所示， 是边的中点， 是的中位线， ， ， 即 ， ， 在，中， ， 在中 ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查等腰三角形（含等边三角形）的性质、图形的旋转、全等三角形与三角形的中位线以及勾股定理，灵活运用“含角的直角三角形，角所对的直角边等于斜边的一半”是解题关键． 3． 【答案】(1)且，理由见解析 (2) (3) 【分析】（1）由边角边的证明方法可证明与全等，再根据三角形全等的性质可得与的关系． （2）由角边角的证明方法证明与全等，再根据三角形全等的性质可得点E为的中点，再根据中位线的性质即可求解． （3）通过作辅助线，根据面积相等可求解三角形的高线，再由等腰直角三角形的性质可求解，再根据即可求解． 【详解】（1）解：且， 在正方形中，，， 又因为， 在与中，， 所以， 所以，, 因为， 所以， 所以在中，， 即， 综上，且． （2）解：连接延长交于点G，连接，如图， 因为在正方形中，， 所以， 又因为点E是的中点， 所以， 又因为， 在与中有， 所以， 所以，， 所以点E为的中点， 又因为点F是的中点， 所以为的中位线， 即， 因为， 且正方形中，边长为4， 所以， 在中，， 所以， 所以． （3）解：过点B作交于点H，如图， 在中，，， 所以， 又因为， 所以， 即，解得， 又因为， 所以为等腰直角三角形， 所以， 在中，，， 所以， 所以． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形中位线的性质，面积相等求解边长，勾股定理的应用．由三角形证明全等可得边长相等，角相等；再由中位线的性质可转化边长的关系；由直角三角形中面积相等求解边长是解决本题的关键． 1 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $